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NIVELACIÓN
MATEMÁTICA
2014
Proporcionalidad Directa e
Inversa
y
Problemas de Planteo
RECORDEMOS…
DEFINICIÓN
 Una proporción es directa, cuando las variables
que están en juego aumentan o disminuyen en la
misma razón.
 El cuociente entre estas cantidades es constante y
recibe el nombre de constante de proporcionalidad.
 Su gráfica representa una línea recta.
Con estos datos tenemos la siguiente tabla:
Cantidad de latas Costo en dinero
1 350
Como se aprecia, tenemos dos variables
la cantidad de latas y el costo en dinero,
2 700 en ambas los valores aumentan.
3 1050
4 1400
5 1750
6 2100
7 2450
8 2800
9 3150 El gráfico que describe el comportamiento
10 3500 de las variables es el siguiente:
EJEMPLO 1
Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo
tanto, necesitas 3500 pesos.
GRÁFICO
A partir de los datos de la tabla anterior determinemos el valor de la
Constante de proporcionalidad directa
(RECUERDA QUE PODEMOS CONFIRMARLO
CON LA RAZÓN O )
Cantidad de latas Costo en dinero Razón
(costo /cantidad)
Constante de
Proporcionalidad
1 350 350/1 350
2 700 700/2 350
3 1050 1050/3 350
4 1400 1400/4 350
5 1750 1750/5 350
6 2100 2100/6 350
7 2450 2450/7 350
8 2800 2800/8 350
9 3150 3150/9 350
10 3500 3500/10 350
cantidad de latas costo endinero
costo en dinero cantidad delatas
EJEMPLO 2
Si un automóvil recorre 100 kilómetros en 3 horas ¿Cuántos
kilómetros recorre en 10 horas?
PUEDO REPRESENTAR LA INFORMACIÓN DE DOS MANERAS
DIFERENTES QUE ME AYUDARÁN A ENTENDER MEJOR MI
PROBLEMÁTICA:
TABLA GRÁFICO
Kilómetros
100
200
300
X
400
Horas
3
6
9
10
12
FINALMENTE RESOLVEMOS
1° PASO (DATOS): 2° PASO (ECUACIÓN):
4° PASO (RESPUESTA):
El automóvil recorre
aproximadamente 333,3
Kilómetros en 10 horas.
KILÓMETROS HORAS
100
x
3
10
Si una variable sube la otra
también= Proporción Directa
10010  x 3
3° PASO (RESOLUCIÓN):
10010  x 3
1000
 x
3
333,3  x
ALGUNOS EJERCICIOS PARA
PRACTICAR
 Tres metros de género valen $ 800.
¿Cuánto valen ocho metros del mismo
género?
3 = 8 = 2133,3 aprox
800 x

Una moto recorre 120 metros en 4
segundos. ¿Qué distancia recorre en 52
segundos, si mantiene su rapidez
constante?
120 / 4 = x /52 = 1560 metros
 Seis operarios cavan en 1 día una zanja de
80 metros de longitud. ¿Cuántos metros
cavarán, en un día, 42 operarios trabajando
las mismas condiciones?
 Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A
esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar
$ 27.000?
PORCENTAJE
 EJEMPLO:
En una multitienda realizan un ofertón por inauguración y
todos los productos están con el 35% de descuento, si
compro una juguera y un hervidor los cuales tenían el
precio original (sin descuento) $ 43.000 y $28.000
respectivamente. ¿ Cuánto pagué finalmente?, ¿Cuánto
ahorré?
¿CÓMO LO HARÍAS?
REPRESENTACIÓN DE
PORCENTAJES
PROPORCIÓN
DIRECTA
El 25% DE
3.500 ES
875
Un porcentaje puede ser representado de manera simbólica (%), proporcional,
fraccionaria o decimal. Nosotros en ésta unidad utilizaremos el cálculo de éste a
través de una proporción directa. Por ejemplo, para calcular el 25% de 3.500 se
tiene:
25% de 3.500
DATOS ECUACIÓN RESOLUCIÓN RESPUESTA
3.500 100%
x 25%
350025  x100
100
875  x
350025  x100
87500  x
EJERCICIOS TIPO
 Generalmente nos preguntan por ciertos
porcentajes o cantidades correspondientes a
un porcentaje, las posibilidades son:
El a% de bes…
EJEMPLO: El 60% de 1480 es…
¿Qué porcentaje es ade b?
EJEMPLO: ¿Qué porcentaje es 25 de 2500?
aes el b% de …
EJEMPLO: 20 es el 15% de…
EJERCICIOS



El valor de un artículo en una tienda es de
$45.800, por un día se le aplica un descuento
del 12%, ¿a cuánto dinero corresponde el
descuento realizado?
La casa de Laura se incendió pero ella tenía contratado
un seguro que cubría el 80% de su valor total, por esta
razón, recibió por parte de la aseguradora $25.000.000.
¿Cuál era el valor original de su casa?
A Claudio le subieron el sueldo a partir del mes de
Marzo en un 12% con respecto al mes anterior. Si en el
mes de Marzo el sueldo que recibió fue de $364.000,
¿Cuánto ganaba en Febrero?
PROPORCIONALIDAD
INVERSA
 El producto entre estas magnitudes es
constante, y recibe el nombre de constante
de proporcionalidad inversa.
 Dicho de otra manera si una de las variables
aumenta, la otra disminuye; y si una de las
variables disminuye, la otra variable aumenta.
EJEMPLOS
Para excavar se ocuparon tres máquinas iguales trabajando 160 horas
cada una. ¿Cuánto tiempo se hubieran tardado 10 máquinas?
3
10
horas máquina
160
x
10 máquinas se habrían tardado 48 horas
10
48  x
1603  x10
480
 x
Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para
compartir con el festejado. A la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir
la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a
cada uno, es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total.
Con estos datos tenemos siguiente tabla:
Como se aprecia, tenemos dos variables
invitados ( personas) y Trozos de torta
(%), en una los valores aumentan y en la
otra los valores disminuyen.
y a cada valor le corresponde un valor y
sólo uno en la otra.
El gráfico que describe el comportamiento
de las variables es el siguiente:
Invitados (personas) Trozos de torta (%)
1 100,00
2 50,00
3 33,33
4 25,00
5 20,00
6 16,66
7 14,28
8 12,50
9 11,11
10 10,00
11 9,09
12 8,33
GRÁFICO
Con la tabla anterior multiplica cada
par de valores de ambas variables.
Invitados (x) Porción de Torta (y) Producto x por y = c Constante de
proporcionalidad (c)
1 100,00 1 por 100,00 100
2 50,00 2 por 50,00 100
3 33,33 3 por 33,33 100
4 25,00 4 por 25,00 100
5 20,00 5 por 20,00 100
6 16,66 6 por 16,66 100
7 14,28 7 por 14,28 100
8 12,50 8 por 12,50 100
9 11,11 9 por 11,11 100
10 10,00 10 por 10 100
ALGUNOS EJERCICIOS PARA
PRACTICAR
 8 albañiles tardan en hacer una obra 15
días y medio, ¿cuánto tardarían 11
albañiles?
 Una persona tiene 30 vacas y alimento
almacenado para darles de comer durante
16 días. Vende 18 de ellas, ¿Cuántos días
puede alimentar a las que sobran con el
alimento que tiene?
 Un ciclista que corre a una velocidad de 16
Km./h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al
próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase
una velocidad de 22 Km/h?
 La tabla indica la cantidad de personas y los
días que demoran en realizar una
construcción. ¿ Cuántos días necesitarán para
la construcción si trabajan 10 personas?
Personas Días
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Proporcin directa e inversa problemas

  • 3. RECORDEMOS… DEFINICIÓN  Una proporción es directa, cuando las variables que están en juego aumentan o disminuyen en la misma razón.  El cuociente entre estas cantidades es constante y recibe el nombre de constante de proporcionalidad.  Su gráfica representa una línea recta.
  • 4. Con estos datos tenemos la siguiente tabla: Cantidad de latas Costo en dinero 1 350 Como se aprecia, tenemos dos variables la cantidad de latas y el costo en dinero, 2 700 en ambas los valores aumentan. 3 1050 4 1400 5 1750 6 2100 7 2450 8 2800 9 3150 El gráfico que describe el comportamiento 10 3500 de las variables es el siguiente: EJEMPLO 1 Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo tanto, necesitas 3500 pesos.
  • 6. A partir de los datos de la tabla anterior determinemos el valor de la Constante de proporcionalidad directa (RECUERDA QUE PODEMOS CONFIRMARLO CON LA RAZÓN O ) Cantidad de latas Costo en dinero Razón (costo /cantidad) Constante de Proporcionalidad 1 350 350/1 350 2 700 700/2 350 3 1050 1050/3 350 4 1400 1400/4 350 5 1750 1750/5 350 6 2100 2100/6 350 7 2450 2450/7 350 8 2800 2800/8 350 9 3150 3150/9 350 10 3500 3500/10 350 cantidad de latas costo endinero costo en dinero cantidad delatas
  • 7. EJEMPLO 2 Si un automóvil recorre 100 kilómetros en 3 horas ¿Cuántos kilómetros recorre en 10 horas? PUEDO REPRESENTAR LA INFORMACIÓN DE DOS MANERAS DIFERENTES QUE ME AYUDARÁN A ENTENDER MEJOR MI PROBLEMÁTICA: TABLA GRÁFICO Kilómetros 100 200 300 X 400 Horas 3 6 9 10 12
  • 8. FINALMENTE RESOLVEMOS 1° PASO (DATOS): 2° PASO (ECUACIÓN): 4° PASO (RESPUESTA): El automóvil recorre aproximadamente 333,3 Kilómetros en 10 horas. KILÓMETROS HORAS 100 x 3 10 Si una variable sube la otra también= Proporción Directa 10010  x 3 3° PASO (RESOLUCIÓN): 10010  x 3 1000  x 3 333,3  x
  • 9. ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICAR  Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género? 3 = 8 = 2133,3 aprox 800 x  Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 52 segundos, si mantiene su rapidez constante? 120 / 4 = x /52 = 1560 metros
  • 10.  Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones?  Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar $ 27.000?
  • 11. PORCENTAJE  EJEMPLO: En una multitienda realizan un ofertón por inauguración y todos los productos están con el 35% de descuento, si compro una juguera y un hervidor los cuales tenían el precio original (sin descuento) $ 43.000 y $28.000 respectivamente. ¿ Cuánto pagué finalmente?, ¿Cuánto ahorré? ¿CÓMO LO HARÍAS?
  • 12. REPRESENTACIÓN DE PORCENTAJES PROPORCIÓN DIRECTA El 25% DE 3.500 ES 875 Un porcentaje puede ser representado de manera simbólica (%), proporcional, fraccionaria o decimal. Nosotros en ésta unidad utilizaremos el cálculo de éste a través de una proporción directa. Por ejemplo, para calcular el 25% de 3.500 se tiene: 25% de 3.500 DATOS ECUACIÓN RESOLUCIÓN RESPUESTA 3.500 100% x 25% 350025  x100 100 875  x 350025  x100 87500  x
  • 13. EJERCICIOS TIPO  Generalmente nos preguntan por ciertos porcentajes o cantidades correspondientes a un porcentaje, las posibilidades son: El a% de bes… EJEMPLO: El 60% de 1480 es… ¿Qué porcentaje es ade b? EJEMPLO: ¿Qué porcentaje es 25 de 2500? aes el b% de … EJEMPLO: 20 es el 15% de…
  • 14. EJERCICIOS    El valor de un artículo en una tienda es de $45.800, por un día se le aplica un descuento del 12%, ¿a cuánto dinero corresponde el descuento realizado? La casa de Laura se incendió pero ella tenía contratado un seguro que cubría el 80% de su valor total, por esta razón, recibió por parte de la aseguradora $25.000.000. ¿Cuál era el valor original de su casa? A Claudio le subieron el sueldo a partir del mes de Marzo en un 12% con respecto al mes anterior. Si en el mes de Marzo el sueldo que recibió fue de $364.000, ¿Cuánto ganaba en Febrero?
  • 15. PROPORCIONALIDAD INVERSA  El producto entre estas magnitudes es constante, y recibe el nombre de constante de proporcionalidad inversa.  Dicho de otra manera si una de las variables aumenta, la otra disminuye; y si una de las variables disminuye, la otra variable aumenta.
  • 16. EJEMPLOS Para excavar se ocuparon tres máquinas iguales trabajando 160 horas cada una. ¿Cuánto tiempo se hubieran tardado 10 máquinas? 3 10 horas máquina 160 x 10 máquinas se habrían tardado 48 horas 10 48  x 1603  x10 480  x
  • 17. Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para compartir con el festejado. A la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a cada uno, es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total. Con estos datos tenemos siguiente tabla: Como se aprecia, tenemos dos variables invitados ( personas) y Trozos de torta (%), en una los valores aumentan y en la otra los valores disminuyen. y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra. El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente: Invitados (personas) Trozos de torta (%) 1 100,00 2 50,00 3 33,33 4 25,00 5 20,00 6 16,66 7 14,28 8 12,50 9 11,11 10 10,00 11 9,09 12 8,33
  • 19. Con la tabla anterior multiplica cada par de valores de ambas variables. Invitados (x) Porción de Torta (y) Producto x por y = c Constante de proporcionalidad (c) 1 100,00 1 por 100,00 100 2 50,00 2 por 50,00 100 3 33,33 3 por 33,33 100 4 25,00 4 por 25,00 100 5 20,00 5 por 20,00 100 6 16,66 6 por 16,66 100 7 14,28 7 por 14,28 100 8 12,50 8 por 12,50 100 9 11,11 9 por 11,11 100 10 10,00 10 por 10 100
  • 20. ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICAR  8 albañiles tardan en hacer una obra 15 días y medio, ¿cuánto tardarían 11 albañiles?  Una persona tiene 30 vacas y alimento almacenado para darles de comer durante 16 días. Vende 18 de ellas, ¿Cuántos días puede alimentar a las que sobran con el alimento que tiene?
  • 21.  Un ciclista que corre a una velocidad de 16 Km./h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase una velocidad de 22 Km/h?  La tabla indica la cantidad de personas y los días que demoran en realizar una construcción. ¿ Cuántos días necesitarán para la construcción si trabajan 10 personas? Personas Días 200 400 64 1.250 40 2.000 20 4.000