Este documento proporciona información sobre proporcionalidad directa e inversa y cómo resolver problemas relacionados. Explica las definiciones de proporcionalidad directa e inversa, incluido cómo la constante de proporcionalidad permanece constante. Luego presenta ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar los conceptos. Finalmente, proporciona ejercicios de práctica para que los estudiantes apliquen los conceptos.
La mycoplasmosis aviar es una enfermedad contagiosa de las aves causada por bacterias del género Mycoplasma. Esencialmente, afecta a aves como pollos, pavos y otras aves de corral, causando importantes pérdidas económicas en la industria avícola debido a la disminución en la producción de huevos y carne, así como a la mortalidad.
3. RECORDEMOS…
DEFINICIÓN
Una proporción es directa, cuando las variables
que están en juego aumentan o disminuyen en la
misma razón.
El cuociente entre estas cantidades es constante y
recibe el nombre de constante de proporcionalidad.
Su gráfica representa una línea recta.
4. Con estos datos tenemos la siguiente tabla:
Cantidad de latas Costo en dinero
1 350
Como se aprecia, tenemos dos variables
la cantidad de latas y el costo en dinero,
2 700 en ambas los valores aumentan.
3 1050
4 1400
5 1750
6 2100
7 2450
8 2800
9 3150 El gráfico que describe el comportamiento
10 3500 de las variables es el siguiente:
EJEMPLO 1
Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo
tanto, necesitas 3500 pesos.
6. A partir de los datos de la tabla anterior determinemos el valor de la
Constante de proporcionalidad directa
(RECUERDA QUE PODEMOS CONFIRMARLO
CON LA RAZÓN O )
Cantidad de latas Costo en dinero Razón
(costo /cantidad)
Constante de
Proporcionalidad
1 350 350/1 350
2 700 700/2 350
3 1050 1050/3 350
4 1400 1400/4 350
5 1750 1750/5 350
6 2100 2100/6 350
7 2450 2450/7 350
8 2800 2800/8 350
9 3150 3150/9 350
10 3500 3500/10 350
cantidad de latas costo endinero
costo en dinero cantidad delatas
7. EJEMPLO 2
Si un automóvil recorre 100 kilómetros en 3 horas ¿Cuántos
kilómetros recorre en 10 horas?
PUEDO REPRESENTAR LA INFORMACIÓN DE DOS MANERAS
DIFERENTES QUE ME AYUDARÁN A ENTENDER MEJOR MI
PROBLEMÁTICA:
TABLA GRÁFICO
Kilómetros
100
200
300
X
400
Horas
3
6
9
10
12
8. FINALMENTE RESOLVEMOS
1° PASO (DATOS): 2° PASO (ECUACIÓN):
4° PASO (RESPUESTA):
El automóvil recorre
aproximadamente 333,3
Kilómetros en 10 horas.
KILÓMETROS HORAS
100
x
3
10
Si una variable sube la otra
también= Proporción Directa
10010 x 3
3° PASO (RESOLUCIÓN):
10010 x 3
1000
x
3
333,3 x
9. ALGUNOS EJERCICIOS PARA
PRACTICAR
Tres metros de género valen $ 800.
¿Cuánto valen ocho metros del mismo
género?
3 = 8 = 2133,3 aprox
800 x
Una moto recorre 120 metros en 4
segundos. ¿Qué distancia recorre en 52
segundos, si mantiene su rapidez
constante?
120 / 4 = x /52 = 1560 metros
10. Seis operarios cavan en 1 día una zanja de
80 metros de longitud. ¿Cuántos metros
cavarán, en un día, 42 operarios trabajando
las mismas condiciones?
Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A
esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar
$ 27.000?
11. PORCENTAJE
EJEMPLO:
En una multitienda realizan un ofertón por inauguración y
todos los productos están con el 35% de descuento, si
compro una juguera y un hervidor los cuales tenían el
precio original (sin descuento) $ 43.000 y $28.000
respectivamente. ¿ Cuánto pagué finalmente?, ¿Cuánto
ahorré?
¿CÓMO LO HARÍAS?
12. REPRESENTACIÓN DE
PORCENTAJES
PROPORCIÓN
DIRECTA
El 25% DE
3.500 ES
875
Un porcentaje puede ser representado de manera simbólica (%), proporcional,
fraccionaria o decimal. Nosotros en ésta unidad utilizaremos el cálculo de éste a
través de una proporción directa. Por ejemplo, para calcular el 25% de 3.500 se
tiene:
25% de 3.500
DATOS ECUACIÓN RESOLUCIÓN RESPUESTA
3.500 100%
x 25%
350025 x100
100
875 x
350025 x100
87500 x
13. EJERCICIOS TIPO
Generalmente nos preguntan por ciertos
porcentajes o cantidades correspondientes a
un porcentaje, las posibilidades son:
El a% de bes…
EJEMPLO: El 60% de 1480 es…
¿Qué porcentaje es ade b?
EJEMPLO: ¿Qué porcentaje es 25 de 2500?
aes el b% de …
EJEMPLO: 20 es el 15% de…
14. EJERCICIOS
El valor de un artículo en una tienda es de
$45.800, por un día se le aplica un descuento
del 12%, ¿a cuánto dinero corresponde el
descuento realizado?
La casa de Laura se incendió pero ella tenía contratado
un seguro que cubría el 80% de su valor total, por esta
razón, recibió por parte de la aseguradora $25.000.000.
¿Cuál era el valor original de su casa?
A Claudio le subieron el sueldo a partir del mes de
Marzo en un 12% con respecto al mes anterior. Si en el
mes de Marzo el sueldo que recibió fue de $364.000,
¿Cuánto ganaba en Febrero?
15. PROPORCIONALIDAD
INVERSA
El producto entre estas magnitudes es
constante, y recibe el nombre de constante
de proporcionalidad inversa.
Dicho de otra manera si una de las variables
aumenta, la otra disminuye; y si una de las
variables disminuye, la otra variable aumenta.
16. EJEMPLOS
Para excavar se ocuparon tres máquinas iguales trabajando 160 horas
cada una. ¿Cuánto tiempo se hubieran tardado 10 máquinas?
3
10
horas máquina
160
x
10 máquinas se habrían tardado 48 horas
10
48 x
1603 x10
480
x
17. Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para
compartir con el festejado. A la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir
la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a
cada uno, es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total.
Con estos datos tenemos siguiente tabla:
Como se aprecia, tenemos dos variables
invitados ( personas) y Trozos de torta
(%), en una los valores aumentan y en la
otra los valores disminuyen.
y a cada valor le corresponde un valor y
sólo uno en la otra.
El gráfico que describe el comportamiento
de las variables es el siguiente:
Invitados (personas) Trozos de torta (%)
1 100,00
2 50,00
3 33,33
4 25,00
5 20,00
6 16,66
7 14,28
8 12,50
9 11,11
10 10,00
11 9,09
12 8,33
19. Con la tabla anterior multiplica cada
par de valores de ambas variables.
Invitados (x) Porción de Torta (y) Producto x por y = c Constante de
proporcionalidad (c)
1 100,00 1 por 100,00 100
2 50,00 2 por 50,00 100
3 33,33 3 por 33,33 100
4 25,00 4 por 25,00 100
5 20,00 5 por 20,00 100
6 16,66 6 por 16,66 100
7 14,28 7 por 14,28 100
8 12,50 8 por 12,50 100
9 11,11 9 por 11,11 100
10 10,00 10 por 10 100
20. ALGUNOS EJERCICIOS PARA
PRACTICAR
8 albañiles tardan en hacer una obra 15
días y medio, ¿cuánto tardarían 11
albañiles?
Una persona tiene 30 vacas y alimento
almacenado para darles de comer durante
16 días. Vende 18 de ellas, ¿Cuántos días
puede alimentar a las que sobran con el
alimento que tiene?
21. Un ciclista que corre a una velocidad de 16
Km./h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al
próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase
una velocidad de 22 Km/h?
La tabla indica la cantidad de personas y los
días que demoran en realizar una
construcción. ¿ Cuántos días necesitarán para
la construcción si trabajan 10 personas?
Personas Días
200 400
64 1.250
40 2.000
20 4.000