El documento presenta un caso de programación lineal para una empresa química llamada RMC. RMC desea maximizar sus ganancias totales produciendo dos productos con materias primas limitadas. Se formula un modelo matemático para este problema, con la función objetivo de maximizar ganancias y restricciones en los recursos disponibles. Las variables de decisión son las cantidades producidas de cada producto.

1. Investigación de Operaciones 1

2. Es un enfoque de solución de problemas elaborado
para ayudar a los gerentes a tomar decisiones.
Pueden encontrarse numerosas aplicaciones para la
programación lineal en un ambiente de negocios tan
competitivo como el actual.

3. • GE Capital usa la programación lineal para ayudar a
determinar la estructuración óptima del
arrendamiento.
• Marathon Oil Company emplea la programación
lineal para elaborar la gasolina y para evaluar la
economía de nuevas terminales u oleoductos.
• Hanshin Expressway Public Corporation utiliza
programación lineal para el control de tránsito en
una autopista urbana de cuota en Osaka Japón.

4. 1. Un fabricante desea elaborar un programa de producción y una
política de inventarios que satisfagan la demanda de ventas en
periodos futuros. Idealmente, el programa y la política permitirán
a la compañía satisfacer la demanda y al mismo tiempo minimizar
la producción total y los costos de inventario.
2. Un analista financiero debe seleccionar un portafolios de inversión
elegido de entre varias alternativas de acciones y bonos. En analista
le gustaría establecer el portafolios que maximice el retornos de la
inversión.
3. Un gerente de mercadotecnia desea determinar cómo asignar
mejor un presupuesto de publicidad fijo entre medios alternativos
como radio, televisión, periódicos y revistas. Al gerente le gustaría
determinar la mezcla de medios que maximiza la efectividad de la
publicidad.

6. RMC es una pequeña empresa que fábrica una variedad de productos basados
en sustancias químicas. Es un proceso de producción particular, se emplean tres
materias primas para producir dos productos: un aditivo para combustible y
una base para solvente. El aditivo para combustible se vende en compañías
petroleras y se usa en la producción de gasolina y combustibles relacionados. La
base para solvente se vende a una variedad de empresas químicas y se emplea en
producto para limpieza en el hogar e industriales. Los tres materias primas se
mezclan para fabricar el aditivo para combustible y base para solvente, tal como
se indica en la tabla 7.1. Ésta nos muestra que una tonelada de aditivo para
combustible es una mezcla de 0.4 toneladas de material 1 y 0.6 toneladas del
material 3. Una tonelada de la base para solvente es una mezcla de 0.5
toneladas del material 1, 0.2 toneladas del material 2 y 0.3 toneladas del
material 3.
La producción de RMC está restringida por una disponibilidad limitada de las
tres materias primas. Para el periodo de producción actual, RMC tiene
disponibles las siguientes cantidades de cada materia prima.

7. Requerimientos materiales por tonelada para el
problema de RMC
Tipo de material Producto
Aditivo para
combustible
Base para solvente
Material 1 0.4 0.5
Material 2 0.2
Material 3 0.6 0.3

8. Material Cantidad disponible para la
producción
Material 1 20 Toneladas
Material 2 5 Toneladas
Material 3 21 Toneladas

9. Debido a los desechos y a la naturaleza del proceso de
producción, los materiales que no se lleguen a usar en una
corrida de producción no se pueden almacenar para las
subsiguientes, son inútiles y deben desecharse.
El departamento de contabilidad analizó las cifras de producción,
asignó todos los costos relevantes y llegó a precios que, para
ambos productos, producirán una contribución a la utilidad de
$40 por cada tonelada de aditivo de combustible producida y $30
por cada tonelada producida de base para solvente. Ahora
usaremos la programación lineal para determinar la cantidad de
aditivo para combustible y la cantidad de base para solvente por
producir a fin de maximizar la contribución a la ganancia total.

10. La formulación del problema es el proceso de traducir la
declaración verbal del mismo en una definición
matemática. La declaración matemática del problema se
denomina modelo matemático. Elaborar un modelo
matemático apropiado es un arte que solo se puede
dominarse con practica y experiencia. Aunque todos los
problemas tienen al menos algunas características únicas,
la mayoría de ellos también tienen muchas características
comunes o similares. Como resultado, pueden ser útiles
algunos lineamientos generales para la elaboración de un
modelo matemático.

11. • Entender el problema a fondo. El problema
RMC es relativamente fácil de entender. RMC desea
determinar cuánto de cada producto producir para
maximizar la contribución total a la utilidad. Las
toneladas disponibles de los tres materiales que se
requieren para elaborar los dos productos delimitan
la cantidad de toneladas de cada producto que
pueden producirse. Entender problemas mas
complejos requerirá más trabajo, sin embargo,
entender el problema a fondo es el primer paso
para elaborar cualquier modelo matemático.

12. • Describir el objetivo. El objetivo de RMC es
maximizar la contribución total a la ganancia.
• Describir cada restricción. Tres restricciones limitan
la cantidad de toneladas de aditivo para combustible y
base para solvente que pueden producirse.
• Restricción 1: La cantidad del material 1 que se use
debe ser menor o igual que las 30 toneladas disponibles.

13. • Restricción 2: La cantidad del material 2 que se
use debe ser menor o igual que las 5 toneladas
disponibles.
• Restricción 3: La cantidad del material 3 que se
use debe ser menor o igual que las 21 toneladas
disponibles.

14. • Definir las variables de decisión. Las variables de
decisión son las entradas controlables en el problema.
Para el problema de RMC las dos variables de decisión
son: 1) la cantidad de aditivo para combustible por
producir y 2) la cantidad de toneladas de base para
solvente por producir. Al elaborar el modelo
matemático para el problema de RMC, usaremos la
siguiente notación para las variables de decisión.
• F = cantidad de toneladas de aditivo para combustible.
• S = cantidad de toneladas de base para solvente.

15. • Escribir el objetivo en función de las variables
de decisión. La contribución a la utilidad de RMC
proviene de la producción de F toneladas de aditivo
para combustible y 5 toneladas de base para
solvente. Debido a que RMC gana $40 por cada
tonelada de aditivo para combustible producida y
$30 por cada tonelada de base para solvente
producida, la compañía ganará $40F de la
producción del aditivo para combustible y $30S de
la producción de la base para solvente.

16. • Por tanto:
• Contribución a la ganancia total = 40F ₊ 30S
Debido a que el objetivo, maximizar la contribución a la
utilidad total, es una función de las variables de decisión F
y S, nos referimos a 40F ₊ 30S como función objetivo.
Usando: Max como una abreviatura para maximizar,
podemos escribir el objetivo de RMC como sigue:
Max 40F ₊ 30S (7.1)

17. • Escribir las restricciones en función de las
variables de decisión.
Restricción 1:
Toneladas del material 1 usado ≤ toneladas del
material 1 disponible
Cada tonelada de aditivo para combustible que produzca
RMC usará 0.4 toneladas del material 1. Por tanto, 0.4F
toneladas de material 1 se usan para producir F toneladas
del aditivo.

18. Del mismo modo, cada tonelada de base para solvente que produzca
RMC usará 0.5 toneladas de material 1. Por tanto, 0.55 toneladas de
material 1 se usan para producir S toneladas de base para solvente. Por
consiguiente, las toneladas de material 1 que se usen para producir F
toneladas del aditivo y S toneladas de base es:
Toneladas de material 1 usado ₌ 0.4F ₊ 0.5 S
Debido a que se dispone de 20 toneladas de material 1 para usar en la
producción, la declaración matemática de la restricción 1 es:
0.4F ₊ 0.5 S ≤ 20 (7.2)

19. Restricción 2:
Toneladas de material 2 usadas ≤ Toneladas de material 2 disponibles.
El aditivo para combustible no usa el material 2. si embargo, cada tonelada de
base para solvente que produzca RMC usará 0.2 toneladas de este material 2;
por tanto, 0.2S toneladas del material 2 se emplean para producir S toneladas
de base para solvente. Por consiguiente, la cantidad de toneladas de material 2
usado para producir F toneladas de aditivo para combustible y S toneladas de
base para solvente es:
Toneladas de material 2 usado = 0.2S
Debido a que se dispone de 5 toneladas del material 2 para la producción, la
declaración matemática de la restricción 2 es:
0.2S ≤ 5 (7.3)

20. Restricción 3:
Toneladas del material 3 usado ≤ Toneladas del material 3 disponibles
Cada tonelada de aditivo de combustible que produzca RMC usará 0.6 toneladas del material 3; por
tanto, 0.6F toneladas del material 3 se emplean para producir F toneladas de aditivo. Del mismo
modo, cada tonelada de base para solvente que produzca RMC usará 0.3 toneladas del material 3; por
tanto, 0.3S toneladas del material 3 se emplean para producir S toneladas de base para solvente. Por
consiguiente, la cantidad de toneladas del material 3 usado para producir F toneladas de aditivo y S
toneladas de base es:
Toneladas de material 3 usado = 0.6F ₊ 0.3S
Debido a que se dispone de 21 toneladas del material 3 para la producción, la declaración matemática
de la restricción 3 es:
0.6F ₊ 0.3S ≤ 21 (7.4)

21. Agregar las restricciones de no negatividad. RMC no puede
producir una cantidad negativa de toneladas de aditivo para
combustible ni una cantidad negativa de toneladas de base para
solvente; por consiguiente, deben agregarse restricciones de no
negatividad para prevenir que las variables de decisión F y S tengan
valores negativos. Estas restricciones de no negatividad son:
F ≥ 0 y S ≥ 0
Las restricciones de no negatividad son una característica general de los
problemas de programación lineal y pueden escribirse de la forma
abreviada:
• F, S ≥ 0 (7.5)

22. Modelo matemático para el problema de RMC
Ahora está completa la formulación del problema. Hemos
tenido éxito en traducir la declaración verbal del problema
de RMC en el siguiente modelo matemático.
Max 40F ₊ 30S
Sujeto a (s.a)
0.4F ₊ 0.5S ≤ 20 Material 1
0.2S ≤ 5 Material 2
0.6F ₊ 0.3S ≤ 21 Material 3
F, S ≥ 0

23. Ahora, nuestro trabajo es encontrar la mezcla de productos
(es decir, la combinación de F y S) que satisfaga las
restricciones y, al mismo tiempo, produzca un valor
máximo para la función objetivo. Una vez que se han
calculado estos valores de F y S, habremos encontrado la
solución optima del problema.
Este modelo matemático del problema de RMC es un
programa lineal. Y una característica que lo hace un
programa lineal es que la función objetivo y todas las
funciones de restricciones (los lados izquierdos de las
desigualdades de restricción) son funciones lineales de las
variables de decisión.

24. Las funciones matemáticas en las que cada variable
aparece en un término separado y se eleva a la primera
potencia se llaman funciones lineales. Por tanto, las
formulación matemática se denomina programa lineal.
La programación lineal no tiene nada que ver con la
programación de computadoras. El uso de la palabra
programación aquí significa “elegir un curso de
acción” La programación lineal implica elegir un curso
de acción cuando el modelo matemático del problema
solo contiene funciones lineales.