El documento discute diferentes distribuciones de probabilidad como la Gamma, Erlang y exponencial. La distribución Gamma depende de dos parámetros λ y k y generaliza la distribución exponencial. La distribución Erlang se usa para modelar sistemas de servicio masivo como líneas telefónicas. También presenta fórmulas para calcular la media y varianza de la distribución Gamma.

2.  “Sirve de modelo para numerosos experimentos en donde
interviene el tiempo como sucede en la llegadas de aviones a un
aeropuerto y en general a los problemas de teoría de colas”1
Ejemplo:
Problemas de tráfico en líneas telefónicas, ERLANG, 1900.
 Problemas de Teoría de la confiabilidad
Ejemplo
Tiempo de falla de un sistema de componentes, cada uno falla
con frecuencia .
1.Estadística descriptiva e Inferencial, Antonio Vargas Sabadias

3. 
“– El tiempo ( ó espacio) requerido para observar ?
ocurrencias del evento A en el intervalo t ( ó región
del espacio ), sucesos del tipo Poisson.
– Flujos máximos, MARKOVIC, 1965.
– Resistencia de componentes del concreto
reforzado, TICHY VARLIETK, 1965.
– Altura de la precipitación mensual, WHITCOMB,
1940.
– Ingresos familiares.
– Edad del hombre al contraer matrimonio por
primera vez.
– Tiempo total para completar una operación, sí ésta
se lleva a cabo en subestaciones a una
frecuencia”2.
 2.http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/
cap3/cap_3_pag_13.html(12/11/10)

4. 4.BLANCO CASTAÑEDA LILIANA, Probabilidad, ,Unibiblos,2004 Bogotá Colombia , pág. 144-145

5.  Una variable aleatoria x tiene una distribución
Gamma si su densidad de probabilidad esta dada
por:
0k0,,x0
)(
)( 1


 




kx
ex
k
xF

6.  Esta distribución continua depende de dos
parámetros
  parámetro que varia la forma de la distribución
 k parámetro que varia la escala de la distribución
 Parámetros en R
 A continuación veremos una breve explicación de la
función gamma que interviene en la definición de la
distribución gamma

7. 3.HOFMAN JOSEPH EHRENFRIED, Historia de la Matematica,limusa,2002, México DF, pág. 280

8. Función Gamma
o Función factorial o Integral Euleriana de Segunda
especie
Es una función que extiende el concepto de factorial a
los números complejos.
Si k es un numero entero positivo entonces
)!1()(  




0
1
0x0)( kdxex xk


9.  Demostración
vamos a integrar por partes
y sucesivamente
() = ( -1)( -2)( -3)...(1), pero
(1) = 1 por integración directa.
( +1) =  ()
(5)=4 (4) =4.3 (3)=4.3.2 (2)=4.3.2 (1)=4.3.2.1




0
2
)1()1()1()(  
dxex x
x-2
-x1
-ev)1(
edv




dxxdu
dxxu




10. Distribución exponencial caso particular cuando =1 y
sabiendo que (1)=1
kx
kx
kx
kx
keXF
ex
k
XF
ex
k
XF
ex
k
XF










)(
1
)(
)1(
)(
)(
)(
0
11
1
1



12. Distribución Erlang
Fue desarrollada para examinar el número de las
llamadas telefónicas que se pudieron hacer al mismo
tiempo a los operadores de las estaciones de
conmutación. Este trabajo sobre el teléfono (Ingeniería
de trafico) se ha ampliado para considerar tiempos de
espera dentro de sistemas que hacen cola en general.
La distribución ahora se utiliza en el campo de procesos
estocásticos.
Se aplica en modelos de sistemas de servicio masivo,
Ejemplo: En situaciones donde el servicio tiene que
realizar dos operaciones c/u con tiempo de servicio
exponencial.
http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Erlang_distribution(19/11/10 20:34pm)

13.  MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN
GAMMA
 = E[X] = , 2 = V[X] = 2

14. El tiempo en horas que semanalmente requiere una
máquina
para mantenimiento es una variable aleatoria con
distribución
Gamma con parámetros =3, =2
a)Encuentre la probabilidad que en alguna semana el
tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas

15. 22
213
3
1
16
1
)3(2
1
)(
1
)(
x
x
x
ex
ex
exXF









 


Solución
Sea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria)
Su densidad de probabilidad es:

16. Probabilidad de que el tiempo de mantenimiento sea
mayor a 8 horas
El área
Resaltada
corresponde
a P(x>8)
2381.0
16
1
1)8(1
8
0
22
 

dxexxP
x

19. Sintaxis
DISTR.GAMMA( x,
alfa,beta,acumulativo)
X es el valor al que se desea evaluar la
distribución.
Alfa es un parámetro de forma la
distribución.
Beta es un parámetro de la escala
distribución.
Acumulado es un valor lógico que
determina la forma de la función. Si
acumulado es VERDADERO,
DISTR.GAMMA devuelve la función de
distribución acumulada, si es FALSE,
devuelve la función de densidad de
probabilidad.

21. 2.Si el costo de mantenimiento en dólares es
Siendo X el tiempo de mantenimiento, encuentre
el costo promedio de mantenimiento
Solución:
Nos solicitan el costo promedio ósea la esperanza de la
función de costo
2
230 xxC 
  623.][
][2][30
]230[][
2
2



xE
xExE
xxECE

22. dolares276)48(2)6(30][
)
2
(48
16
1
16
1
)(][
0
24
0
222
0
22













cE
x
ydosustituyen
dxex
dxexx
dxXFxxE
x
x

23.  Estadística descriptiva e Inferencial, Antonio
Vargas Sabadias
 http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/40
30011/lecciones/cap3/cap_3_pag_13.html(12/11/10
17:56)
 http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Erlang_distributi
on(19/11/10 20:34pm)
 http://office.microsoft.com/en-us/excel-help/gammadist-
HP005209101.aspx?CTT=1(18/11/10 18:53)