Este documento presenta los conceptos fundamentales sobre ecuaciones de planos en R3. Explica que un plano puede definirse mediante su ecuación vectorial, cartesiana o cartesiana simplificada. Además, cubre temas como ángulos entre planos, rectas de intersección, y distancia de un punto a un plano. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de los planos en ingeniería, como el análisis del flujo de aire en un túnel de viento.

1. UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO
FACULTAD CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES
ECUACIONES DE PLANOS EN ℝ 𝟑
MAYO - SEPTIEMBRE 2014

2. INTRODUCCIÓN
Esta parte del cálculo de variables nos muestran
cómo usar productos escalares y vectoriales para
escribir ecuaciones de planos en el espacio.

3. ANTECEDENTES
René Descartes (1596-1650). Considerado el primer filosofo moderno, utilizo la ciencia y
las matemáticas para explicar y pronosticar acontecimientos en el mundo físico.
Hermann Gunter Grassmann (1809-1877) Realizo un ensayo exponiendo una teoría por
métodos vectoriales llegando a contener el primer testimonio escrito de lo que hoy se
conoce como ·álgebra lineal y la noción de espacio vectorial.
Hermann Weyl (1.885-1.955) autor de importantes investigaciones sobre la teoría de las
ecuaciones integrales y diferenciales, en el campo de la relatividad y la mecánica
cuántica.
William Rowan Hamilton (1805-1865), En el campo de la dinámica, introdujo las
funciones de Hamilton, que expresan la suma de las energías cinética y potencial de un
sistema dinámico; son muy importantes en el desarrollo de la dinámica moderna y para
el estudio de la teoría cuántica.

4. BASE TEÓRICA
Suponga que el plano 𝑴 pasa por un punto 𝑷 𝒐 𝑿 𝒐, 𝒀 𝒐, 𝒁 𝒐 y es
normal al vector no nulo 𝒏 = 𝑨 𝒊 + 𝑩 𝒋 + 𝑪𝒌 . Entonces M es el
conjunto de todos los puntos 𝑷(𝒙, 𝒚, 𝒛) para los cuales 𝑷 𝒐 𝑷 es
ortogonal a 𝒏 como se muestra en la figura.
Planos en el espacio

5. El plano que pasa por 𝑷 𝒐 𝒙 𝒐, 𝒚 𝒐, 𝒛 𝒐 y es normal a 𝒏 = 𝑨 𝒊 + 𝑩 𝒋 + 𝑪𝒌 tiene
una:
• Ecuación vectorial: 𝒏 ∗ 𝑷 𝒐 𝑷 = 𝟎
• Ecuación cartesiana: 𝑨 𝒙 − 𝒙 𝒐 + 𝑩 𝒚 − 𝒚 𝒐 + 𝑪 𝒛 − 𝒛 𝒐 = 𝟎
• Ecuación cartesiana simplificada: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 = 𝑫 , donde:
𝑫 = 𝑨𝒙 𝟎 + 𝑩𝒚 𝟎 + 𝑪𝒛 𝟎
Ecuaciones de un plano

6. Así como las rectas son paralelas si y
sólo si tienen la misma dirección,
dos planos son paralelos si y sólo si
sus vectores normales son paralelos.
Rectas de intersección
Distancia de un punto a un plano
Si P es un punto en un plano con
vector normal 𝒏 , entonces la
distancia de cualquier punto S al
plano es la longitud del vector
proyección de 𝑷𝑺 sobre 𝒏.
𝒅 = 𝑷𝑺.
𝒏
𝒏

7. El ángulo entre dos planos se obtiene a partir del
ángulo entre sus normales.
Ángulo entre planos
𝜽 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏
𝒏 𝟏
𝒏 𝟏
.
𝒏 𝟐
𝒏 𝟐

8. METOLOGÍA
EJERCICIOS

9. APLICACIÓN
PROFESIONAL
Un campo vectorial es una función que asocia un vector a
cada punto de su dominio. Por ejemplo: “Para analizar las
características de vuelo de un avión, los ingenieros
realizan pruebas en un túnel de viento, las cuales
proporcionan información vital acerca del flujo de aire y la
presión en varios puntos del espacio con relación a las
alas y al fuselaje de la nave, para modelar tal situación es
necesario describir la velocidad del aire en varios puntos
del túnel, utilizando para esto una función que es un
campo vectorial”

10. CONCLUSIONES
 La base teórica general de los conocimientos adquiridos
en ejes coordenados, vectores y ecuaciones se
fundamentan con el análisis en conjunto de los elementos
que intervienen en los planos en ℝ3
 La construcción y análisis de planos en ℝ3 fortalecen la
comprensión de la ubicación de objetos en un espacio
físico adaptado a cambios leves o bruscos de movimiento.

11. RECOMENDACIONES
 Habilidad para analizar y construir planos en ℝ3.
 Desarrollar un pensamiento lógico y ordenado.
 Tener habilidad para encontrar similitudes y relaciones
entre cosas aparentemente distintas.
 Dominar los conceptos sobre operaciones ente vectores
para la facilitación de los cálculos.
 Perseverancia suficiente para trabajar en la resolución de
los problemas que se le presenten hasta encontrar alguna
solución.

12. BIBLIOGRAFÍA
Stewart James (2008), Cálculo de varias variables, sexta
edición, Cengage Learning, México.
Thomas George B (2010), Cálculo varias variables,
Decimosegunda edición, Pearson Educación, México.
E.E KASSIR (2009), Calculo vectorial, Primera edición,
Colombia.