Fundamentos matematicos

1. Tarea 4 Realizar transferencia del conocimiento
Estudiantes
Jeison de Jesús Medina Iriarte
Luis Dita Aconcha
Angie Barboza Melo
Rosaura Gómez
Grupo
551103_9
Director
Wualberto José Roca
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Zona Caribe
Diciembre 2023

2. Introducción
La crisis de los fundamentos en
matemáticas fue un período crucial en el
desarrollo de esta disciplina, marcado por
la búsqueda de una base lógica y
consistente para las teorías matemáticas.
Esta crisis se desarrolló a principios del
siglo XX y se centró en problemas
relacionados con la fundamentación lógica
de las matemáticas.

3. Objetivos
• General
Explorar y comprender la crisis en los fundamentos matemáticos del siglo XIX, identificando sus características, causas y las respuestas desarrolladas
para superarla, centrándonos en las contribuciones de Gottlob Frege y Ernst Schroder.
• Especificos
Analizar las Características de la Crisis: Investigar las paradojas en la teoría de conjuntos, los conflictos en la aritmética y los desafíos en la
continuidad e infinito que contribuyeron a la inestabilidad de los fundamentos matemáticos.
Identificar las Causas de la Crisis: Examinar el papel crucial del desarrollo de la teoría de conjuntos, los avances en lógica matemática, y las
divergencias filosóficas en la generación de la crisis en los fundamentos matemáticos.
Explorar las Respuestas a la Crisis: Investigar las estrategias de rigorización de las matemáticas a través de la axiomatización, la adopción de nuevas
bases lógicas y el desarrollo de la teoría de modelos como respuestas fundamentales a los desafíos planteados.
Analizar las Contribuciones de Frege: Profundizar en las ideas de Gottlob Frege, especialmente su enfoque logicista en la fundamentación de la
aritmética, y su posición sobre la relación entre la lógica y la matemática.
Analizar las Contribuciones de Schroder: Examinar las contribuciones de Ernst Schroder, enfocándonos en su desarrollo del álgebra de relativos y la
pasigrafía, así como su intento de ofrecer una fundamentación estructural para toda la matemática.
Evaluar el Impacto y la Influencia: Evaluar cómo las respuestas propuestas a la crisis, particularmente las estrategias de rigorización, han impactado y
moldeado el desarrollo posterior de las matemáticas y la filosofía de la matemática.

4. Crisis
y
problemáticas
de
la
matemáticas
características
Paradojas en la Teoría de Conjuntos: Aparición
de paradojas, como la Paradoja de Russell,
cuestionando la consistencia lógica de los
fundamentos matemáticos.
Conflictos en la Aritmética: Problemas en la
aritmética y teoría de números, como la
paradoja del mentiroso, contribuyeron a la
inestabilidad.
Desafíos en la Continuidad y el Infinito:
Escrutinio de la infinitud y continuidad en cálculo
y análisis, generando debates sobre su
coherencia lógica.
causas
Desarrollo de la Teoría de Conjuntos:
Introducción de la teoría de conjuntos como
fundamento, generando paradojas como la de
Russell y cuestionando la solidez del sistema.
Avances en la Lógica Matemática: Teorema de
incompletitud de Gödel, demostrando que
ningún sistema lógico puede ser completo y
consistente simultáneamente.
Divergencias Filosóficas: Desacuerdos
filosóficos sobre la naturaleza de objetos
matemáticos y la realidad de números infinitos,
contribuyeron a la crisis.
rigorización
Nueva Fundamentación en Lógica: Exploración
de nuevas bases lógicas, como la lógica de
primer orden, para fundamentos más sólidos y
consistentes.
Desarrollo de la Teoría de Modelos: La teoría de
modelos como herramienta clave para estudiar
la consistencia y completitud de las teorías
matemáticas.
Búsqueda de axiomatización rigurosa para
evitar paradojas, empleando axiomas claros y
precisos.

5. Conclusión
En conclusión, la crisis en los fundamentos de las matemáticas a finales del siglo XIX y principios del siglo XX fue un período de
profunda introspección y reevaluación en la disciplina. Las paradojas que surgieron en la teoría de conjuntos, los conflictos en la
aritmética y la teoría de números, así como los desafíos en la continuidad y el infinito, generaron un cuestionamiento fundamental sobre
la consistencia lógica de los fundamentos matemáticos.
El desarrollo de la teoría de conjuntos como un nuevo fundamento condujo a paradojas, como la famosa Paradoja de Russell, que puso
en entredicho la solidez lógica del sistema. Los avances en lógica matemática, especialmente el teorema de incompletitud de Gödel,
demostraron que ningún sistema lógico formal puede ser completo y consistente al mismo tiempo. Además, las divergencias filosóficas
sobre la naturaleza de los objetos matemáticos y la realidad de los números infinitos contribuyeron a la complejidad de la crisis.
Ante esta situación, se emprendieron esfuerzos significativos para rigorizar las matemáticas. La axiomatización rigurosa de las teorías
matemáticas, utilizando axiomas claros y precisos, fue una respuesta clave para evitar paradojas. Se exploraron nuevas bases lógicas,
como la lógica de primer orden, con el objetivo de proporcionar fundamentos más sólidos y consistentes. La teoría de modelos se
convirtió en una herramienta esencial para estudiar la consistencia y completitud de las teorías matemáticas, permitiendo un enfoque
más sistemático y riguroso.
En última instancia, la crisis en los fundamentos matemáticos no solo condujo a una reevaluación de las bases de la disciplina, sino que
también llevó a importantes avances en la lógica matemática y la formalización de las teorías. Estos esfuerzos no solo abordaron las
paradojas existentes, sino que sentaron las bases para el desarrollo futuro de la matemática, marcando una nueva era de rigor y
claridad en la formulación de teorías matemáticas.

6. Bibliografía
• - Philosophy of Mathematics: Selected Readings" editado por Paul Benacerraf y Hilary
Putnam: Una compilación de ensayos clave sobre la filosofía de las matemáticas,
incluyendo temas relacionados con la crisis de los fundamentos.
• - Foundations of Mathematics: Logic at Harvard" de William W. Tait: Este libro explora la
historia y la filosofía de la lógica matemática en Harvard durante la primera mitad del siglo
XX, abordando la crisis de los fundamentos.
• - The Development of the Foundations of Mathematics in the Light of Philosophy" de Kurt
Gödel: Este artículo escrito por Gödel mismo aborda la relación entre la filosofía y el
desarrollo de los fundamentos matemáticos.
• - "The Unprovability of Consistency - An Essay in Modal Logic" de George Boolos: Un
artículo que explora la incompletitud y la consistencia en la lógica matemática, conectando
con los resultados de Gödel