El documento explica el producto vectorial, que es una multiplicación entre vectores que da como resultado otro vector ortogonal a los vectores originales. Define que el módulo se calcula como el producto de los módulos individuales multiplicado por el seno del ángulo entre los vectores, la dirección es ortogonal a ambos vectores originales, y el sentido se determina por la regla del tirabuzón. También presenta fórmulas y propiedades del producto vectorial, incluyendo cómo calcularlo a partir de las componentes de los vectores originales.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
U. E ``COLEGIO PABLO NERUDA´´
BARQUISIMETO
PRODUCTO VECTORIAL
INTEGRANTES:
ARIANNIS COLMENAREZ
LISMARY FERNANDEZ
YHOENNY MATHEUS
JOELFRANCIS PEREZ
JOSÉ SANCHEZ
5º ‘’C’’
NOVIEMBRE 2014

2. PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial es una multiplicación entre vectores que da como
resultado otro vector ortogonal a ambos. Dado que el resultado es otro vector,
se define su módulo, dirección y sentido.
El módulo se calcula como el producto de los módulos de los vectores
multiplicado por el seno del ángulo que los separa.
La dirección es sobre la recta ortogonal a ambos vectores, es decir que
forma 90 grados con los mismos.
El sentido se calcula con la regla del tirabuzón, imaginando que gira por
la recta ortogonal del origen entre uno y otro vector de tal forma que avance.
Esto quiere decir que en el producto vectorial importa el orden en que se
multiplican los vectores, ya que determina el sentido del vector resultado.
En Matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto cruz es
una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El
resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo
tanto, normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un
vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al
ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con
frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

3. Relaciones entre los vectores
Sean dos vectores y en el espacio vectorial . El producto
vectorial entre y da como resultado un nuevo vector . El producto
vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama
también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con
la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante:
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la
siguiente manera:
Donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección
está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo
entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla
del sacacorchos.
Producto vectorial de dos vectores
Sean los vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional
según la base anterior. Se define el producto:

4. Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:
Donde la última fórmula se interpreta como:
Esto es:
Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la
primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los
términos de la primera fila no son escalares):
Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del
sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más
pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma
dirección.
Ejemplo:
El producto vectorial de los vectores y se
calcula del siguiente modo:
Expandiendo el determinante:

5. Dando como resultado:
Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores
y efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición
de perpendicularidad de vectores)
Determinante del Producto Vectorial
El producto vectorial se representa de forma compacta por medio de un
determinante que para el caso de dimensión 3x3 tiene un desarrollo matemático
conveniente:
A partir de esta forma familiar, podemos desarrollarlo para obtener su
forma expandida:
Propiedades del producto vectorial
Sean u, v y w tres vectores de R3y sea α ∈ R, entonces:
1. El producto vectorial es anticonmutativo: u × v = – (v × u)
2. El producto vectorial de vectores paralelos es el vector nulo: Si u // v ⇒
u × v = 0
3. Consecuencia propiedad (2): u × u = 0
4. Si uno de los vectores del producto vectorial es el vector nulo entonces el
producto vectorial es el vector nulo: 0 × u = u × 0 = 0

6. 5. El producto vectorial es distributivo respecto de la suma de vectores (a
derecha y a izquierda) teniendo en cuenta la anticonmutatividad de la
operación:
u × (v + w) = u × v + u × w
(v + w) × u = v × u + w × u
6. Extracción de un escalar del producto vectorial:
(αu)× v = u × (αv) = α (u × v)
Ejemplo:
Aplicando propiedades del producto vectorial reducir a una mínima expresión:
u × (v + u) + v × (u + v)
Observemos que en la expresión dada es posible aplicar la propiedad
distributiva del producto vectorial respecto de la suma, entonces:
u × (v + u) + v × (u + v) = u × v + u × u + v × u + v × v
En ésta expresión tenemos que: u × u = 0 y v × v = 0, por lo tanto:
u × (v + u) + v × (u + v) = u × v + 0 + v × u + 0 = u × v + v × u
Luego, sabemos que el producto vectorial es anticonmutativo, es decir:
u × v = – (v × u)
Entonces:
u × (v + u) + v × (u + v) = – ( v × u) + v × u
y como estos vectores son opuesto, resulta que:
u × (v + u) + v × (u + v) = 0
Fórmula del producto vectorial entre vectores en función de sus componentes
Sean los vectores: u = ux i + uy j + uz k y v = vx i + vy j + vz k
Entonces, para calcular el producto vectorial entre los vectores u y v de R3
en
función de sus componentes se utiliza la función de determinante1
.

7. Primero se arma un determinante de tercer orden y se lo desarrolla en tres
determinantes de orden dos, tal como se muestra a continuación:
i j k
w=uxv= ux uy uz =
vx vy vz
Luego, al desarrollar cada determinante de orden dos, obtendremos las
componentes del vector que resulta del producto vectorial, esto es:
w = u × v = (uyvz – uzvy) i – (uxvz – uzvx) j + (uxvy – uyvx) k
Ejemplos:
• Efectuar el producto vectorial entre los vectores:
u = 2 i + 3 j + 4 k y v = 5 i + 6 j + 7 k
i j k
w = × = 2 3 4 =
5 6 7
⇒ w = (3.7 – 4.6) i – (2.7 – 4.5) j + (2.6 – 3.5) k ⇒
⇒ w = u × v = –3i + 6j – 3k
• Efectuar el producto vectorial entre los vectores: u = (1;0;3) y v = (2;3;9)
i j k
w = × = 1 0 3 =
2 3 9
⇒ w = u × v = (–9; - 3; – 3).
uy uz i – ux uz j + ux uy k
vy vz vx vz ux vy
vy vz
3 4 i – 2 4 j + 2 3 k 
6 7 5 7 5 6
vy vz
0 3 ; – 1 3 ; + 1 0 
3 9 2 9 2 3
vy vz

8. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 http://www.vitutor.com/analitica/vectores/producto_vectorial.html
 http://www.fra.utn.edu.ar/catedras/algebra/lecturas/3_Vectores.pdf
 http://www.vadenumeros.es/segundo/producto-vectorial-y-mixto.htm
 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/vvec.html
 http://www.fisicapractica.com/producto-vectorial.php
 http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorial