La distribución gamma es adecuada para modelizar variables aleatorias continuas con asimetría positiva. Tiene dos parámetros siempre positivos, α y β, que determinan su forma y alcance. α sitúa la máxima densidad de probabilidad, mientras que β determina la asimetría positiva. Para valores altos de α y bajos de β, la distribución gamma converge a la normal. Se usa para modelizar fenómenos como el tiempo entre sucesos o la finura de fibras.

1. DISTRIBUCIÓN GAMMA (Α, Β)
Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuas
con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la
izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre
positivos, (α) y (β) de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función
Gamma (Г) responsable de la convergencia de la distribución. Los parámetros de la distribución
El primer parámetro (α) sitúa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en algunas
fuentes se denomina la forma de la distribución: cuando se toman valores próximos a cero
aparece entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial. Cuando se toman
valores mas grandes de ((α) el centro de la distribución se desplaza a la derecha y va apareciendo
la forma de una campana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo parámetro (β) el que
determina la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidad de probabilidad
en la cola de la derecha. Para valores elevados de (β) la distribución acumula más densidad de
probabilidad en el extremo derecho de la cola, alargando mucho su dibujo y dispersando la
probabilidad a lo largo del plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de
probabilidad se va reduciendo; de aquí que se le denomine escala. Valores mas pequeños de (β)
conducen a una figura más simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidad
mas elevado.
Una forma de interpretar (β) es “tiempo promedio entre ocurrencia de un suceso”.
Relacionándose con el parámetro de la Poisson como β=1/λ. Alternativamente λ será el razón de
ocurrencia λ=1/β. La expresión también será necesaria más adelante para poder llevar a cabo el
desarrollo matemático.
Relación con otras distribuciones
Si se tiene un parámetro α de valores elevados y β pequeña, entonces la función Gamma
converge con la distribución normal. De media, y varianza. Cuando y β la distribución Gamma
es exactamente la distribución exponencial con parámetro (α=1). Cuando la proporción entre
parámetros es entonces la variable aleatoria se distribuye como una Chi-cuadrado con grados de
libertad. Si α=1, entonces se tiene la distribución exponencial negativa de parámetro λ=1/β.
Ventajas
De esta forma, la distribución Gamma es una distribución flexible para modelizar las formas de
la asimetría positiva, de las más concentradas y puntiagudas, a las más dispersas y achatadas.
Como ejemplos de variables que se comportan así:
• Número de individuos involucrados en accidentes de tráfico en el área urbana: es más
habitual que la mayoría de partes abiertos den la proporción de 1 herido por vehículo, que
otras proporciones superiores.

2. • Altura a la que se inician las precipitaciones; sucede de forma mas habitual precipitaciones
iniciadas a una altura baja, que iniciadas a gran altitud.
• Tiempo o espacio necesarios para observar X sucesos que siguen una distribución de
Poisson.
• - Distribución de la finura de fibras de lana: la mayoría presentan una menor finura que unas
pocas fibras más gruesas.
Inconvenientes
Problemas en la complejidad de algunos cálculos, especialmente respecto a la función Gamma
cuando el parámetro ƒ¿ es un valor no entero. También problemas de calculo en la estimación de
los parámetros muestrales. Ambos inconvenientes se pueden abordar satisfactoriamente con
ordenador. Para valorar la evolución de la distribución al variar los parámetros se tienen los
siguientes gráficos. Primero se comprueba que para α=1 la distribución tiene similitudes con la
exponencial.
Si ahora se hace variar el parámetro alfa:
Y para valores altos de α y pequeños de β, se observa la convergencia con la normal:

3. Como ya se ha indicado, la expresión de la distribución Gamma incluye la propia función Gamma,
que para valores enteros de alpha se ha demostrado que Г(α) = Г(α – 1) ! En este caso la
distribución Gamma se conoce como “distribución de Erlang”.
En general la función Gamma se la puede encontrar de la forma siguiente:
converge absolutamente, esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo excepto a los
enteros negativos y al cero.
Si n es un entero positivo, entonces
lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función Gamma
generaliza el factorial para cualquier valor complejo de n.
Quizá el valor más conocido de la función Gamma con argumento no negativo es
La cual puede obtenerse haciendo z = 1 / 2 en la fórmula de reflexión o en la fórmula de duplicación,
usando la relación de la función Gamma con la función beta dada más abajo con x = y = 1 / 2.
En general, para valores impares de n se tiene:
(n: impar)
donde n!! denota al doble factorial. Algunos valores de la función Gamma:
La familia de variables aleatorias Gamma son utilizadas frecuentemente para modelizar
experimentos aleatorios en los que interviene una magnitud temporal, y especialmente, como
veremos, surgen relacionadas con procesos de Poisson, donde α > 0 y β > 0

4. En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos
parámetros =αy = 1/β cuya función de densidad para valores es
Aquí es el número e y es la función gamma. Para valores aquella es
(el factorial de ). En este caso - por ejemplo para describir un proceso
de Poisson - se llaman la distribución Erlang con un parámetro .
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son
A continuación se muestran funciones de densidad de distribuciones Gamma para distintos valores
específicos de α = k, 1/β = ϴ.
Función de densidad de una variable Г(k = α, 1/β = ϴ)
La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la
ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que
mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma
con parámetros α > 0 (escala) y β > 0 (forma). Se denota Gamma (α, β).
Como toda función de densidad, debe cumplir una serie de propiedades que citamos a
continuación.
1.- f(x) . 0 para toda x R
2.- f(x) ha de ser integrable sobre cualquier intervalo [a,b] incluido en R

5. 3.- ∫ -∞ a + ∞ f(x)dx =1
Por tanto, para nuestro caso particular de la Distribución Gamma:
1.- f(x) es siempre > 0 ya que á y â deben ser siempre positivos.
2.- f(x) es siempre integrable sobre [a,b]
Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de
elementos físicos (tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es
muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo
en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).
Ejemplo 1
Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta
intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros
α =0,81 y β =7,81, calcúlese:

6. 1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.
Media 9,6420
Varianza 11,9037
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
Ejemplo 2.
Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos
ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas.
Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo
ciclo.
a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.
b. A más de dos desviaciones por encima de la media.
Solución:
X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo ,en horas.
Y: Número de ciclos / 100 horas ----Y ~P( =2) E(Y) = 2
Y': Número de ciclos / hora ---------Y'~P( =0.02) E(Y') = 0.02 =
X ~ G(2, 0.02)