Puentes LRFD - Ing Arturo Rodríguez

PUENTES
Con AASHTO-LRFD 2010
(Fifth Edition)

Por
MC Ing. Arturo Rodríguez Serquén

Perú- 2012

ing_ars@hotmail.com

PUENTES

MC Ing. Arturo Rodríguez Serquén
E-mail: ing_ars@hotmail.com

Derechos Reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier método,
total o parcialmente, sin permiso expreso del autor.

Perú- Abril 2012

Contenido

1 Consideraciones Generales

2 Cargas

3 Superestructuras de Puentes

4 Dispositivos de Apoyo

5 Estribos

6 Pilares

7 Líneas de Influencia

I-1
PUENTES Y OBRAS DE ARTE Ing. Arturo Rodríguez Serquén

CAP I: CONSIDERACIONES GENERALES
1. DEFINICIÓN
Un puente es una obra que se construye para salvar un obstáculo dando así
continuidad a una vía. Suele sustentar un camino, una carretera o una vía férrea,
pero también puede transportar tuberías y líneas de distribución de energía.
Los puentes que soportan un canal o conductos de agua se llaman acueductos.
Aquellos construidos sobre terreno seco o en un valle, viaductos. Los que cruzan
autopistas y vías de tren se llaman pasos elevados.
Constan fundamentalmente de dos partes:
a) La superestructura conformada por: tablero que soporta directamente las
cargas; vigas, armaduras, cables, bóvedas, arcos, quienes transmiten las
cargas del tablero a los apoyos.
b) La infraestructura conformada por: pilares (apoyos centrales); estribos (apoyos
extremos) que soportan directamente la superestructura; y cimientos,
encargados de transmitir al terreno los esfuerzos.

I-2

2. CLASIFICACIÓN
A los puentes podemos clasificarlos:

a) Según su función:
− Peatonales
− Carreteros
− Ferroviarios
b) Por los materiales de construcción
− Madera
− Mampostería
− Acero Estructural
− Sección Compuesta
− Concreto Armado
− Concreto Presforzado
c) Por el tipo de estructura
− Simplemente apoyados
− Continuos
− Simples de tramos múltiples
− Cantilever (brazos voladizos)
− En Arco
− Atirantado (utilizan cables rectos que atirantan el tablero)
− Colgantes
− Levadizos (basculantes)
− Pontones (puentes flotantes permanentes)

3. UBICACIÓN Y ELECCIÓN DEL TIPO DE PUENTE
Los puentes son obras que requieren para su proyecto definitivo estudiar los
siguientes aspectos:
a. Localización de la estructura o ubicación en cuanto a sitio, alineamiento,
pendiente y rasante.
b. Tipo de puente que resulte más adecuado para el sitio escogido, teniendo en
cuenta su estética, economía, seguridad y funcionalidad.
c. Forma geométrica y dimensiones, analizando sus accesos, superestructura,
infraestructura, cauce de la corriente y fundaciones.
d. Obras complementarias tales como: barandas, drenaje de la calzada y de los
accesos, protección de las márgenes y rectificación del cauce, si fuera
necesario forestación de taludes e iluminación.
e. En caso de obras especiales conviene recomendar sistemas constructivos,
equipos, etapas de construcción y todo aquello que se considere necesario
para la buena ejecución y estabilidad de la obra.

4. ESTUDIOS BÁSICOS DE INGENIERÍA PARA EL DISEÑO DE PUENTES

a. Estudios topográficos
Posibilitan la definición precisa de la ubicación y dimensiones de los elementos
estructurales, así como información básica para los otros estudios.
b. Estudios de hidrología e hidráulicos
Establecen las características hidrológicas de los regímenes de avenidas
máximas y extraordinarias y los factores hidráulicos que conllevan a una real
apreciación del comportamiento hidráulico del río.

I-3

c. Estudios geológicos y geotécnicos
Establecen las características geológicas, tanto locales como generales de las
diferentes formaciones geológicas que se encuentran, identificando tanto su
distribución como sus características geotécnicas correspondientes.
d. Estudios de riesgo sísmico
Tienen como finalidad determinar los espectros de diseño que definen las
componentes horizontal y vertical del sismo a nivel de la cota de cimentación.
e. Estudios de impacto ambiental
Identifican el problema ambiental, para diseñar proyectos con mejoras
ambientales y evitar, atenuar o compensar los impactos adversos.
f. Estudios de tráfico
Cuando la magnitud de la obra lo requiera, será necesario efectuar los estudios
de tráfico correspondiente a volumen y clasificación de tránsito en puntos
establecidos, para determinar las características de la infraestructura vial y la
superestructura del puente.
g. Estudios complementarios
Son estudios complementarios a los estudios básicos como: instalaciones
eléctricas, instalaciones sanitarias, señalización, coordinación con terceros y
cualquier otro que sea necesario al proyecto.
h. Estudios de trazo y diseño vial de los accesos
Definen las características geométricas y técnicas del tramo de carretera que
enlaza el puente en su nueva ubicación con la carretera existente.
i. Estudio de alternativas a nivel de anteproyecto
Propuesta de diversas soluciones técnicamente factibles, para luego de una
evaluación técnica-económica, elegir la solución más conveniente.

5. GEOMETRÍA

a. Sección transversal
El ancho de la sección transversal de un puente no será menor que el ancho del
acceso, y podrá contener: vías de tráfico, vías de seguridad (bermas), veredas,
ciclovía, barreras y barandas, elementos de drenaje.

I-4

b. Ancho de vía (calzada)
Siempre que sea posible, los puentes se deben construir de manera de poder
acomodar el carril de diseño estándar y las bermas adecuadas.
El número de carriles de diseño se determina tomando la parte entera de la
relación w/3.6, siendo w el ancho libre de calzada (m).
Los anchos de calzada entre 6.00 y 7.20 m tendrán dos carriles de diseño,
cada uno de ellos de ancho igual a la mitad del ancho de calzada.
c. Bermas
Una berma es la porción contigua al carril que sirve de apoyo a los vehículos que
se estacionan por emergencias. Su ancho varía desde un mínimo de 0.60 m en
carreteras rurales menores, siendo preferible 1.8 a 2.4 m, hasta al menos 3.0
m, y preferentemente 3.6 m, en carreteras mayores. Sin embargo debe tenerse
en cuenta que anchos superiores a 3.0 m predisponen a su uso no autorizado
como vía de tráfico.
d. Veredas
Utilizadas con fines de flujo peatonal o mantenimiento. Están separadas de la
calzada adyacente mediante un cordón barrera, una barrera (baranda para tráfico
vehicular) o una baranda combinada. El ancho mínimo de las veredas es 0.75 m.

I-5

e. Cordón barrera
Tiene entre otros propósitos el control del drenaje y delinear el borde de la vía
de tráfico. Su altura varía en el rango de 15 a 20 cm, y no son adecuados para
prevenir que un vehículo deje el carril.
f. Barandas
Se instalan a lo largo del borde de las estructuras de puente cuando existen
pases peatonales, o en puentes peatonales, para protección de los usuarios. La
altura de las barandas será no menor que 1.10 m, en ciclovías será no menor
que 1.40 m.
Una baranda puede ser diseñada para usos múltiples (caso de barandas
combinadas para peatones y vehículos) y resistir al choque con o sin la acera.
Sin embargo su uso se debe limitar a carreteras donde la velocidad máxima
permitida es 70 km/h. Para velocidades mayores o iguales a 80 km/h, para
proteger a los peatones es preferible utilizar una barrera.

g. Barreras de concreto (o barandas para tráfico vehicular)
Su propósito principal es contener y corregir la dirección de desplazamiento de
los vehículos desviados que utilizan la estructura, por lo que deben estructural y
geométricamente resistir al choque. Brindan además seguridad al tráfico
peatonal, ciclista y bienes situados en las carreteras y otras áreas debajo de la
estructura. Deben ubicarse como mínimo a 0.60 m del borde de una vía y como
máximo a 1.20 m. En puentes de dos vías de tráfico puede disponerse de una
barrera como elemento separador entre las vías.
No debe colocarse barandas peatonales (excepto barandas diseñadas para usos
múltiples) en lugar de las barreras, pues tienen diferente función. Mientras las
barandas evitan que los peatones caigan del puente, las barreras contienen y
protegen el tránsito vehicular.

I-6

h. Pavimento
Puede ser rígido o flexible y se dispone en la superficie superior del puente y
accesos. El espesor del pavimento se define en función al tráfico esperado en la
vía.
i. Losas de transición
Son losas de transición con la vía o carretera, apoyadas en el terraplén de
acceso. Se diseñan con un espesor mínimo de 0.20 m.

j. Drenaje
La pendiente de drenaje longitudinal debe ser la mayor posible,
recomendándose un mínimo de 0.5%.
La pendiente de drenaje transversal mínima es de 2% para las superficies de
rodadura.
En caso de rasante horizontal, se utilizan también sumideros o lloraderos, de
diámetro suficiente y número adecuado. Son típicos drenes de material
anticorrosivo, ∅ 0.10 m cada 0.40 m, sobresaliendo debajo de la placa 0.05
m como mínimo. El agua drenada no debe caer sobre las partes de la estructura.

k. Gálibos
Los gálibos horizontal y vertical para puentes urbanos serán el ancho y la altura
necesarios para el paso del tráfico vehicular. El gálibo vertical no será menor
que 5.00 m.
En zonas rurales, el gálibo vertical sobre autopistas principales será al menos de
5.50 m. En zonas altamente desarrolladas puede reducirse, previa justificación
técnica.
Los gálibos especificados pueden ser incrementados si el asentamiento pre-
calculado de la superestructura excede los 2.5 cm.

I-7

En puentes sobre cursos de agua, se debe considerar como mínimo una altura
libre de 1.50 m a 2.50 m sobre el nivel máximo de las aguas.
Los puentes construidos sobre vías navegables deben considerar los gálibos de
navegación de esas vías; a falta de información precisa, el gálibo horizontal
podrá ser, por lo menos, dos veces el ancho máximo de las embarcaciones, más
un metro.

l. Juntas de dilatación
Para permitir la expansión o la contracción de la estructura por efecto de los
cambios de temperatura, se colocan juntas en sus extremos y otras secciones
intermedias en que se requieran. Las juntas deben sellarse con materiales
flexibles, capaces de tomar las expansiones y contracciones que se produzcan y
ser impermeables.

6. NORMATIVIDAD
• AASHTO LRFD Bridge Design Specifications, American Association of State
Highway and Transportation Officials, Washington, D.C., 2010.
• Manual de Diseño de Puentes, Dirección General de Caminos y Ferrocarriles,
Ministerio de Transportes y Comunicaciones, Lima, Perú, 2003.

I-8

I-
APÉNDICE I-A

EQUIVALENCIA DE UNIDADES

1 kgf = 9.807 N
1N = 0.10197 kgf

1 N-mm = 1.0197 x 10-2 kgf-cm
1 kgf-cm = 98.07 N-mm

1 N/mm = 1.0197 x 102 kgf/m
1 kgf/m = 9.807 x 10-3 N/mm

1 kgf/cm2 = 0.09807 MPa
1 MPa = 10.197 kgf/cm2 = 1.0197 x 105 kgf/m2

II-1

CAP II: CARGAS
1. CARGAS PERMANENTES (DC, DW y EV)

DC= Peso propio de los componentes estructurales y accesorios no
estructurales
DW= Peso propio de las superficies de rodamiento e instalaciones para servicios
públicos
EV= Presión vertical del peso propio del suelo de relleno

Tabla 3.5.1-1 Densidades
3.5.1-
Material Densidad (kg/m3)
Concreto
Agregados de baja densidad y arena 1925
Normal, con f’c ≤ 357 kg/cm2 2320
Normal, con 357 < f’c ≤ 1071 kg/cm2 2240+2.29f’c
Armado Densidad Concreto Simple+ 72 kg/m3
Superficies de rodamiento bituminosas 2250
Acero 7850
Hierro fundido 7200
Aleaciones de aluminio 2800
Arena, limo o arcilla compactados 1925
Arena, limo o grava sueltos 1600
Arcilla blanda 1600
Grava, macadan o balasto compactado a rodillo 2250
Madera dura 960
Madera blanda 800
Rieles para tránsito, durmientes y fijadores por vía 300 kg/m

2. SOBRECARGAS VIVAS (LL y PL) (Art. 3.6.1.2)
LL= sobrecarga vehicular
PL= sobrecarga peatonal

HL-
Carga HL-93:

1.-Camión de diseño:

La distancia entre los dos ejes más pesados se toma como aquella que, estando
entre los límites de 4.30m y 9.00m., resulta en los mayores efectos.

II-2

2.-Tandem de diseño:

3.-Carga de carril de diseño:

0.96 T/m
3.0 m

CARGA DE CARRIL

NOTAS
a) La sobrecarga vehicular de diseño es considerada como una combinación de:
Camión de diseño o tandem de diseño + Carga de carril de diseño.
b) Para momento negativo entre puntos de contraflexión bajo carga uniforme,
así como en la reacción de pilares interiores se considera: 90 por ciento
de la solicitación debida a dos camiones de diseño separados como mínimo
15 m entre el eje delantero de un camión y el eje trasero del otro,
combinada con 90 por ciento de la solicitación debida a la carga del carril
de diseño.

Presencia de Múltiples Sobrecargas (Art. 3.6.1.1.2)

La solicitación extrema correspondiente a sobrecargas se determinará
considerando las posibles combinaciones de carriles cargados, multiplicando por
un factor de presencia múltiple. No es aplicable al estado límite de fatiga.

Tabla 3.6.1.1.2-1 Factor de Presencia Múltiple
3.6.1.1.2
1.2-
Número de carriles Factor de presencia
cargados múltiple, m
1 1.20
2 1.00
3 0.85
>3 0.65

Para el estado de Fatiga, se utiliza un camión de diseño, y las
solicitaciones de los Art. 4.6.2.2 y 4.6.2.3 se deberán dividir por 1.20

Incremento por Carga Dinámica: IM (Art. 3.6.2)

Los efectos estáticos del camión o tandem de diseño, a excepción de
las fuerzas centrífugas y de frenado, se deberán mayorar en los siguientes
porcentajes:

II-3

Tabla 3.6.2.1-1 Incremento por Carga Dinámica,
3.6.2.1- IM
Componente IM
Juntas del tablero – Todos los Estados Límites 75%
Todos los demás componentes
Estado Límite de fatiga y fractura 15%
Todos los demás Estados Límites 33%
Nota.- No se aplica a cargas peatonales ni a cargas de carril de diseño.
Tampoco en muros de sostenimiento no solicitados por reacciones verticales de
la superestructura ni en componentes de fundaciones que estén completamente
por debajo del nivel del terreno.

En caso de componentes enterrados como en el caso de alcantarillas, el
porcentaje se deberá tomar como:

IM = 33(1.0 – 4.1DE) ን 0%

Siendo DE = profundidad mínima de la cubierta de tierra sobre la estructura (m).

3. FUERZAS CENTRÍFUGAS: CE (Art. 3.6.3)

Se toman como el producto entre los pesos por eje del camión o tandem de
diseño y el factor C, dado por:
V2
C = 0.0105 (3.6.3-1)
R
Siendo:
V = velocidad de diseño de la carretera (km/h)
R = radio de curvatura del carril de circulación (m)

Las fuerzas centrífugas se aplican horizontalmente a una distancia de 1.80
m sobre la calzada. Se deben aplicar además los factores de presencia
múltiple.

4. FUERZA DE FRENADO: BR (Art. 3.6.4)
Se toma como el mayor valor de:
• 25 por ciento de los pesos por eje del camión o tandem de diseño
• 5 por ciento del camión o tandem de diseño más la carga de carril

La fuerza de frenado se debe ubicar en todos los carriles de diseño que se
consideren cargados y que transporten tráfico en la misma dirección. Se aplicarán
los factores de presencia múltiple. Se asumirá que estas fuerzas actúan
horizontalmente a una distancia de 1.80 m sobre la superficie de la calzada.

5. CARGA SOBRE VEREDAS, BARANDAS Y SARDINELES
Sobrecargas en Veredas (Art. 3.6.1.6)
Se deberá aplicar una carga peatonal de 367 kg/m2 en todas las aceras de más de
0.60m de ancho, y esta carga se deberá considerar simultáneamente con la
sobrecarga vehicular de diseño. Cuando la condición de carga incluya cargas
peatonales combinadas con uno o más carriles con sobrecarga vehicular, las cargas
peatonales se pueden considerar como un carril cargado (Art. 3.6.1.1.2).
Los puentes peatonales se diseñarán para una sobrecarga de 418 kg/m2.

II-4

Nota.- El Manual de Diseño de Puentes – Perú (Art. 2.4.3.7), señala al respecto
Nota.-
que los puentes para uso peatonal y para el tráfico de bicicletas se diseñan para
una carga viva de 510 kg/m². Así mismo, refiere:

Fuerzas sobre Sardineles (Art. 2.4.3.6.2)
Los sardineles se diseñarán para resistir una fuerza lateral no menor que 760 kg
por metro de sardinel, aplicada en el tope del sardinel o a una elevación de 0.25 m
sobre el tablero si el sardinel tuviera mayor altura.

Fuerza sobre Barandas (Art. 2.4.3.6.3)
PL-1 Primer nivel de importancia
Usado en estructuras cortas y de bajo nivel sobre puentes rurales y áreas
donde el número de vehículos pesados es pequeño y las velocidades son
reducidas.
PL-2 Segundo nivel de importancia
Usado en estructuras grandes y velocidades importantes en puentes urbanos
y en áreas donde hay variedad de vehículos pesados y las velocidades son las
máximas tolerables.
PL-3 Tercer nivel de importancia
Usado para autopistas con radios de curvatura reducidos, pendientes
variables fuertes, un volumen alto de vehículos pesados y con velocidades
máximas tolerables. Justificación específica de este tipo de lugar será hecho
para usar este nivel de importancia.

Fuerzas de Diseño para Barandas (Tabla 2.4.3.6.3-1, Manual de Diseño de Puentes- Perú)
2.4.3.6.3- Puentes-

Designación de Fuerzas Por niveles de importancia de Puentes
y Designaciones PL-1 PL-2 PL-3
Ft transversal (t) 12.3 24.5 52.6
Fl longitudinal (t) 4.1 8.2 17.6
Fv vertical abajo (t) 2.05 8.2 22.64
Lt y Ll (m) 1.22 1.07 2.44
Lv (m) 5.50 5.50 12.2
He mín (m) 0.51 0.81 1.02
Mínima altura del pasamano (m) 0.51 0.81 1.02

II-5

6. FUERZA DE COLISIÓN DE UN VEHÍCULO: CT (Art. 3.6.5)

Los estribos y pilas de puentes ubicados a 9.0 m o menos del borde de la
calzada, o a 15.0 m o menos de la línea de centro de una vía ferroviaria, se
deberán diseñar para una fuerza estática equivalente de 183.5 t, la cual se asume
actúa en cualquier dirección en un plano horizontal, a una altura de 1.2 m sobre el
nivel del terreno.
No es necesario aplicar esta fuerza, en el caso de estructuras protegidas por
terraplenes o barreras antichoques.

7. CARGAS HIDRÁULICAS: WA (Art. 3.7)

Hidrostática.
Presión Hidrostática.- Actúa de forma perpendicular a la superficie, y se calcula
como el producto entre la altura de la columna de agua sobre el punto considerado,
la densidad del agua y g (aceleración de la gravedad).

Flotabilidad.
Flotabilidad.- Fuerza de levantamiento tomada como la sumatoria de las
componentes verticales de las presiones hidrostáticas. Actúa sobre todos los
componentes debajo del nivel de agua.

Presión de Flujo.- La presión de flujo de agua, actuando en la dirección longitudinal
Flujo.
de las subestructuras, se tomará como:

p = 52.4CDV2 (3.7.3.1-1)
Donde:
p = presión del agua (kg/m2)
v= velocidad del agua para la inundación de diseño (resistencia y servicio) y
para la inundación de control (evento extremo), en m/s
CD = coeficiente de arrastre para pilas

3.7.3.1-
Tabla 3.7.3.1-1 Coeficiente de Arrastre
Tipo CD
Pila con borde de ataque semicircular 0.7
Pila de extremo cuadrado 1.4
Arrastres acumulados contra la pila 1.4
Pila con borde de ataque en forma de
cuña, ángulo del borde de ataque ≤ 90° 0.8

La fuerza de arrastre longitudinal será el producto entre la presión de flujo
longitudinal y la proyección de la superficie expuesta a dicha presión.

Carga Lateral.- La presión lateral uniformemente distribuida que actúa sobre una
Lateral.
subestructura debido a un caudal de agua que fluye formando un ángulo θ respecto
del eje longitudinal de la pila será:

p = 52.4CLV2 (3.7.3.2-1)
Donde:
p = presión lateral (kg/m2)
CL = coeficiente de arrastre lateral

II-6

3.7.3.2- Lateral
Tabla 3.7.3.2-1 Coeficiente de Arrastre Lateral
Ángulo θ CL
0° 0
5° 0.5
10° 0.7
20° 0.9
ን 30° 1.0

Carga del Oleaje.- Se deberá considerar si se anticipa que se pueden desarrollar
Oleaje.
fuerzas de oleaje significativas.
Socavación.
Socavación.- Se deberá considerar en los estados límites de resistencia y servicio.

8. CARGA DE VIENTO: WL y WS (Art. 3.8)

Presión Horizontal del Viento.- La carga de viento se asume está uniformemente
Viento.
distribuida sobre el área expuesta al viento. Para puentes a más de 10 m sobre el
nivel del terreno o del agua, la velocidad de viento de diseño se deberá ajustar
con:
V10 Z
VDZ = 2.5V0 ( ) ln( ) (3.8.1.1-1)
VB Z0
Donde:
VDZ = velocidad del viento de diseño a la altura de diseño Z (km/h)
V0 = velocidad friccional (km/h)
V10 = velocidad del viento a 10 m sobre el nivel del terreno o agua de diseño
(km/h). En ausencia de datos V10 = VB =160 km/h
VB = velocidad básica del viento igual a 160 km/h a una altura de 10 m
Z0 = longitud de fricción del fetch o campo de viento aguas arriba (m)
Z = altura de la estructura > 10 m

Tabla 3.8.1.1-1 Valores de V0 y Z0
3.8.1.1-
8.1.1
CONDICIÓN TERRENO ÁREA ÁREA
ABIERTO SUBURBANA URBANA
V0 (km/h) 13.2 17.6 19.3
Z0 (m) 0.07 1.00 2.50

Presión de Viento sobre las Estructuras: WS

VDZ 2 VDZ 2
PD = PB ( ) = PB ( ) (3.8.1.2.1-1)
VB 25600

PD = presión del viento de diseño
PB = presión básica del viento

Tabla 3.8.1.2.1-1 Presiones básicas PB correspondientes a VB = 160 km/h
COMPONENTE DE CARGA A CARGA A
LA SUPERESTRUCTURA BARLOVENTO SOTAVENTO
(kg/m2) (kg/m2)
Reticulados, columnas y arcos 245 122
Vigas 245 No Aplicable
Grandes superficies planas 194 No Aplicable

II-7

La carga de viento total no se deberá tomar menor que 449 kg/m en el plano de un
cordón a barlovento ni 224 kg/m en el plano de un cordón a sotavento de un
componente reticulado o en arco, ni se deberá tomar menor que 449 kg/m en
componentes de vigas o vigas cajón.

Cargas de las Superestructuras.- Si el viento no se considera normal a la
Superestructuras.
estructura, la presión básica del viento PB para diferentes ángulos de dirección del
viento se puede tomar según la Tabla. El ángulo de oblicuidad se deberá medir a
partir de una perpendicular al eje longitudinal. Las presiones transversal y
longitudinal se deberán aplicar simultáneamente.

Tabla 3.8.1.2.2-1 PB para diferentes ángulos de ataque (VB = 160 km/h)
Ángulo de Reticulados, Vigas
oblicuidad columnas y arcos
del viento Carga Carga Carga Carga
(°) lateral longitudinal lateral longitudinal
Kg/m2 Kg/m2 Kg/m2 Kg/m2
0 367 0 245 0
15 347 61 214 31
30 316 133 204 61
45 235 204 163 82
60 112 245 82 92

Fuerzas Aplicadas Directamente a la Subestructura.- Las fuerzas transversales y
Directamente Subestructura.
longitudinales a aplicar directamente a la subestructura se deberán calcular en base
a una presión básica del viento supuesta de 194 Kg/m2. Para direcciones del viento
oblicuas respecto de la estructura, esta fuerza se deberá resolver en componentes
perpendiculares a las elevaciones posterior y frontal de la subestructura.

Presión de Viento sobre los Vehículos: WL
Si hay vehículos presentes, la presión del viento de diseño se aplicará tanto a la
estructura como a los vehículos. La presión del viento sobre los vehículos se debe
representar como una fuerza interrumpible y móvil de 149 kg/m actuando normal a la
calzada y 1.80m sobre la misma, y se deberá transmitir a la estructura.
Si el viento sobre los vehículos no es normal a la estructura, las componentes de
fuerza normal y paralela aplicadas a la sobrecarga viva se pueden tomar como:

Tabla 3.8.1.3-1 Componentes del viento sobre la sobrecarga viva
Ángulo de oblicuidad Componente Componente
respecto a la normal normal Paralela
a la superficie (°) (kg/m) (kg/m)
0 149 0
15 131 18
30 122 36
45 98 48
60 51 56

Presión Vertical del Viento.- En el diseño de puentes y componentes estructurales
Viento.
que pueden ser sensibles al viento, se debe considerar una fuerza de viento vertical
ascendente de 100 kg/m2 por el ancho del tablero, incluyendo los parapetos y
aceras, como una carga lineal longitudinal. Se debe aplicar sólo para los estados

II-8

límites que no involucran viento actuando sobre la sobrecarga, y sólo cuando la
dirección del viento se toma perpendicular al eje longitudinal del puente. Se aplicará
en el punto correspondiente a un cuarto del ancho del tablero a barlovento
juntamente con las cargas de viento horizontales especificadas.

Inestabilidad Aeroelástica.- Todos los puentes y componentes estructurales de
Aeroelástica
lástica.
ello, cuya relación longitud de tramo / ancho o profundidad sea superior a 30, se
deberán considerar sensibles al viento, y por lo tanto deberán considerar en su
diseño, solicitaciones aeroelásticas.

Nota.- El Manual de Diseño de Puentes – Perú (Art. 2.4.3.10), refiere que para
Nota.-
puentes con una altura de 10m o menos, medida desde el nivel del agua o desde
la parte más baja del terreno, se supondrá velocidad del viento constante. Para
alturas mayores se determina con:

 z 
Vz = C V Ln
10  ≥V
 10
 zo 

donde:
VZ = velocidad del viento a la altura z (km/h)
V10 = velocidad de referencia, correspondiente a z=10m.
z = altura por encima del nivel del terreno o del agua (m).
C, z0= constantes dadas en la Tabla 2.4.3.10.1

Tabla 2.4.3.10.1-1 Valores de las constantes C, z0
.10.1-
0.1
CONDICIÓN PUEBLOS SUBURBANOS CIUDAD
ABIERTOS
C (km/h) 0.330 0.380 0.485
z0 (m) 0.070 0.300 0.800

La presión de viento se calcula con:

2
V 
P = PB  DZ 
100 

donde:
P = presión del viento (kg/m²)
Vz = velocidad de viento (km/h) a la altura z
PB = presión básica correspondiente a una velocidad de 100 km/h, dada en la
Tabla 2.4.3.10.2-1

Tabla 2.4.3.10.2-1 Presiones básicas correspondientes a una velocidad de
2.4.3.10.2-
100km/h
Componente Estructural
Componente Presión por Presión por
Barlovento Sotavento (kg/m2)
(kg/m2)
Armaduras, columnas y arcos 153 76.5
Vigas 153 No Aplicable
Superficies de pisos largos 122 No Aplicable

II-9

9. EFECTOS SÍSMICOS: EQ (Art. 3.10)

Las fuerzas sísmicas serán evaluadas por cualquier procedimiento racional de
análisis. Se supondrá que las acciones sísmicas horizontales actúan en cualquier
dirección. Cuando sólo se analiza en dos direcciones ortogonales , los efectos
máximos serán estimados como la suma de los valores absolutos obtenidos para el
100% de la fuerza sísmica en una dirección y 30% de la fuerza sísmica en dirección
perpendicular.

Coeficiente de Aceleración.- El coeficiente A se determina en base a los mapas de
Aceleración.
iso-aceleración con un 10% de nivel de excedencia para 50 años de vida útil.

Estructuras.
Categorización de las Estructuras.-
Los puentes se clasifican en tres categorías de importancia:
• Puentes críticos: deben quedar operativos después de la ocurrencia de un gran
sismo
• Puentes esenciales: deben quedar operativos después de la ocurrencia de un
sismo
• Otros puentes

II-10

Sísmico.
Zonas de Comportamiento Sísmico.-

3.10.4-
Tabla 3.10.4-1 Zonas Sísmicas
Coeficiente de Zona Sísmica
Aceleración
A ≤ 0.09 1
0.09 < A ≤ 0.19 2
0.19 < A ≤ 0.29 3
0.29 < A 4

Condiciones Locales.-
Locales.

3.10.5.1-
Tabla 3.10.5.1-1 Coeficientes de Sitio
Coeficiente de Sitio Tipo de Perfil de Suelo
I II III IV
S 1.0 1.2 1.5 2.0

Suelo Perfil Tipo I
Roca de cualquier característica, o arcilla esquistosa o cristalizada en estado
natural. Condiciones de suelo rígido donde la profundidad del suelo es menor a
60 m y los tipos de suelos sobre la roca son depósitos estables de arenas,
gravas o arcillas rígidas.
Suelo Perfil Tipo II
Es un perfil compuesto de arcilla rígida o estratos profundos de suelos no
cohesivos donde la altura del suelo excede los 60 m, y los suelos sobre las
rocas son depósitos estables de arenas, gravas o arcillas rígidas.
Suelo Perfil Tipo III
Es un perfil con arcillas blandas a medianamente rígidas y arenas, caracterizado
por 9 m o más de arcillas blandas o medianamente rígidas con o sin capas
intermedias de arena u otros suelos cohesivos.
Suelo Perfil Tipo IV
Es un perfil con arcillas blandas o limos cuya profundidad es mayor a los 12 m.

Sísmica
Coeficiente de Respuesta Sísmica Elástica Csn

1.2AS
C sn = ≤ 2.5A (3.10.6-1)
Tn2 / 3

Tn = periodo de vibración del enésimo modo
A = coeficiente de aceleración
S = coeficiente de sitio

Para puentes sobre perfiles de suelo tipo III o IV y en áreas donde el coeficiente A
es mayor o igual a 0.30, Csn debe ser menor o igual a 2.0A.
Para suelos tipo III y IV, y para otros modos distintos al modo fundamental el cual
tenga periodos menores a 0.3s, Csn deberá tomarse como:

Csn = A(0.8 + 4.0 Tn ) (3.10.6.2-1)

II-11

Si el periodo de vibración para cualquier modo excede 4.0s, el valor de Csn para
ese modo deberá tomarse como:

0.75
Csn = 3AS Tn (3.10.6.2-2)

Factor de Modificación de Respuesta
Las fuerzas de diseño sísmico para sub-estructuras y las conexiones entre las
partes de la estructura, se determinarán dividiendo las fuerzas resultantes de un
análisis elástico por el factor de modificación de respuesta R apropiado. Si un
método de análisis tiempo-historia inelástico es usado, el factor de modificación de
respuesta R será tomado como 1.0 para toda la sub-estructura y conexiones.

Tabla 3.10.7.1-1 Factores de Modificación de Respuesta R – Subestructura
SUB-ESTRUCTURA IMPORTANCIA
CRÍTICA ESENCIAL OTROS
Pilar tipo placa de gran dimensión 1.5 1.5 2.0
Pilotes de concreto armado
• Sólo pilotes verticales 1.5 2.0 3.0
• Grupo de pilotes incluyendo pilotes inclinados 1.5 1.5 2.0
Columnas individuales 1.5 2.0 3.0
Pilotes de acero o acero compuesto con concreto
• Sólo pilotes verticales 1.5 3.5 5.0
• Grupo de pilotes incluyendo pilotes inclinados 1.5 2.0 3.0
Columnas múltiples 1.5 3.5 5.0

Tabla 3.10.7.1-2 Factores de Modificación de Respuesta R – Conexiones
CONEXIONES PARA TODAS LAS
CATEGORÍAS DE
IMPORTANCIA
Superestructura a estribo 0.8
Juntas de expansión dentro de la 0.8
superestructura
Columnas, pilares o pilotes a las vigas 1.0
cabezal o superestructura
Columnas o pilares a la cimentación 1.0

TU,
10. VARIACIONES DE TEMPERATURA: TU, TG (Art. 2.4.3.9 Manual de Diseño de
Puentes - Perú)

TU: temperatura uniforme
TG: gradiente de temperatura

II-12

Tabla 2.4.3.9.1-1 (Manual de Diseño de Puentes – Perú)
Rangos de Temperatura (°C)

Material Costa Sierra Selva
Concreto armado o 10° a 40°C -10° a +35°C 10° a 50°C
presforzado
Acero 5° a 50°C -20° a +50°C 10° a 60°C
Madera 10° a 40°C -10° a +35°C 10° a 50°C

La temperatura de referencia será la temperatura ambiente promedio durante las 48
horas antes del vaciado del concreto o antes de la colocación de aquellos
elementos que determinan la hiperestaticidad de la estructura.

Gradiente de Temperatura
En superestructuras de concreto o de acero con tablero de concreto, se supondrá
un gradiente de temperatura, adicionalmente a los cambios de temperatura
especificados.
Las diferencias de temperatura T1 y T2 corresponderán a los valores positivos
dados en la tabla, o a valores negativos obtenidos multiplicando aquellos de la Tabla
por –0.5.

(Tabla 2.4.3.9.2-1 (Manual de Diseño de Puentes – Perú)
Temperaturas que definen los Gradientes (°C)
Región Sin Asfalto 5 cm Asfalto 10 cm Asfalto
T1 T2 T1 T2 T1 T2
Costa 40 15 35 15 30 15
Sierra 40 5 35 5 30 5
Selva 50 20 45 20 40 20

11. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD (Art. 3.11)
EH: Empuje horizontal del suelo
ES: sobrecarga de suelo
LS: sobrecarga viva
DD: fricción negativa

(Se trata con más detalle en el CAPV: ESTRIBOS).

Debida consideración se tomará también por las siguientes solicitaciones sobre la
estructura de puente, en caso de ocurrencia:
12. CARGAS DE HIELO: IC
13. SOLICITACIONES PROVOCADAS POR DEFORMACIONES SUPERPUESTAS:
SH, CR, SE
SH: contracción
CR: fluencia lenta
SE: asentamiento
14. FUERZAS FRICCI0NALES: FR
15. COLISIÓN DE EMBARCACIONES: CV

II-13

FACTORES DE CARGA Y COMBINACIONES DE
CARGAS (Art. 3.4)
La solicitación mayorada total se tomará como:

Q = Σn i γ i Q i (3.4.1-1)
ηi = modificador de las cargas
Qi = solicitación
γii = factor de carga

Estados Límites:

• RESISTENCIA I – Combinación básica de cargas que representa el uso vehicular
normal del puente, sin viento.
• RESISTENCIA II – Combinación de cargas que representa el uso del puente por
parte de vehículos de diseño especiales especificados por el propietario, vehículos
de circulación restringida, o ambos, sin viento.
• RESISTENCIA III – Combinación de cargas que representa el puente expuesto a
vientos de velocidades superiores a 90 km/h.
• RESISTENCIA IV – Combinación de cargas que representa relaciones muy elevadas
entre las solicitaciones provocadas por las cargas permanentes y las provocadas
por las sobrecargas.
• RESISTENCIA V – Combinación de cargas que representa el uso del puente por
parte de vehículos normales con una velocidad del viento de 90 km/h.
• EVENTO EXTREMO I – Combinación de cargas que incluye sismos.
• EVENTO EXTREMO II – Combinación de cargas que incluye carga de hielo, colisión
de embarcaciones y vehículos, y ciertos eventos hidráulicos con una sobrecarga
reducida diferente a la que forma parte de la carga de colisión de vehículos, CT.
• SERVICIO I – Combinación de cargas que representa la operación normal del puente
con un viento de 90 km/h, tomando todas las cargas a sus valores normales.
• SERVICIO II – Combinación de cargas cuya intención es controlar la fluencia de las
estructuras de acero y el resbalamiento que provoca la sobrecarga vehicular en las
conexiones de resbalamiento crítico.
• SERVICIO III – Combinación de cargas relacionada exclusivamente con la tracción en
superestructuras de hormigón pretensado, cuyo objetivo es controlar la fisuración.
• SERVICIO IV – Combinación de cargas relacionada exclusivamente con la tracción en
subestructuras de hormigón pretensado, cuyo objetivo es controlar la fisuración.
• FATIGA – Combinación de cargas de fatiga y fractura que se relacionan con la
sobrecarga gravitatoria vehicular respectiva y las respuestas dinámicas bajo un
único camión de diseño.

El Diseño por Factores de Carga y Resistencia (LRFD) requiere satisfacer la siguiente
ecuación:
ΣηγiQi ኢ φRn = Rr

Para cargas para las cuales un valor máximo de γi es apropiado:

η = ηD ηR ηI ን 0.95

II-14

Para cargas para las cuales un valor mínimo de γi es apropiado:
1
η= ≤ 1.0
η D η R ηI
siendo:
γi = factor de carga
φ = factor de resistencia
η = factor de modificación de las cargas
ηD = factor relacionado con la ductilidad
ηR = factor relacionado con la redundancia
ηI = factor relacionado con la importancia operativa
Qi = solicitación
Rn = resistencia nominal
Rr = resistencia mayorada = φRn

Ductilidad.-
Ductilidad.-
El sistema estructural de un puente se debe dimensionar y detallar de manera de
asegurar el desarrollo de deformaciones inelásticas significativas y visibles en los
estados límites de resistencia y correspondientes a eventos extremos antes de la falla.
Para el estado límite de resistencia:
nD ኑ 1.05 para elementos y conexiones no dúctiles
= 1.00 para diseños y detalles convencionales
ኑ 0.95 para elementos y conexiones para los cuales se han especificado medidas
adicionales para mejorar la ductilidad más allá de lo requerido por las
Especificaciones.

Para todos los demás estados límites: nD = 1.00
Redundancia.-
Redundancia.-
A menos que existan motivos justificados para evitarlas se deben usar
estructuras continuas y con múltiples recorridos de cargas.
Los principales elementos y componentes cuya falla se anticipa provocará el
colapso del puente se deben diseñar como elementos de falla crítica y el sistema
estructural asociado como sistema no redundante.
Los elementos y componentes cuya falla se anticipa no provocará el colapso del
puente se deben diseñar como elementos de falla no crítica y el sistema estructural
asociado como sistema redundante.

nR ኑ 1.05 para elementos no redundantes
= 1.00 para niveles convencionales de redundancia
ኑ 0.95 para niveles excepcionales de redundancia

Para todos los demás estados límites: nR = 1.00
Operativa.-
Importancia Operativa.-
Aplicable exclusivamente a los estados límites de resistencia y correspondientes
a eventos extremos.
nI ኑ 1.05 para puentes importantes
= 1.00 para puentes típicos
ኑ 0.95 para puentes de relativamente poca importancia

Para todos los demás estados límites: nI = 1.00

II-15

Notas.-
- El mayor de los dos valores especificados para los factores de carga a aplicar a
TU, CR y SH se deberá utilizar para las deformaciones, y el menor valor se deberá
utilizar para todas las demás solicitaciones.
- El factor de carga para sobrecarga γ EQ en la combinación de Evento Extremo I se
deberá determinar en base a las características específicas de cada proyecto. En
ediciones anteriores de AASHTO se usaba γ EQ = 0 , y aunque este tema no ha
sido resuelto, se debería considerar la posibilidad de sobrecarga parcial con

II-16

sismos, es decir γ EQ < 1.0 , siendo razonable γ EQ = 0.5 para un amplio rango de
valores de tráfico.
- Los factores de carga γ TG y γ SE se deben adoptar en base a las características
específicas de cada proyecto. γ TG se puede tomar si no hay información: 0.0 en
estados límites de resistencia y evento extremo, 1.0 en estado límite de servicio
cuando no se considera la sobrecarga, y 0.50 en el estado límite de servicio
cuando se considera la sobrecarga.

Denominación de las Cargas

Cargas Permanentes:

DD = fricción negativa (downdrag)
DC = peso propio de los componentes estructurales y accesorios no estructurales
DW= peso propio de las superficies de rodamiento e instalaciones para servicios
públicos
EH = empuje horizontal del suelo
EL = tensiones residuales acumuladas resultantes del proceso constructivo,
incluyendo las fuerzas secundarias del postensado
ES = sobrecarga de suelo
EV = presión vertical del peso propio del suelo de relleno

Cargas Transitorias:

BR = fuerza de frenado de los vehículos
CE = fuerza centrífuga de los vehículos
CR = fluencia lenta
CT = fuerza de colisión de un vehículo
CV = fuerza de colisión de una embarcación
EQ = sismo
FR = fricción
IC = carga de hielo
IM = incremento por carga vehicular dinámica
LL = sobrecarga vehicular
LS = sobrecarga de la carga viva
PL = sobrecarga peatonal
SE = asentamiento
SH = contracción
TG = gradiente de temperatura
TU = temperatura uniforme
WA = carga hidráulica y presión del flujo de agua
WL = viento sobre la sobrecarga
WS = viento sobre la estructura

II-17

II-
APÉNDICE II-A

MÁXIMO MOMENTO DE FLEXIÓN EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA PARA UN
TREN DE CARGAS (Teorema de Barré)

Bisecando la distancia entre la resultante de un tren de cargas y la carga más próxima a
ella, por un eje que pasa por el centro de luz, el máximo momento de flexión en una viga
simplemente apoyada se encuentra casi siempre bajo la carga más próxima a la
resultante. En caso de igualdad de distancias, se ubica bajo la carga más pesada.

En efecto, en el tren de cargas mostrado, tomando momentos en el punto donde
incide la carga P3 tenemos:
R= P
P P P P P
1 2 3 4 5
b b
1 2

A B

R R(L-x-e)
= x e (L-x-e)
A L

L

R (L x e)
MP 3 = x P (b1 + b2 )
1 P2b2
L

dMP 3
Para MP 3 = máx, =0
dx

R
[ 1 x) + (L
( x e )] = 0
L
L e
x=
2

Es decir:
L
P P P P P
1 2 3 4 5
b b
1 2

A B

Mmáx R= P
R R(L-x-e)
= x=(L-e)/2 e/2 x=(L-e)/2
A L
e/2

L/2 L/2

II-18

II-
APÉNDICE II-B

II-19

II-
APÉNDICE II-C

II-20

II-
APÉNDICE II-D

LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS CONTINUAS DE TRES TRAMOS IGUALES

m L L L n

0.4L

E A F B C D G

4
Tramo EA ( − m ≤ x ≤ 0) MB = − x
15

4 3 4
Tramo AB (0 ≤ x ≤ L ) MB = x − x
15 L2 15

1 3 9 2 46 8L
Tramo BC (L ≤ x ≤ 2L ) MB = − 2
x + x − x+
3L 5L 15 5

1 3 3 2 26 8L
Tramo CD (2L ≤ x ≤ 3L ) MB = x − x + x−
15 L2 5L 15 5

1 L
Tramo DG (3L ≤ x ≤ 3L + n) MB = − x+
15 5

II-21

37
Tramo EA ( − m ≤ x ≤ 0) MF = x
75

8 37
Tramo AF (0 ≤ x ≤ 0.4L ) MF = 2
x3 + x
75 L 75

8 38 2L
Tramo FB (0.4L ≤ x ≤ L ) MF = 2
x3 − x+
75 L 75 5

2 54 2 92 48 L
Tramo BC (L ≤ x ≤ 2L ) MF = − 2
x3 + x − x+
15 L 75 L 75 75

2 6 2 52 48 L
Tramo CD (2L ≤ x ≤ 3L ) MF = 2
x3 − x + x−
75 L 25 L 75 75

2 6L
Tramo DG (3L ≤ x ≤ 3L + n) MF = − x+
75 75

II-22

8
Tramo EA ( − m ≤ x ≤ 0) RB = x
5L

3 3 8
Tramo AB (0 ≤ x ≤ L ) RB = − 3
x + x
5L 5L

1 3 24 2 32 8
Tramo BC (L ≤ x ≤ 2L ) RB = x − 2 x + x−
L3 5L 5L 5

2 3 18 2 52 48
Tramo CD (2L ≤ x ≤ 3L ) RB = − 3
x + 2 x − x+
5L 5L 5L 5

2 6
Tramo DG (3L ≤ x ≤ 3L + n) RB = x−
5L 5

II-23

II-
APÉNDICE II-E
VEHÍCULOS DE CIRCULACIÓN NACIONAL - PESOS Y MEDIDAS MÁXIMAS PERMITIDAS
CIRCULACIÓ

II-24

II-25

II-26

II-27

II-28

II-29

II-30

II-31

PROBLEMAS
PROBLEMA II.1 Utilizando la carga HL-93 calcular en un puente simplemente apoyado
HL-
de 25.0 m de longitud para el estado limite de Resistencia: 1) el momento por
momento
sobrecarga que ocurre en el centro de luz; 2) el momento máximo por sobrecarga.

Solución.-
Solución.-

1) Momento por sobrecarga que ocurre en el centro de luz

1.A) Camión de Diseño

Utilizando la línea de influencia de momento flector para la sección central del
puente, posicionamos el camión HL-93 de manera que se generen los máximos
valores como se muestra:
CL
3.6 T 14.8 T 14.8 T
4.30 4.30

A B

12.5 m 12.5 m

LI de MC.L.
4.10m
4.10m

12.5m x12.5m
=6.25m
25m

El momento flector por camión en el centro de luz es:

MC.L. = 3.6T( 4.10m) +14.8 T(6.25m) +14.8 T( 4.10m) = 167.94 T − m

1.B) Tandem de Diseño

De modo similar se tiene para el tándem:
CL
11.2 T 11.2 T

1.20

A B

12.5 m 12.5 m

LI de MC.L.
5.65m
6.25m

II-32

MC.L. = 11.2T(6.25m) +11.2T(5.65m) = 133.28 T − m

1.C) Carga de carril

En este caso hallamos el momento en el centro de luz multiplicando el valor de la
carga distribuida por el área respectiva en la línea de influencia:

CL
960 kg/m
A B

12.5 m 12.5 m

LI de MC.L.

6.25m

MC.L. = 0.96T / m (½ x 25m x 6.25m) = 75 T − m

Debemos combinar ahora el camión o tándem de diseño con la carga de carril. En este
caso escogemos, por ser crítica, la combinación: camión de diseño con carga de carril
considerando además el incremento por carga dinámica del 33% para la carga de
camión.
Mmáx(LL+IM) = 167.94T-m(1.33)+75 T-m= 298.36 T-m ፼
298.36

2) Momento máximo por sobrecarga

2.A) Camión de Diseño

Ubicamos en el camión HL-93 la posición de la resultante tomando momentos en el
tercer eje:

Z(33.2T)= 4.30m(14.8T)+8.60m(3.6T)
Z= 2.85m

Luego, la distancia de 1.45m se dispone en partes iguales con respecto al centro
de luz.

Se tendrá la siguiente disposición de cargas:

3.6 T 14.8 T 14.8 T
4.30 4.30
1.45 Z=2.85

R=33.2 T

II-33

c
L
3.6 T 14.8 T 14.8 T
4.30 4.30

0.725 0.725

A B
Mmáx
X=11.775 m R
12.5 m 12.5 m

R=15.64 T
A

El momento máximo ocurre bajo la carga más cercana a la resultante, a x=11.775m
del apoyo izquierdo:

Mmáx = 15.64T( .775m) − 3.6T(4.30m) = 168.68 T-m
11

2.B) Tandem de Diseño

Se muestra la posición de momento máximo:

c
L
11.2 T 11.2 T

0.30
.60

0.30
A B

Mmáx
R=22.4 T

12.5 m 12.5 m

R=10.93 T
A

Mmáx = 10.93T( .5m
12 0.30m) = 133.35 T-m

2.C) Carga de carril

Debemos combinar ahora el camión o tándem de diseño con la carga de carril. En
este caso escogemos, por ser crítica, la combinación: camión de diseño con carga
de carril, en la posición X= 11.775m del apoyo izquierdo:

0.96 T/m
A B

Mcarril
X=11.775 m

12.5 m 12.5 m

R=12 T
A

II-34

0.96T / m( .775m)2
11
Mcarril = 12T( .775m) −
11
2
Mcarril = 74.75 t-m

Considerando el incremento por carga dinámica para la carga de camión tenemos:

Mmáx(LL+IM) = 168.68(1.33)+74.75 = 299.03 T-m ፼
T-

(En el Apéndice II-B, para L=25.00 m se obtiene Mmáx(LL+IM) = 299.05 T-m ፼, en
299.05
X=11.78m )

PROBLEMA II.2 Calcular en el problema anterior, la reacción máxima por sobrecarga
II.2
provocada por una carga HL-93
provocada HL-

Solución.-
Solución.-

A) Camión de Diseño
14.8 T 14.8 T 3.6 T
4.30 4.30

A B

25 m

R=29.42 T
A

B) Tandem de Diseño
11.2 T 11.2 T

1.20

A B

25 m

R=21.86 T
A

C) Carga de carril
960 kg/m
A B

25 m

R=12 T
A

Luego RA máx (LL+IM) = 29.42(1.33)+12 = 51.13 T-m ፼
T-

(En el Apéndice II-B, para L=25.00 m se obtiene RA máx (LL+IM) = 51.12 T-m ፼ )

II-35

PROBLEMA II.3 Comparar en un puente simplemente apoyado de 14 m. de
longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por el
vehículo T3S3 y por la carga HL-93.
HL-

Solución.-
Solución.-

a) Momento por sobrecarga

a.1) Vehículo T3S3

• Determinamos la ubicación de la resultante del tren de cargas suponiendo
que los 6 ejes se encuentran sobre el puente:

11.35 m

8.33 T
7T 9T 9T 8.33 T 8.33 T 239.94 Tm
3.50 1.20 4.25 1.20 1.20 X= = 4.80m
50T

R=50 T

Para localizar el punto de momento máximo, bisecamos la distancia que hay
entre la resultante y el eje más cercano a ella, por el eje central de la viga:

L
C
8.33 T
7T 9T 9T 8.33 T 8.33 T
3.50 1.20 4.25 1.20 1.20

1.85 2.40
0.925 0.925
A B

X = 4.80 m
Mmáx
1.375 1.275

R=21.70 T R=50 T
A
7.00 7.00

II-36

El momento por sobrecarga máximo será:

Ms/c = 21.70T(6.075m) - 7T(4.70m) - 9T(1.2m) = 88.106 T-m

• Determinamos la ubicación de la resultante del tren de cargas suponiendo
ahora que sólo 5 ejes se encuentran sobre el puente:
7.85 m

8.33 T
9T 9T 8.33 T 8.33 T
1.20 4.25 1.20 1.20 160.488 Tm
X= = 3.732 m
43T

R=43 T
Para localizar el punto de momento máximo, bisecamos la distancia que hay
entre la resultante y el eje más cercano a ella, por el eje central de la viga:

L
C
8.33 T
9T 9T 8.33 T 8.33 T
2.216 1.20 4.25 1.20 1.20

0.666
A 0.666 B

Mmáx
6.334m
R=43 T

R=23.55 T R=19.45 T
A B
7.00 7.00


Ms/c = 19.45T(6.334m) – 8.33T(1.20m) - 8.33T(2.40m) = 93.21 T-m

Tomando el mayor de los momentos e incrementando por carga dinámica para el
estado límite de Resistencia con IM=0.33, tenemos:

Ms/c+IM = 93.21 T-m x 1.33 = 123.97 T-m

a.2) Carga HL-93
HL-

De la Tabla del Apéndice II-B, para L=14.00 m:

MS/C+IM = 126.87 T-m
126

En este caso el momento provocado por la carga HL-93, es mayor que el
producido por el vehículo T3S3.

II-37

b) Reacción máxima por sobrecarga

b.1) Vehículo T3S3

La máxima reacción ocurre posicionando el vehículo de la siguiente manera:

8.33 T
8.33 T 8.33 T 9T 9T 7T
1.20 1.20 4.25 1.20 3.50

A B

2.65

R=32.85 T
A 14.00

Luego, RA máx = 32.85 T

Incrementando por carga dinámica para el estado límite de Resistencia con
IM=0.33, tenemos:

Rs/c+IM = 32.85 T x 1.33 = 43.69 T

a.2
a.2) Carga HL-93
HL-


RA máx = 41.89 T

En este caso la reacción provocada por la carga HL-93, es menor que la producida
por el vehículo T3S3.

II-38

PROBLEMA II.4 Comparar en un puente simplemente apoyado de 25 m. de
II.4
longitud, el momento y reacción máxima por sobrecarga provocados por dos
vehículos T3S3 distanciados 9.00m como se muestra, y por la carga HL-93.
HL-

Solución.-
Solución.-

a) Momento por sobrecarga

a.1) Vehículo T3S3

Determinamos primero la ubicación de la resultante del tren de cargas que puede
posicionarse en la longitud de 25 m.:

20.35

8.33 T
7T 9T 9T 8.33 T 8.33 T 7T
3.50 1.20 4.25 1.20 1.20 9.00

R=57 T

Tomando momentos en el último eje, tenemos:

57T(X) = 8.33T(9.0m)+8.33T(10.20m)+8.33T(11.40m)+9T(15.65m)+
9T(16.85m) + 7T(20.35m)

Con lo que la resultante se ubica en:

689.85 Tm
X= = 12.10 m
57T

II-39

Para localizar el punto de momento máximo, bisecamos la distancia que hay entre la
resultante y el eje más cercano a ella, por el eje central de la viga:

L
C
8.33 T
7T 9T 9T 8.33 T 8.33 T 7T
3.50 1.2 4.25 1.2 1.2 9.00

.35 .35

A B
Mmáx

R=57 T
3.90 0.75

R=29.30 T
A 12.50 12.50


Ms/c = 29.30T(12.85m) - 9T(4.25m) - 9T(5.45m) – 7T(8.95m)

Ms/c = 226.56 T-m

Considerando el incremento por carga dinámica para el estado límite de
Resistencia, IM=0.33, tenemos:

Ms/c+IM = 226.56 T-m x 1.33 = 301.32 T-m
301.

a.2
a.2) Carga HL-93
HL-


MS/C+IM = 299.05 T-m
99.

En este caso el momento provocado por el vehículo T3S3, es mayor que el
producido por la carga HL-93.

b) Reacción máxima por sobrecarga

b.1) Vehículo T3S3

La máxima reacción ocurre posicionando el vehículo de la siguiente manera:

II-40

8.33 T 8.33 T
8.33 T 8.33 T 9T 9T 7T 8.33 T 8.33 T
1.20 1.20 4.25 1.20 3.50 9.00 1.20 1.20

A B

2.25

R=43.84 T
A 25.00

Luego, RA máx = 43.84 T

Incrementando por carga dinámica para el estado límite de Resistencia con
IM=0.33, tenemos:

Rs/c+IM = 43.84 T x 1.33 = 58.31 T

b.2) Carga HL-93
HL-


RA máx = 51.12 T

En este caso la reacción provocada por dos vehículos T3S3, es mayor que la
producida por la carga HL-93.

II-41

PROBLEMA II.5 En un puente continuo de dos tramos iguales de 10 m. de
II.5
longitud cada uno, calcular el máximo momento positivo y negativo por
cada
sobrecarga provocados por la carga HL-93.
HL-

A B C

10 m 10 m

Solución.-
Solución.-

a) Máximo momento positivo
Observando los gráficos del Apéndice II-C determinamos que el máximo momento
positivo en todo el puente ocurre a 0.4L de un apoyo exterior. Utilizando tal línea
de influencia se puede comprobar que la combinación crítica es de tándem y
sobrecarga distribuida. Buscando provocar el máximo esfuerzo, posicionamos el
tándem como se muestra en la figura. La sobrecarga distribuida la aplicamos sólo en
el área positiva del gráfico. La combinación de camión y sobrecarga distribuida, por
provocar esfuerzos menores, no es considerada.

El momento por tándem de diseño es:

(+)Mtándem = 11.2T(2.064m) + 11.2T(1.541m) = 40.38 T-m

El momento por la sobrecarga distribuida en el primer tramo es:

(+)Ms/c distrib = 0.96 T/m (9.525 m²) = 9.14 T-m

II-42

El momento positivo por sobrecarga máximo, considerando el incremento por carga
dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es:

(+)Ms/c+IM = 40.38 T-m x 1.33 + 9.14 T-m = 62.85 T-m
T-

b) Máximo momento negativo
El máximo momento negativo en todo el puente ocurre en el apoyo central.
Utilizando la línea de influencia para momento en dicho apoyo se comprueba que la
combinación crítica es de camión y sobrecarga distribuida. Buscando provocar el
máximo esfuerzo, posicionamos el camión de diseño con los ejes posteriores en las
ordenadas máximas, tal como se muestra en la figura. Quedarán estos ejes
separados 8.452 m. La sobrecarga distribuida la aplicamos en ambos tramos. La
combinación de tándem y sobrecarga distribuida, por provocar esfuerzos menores,
no es considerada.

El momento por camión de diseño es:

(-) Mcamión= 3.6T(-0.360m)+14.8T(-0.962m) +14.8T(-0.962m) = -29.77 T-m

El momento por sobrecarga distribuida es:

(-)Ms/c distrib = 0.96 T/m (-12.375 m²) = -11.88 T-m

El momento negativo por sobrecarga máximo, considerando el incremento por
carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es:

(-)Ms/c+IM = -29.77 T-m x 1.33 – 11.88 T-m = -51.47 T-m
T-

II-43

NOTA.- Utilizando el programa de cómputo QConBridge, se obtiene la envolvente de
NOTA.-
momentos por carga viva de manera gráfica y tabularmente. Como se aprecia,
dividiendo cada tramo en diez secciones, el máximo momento positivo por carga viva
ocurre en la sección x= 0.4 L, con un valor de +616.289x10³ N-m (+62.82 T-m). El
N- T-
máximo momento negativo ocurre en el apoyo central, con un valor de -504.489x10³
N-m (-51.43 T-m). Los resultados son similares a +62.85 T-m y -51.47 T-m, valores
T- T- T-
obtenidos analíticamente.

II-44

PROBLEMA II.6 En un puente continuo de tres tramos iguales de 20 m. de
II.6
longitud cada uno, calcular en un apoyo interior los momentos de diseño por
diseño
sobrecarga provocados por la carga HL-93.
HL-

A B C D

20 m 20 m 20 m

Solución.-
Solución.-

a) Línea de Influencia de momento flector en B
Graficamos la línea de influencia (ver APÉNDICE II-D) haciendo uso de las siguientes
expresiones:

Tramo AB (0 ≤ x ≤ 20)
1
y =
1500
(
x 3 − 400x )
Tramo BC (20 ≤ x ≤ 40)
1
y=
1200
(
− x 3 +108 x2 − 3680 x + 38 400 )

Tramo CD (40 ≤ x ≤ 60)
1
y=
6000
(
x 3 −180 x2 +10 400 x −192 000 )

b) Máximo momento negativo
Utilizando tal línea de influencia, después de realizar las combinaciones de carga viva
aplicables, encontramos que el máximo momento negativo ocurre con el
posicionamiento de dos camiones* y la sobrecarga distribuida tal como se muestra,
considerando de acuerdo a las especificaciones el 90 por ciento de dicha
solicitación. Los dos camiones en este caso están distanciados 15 m entre el eje
delantero de un camión y el eje posterior del otro.

II-45

El momento por dos camiones de diseño es:

(-)M2 camiones = 3.6T(-0.880m) + 14.8T(-1.749m-2.048m) +3.6T(-1.593m) +
14.8T(-1.368m-0.709m)

= -95.838 T-m

El momento por la sobrecarga distribuida es:

(-)Ms/c distrib = 0.96 T/m (-46.2 m²) = -44.35 T-m

El momento máximo negativo por sobrecarga, considerando el incremento por
carga dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es:

(-)Ms/c+IM = 0.90 [(-95.838 T-m ) x 1.33 + (-44.35 T-m)] = -154.63 T-m
T-

NOTA.-
NOTA.
* La utilización del 90 por ciento de la solicitación de dos camiones y la carga de carril
se emplea en el caso de momentos negativos entre puntos de contraflexión debido a
una carga uniforme en todos los tramos (Artículo 3.6.1.3.1). En este caso como se
aprecia en el gráfico, el apoyo interior B se encuentra en el tramo de contraflexión de
9.53m, ámbito para el cual es aplicable lo indicado. Los puntos de contraflexión para
una viga contínua de tres tramos iguales quedan definidos por:

L1 = 0.8L = 16 m , L 2 = 0.4764L = 9.53 m , L 3 = 0.4472L = 8.94 m , con L = 20m.

c) Máximo momento positivo
El máximo momento positivo, después de realizar las combinaciones de carga viva
aplicables, se encuentra posicionando en la línea de influencia el camión de diseño
con un eje posterior en la ordenada máxima, tal como se muestra en la figura. La
sobrecarga distribuida la aplicamos únicamente en el área positiva.

II-46

El momento por camión de diseño es:

(+) Mcamión= 3.6T(0.365m)+14.8T(0.512m) +14.8T(0.437m) = 15.36 T-m

El momento por sobrecarga distribuida es:

(+)Ms/c distrib = 0.96 T/m (6.60 m²) = 6.34 T-m

El momento positivo máximo por sobrecarga, considerando el incremento por carga
dinámica para el estado límite de Resistencia, IM=0.33, es:

(+)Ms/c+IM = 15.36 T-m x 1.33 + 6.34 T-m = 26.77 T-m
T-

NOTA 1.-
Utilizando el programa de cómputo QConBridge, se obtiene la envolvente de momentos
por carga viva de manera gráfica y tabularmente. Como se aprecia dividiendo cada
tramo en diez secciones, en el apoyo 2 el máximo momento negativo es -1.513 x106
N-m (-154.28 T-m) y el máximo momento positivo es +263.533x10³ N-m (+26.87
263.533x10³ N- (+26.87
T-m). Los resultados son similares a -154.63 T-m y +26.77 T-m, valores obtenidos
+26. T-
analíticamente.

II-47

NOTA 2.-
Tal como se señala en C3.6.1.3.1 AASHTO-LRFD, las cargas ideales de diseño
están basadas en la información descrita en C3.6.1.2.1 AASHTO-LRFD que contiene
datos sobre vehículos de tipo “low boy” con pesos de hasta 50 T. Si se considera
probable que haya múltiples carriles con versiones más pesadas de este tipo de
vehículo, se debe investigar el momento negativo y las reacciones en los apoyos
interiores para pares de tandems de diseño separados entre 8.00 m y 12.00 m, en
combinación con la carga de carril. Se debe usar el 100 por ciento de tal
solicitación.

II-48

PROBLEMA II.7 Calcular la fuerza de frenado y la fuerza de viento que actúan
II.7
sobre el pilar central del puente mostrado, de dos vías. El viento incide
perpendicularmente al eje longitudinal del puente. Utilizar vehículo HL-93 y
HL-
Especificaciones AASHTO LRFD.

A B C

30 m 30 m

Solución.-
Solución.-

a) Fuerza de Frenado

De acuerdo con las Especificaciones, la fuerza de frenado será la mayor de:
- 25% de los pesos por eje de camión o tandem de diseño
- 5% del camión o tandem de diseño más la carga de carril

En este caso el peso del vehículo HL-93 es 33.2 T, peso del tandem: 22.4 T, carga
de carril: 0.96 T/m.

La fuerza de frenado se calcula con los carriles que transportan tráfico en la misma
dirección. Asumiendo que a futuro los dos carriles transportan tráfico en la misma
dirección y considerando el factor de presencia múltiple m=1.00, tendremos:

BR1 = 0.25 x 33.2 T x 2vías x 1.00 / 1 apoyo = 16.60 T
BR2 = 0.25 x 22.4 T x 2 x 1.00 = 11.20 T
BR3 = 0.05 [33.2 T+(30m + 30m) 0.96 T/m]x2x1.0 = 9.08 T
BR4 = 0.05 [22.4 T+(30m + 30m) 0.96 T/m]x2x1.0 = 8.00 T

Luego, la fuerza de frenado será: 16.60 T, aplicada a 1.80 m sobre la superficie de
calzada.
F = 16.6 T
BR
1.80 m

A B C

30 m 30 m

NOTA.-
NOTA.-
Un vehículo T3S3 circulando por dicho puente a una velocidad de 60 km/h, que al
frenar tarda en detenerse 10 segundos, provocará según las leyes de la física una
fuerza de frenado igual a:

F = m.a

II-49

donde:

F = fuerza

W 50 T T − seg2
m = masa = = = 5.10
g 9.8 m / seg2 m

v 60 km / h 16.67 m / seg
a = acelerac = = = = 1.67 m / seg2
t 10 seg 10 seg

Luego:

 T − seg2 
F =  5.10

 x1.67m / seg2 = 8.52 T

 m 

En 2 vías se tendrá:
F = 2x8.52T = 17.04 T

Comparar este resultado con el valor obtenido para la carga HL-93 de las normas
AASHTO LRFD.

b) Carga de Viento

b.1) superestructura
Sobre la superestructura

La carga de viento se asume actúa uniformemente sobre el área expuesta al viento.
El área expuesta se toma perpendicular a la dirección del viento. La velocidad del
viento básica varía según la localidad y se tomará como VB = 160 km/h

2
V   V 2 
PD = PB  DZ
V  = PB  DZ 
  25600  (3.8.1.2.1-1)
 B   

Donde:
PB = presión básica del viento = 245 kg/m2 (Tabla 3.8.1.2.1-1)
PD = presión del viento de diseño
VDZ = velocidad del viento a la altura de diseño z

Asumiendo que la altura de los componentes del puente son menores a 10 m sobre
la línea de tierra (z አ 10 m), VDZ =VB = V10 =160 km/h.

2
V 
2
 = 245 
160 
PD = PB  DZ
V    = 245 kg / m
2

 B  160 

La carga será:

FW Sup = 245 kg/m2 x 3 m x (30m + 30m) / 2 = 22.05 T

II-50

F = 4.50 T
WL

1.80 m
1.50 m

F = 22.05 T
W Sup 3.00 m

1.50 m

b.2) Sobre la subestructura

Se calcula en base a una presión del viento de 194 kg/m2 (Tabla 3.8.1.2.1-1):

FW Sub1 = 194 kg/m2 x 1.20m x 1.20m = 0.28 T
FW Sub2 = 194 kg/m2 x 1.00m x 5.00m = 0.97 T

1.20 m

1.20 m

F = 0.28 T
W Sub 1 1.00 m

2.50 m

F = 0.97 T
W Sub 2

2.50 m

b.3) Sobre la carga viva

La presión del viento sobre los vehículos se representa como un fuerza
interrumpible y móvil de 150 kg/m (Tabla 3.8.1.3-1) actuando normal a la calzada
y a 1.80 m sobre la misma.

FW L = 150 kg/m (30m + 30m) / 2 = 4.50 T

II-51

PROBLEMA II.8 Determinar el empuje por flotación por la presencia del nivel
II.8
freático en la zapata de la columna mostrada que corresponde al pilar de un
mostrada
puente. La zapata tiene como dimensiones en planta 4.00m x 4.00m.

Nivel
Freatico

0.50 m

4.00 m

B

Solución.-
Solución.-

La fuerza de empuje por flotación B es:

B = γV = 1 T/m³ (4m x 4m x 0.50m)
B=8T

donde:

V = volumen de agua que desplaza la zapata
γ = peso específico del agua

III-1

CAP III: SUPERESTRUCTURAS DE PUENTES
1. GENERALIDADES

1.1) Puentes de Concreto Armado
Los puentes de concreto armado tipo losa de un tramo resultan económicos en
tramos cortos, cuando las luces no exceden 12m. Los puentes losa cuando son
continuos con tramos extremos de hasta 10.5m, son mejor proporcionados
cuando la relación de tramo interior a tramo exterior es 1.26 para cargas y
esfuerzos usuales; cuando el tramo exterior va de 10.5m a 15m, la relación
adecuada es 1.31.

Los puentes de vigas T simplemente apoyados en cambio se usan en luces de
hasta 24m. Los puentes de vigas continuas son mejor proporcionados cuando
los tramos interiores presentan una longitud 1.3 a 1.4 veces la longitud de los
tramos extremos En puentes viga, con tramos exteriores de 10.5m a más, la
relación sugerida es de 1.37 a 1.40.

En un puente de vigas continuas bien diseñado, el peralte de las secciones
sigue de cerca las necesidades de momento, variando desde un mínimo en el
centro hasta un máximo en los apoyos. En tales casos, el efecto de la carga
muerta en el diseño se reduce favorablemente.

Los puentes de sección en cajón son especialmente recomendados en
alineamientos curvos dada su alta resistencia torsional y la posibilidad de
mantener la sección transversal constante.

A continuación, luces de puentes de concreto construidos:

SIMPLEMENTE APOYADOS LUZ(m) CONTINUOS LUZ(m)
Losa 6 a 12 Losa, 2 tramos 9-9
Vigas T 12 a 24 12-12
Placa sólida en arco 12 Losa, 3 tramos 8-8-8
Vigas curvadas en arco 18 Pórtico sólido 12
Aporticado de vigas T 16
Vigas T, 2 tramos 15-15
21-21
Vigas T, 3 tramos 12-15-12 a
15-21-15
Cajón, 3 tramos 18-24-18 a
23-27-23

1.2) Concreto Presforzado
Los puentes de concreto presforzado (pretensado y postensado) permiten con
el empleo de materiales de resistencia elevada, reducir las dimensiones de la
sección transversal y lograr consiguiente economía en peso. A continuación,
algunas luces de puentes presforzados construidos:

III-2

SIMPLEMENTE APOYADOS LUZ(m) CONTINUOS LUZ(m)
Losa 9 a 12 Losa 10-10 a 12-15-12
Losa con alveolos 9 a 15 Losa con alveolos 15-21-15 a 32-32
Doble Tee 12 a 18 Vigas AASHTO 25 a 33
Cajón cerrado vaceado en el 38 Vigas AASHTO 30-30
lugar postensada
Viga AASHTO 15 a 30 Cajón 19.8-19.8 a 61-61
Vigas I 18 a 36 18.3-24.4-18.3 a
Vigas Cajón 24 a 36 23.2-27.4-23.2

1.3) Puentes de Acero
Los puentes de acero de sección compuesta de un solo tramo que utilizan vigas
metálicas, logran luces de hasta 55m. Los puentes metálicos de armadura
alcanzan los 120m. Con el diseño en arco se llega hasta 150m. A continuación,
luces de puentes de acero ya construidos:

SIMPLEMENTE APOYADO LUZ(m) CONTINUOS LUZ(m)
Vigas laminadas, no 12 a 25 Vigas laminadas 15-20-15
compuestos a
Vigas laminadas, compuestos 15 a 25 25-30-25
Vigas armadas, no compuestos 30 a 45 Vigas armadas 30-36-30
Vigas Armadas, compuestos 30 a 55 Vigas cajón 30-36-30
Vigas cajón 30 a 55 a
Armaduras sobre y bajo la 90 a 120 90-120-90
calzada Vigas laminadas 15-20-15
Armaduras bajo la calzada 60 a 120 a
Armaduras no conectadas 45 25-30-25
sobre la calzada Vigas armadas 30-36-30
Arco 90 a 150
Arcos enlazados 90 a 180

1.4) Madera
Los puentes de madera se utilizan eficientemente con luces de hasta 20m en
caminos de poca circulación con vehículos livianos. A continuación, luces de
puentes de madera ya construidos:

SIMPLEMENTE APOYADOS LUZ(m)
Madera serradiza 5.5
Vigas de madera laminada – clavada 14.9-15.2-14.9
Armadura 15.2-30.5-30.5-14.9
De plataforma - clavada 9.8-9.8-9.8
De plataforma - transversalmente 13.4
presforzada

III-3

2. PERALTES MÍNIMOS EN SUPERESTRUCTURAS DE PUENTES

2.1 Profundidades mínimas para superestructuras de profundidad constante

S= Luz del tramo de losa (mm)
L = Luz del tramo de puente (mm)

2.2 Tableros de Concreto Apoyados en Elementos Longitudinales (Art. 9.7.1.1)
La altura de un tablero de concreto deberá ser mayor o igual que 17.5 cm

2.3 Mínimo espesor de los tableros de concreto en voladizo (Art. 13.7.3.1.2)
- Cuando soportan un sistema de postes montados en el tablero: 0.20m
- Para sistemas de postes montados lateralmente: 0.30m
- Cuando soportan paramentos o barreras de concreto: 0.20m

3. RESISTENCIA A LA FLEXIÓN

Resistencia a la flexión mayorada Mr :

Mr = Ø Mn (5.7.3.2.1-1)
donde:
Mn = resistencia nominal
Ø = factor de resistencia especificado en el Art. 5.5.4.2

Resistencia nominal a la flexión Mn:

a a a a h
Mn = A ps fps (d p − ) + A s fy (d s − ) − A s fy' (d s − ) + 0.85fc' (b − b w )β1hf ( − f )
' '

2 2 2 2 2
(5.7.3.2.2-1)

III-4

Distancia c entre el eje neutro y la cara comprimida:

Para comportamiento de sección Te:

A ps fpu + A s fy − A s fy' − 0.85β1fc' (b − b w )hf
'

c= (5.7.3.1.1-3)
fpu
0.85fc' β1b w + kA ps
dp
Para comportamiento de sección rectangular:

A ps fpu + A s fy − A s fy'
'

c= (5.7.3.1.1-4)
fpu
0.85fc' β1b + kA ps
dp
Donde:
fpy
k = 2( .04 −
1 )
fpu
Aps = área de acero del pretensado
As = área de la armadura de tracción no pretensada
A’s = área de la armadura de compresión
a = c ß1; altura del diagrama de tensiones equivalente
b = ancho de la cara comprimida del elemento
bw = ancho del alma o diámetro de una sección circular
c = distancia entre el eje neutro y la cara comprmida
dp = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de los tendones
de pretensado
dp = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de los tendones
de pretensado
ds = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de la armadura
de tracción no pretensada
d’s = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de la armadura
de compresión
fps = tensión media en el acero de pretensado a la resistencia nominal a la flexión
fpu = resistencia a la tracción especificada del acero de pretensado
fpy = tensión de fluencia del acero de pretensado
fy = tensión de fluencia especificada de las barras de armadura
f’y = tensión de fluencia especificada de la armadura de compresión
f’c = resistencia a la compresión especificada del hormigón a 28 días
hf = altura del ala comprimida de un elemento de sección Te o doble Te
ß1 = factor para el diagrama de tensiones, especificado en Art. 5.7.2.2

4. ANCHOS DE FAJA EQUIVALENTE PARA PUENTES TIPO LOSA CON
ARMADURA
ARMADURA PRINCIPAL PARALELO AL TRÁFICO

El ancho equivalente de las fajas longitudinales tanto para corte como para
momento con un carril cargado, es decir dos líneas de ruedas, incluyendo el
efecto de presencia múltiple, es:

E = 250 + 0.42 L1W1 (4.6.2.3-1)

III-5

El ancho equivalente de las fajas longitudinales por carril tanto para corte como
para momento con más de un carril cargado, es:
W
E = 2100 + 0.12 L1W1 ≤ (4.6.2.3-2)
NL
Donde:
E = ancho equivalente (mm)
L1 = menor valor (mm) entre longitud real y 18m
W1 = menor valor (mm) entre ancho real y 18m para carga en múltiples carriles ó
9m para carga en un solo carril
W = ancho físico entre los bordes del puente (mm)
NL = número de carriles de diseño

Para obtener la carga por unidad de ancho de la faja equivalente, se divide la
carga total en un único carril de diseño por el ancho de faja calculado.

5. ANCHOS DE FAJA EQUIVALENTE INTERIORES PARA TABLEROS CON
ARMADURA PRINCIPAL PERPENDICULAR AL TRÁFICO
Se pueden tomar como se especifica en la Tabla siguiente:

III-6

Donde:
S = separación de los elementos de apoyo (mm)
H = altura del tablero (mm)
L = longitud del tramo del tablero (mm)
P = carga de eje (N)
Sb = separación de las barras del emparrillado (mm)
+M= momento positivo
- M= momento negativo
X = distancia entre la carga y el punto de apoyo (mm)

6. DISEÑO DE LOSAS DE TABLERO
Para determinar los máximos momentos por sobrecarga de diseño en losas de
tablero, se puede utilizar la Tabla A4-1. Los momentos son aplicables para tableros
apoyados como mínimo en tres vigas y cuyo ancho entre los ejes de las vigas
exteriores sea por lo menos 4.20 m. Los valores tabulados incluyen los factores
de presencia múltiple y el incremento por carga dinámica. Para distancias
diferentes a las listadas, es posible interpolar.

III-7

7. MÉTODO DE LOS FACTORES DE DISTRIBUCIÓN PARA MOMENTO Y CORTE
EN VIGAS (Art. 4.6.2.2.2)

Simbología a utilizar:

S = separación entre vigas o almas (mm)
L = longitud de tramo de la viga (mm)
Kg= n(Iviga + Ae 2 ) = parámetro de rigidez longitudinal (mm4)
g

E viga
n=
E tablero
E c = 0.043γ1.5 fc' , en MPa
c (5.4.2.4-1)
' 2
E c = 15,344 f , en kg / cm
c , con γ c = 2, 320 kg / m 3

A = área de la viga (mm2)
I = Iviga = momento de inercia de la viga (mm4)
de = distancia entre el alma exterior de una viga exterior y el borde interior de un
cordón o barrera para el tráfico (mm)
eg = distancia entre los centros de gravedad de la viga de base y el tablero (mm)
ts = profundidad de la losa de hormigón (mm)
Nc = número de células de una viga cajón de hormigón
Nb = número de vigas o largueros
We= un medio de la separación entre almas, más el vuelo total (mm)
b = ancho de la viga (mm)
d = profundidad de la viga o larguero (mm)
e = factor de corrección
g = factor de distribución
K = constante para diferentes tipos de construcción
J = constante torsional de St. Venant (mm4)
NL = número de carriles de diseño
Nb = número de vigas o largueros
D = ancho de distribución por carril (mm)
C = parámetro de rigidez
µ = coeficiente de Poisson
tg= profundidad de un emparrillado de acero o plancha de acero corrugado,
incluyendo la sobrecapa de hormigón o componente de hormigón estructural
integral, menos una tolerancia para considerar los efectos del pulido,
ranurado o desgaste (mm)

El momento flector y corte por sobrecarga en vigas con tableros de hormigón
se puede determinar aplicando la fracción por carril especificada “g” en las Tablas
que se proporcionan.
Además, las cargas permanentes del tablero y las que actúan sobre el mismo
se pueden distribuir uniformemente entre las vigas y/o largueros (Art. 4.6.2.2.1).
Para el cálculo en el estado limite de fatiga, deberá utilizarse el camión de
diseño y las solicitaciones dividirse por 1.20 (Art. 3.6.1.1.2).

III-8

III-9

III-10

III-11

III-12

III-13

Caso de Vigas Exteriores (Art. 4.6.2.2.2d y Art. 4.6.2.2.3b)

El momento flector y cortante por sobrecarga se pueden determinar aplicando la
fracción por carril g especificada. La distancia de se tomara como positiva si el alma
exterior esta hacia dentro de la cara interior de la barrera para el tráfico, negativa si
esta hacia fuera.
En puentes de viga y losa con diafragmas o marcos transversales, el factor de
distribución no se deberá tomar menor que el que se obtendría suponiendo que la
sección transversal se deforma y gira como una sección transversal rígida.
El procedimiento delineado es a través de la aproximación convencional:
NL

NL
X ext ∑e
R = + Nb
(C4.6.2.2.2d-1)
Nb
∑x 2

Donde:

R = reacción sobre la viga exterior en términos de los carriles
NL = número de carriles cargados considerado
Nb = número de vigas
e = excentricidad de un camión de diseño o una carga de carril de diseño respecto
del centro de gravedad del conjunto de vigas
Xext= distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de vigas hasta la
viga exterior
x = distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de vigas hasta
cada viga

Momentos Flectores y Corte en Vigas de Tablero Transversales

Si el tablero es soportado directamente por vigas de tablero transversales, las
vigas de tablero se pueden diseñar para cargas determinadas de acuerdo con la Tabla:

III-14

8. ARMADURA DE DISTRIBUCIÓN (Art. 9.7.3.2 AASHTO LRFD)

En la parte inferior de las losas se dispondrá armadura en la dirección
secundaria; esta armadura se deberá calcular como un porcentaje de la armadura
principal para momento positivo:
1750
Si la armadura principal es paralela al tráfico : ≤ 50%
S
3840
Si la armadura principal es perpendicular al tráfico : ≤ 67%
S
Donde:

S= longitud de tramo efectiva (mm). Distancia entre cara y cara, para losas
construidas en forma monolítica con muros o vigas. Para losas apoyadas
sobre vigas de concreto o metálicas: distancia entre las puntas de las alas,
más el vuelo de las alas, considerado como la distancia desde la punta del
ala extrema hasta la cara del alma, despreciando los chaflanes.

9. ARMADURA DE CONTRACCIÓN Y TEMPERATURA (Art. 5.10.8 AASHTO LRFD)

En componentes de espesor menor que 1.20 m:

As ≥ 0.756 Ag/fy (5.10.8.2-1)

donde:
Ag = área bruta de la sección (mm2)
fy = tensión de fluencia de las barras de armadura (MPa)

El acero se distribuirá uniformemente en ambas caras; sin embargo, en
elementos de 0.15m de espesor o menos, se puede colocar en una sola capa.
La separación de la armadura no será mayor que 3 veces el espesor del
componente ó 0.45m
En zapatas y tabiques macizos de hormigón estructural, la separación de la
armadura no será mayor de 0.30m en cada dirección en todas las caras y no es
necesario sea mayor que 0.0015Ag

Elementos de espesor mayor que 1.20m:

El tamaño mínimo de barra será N° 19, y la separación de las barras no será
mayor que 0.45m. En cada dirección, la armadura mínima de temperatura y
contracción, igualmente distribuida en ambas caras, deberá satisfacer:

s(2d c + db )
ΣAb ≥ (5.10.8.3-1)
100
Donde:
Ab= mínima área de las barras (mm2)
s = separación de las barras (mm)
dc= profundidad del recubrimiento medida desde la fibra extrema hasta el centro
de la barra más próximo a la misma (mm)
db= diámetro de la barra (mm)

No es necesario que (2dc+db) sea mayor que 0.075m.

III-15

10.
10. LIMITACIÓN DE LA FISURACIÓN MEDIANTE DISTRIBUCIÓN DE LA
ARMADURA (Art. 5.7.3.4)

Todos los elementos de hormigón, excepto losas de tablero diseñadas de
acuerdo con el Art. 9.7.2, deben dimensionarse de manera que en estado límite
de servicio la tensión de tracción en las armaduras de acero no pretensado no sea
mayor que fsa:

Z
fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1)
(d c A )1/ 3

Donde:

dc = altura de hormigón medida desde la fibra extrema comprimida hasta el
centro de la barra o alambre ubicado más próximo a la misma; el espesor
del recubrimiento libre para calcular dc no se deberá tomar mayor que 50
mm.
A = área de hormigón que tiene el mismo baricentro que la armadura principal
de tracción y limitada por las superficies de la sección transversal y una
recta paralela al eje neutro , dividida por el número de barras o alambres;
el espesor del recubrimiento libre para calcular A no se deberá tomar
mayor que 50 mm.
Z = parámetro relacionado con el ancho de fisura
≤ 30,000 N/mm para elementos en condiciones de exposición moderada
≤ 23,000 N/mm para elementos en condiciones de exposición severa
≤ 17,500 N/mm para estructuras enterradas
≤ 23,000 N/mm para el diseño transversal de las vigas cajón de hormigón
por segmentos para cualquier carga aplicada antes que el hormigón alcance
la totalidad de su resistencia nominal.
Para alcantarillas de sección rectangular voladas in situ, el valor de Z no
deberá satisfacer la condición Z ≤ 27000 / β , siendo β = [1+ dc / 0.7d]
d = distancia entre la cara comprimida y el baricentro de la armadura de tracción

Si en el estado límite de servicio las alas de las vigas Te o vigas cajón están
traccionadas, la armadura de tracción por flexión se deberá distribuir en una
distancia igual al menor de: el ancho de ala efectivo (Art. 4.6.2.6) o un ancho igual
a 1/10 del promedio de los tramos adyacentes entre apoyos.
Si el ancho de ala efectivo es mayor que 1/10 de la longitud del tramo, en las
porciones exteriores del ala se deberá disponer armadura longitudinal adicional con
un área no menor que 0.4% del área de losa en exceso.
Si la profundida efectiva de de un elemento de hormigón no pretensado o
parcialmente pretensado es mayor que 90 cm, se deberá distribuir uniformemente
armadura superficial en ambas caras del elemento en una distancia d/2 más próxima
de la armadura de tracción por flexión. En cada cara lateral el área de armadura
superficial Ask, en mm2/mm de altura, deberá satisfacer la siguiente condición:

Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8)

A s + A ps
A sk ≥ 0.001(d e − 760) ≤ (5.7.3.4-4)
1200

III-16

Donde:
Aps = área de acero del pretensado (mm2)
As = área de la armadura de tracción no pretensada (mm2)

No es necesario que el área total de armadura superficial longitudinal (por cara)
sea mayor que un cuarto de la armadura de tracción por flexión requerida As+ Aps
La máxima separación de la armadura superficial no deberá ser mayor que d/6 o
300 mm.

11. LÍMITES PARA EL REFUERZO
LÍMITES

Refuerzo Máximo (Art. 5.7.3.3.1)
La cantidad máxima de refuerzo pretensado y no pretensado será tal que:

c
≤ 0.42 (5.7.3.3.1-1)
de

Si dicha ecuación no es satisfecha, la sección será considerada sobrereforzada.

Donde:
A ps fps dp + A s fy ds
de =
A ps fps + A s fy
c = distancia desde la fibra extrema en compresión al eje neutro
de= profundidad efectiva correspondiente desde la fibra extrema en compresión
al centroide de la fuerza en tensión en el refuerzo a tensión
Aps= área de acero pretensado
fps = tensión media en el acero de pretensado a la flexión
dp = distancia entre la fibra extrema comprimida y el centroide de los tendones de
pretensado
fy = fluencia de las barras de refuerzo
ds = distancia entre la fibra extrema comprimida y el centroide de la armadura de
tracción no pretensada

Refuerzo Mínimo (Art. 5.7.3.3.2 AASHTO LRFD)

La cantidad de rerfuerzo de pretensado y no pretensado será adecuado para
desarrollar una resistencia a flexión factorada Mr superior o igual al menor valor de:

a) 1.2 veces la resistencia de rotura determinada en base a una distribución
de esfuerzos elásticos y el módulo de ruptura fr del concreto
( fr = 0.63 fc' , en MPa, para concreto de peso normal), y
b) 1.33 veces el momento factorado requerido por las combinaciones de
carga para el estado límite de resistencia aplicable.

III-17

12. FACTORES DE RESISTENCIA (Art. 5.5.4.2 AASHTO LRFD)

CASO ∅
Flexión y tracción del hormigón armado 0.90
Flexión y tracción del hormigón pretensado 1.00
Corte y Torsión:
Hormigón de densidad normal 0.90
Hormigón de baja densidad 0.70
Compresión axial con espirales o zunchos (excepto
Art. 5.10.11.4.1b para Zonas Sísmicas 3 y 4,
estado límite de Evento Extremo) 0.75
Apoyo sobre hormigón 0.70
Compresión en modelos de bielas y tirantes 0.70
Compresión en zonas de anclaje:
Hormigón de densidad normal 0.80
Hormigón de baja densidad 0.65
Tracción en el acero en las zonas de anclaje 1.00
Resistencia durante el hincado de pilotes 1.00
NOTAS.-
NOTAS.-
- Para los elementos comprimidos con flexión, el valor de Ø se puede incrementar
linealmente hasta llegar al valor correspondiente a flexión a medida que la
resistencia a la carga axial de diseño, ØPn, disminuye desde 0.10f’cAg hasta 0.
- Para los estados límites de Resistencia y correspondientes a Eventos Extremos
Ø=1.0, excepto para bulones y columnas de hormigón en Zonas Sísmicas 3 y 4
(Art. 1.3.2.1).

13. RECUBRIMIENTOS

III-18

14. ANCLAJE DE LAS ARMADURAS (5.11.2)
ARMADURAS

BARRAS Y ALAMBRES CORRUGADOS EN TRACCIÓN (5.11.2.1)

La longitud de anclaje en tracción ld se toma como el producto entra la
longitud básica de anclaje en tracción ldb y el factor o factores de
modificación especificados. La longitud de anclaje en tracción no deberá
ser menor que 300mm, excepto para empalmes solapados y anclajes de
la armadura de corte.

La longitud básica de anclaje ldb en mm se toma como:

0.02A b fy
• Para barras #36 (Ø36mm) y menores: pero no menor que
'
fc
0.06d b fy
25fy
• Para barras #43 (Ø43mm) y menores:
'
fc
34fy
• Para barras #57 (Ø57mm) y menores:
'
fc
0.36d b fy
• Para alambre corrugado:
'
fc

donde:
Ab = sección de la barra o alambre, mm
db = diámetro de la barra, mm
fy = tensión de fluencia, MPa
f’c = resistencia a la compresión especificada del hormigón, MPa
fct= resistencia media a la tracción por compresión diametral del hormigón
de agregados de baja densidad, MPa

Factores de modificación que aumentan ld:
La longitud básica de anclaje ldb se deberá multiplicar por el siguiente
factor o factores:

• Para armadura superior horizontal o casi horizontal colocada de manera
que haya más de 300mm de hormigón debajo de la armadura: 1.4
• Para hormigón de agregados de baja densidad para el cual se especifica
fct: '
0.58 fc
≥1.0
fct
• Para hormigón de baja densidad para el cual no se especifica fct: 1.3
• Para hormigón de agregados livianos y arena para el cual no se
especifica fct: 1.2

III-19

Si se utiliza arena para reemplazar sólo parte del agregado, se puede
interpolar linealmente entre los requisitos para hormigón de baja densidad
y aquellos para hormigón de agregados livianos y arena.

• Para barras recubiertas con resina epoxi en las cuales el recubrimiento
de hormigón es menor que 3db o la separación libre entre las barras es
menor que 6db: 1.5
• Para barras recubiertas con resina epoxi no cubiertas por el ítem
anterior: 1.2

No es necesario que el producto entre el factor correspondiente a
armadura superior y el factor aplicable en el caso de barras recubiertas
con resina epoxi sea mayor que 1.7.

Factores de modificación que disminuyen ld
La longitud básica de anclaje ldb se deberá multiplicar por el siguiente
factor o factores:

• Si la armadura que se está anclando en la longitud considerada tiene una
separación lateral entre centros de al menos 150mm y tiene un
recubrimiento libre medido en la dirección de la separación no menor que
75mm: 0.8
• Si no se requiere anclaje o desarrollo para la totalidad de la tensión de
fluencia de la armadura, o si en un elemento flexionado hay más armadura
que la requerida por el análisis: A srequerida
A sprovista
• Si la armadura está encerrada por una espiral formada por una barra de
no menos de 6mm de diámetro y con un paso de no más de 100mm:
0.75

BARRAS CORRUGADOS EN COMPRESIÓN (5.11.2.2)

La longitud de anclaje en compresión ld no será menor que el producto
entra la longitud básica de anclaje en compresión ldb y los factores de
modificación especificados, ni menor que 200mm.

La longitud básica de anclaje en compresión ldb en mm se toma como:

0.24d b fy
l db ≥ ,ó (5.11.2.2.1-1)
'
fc
l db ≥ 0.044d b fy (5.11.2.2.1-2)

III-20

Factores de modificación
La longitud básica de anclaje ldb se puede multiplicar por los siguientes
factores:
fluencia de la armadura, o si hay más armadura que la requerida por el
A s requerida
análisis:
A s provista
• Si la armadura está encerrada por una espiral formada por una barra de
no menos de 6mm de diámetro y con un paso de no más de 100mm:
0.75

PAQUETES DE BARRAS (5.11.2.3)
La longitud de anclaje de las barras individuales que forman parte de un
paquete, en tracción o compresión, deberá ser la correspondiente a la
barra individual aumentada un 20 por ciento en el caso de paquetes de
tres barras o 33 por ciento en el caso de paquetes de cuatro barras.
Para determinar los factores especificados, un paquete de barras se
deberá tratar como una única barra cuyo diámetro se deberá determinar a
partir del área total equivalente.

GANCHOS NORMALES EN TRACCIÓN (5.11.2.4)

III-21

Longitud básica de anclaje de un gancho
La longitud de anclaje ldh en mm, para las barras corrugadas en tracción
que terminan en un gancho normal, no deberá ser menor que:

• El producto entre la longitud básica de anclaje lhb, según (5.11.2.4.1-
1), y el factor o los factores de modificación aplicables.
• 8.0 diámetros de barra, ó
• 150mm.
La longitud básica de anclaje lhb con fluencia menor ó igual que 420MPa
se deberá tomar como:

100d b
l hb = (5.11.2.4.1-1)
'
fc

Factores de modificación
La longitud básica de anclaje lhb se deberá multiplicar por el siguiente
factor o factores
según corresponda:

fy
• Si la tensión de fluencia de la armadura es superior a 420MPa:
420
• Si el recubrimiento lateral para barras #36 (Ø36mm) o menores,
perpendicular al plano del gancho, es mayor o igual que 64mm, y para
ganchos a 90°, el recubrimiento sobre la prolongación de la barra más
allá del gancho no es menor que 50mm: 0.7
• Si los ganchos para barras #36 (Ø36mm) y menores están encerrados
vertical u horizontalmente dentro de estribos o estribos cerrados en
toda la longitud de anclaje, ldh, y la separación de estos estribos no es
mayor que 3db: 0.8
fluencia, ó si hay más armadura que la requerida por el análisis: A srequerida
A sprovista

• Si se utiliza hormigón de agregados livianos: 1.3
• Si se usa armadura recubierta con resina epoxi: 1.2

III-22

15. SEPARACIÓN DE LAS BARRAS DE ARMADURA

Separación Mínima (Art. 5.10.3 AASHTO LRFD)
Para el hormigón colado in situ, la distancia libre entre barras paralelas
ubicadas en una capa no deberá ser menor que 1.5 veces el diámetro nominal de
las barras, 1.5 veces el tamaño máximo del agregado grueso, o 3.8 cm
Para el hormigón prefabricado en planta bajo condiciones controladas, la
distancia libre entre barras paralelas ubicadas en una capa no deberá ser menor
que el diámetro nominal de las barras, 1.33 veces el tamaño máximo del
agregado grueso o 2.5 cm
Múltiples capas de Armadura: Excepto en los tableros en los cuales se
coloca armadura paralela en dos o más capas, con una distancia libre entre capas
no mayor que 15 cm, las barras de las capas superiores se deberán ubicar
directamente sobre las de la capa inferior, y la distancia libre entre capas deberá
ser mayor o igual que 2.5 cm o el diámetro nominal de las barras.
Paquetes de Barras: El número de barras paralelas dispuestas en un paquete
de manera que actúen como una unidad no deberá ser mayor que cuatro,
excepto que en los elementos flexionados en ningún paquete el número de barras
mayores que Nª 36 deberá ser mayor que dos.
Los paquetes de barras deberán estar encerrados por estribos o zunchos.
Cada una de las barras individuales de un paquete que se interrumpe dentro
de un tramo deberá terminar en secciones diferentes, separadas como míniomo
40 diámetros de barra. Si las limitaciones de separación entre barras se basan
en el tamaño de las barras, un paquete de barras se deberá tratar como una
barra individual cuyo diámetro se obtiene a partir de la sección equivalente total.

Separación Máxima (Art. 5.10.3.2 AASHTO LRFD)
La separación de la armadura en tabiques y losas no deberá ser mayor que
1.5 veces el espesor del elemento ó 45 cm.

16. ARMADURA TRANSVERSAL

Regiones que requieren Estribos
Excepto en losas, zapatas y alcantarillas, se deberá proveer armadura transversal
si:

Vu > 0.5∅(Vc+Vp) (5.8.2.4-1)

ó Tu > 0.25∅ Tcr (5.8.2.1-3)

Donde:
Vu = fuerza de corte mayorada
Vc = resistencia nominal al corte del hormigón
Vp = componente de la fuerza de pretensado en la dirección de la fuerza de
corte
∅ = factor de resistencia
Tu = momento torsor mayorado
Tcr = momento de fisuración por torsión

III-23

Mínima Armadura Transversal (Art. 5.8.2.5 AASHTO LRFD)

bv s
A v ≥ 0.083 f'c (5.8.2.5-1)
fy
Donde:

Av = área de la armadura transversal en una distancia s (mm2)
bv = ancho del alma (mm)
s = separación de la armadura transversal (mm)
fy = tensión de fluencia de la armadura transversal (MPa)

Máxima Separación de la Armadura Transversal

La separación de la armadura transversal no deberá ser mayor que:

Si vu < 0.125f’c smáx= 0.8dv ≤ 60 cm (5.8.2.7-1)
Si vu ≥ 0.125f’c smáx= 0.4dv ≤ 30 cm (5.8.2.7-2)
Donde:
vu = tensión de corte (MPa)
dv= altura de corte efectiva tomada como la distancia medida de forma
perpendicular al eje neutro, entre las resultantes de las fuerzas de
tracción y compresión debidas a flexión; no es necesario tomarla menor
que el mayor valor entre 0.9de o 0.72h (mm)
de = altura hasta el centroide del acero pretensado (mm)

Hormigón
Tensión de Corte en el Hormigón

Se determina como:
Vu − φVp
Vu = (5.8.2.9-1)
φb v d v
Donde:
bv = ancho del alma efectivo tomado como el mínimo ancho del alma, medido en
forma paralela al eje neutro (mm)
dv = altura de corte efectiva, como lo ya definido (mm)
∅ = factor de resistencia para corte

Resistencia al Corte Mayorada Vr
Se toma como:

Vr = ØVnr (5.8.2.1-2)

Resistencia Nominal al Corte Vn

Se deberá determinar como el menor valor entre:

Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1)

Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2)

III-24

Siendo:
Vc = 0.083β fc' b v d v (5.8.3.3-3)

A v fy d v (cot θ + cot α)senα
Vs = (5.8.3.3-4)
s

Si α = 90°, ésta última ecuación se reduce a:

A v fy d v cot θ
Vs = (C5.8.3.3-1)
s

Donde:
bv = ancho del alma efectivo tomado como el mínimo ancho del alma dentro de la
altura dv (mm)
dv = altura de corte efectiva (mm)
s = separación de los estribos (mm)
β = factor que indica la capacidad del hormigón fisurado diagonalmente de
transmitir tracción
ᒕ = ángulo de inclinación de las tensiones de compresión diagonal (°)
α = ángulo de inclinación de la armadura transversal respecto al eje longitudinal (°)
Av = área de la armadura de corte en una distancia s (mm2)
Vp= componente de la fuerza de pretensado efectiva en la dirección del corte
aplicado; positiva si se opone al corte aplicado (N)

Procedimiento simplicado para determinación β y ᒕ en secciones no pretensadas
Para zapatas de hormigón armado en las cuales la distancia entre el punto de
corte nulo y la cara de la columna, pilar o tabique es menor que 3dy con o sin
armadura transversal, y para otras secciones de hormigón no pretensado no
solicitadas a tracción axial y que contienen al menos lo especificado por el Art.
5.8.2.5, o que tienen una altura total menor que 40 cm, se pueden utilizar: β =
2.0, ᒕ= 45°

17. FATIGA

Carga de Fatiga (Art. 3.6.1.4)
La carga de fatiga será un camión de diseño como lo especificado, pero con una
separación constante de 9.0 m entre los ejes de 14.8 T. A la carga de fatiga se
le deberá aplicar el respectivo incremento por carga dinámica.

Estado Limite de Fatiga (Art. 5.5.3)
Se usará la sección fisurada cuando la sumatoria de las tensiones debidas a las
cargas permanentes no mayoradas y tensiones de pretensado, más 1.5 veces la
carga de fatiga, de por resultado una tensión de tracción mayor que 0.25 fc' .

El rango de tensión en las armaduras rectas que resulta de la combinación de
cargas correspondiente a fatiga, deberá satisfacer:

r
ff ≤ 145 − 0.33fmin + 55( ) en MPa (5.5.3.2-1)
h

III-25

r
ff ≤ 1479 − 0.33fmin + 561( ) en kg/cm² (5.5.3.2-1)
h

Donde:

ff = rango de tensión
fmin = mínima tensión por sobrecarga resultante de la combinación de cargas
correspondiente a la fatiga, combinada con la tensión más severa debida ya
sea a las cargas permanentes o a las cargas permanentes más las cargas
externas inducidas por contracción y fluencia lenta; la tracción se considera
positiva, la compresión negativa
r/h = relación entre el radio de base y la altura de las deformaciones
transversales; si se desconoce el valor real se puede utilizar r/h = 0.3

En losas de tablero de hormigón en aplicaciones multiviga no es necesario
investigar la fatiga.

18. BARRERAS DE CONCRETO

El propósito de una barrera de concreto en el caso de una colisión vehicular es
redirigir el vehículo de una manera controlada. La barrera debe ser adecuada para
resistir el impacto inicial de la colisión y seguir siendo eficaz en la reorientación
del vehículo, debiendo por ello cumplir requisitos de resistencia y geometría.
Secciones de barreras junto a cuantías de acero que pueden controlar colisiones
se han desarrollado a lo largo de los años y se ha demostrado su eficacia por
pruebas de choque.
Los requisitos de resistencia dependen del volumen de camiones y la velocidad
del tráfico previsto. Las fuerzas de diseño y su ubicación en relación con la losa
de puente están dadas en seis niveles según la Tabla AASHTO A13.2-1.
Cabe destacar que un sistema de barreras y su conexión a la cubierta sólo se
autoriza después de demostrar que es satisfactorio a través de pruebas de
choque en barreras a escala natural para el nivel de prueba deseado [A13.7.3.1].
Si se realizan modificaciones menores a modelos ya probados, que no afectan su
resistencia, pueden utilizarse sin las pruebas de impacto requeridas. Así mismo es
importante detallar el acero que se extiende de la barrera a la losa y analizar la
resistencia del voladizo para la transferencia de la carga de choque.

Número de lados aptos para el impacto
En función de su número de lados, las barreras se clasifican en simples y
dobles. Las simples tienen una sección transversal que presenta un solo
lado apto para el impacto. Las dobles, en cambio, cuentan una sección
transversal con ambos lados aptos para el impacto.
La barrera simple es un elemento longitudinal y asimétrico que se utiliza
como barrera lateral, al lado derecho de la calzada o en pares opuestos
como separador central. Se ubica a los lados de una vía frente a
terraplenes, depresiones o estructuras que signifiquen posibilidad de
colisión. Sirven también como protección de los muros de contención,
revestimiento de túneles y barandas de puentes.

III-26

Las barreras dobles son elementos longitudinales simétricos que se utilizan
como separador central entre calzadas en vías con doble sentido de
circulación, al mismo nivel o escalonadas. Están destinadas a resistir los
choques frontales, que son los causantes del mayor número de accidentes
mortales.

Barreras dobles ancladas en calzadas

Barreras dobles ancladas en puentes

Criterios
Criterios de capacidad de contención
En función del tipo de vehículos que son capaces de contener, las barreras
se pueden clasificar en normales y especiales. Estas últimas son barreras
cuyo comportamiento frente al impacto ha sido mejorado, con el fin de
garantizar su eficacia ante el impacto de vehículos pesados.
En el caso de las colisiones severas, es importante definir los daños que
producen en el conductor y los pasajeros, por efecto de la desaceleración
que se produce, asumiendo diferentes direcciones. Este factor ha sido
estudiado en pruebas desarrolladas en estaciones experimentales, con
diferentes tipos de vehículos y maniquíes en los que se instalan distintos
sensores.

III-27

En condiciones de tráfico simuladas en estaciones experimentales, el
comportamiento de los vehículos se registra dentro de un valor conocido
como índice de severidad, cuyo límite máximo es la unidad, que representa
la posibilidad de que los ocupantes no sufran daños.
La regulación define las pruebas de choque a las cuales debe estar sujeta la
barrera. Basadas en las características de desempeño, han sido definidas
pruebas caracterizadas por la masa y la velocidad del vehículo colisionador,
y por el ángulo (estándar) correspondiente al impacto vehículo-barrera.
La regulación requerida para definir el emplazamiento y el carácter de las
barreras en el sistema vial debe comprender: a) las diferentes magnitudes
de índice de severidad, que pueden ser homologadas de la experiencia
internacional; b) el tipo de tráfico de acuerdo con el porcentaje de
vehículos pesados que se prevén para la vía; y c) el tipo de vía según la
norma oficial que las caracteriza, considerando vías extraurbanas y vías
urbanas.

LA BARRERA TIPO NEW JERSEY

Perfil geométrico
La Norma Técnica Peruana 339.222:2008 Sistemas Viales de Contención
de Vehículos, adopta tres perfiles basados en la barrera New Jersey: el
tradicional, el perfil F y el perfil mejorado.
El perfil de la barrera New Jersey, que se aprecia en la figura 1, está
compuesto por tres tramos, cada uno de los cuales tiene una función
específica en su comportamiento.
El tramo inferior: Es un plano vertical con una altura de 75 ± 10 mm,
medidos a partir del nivel de la rasante (pavimento).
Posteriormente a la colocación de una sobrecapa en la vía, este tramo
inferior puede incrementarse hasta una altura de 150 mm, sin que por ello
modifique el comportamiento de los vehículos que chocan contra la barrera.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que cualquier reducción de la altura
de este tramo por debajo de 65 mm puede alterar negativamente su
comportamiento.
Tramo intermedio: Es un plano de transición localizado inmediatamente
sobre el tramo vertical. Tiene una inclinación de 55° con respecto a la
horizontal, y unas proyecciones de 250 mm sobre la vertical y de 175 mm
sobre la horizontal. Es conveniente que esté unido al tramo interior
mediante una transición circular de 200 mm de radio.
Tramo superior: Es un plano que tiene una inclinación de 840 con respecto
a la horizontal y se prolonga hasta completar los 800 mm de altura de la
barrera sobre el nivel de la rasante. También resulta conveniente que esté
unido al anterior mediante una transición circular de 200 mm de radio.

III-28

Perfil New Jersey Perfil F

New Jersey recrecido

Comportamiento de las barreras New Jersey
Al momento del choque, la rueda frontal del vehículo se pone en contacto
con la parte vertical, de 7,5 cm de altura, que tiende a frenar y enderezar
el vehículo.
La rueda asciende por la cara inclinada 55°, y una o ambas ruedas y el
costado del vehículo son levantados hasta 26 cm por encima de la calzada.
Esta elevación absorbe la energía del impacto y, equilibra el momento de
vuelco mediante la compresión de la suspensión del vehículo. Con pequeños
ángulos de impacto, esto sucede sin que la carrocería golpee la barrera.
Si la velocidad del vehículo y el ángulo de impacto son suficientemente
altos, la rueda continúa ascendiendo por encima del talud de 55° y se pone
en contacto con la parte superior casi vertical de la barrera. Esto completa
el frenado y el encauzamiento del vehículo, redirigiéndolo al carril contiguo
a la barrera, paralelamente a ésta.
De acuerdo con el esquema de interacción vehículo-barrera, una barrera
con perfil New Jersey que sea adecuada en términos estructurales
absorberá la energía producida durante el impacto y posteriormente
encauzará el vehículo. Sin embargo, para que esto se realice de manera

III-29

satisfactoria, los parámetros de la trayectoria del vehículo y la disipación
de energía deben estar dentro de los límites permisibles para sus
ocupantes.

Mecanismo de absorción de la energía cinética
Las fuerzas involucradas en el impacto contra una barrera producen una
cantidad de energía cinética relativamente grande, y para que el
encauzamiento del vehículo sea eficiente, se requiere disipar esa energía
producida haciendo que este absorba la menor cantidad posible, lo que
depende del peso, el ángulo de incidencia y la velocidad del vehículo. Esta
última se puede determinar calculando los componentes en las direcciones
paralela y perpendicular a la barrera.
Suponiendo que durante la colisión no se aplicaran los frenos, en un
encausamiento satisfactorio la disipación de la energía paralela a la barrera
se efectúa a través de la fuerza de fricción que se desarrolla por el
contacto del vehículo con la barrera y de las llantas con el pavimento. En la
mayoría de 1os diseños de barreras, la carrocería del vehículo que choca
estará en contacto con la barrera hasta el momento en que éste sea
encauzado.
Sin embargo, para la barrera de concreto y en ángulos de incidencia
pequeños, el único contacto del vehículo durante la colisión puede ser el
de la llanta delantera del lado correspondiente. Así, la fuerza de fricción
entre el vehículo y la barrera se origina en la llanta a medida que ésta sube
y cambia de dirección debido a la menor pendiente del tramo de transición.
El componente de la energía total perpendicular a la barrera debe ser
absorbido en la retención del vehículo. Esto se lleva a cabo a través de la
deformación elástica y plástica de la barrera, del vehículo o de ambos. En
un sistema rígido, si la barrera no falla, una cantidad mínima de energía es
absorbida por esta; y otra muy pequeña, por el suelo. Por lo tanto, en
estas condiciones, el vehículo debe absorber o disipar casi toda esta
energía.

ESPECIFICACIONES DE DISEÑO PARA BARRERAS DE CONCRETO

Fuerzas de diseño para las barreras para tráfico vehicular (A13.2)

La referida Especificación AASHTO señala:

III-30

III-31

Criterios para Seleccionar el Nivel de Ensayo

• TL-1 − Nivel de Ensayo Uno: Generalmente aceptable para las zonas de
trabajo en las cuales las velocidades permitidas son bajas y para las calles
locales de muy bajo volumen y baja velocidad;
• TL-2 − Nivel de Ensayo Dos: Generalmente aceptable para las zonas de
trabajo y la mayor parte de las calles locales y colectoras en las cuales las
condiciones del sitio de emplazamiento son favorables; también donde se
anticipa la presencia de un pequeño número de vehículos pesados y las
velocidades permitidas son reducidas;
• TL-3 − Nivel de Ensayo Tres: Generalmente aceptable para un amplio
rango de carreteras principales de alta velocidad en las cuales la presencia
de vehículos pesados es muy reducida y las condiciones del sitio de
emplazamiento son favorables;
• TL-4 − Nivel de Ensayo Cuatro: Generalmente aceptable para la mayoría
de las aplicaciones en carreteras de alta velocidad, autovías, autopistas y
carreteras interestatales en las cuales el tráfico incluye camiones y
vehículos pesados;
• TL-5 − Nivel de Ensayo Cinco: Generalmente aceptable para las mismas
aplicaciones que el TL-4 y también cuando el tráfico medio diario contiene
una proporción significativa de grandes camiones o cuando las condiciones
desfavorables del sitio de emplazamiento justifican un mayor nivel de
resistencia de las barandas; y
• TL-6 − Nivel de Ensayo Seis: Generalmente aceptable para aplicaciones
en las cuales se anticipa la presencia de camiones tipo tanque o cisterna u
otros vehículos similares de centro de gravedad elevado, particularmente
cuando este tráfico se combina con condiciones desfavorables del sitio de
emplazamiento.

Barandas de Hormigón (A13.3.1)
Para las barreras o parapetos de hormigón armado y pretensado se pueden
utilizar análisis por líneas de fluencia y diseño por resistencia.
La resistencia nominal de la baranda frente a la carga transversal, Rw, se
puede determinar utilizando un enfoque por líneas de fluencia de la siguiente
manera:

• Para impactos dentro de un segmento de muro:

 2  M L2 
Rw = 
 2L − L  8Mb + 8Mw + c c

 (A13.3.1-1)
H 
 c t  

La longitud crítica de muro en la cual se produce el mecanismo de la línea
de fluencia, Lc, se deberá tomar como:

2
Lt L  8H(Mb + Mw )
Lc = +  t + (A13.3.1-2)
2 2 Mc

III-32

• Para impactos en el extremo de un muro o en una junta:

 2  M L2 
Rw = 
 2L − L  Mb + Mw + c c

 (A13.3.1-3)
H 
 c t  

2
Lt L  H(Mb + Mw )
Lc = +  t + (A13.3.1-4)
2 2 Mc

donde:

Ft = fuerza transversal especificada en la Tabla A13.2-1que se supone
actuando en la parte superior de un muro de hormigón (N)
H = altura del muro (mm)
Lc = longitud crítica del patrón de falla por líneas de fluencia (mm)
Lt = longitud de distribución longitudinal de la fuerza de impacto Ft (mm)
Rw= resistencia transversal total de la baranda (N)
Mb= resistencia flexional adicional de la viga acumulativa con Mw, si
corresponde, en la parte superior del muro (N-mm)
Mc= resistencia flexional de los muros en voladizo respecto de un eje
paralelo al eje longitudinal del puente (N-mm/mm)
Mw= resistencia flexional del muro respecto de su eje vertical (N-mm/mm)

Para poder ser utilizados en las expresiones anteriores, Mc y Mw no
deberían variar significativamente con la altura del muro. En otros casos se
debería realizar un análisis riguroso mediante líneas de fluencia.

Diseño de los vuelos del tablero (A13.4)
del
Los vuelos del tablero de un puente se deben diseñar considerando
separadamente los siguientes casos de diseño:

Caso de Diseño 1: fuerzas transversales y longitudinales especificadas en
el Artículo A13.2 − Estado Límite Correspondiente a
Evento Extremo
Caso de Diseño 2: fuerzas verticales especificadas en el Artículo A13.2 −
Estado Límite Correspondiente a Evento Extremo
Caso de Diseño 3: cargas que ocupan el vuelo, especificadas en el
Artículo 3.6.1 − Estado Límite de Resistencia

Tableros que soportan parapetos de hormigón
Para el Caso de Diseño 1, el tablero del puente se puede diseñar para
proveer una resistencia flexional, Ms, en Nmm/mm, que actuando
conjuntamente con la fuerza de tracción T en N/mm aquí especificada sea
mayor que la Mc del parapeto en su base. La fuerza de tracción axial, T, se
puede tomar de la siguiente manera:

R
T= (A13.4.2-1)
L c + 2H

III-33

donde:

Rw= resistencia del parapeto especificada en el Artículo A13.3.1 (N)
Lc = longitud crítica del patrón de falla por líneas de fluencia (mm)
H = altura del muro (mm)
T = fuerza de tracción por unidad de longitud del tablero (N/mm)

El diseño del vuelo del tablero para las fuerzas verticales especificadas en
el Caso de Diseño 2 se deberá basar en la porción del tablero en voladizo.

Transferencia de Corte en las Interfases − Corte por Fricción (Art. 5.8.4)

Se debe considerar la transferencia de corte en la interfase en un plano
dado por: una fisura existente o potencial, una interfase entre diferentes
materiales, o una interfase entre dos hormigones colados en diferentes
momentos.
La resistencia nominal al corte del plano de interfase se debe tomar como:

[
Vn = cA cv + µ A vf fy + Pc ] (5.8.4.1-1)

La resistencia nominal al corte utilizada en el diseño no deberá ser mayor
que el menor valor entre los siguientes:

'
Vn ≤ 0.2fc A cv (5.8.4.1-2)
ó bien

Vn ≤ 5.5A cv (5.8.4.1-3)
donde:

Vn = resistencia nominal al corte (N)
Acv = área del hormigón que participa de la transferencia de corte (mm2)
Avf = área de la armadura de corte que atraviesa el plano de corte (mm2)
fy = tensión de fluencia de la armadura (MPa)
c = factor de cohesión especificado en el Artículo 5.8.4.2 (MPa)
µ = coeficiente de fricción especificado en el Artículo 5.8.4.2
Pc = fuerza de compresión permanente neta normal al plano de corte; si la
fuerza es de tracción Pc = 0,0 (N)
f'c = resistencia especificada del hormigón más débil a 28 días (MPa)

La armadura para el corte en las interfases entre hormigones de losas y
vigas puede consistir en barras individuales, estribos de múltiples ramas o
las ramas verticales de una malla de alambre soldada. El área de la sección
transversal Avf de la armadura por unidad de longitud de viga debería
satisfacer ya sea el área requerida por la Ecuación 1 o bien:

III-34

0.35b v
A vf ≥ (5.8.4.1-4)
fy
donde:

bv = ancho de la interfase (mm)

La mínima armadura requerida Avf se puede obviar si Vn/Acv es menor que
0.70 MPa.

En el caso de las vigas, la separación longitudinal entre filas de barras de
armadura no deberá ser mayor que 600mm.
Si hay una fuerza neta de tracción a través del plano de corte, ésta deberá
ser resistida por armadura adicional a la requerida para corte.
La armadura de corte por fricción se deberá anclar mediante una longitud
embebida, ganchos o soldadura de manera de poder desarrollar la tensión
de fluencia especificada a ambos lados del plano de corte.
Las barras se deberán anclar tanto en la viga como en la losa.

Cohesión y Fricción (Art. 5.8.4.2)
Fricción

Para el coeficiente de cohesión, c, y el coeficiente de fricción, µ, se
deberán tomar los siguientes valores:

• Para el hormigón colocado de forma monolítica:
c = 1,0 MPa
µ = 1,4λ
• Para el hormigón colocado contra una superficie limpia de hormigón
endurecido a la cual se le ha introducido una rugosidad intencional de 6 mm
de amplitud:
c = 0,70 MPa
µ = 1,0λ
• Para hormigón colocado contra una superficie de hormigón endurecido
limpia y libre de nata, pero a la cual no se le ha introducido una rugosidad
intencional:
c = 0,52 MPa
µ = 0,6λ
• Para el hormigón anclado a acero estructural sin tratamiento térmico
mediante pernos con cabeza o mediante barras de armadura, si todo el
acero en contacto con el hormigón está limpio y libre de pintura:
c = 0,17 MPa
µ = 0,7λ

Para λ se deberán tomar los siguientes valores:

• Para hormigón de densidad normal 1.00
• Para hormigón de agregados livianos y arena 0.85
• Para todos los demás hormigones de baja densidad 0.75

III-35

Para las ménsulas, cartelas y resaltos horizontales tipo viga, el factor de
cohesión, c, se deberá tomar igual a 0,0.
Si se utiliza arena para reemplazar parcialmente el agregado, los valores de
λ se pueden interpolar linealmente.

III-36

PROBLEMAS
PROBLEMA III.1 Diseñar una losa de puente simplemente apoyada de 8.0 m de
una apoyada
longitud, con armadura principal paralela al tráfico y la sección transversal que se
muestra. Utilizar concreto f’c= 315 kg/cm2 y fy= 4200 kg/cm2. La carga viva a utilizar
muestra.
estra
es HL-93.
HL-

A B
t

Luz = 8.00 m

P = 600 kg/m Asfalto 2" P = 600 kg/m
barrera barrera

t

.40 7.60 .40
8.40 m

SECCIÓN TRANSVERSAL

Solución.-
Solución.-

Pre-
A) Pre-dimensionamiento

1.2(S + 3000)
t mín = (Tabla 2.5.2.6.3-1)
30

1.2(8000 + 3000)
= = 0.44 m
30

Tomamos t = 0.45 m

B) Diseño de franja interior (1.0m de ancho)

B.1) Momentos de flexión por cargas

Carga muerta (DC):

wlosa = 0.45m x 1.0m x 2.4 T/m3 = 1.08 T/m

w losaL2 1.08(8)2
MDC = = = 8.64 T-m
8 8

III-37

Carga por superficie de rodadura (DW):

wasf 2” = 0.05m x 1.0m x 2.25T/m³ = 0.113T/m

w asf2"L2 0.113(8)2
MDW = = = 0.90 T-m
8 8

Carga viva (LL):

De la Tabla APÉNDICE II-B, para vehículo HL-93, y con la consideración de
carga dinámica (33%) en estado límite de Resistencia I:

MLL+IM = 58.62 T-m

Siendo la luz del puente L=8m > 4.6m, el ancho de faja E para carga viva es
aplicable (Art. 4.6.2.1.2). El momento se distribuye en un ancho de faja para
carga viva E:

Caso de 2 ó más vías cargadas:

W
E = 2100 + 0.12 L1W1 ≤ (Art. 4.6.2.3-2)
NL
siendo:

L1 = 8m ≤18m = 8000mm
W1= 8.4m ≤18m = 8400mm (2 ó más vías)
W1= 8.4m ≤ 9m = 8400mm (para 1 vía)
W = ancho total = 8.4m = 8400mm
NL= número de vías; en general la parte entera de la relación
w/3.6, siendo w el ancho libre de la calzada (Art. 3.6.1.1.1)
= 7.6/3.6 = 2

8.4
E = 2100 + 0.12 8000x8400 ≤ m
2

E = 3.08m ≤ 4.20m

Caso de una vía cargada: (incluye el factor de presencia múltiple,
C4.6.2.3):

E = 250 + 0.42 L1W1 (Art. 4.6.2.3-2)
E = 250 + 0.42 8000x8400
E = 3.69m

El ancho de faja crítico es E= 3.08m

58.62 T − m
MLL +IM = = 19.03 T-m/m
3.08m

III-38

B.2) Resumen de momentos flectores y criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1)

MOMENTOS POSITIVOS POR CARGAS (FRANJA INTERIOR)
Carga M(+) T-m
T- γ
Resistencia I Servicio I Fatiga
DC 8.64 1.25 1.0 0
DW 0.90 1.50 1.0 0
LL+IM 19.03 1.75 1.0 0.75

Resistencia I: U = n[1.25DC+1.50DW+1.75(LL+IM)]
Servicio I: U = n[1.0DC+1.0DW+1.0(LL+IM)]
Fatiga: U = n[0.75(LL+IM)]

B.3) Cálculo del Acero

Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1:

Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1)

= 1.25(8.64) + 1.50(0.90) + 1.75(19.03) = 45.45 T-m

As principal paralelo al tráfico

Utilizando As ∅1” y recubrimiento r= 2.5cm (Tabla 5.12.3-1)

2.54
z = 2.5 + = 3.77 cm d
2 0.45 m
d= 45cm – 3.77cm = 41.23cm z

Mu 45.45x 5
10
As = = = 30.98 cm2
a a
0.9fy (d ) 0.9x4200(41.23 - )
2 2
Asx4200
a= = 0.157 As = 4.86 cm
0.85x315x
100

5.10
La separación será: s = = 0.16 m
30.98

USAR 1∅1” @ 0.16m
0.16

As máximo (Art. 5.7.3.3.1)

Una sección no sobre reforzada cumple con: c /de ≤ 0.42

 f ' − 280 
Como β1 = 0.85 − 0.05 c  ' 2
 70  para fc > 280 kg / cm , β1 = 0.825
 
c = a / β1 = 4.86 / 0.825 = 5.89 cm
de = 41.23 cm

III-39

c /de = 0.14 ≤ 0.42 OK!

As mínimo (Art. 5.7.3.3.2)

La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor
de1.2Mcr y 1.33Mu:

a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(35.67 kg/cm2)(33,750 cm3) = 14.45 T-m

Siendo:
fr = 0.63 fc MPa = 2.01 fc kg / cm2 = 2.01 315 = 35.67 kg / cm2
' '

S = bh2/6 = 100(45)2/6 = 33,750 cm3

b) 1.33 Mu= 1.33(45.45 T-m) = 60.45 T-m

El menor valor es 14.45 T-m y la cantidad de acero calculada (30.98 cm2)
resiste Mu=45.45 T-m > 14.45 T-m OK!

As de distribución
1750
%= ≤ 50% (Art. 9.7.3.2)
S
1750
%= =19.57%
8000

As repart = 0.1957(30.98 cm2) = 6.06 cm2

2
Utilizando varillas ∅5/8”, la separación será: s = = 0.33m
6.06

USAR 1∅5/8” @ 0.33 m

As de temperatura
Ag
A s temp = 0.756 [SI] (5.10.8.2-1)
Fy
A s temp = 0.0018 A g [MKS, con fy = 4200 kg / cm2 ]

100) = 8.1cm2
A s temp = 0.0018(45x

A s temp = 8.1cm2 / 2 = 4.05 cm2 / capa
1.29
Utilizando varillas ∅1/2”, la separación será: s = = 0.32m
4.05

smáx = 3t = 3(0.45)= 1.35m (Art.5.10.8)
smáx = 0.45m OK! (Art.5.10.8)

USAR 1∅1/2” @ 0.32 m
0.32

III-40

Nota.- El acero de temperatura se colocará, por no contar con ningún tipo de
acero, en la parte superior de la losa, en ambos sentidos.

B.4) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4)

Esfuerzo máximo del acero:

Z
fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1)
(d c A )1/ 3

Para el acero principal positivo (dirección paralela al tráfico):
Ø b
d c = recubrimie4 +
14 24nto 2
4 3
≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4)

2.54
d c = 2.5 cm + cm
2 45 cm
dc = 3.77cm
1Ø1"@0.16 dc
dc
b = espac. del acero = 16 cm

nv = número de varillas = 1 16 cm

(2d c )b (2x3.77cm)( cm)
16
A= = = 120.64 cm2 (Art. 5.7.3.4)
nv 1

Z = 30,000 N/mm (condición de exposición moderada) (Art. 5.7.3.4)
= 30,591 Kg/cm

Luego:

30, 591kg / cm
fsa = 2 1/ 3
= 3, 978 kg / cm2
(3.77cm x 120.64cm )

fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2

fsa = 2,520 kg / cm2

Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio

Ms c
fs = n
I

Para el Diseño por Estado Límite de Servicio I, con n= nDnRnI=1:

Ms = n ( .0 MDC +1.0 MDW +1.0 MLL +IM )
1 (Tabla 3.4.1-1)

Ms = 1.0(1.0x8.64+1.0x0.90+1.0x19.03)
Ms = 28.57 T-m/m

III-41

Para un ancho tributario de 0.16m:

Ms = (28.57 T-m/m) (0.16 m) = 4.57 T-m

Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2)
'
E c = 15,344 f c (5.4.2.4-1)
E c = 15,344 315 = 272, 329 kg / cm2

Es 2'039, 400 kg / cm2
n= = =7
Ec 272, 329 kg / cm2

16 cm
y (-)

41.23
c 45 cm
(+)
3.77 (fs/n)

1Ø1"@0.16
Ast=7x5.10cm²=35.7cm²

Área de acero transformada:

Ast = relación modular x área de acero
Ast = 7(5.10 cm2) = 35.7 cm2

Momentos respecto del eje neutro para determinar y:

16y (y/2) = 35.7(41.23-y)

y = 11.52cm, c=41.23cm-y = 29.71cm

Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:
by 3
I = A st c 2 +
3
16 ( .52) 3
11
= 35.7 (29.71 2 + )
3
=39,666cm4

Luego:

Ms c 4.57 x 105 x 29.71
fs = n= x 7 = 2, 396 kg / cm2
I 39, 666
fs = 2, 396 kg / cm2 < fsa = 2, 520 kg / cm2 OK !

III-42

C) Diseño de franja de borde

C.1) Ancho de franja para bordes longitudinales de losa
Según el Art. 4.6.2.1.4b, el ancho efectivo Eborde en bordes longitudinales se
toma como la sumatoria de la distancia entre el borde del tablero y la cara
interna de la barrera, mas 0.30m, mas la mitad del ancho de faja E ya
especificado. Eborde no deberá ser mayor que E, ni 1.80m.

0.5P 0.5P
(camión ó tandem)
.40 .30 1.80

(carga de vía)

.45
3.00

.77

E=1.47m
borde

Con E=3.08m tenemos:
(3.08m / 2)
E borde = 0.40m + 0.30m + ≤ (3.08m / 2) ó 1.80m
2
E borde = 1.47m ≤ 1.54m
E borde = 1.47m

C.2) Momentos de flexión por cargas (franja de 1.0m de ancho)

Carga muerta (DC):

wlosa = 0.45m x 1.0m x 2.4 T/m3 = 1.08 T/m

El peso de la barrera se asume distribuido en Eborde:
wbarrera = 0.600T / 1.47m = 0.41T/m

wDC = 1.08T/m + 0.41T/m = 1.49T/m
w L2 1.49 (8)2
MDC = DC = = 11.92T-m
8 8


wasf 2” = 113 kg/m(1.47m - 0.40m) /1.47m = 82kg/m

w asf2"L2 0.082(8)2
MDW = = = 0.66T-m
8 8

III-43

Carga viva (LL):

Para una línea de ruedas de tándem (crítico) y una porción tributaria de la carga
de vía de 3.00m de ancho, de la Tabla APÉNDICE II-B con la consideración de
carga dinámica (33%) en estado límite de Resistencia I:

  0.30m + 0.77m  
MLL +IM = 0.5 x 38.33Tm x1.33 + 7.64Tm   /1.47m
  3.00m 

MLL+IM = 19.19 T-m

C.3) Resumen de momentos flectores y criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1)

MOMENTOS POSITIVOS POR CARGAS (FRANJA DE BORDE)
Carga M(+) T-m
T- γ
DC 11.92 1.25 1.0 0
DW 0.66 1.50 1.0 0
LL+IM 19.19 1.75 1.0 0.75


C.4) Cálculo del Acero



= 1.25(11.92Tm) + 1.50(0.66Tm) + 1.75(19.19Tm) = 49.47 T-m

As principal paralelo al tráfico

Utilizando As ∅1” y recubrimiento r= 2.5cm (Tabla 5.12.3-1)

2.54
z = 2.5 + = 3.77 cm d
2 0.45 m
d= 45cm – 3.77cm = 41.23cm z

Mu 49.47x 5
10
As = = = 33.94cm2
a a
0.9fy (d ) 0.9x4200(41.23 - )
2 2

Asx4200
a= = 0.157As = 5.33cm
0.85x315x
100

III-44

5.10
La separación será: s = = 0.15m
33.94

USAR 1∅1” @ 0.15m
0.15



 f ' − 280 
Como β1 = 0.85 − 0.05 c  ' 2
 70  para fc > 280 kg / cm , β1 = 0.825
 
c = a / β1 = 5.33cm/0.825 = 6.46cm
de = 41.23 cm

c /de = 0.16 ≤ 0.42 OK!


de1.2Mcr y 1.33Mu:

a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(35.67kg/cm2)(33,750cm3) = 14.45T-m

Siendo:
fr = 0.63 fc' MPa = 2.01 fc' kg / cm2 = 2.01 315 = 35.67 kg / cm2
S = bh2/6 = 100(45)2/6 = 33,750 cm3

b) 1.33 Mu= 1.33(49.47T-m) = 65.80T-m

El menor valor es 14.45 T-m y la cantidad de acero calculada (33.94 cm2)

As de distribución
1750
%= ≤ 50% (Art. 9.7.3.2)
S
1750
%= =19.57%
8000

As repart = 0.1957(33.94 cm2) = 6.64 cm2

2
Utilizando varillas ∅5/8”, la separación será: s = = 0.30 m
6.64

USAR 1∅5/8” @ 0.30 m
0.30

Nota.- Por facilidad en el colocado se uniformizará este resultado con el
obtenido para la franja interior (1Ø5/8”@0.33m), adoptándose 1∅5/8” @
0.30 m.

III-45

C.5) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4)


Z
fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1)
(d c A )1/ 3

Para el acero principal positivo (dirección paralela al tráfico):
Ø
d c = recubrimie4 +
14 24nto 2
4 3 b
≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4 )

2.54
d c = 2.5 cm + cm
2
dc = 3.77cm
45 cm
1Ø1"@0.15 dc
b = espac. del acero = 15 cm dc

nv = número de varillas = 1 15 cm
(2d c )b (2x3.77cm)( cm)
15
A= = = 113.1 cm2 (Art. 5.7.3.4)
nv 1

= 30,591 Kg/cm

Luego:

30,591kg / cm
fsa = = 4, 064 kg / cm2
(3.77cm x 113.1cm2 )1/ 3

fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2

fsa = 2,520 kg / cm2


Ms c
fs = n
I


Ms = n ( .0 MDC +1.0 MDW +1.0 MLL +IM )
1 (Tabla 3.4.1-1)
Ms = 1.0(1.0x11.92Tm+1.0x0.66Tm+1.0x19.19Tm)
Ms = 31.77 T-m/m


III-46

Ms = (31.77 T-m/m) (0.15 m) = 4.77 T-m

Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2)
'
E c = 15,344 f c (5.4.2.4-1)
2
E c = 15,344 315 = 272, 329 kg / cm

Es 2'039,400 kg / cm2
n= = =7
Ec 272,329 kg / cm2

15 cm
y (-)

41.23
c 45 cm
(+)
3.77 (fs/n)

1Ø1"@0.15
Ast=7x5.10cm²=35.7cm²


Ast = 7(5.10 cm2) = 35.7 cm2


15y (y/2) = 35.7 (41.23-y)

y = 11.83 cm, c=41.23cm - y = 29.40cm

by 3
I = A st c 2 +
3
15 ( .83) 3
11
= 35.7 (29.40)2 +
3
= 39,136 cm4

Luego:

Ms c 4.77 x 105 x 29.40
fs = n= x 7 = 2, 508 kg / cm2
I 39,136


III-47

D) Fatiga

D.1) Carga de Fatiga

Se calcula con un camión de diseño, con una separación constante de 9.0 m entre los
ejes de 14.8T (Art. 3.6.1.4.1). No se aplica el factor de presencia múltiple (Art.
3.6.1.1.2).

c
L
14.8 T 14.8 T 3.6 T

9.0 m 4.3 m

A B

Mmáx

4.0 m 4.0 m

PL 14.8T (8.0 m)
MLL = = = 29.6 T − m
4 4

Para el Diseño por Fatiga, con n= nDnRnI=1:

Mfat = n (0.75 MLL +IM ) (Tabla 3.4.1-1)

Considerando el ancho efectivo para una sola vía cargada, y IM=0.15 (Tabla
3.6.2.1-1):

Mfat = 1.0(0.75x1.15x29.6 T-m) / E
Mfat = 25.53 T-m/ 3.69 m = 6.92 T-m/m

D.2) Sección fisurada

Se utiliza la sección fisurada si la suma de esfuerzos debido a cargas permanentes no
mayoradas más 1.5 veces la carga de fatiga, da por resultado una tensión de tracción
mayor que 0.25 fc' (Art. 5.5.3):

ftracc = 0.25 fc MPa = 0.80 fc kg / cm2 = 0.80 315 kg / cm2 = 14.20 kg / cm2
' '

Esfuerzo debido a cargas permanentes no mayoradas más 1.5 veces la carga de
fatiga en una franja interior:

M’fat = 1.0MDC+1.0MDW+1.5Mfat

M’fat = 1.0x8.64+1.0x0.90+1.5x6.92 = 19.92 T-m

III-48

M'fat 19.92x 5 kg − cm
10
ffat = = = 59.02 kg / cm2
S 33,750cm 3

Como ffat = 59.02 kg/cm2 > 14.20 kg/cm2 , se usará sección agrietada.

D.3) Verificación de esfuerzos

Esfuerzo en el refuerzo debido a la carga viva

Con A s = 1φ1 @ 0.16m = 5.10cm2 / 0.16m = 31.88cm2 / m
"

y 11.52cm
j.d = d − = 41.23cm − = 37.39cm (ver revisión agrietamiento)
3 3

Mfat 6.92x 5
10
fLL = = = 581 kg / cm2
A s ( j.d) (31.88)(37.39)

Rango máximo de esfuerzo

El esfuerzo mínimo es el esfuerzo por carga viva mínimo combinado con el esfuerzo
por carga permanente.

El momento por carga muerta para una franja interior es:

MDL = MDC + MDW = 8.64 T-m + 0.90 T-m = 9.54 T-m

El esfuerzo por carga permanente es:

MDL 9.54x 5
10
fDL = = = 800 kg / cm2
A s ( j.d) (31.88)(37.39)

Por ser la losa simplemente apoyada, el esfuerzo por carga viva mínimo es
cero.

Luego, el esfuerzo mínimo es:

fmín = 0 + 800 kg/cm2 = 800 kg/cm2

El esfuerzo máximo es el esfuerzo por carga viva máximo combinado con el esfuerzo
por cargas permanentes:

fmáx = 581kg/cm2 + 800 kg/cm2 = 1381 kg/cm2

El rango de esfuerzos es: f = fmáx – fmín = 581 kg/cm2

III-49

El rango límite es:
r
f ≤ 1479 − 0.33fmin + 561( ) (5.5.3.2-1)
h
Con r/h = 0.3: (Art. 5.5.3)

flímite = 1479 − 0.33(800) + 561(0.3) = 1383 kg / cm2

flímite = 1383 kg/cm2 > f = 581 kg/cm2 OK!

As temp 1/2" @ 0.32 m

0.45 m
A B
As distrib. As princ: 1" @ 0.16 m
5/8" @ 0.30 m (en bordes: 1" @ 0.15 m)

Luz = 8.00 m

DISTRIBUCIÓN DE ACERO EN LOSA

III-50

PROBLEMA III.2 Diseñar un puente viga simplemente apoyado de 12.00 m de
longitud, dos vías. Utilizar concreto f’c= 280 kg/cm2 y fy= 4200 kg/cm2. El vehículo
usuario es HL-93.
HL-

A B

Luz = 12.00 m

Solución.-
Solución.-
Se propone la siguiente sección transversal, constituida por una losa apoyada sobre
cuatro vigas, distancia entre ejes de vigas S’= 2.10m, voladizos de aproximadamente
0.4S’=0.84m≈0.825m, y barreras de concreto con perfil tipo New Jersey con un
área en su sección transversal= 2028.75cm² (C.G. a 0.13m de la cara vertical):

3.60 3.60

_
x=.13
C.G.
S=2% S=2% Asfalto 2"
t
Cartelas 9"x6"

.15 Diafragma
.375 .15 b b=.25
.30 .15
0.825 S'=2.10 2.10 2.10 0.825

7.95m

I) DISEÑO DE LA LOSA (As principal perpendicular al tráfico)

A) Pre-dimensionamiento de losa

Ancho de la viga
Siendo:
S’ = espaciamiento entre ejes de vigas = 2.10m
L = luz del puente = 12m

b = 0.0157 S' L (Continuos Concrete Bridges, PORTLAND CEMENT ASSOCIATION)

b = 0.0157 2.10 x 12 = 0.27m . Adoptamos b = 0.30 m

Espesor de losa

• En tableros de concreto apoyados en elementos longitudinales:
tmín= 0.175m (Art. 9.7.1.1)

III-51

• Aunque el acero principal es perpendicular al tráfico es posible tomar
como en versiones anteriores del AASHTO, la expresión:

S + 3000
t min = ≥ 165 mm (Tabla 2.5.2.6.3-1)
30

1800 + 3000
t min = = 160mm ≥ 165mm
30

tmín= 0.165m

Siendo:
S = luz libre de losa = 1800mm

• En voladizos de concreto que soportan barreras de concreto, el
espesor mínimo de losa es:

tmín= 0.20m (Art. 13.7.3.1.2)

• Teniendo en cuenta las disposiciones sobre el espesor de la losa
uniformizamos con t = 0.20m
0.20m.

B) Criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1)

Resistencia I: U = n[(1.25 ó 0.9)DC+(1.50 ó 0.65)DW+1.75(LL+IM)]

Conforme al Art. 9.5.3, no es necesario investigar el estado de fatiga en tableros
de concreto en vigas múltiples.

C) Momentos de flexión por cargas

3.60 3.60
_ _
x=.13 x=.13
P S=2% S=2% P
barrera Asfalto 2" barrera
t
Cartelas 9"x6"

.15 Diafragma
.375 .15 b b=.25
.30 .15
0.825 L=2.10 2.10 2.10 0.825

0.4L

E A F B C D G

III-52

Negativo
C.1) Momento Negativo de Diseño
Sabiendo que la carga que determina el diseño es la carga viva (LL+IM), antes que
las cargas DC y DW significativamente menores, calcularemos el momento negativo
en el apoyo interior B para franjas de losa de 1m. El cálculo del momento negativo
en los apoyos externos se realizará posteriormente al calcular el volado.

1. Carga Muerta (DC):

Resolviendo la losa continua sobre cuatro apoyos (programa SAP2000) se
tiene:

Peso propio de losa: wlosa = 0.20m x 1.0m x 2400 kg/m³ = 480 kg/m

El Art. 4.6.2.1.6 especifica que para momento negativo en construcciones
monolíticas de concreto se puede tomar la sección de diseño en la cara del
apoyo. Tomamos entonces con respecto al apoyo B, los siguientes resultados
del diagrama de momentos:

MDC1 = -178.98 kg-m = -0.18 T-m (en el eje B)
MDC1,izq = -117.38 kg-m = -0.12 T-m (cara izq. de B)
MDC1,der = -120.66 kg-m = -0.12 T-m (cara der. de B)

Peso de barreras: Pbarrera = 0.202875 m² x 1.0m x 2400 kg/m³ = 487 kg
(aplicado en x = 0.13 m )

III-53

Tomamos del diagrama de momentos:

MDC2 = +66.84 kg-m = +0.07 Tm (en el eje B)
MDC2,izq = +37.89 kg-m = +0.04 Tm (cara izq. de B)
MDC2,der = +66.84 kg-m = +0.07 Tm (cara der. de B)

En la mayoración de cargas para el estado límite de Resistencia I, los valores
positivos de momento serán multiplicados por γ = 0.9 para obtener en la
combinación de cargas el máximo momento negativo.

2. Carga por superficie de rodadura (DW):

Asfalto: wasf 2” = 0.05m x 1.0m x 2250kg/m³ = 113 kg/m

Tomamos del diagrama de momentos:

MDW = -47.47 kg-m = -0.05 T-m (en el eje B)
MDW,izq = -30.66 kg-m = -0.03 T-m (cara izq. de B)
MDW,der = -33.74 kg-m = -0.03 T-m (cara der. de B)

3. Carga Viva y efecto de Carga Dinámica (LL+IM):

MÉTODO A: Proceso Analítico

Haciendo uso de la línea de influencia para momento flector en el apoyo B (ver
APÉNDICE II-D) calculamos el momento por carga viva en la sección de máximo
momento negativo (apoyo B) colocando los ejes de carga de camión en
posiciones críticas:

III-54

4
Tramo EA (−0.825 m ≤ x ≤ 0) MB = − x
15

80 3 4
Tramo AB (0 ≤ x ≤ 2.10 m) MB = x − x
1323 15

100 3 6 2 46 84
Tramo BC (2.10 m ≤ x ≤ 4.20 m) MB = − x + x − x+
1323 7 15 25

20 3 6 2 26 84
Tramo CD (4.20 m ≤ x ≤ 6.30 m) MB = x − x + x−
1323 21 15 25

x 21
Tramo DG (6.30 m ≤ x ≤ 7.125 m) MB = − +
15 50

Para un carril cargado, y afectado del factor de presencia múltiple m (Art.
3.6.1.1.2):

M(-) = [7.4T(-0.215m)+7.4T(-0.164m)]1.2= -2.80 Tm x 1.2 = -3.36T-m

Para dos carriles cargados:

M(-)=[7.4T(-0.215m)+7.4T(-0.164m)+7.4(+0.008m)+7.4(0.016m)]1.0
= -2.63 Tm

III-55

El ancho de franja en que se distribuye es:

E(-) = 1220+0.25 S’ (Tabla 4.6.2.1.3-1)

= 1220+0.25(2100)= 1745mm = 1.75m

Entonces, el momento negativo crítico en B, incluido el efecto de carga
dinámica y el ancho de franja es:

3.36
MB(-)LL+IM= - x1.33 = -2.55 T-m
1.75

Conociendo la posición de cargas que genera el máximo momento negativo en
B, calculamos también los momentos en la cara de la viga a la izquierda y
derecha resolviendo la losa hiperestática apoyada sobre las cuatro vigas:

De donde se obtiene:

1.2 x1.33
M(-)LL+IM = − 2.79 x = − 2.54 Tm (en el eje B, similar al valor -2.55Tm
1.75
que se obtuvo usando la línea de influencia MB)
1.2 x1.33
M(-)LL+IM, izq = −1.92 x = −1.75 Tm (cara izq. de B)
1.75

1.2 x1.33
M(-)LL+IM, der= − 2.04 x = −1.86 Tm (cara der. de B)
1.75

A4-
MÉTODO B: Uso de la Tabla A4-1(AASHTO LRFD)

Para S= 2.10 m:

III-56

N mm Tm
En el eje del apoyo B: M(-)LL+IM = 26,780 = −2.73
mm m

N mm Tm
En cara de viga (a 0.15m): M(-)LL+IM = 19,580 = −2.00
mm m

corregidos III-
MÉTODO C: De momentos corregidos (ver Apéndice III-A)

Utilizamos la línea de influencia de la reacción en el apoyo B (Ver APÉNDICE II-
D, para su construcción):

16
Tramo EA ( −0.825 m ≤ x ≤ 0) RB = x
21

200 3 16
Tramo AB ( 0 ≤ x ≤ 2.10 m) RB = − x + x
3087 21

1000 3 160 2 64 8
Tramo BC (2.10 m ≤ x ≤ 4.20 m) RB = x − x + x−
9261 147 21 5

400 3 40 2 104 48
Tramo CD (4.20 m ≤ x ≤ 6.30 m) RB = − x + x − x+
9261 49 21 5

4 6
Tramo DG (6.30 m ≤ x ≤ 7.125 m) RB = x−
21 5

III-57

Usando respectivamente las líneas de influencia de momento flector y reacción
en el apoyo B, y la Ecuación 2 del Apéndice III-A, determinamos el momento en
la cara del apoyo con:

RB N
ML = MOL + (Ecuación 2, Apéndice II-A)
8

Para un carril cargado:

ML = momento negativo de diseño ajustado para carga viva
MOL= momento negativo en el apoyo usando cargas de rueda concentradas
= 7.4T(-0.215m)+7.4T(-0.164m) = -2.80 T-m
R = reacción del apoyo debido a cargas de rueda concentradas
= 7.4T(0.830)+7.4T(0.628) = 10.79T (10.77 en SAP2000)
BN = dos veces la distancia desde el eje del apoyo a la sección de diseño
negativa
= 2(0.15m) = 0.30m

10.79T(0.30m)
ML = −2.80 Tm + =-2.40 T-m
8

Incluyendo el factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2) se tendrá:

M(-)=(-2.40 Tm)1.2= -2.88 T-m


MOL= 7.4T(-0.215m)+7.4T(-0.164m)+7.4T(+0.008m)+7.4T(+0.016m)
= -2.63 Tm

R = 7.4T(0.830)+7.4T(0.628)+7.4T(-0.022)+7.4T(-0.045)
= 10.29T (10.28 en SAP2000)

BN = 2(0.15m) = 0.30m

10.29T(0.30m)
ML = −2.63 Tm + =-2.24 T-m
8

Incluyendo el factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2) se tiene:

M(-)=(-2.24 Tm)1.0= -2.24 T-m

Entonces en la cara de viga, el momento negativo crítico afectado del efecto
de carga dinámica y el ancho de franja es:

2.88
M(-)LL+IM= - x1.33 = -2.19 T m (en cara de viga)
1.75

Y en el eje del apoyo B el momento es:

1.33
M(-)LL+IM= - 2.80 x1.2 x = -2.55 T m
1.75

III-58

Resultados:
M(-
M(-)LL+IM en B, unidades: T-m
T-
COMPARACIÓN M( - )LL+IM, izq M( - )LL+IM, eje B M( - )LL+IM, der
MÉTODO A -1.75 -2.54 -1.86
MÉTODO B -2.00 -2.73 -2.00
MÉTODO C -2.19 -2.55 -2.19

Optaremos por la solución que ofrece el Método A, aunque es posible optar por
cualquiera de los otros métodos. Observar que los resultados del Método C son
una aproximación a lo encontrado con detalle por el Método A y que el Método B
siendo más conservador, simplifica considerablemente el proceso de diseño.

RESUMEN DE MOMENTOS NEGATIVOS POR CARGAS EN B
Carga Tipo M(-) izq M(-) eje M(-) der γ(Resistencia I)
T-m T-m T-m
Losa DC1 -0.12 -0.18 -0.12 1.25
Barrera DC2 +0.04 +0.07 +0.07 0.9
Asfalto DW -0.03 -0.04 -0.03 1.5
Carga viva LL+IM -1.75 -2.54 -1.86 1.75

Para el Diseño por Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1:

Mu = n[(1.25 ó 0.9)MDC+(1.50 ó 0.65)MDW+1.75M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1)

En el eje B:

Mu = 1.25(-0.18)+0.9(0.07)+1.50(-0.05)+1.75(-2.54)= -4.68 T-m

En cara de viga izquierda:

Mu = 1.25(-0.12)+0.9(0.04)+1.50(-0.03)+1.75(-1.75)= -3.22 T-m

En cara de viga derecha:

Mu = 1.25(-0.12)+0.9(0.07)+1.50(-0.03)+1.75(-1.86)= -3.39 T-m

El acero negativo será diseñado con este último valor de momento que es el
mayor de las dos caras de viga.

III-59

Positivo
C.2) Momento Positivo de Diseño

La carga que determina el diseño es la carga viva (LL+IM), antes que las cargas DC
y DW significativamente menores. El máximo momento positivo por carga viva ocurre
en los tramos AB ó CD , a 0.4L de un apoyo exterior (L es la longitud de tramos),
en una sección tal como F. En base a esa sección se realizará el diseño para
momento positivo en franjas de losa de 1m.
Las expresiones para la línea de influencia del momento flector en la sección F (ver
APÉNDICE II-D) son:

37
Tramo EA ( −0.825 m ≤ x ≤ 0) MF = x
75

32 3 37
Tramo AF ( 0 ≤ x ≤ 0.84 m) MF = x + x
1323 75

32 3 38 21
Tramo FB (0.84 m ≤ x ≤ 2.10 m) MF = x − x+
1323 75 25

40 3 12 2 92 168
Tramo BC (2.10 m ≤ x ≤ 4.20 m) MF = − x + x − x+
1323 35 75 125

8 12 2 52 168
Tramo CD (4.20 m ≤ x ≤ 6.30 m) MF = x3 − x + x−
1323 105 75 125

2 21
Tramo DG (6.30 m ≤ x ≤ 7.125m) MF = − x+
75 125

Con la línea de influencia y las cargas que actúan en la losa, calculamos los
momentos en la sección de máximo momento positivo (a 0.4L):

1. Carga Muerta (DC):

Del diagrama de momentos en losa por peso propio, en la sección F (x =
0.4L):
MDC1 = 84.42 kg-m = 0.08 T-m

Igualmente para las barreras:

MDC2 = -176.34 kg-m = -0.18 T-m

En la mayoración de cargas para el estado límite de Resistencia I, a este último
valor por ser negativo lo multiplicaremos por γ = 0.9, para obtener en la
combinación de cargas el máximo momento positivo.

2. Carga por superficie de rodadura (DW):

Del diagrama de momentos en losa por carga de asfalto, en la sección F (x =
0.4L):

MDW = 33.95kg-m = 0.03T-m

III-60

efecto
3. Carga Viva y efecto de Carga Dinámica (LL+IM):

MÉTODO A: Proceso analítico

Para un carril cargado, y con el factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2):

M(+)= [7.4T(0.429m)+7.4T(-0.061m)]1.2= 2.723T-m x 1.2=3.27 T-m


M(+)=[7.4T(0.429m)+7.4T(-0.061m)+7.4(0.007m)+7.4(0.004)]1.0
= 2.80 T-m

El ancho de franja en que se distribuye es:

E(+)= 660+0.55 S’ (Tabla 4.6.2.1.3-1)
= 660+0.55(2100)= 1815 mm = 1.82 m

Entonces, el momento positivo crítico considerando el efecto de carga
dinámica (33% para el Estado Límite de Resistencia) y el ancho de franja, es:

3.27
M(+)LL+IM= x1.33 = 2.39 Tm
1.82

III-61

A4-
MÉTODO B: Uso de la Tabla A4-1(AASHTO LRFD)

Para S= 2.10 m:

N mm T−m
M(+)LL+IM= 23380 = 2.38
mm m

III-
MÉTODO C: De momentos corregidos (Ver Apéndice III-A)

Para un carril cargado:

Usando la línea de influencia de momento flector en x=0.4L, y la Ecuación 1
del Apéndice III-A, se puede reducir el momento para el eje vehicular que
coincide con la ordenada máxima (en x = 0.4L) extendiendo la carga de
rueda en un ancho de 0.51m más el grosor de la losa (Art. 4.6.2.1.6) con:

PB P
ML = MOL − (Ecuación 1, Apéndice III-A)
8
Donde:

ML = momento positivo de diseño ajustado por carga viva para un eje
MOL= momento positivo usando cargas de rueda concentradas
= 7.4T(0.429) = 3.17 T-m
P = carga de rueda concentrada en el punto de interés
= 7.4T
BP = longitud de base de la carga de rueda extendida (0.51m más el
peralte de la losa)
= 0.51m + 0.20m = 0.71m

7.4T(0.71m)
ML = 3.17 Tm − =2.51T-m
8

Para el otro eje vehicular la modificación es despreciable, por lo que
incluyendo el factor de presencia múltiple m (Art. 3.6.1.1.2) se tendrá:

M(+)= [2.51Tm+7.4T(-0.061m)]1.2= 2.47T-m


M(+)= [2.51Tm+7.4T(-0.061m)+7.4T(0.007m)+7.4T(0.004)]1.0
= 2.14 T-m

Entonces el momento positivo crítico, afectado del efecto de carga dinámica
(33% para el Estado Límite de Resistencia) y el ancho de franja, es:

2.47
M(+)LL+IM= x1.33 = 1.81 T − m
1.82

III-62

Resultados:
M(+
M(+)LL+IM en F, unidades: T-m
T-
COMPARACIÓN M(+)LL+IM
MÉTODO A +2.39
MÉTODO B +2.38
MÉTODO C +1.81

Optaremos en este caso conservadoramente por los resultados del Método A.
Notar que el Método C en este caso logra menores valores al tratar las cargas de
eje como cargas extendidas antes que puntuales, situación permitida por el
Reglamento AASHTO (Art. 4.6.2.1.6).

RESUMEN DE MOMENTOS POSITIVOS POR CARGAS EN F
Carga Tipo M(+) T-m γ(Resistencia I)
Losa DC1 0.08 1.25
Barrera DC2 -0.18 0.9
Asfalto DW 0.03 1.5
Carga viva LL+IM 2.39 1.75


Mu = n[(1.25 ó 0.9)MDC+(1.50 ó 0.65)MDW+1.75M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1)

= 1.25(0.08)+0.9(-0.18)+1.50(0.03)+1.75(2.39)= +4.17 T-m

D) Cálculo del Acero

D.1) Acero Negativo (perpendicular al tráfico)

Mu =-3.39 T-m

Utilizando As ∅ ½” y recubrimiento r= 5.0 cm (Tabla 5.12.3-1)

1.27
z = 5.0 + = 5.64 cm
2 z

d 0.20 m
d= 20cm – 5.64cm = 14.36cm

3.39x 5
10
A s ( −) = = 6.50 cm2
a
0.9x4200( .36 − )
14
2
Asx4200
a= = 1.14 cm
0.85x280x
100

1.29
6.50

USAR 1∅1/2” @ 0.20m


III-63

Como:
c = a / β1 = 1.14 / 0.85 = 1.34 cm
de = 14.36cm

c /de = 0.09 ≤ 0.42 OK!


de1.2Mcr y 1.33Mu:

a) 1.2Mcr = 1.2(fr S) = 1.2(33.63 kg/cm2)(6,667 cm3) = 2.69 T-m

Siendo:
fr = 0.63 fc MPa = 2.01 fc' kg / cm2 = 2.01 280 = 33.63 kg / cm2
'

S = bh2/6 = 100(20)2/6 = 6,667cm3

b) 1.33 Mu= 1.33(3.39T-m) = 4.51T-m

El menor valor es 2.69T-m y la cantidad de acero calculada (6.50cm2)
resiste:

Mu=3.39T-m > 2.69T-m OK!

D.2) Acero Positivo (perpendicular al tráfico)

Mu =+4.17 T-m

Utilizando As ∅ ½” y recubrimiento r= 2.5 cm (Tabla 5.12.3-1)

1.27
z = 2.5 + = 3.14 cm
2
d= 20cm – 3.14cm = 16.86cm d 0.20 m
z
4.17x 5
10
A s ( +) = = 6.78 cm2
a
0.9x4200( .86 − )
16
2
Asx4200
a= = 1.19 cm
0.85x280x
100

1.29
6.78

USAR 1∅1/2” @ 0.19 m



III-64

Como:
c = a / β1 = 1.19 / 0.85 = 1.40 cm
de = 16.86 cm

c /de = 0.08 ≤ 0.42 OK!


de1.2Mcr y 1.33Mu:

a) 1.2Mcr = 1.2(fr S) = 1.2(33.63 kg/cm2)(6,667 cm3) = 2.69 T-m

Siendo:
' '

S = bh /6 = 100(20) /6 = 6,667 cm3
2 2

b) 1.33 Mu= 1.33(4.17T-m) = 5.55T-m

resiste:

Mu=4.17T-m > 2.69T-m OK!

D.3) As de temperatura

Ag
A s temp = 0.756 [SI] (5.10.8.2-1)
Fy

100 = 3.60 cm2
A s temp = 0.0018x20x
3.60 cm2
En dos capas se colocará: = 1.80 cm2 / capa
2
0.71
1.80

smáx = 3t = 3(0.20)= 0.60m (Art.5.10.8)

smáx = 0.45m (Art.5.10.8)

USAR 1∅3/8” @ 0.39 m

Nota.- El acero de temperatura se colocará, por no contar con ningún tipo de
acero, en la parte superior de la losa, en el sentido del tráfico.

III-65

D.4) As de distribución

En la parte inferior de las losas se coloca armadura en la dirección secundaria
en un porcentaje del acero positivo igual a:

3840
%= ≤ 67% (Art. 9.7.3.2)
S

S = distancia entre cara de vigas = 1.80m = 1800mm

3840
%= = 90.51% > 67% ∴ % = 0.67
1800

As repart = 0.67(6.78cm2) = 4.54cm2

1.29
4.54

USAR 1∅1/2” @ 0.28m
1/2”

-As princ. 1/2" @ 0.20m
As temp 3/8" @ 0.39m

0.20 m

+As princ 1/2" @ 0.19m

As distrib. 1/2" @ 0.28m

SECCIÓN DE LOSA APOYADA EN VIGAS

Nota.- El C4.6.2.1.6, establece: “anteriormente ha sido una práctica no
chequear el cortante en tableros típicos…No es la intención exigir que se
investigue el corte en todos los tableros”. El Art. 5.14.4.1 señala que las
losas y los puentes de losa diseñados para momento de acuerdo con el Art.
4.6.2.3 se pueden considerar satisfactorios desde el punto de vista del
corte. Por tales consideraciones no efectuamos en este caso la revisión por
corte.

E) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4)

E.1) Acero negativo


Z
fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1)
(d c A )1/ 3

III-66

Ø 1Ø1/2"@0.20
d c = recubrimie4 +
14 24nto 2
4 3
≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4 ) dc
dc
1.27
d c = 5 cm + cm 20 cm
2
dc = 5.64cm
b = espac. del acero = 20cm
20 cm
nv = número de varillas = 1

(2d c )b (2x5.64cm)(20cm)
A = = = 225.60 cm2 (Art. 5.7.3.4)
nv 1
= 30,591 Kg/cm

Luego:
30,591kg / cm
fsa = = 2, 823 kg / cm2
(5.64cm x 225.60cm2 )1 / 3

fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2

fsa = 2,520 kg / cm2


Ms c
fs = n
I


Ms = n ( .0 MDC +1.0 MDW +1.0 MLL +IM )
1 (Tabla 3.4.1-1)

Ms = 1.0[1.0x(-0.12+0.07)+1.0x(-0.03)+1.0x(-1.86)]

Ms = -1.94 T-m, para un metro de franja.

Luego:

Ms = (-1.94T-m/m) (0.20m) =-0.39T-m

Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2)
'
E c = 15,344 f c (5.4.2.4-1)
E c = 15,344 280 = 256, 754 kg / cm2

E s 2'039,400 kg / cm2
n= = =8
Ec 256,754 kg / cm2

III-67

1Ø12" = 1.29cm2
(Ast=8x1.29=10.32cm2 )

5.64 (fs/n)

c=14.36-y 14.36 20 cm
E.N.
y

20 cm


Ast = 8(1.29 cm2) = 10.32 cm2


20y (y/2) = 10.32(14.36-y)

y = 3.37cm, c= 10.99cm


by 3
I = A st c 2 +
3
20 (3.37) 3
= 10.32 ( .99)2 +
10
3
= 1,502 cm4

Luego:
Ms c 0.39 x 105 x 10.99
fs = n= x 8 = 2, 283 kg / cm2
I 1502


E.2) Acero positivo:


Z
fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1)
(d c A )1/ 3
b
Ø
d c = recubrimie4 +
14 24nto 2
4 3
≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4 )

1.27 1Ø1/2"@0.19 20 cm
d c = 2.5 cm + cm
2 dc
dc = 3.14cm dc

19 cm

III-68



(2d c )b (2x3.14cm)( cm)
19
A= = = 119.32 cm2 (Art. 5.7.3.4)
nv 1

= 30,591 Kg/cm

30,591kg / cm
Luego: fsa = = 4, 243 kg / cm2
(3.14cm x 119.32cm2 )1/ 3

fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2

fsa = 2,520 kg / cm2


Ms c
fs = n
I


Ms = n ( .0 MDC +1.0 MDW +1.0 MLL +IM )
1 (Tabla 3.4.1-1)

Ms = 1.0[1.0x(0.08-0.18)+1.0x(0.03)+1.0x(2.39)]

Ms = 2.32T-m, para un metro de franja.

Luego:

Ms = (2.32T-m/m) (0.19m) =0.44T-m

Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2)

E c = 15,344 fc' (5.4.2.4-1)

E c = 15,344 280 = 256, 754 kg / cm2

E s 2'039,400 kg / cm2
n= = =8
Ec 256,754 kg / cm2

III-69

19 cm
y (-)

16.86
c=16.86-y 20 cm
(+)
3.14 (fs/n)

1Ø1/2"@0.19
Ast=8x1.29cm²=10.32cm²


Ast = 8(1.29 cm2) = 10.32 cm2


19y (y/2) = 10.32(16.86-y)

y = 3.77cm, c= 13.09cm


by 3
I = A st c 2 +
3
19 (3.77) 3
= 10.32 ( .09)2 +
13
3
= 2,108cm4

Luego:

Ms c 0.44 x 105 x 13.09
fs = n= x 8 = 2,186 kg / cm2
I 2,108

fs = 2,186 kg / cm2 < fsa = 2, 520 kg / cm2 OK !

III-70

II) DISEÑO DE VIGA PRINCIPAL INTERIOR
Asfalto 2"
A) Pre-dimensionamiento 2.10 m
hmin = 0.070L (Tabla 2.5.2.6.3-1) .20
.15
hmin = 0.070(12)= 0.84m .23
h= 0.85

Tomamos .15
Diafragma 0.30
h = 0.85m b=0.25

B) Momentos de flexión por cargas (viga interior)

Considerando vigas diafragmas en apoyos y en el centro de luz, tenemos:

Carga muerta (DC):

Cargas distribuidas

wlosa = 0.20 x 2.10 x 2400 = 1008 kg/m
wviga = 0.65 x 0.30 x 2400 = 468 kg/m
wcartelas= 2(0.5 x 0.15 x 0.23)x2400 = 83 kg/m
wDC = 1559 kg/m

w DC L2 1.559( )2
12
MDC1 = = = 28.06T-m
8 8

Cargas puntuales
Colocando tres diafragmas a lo largo de toda la viga, dos en apoyos y uno en
el centro de luz, se tiene:

Pdiaf = (0.85-0.20-0.15)(2.10-0.30)(0.25)(2400)=540 kg

Pdiaf L 0.54T ( m)
12
MDC2 = = = 1.62 T − m
4 4

Luego MDC = MDC1+ MDC2 = 28.06+1.62 =29.68 T-m


wasf 2” = 0.05 x 2250 x 2.10 = 236 kg/m

w DW L2 0.236( )2
12
MDW = = = 4.25 T-m
8 8

Carga viva y efecto de carga dinámica (LL+IM):

De la Tabla APÉNDICE II-B, para vehículo HL-93, y con la consideración de carga
dinámica en estado límite de resistencia:

MLL+IM = 98.83 T-m

III-71

El % de momento g que se distribuye a una viga interior es:

Caso de un carril cargado:

0.1
 Kg 
0.4 0.3
 S   S  3
g = 0.06 +      Lt  (Tabla 4.6.2.2.2b-1)
 4300  L   s
0.1
 Kg 
Cálculo de  3 
 Lt  :
 s 2.10 m
E viga
n= = 1.0 c .20
E losa
e=0.425
g
30(65) 3 .65 0.85
Iviga = = 686, 563 cm 4
12
A viga = 30(65) = 1950 cm2
e g = 42.5 cm 0.30

K g = n (Iviga + A viga e 2 ) = 1[686, 563 +1950(42.5)2 ] = 4'208, 751 cm 4
g

0.1 0.1
 Kg   4'208, 75 cm 4 
1
Luego:   =  = 0.921
 Lt 3  1200cm ( 20 cm) 3 
 s   

0.4 0.3
 2100   2100 
g = 0.06 +     ( 0.921) = 0.470
 4300  12000 
 

Caso de dos carriles cargados:

0.1
 Kg 
0.6 0.2
 S  S  3
g = 0.075 +      Lt  (Tabla 4.6.2.2b-1)
 2900  L   s
0.6 0.2
 2100   2100 
g = 0.075 +     (0.921) = 0.611 (CRÍTICO)
 2900  12000 

MLL+IM= 0.611(98.83 T-m) = 60.39 T-m

C) Resumen de momentos flectores y criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1)

RESUMEN DE MOMENTOS POSITIVOS POR CARGAS
Carga M(+) T-m
T- γ
DC 29.68 1.25 1.0 0
DW 4.25 1.50 1.0 0
LL+IM 60.39 1.75 1.0 0.75


III-72

D) Cálculo del Acero Principal (Diseño como viga T, ver APÉNDICE III-A)



= 1.25(29.68) + 1.50(4.25) + 1.75(60.39) = 149.16 T-m

Según el procedimiento de diseño para vigas T señalado en el Apéndice III-B, se
tiene:

Ancho efectivo de viga T (Art. 4.6.2.6), el menor valor de:

L/4= 12/4 = 3.00m
12tf+ tw= 12(0.20)+0.30= 2.70m
S= 2.10m
b=2.10 m
c .20
Luego b= 2.10m
h= 0.85
Suponiendo c= t= 0.20m
z
a= 0.85c= 0.85(20)= 17cm b=0.30

Utilizando As=12∅1” con la distribución mostrada, estribos ∅ 1/2” y
recubrimiento r= 5.0 cm (2”) (Tabla 5.12.3-1)

0.5"
1.5" 3.5"
1.0"
z 1.0"
0.5" 3.5"
2"

2" 2"

0.30 m
Cálculo de “z” :

Tomando momentos en la base de la viga, siendo A=5.10 cm2:

(12A) z = (4A)(3.5”)+(4A)(7”)+(2A)(3”)+(2A)(6.5”)

z= 5.083” =12.91 cm

d= 85cm – 12.91cm = 72cm

Mu 149.16x 5
10
As = = = 62.14 cm2
a 0.9x4200(72 −
17
)
0.9fy (d ) 2
2

As 62.14
ρ= = = 0.00411
bd 210(72)

III-73

ρfy d 1.18x0.00411 4200x72
x
c = 1.18 = = 6.16 cm < 20cm
0.85fc' 0.85x280

∴ Se diseñará como viga rectangular

149.16x 5
10
As = = 56.68 cm2 (Con 12∅1” As=61.2cm2)
a
0.9x4200(72 − )
2

Asx4200
a= = 4.76 cm
0.85x280x210


Como:
c = a / β1 = 4.76 / 0.85 = 5.60 cm
de = 72 cm
c /de = 0.08 < 0.42 OK!


de1.2Mcr y 1.33Mu:

a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(33.63 kg/cm2)(252,875cm3) = 102.05T-m

Siendo:
fr = 0.63 fc' MPa = 2.01 fc' kg / cm2 = 2.01 280 kg / cm2 = 33.63 kg / cm2

S = bh2/6 = 210(85)2/6 = 252,875cm3

b) 1.33 Mu= 1.33(149.16T-m) = 198.38T-m
resiste Mu=149.16T-m > 102.05T-m OK!

USAR 12∅1”

Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8)

En el alma de la viga T:

Ag
A s temp = 0.756 [SI] (5.10.8.2-1)
Fy


A s temp = 0.0018x30 x( 85 − 20) = 3.51cm2

III-74

A s temp = 1.76 cm2 / cara
.20

2Ø 5/8" 0.85

As=12Ø1"
0.30

Usaremos por cara: 1 Ø 5/8” (2.00cm2), con la consideración:

s máx = 3t = 3 (30) = 90 cm y s máx = 45 cm OK!

E) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4)

Z
fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1)
(d c A )1/ 3

Para el acero positivo:
Ø b=210 cm
d c = recub4 Øestribo +
144 2444+ 3 2
≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4) 20
d c = 5cm41.44 + 6.64 cm
14 +2 27cm
3
≤ 5 cm 85 cm
12Ø1"
dc = 5cm + 6.64cm = 11.64cm dc
dc 6.64 12.91
6.27
bw = ancho del alma = 30 cm
b=30 cm

(2d c )b w (2x .64cm)(30 cm)
11
A= = = 58.20 cm2 (Art. 5.7.3.4)
nv 12

= 30,591 Kg/cm

Luego:
30, 591 kg / cm
fsa = = 3, 483 kg / cm2
( .64 cm x 58.20 cm2 )1/ 3
11

fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2

fsa = 2,520 kg / cm2

III-75


Ms c
fs = n
I

Ms = n ( .0 MDC +1.0 MDW +1.0 MLL +IM )
1 (Tabla 3.4.1-1)
Ms = 1.0(1.0x29.68+1.0x4.25+1.0x60.39)
Ms = 94.32T-m

Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2)
'
E c = 15,344 f c (5.4.2.4-1)
2
E c = 15,344 280 = 256, 754 kg / cm

E s 2'039,400 kg / cm2
n= = =8
Ec 256,754 kg / cm2
b=210 cm
E.N. 20 y

c=72-y 72
Ast=8x61.2 cm² (+)
=489.6 cm² (fs/n)

b=30 cm



= 8(61.20 cm2) = 489.6 cm2


210y (y/2) = 489.6 (72-y)

y = 16.14cm, c= 72-y = 55.86cm

by 3
I = A st c 2 +
3
210 ( .14) 3
16
= 489.6 (55.86)2 +
3
= 1’822,031cm4

III-76

Luego:
Ms c 94.32 x 105 x 55.86
fs = n= x 8 = 2, 313 kg / cm2
I 1 822, 031
'


F) Fatiga

F.1) Carga de Fatiga

Para el Diseño por Fatiga, con n= nDnRnI=1:

Mfat = n (0.75 MLL +IM ) (Tabla 3.4.1-1)

Se calcula con un camión de diseño, con una separación constante de 9.0 m entre los
ejes de 14.8T (Art. 3.6.1.4.1). No se aplica el factor de presencia múltiple (Art.
3.6.1.1.2).

c
L
14.8 T 14.8 T 3.6 T

9.0 m 4.3 m

.42.42

A B

Mmáx
R=18.4 T

6.0 m 6.0 m

R=8.56 T R=9.84 T
A B

MLL = 8.56T(6m − 0.42m) = 47.76 T − m

Considerando la distribución g de sobrecarga para un solo carril, y eliminando el
factor de presencia múltiple de 1.2 (Art. 3.6.1.1.2), se tiene:

g fat = 0.470 /1.2 = 0.392
MLL = 47.76 T-m x 0.392 = 18.72 T-m

Luego, para el diseño por fatiga con IM=0.15 (Tabla 3.6.2.1-1):

Mfat = 1.0(0.75x1.15x18.72 T-m)
Mfat = 16.15 T-m

III-77

F.2) Sección fisurada

Se utiliza la sección fisurada si la suma de esfuerzos debido a cargas permanentes no
mayoradas más 1.5 veces la carga de fatiga, da por resultado una tensión de tracción
mayor que 0.25 fc' (Art. 5.5.3):

Esfuerzo debido a cargas permanentes no mayoradas más 1.5 veces la carga de
fatiga en una viga interior:

M’fat = 1.0MDC+1.0MDW+1.5Mfat
M’fat = 1.0x29.68Tm+1.0x4.25Tm+1.5x16.15Tm = 58.16 T-m

ftracc = 0.25 fc MPa = 0.80 fc kg / cm2 = 0.80 280 kg / cm2 = 13.39 kg / cm2
' '

M'fat 58.16x 5 kg − cm
10
ffat = = = 23.00 kg / cm2
S 252, 875cm 3

Como ffat = 23.00 kg/cm2 > 13.39 kg/cm2, se usará sección agrietada.

F.3) Verificación de esfuerzos

Esfuerzo en el refuerzo debido a la carga viva

Con A s = 12 φ1 = 61.2 cm2
"

y 16.14 cm
j.d = d − = 72cm − = 66.62 cm (ver revisión agrietamiento)
3 3

Mfat 16.15x 5
10
fLL = = = 396 kg / cm2
A s ( j.d) (61.2)(66.62)

Rango máximo de esfuerzo

El esfuerzo mínimo es el esfuerzo por carga viva mínimo combinado con el esfuerzo
por carga permanente.

El momento por carga muerta para la viga interior es:

MDL = MDC + MDW = 29.68T-m + 4.25T-m = 33.93T-m

El esfuerzo por carga permanente es:
MDL 33.93x 5
10
fDL = = = 832 kg / cm2
A s ( j.d) (61.2)(66.62)

Por ser viga simplemente apoyada, el esfuerzo por carga viva mínimo es cero.

Luego, el esfuerzo mínimo es:
fmín = 0 + 832kg/cm2 = 832kg/cm2

III-78

El esfuerzo máximo es el esfuerzo por carga viva máximo combinado con el esfuerzo
por cargas permanentes:

fmáx = 396kg/cm2 + 832kg/cm2 = 1228kg/cm2

El rango de esfuerzos es: f = fmáx – fmín = 396kg/cm2

El rango límite es:
r
f ≤ 1479 − 0.33fmin + 561( ) (5.5.3.2-1)
h
Con r/h = 0.3: (Art. 5.5.3)

flímite = 1479 − 0.33(832) + 561(0.3) = 1373 kg / cm2

flímite = 1373 kg/cm2 > f = 396 kg/cm2 OK!

G) Diseño por Corte (viga interior)

Sección crítica por corte cerca al apoyo extremo

De acuerdo al Art. 5.8.3.2, cuando la reacción en dirección del cortante aplicado
introduce compresión en la región extrema, la sección crítica por corte se localiza
con el mayor valor de 0.5dvcot o dv, desde la cara interna del apoyo.

Eje del apoyo

seccion critica
por cortante
Dispositivo de
apoyo

dv
.125 5
.12 el mayor de
0.5d ctg
L=12m v

Determinación del peralte efectivo por corte (Art. 5.8.2.9)

= 45° (procedimiento simplificado, Art. 5.8.3.4)
a 4.76
d v = peralte de corte efectivo = d e − = 72 − = 69.62 cm
2 2
no menor que el 0.90de= 0.90(72 cm) = 64.8 cm OK!
mayor valor de 0.72h = 0.72(85 cm) = 61.2 cm

La sección crítica por corte se ubica desde el eje del apoyo en:

0.125m+0.6962m = 0.82 m

III-79

A la distancia 0.82m:
540 kg 540 kg 540 kg
Carga muerta (DC)
0.82

Con wDC=1559kg/m y Pdiaf = 540kg A B
w = 1559 kg/m
DC
VDC = ( 164 − 540)kg − 0.82m(
10, 1559 kg / m)
= 8,346kg 12 m

10,164 kg

Superficie de rodadura (DW) w =236 kg/m
0.82
DW
A B
Con wDW= 236kg/m

VDW = 1416 kg − 0.82m(236kg / m)
12 m
= 1,222kg 1416 kg

14.8 T 14.8 T 3.6 T
0.82 4.30 4.30 2.58
Carga viva (LL):

a)Camión de Diseño
A B
V=23.05 T

12 m

R=23.05 T
A

11.2 T 11.2 T
b)Tandem
0.82 1.20
V=19.75 T
A B

12 m

R=19.75 T
A

c) Carga de carril 0.82
0.960 T/m
A B
V= 5.00 T
´ ´
Posicion de cortante maximo a 0.82m del
eje de apoyo

12 m

R=5.00 T
A
Luego VLL+IM= 23.05T(1.33)+5.00T= 35.66 T

III-80

Distribución en viga interior:

Caso de un carril cargado:
S
g = 0.36 + (Tabla 4.6.2.2.3a-1)
7600
2100
g = 0.36 + = 0.636
7600

Caso de dos carriles cargados:
2
S  S 
g = 0.2 + −  (Tabla 4.6.2.2.3a-1)
3600 10700 
2
2100  2100 
g = 0.2 + −  = 0.745 (CRÍTICO)
3600 10700 

VLL+IM= 0.745(35.66T) = 26.57T= 26.570kg


Vu = n[1.25 VDC + 1.50 VDW + 1.75 V(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1)

Vu = 1.25(8,346)+1.50(1,222)+1.75(26,570) = 58,763kg

Cortante actuante : Vu = 58,763kg

Cortante resistente : Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2)
Ø = 0.9 (5.5.4.2)

Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1)
siendo Vn el menor de:
Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2)

Donde:

Cortante resistente concreto Vc = 0.083β fc' b v d v [N] (5.8.3.3-3)
'
para β=2 (Art. 5.8.3.4): Vc = 0.53 fc b v d v [kg]

A v fy d v (cot θ + cot α )senα
Cortante resistente acero: Vs = (5.8.3.3-4)
s

con ᒕ = 45° (Art. 5.8.3.4) A v fy d v
α = 90° (ángulo de inclinación del estribo) Vs =
s

Cortante resistente concreto (Vc)

' '
Vc = 0.083β fc b v d v [N] = 0.53 fc b v d v [kg] = 0.53 280 (30 x69.62)
Vc = 18,523kg
siendo bv = ancho del alma= 30 cm

III-81

Cortante resistente del acero (Vs)

Se propone estribos Ø1/2” espaciados cada 15 cm. Luego:

A v fy d v (cot θ + cot α)senα A v fy d v 2.58(4200)(69.62)
Vs = = = = 50, 293 kg
s s 15.0

donde:
s = 15.0 cm (espaciamiento asumido de estribos)
Av = 2 x 1.29 cm² = 2.58 cm² (asumiendo 2 ramas Ø 1/2”)

Componente fuerza pretensado Vp=0

Cortante nominal resistente

El menor valor de Vn = 18,523kg + 50,293kg + 0 = 68,816kg
Vn = 0.25 x 280 x 30 x 69.62 + 0 = 146,202kg

Luego Vn = 68,816kg

Cortante resistente total

Vr = ØVn = 0.9(68,816 kg) = 61,934kg > 58,763Kg OK!

Refuerzo transversal mínimo

bv s
A v ≥ 0.083 fc' [SI] (5.8.2.5-1)
fy
' bv s
= A v ≥ 0.27 fc [MKS]
fy
30( )
15
A v ≥ 0.27 280 cm2
4200

A v mín = 0.48 cm² < 2.58 cm² OK !

Espaciamiento máximo del refuerzo transversal (Art. 5.8.2.7)

Vu − φVp
vu = (5.8.2.9-1)
φb v d v

Vu 58,763
vu = = = 31.26 kg / cm²
φb v d v 0.9(30)(69.62)

También:
si vu < 0.125f’c smáx= 0.8dv ≤ 60 cm (5.8.2.7-1)
si vu ≥ 0.125f’c smáx= 0.4dv ≤ 30 cm (5.8.2.7-2)

III-82

Como vu = 31.26kg/cm² < 0.125(280kg/cm²) = 35kg/cm²

smáx= 0.8dv = 0.8(69.62cm)= 55.70cm
smáx= 60 cm

Luego s = 15.00cm < smáx= 55.70cm OK!

Luego, a una distancia 0.82 del apoyo (sección crítica por cortante) usar estribos
∅1/2”@ 0.15

As proceso
constructivo

.20

2Ø 5/8" 0.85

As=12Ø1"
0.30 Estribos Ø1/2"@0.15
(a una distancia 0.82m
del eje de apoyo)

III-83

III) DISEÑO DE VIGA PRINCIPAL EXTERIOR
EXTERIOR

A) Momentos de flexión por cargas

Carga muerta (DC):

Area=2028.75 cm2
C
L
270 kg 270 kg 270 kg
Asfalto 2"
0.20
.15 A B
w = 1938 kg/m
.23
0.65 DC
w = 169 kg/m
DW
.15 Diafragma
.375 .15
b=0.25 m 12 m
.30 .15
0.825 1.05

Cargas distribuidas

wlosa = 0.20 x 1.875 x 2400 = 900 kg/m
wviga = 0.65 x 0.30 x 2400 = 468 kg/m
wcartelas= 2(0.5 x 0.15 x 0.23)x2400 = 83 kg/m
* wbarrera = 0.202875 x 2400 = 487 kg/m
wDC = 1938 kg/m

*Nota.- Según el Art. 4.6.2.2.1, las cargas permanentes del tablero como es el caso
Nota.-
del peso de las barreras, se pueden distribuir uniformemente entre todas las vigas; sin
embargo en este caso asumiremos que las barreras son soportadas íntegramente por
las vigas exteriores.

w DCL2 1.94( )2
12
MDC1 = = = 34.92T-m
8 8
Cargas puntuales

Considerando vigas diafragmas en apoyos y en el centro de luz, tenemos:

Pdiaf = (0.85-0.20-0.15)(1.05-0.15)(0.25)(2400)=270kg

Pdiaf L 0.27T ( m)
12
MDC2 = = = 0.81 T − m
4 4

Luego MDC = MDC1+ MDC2 = 34.92+0.81=35.73 T-m
35.73


wasf 2” = 0.05 x 1.50 x 2250 = 169kg/m

III-84

w DW L2 0.169( )2
12
MDW = = = 3.04T-m
8 8

Carga viva (LL):

De la Tabla APÉNDICE II-B, para vehículo HL-93, y con la consideración de
carga dinámica en estado límite de resistencia:
MLL+IM = 98.83 T-m

El % de momento g que se distribuye a una viga exterior es:

a) Tabla 4.6.2.2.2d-1: Ley de Momentos (regla de la palanca), caso un carril de
diseño cargado

P/2 P/2
0.60 1.80 .15
Suponer
(Minimo) articulacion
en apoyo

R A gP
=

.375 de
.45
0.825 2.10

 1.95 0.15  P 
RA =  +   = 0.500 P
 2.10 2.10  2 

Luego g=0.500, factor a ser usado en el diseño por Fatiga al no estar
afectado por el factor de presencia múltiple.

Para los estados límites de Resistencia y Servicio, incluimos el factor
de presencia múltiple m=1.2:

g = 0.500(1.2) = 0.600
0.500
500(1.2) 0.600

b) Tabla 4.6.2.2.2d-1: Caso dos o más carriles de diseño cargados

g = e (g int )
Donde:

de= distancia desde el eje central de la viga exterior a la cara
interior de la barrera = 450mm
de
e = 0.77 + (Tabla 4.6.2.2.2d-1)
2800

450
e = 0.77 + = 0.931
2800

III-85

gint= 0.611 (ver diseño de viga interior)

Luego: 0.931(0.611
931(0.611) 0.569
g = 0.931(0.611) = 0.569

c) Art. 4.6.2.2.2d: Caso puentes de viga y losa con diafragmas rígidamente
conectados (ver también Apéndice III-C)

NL X Σe
R = + ext 2 (C4.6.2.2.2d-1)
Nb Σx
c.1) Un carril cargado:

P/2 P/2
0.60 1.80 .15
(Minimo)

R1
e=2.10

.375 .15 X =3.15
.30 ext

0.825 2.10 2.10 2.10 0.825
x=1.05
x=3.15

Con:
R = reacción sobre la viga exterior en términos de carril (ancho=3.60m)
NL = número de carriles cargados = 1
Nb = número de vigas = 4
e = excentricidad del camión de diseño o carga de carril respecto del
centro de gravedad del conjunto de vigas = 2.10m
Xext= distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de
vigas hasta la viga exterior = 3.15m
x = distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de
vigas hasta cada viga

1 3.15 m (2.1m)
R = + = 0.550
4 2[(3.15m)2 + ( .05 m)2 ]
1

Con el factor de presencia múltiple, m=1.2:

g = R = 1.2(0.550) = 0.660
0.660

c.2) Dos carriles cargados:

P/2 P/2
P/2 P/2
0.60 1.80 1.20 0.60 1.80
(Minimo)

R1 R2
e=2.10 e=1.50
1 2

.375 .15 X =3.15
.30 ext

0.825 2.10 2.10 2.10 0.825
x=1.05
x=3.15

III-86

2 3.15 m (2.10 m −1.50 m)
R = + = 0.586
4 2[(3.15 m)2 + ( .05 m)2 ]
1

Con el factor de presencia múltiple m=1.0:

g = R = 1.0(0.586) = 0.586

El factor de distribución crítico es, g= 0.660
0.660

d) De los casos a), b), y c), seleccionamos para el estado limite de resistencia el
factor de distribución de momento, g= 0.660
0.660

MLL+IM= 0.660(98.83 T-m) = 65.23T-m

B) Momento de Diseño, Estado Límite de Resistencia I

Con n= nDnRnI=1:


= 1.25(35.73) + 1.50(3.04) + 1.75(65.23) = 163.38T-m

Se sugiere al interesado y a manera de práctica, realizar el cálculo del acero
correspondiente.

C) Diseño por Corte

La sección crítica por corte por simplicidad la tomaremos al igual que en el
caso de la viga interior, a una distancia 0.82m del eje del apoyo.

Carga muerta (DC) C
L
270 kg 270 kg 270 kg
Con wDC=1,938kg/m
0.82

VDC = ( ,033 − 270)kg − 0.82m(
12 1938 kg / m) A B
= 10,174kg w = 1938 kg/m
DC

12 m

12,033 kg

Superficie de rodadura (DW)
0.82 w =169 kg/m
DW

Con wDW= 169kg/m A B

VDW = 1014 kg − 0.82m(
169kg / m)
= 875kg 12 m

1014 kg

III-87
14.8 T 14.8 T 3.6 T
Carga viva: 4.30 2.58
0.82 4.30

a)Camión de Diseño
A B
V=23.05 T

12 m

R=23.05 T
A

11.2 T 11.2 T
b)Tandem
0.82 1.20

V=19.75 T
A B

12 m

R=19.75 T
A

0.82
0.960 T/m
c) Carga de carril A B

V= 5.00 T ´ ´
Posicion de cortante maximo a 0.82m del
eje de apoyo

12 m

R=5.00 T
A

Luego VLL+IM= 23.05T(1.33)+5.00T= 35.66 T

El % de cortante g que se distribuye a una viga exterior es:

a) Tabla 4.6.2.2.3b-1: Ley de Momentos (regla de la palanca), para el caso de un
carril cargado

P/2 P/2
0.60 1.80 .15
Suponer
(Minimo) articulacion
en apoyo

R A gP
=

.375 de
.45
0.825 2.10

 1.95 0.15  P 
RA =  +   = 0.500 P
 2.10 2.10  2 

III-88

Luego g=0.500, factor a ser usado en el diseño por Fatiga al no estar
afectado por el factor de presencia múltiple.

Para los estados límites de Resistencia y Servicio, incluimos el factor
de presencia múltiple m=1.2:

g = 0.500(1.2) = 0.600
0.500
500(1.2) 0.600

b) Tabla 4.6.2.2.3b-1, caso dos o más carriles cargados:

g = e (g int )
Donde:
de= distancia desde el eje central de la viga exterior a la cara
interior de la barrera
de= 450 mm
de
e = 0.60 + (Tabla 4.6.2.2.3b-1)
3000

450
e = 0.60 + = 0.75
3000

gint= 0.745 (ver diseño de viga interior)

Luego: 0.75(0.745
75(0.745) 0.559
g = 0.75(0.745) = 0.559

c) Art. 4.6.2.2.3b: Caso puentes de viga y losa con diafragmas rígidamente
conectados (ver también Apéndice III-C)

NL X Σe
R = + ext 2 (C4.6.2.2.2d-1)
Nb Σx

c.1) Un carril cargado:

P/2 P/2
0.60 1.80 .15
(Minimo)

R1
e=2.10

.375 .15 X =3.15
.30 ext

0.825 2.10 2.10 2.10 0.825
x=1.05
x=3.15

Con:
R = reacción sobre la viga exterior en términos de carril
NL = número de carriles cargados = 1
Nb = número de vigas = 4

III-89

e = excentricidad del camión de diseño o carga de carril respecto del
centro de gravedad del conjunto de vigas = 2.10m
Xext= distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de
vigas hasta la viga exterior = 3.15m
x = distancia horizontal desde el centro de gravedad del conjunto de
vigas hasta cada viga

1 3.15 m (2.1m)
R = + = 0.550
4 2[(3.15m)2 + ( .05 m)2 ]
1

Con el factor de presencia múltiple, m=1.2:

g = R = 1.2(0.550) = 0.660
0.660

c.2) Dos carriles cargados:

P/2 P/2
P/2 P/2
0.60 1.80 1.20 0.60 1.80
(Minimo)

R1 R2
e=2.10 e=1.50
1 2

.375 .15 X =3.15
.30 ext

0.825 2.10 2.10 2.10 0.825
x=1.05
x=3.15

2 3.15 m (2.10 m −1.50 m)
R = + = 0.586
4 2[(3.15 m)2 + ( .05 m)2 ]
1

Con el factor de presencia múltiple m=1.0:

g = R = 1.0(0.586) = 0.586

El factor de distribución crítico es, g= 0.660
0.660

d) De los casos a), b), y c), seleccionamos para el estado limite de resistencia el
factor de distribución de cortante, g= 0.660
0.660

VLL+IM= 0.660(35.66T) = 23.54T

III-90

D) Cortante de Diseño, Estado Límite de Resistencia I

Con n= nDnRnI=1:

Vu = n[1.25 VDC + 1.50 VDW + 1.75 V(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1)

= 1.25(10.17) + 1.50(0.88) + 1.75(23.54) = 55.23T

Se sugiere al interesado y a manera de práctica, realizar el cálculo del acero por
corte correspondiente.

III-91

IV)
IV) DISEÑO DE BARRERAS DE CONCRETO

Se propone en este caso un modelo de barrera de concreto con perfil basado en la
barrera de New Jersey. Cabe destacar que un sistema de barreras y su conexión a la
cubierta sólo se autoriza después de demostrar que es satisfactorio a través de
pruebas de choque en barreras a escala natural para el nivel de prueba deseado
[A13.7.3.1]. Si se realizan modificaciones menores a modelos ya probados, que no
afectan su resistencia, pueden utilizarse sin las pruebas de impacto requeridas.

0.375
.15 .175
.05

Ø12"@0.17
.47
7Ø3 8"
0.85

.25

Asfalto 2" .08
.05

Losa .20

A) Resistencia en flexión alrededor de un eje vertical a la barrera (Mw)

La resistencia a los momentos positivo y negativo que actúan alrededor de un eje
vertical se determina tomando como base el mecanismo de falla en este tipo de
barreras; se determina así el refuerzo horizontal en la cara vertical de la barrera (en
este caso 4Ø3/8”).
Para determinar el momento resistente se dividirá la sección de barrera en tres
partes: A1, A2 y A3, tal como se observa en el gráfico.
15 17.5
15 17.5 05
05 d1
7.50
17.9
19.75 z d2
A1 47 47

19.75
d3

A2 25cm 25
4Ø3 8" d4
A3 13 13

III-92

Con fc' = 280 kg / cm2 , fy = 4200 kg / cm2 , se tiene:

Sección A1

z = recub + Ø + Ø/2 = 2” + ½” + (3/8”)/2 = 2.6875” = 6.83cm
d1 = 15 / 2 cm = 7.5 cm
d2 = 17.90cm − 6.83cm = 11.07 cm
d 3 = 20cm − 6.83cm = 13.17 cm

d1 + d2 + d 3 7.5 cm +11.07 cm + 13.17 cm
d= = = 10.58 cm
3 3

A s = (2 + 0.5) Ø3 / 8" = 2.5(0.71 cm2 ) = 1.78 cm2

A s fy 1.78(4200)
a= '
= = 0.67 cm
0.85fc b 0.85(280)(47)

Ø = 1.0 (Caso de eventos extremos, AASHTO 1.3.2.1)

a 0.67
Mu = ØA s fy (d −) = 1.0( .78)(4200)( .58 −
1 10 )
2 2
Mu = 76, 592 kg − cm = 0.77 T − m

Sección A2

d 3 = 20cm − 6.83cm = 13.17 cm
d 4 = 37.5cm − 6.83cm = 30.67 cm

d 3 + d 4 13.17 cm + 30.67 cm
d= = = 21.92 cm
2 2

A s = (0.5 + 0.5) Ø3 / 8" = 0.71 cm2

A s fy 0.714200)
(
a= '
= = 0.50 cm
0.85f b c 0.85(280)(25)

a 0.50
Mu = ØA s fy (d − ) = 1.0(0.71 4200)(21.92 −
)( )
2 2

Mu = 64, 620 kg − cm = 0.65 T − m

Sección A3

d = d 4 = 30.67 cm
A s = 0.5 Ø3 / 8" = 0.5(0.71 ²) = 0.36 cm2
cm

A s fy 0.36(4200)
a= '
= = 0.49 cm
0.85fc b 0.85(280)( )
13

III-93

a 0.49
Mu = ØA s fy (d − ) = 1.0(0.36)(4200)(30.67 − )
2 2

Mu = 46, 003 kg − cm = 0.46 T − m

Luego, el total es:

Mw = Mu = 0.77 T-m + 0.65 T-m + 0.46 T-m

T-
Mw = 1.88 T-m

Modo alternativo

De manera simplificada, si trabajamos con un área rectangular equivalente, tenemos:

A1 = 822.50 cm2
A 2 = 718.75 cm2
A 3 = 487.50 cm2

A T = 2028.75 cm2

Para una altura de barrera de 0.85m, se tendrá un grosor de:

2028.75 cm2
h= = 23.87 cm 23.87cm
85 cm

z = recub + Øv+Ø/2 = 2” + ½” + (3/8”)/2 = 2.6875”

= 6.83cm 85cm
z d
4Ø3 8"
d = 23.87cm – 6.83cm = 17.04 cm

As = 4Ø3/8” = 4(0.71cm²) = 2.84cm²

A s fy 2.84(4200)
a= '
= = 0.59 cm
0.85fc b 0.85(280)(85)

a 0.59
Mu = ØA s fy (d − ) = 1.0(2.84)(4200)( .04 −
17 )
2 2

Mu = 199, 734 kg − cm = 2.00 T − m

Mw= Mu= 2.00 T-m , valor semejante al obtenido en el paso
2.
anterior.

III-94

B) Resistencia en flexión alrededor de un eje paralelo al eje longitudinal del puente
(Mc)

Se calcula de acuerdo a las líneas de rotura con el momento de flexión negativo.
Éste produce esfuerzos de tensión en la cara inclinada de la barrera, determinando
el refuerzo de la barrera para esa cara.

Utilizando 1Ø1/2”@0.17m (As = 1.29cm²/0.17m = 7.59 cm²/m), considerando
fajas de 1m de ancho:

Sección A1
15cm
z = recub. + Ø/2 = 2”+(1/2”)/2=2.25” = 5.72cm
1
Ø 2"@0.17
d = h − z = 17.9 − 5.72 = 12.18cm
47cm
d z
A s fy 7.59(4200)
a= '
= = 1.34cm
0.85fc b 0.85(280)(
100) Mc

a 1.34 20cm
Mc,I = ØA s fy (d − ) = 1.0(7.59)(4200)( .18 −
12 )
2 2

Mc,I = 3.67 T − m

Sección A2
.20
 20 + 37.5  1
Ø 2"@0.17
d=  − 5.72 = 23.03cm
 2  Mc
.25
a 1.34
d
Mc,II = ØA s fy (d − ) = 1.0(7.59)(4200)(23.03 − )
2 2 .13 d

Mc,II = 7.13 T − m
.375
Sección A3

d = 37.5cm – 5.72cm = 31.78cm
a 1.34
Mc,III = ØA s fy (d − ) = 1.0(7.59)(4200)(31.78 − )
2 2
Mc,III = 9.92 T − m

El momento promedio es:

3.67(0.47) + 7.13(0.25) + 9.92(0.13)
Mc = = 5.64T − m
0.85

III-95

C) Longitud crítica de la línea de rotura (Lc) según el patrón de falla

2
Lc = +  t + (A13.3.1-2)
2 2 Mc

2
1.07 1.07  8(0.85)(0 +1.88)
Lc = +   + = 2.13m
2  2  5.64

Siendo:

Lt = longitud de distribución longitudinal de la fuerza de impacto Ft
= 1.07m, para el nivel TL-4 (Tabla A13.2-1)
H = altura de la barrera = 0.85m
Mb= resistencia flexional adicional en la parte superior del muro
=0
Mw= resistencia flexional del muro respecto de su eje vertical
= 1.88 T-m
Mc= resistencia flexional de los muros en voladizo respecto de un eje paralelo al eje
longitudinal del puente
= 5.64 T-m
Lc = longitud crítica de la línea de rotura en el patrón de falla

D) Resistencia nominal a la carga transversal Rw

 2  M L2 
Rw = 
 2L − L  8Mb + 8Mw + c c

 (A13.3.1-1)
H 
 c t  

Siendo:

Ft = 240,000N para el nivel TL-4 = 24.47T (Tabla A13.2-1)
Rw = resistencia del parapeto

 2  5.64(2.13)2 
Rw =   8(0) + 8( .88) +
1 
 2x2.13 −1.07 
 0.85 


R w = 28.30T > Ft = 24.47T OK!

III-96

E) Transferencia de cortante entre la barrera y la losa

Cortante actuante: Rw

Rw
Vct = (A13.4.2-1)
L c + 2H
.85
28.30T
Vct = = 7.39 T / m Ø1/2"@0.17
2.13m + 2x0.85m

V
ct

Cortante resistente: 0.375

Para dos concretos colados en diferentes momentos:

'
Vn = cA cv + µ(A vf fy + Pc ) ≤ 0.2fc A cv ó 5.5A cv (5.8.4.1-1)

Donde:

Acv = área de corte en contacto = 37.5cm x 100cm = 3750cm²
Avf = área del dowel en el plano de corte= 1Ø1/2”@0.17 (en razón de que sólo
una pata está anclada)
=1.29cm²/0.17m = 7.59cm²/m
c = factor de cohesión (5.8.4.2)
= 0.52MPa = 5.3kg/cm² (Caso 3)
µ = 0.6l = 0.6(1.0) = 0.6 (Caso 3)
fc' = 280 kg / cm2
fy = 4200 kg / cm2
Pc = fuerza de compresión permanente perpendicular al plano de corte
= peso de la baranda = 0.202875m² x 2400kg/m² = 487kg

En 1m de ancho de barrera:

Vn = 5.3kg/cm²(3750cm²) + 0.6(7.59cm² x 4200kg/cm² + 487kg)

= 39,294 kg ≤0.2(280kg/cm²)(3750cm²)
ó 5.5(375,000mm²)N x 0.10197 kg

= 39.29T ≤ 210T ó 210.3T

= 39.29T/m > Vct=7.39T/m OK!

F) Chequeo del Dowel

La armadura por corte debe satisfacer en interfases entre hormigón de losas y
vigas, por unidad de longitud de viga:

0.35b v
A vf ≥ (5.8.4.1-4)
fy

III-97

Siendo:

bv = ancho de la interfase = 375mm
fy = 4200 kg/cm² = 412MPa
0.35x375mm 1000mm
A vf ≥ x = 318.6mm² / m = 3.19cm² / m
412MPa 1000mm

Proveído: 1Ø1/2”@0.17 = 7.59cm²/m > 3.19cm²/m OK!

G) Longitud de anclaje

La longitud básica de anclaje (lhb) para una barra terminada en gancho es:

100db (5.11.2.4.1-1)
l hb =
fc'

Siendo:
db =1/2” = 12.7mm
f’c= 280kg/cm² = 27.46MPa

100( .7mm)
12
l hb = = 242mm = 24.2cm
27.46MPa

Considerando que el recubrimiento lateral perpendicular al plano del gancho es
mayor o igual que 64mm, la longitud básica de anclaje se afectará por el factor 0.7
(5.11.2.4.2).

Luego:

l dh = 0.7l hb = 0.7x24.2cm = 17cm ldh .20 Losa
recub=2"

La longitud de anclaje l dh no debe ser menor que 8db ó 15cm (5.11.2.4.1)

l dh = 17cm ≥ 8db = 10.16cm y 15cm

Se dispone para la longitud de desarrollo sólo de 15 cm, lo cual no es
satisfactorio. Sin embargo, considerando que cuando hay más armadura que
la requerida la longitud básica de desarrollo disminuye según la relación
 A s requerida 

  xl hb , tendremos:

 A s provista 

15  15 
A s requerida = A s provista x   = 7.59cm² x   = 6.70cm²
17  17 

III-98

Usaremos esta área de acero para re-calcular la capacidad de la barrera:

A s fy 6.70(4200)
a= '
= = 1.18cm
0.85fc b 0.85(280)(
100)

a 1.18
Mc,I = ØA s fy (d − ) = 1.0(6.70)(4200)( .18 −
12 ) = 3.26 T − m / m
2 2
1.18
Mc,II = 1.0(6.70)(4200)(23.03 − ) = 6.31 T − m / m
2
1.18
Mc,III = 1.0(6.70)(4200)(31.78 − ) = 8.78 T − m / m
2

3.26(.47) + 6.31 25) + 8.78(.13)
(.
Luego: MC = = 5.00 T − m / m
0.85

2
Lc = +  t + (A13.3.1-2)
2  2 Mc

2
1.07 1.07  8(0.85)(0 +1.88)
Lc = +   + = 2.22m
2  2  5.00

 2  M L2 
Rw = 
 2L − L  8Mb + 8Mw + c c

 (A13.3.1-1)
H 
 c t  

 2  5.00(2.22)2 
Rw =   8(0) + 8( .88) +
1 
 2x2.22 −1.07 
 0.85 


R w = 26.13 T > Ft = 24.47 T OK!

Con lo que la longitud de desarrollo ldh=15cm, es adecuada. Las barras terminadas
en gancho deben además extenderse 12db+4db=16(1.27)=21cm
(C5.11.2.4.1)

4db
12db

21cm

III-99

V) DISEÑO DE LOSA EN VOLADIZO

A) Criterios LRFD aplicables (Tabla 3.4.1-1)

Evento Extremo II: U = n[1.0DC+1.0DW+1.0(LL+IM)]

B) Momentos de flexión por cargas (franja de 1.0m de ancho)

37.5

15 17.5
05
7.4T
0.30 x
(mínimo)
_
47 x=.13

A = 2028.75cm2 85 Asfalto 2"
barrera
_ 0.20 P = 487kg/m
barrera
x=13 25cm

0.375 0.30 .15 .15
Asfalto 2" 13
P = 487kg/m
barrera cara de viga

Considerando el momento flector en la cara de viga se tiene:

Carga muerta (DC):

wlosa = 0.20m x 1.0m x 2,400kg/m3 = 480kg/m

w losaL2 480(0.675)2
MDC, =
1 = = 109kg-m
2 2

El peso de la barrera es:
Pb = 0.202875m² x 1.0m x 2400kg/m³ = 487kg

MDC,2 = Pb (L − x) = 487kg (0.675m − 0.13m) = 265 kg − m

Luego: MDC = 109kg − m + 265kg − m = 374kg − m


wasf 2” = 0.05m x 1.00m x 2250kg/m³ = 113 kg/m

III-100

113(0.30)2
MDW = = 5 kg − m
2

Carga viva (LL):

El ancho de franja en que se distribuye el eje de rueda es:

E= 1140+0.833X (Tabla 4.6.2.1.3-1)

Donde:

X = distancia entre la carga y el punto de apoyo (mm)
= 0.15m =150mm

Luego:
E= 1140+0.833(150) = 1265mm = 1.27m

El momento del eje de rueda vehicular distribuido en un ancho E=1.27m,
afectado por el factor de presencia múltiple (m=1.2), y el incremento por carga
dinámica (I=0.33) es:

 7.4T( .2)( .33) 
1 1
MLL +IM =  .(0) = 0 kg − m
 1.27m 

Colisión vehicular (CT):

R =26.13T
w

H=0.85 L +2H= 2.22m+2x0.85m
C
= 3.92m
M
CT

 Rw  26.13 T
MCT = 
 L + 2H (H) = 3.92m ( 0.85m) = 5.67 T − m

 c 

C) Cálculo del Acero



= 1.25(374) + 1.50(5) + 1.75(0) = 475kg-m = 0.48T-m

III-101

Para el Estado Límite de Evento Extremo II, con n= nDnRnI=1:

Mu = n[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.00 MCT ] (Tabla 3.4.1-1)

= 1.25(374) + 1.50(5) + 1.00(5670) = 6145kg-m = 6.15T-m

2Ø1/2"@0.20
z

0.20 d
1Ø1/2"@0.19

Siendo este último momento el que rige, probaremos a usar 2∅ ½”@ 0.20m:

Mu= 6.15T-m

As(-)= 2.58cm² / 0.20m = 12.9 cm²/m

r = recubrimiento = 5.0cm (Tabla 5.12.3-1)

1.27
z = 5.0 + = 5.64 cm
2

d= 20cm – 5.64cm = 14.36cm

Ø = 1.0 (Caso de Eventos Extremos, AASHTO 1.3.2.1)

A s fy 12.90x4200
a= '
= = 2.28 cm
0.85fc b 0.85x280x
100

a 2.28
ØMn = ØA s fy (d − ) = 1.0( .90)(4200)( .36 −
12 14 ) = 7.16 T − m
2 2

Este momento debe reducirse por la fuerza de tensión axial ejercida por la
colisión en el volado, T = R w :
L c + 2H

T M
0.20 CT T

III-102

26.13 T
T= = 6.67 T / m
2.22 + 2(0.85m)

Resolviendo como un caso de momento de flexión y tensión combinados:

Pu Mu
+ ≤ 1.0
ØPn ØMn

Luego, la capacidad es:

 P 
Mu = ØMn 1− u 
 ØP 
 n 
Siendo:

Ast = As(-) + As(+) = 2.58cm²/0.20m + 1.29cm²/0.19m = 19.69 cm²/m
Pu = T = 6.67T/m
ØPn = ØAstfy = 1.0(19.69cm²)(4200kg/cm²) = 82,698kg = 82.70T
ØMn= 7.16 T-m

 6.67 
Mu = 7.161−  = 6.58T − m > 6.15T − m OK !
 82.70 

Usar 2Ø1/2”@0.20
Ø1/2”@0.20

D) Longitud de Desarrollo

M
CT

2Ø1/2"@0.20
0.20

ldh
El refuerzo negativo en el volado, inmediatamente debajo de la barrera, debe
resistir MCT = 5.67T-m. Luego, se chequeará la longitud de desarrollo en esa
zona:

l dh = l hb . factor de mod ificación (5.11.2.4.1)

Siendo la longitud básica de desarrollo:

100db (5.11.2.4.1-1)
l hb =
fc'

100( .7mm)
12
l hb = = 242mm = 24.2cm
27.46MPa

III-103

A s requerido Mu requerido 5.67T − m
Considerando que ≈ = y que el
A s proveido Mu proveido 6.58T − m
recubrimiento lateral perpendicular al plano del gancho es mayor que 64mm
(factor 0.7), la longitud de anclaje es:

 5.67 
l dh = 24.2cm (0.7)  = 14.60 cm (5.11.2.4.2)
 6.58 

Se dispone de: 37.5cm-2(5.64cm)=26.22cm OK!

E) Longitud de las barras adicionales del volado
Las barras de Ø1/2” adicionales colocadas en la parte superior de la losa deben
extenderse más allá del eje central de la viga T exterior hacia el primer tramo
interior de la losa. Para determinar la longitud de esta extensión es necesario
encontrar la distancia donde las barras adicionales Ø1/2” ya no son requeridas.
Esta distancia teórica ocurre donde el momento debido a la colisión más la carga
muerta, iguala al momento negativo resistente de las barras 1Ø1/2@0.20m.

Siendo:
recubrimiento = 5cm (Tabla 5.12.3-1)
Ø = 0.90
d = 20cm - 5cm - 1.27cm/2 = 14.37cm
As= 1.29cm²/0.20m = 6.45 cm²/m

A s fy 6.45x4200
a= '
= = 1.14cm
0.85fc b 0.85x280x
100
La resistencia del momento negativo en la losa es:

a 1.14
Mu = ØA s fy (d − ) = 0.90(6.45)(4200)( .37 −
14 ) = 3.36 T − m
2 2

Para el estado límite de Evento Extremo II, el momento negativo con Ø=1.0 se
incrementa a:
1.0
Mu = 3.36 x = 3.73 T − m
0.9

Asumiendo un factor de transporte de 0.5, y ninguna otra posterior distribución
de momento, el diagrama de momento por la colisión en el primer tramo interior
de la losa es:

1.40m
+2.835T-m
x
(+)
A B
(-)
M =-(1.40-x)5.67
CT,x 1.40
M =-5.67T-m
CT
2.10m

III-104

x B w =0.48 T /m C D G
E A losa

RD=0.89T
RA=0.89T R =1.02T RC=1.02T
B
0.825 2.10 2.10 2.10 0.825

CARGA DE LOSA Y REACCIONES EN APOYOS

P =0.487T P =0.487T
barrera barrera
0.13 x 0.13
A B C D
E G

RD=0.68T
RA=0.68T R =0.19T RC=0.19T
0.825 2.10 B 2.10 2.10 0.825

CARGA DE BARANDAS Y REACCIONES EN APOYOS

En el primer tramo interior de la losa se tienen las siguientes expresiones de
momento flector:

Carga Muerta (DC):
(0.825 + x)2
Losa : Mx = −0.48 + 0.89 x
2
Barrera: Mx = -0.487(0.695+x) + 0.68x


Se despreciará por ser muy pequeña.

CT):
Carga por colisión vehicular (CT):

5.67
MCT = − ( .40 − x)
1
1.40

La distancia x se encuentra igualando Mu = 3.73T-m, con el momento
correspondiente al Evento Extremo II:

−3.73 = 1.0 [ .25MDC, x +1.0MCT, x ]
1

 (0.825 + x)2   5.67 
− 3.73 = 1.25− 0.48 + 0.89 x − 0.487(0.695 + x) + 0.68 x +1.0− ( .40 −
1 x)
 2   1.40 

Resolviendo, x = 0.54m.

Se agregará además (5.11.1.2) la longitud de 15db=15(1.27cm)=0.19m

III-105

Se tiene un total de: 0.54m + 0.19m = 0.73m

Esta longitud total de 0.73m más allá del eje de la viga externa se compara
con la longitud de desarrollo desde la cara de la viga, para seleccionar la mayor
longitud.
La longitud de desarrollo básica en tensión es:

0.02A b fy
l db = ≥ 0.06db fy (5.11.2.1.1)
'
fc
Donde:

Ab = 1.29cm² = 129mm2
fy = 4200kg/cm² = 412MPa
f’c = 280kg/cm² = 27.46MPa
db = 1.27cm = 12.70mm

0.02(
129)(412)
l db = ≥ 0.06( .70)(412)
12
27.46

l db = 202.85mm ≥ 313.94mm

La longitud de desarrollo será:

l dh = l db = 31.39 cm ≈ 31cm

El acero 1Ø1/2”@0.20m adicional al acero negativo del primer tramo interior
de la losa (Ø1/2”@0.20m) se extiende entonces del siguiente modo:

0.73m

1Ø1/2"@0.20 (adicional)

0.20

l =.31
.15 .15 dh

.46

III-106

VI) DISEÑO DE VIGAS DIAFRAGMA
VIGAS
Las vigas diafragmas son vigas transversales que se usan como riostras en los
extremos de las vigas T, en apoyos, y en puntos intermedios para mantener la
geometría de la sección y así mismo resistir fuerzas laterales. En este caso la ubicación
de los diafragmas obedece a disposiciones anteriores del AASHTO que sugerían se
les coloque en intervalos que no excedan 12.19m (40’). Se ha optado por ello
colocar diafragmas en los extremos de la superestructura y en el centro.
El Art. 9.7.1.4 de las Especificaciones LRFD requiere además que los tableros en las
líneas de discontinuidad, caso de bordes, sean reforzados por una viga u otro
elemento, la cual debe estar integrada o actuar de forma compuesta con el tablero.
Las vigas de borde se pueden diseñar como vigas con ancho para la distribución de la
carga viva similar al ancho efectivo del tablero especificado en el Artículo 4.6.2.1.4.
Para el presente caso de modo conservador se distribuye la carga viva exclusivamente
sobre el ancho del diafragma, lo cual es aceptable.

A) Cálculo del acero principal negativo

Se hará sobre la base del máximo momento negativo que ocurre en cualquiera de
los apoyos internos (en este caso optaremos por B).

Asfalto 2"

.85 .70

.15
.30 Viga Diafragma b=.25
.15 .15 .25
L=2.10 2.10 2.10 SECCION
TRANSVERSAL

Momento de flexión en B por cargas

Carga muerta (DC):
Eje A
Cargas en el eje A debido al volado:

Pbarrera = 487kg/m x 0.25m = 122kg Pbarrera
Plosa = 0.20m x 0.675m x 0.25m x 2400 kg/m3 = 81kg 0.13
Pcartela = ½ x 0.15m x 0.23m x 0.25m x 2400kg/m3= 10kg
Ptotal = 213kg 0.20
P
losa
Momento en el eje A debido al volado: P
cartela
Mbarrera = 122kg x (0.825-0.13)m = 85kg-m
.375 .15
Mlosa = 81kg x (0.825-0.675/2)m = 39kg-m
Mcartela = 10kg x (0.23/3+0.15)m = 2kg-m .30 .15
Mtotal = 126kg-m 0.825

III-107

Carga distribuida por peso propio del diafragma:

wpp = 0.25m x 0.70m x 2400kg/m3 = 420 kg/m
Resolviendo la viga hiperestática tenemos:




Con el momento por carga viva encontrado en el cálculo de la losa (Método
A) y la consideración de los factores de presencia múltiple y carga dinámica
en estado límite de resistencia, considerando que la viga diafragma toma
toda la carga viva tenemos para la cara derecha de la viga en B:

MLL +IM = −2.04T − m x1.2 x1.33 = −3.26T − m

Combinación crítica:

Para el Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1, cara derecha de la viga
en B:

Mu = n[1.25 MDC + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1)

= 1.25(-0.106) + 1.75(-3.260) = -5.84 T-m

Cálculo del acero negativo:

Utilizando acero principal 2∅5/8” (As=4.0cm2) colocado debajo del acero de la
losa (Ø1/2”), estribos ∅ 3/8” y recubrimiento r= 5.0 cm (Tabla 5.12.3-1):

III-108

φ 1.587
z = recub + φ As,losa + φ est + = 5cm +1.270cm + 0.953cm + cm = 8.02 cm
2 2

d= 70cm – 8.02cm = 62cm

A s fy 4.00x4200
a= = = 2.82 cm
0.85fc' b 0.85x280x25

a 2.82
Mu = 0.9fy (d − )A s = 0.9x4200(62 − )x4.00 = 9.16 T − m >5.84 T-m OK!
2 2



Como:
c = a / β1 = 2.82 / 0.85 = 3.32 cm
de = 63 cm
c /de = 0.05 ≤ 0.42 OK!


de1.2Mcr y 1.33Mu:

a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(33.63 kg/cm2)(20417 cm3) = 8.24 T-m

Siendo:
fr = 0.63 fc' MPa = 2.01 fc' kg / cm2 = 2.01 280 kg / cm2 = 33.63 kg / cm2

S = bh2/6 = 25(70)2/6 = 20,417 cm3

b) 1.33 Mu= 1.33(5.84 T-m) = 7.77 T-m

El menor valor es 7.78T-m y la cantidad de acero calculada (4.0cm2) resiste
Mu=9.16T-m > 7.78T-m OK!

USAR 2∅5/8”

B) Momentos de flexión positivo por cargas

Se hará sobre la base del máximo momento positivo que ocurre en los tramos AB ó
CD, a 0.4L de un apoyo exterior (L es la longitud de tramos), en una sección tal
como F:

Carga muerta (DC):

Del diagrama de momentos en diafragma por peso propio, en F:

MDC = 83.08 kg-m = 0.083 T-m

III-109




Con el momento por carga viva encontrado en el cálculo de la losa (Método A) y la
consideración de los factores de presencia múltiple y carga dinámica en estado
límite de resistencia, considerando que la viga diafragma toma toda la carga viva
tenemos en F:

MLL +IM = 2.723T − m x1.2 x1.33 = 4.35T − m

Combinación crítica:


Mu = n[1.25 MDC + 1.75 M(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1)

= 1.25(0.083) + 1.75(4.350) = 7.72 T-m

Cálculo del acero positivo:

Habiendo utilizado para el acero negativo 2Ø5/8” con capacidad Mu =9.16 T-m,
utilizaremos la misma cantidad de acero principal para el acero positivo donde el
momento actuante: Mu =7.72 T-m es menor.

USAR 2∅5/8”

C) Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8)

En el alma de la viga diafragma:
As=2Ø5/8"
Ag .20
A s mín = 0.756 [SI] (5.10.8.2-1)
Fy
A s mín = 0.0018 A g [MKS, con fy = 4200 kg / cm2 ] .70 2Ø1/2"

A s mín = 0.0018x[25(70 − 20)] = 2.25cm2 As=2Ø5/8"
.25
A s mín = 1.13 cm2 / cara

Usaremos por cara: 1 Ø 1/2” (1.29 cm2) , con la consideración:

s máx = 3t = 3 (25) = 75 cm y s máx = 45 cm OK!

III-110

D) Diseño por Corte

Sección crítica por corte cerca al apoyo extremo

De acuerdo al Art. 5.8.3.2, la sección crítica por cortante se ubica con el mayor
valor de 0.5dvcot o dv, desde la cara interna del apoyo, donde dv es el peralte
efectivo por corte del elemento. El mayor cortante ocurre en el tramo exterior,
cerca al apoyo interior, por lo que utilizaremos tal línea de influencia.

´ ´
Seccion critica
por corte

.70

.30 .15 .15 Viga Diafragma b=.25
el mayor dv
de 0.5dvctg 2.10 2.10
2.10

1.34 0.76

A H B C D

Determinación del peralte efectivo por corte (Art. 5.8.2.9)

= 45° (procedimiento simplificado, Art. 5.8.3.4)
a 2.82
d v = peralte de corte efectivo = d e − = 62 − = 60.59 cm
2 2

no menor que el 0.90de= 0.90(62 cm) = 55.8 cm OK!
mayor valor de 0.72h = 0.72(70 cm) = 50.4 cm

La sección crítica por corte se ubica desde el eje del apoyo en:

0.15m+0.6059m = 0.76 m

III-111

A la distancia 0.76m del eje del apoyo (sección H):

Carga muerta (DC)

VDC = +138 kg

Superficie de rodadura (DW)



III-112

Con la posición del camión de diseño mostrada:

VLL=7.4T(-0.739)+7.4T(-0.075) = -6.02 T

Con el factor de carga dinámica IM=0.33 y el factor de presencia múltiple
m=1.2, considerando que la viga diafragma toma toda la carga viva:

VLL+IM= -6.02T(1.33)(1.2) = -9.61 T

Combinación crítica, Estado Límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1:

Vu = n[(1.25 ó 0.9)VDC + 1.75 V(LL+IM)] (Tabla 3.4.1-1)

Vu = 0.9(+138kg)+ 1.75(-9,610kg) = -16,693 kg

Diseño de estribos:

Cortante actuante : Vu = 16,693 kg

Cortante resistente : Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2)
Ø = 0.9 (5.5.4.2)

Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1)
Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2)

Donde:

'
Cortante resistente concreto Vc = 0.083β fc b v d v [N] (5.8.3.3-3)
para β=2 (Art. 5.8.3.4): Vc = 0.53 fc' b v d v [kg]

A v fy d v (cot θ + cot α )senα
s

con ᒕ = 45° (Art. 5.8.3.4) A v fy d v
s


' '
Vc = 0.083β fc b v d v [N] = 0.53 fc b v d v [kg] = 0.53 280 (25 x60.59)
Vc = 13,434 kg

siendo bv = ancho del alma= 25 cm

III-113

Cortante resistente del acero (Vs)

Se propone estribos Ø3/8” espaciados cada 45 cm. Luego:

A v fy d v (cot θ + cot α)senα A v fy d v 1.42( 4200)(60.59)
Vs = = = = 8, 030 kg
s s 45

donde:
s = 45 cm (espaciamiento asumido de estribos)
Av = 2 x 0.71 cm² = 1.42 cm² (asumiendo 2 ramas Ø 3/8”)

Componente fuerza pretensado Vp=0


El menor valor de Vn = 13,434 kg + 8,030 kg + 0 = 21,464 kg
Vn = 0.25 x 280 x 25 x 60.59 + 0 = 106,033 kg

Luego Vn = 21,464 kg


Vr = ØVn = 0.9(21,464 kg) = 19,318 kg > 16,693 Kg OK!


bv s
A v ≥ 0.083 fc' [mm2 ] (5.8.2.5-1)
fy
bv s
A v ≥ 0.27 fc' [cm2 ]
fy
25(45)
A v ≥ 0.27 280 cm2
4200

A v mín = 1.21 cm² < 1.42 cm² OK !


Vu − φVp
vu = (5.8.2.9-1)
φb v d v

Vu 16, 693
vu = = = 12.24 kg / cm²
φb v d v 0.9(25)(60.59)

También:
si vu < 0.125f’c smáx= 0.8dv ≤ 60 cm (5.8.2.7-1)
si vu ≥ 0.125f’c smáx= 0.4dv ≤ 30 cm (5.8.2.7-2)

III-114

Como vu = 12.24 kg/cm² < 0.125(280 kg/cm²) = 35 kg/cm²

smáx= 0.8dv = 0.8(60.59 cm)= 48.47 cm
smáx= 60 cm

Luego s = 45.0 cm < smáx= 48.47 cm OK!

Luego, a una distancia 0.76 del eje del apoyo (sección crítica por cortante) usar
estribos ∅3/8”@ 0.45

As=2Ø5/8"
.20

.70 2Ø1/2"

As=2Ø5/8"
.25 Estribos Ø3 8"@0.45
(a una distancia 0.76m del
eje del apoyo B)

III-115

19. PUENTES DE VIGAS PRESFORZADAS

Eje de cables

El presforzado es una técnica de pre-cargar el concreto en forma tal que se
eliminen o reduzcan los esfuerzos de tensión que son inducidos por las cargas de
gravedad.
El anclaje en el extremo donde se tensa es llamado anclaje vivo o de tensado; el
otro extremo donde no se tensa se llama anclaje muerto o fijo.
La fuerza de presforzado externa es generalmente aplicada por el alargamiento de
tendones: cables (strands), alambres o varillas de acero, contra la sección de
concreto, la cual se comprime.
Los tendones pueden estar esforzados primero, antes del fraguado del concreto
(pre-tensado), o después que el concreto ha fraguado (pos-tensado).
En el pre-tensado los cables están esforzados contra anclajes externos (bancos de
tensado) y el concreto es fraguado en contacto directo con los tendones,
permitiendo así desarrollar el afianzamiento.
En el pos-tensado cuando el concreto ha ganado suficiente resistencia, los
tendones son esforzados directamente contra el concreto y son mecánicamente
asegurados en anclajes empotrados en la fragua en cada extremo.
Los puentes de vigas pre-tensadas o pos-tensadas requieren peraltes menores,
siendo entonces menos pesados, logrando mayores luces. Utilizan acero y concreto
de alta resistencia, y requieren de equipo y mano de obra especializados. Es
importante en estas estructuras controlar agrietamientos y deflexiones.

19.1) PRE-DIMENSIONAMIENTO DE VIGAS
PRE-

h

Ductos para cables
b

- Johannes Johannson (Diseño y Cálculo de Estructuras Pretensadas), propone
para las construcciones presforzadas:
L L
Vigas simplemente apoyadas: h= a
15 20
L L
Vigas continuas, sin cartelas: h= a
20 25

III-116

L
Vigas acarteladas, altura en el centro del tramo h=
50

- Guyon sugiere en vigas de puentes simplemente apoyados, 18 m ≤ L ≤ 36 m :
L h
h≥ +10 cm , b ≥ +10 cm
25 25

- Para luces que excedan los 45 m, los claros continuos son preferibles a claros
simples, aunque el límite de claro económico entre los tipos simple y continuo,
varía con las condiciones locales.

Módulos de Sección mínimos requeridos

M( d+l ) + ( − R )Mo
1
S1 mìn =
− fcs + Rfti

M( d+l ) + ( − R )Mo
1
S2 mìn =
− Rfci + fts
Donde:

S1= módulo de sección referido a la fibra superior
S2= módulo de sección referido a la fibra inferior
Mo= momento flector durante la transferencia
Mt = momento flector en condiciones finales
fci = esfuerzo permisible de compresión en la fibra inferior inmediatamente después de
la transferencia
fti = esfuerzo permisible de tracción en la fibra superior inmediatamente después de la
transferencia
fts = esfuerzo permisible de tracción en la fibra inferior bajo cargas de servicio,
después de las perdidas
fcs = esfuerzo permisible de compresión en la fibra superior bajo cargas de servicio,
después de las perdidas
R = % de fuerza inicial después de las pérdidas

19.2) ESFUERZOS PERMISIBLES SEGÚN AASHTO LRFD

Límites para la Tensión en los Tendones de Pretensado

La tensión en los tendones debida al pretensado o en el estado límite de servicio no
deberá ser mayor que los valores recomendados por el fabricante de los tendones o
anclajes, y los valores especificados en la Tabla 5.9.3-1
En los estados límites de resistencia y evento extremo, no deberá ser mayor que el
límite de resistencia a la tracción especificado en la Tabla 5.9.3-1

III-117

Límites para la Tensión en el Hormigón
Antes de las pérdidas:
'
Compresión en puentes pretensados o postensados: 0.60fci
Tracción: Aplicar los límites indicados en la Tabla 5.9.4.1.2-1

III-118

En estado límite de servicio, después de las pérdidas:
Compresión: Para el estado límite de Servicio I, según la Tabla 5.9.4.2.1-1. El
factor de reducción φ w se deberá tomar igual a 1.0 si las relaciones de esbeltez
de las almas y alas, calculadas de acuerdo con el Art. 5.7.4.7.1, son menores o
iguales que 15. Si son mayores que 15, deberá calcularse de acuerdo al Art.
5.7.4.7.2.

Tracción: Según los límites indicados en la Tabla 5.9.4.2.2-1

III-119

19.3) RESISTENCIA DE ELEMENTOS SOLICITADOS A FLEXIÓN (Art. 5.7.3)
RESISTEN

Elementos con tendones adherentes
Para secciones rectangulares o con alas para las cuales fpe ≥ 0.5fpu , la tensión media
en el acero de pretensado fps se puede tomar como:

 c 
fps = fpu 1− k  (5.7.3.1.1-1)
 dp 
 
siendo:

 fpy 
k = 2.041−  (5.7.3.1.1-2)
 fpu 
 

C5.7.3.1.1-
Tabla C5.7.3.1.1-1 Valores de k
Tipo de tendón fpy / fpu Valor de k
Cables de baja relajación 0.90 0.28
Cables aliviados de tensiones y 0.85 0.38
barras de alta resistencia Tipo 1
Barras de alta resistencia Tipo 2 0.80 0.48

Para comportamiento de sección T:

A ps fpu + A s fy − A 's fy' − 0.85β1fc (b − b w )h f
'

c= (5.7.3.1.1-3)
fpu
0.85fc' β1b w + kA ps
dp


'

c= (5.7.3.1.1-4)
fpu
dp
donde:

Aps = área del acero de pretensado
fpy = tensión de fluencia del acero depretensado
As = área de la armadura de tracción de acero no pretensado
A’s = área de la armadura de compresión
fy = tensión de fluencia de la armadura de tracción
f’y = tensión de fluencia de la armadura de compresión
b = ancho del ala comprimida
bw = ancho del alma
hf = altura del ala comprimida
dp = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de los tendones de
pretensado

III-120

c = distancia entre el eje neutro y la cara comprimida
β1 = factor para el diagrama de tensiones, ver Art. 5.7.2.2

Se deberá investigar el nivel de tensión en la armadura de compresión y, si la armadura
de compresión no ha entrado en fluencia, en la Ecuación 3 en lugar de f’y se deberá
utilizar la tensión real.

Componentes con tendones no adheridos
Para las secciones rectangulares o con alas, la tensión media en el acero de
pretensado no adherido se puede tomar como:

 dp − c 
fps = fpe + 6300

 ≤ fpy
 (5.7.3.1.2-1)
 le 

Siendo:

 2l i 
le = 
2 + N 
 (5.7.3.1.2-2)
 s 

Para comportamiento de sección T:

A ps fps + A s fy − A s fy' − 0.85β1fc' (b − b w )hf
'

c= '
(5.7.3.1.2-3)
0.85fc β1b w


A ps fps + A s fy − A 's fy
'

c= '
(5.7.3.1.2-4)
0.85fc β1b

donde:

c = distancia entre la fibra extrema comprimida y el eje neutro asumiendo que el
tendón de pretensado ha entrado en fluencia
le = longitud de tendón efectiva
li = longitud de tendón entre anclajes
Ns = número de articulaciones de apoyo cruzadas por el tendón entre anclajes o
entre puntos de adherencia discretos
fpy = tensión de fluencia del acero de pretensado
fpe = tensión efectiva en el acero de pretensado en la sección considerada luego de
todas las pérdidas

Se deberá investigar el nivel de tensión en la armadura de compresión y, si la armadura
de compresión no ha entrado en fluencia, en la Ecuación 3 en lugar de f’y se deberá
utilizar la tensión real.

III-121

Resistencia a la flexión

Se deberá tomar como:

Mr = ØMn (5.7.3.2.1-1)

donde:

Mn = resistencia nominal
Ø = factor de resistencia especificado en el Art. 5.5.4.2

Para secciones con alas cuando los tendones son adheridos, si la altura del ala
comprimida es menor que c:

 a  a  ' a a h 
Mn = A ps fps  d p −  + A s fy  d s −  − A s fy'  d s −  + 0.85fc (b − b w )β1h f  − f 
' '

 2  2  2 2 2 

(5.7.3.2.2-1)

19.4) PÉRDIDAS EN LA FUERZA DE PRESFORZADO

La magnitud de la fuerza de presforzado de un miembro de concreto no es
constante sino que toma diferentes valores durante la vida del miembro. Algunos de
los cambios son instantáneos o casi instantáneos, otros dependen del tiempo, y otros
mas suceden en función de la carga superpuesta. Deben considerarse todos estos
cambios en el diseño.
Las pérdidas en la fuerza de presforzado se pueden agrupar en dos categorías:
aquellas que ocurren inmediatamente durante la construcción del miembro, y aquellas
que ocurren a través de un extenso periodo de tiempo. La fuerza de preesfuerzo del
gato (Pj ) puede reducirse inmediatamente debido a las pérdidas por fricción,
deslizamiento del anclaje, y el acortamiento elástico del concreto comprimido.
La fuerza de preesfuerzo después de ocurridas estas pérdidas se denomina fuerza
de preesfuerzo inicial Pi.
A medida que transcurre el tiempo, la fuerza se reduce más, gradualmente, primero
rápidamente y luego más lentamente, debido a los cambios de longitud provenientes
de la contracción y el flujo plástico del concreto y debido al relajamiento del acero
altamente esforzado.
Después de un periodo de muchos meses, o aún años, los cambios posteriores en
los esfuerzos llegan a ser insignificantes, y se alcanza una fuerza de preesfuerzo casi
constante. Esto se define como la fuerza de preesfuerzo efectiva P. Habiendo ocurrido
las pérdidas, P =R Pi , siendo R=1-(% pérdidas), la eficiencia en la fuerza de
presforzado.

13.5
13.5) INECUACIONES BÁSICAS

En condiciones iniciales:

Pi Pi e Mo
− + − ≤ fti (1) fibra superior
A S1 S1

III-122

Pi Pi e Mo
− − + ≥ fci (2) fibra inferior
A S2 S2

En condiciones finales:

R Pi R Pi e Mt
− − + ≤ fts (3) fibra inferior
A S2 S2

R Pi R Pi e Mt
− + − ≥ fcs (4) fibra superior
A S1 S1

Donde:

Pi = fuerza pre-tensora inicial
P = fuerza pre-tensora final (P=RPi)
A = área de la viga
E = excentricidad del cable resultante
S1 = módulo de sección referido a la fibra superior
S2 = módulo de sección referido a la fibra inferior

Diagramas de Magnel

Las inecuaciones anteriores también pueden expresarse como:

1 e − k2
≥ (1) 1/P
Pi Mo + fti S1
(1)
1 e + k1
≥ (2) (3)
Pi Mo − fci S2 (4)
Zona de combinaciones
aceptables de P y e
1 R (e + k1) (2)
≤ (3)
Pi Mt − fts S2

1 R (e − k 2 ) e teórico
máx
≤ (4) emáx real
e
Pi Mt + fcs S1
k =-r²/c = -S /A k =-r²/c = -S /A
1 2 2 2 1 1

Donde:
S2 r2
k1= distancia de núcleo = − =−
A c2
S1 r2
k2= distancia de núcleo = − =−
A c1

III-123

PROBLEMA III.3 Diseñar la viga interior de un puente de vigas presforzadas
III.3 presforzadas
resforz
simplemente apoyado de 30.00 m de longitud, dos vías, según lo mostrado. Utilizar
concreto f’c= 350 kg/cm2 , f’ci= 280 kg/cm2 , strands ∅ ½” (0.987 cm2) , fpu=
18,984 kg/cm2 (270 ksi), y pérdidas 15% (R= 85%). El vehículo usuario es HL-93.
HL-

A B

Luz = 30.00 m

3.60 3.60

Asfalto 2"
t 2% 2%

Cartelas
9"x6" 1.70 .30 h
Viga Diafragma .15
b=0.25
2.00 2.00 2.00

b

Solución.-
Solución.-

A) PRE-DIMENSIONAMIENTO
L L
h≈ a (Johannes Johannson, Diseño y Cálculo de Estructuras Pretensadas)
15 20

h ≈ 2.0m a 1.5 m

Adoptamos h = 1.70 m, b = 0.30 m

B) PROPIEDADES DE LA SECCIÓN

200 cm
Eje 1
18 cm
15 y = 55.14
E.N. 1
h= 170 cm
23
y =114.86
2
t=25 cm 15
30 cm

Tomando como referencia para el cálculo de y el borde superior del patín (Eje 1):
SECCIÓN AREA (cm2) y (cm) y A (cm3) y 2 A (cm4) ICG (cm4)
I 18X200=3600 9 32,400 291,600 97,200
II 152X30 =4560 94 428,640 40’292,160 8’779,520
III 2(0.5x15x23)=345 23 7,935 182,505 2(23x153/36)=4313
∑ 8505 468,975 40’766,265 8’881,033

III-124

Centro de gravedad:

∑ y A 468,975
y= = = 55.14 cm
A 8,505

Luego: y1 = 55.14 cm, y2 = 170 - 55.14= 114.86 cm

Inercia:

2
I1 = ∑ ICG + ∑ y A = 8' 881 033 + 40' 766, 265 = 49' 647, 298 cm 4
,

2
ICG = I1 − y A = 49' 647, 298 − (55.14)2 (8505) = 23' 788, 529 cm 4

Módulos de Sección:

ICG 23' 788, 529
S1 = = = 431 421cm 3
,
y1 55.14

ICG 23' 788, 529
S2 = = = 207,109cm 3
y2 114.86

Distancias de Núcleo:

S2 207,109
k1 = = = 24.35 cm
A 8, 505

S1 431 421
,
k2 = = = 50.73 cm
A 8, 505

C) MÓDULOS DE SECCIÓN MÍNIMOS

M( d +l ) + ( − R )Mo
1
S1 mìn =
− fcs + Rfti

M( d+l ) + ( − R )Mo
1
S2 mìn =
− Rfci + fts
Donde:

Cargas iniciales:

Peso propio:

wpp = 0.8505m2 x 2.4 T/m3 = 2.04 T/m

2.04(30)2
Mmáx = = 229.64 T − m
8

III-125

Diafragmas, ubicándolos a10 m uno de otro:

1.397 T 1.397 T 1.397 T 1.397 T

10 10 10
A B
Luz = 30.00 m

2.794 T 2.794 T

Pdiaf = 1.70m x 1.37m x 0.25m x 2.4 T/m3 = 1.397 T

Mmáx = (2.794-1.397)(15) – 1.397(5) = 13.97 T-m

Luego:

Mo = 229.64 T-m + 13.97 T-m = 243.61 T-m

Cargas aplicadas:

Asfalto:

Wasf 2” = 0.05m x 2.00m x 2.25 T/m3 = 0.225 T/m

0.225(30)2
Mmáx = = 25.31 T − m
8

Carga viva HL-93:

MLL+IM = 387.09 T-m (Ver Tabla APÉNDICE II-B)

Distribución g en viga interior:

- Dos carriles cargados:

S 0.6 S 0.2 k g 0.1
g = 0.075 + ( ) ( ) ( 3 ) (Tabla 4.6.2.2b-1)
2900 L Lt s

Con:
E viga 2.00 m
n= =1
E tablero .18
A = 30 x 152 = 4560 cm2 e=0.85
g
1.52 1.70
3
30(
152)
I= = 8' 779, 520 cm 4
12 0.30
eg = 85 cm

III-126

[
k g = n I + Ae 2
g ] =1[8' 779, 520 + 4560(85) ] = 41' 725, 520 cm
2 4

0.1 0.1
 kg   41725, 520 
'
 3
 Lt  =  = 1.09
 s 18 3
 3000( ) 

2000 0.6 2000 0.2
g = 0.075 + ( ) ( ) ( .09) = 0.58
1
2900 30000

- Un carril cargado:

S 0.4 S 0.3 k g 0.1
g = 0.06 + ( ) ( ) ( 3) (Tabla 4.6.2.2.2b-1)
4300 L Lt s

2000 0.4 2000 0.3
g = 0.06 + ( ) ( ) ( .09) = 0.42
1
4300 30000

Luego: MLL+IM = 0.58 (387.09 T-m)= 224.51 T-m

Entonces: Md+ l = 25.31 + 224.51 = 249.82 T − m

Resumen:

Cargas iniciales: Mo = 243.61 T- m
Cargas de servicio: Md+ l = 249.82 T − m
Mt = 493.43 T- m

Esfuerzos Permisibles

Iniciales (transferencia)

Fibra superior:

'
fti = 0.25 fci ≤ 1.38 MPa [SI] (Tabla 5.9.4.1.2-1)
= 0.80 fci ≤ 14 kg / cm2
'
[MKS]
= 0.80 280 = 13.39 kg / cm2 ≤ 14 kg / cm2

Fibra inferior:

'
fci = −0.60 fci (Art. 5.9.4.1.1)
2
= −0.60 (280) = −168 kg / cm

III-127

Aplicados (en servicio)

Fibra superior:

CASO I: carga total

' '
fcs = −0.60φ w fc = −0.60fc (Tabla 5.9.4.2.1-1)
= −0.60( )(350) = −210 kg / cm2
1

CASO II: sobrecarga y semisuma de presforzado+cargas permanentes

fcs = −0.40fc' (Tabla 5.9.4.2.1-1)
2
fcs = −0.40(350) = −140 kg / cm

Fibra inferior:

fts = 0 (Tabla 5.9.4.2.2-1)

Módulos de Sección requeridos

M( d + l ) + ( − R )Mo
1 249.82x 5 + (0.15)(243.61105 )
10 x
S1 mìn = = = 129,355 cm 3
− fcs + Rfti − ( −210) + 0.85( .39)
13

M( d + l ) + ( − R )Mo
1 249.82x 5 + (0.15)(243.61105 )
10 x
S2 mìn = = = 200, 535cm 3
− Rfci + fts − 0.85( −168) + 0

Como S1= 431,421 cm3 > S1 mín= 129,355cm3 y
S2 = 207,109 cm3 > S2 mín= 200,535 cm3, la sección es adecuada.

D) CÁLCULO DE LA EXCENTRICIDAD DE LOS CABLES Y FUERZA INICIAL EN EL
CENTRO DE LUZ

Inicialmente:

1 e − k2
≥ (1)
Pi Mo + fti S1

1 e − 50.73 e − 50.73
≥ =
Pi 243.6110 5 +13.39(431 421 30136, 243
x , ) '

1 e + k1
≥ (2)
Pi Mo − fci S2

III-128

1 e + 24.35 e + 24.35
≥ 5
=
Pi 243.6110 − ( −168)(207,109) 59'155, 312
x

Finalmente:

1 R (e + k1)
≤ (3)
Pi Mt − fts S2

1 0.85(e + 24.35) e + 24.35
≤ 5
=
Pi 493.43x 10 − 0 58' 050, 847

1 R (e − k 2 )
≤ (4)
Pi Mt + fcs S1

1 0.85(e − 50.73) e − 50.73
≤ 5
=
Pi 10 + ( −210)(431 421 − 48' 535,518
493.43x , )

Gráfica de las inecuaciones de Magnel:

1/P

(1)
(4) (3)
Zona de combinaciones
aceptables de P y e

(2)

e = 131.78 cm
máx teórico
emín
= e
e =99.86 cm
16.54 cm máx real
k1=-24.35 cm k = 50.73 cm
2

De la gráfica: emáx = 131.78 cm y emín = 16.54cm

La distancia entre el eje de cables y
la fibra extrema la aproximaremos a 55.14 cm
un valor entre el 5%h á 15%h. E.N.
e real 170 cm
Luego z ≈ 10%(170cm)
máx 114.86 cm
≈15cm 15 cm
Ducto para cables

III-129

Se tomará: emáx real = 114.86cm -15cm = 99.86cm
99.86cm

De la inecuación (3), en el centro de luz:

1
Con e = 99.86 cm, = 2.139x −6 kg −1,
10
Pi

467.36
Pi = 467.36 T

E) ESTADOS LÍMITES APLICABLES (Tabla 3.4.1-1)

Servicio I: U=n[1.00(DC+DW) + 1.00(LL+IM)]
Servicio III: U=n[1.00(DC+DW) + 0.80(LL+IM)]
Resistencia I: U=n[1.25(DC) + 1.50(DW) + 1.75(LL+IM)]

Se hará uso de n= nDnRnI=1

F) COMPROBACIÓN DE ESFUERZOS EN CENTRO DE LUZ

F.1) ESTADO DE SERVICIO I


Fibra superior (ecuación 1)

Pi Pi e Mo 467,360 467,360(99.86) 243.61105
x
fti = − + − =− + −
A S1 S1 8505 431 421
, 431 421
,

fti = -3.24 kg/cm2 (comp) < admitido: fti = +13.39 kg/cm2 (tracción) OK!

Fibra inferior (ecuación 2)

Pi Pi e Mo 467,360 467,360(99.86) 243.61105
x
fci = − − + =− − +
A S2 S2 8505 207,109 207,109

fci = -162.67 kg/cm2 (comp) < admitido: fci = -168 kg/cm2 (comp) OK!


Con P = R Pi = 0.85(467.360 T) = 397.256 T


CASO I (carga total)

R Pi R Pi e Mt
fcs = − + −
A S1 S1

III-130

397, 256 397, 256(99.86)  243.61105 25.3110 5 224.5110 5 
x x x
fcs = − + − + + 
8505 431 421
,  431 421
, 431 421
, 431 421 
,

fcs = −46.71+ 91.95 − 56.47 − 5.87 − 52.04

fcs = -69.13 kg/cm2 (comp) < admitido: fcs = -210 kg/cm2 (comp) OK!

CASO II (sobrecarga y semisuma de presforzado+cargas permanentes)

Ml 1  R Pi R Pi e Mpp + asf 
fcs = − + − + − 
S1 2  A S1 S1 

224.5110 5 1  397, 256 397, 256(99.86) 243.6110 5 25.31105 
x x x
fcs = − + − + − − 
431 421
, 2 8505 431 421
, 431 421
, 431 421 
,

1
fcs = −52.04 + [− 46.71+ 91.95 − 56.47 − 5.87]
2

fcs = -60.59 kg/cm2 (comp) < admitido: fcs = -140 kg/cm2 (comp) OK!


R Pi R Pi e Mt 397, 256 397, 256(99.86) 493.43x 5
10
fts = − − + =− − +
A S2 S2 8505 207,109 207,109

fts =0 kg/cm2 admitido: fts = 0 kg/cm2 (no tracciones) OK!

F.2) ESTADO DE SERVICIO III



Pi Pi e Mo 467,360 467,360(99.86) 243.61105
x
fti = − + − =− + −
A S1 S1 8505 431 421
, 431 421
,

fti = -3.24 kg/cm2 (comp) < admitido: fti = +13.39 kg/cm2 (tracción) OK!


Pi Pi e Mo 467,360 467,360(99.86) 243.61105
x
fci = − − + =− − +
A S2 S2 8505 207,109 207,109

fci = -162.67 kg/cm2 (comp) < admitido: fci = -168 kg/cm2 (comp) OK!

III-131



CASO I (carga total)

R Pi R Pi e (Mo + Md ) + 0.80Ml
fcs = − + −
A S1 S1

397, 256 397, 256(99.86)  243.61105 25.3110 5 
x x
fcs = − + − + 
8505 431 421
,  431 421
, 431 421 
,
 0.80x224.5110 5 
x
− 
 431 421
, 

fcs = −46.71+ 91.95 − 56.47 − 5.87 − 41.63

fcs = -58.72 kg/cm2 (comp) < admitido: fci = -210 kg/cm2 (comp) OK!

CASO II (sobrecarga y semisuma de presforzado+cargas permanentes)

Ml 1  R Pi R Pi e Mpp + asf 
fcs = − + − + − 
S1 2  A S1 S1 

0.80x224.51105 1 397, 256 397, 256(99.86) 243.61105
x x
fcs = − + (− + −
431 421
, 2 8505 431 421
, 431 421
,
25.3110 5
x
− )
431 421
,
1
fcs = −41.63 + (− 46.71+ 91.95 − 56.47 − 5.87)
2

fcs = -50.18 kg/cm2 (comp) < admitido: fci = -140 kg/cm2 (comp) OK!


R Pi R Pi e (Mo + Md ) + 0.80Ml
fts = − − +
A S2 S2

397, 380 397, 380(99.86) (243.61+ 25.31 x 5
) 10
fts = − − +
8505 207,109 207,109
0.80(224.66x 5 )
10
+
207,109

fts = - 21.68 kg/cm2 (comp), admitido: fts = 0 kg/cm2 (no tracción) OK!

III-132

G) NÚMERO DE STRANDS REQUERIDO POR VIGA

Con strands Ø1/2” (A = 0.153 in2 = 0.987 cm2 )

fpu = 270 ksi = 18,984 kg/cm2

Luego fpi = 0.70 fpu = 13,289 kg/cm2 (Tabla 5.9.3-1)

Capacidad de 1 strand Ø1/2”: 0.987 cm2 (13,289 kg/cm2) = 13,116 kg

Con Pi = 467.36 T (centro de luz), después de las perdidas P=RPi

P = 0.85(467.36T) = 397.256T

397, 256
Nº de strands = = 31 strands φ 1/ 2"
13,116

H) VERIFICACIÓN POR ESTADO LÍMITE DE RESISTENCIA I

Momento aplicado:

Mu = 1.25MDC + 1.50MDW + 1.75MLL+IM

Mu = 1.25(243.61) + 1.5(25.31) + 1.75(224.51) = 735.37 Tm

Momento resistente de la viga:

Esfuerzo promedio en el acero de presfuerzo cuando fpe ≥ 0.5fpu :

 c 
fps = fpu 1− k  (5.7.3.1.1-1)
 dp 
 

donde:

fpe = tensión en el acero de presforzado debido al presforzado, luego de las
pérdidas
= P/A = 397,256kg / (31x0.987cm²)
= 12,983 kg/cm² ≥ 0.5(18,984 kg/cm²)
fpu = resistencia a la tensión especificada del acero de presfuerzo
= 18,984 kg/cm2 (270 ksi)
fps = esfuerzo promedio en el acero de presfuerzo

 fpy 
k = 21.04 −  (5.7.3.1.1-2)
 fpu 
 
= 0.28 para cables de baja relajación (Tabla C5.7.3.1.1-1)

dp = distancia desde la fibra extrema en compresión al centroide del tendón de
presfuerzo

III-133

= 170cm – 15cm = 155cm
c = distancia desde el eje neutro a la cara en compresión

Para calcular c (C5.7.3.2.2) asumimos un comportamiento rectangular de la sección y
luego comprobamos si la profundidad del bloque de esfuerzos de compresión
equivalente, c, es menor o igual que el espesor de la losa: hf =18 cm.

Donde:

a = β1c

'

c=
fpu
dp
Aps = área del acero de presfuerzo = 31(0.987cm²)=30.60cm²
As = área del refuerzo de tensión del acero no presforzado = 0
A’s = área del refuerzo de compresión = 0
f’c = resistencia cilíndrica del concreto = 350 kg/cm²
fy = resistencia de fluencia del refuerzo no presforzado de tensión
f’y = resistencia de fluencia del refuerzo no presforzado de compresión

β1 = 0.85 para f’c ≤ 280 kg/cm²
0.05(fc' − 280)
= 0.85 − ≥ 0.65 para fc > 280 kg / cm2
'
70

0.05(350 − 280)
= 0.85 − = 0.80
70
b = ancho efectivo del patín de compresión = 200cm

30.60( ,984)
18
c= = 11.94cm < h f = 18cm OK!
0.85(350)(0.80)(200) + 0.28(30.60)( ,984 /155)
18

Por lo tanto, el comportamiento de sección rectangular asumido es válido.

El esfuerzo promedio en el acero de presfuerzo es:

 c 
fps = fpu 1− k  = 18, 9841− 0.2811.94  = 18, 575 kg / cm2
 
 dp   155 
 

Resistencia nominal a la flexión:

a
Mn = A ps fps (d p − ) (5.7.3.2.2-1)
2

(La ecuación anterior es una simplificación de la ecuación 5.7.3.2.2-1, cuando no
existe acero no presforzado)

a = β1c = 0.80(11.94cm) = 9.55cm

III-134

9.55
Mn = 30.60( ,575)(
18 155 − ) = 853.87 T − m
2

Momento resistente de la viga:

Mu = ØMn (5.7.3.2.1-1)

Donde Ø = 1.00 para flexión y tensión en concreto presforzado (Art. 5.5.4.2.1)

Luego:

Mu = 853.87T-m > 735.37 T-m OK!

III-135

III-
APÉNDICE III-A
MÉTODO C: MOMENTOS REDUCIDOS EN TABLEROS POR CONSIDERACION DE
CARGA DE RUEDA EXTENDIDA Y MOMENTO EN CARA DE VIGA

1. Momento Positivo (Reducción por carga de rueda extendida)

El momento de flexión máximo en un punto es mayor debido a una carga
concentrada que a una carga extendida en cierta distancia. Es posible entonces
en ejes de rueda reducir el momento positivo considerando la carga de rueda
se extiende sobre un ancho de 0.51 m (Art. 3.6.1.2.5 LRFD) más el peralte
de la plataforma (Art. 4.6.2.1.6 LRFD).

En razón de tener el momento positivo en la línea de influencia, en el punto de
interés, picos agudos y luego decaer rápidamente, al usar una carga de rueda
extendida se pueden obtener momentos de diseño significativamente menores
que de una carga de rueda concentrada. Con un tramo simple se puede lograr
desarrollar una aproximación que simplifica la aplicación de la carga de rueda
extendida. La extensión para un miembro continuo será aproximada debido a
que la línea de influencia correspondiente es realmente curva.

III-136

Consideremos una viga simple de longitud L. Se desea calcular el momento
positivo máximo en el punto 0.4 del tramo debido a la carga de rueda
extendida de ancho BL, siendo B una fracción. De la figura, queremos localizar
la carga de rueda extendida medida como una fracción X de la longitud de la
base, para causar el máximo momento de flexión. El momento de flexión en el
punto 0.4 será la carga de rueda uniforme por el área de la línea de influencia
subtendida por la carga, A1+A2. Para maximizar el momento de flexión, la
fracción X debe maximizar la suma de las áreas A1+A2.

La ordenada Y1=0.6(0.4L-XBL)
El área trapezoidal A1 = 0.24BXL2 − 0.3B 2 X 2L2
Del mismo modo, la ordenada Y2=0.4L(0.6-B+XB)
El área trapezoidal
A 2 = 0.24BL2 − 0.24BXL2 − 0.2B 2L2 + 0.4B 2 XL2 − 0.2B 2 X 2L2
Sumando las áreas obtenemos lo siguiente:
A1 + A 2 = 0.24BL2 − 0.2B 2L2 + 0.4B 2 XL2 − 0.5B 2 X 2L2
Derivando el área con respecto a la variable X é igualando a cero para
encontrar el área máxima se obtiene:

d(A1 + A 2 )
= 0.4B 2L2 − B 2 XL2 = 0
dX

De donde X=0.4.

La posición de la carga de rueda extendida producirá el momento máximo en el
punto 0.4. El momento positivo máximo en el punto 0.4 es el producto de la
carga uniforme extendida P/BL por el área de influencia A1+A2. El resultado es
el siguiente:

P
Mmax = (0.24BL2 − 0.2B 2L2 + 0.4B 2 XL2 − 0.5B 2 X 2L )
BL

Reemplazando X=0.4 para el momento máximo se obtiene

Mmax = P(0.24L − 0.120BL )

El primer término es el momento que resulta de la carga de rueda concentrada
aplicada en el punto de interés (punto 0.4). El segundo término es una
corrección que resulta de la carga extendida en un ancho BL.

Este resultado puede generalizarse debido a que la proporción X está
directamente relacionada con el punto de interés. Así, para el punto 0.5,
X=0.5, y la ecuación resulta:

Mmax = P(0.25L-0.125BL)

Esto conduce a una conveniente aproximación para el momento máximo por
carga de rueda extendida colocando la carga concentrada en la ordenada
máxima de la línea de influencia y corrigiendo con el término PBL/8, donde BL
es la longitud de la carga de rueda extendida.

III-137

El resultado en el punto 0.4 no es completamente correcto y el error se
incrementa según el punto se aleje del centro del tramo. Para propósito de
diseño, sin embargo, al trabajar con puntos cercanos al centro, el error es
mínimo.

Para tramos continuos podemos utilizar esta aproximación con seguridad
razonable, simplificando el arduo proceso que se requeriría con la línea de
influencia curva correspondiente.

Podemos escribir entonces:

PB P
ML = MOL − (Ecuación 1)
8

Donde:

ML = momento positivo de diseño ajustado para carga viva
MOL= momento positivo usando cargas de rueda concentradas
P = carga de rueda concentrada en el punto de interés
BP = longitud de base de la carga de rueda extendida (0.51m más el peralte
de la cubierta)

viga)
2. Momento Negativo (Reducción por consideración de momento en cara de viga)
Las líneas de influencia para momentos en los apoyos son curvas suaves y el
uso de cargas de rueda extendidas en vez de puntuales no cambia
significativamente el momento de diseño. Sin embargo puede deducirse una
fórmula para reducir el momento negativo de diseño en plataformas tomando el
momento negativo en la cara de la viga, no en el eje. El Art. 4.6.2.1.6 LRFD
especifica que la localización de la sección de diseño para momento negativo
es:

a. En la cara del apoyo para construcciones monolíticas y vigas cajón de
concreto;
b. Un cuarto el ancho del patín desde el eje del apoyo para vigas de acero; o
c. Un tercio el ancho del patín, sin exceder 0.38m desde el eje del apoyo
para vigas de concreto prefabricadas Tee ó I.

De este modo los momentos negativos se calculan en el centro del apoyo y
luego se corrigen con la sección de diseño real usando la Ecuación 2, que se
deduce a continuación.
En vez de asumir una hipotética reacción concentrada, asumimos que la reacción
se distribuye uniformemente sobre una longitud igual a dos veces la distancia
desde el centro del apoyo a la sección de diseño B N / 2 . El término de
corrección es entonces el área del diagrama de cortante entre el centro del
apoyo y la sección de diseño. Esto es, un triángulo con longitud de base
B N / 2 y ordenada igual al cortante en el apoyo. El área del triángulo será:
VBN / 4 . Debido a que el cortante a uno y otro lado de la reacción es
aproximadamente la mitad de la reacción del apoyo, la corrección para el
momento es RB N / 8 . Siendo negativo el momento en el apoyo, la fórmula que
resulta es similar a la Ecuación 1, excepto que el signo de la corrección es
positivo, lo que reduce el momento de diseño.

III-138

En resumen, el momento negativo máximo y la respectiva reacción en el centro
del apoyo se calculan con cargas de rueda concentradas, corrigiendo luego
con:

RBN
ML = MOL + (Ecuación 2)
8

Donde:

ML = momento negativo de diseño ajustado para carga viva
MOL= momento negativo en el apoyo usando cargas de rueda concentradas
R = reacción del apoyo debido a cargas de rueda concentradas
BN = dos veces la distancia desde el eje del apoyo a la sección de diseño
negativa

III-139

III-
APÉNDICE III-B
PROCESO DE DISEÑO VIGA T

a) Definir ancho efectivo b (Art. 4.6.2.6)

Vigas Interiores:
b efectivo es el menor valor de:
L efectiva
4
bf
12t f + ( t w ó )
2
S= espaciamiento entre vigas longitudinales

Vigas exteriores:
b efectivo = ½ b efectivo adyacente + el menor valor de:

L efectiva
8
tw b
6t f + ( ó f ) , el que resulte mayor
2 4
ancho del volado

b) CASO 1: Viga Rectangular (c < t)
b
1) Suponer c = t
c E.N.
Con lo que: t
Mu d
a = 0.85c , As = ,
a
0.9fy (d − )
2 z
As
A b
ρ= s
bd

2) Calcular
ρfy d
c = 1.18
0.85fc'
3) Chequear:

Si c ≤ t , DISEÑAR COMO VIGA RECTANGULAR (diseño convencional)

Si c > t , DISEÑAR COMO VIGA T

III-140

c) CASO II: Viga T (c > t)

fc'
1) Calcular A sf = 0.85 (b − b w )t b
fy
2) Calcular Malma t
c
t E.N. d
Malas = φA sf fy (d − )
2
siendo Mu = Malas + Malma z
As
b
→ Malma = Mu − Malas

3) Calcular (A s − A sf )

Malma (A s − A sf )fy
(A s − A sf ) = , a=
a
φfy (d − ) 0.85fc' b w
2

Malma
Luego: A s = + A sf
a
φfy (d − )
2

III-141

III-
APÉNDICE III-C
MÉTODO DE COURBON PARA DISTRIBUIR LA CARGA VIVA EN VIGAS DE UN
DISTRIBUIR
PUENTE VIGA-LOSA
VIGA-

Cuando una sección transversal de puente se deforma y gira como una sección
transversal rígida, esto es el caso de secciones de losa y vigas de concreto con vigas
diafragmas convenientemente distribuidas e interconectadas, es posible repartir la
carga transversalmente entre las vigas de soporte según la expresión de Courbon:

P Pe
R = ± X
n Ι

Es decir:

1 eX 
R = P ± 
n
 X2 
 ∑
donde X es la distancia de una viga al centroide de las vigas principales, ∑X 2
es la
suma de los cuadrados de las distancias de varias vigas principales desde el
mencionado centroide, n el número de vigas principales. El reglamento AASHTO LRFD
adopta esta fórmula según C4.6.2.2.2d-1, para calcular el porcentaje de distribución
de la carga viva “g” en vigas.

Veamos el siguiente caso, donde se quiere distribuir la carga de un carril de diseño
entre las cuatro vigas que se muestran en la figura.

P/2 P/2
0.60 1.80 .15
(Minimo)
e=2.10
1

R=P
R1 R2 R3 R4

X =3.15
ext

2.10m 2.10 2.10
X=1.05
X=3.15m

Se tiene: Ι= ∑X 2
[
= 2 3.152 + 1.052 = 22.05 ]
y también: n=4, e=2.10m

III-142

Luego:

 1 2.10 (3.15) 
R1 = P  + = 0.55 P (g=0.55, como lo calculado en la viga exterior
4 22.05  
del PROBLEMA III.2, para el caso de un carril cargado)

 1 2.10 ( .05) 
1
R 2 = P + = 0.35 P
4 22.05  

 1 2.10 ( .05) 
1
R 3 = P − = 0.15 P
4 22.05  

 1 2.10 (3.15) 
R 4 = P − = −0.05 P
4 22.05  

Total: 1.0P

Si colocamos otro carril de diseño cargado a la derecha, se tiene que las reacciones
en las vigas sólo por éste último carril son:

P/2 P/2 P/2 P/2
0.60 1.80 1.20 0.60 1.80
(Minimo) e=2.10 e=1.50
1 2

R=P R=P
R1 R2 R3 R4

X =3.15
ext

2.10m 2.10 2.10
X=1.05
X=3.15m

 1 1.50 (3.15) 
R1 = P  − = 0.036 P
4 22.05  

 1 1.50 ( .05) 
1
R 2 = P −  = 0.179 P
4 22.05 

 1 1.50 ( .05) 
1
R 3 = P + = 0.321P
4 22.05  

 1 1.50 (3.15) 
R 4 = P + = 0.464 P
4 22.05  

Total: 1.0P

III-143

De este modo cuando los dos carriles estén cargados, las reacciones en las vigas
serán respectivamente:

R1 = 0.55P + 0.036P = 0.586 P (g=0.586, como lo calculado en la viga exterior del
PROBLEMA III.2, para el caso de dos carriles cargados)

R 2 = 0.35P + 0.179P = 0.529 P

R 3 = 0.15P + 0.321P = 0.471P

R 4 = − 0.05P + 0.464P = 0.414 P

Total: 2.0P

IV-1

CAP IV: DISPOSITIVOS DE APOYO
1. DEFINICIÓN
Son dispositivos ubicados entre la superestructura y la infraestructura de un puente
cuya función es transmitir cargas y posibilitar desplazamientos y rotaciones.
Las cargas incluyen el peso propio de la superestructura, cargas vehiculares, de
viento, sismo, frenado, fuerza centrífuga, entre otras. Los desplazamientos
transversales y longitudinales, y las rotaciones, resultan de la acción de estas cargas
así como de variaciones de temperatura, flujo plástico, retracción, fatiga, etc.

SOLICITACIONES EN DISPOSITIVOS DE APOYOS

2. TIPOS DE DISPOSITIVOS
Pueden ser clasificados como fijos y de expansión. Los fijos permiten rotaciones
pero restringen los movimientos translacionales. Los de expansión permiten
movimientos translacionales y rotaciones.

3. APOYOS DE ELASTÓMERO
Utilizan caucho natural o sintético (neopreno) que posibilita translaciones y
rotaciones, sustituyendo los complicados dispositivos tradicionales de rótulas y
péndulos de concreto armado o metálicos.
Son flexibles en cortante pero a la vez muy rígidos para los cambios volumétricos;
en compresión, se expanden lateralmente.
En puentes de tramos medio a corto, donde las cargas son bajas, es posible utilizar
elastómeros simples. Para cargas sustanciales es posible reforzar el elastómero con
acero (zunchos) o fibra de vidrio.
Los dispositivos de elastómero zunchados están conformados por capas de
neopreno y láminas de acero alternadas adheridas al caucho por vulcanización.

Dispositivos de elastómero Freyssinet
Los dispositivos de apoyo de elastómero zunchado Freyssinet poseen capas externas
de elastómero cuyo espesor es la mitad del espesor de las capas internas. Pueden
ser:

Apoyo semicubierto Apoyo recubierto

IV-2

a) Semi-recubiertos

Se realizan por cortes de placas madres de grandes dimensiones. Los cantos de
los zunchos son aparentes en las caras laterales y están protegidos contra la corrosión
con la ayuda de un revestimiento especial a base de resinas epóxicas.
Se designan por sus dimensiones en planta (mm) seguidas por el número de láminas
de elastómero y zunchos metálicos así como su espesor respectivo (mm).

Ej: Neopreno 400x400x4(10+3)

- Mide en planta 400 mm por 400 mm
- Contiene 3 capas de elastómero de 10 mm de espesor y 2 semielásticas externas
de 5 mm. El espesor total de elastómero es 40 mm.
- Contiene 4 zunchos metálicos de 3 mm. El espesor total del dispositivo es 52 mm.

400 mm

400 mm
5
40 mm de 10
elastómero 10
10
5
4 zunchos de 3 mm

b) Recubiertos

Se realizan por moldeado individual. Los cantos no aparentes de los zunchos están
protegidos contra la corrosión por una capa de elastómero de 5 mm de espesor
medio, vulcanizado en la fabricación.
Se designan por sus dimensiones en planta (mm) seguidas por el espesor total
(mm). La denominación de un apoyo recubierto de la misma constitución y dimensiones
en planta que el ejemplo anterior, es 400x400x52.

Espesores de placas de elastómero y de zunchos (acero dulce) usuales:

telastóm (mm) tzuncho (mm)
8 2
10 3
12 3
15 4

Se brinda a continuación datos técnicos de dispositivos de apoyo standard
Freyssinet semirecubiertos:

IV-3

IV-4

IV-5

IV-6

IV-7

4. ESPECIFICACIONES AASHTO LRFD
De los métodos A y B propuestos por las Especificaciones, el Método A brinda
por limitaciones de esfuerzo, apoyos de menor capacidad que los diseñados con el
Método B. Sin embargo, aquellos diseñados por el Método B requieren de pruebas y
control de calidad adicionales).

Apoyos de Elastómero Reforzados con Acero – MÉTODO B (Art. 14.7.5 AASHTO
LRFD)

Los apoyos de elastómero reforzados con acero contendrán capas alternadas de
elastómero y acero de refuerzo. Estos apoyos podrán así mismo agregar a éstas,
placas externas de acero en la parte superior e inferior.
Las capas superior e inferior de elastómero tendrán grosores no mayores que el
70% del grosor de las capas internas.
El factor de forma de una capa Si, resulta de dividir el área plana del elastómero
por el área del perímetro. Para apoyos rectangulares sin agujeros, el factor de forma
de una capa es:

LW
Si = (14.7.5.1-1)
2hri (L + W )
donde:
L = longitud del apoyo de elastómero rectangular (paralelo al eje longitudinal del
puente)
W = ancho del apoyo, en dirección transversal
hri = grosor de la capa i-ésima de elastómero en el apoyo

Para apoyos circulares sin agujeros, el factor de forma de una capa es:
D
Si = (14.7.5.1-2)
4hri

Propiedades del Material (Art. 14.7.6.2)
La escala de dureza puede usarse para especificar el material de apoyo. El
módulo de corte G varía entre 6.12 y 17.84 kg/cm2 y la dureza nominal entre 50 y
70. Si el material se especifica por su dureza, el módulo de corte se toma como el
menos favorable del rango dado en la Tabla 14.7.6.2-1; valores intermedios pueden
tomarse por interpolación. Se precisan también valores de deflexión por escurrimiento
plástico (creep).
Para apoyos de elastómero reforzado con acero, el módulo de corte G varía
entre 6.12 y 13.26 kg/cm2 y dureza nominal en la escala Shore A, entre 50 y 60. Se
usa como base la temperatura de 23º C.

14.7.6.2-
Tabla 14.7.6.2-1 Propiedades del Material
Dureza (Shore A)
50 60 701
2
Módulo de Corte G (kg/cm ) 6.73-9.18 9.18-14.07 14.07-21.11
a 23ºC
Escurrimiento plástico (creep) 0.25 0.35 0.45
a 25 años dividido por la
deflexión inicial
1
Solo para PEP (apoyos de elastómero simples) y FGP (apoyos reforzados con capas discretas de fibra
de vidrio).

IV-8

Deflexiones por Compresión
La Fig. siguiente permite determinar la deformación en una capa de elastómero
en dispositivos con refuerzo de acero, basados en la dureza y el factor de forma.

C14.7.6.3.3-
Fig. C14.7.6.3.3-1 Curvas Esfuerzo - Deformación

Requerimientos de Diseño
Esfuerzo de Compresión
En cualquier capa de elastómero, el esfuerzo de compresión promedio en el
estado límite de servicio cumplirá:
• Para apoyos sujetos a deformación por cortante:

σ s ≤ 1.66 GS ≤ 112 kg / cm2 (14.7.5.3.2-1)
σ L ≤ 0.66 GS (14.7.5.3.2-2)

• Para apoyos fijados contra la deformación por cortante:
σ s ≤ 2 GS ≤ 122 kg / cm2 (14.7.5.3.2-3)
σ L ≤ GS (14.7.5.3.2-4)
donde:
σ s = esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga total
σ L = esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga viva
G = módulo de cortante del elastómero
S = factor de forma de la capa más gruesa del elastómero

Deformación por Cortante
El desplazamiento horizontal máximo de la superestructura de puente ∆ o , será
tomado como 65% del rango de movimiento termal de diseño ∆ T , incluyendo los
movimientos causados por escurrimiento plástico del concreto (creep), acortamiento y
postensado.
La deformación máxima por cortante del apoyo en el estado límite de servicio
∆ s , se tomará como ∆ o , modificado para tener en cuenta la rigidez de la sub-
estructura y el proceso constructivo. Si una superficie deslizante de baja fricción está

IV-9

instalada, ∆ s no será mayor que la deformación correspondiente al primer
deslizamiento.
El apoyo cumplirá con:

hrt ≥ 2 ∆ s (14.7.5.3.4-1)

donde:
hrt = grosor total del elastómero
∆ s = deformación por cortante total máxima del elastómero en estado límite de
servicio

Compresión y Rotación Combinados
En el estado límite de servicio, las rotaciones se toman como la suma de
efectos máximos de la pérdida inicial de paralelismo y la subsiguiente rotación de
extremo de la viga debido a las cargas y movimientos actuantes.
Los apoyos se diseñan para la no ocurrencia de levantamientos bajo cualquier
combinación de carga y las rotaciones correspondientes.
Los apoyos rectangulares satisfacen requerimientos de levantamiento si:

2
θ  B 
σ s > GS s  
  (14.7.5.3.5-1)
 n  hri 

Apoyos rectangulares con deformación por cortante cumplirán:

 θ  B 
2

σ s < 1.875GS − 0.20 s
1    (14.7.5.3.5-2)

  n  hri 
  


Apoyos rectangulares fijos contra la deformación por cortante cumplirán:

 θ  B 
2

σ s < 2.25GS − 0.167 s
1    (14.7.5.3.5-3)

  n  hri 
  

donde:
n= número de capas interiores del elastómero. Se definen capas exteriores como
aquellas que están ligadas sólo por una cara. Cuando el grosor de una capa
exterior es mayor que la mitad de una interior, n se incrementará en ½ por cada
capa exterior.
hri = grosor de la capa i-ésima del elastómero
σ s = esfuerzo en el elastómero
B = longitud del elastómero si la rotación es alrededor de su eje transversal o
ancho del mismo si la rotación es alrededor de su eje longitudinal
θ s = rotación de servicio máxima debido a la carga total (radianes)

Los apoyos circulares serán satisfactorios a los requerimientos de
levantamiento si cumplen:

IV-10

2
θ  D 
σ s > 0.75GS s  
  (14.7.5.3.5-4)
 n  hri 

Los apoyos circulares sujetos a deformación por cortante cumplirán:

 θ  D 
2

σ s < 2.5GS − 0.15 s
1    (14.7.5.3.5-5)

  n  hri 
  


Los apoyos circulares fijados contra la deformación por cortante cumplirán:

 θ  D 
2

σ s < 3GS − 0.125 s
1    (14.7.5.3.5-6)

  n  hri 
  

donde:

θs = rotación de servicio máxima debido a la carga total (radianes)
D = diámetro del elastómero

Estabilidad del Apoyo de Elastómero

Los apoyos serán investigados por inestabilidad en el estado límite de servicio,
con combinaciones de carga como lo especificado en la Tabla 3.4.1-1.
Los apoyos se considerarán estables si satisfacen:

2A ≤ B (14.7.5.3.6-1)
donde:

hrt
1.92
A= L (14.7.5.3.6-2)
2L
1+
W

2.67
B= (14.7.5.3.6-3)
 L 
(S + 2)1+ 
 4W 

G = módulo de cortante del elastómero
L = longitud del apoyo de elastómero rectangular (paralelo al eje longitudinal del
puente)
W= ancho del apoyo en la dirección transversal

Para un apoyo rectangular donde L es mayor que W, la estabilidad se investigará
intercambiando L y W en las Ecuaciones 2 y 3.
Para apoyos circulares, la estabilidad se investigará usando las ecuaciones de un
apoyo cuadrado, con W = L = 0.8D.
Para apoyos rectangulares que no cumplen la Ecuación 1, el esfuerzo debido a la
carga total cumplirá con las Ecuaciones 4 ó 5:

IV-11

• Si la cubierta de puente es libre para desplazarse horizontalmente:
GS
σs ≤ (14.7.5.3.6-4)
2A − B

• Si la cubierta del puente es fija al desplazamiento horizontal:
GS
σs ≤ (14.7.5.3.6-5)
A −B
Un valor negativo o infinito de la Ecuación 5 indica que el apoyo es estable y no
depende de σS .
Si A − B ≤ 0 , el apoyo es estable y no depende de σS .

Refuerzo
El grosor del refuerzo de acero, hs, cumplirá:
• En el estado límite de servicio:

3hmáx σ S
hs ≥ (14.7.5.3.7-1)
Fy
• En el estado límite de fatiga:

2hmáx σ L
hs ≥ (14.7.5.3.7-2)
∆FTH
donde:
∆FTH = constante de amplitud de fatiga crítica para Categoría A, como se especifica
en Artículo 6.6
hmáx = grosor de la capa de elastómero más gruesa en el apoyo
σL = esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga viva
σS = esfuerzo de compresión promedio en servicio debido a la carga total
Fy = resistencia de fluencia del acero de refuerzo
Si existen agujeros en el refuerzo, el grosor mínimo se incrementará por un
factor igual a dos veces el ancho grueso dividido por el ancho neto.

Constante de Amplitud de Fatiga Crítica (∆F)TH

Tabla 6.6.1.2.5-3 AASHTO LRFD
Categoría (∆F)TH
(kg/cm2)
A 1683
B 1122 La Categoría A
B’ 843 corresponde a miembros
C 704 planos laminados con
C’ 843 bordes cortados con llama
D 493 de gas y 0.025 mm de
E 316 alisamiento o menos, según
E’ 183 AASHTO/AWS D1.5M/D1.5
(Sección 3.2.2)
Pernos en Tensión Axial 2182
M 164M(A 325M)
Pernos en Tensión Axial 2672
M 253M(A 490M)

IV-12

PROBLEMAS
PROBLEMA IV.1 Diseñar un dispositivo de apoyo de elastómero reforzado con acero
para un apoyo fijo de un puente sobre el que inciden 72 T por carga muerta y 58 T por
carga viva. El ancho de viga es de 0.50 m y la rotación máxima del extremo de viga en
carga de servicio es 0.007 radianes. El elastómero tiene G = 12 kg/cm2 y placas de
refuerzo de 36 Ksi (Fy = 2531 kg/cm2). Utilizar el Método B.

Solución.-
Solución.-

a) Área del Elastómero

PD = 72,000 kg
PL = 58,000 kg
PT = 130,000 kg

Esfuerzo de compresión por carga total en servicio en apoyos fijos:

σ s ≤ 2 GS ≤ 122 kg / cm2 (14.7.5.3.2-3)

Luego:
PT 130,000 kg
A req = = = 1066 cm2
σ S 122 kg / cm2

Para el ancho de viga b= 50 cm, escogemos W = 50 cm

1066 cm2
L= = 21 cm (a lo largo de la longitud de viga)
50 cm
El apoyo a lo largo de la longitud de viga debe ser tan corto como sea práctico para
permitir la rotación alrededor del eje transversal, y lo suficiente como para estabilizar la
viga durante su erección.

Adoptado L = 25 cm y W = 50 cm (Área = 1250 cm2 > 1066 cm2)

b) Factor de Forma S Mínimo

Carga Total

Con σ s ≤ 2 GS ≤ 122 kg / cm2 (14.7.5.3.2-3)

σS 104 kg / cm2
ST ≥ = = 4.33 (1)
2G 2 x12 kg / cm2
siendo:

G = 12 kg/cm2 (Art. 14.7.6.2)

PT 130,000 kg
σs = = = 104 kg / cm2
A 50x25 cm2

IV-13

Carga Viva

Con σ L ≤ GS (14.7.5.3.2-4)

σL 46.40 kg / cm2
SL ≥ = = 3.87 (2)
G 12 kg / cm2

siendo:

G = 12 kg/cm2 (Art. 14.7.5.2)

PL 58,000 kg
σL = = = 46.40 kg / cm2
A req 50x25 cm2

De (1) y (2) el factor de forma mínimo es: S = 4.33

c) Grosor de una capa interior del elastómero (hri)

LW LW
Como Si ≥ → hri ≤ (14.7.5.1-1)
2hri (L + W ) 2Si (L + W )

Para carga total:

25 cm (50 cm)
hri ≤ = 1.92 cm
2(4.33)(25 cm + 50 cm)

Para carga viva:

25 cm (50 cm)
hri ≤ = 2.15 cm
2(3.87)(25 cm + 50 cm)

Grosor de capa interior adoptado: hri = 1.50 cm ( 15 mm)

Con este grosor de capa interior, el factor de forma es:

(25 cm)(50 cm)
S= = 5.56 > 4.33 OK!
2( .50)(25 cm + 50 cm)
1

d) Número de capas interiores de elastómero (n)

Compresión y rotación combinados:

2 2
θ  B   GSθ s  B 
σ s > GS s  
  →n>
 σ  
 h  (14.7.5.3.5-1)
 n  hri   s  ri 

Con θ S = 0.007 rad

IV-14

12 kg / cm2 x 5.56 x 0.007  25  2

n>
 
1.50  = 1.25
 104 kg / cm2  

 θ  B 
2

σ s < 2.25GS − 0.167 s
1    (14.7.5.3.5-3)

  n  hri 
  


2
B
 
h 
n > −0.167θ s  ri 
 σS 
 −1
 2.25GS 
2
 25 
 
n > −0.167(0.007) 1.50  = 1.06
 104 
 −1
 2.25( )(5.56) 
12

Luego, adoptamos n = 2. Se usarán 2 capas interiores de 15 mm c/u. Así mismo,
capas exteriores de 8 mm (8 mm < 70% 15 mm, Art. 14.7.5.1)
El grosor total es hrt = 2 ( mm) + 2 (8 mm) = 46 mm de elastómero.
15

e) Estabilidad del Elastómero

hrt
1.92
A= L (14.7.5.3.6-2)
2L
1+
W

4.60 cm
1.92
25 cm
A= = 0.25
2(25 cm)
1+
50 cm

2.67
B= (14.7.5.3.6-3)
 L 
(S + 2)1+ 
 4W 

2.67
B= = 0.31
 25 cm 
(5.56 + 2)1+
 4(50 cm) 

 

El apoyo será estable si:

2A ≤ B (14.7.5.3.6-1)

IV-15

2(0.25) = 0.50 > 0.31 N.S.

Sin embargo, si A − B ≤ 0 , el apoyo es estable y no depende de σS :

A – B = 0.25 – 0.31 = -0.06 < 0, luego el apoyo es estable.

f) Cálculo de placas de refuerzo en el elastómero

En el estado límite de servicio:

3hmáx σ S
hs ≥ (14.7.5.3.7-1)
Fy

104 kg / cm2 )
3 ( 1.50 cm)(
hs ≥ = 0.185 cm
2531kg / cm2

En el estado límite de fatiga:

2hmáx σ L
hs ≥ (14.7.5.3.7-2)
∆FTH

∆FTH = 1683 kg/cm2 (Categoría A) (Tabla 6.6.1.2.5-3)

2 ( 1.50 cm)(46.40 kg / cm2 )
hs ≥ = 0.083 cm
1683 kg / cm2

Adoptamos hs = 2 mm > 1.85 mm

Se usarán 3 placas de 2 mm, y el espesor total del apoyo será:

46 mm + 3 (2 mm) = 52 mm

250 mm

500 mm
8
15 Dirección del tráfico
52 mm 15
8

3 zunchos de 2 mm

IV-16

PROBLEMA IV.I1 Diseñar un dispositivo de elastómero de expansión reforzado con
acero para un apoyo de puente sobre el que inciden 70 T por carga muerta y 22 T por
carga viva. La longitud de viga es 30 m, su ancho 0.45 m y la rotación máxima del
extremo de viga en carga de servicio es 0.010 radianes. Así mismo, la variación máxima
por temperatura es 20º C, el acortamiento por postensado 1.0 cm, y el debido a la
contracción del concreto 0.2 cm. El elastómero tiene G = 12 kg/cm2 y placas de
refuerzo de 36 Ksi (Fy = 2531 kg/cm2). Utilizar el Método B.

Solución.-
Solución.-

a) Área del Elastómero

PD = 70,000 kg
PL = 22,000 kg
PT = 92,000 kg

Esfuerzo de compresión por carga total en servicio en apoyos de expansión

σ s ≤ 1.66 GS ≤ 112 kg / cm2 (14.7.5.3.2-1)

Luego:
PT 92,000 kg
A req = = = 821cm2
σ S 112 kg / cm2

Para el ancho de viga b= 45 cm, escogemos W = 45 cm

821cm2
L= = 18.2 cm (a lo largo de la longitud de viga)
45 cm

Adoptado L = 20 cm y W = 45 cm (Área = 900 cm2 > 821 cm2)

b) Factor de Forma S Mínimo

Carga Total

Con σ s ≤ 1.66 GS ≤ 112 kg / cm2 (14.7.5.3.2-1)

σS 102.22 kg / cm2
ST ≥ = = 5.13 (1)
1.66 G 1.66 x12 kg / cm2

siendo:

G = 12 kg/cm2 (Art. 14.7.6.2)

PT 92,000 kg
σs = = = 102.22 kg / cm2
A 20x45 cm2

IV-17

Carga Viva

Con σ L ≤ 0.66 GS (14.7.5.3.2-2)

σ L 24.44 kg / cm2
SL ≥ = = 2.04 (2)
G 12 kg / cm2

siendo:

G = 12 kg/cm2 (Art. 14.7.5.2)

PL 22,000 kg
σL = = = 24.44 kg / cm2
A 20x45 cm2

De (1) y (2) el factor de forma mínimo es: S = 5.13

c) Grosor de una capa interior del elastómero (hri)

LW LW
Como Si ≥ → hri ≤ (14.7.5.1-1)
2hri (L + W ) 2Si (L + W )

Para carga total:

20 cm (45 cm)
hri ≤ = 1.35 cm
2(5.13)(20 cm + 45 cm)

Para carga viva:

20 cm (45 cm)
hri ≤ = 3.39 cm
2(2.04)(20 cm + 45 cm)

Grosor de capa interior adoptado: hri = 1.20 cm (12 mm)

Con este grosor de capa interior, el factor de forma es:

(20 cm)(45 cm)
S= = 5.77 > 5.13 OK!
2( .20)(20 cm + 45 cm)
1

d) Número de capas interiores de elastómero (n)

Compresión y rotación combinados:

2 2
θ  B   GSθ s  B 
σ s > GS s  
  →n>
 σ  
 h  (14.7.5.3.5-1)
 n  hri   s  ri 

Con θ S = 0.010 rad

IV-18

12 kg / cm2 x 5.77 x 0.010  20  2

n>
 
1.20  = 1.88
 102.22 kg / cm2  

 θ  B 
2

σ s < 1.875 GS − 0.20 s
1    (14.7.5.3.5-2)

  n  hri 
  


2
B
 
h 
n > −0.20 θ s  ri 
 σS 
 −1
1.875GS 

2
 20 
 
n > −0.20(0.010) 1.20  = 2.61
 102.22 
 −1
1.875( )(5.77) 
12

Luego, adoptamos n = 3. Se usarán 3 capas interiores de 12 mm c/u y capas
exteriores de 6 mm (6 mm < 70% 12 mm, Art. 14.7.5.1).

e) Grosor total del Elastómero

El grosor total del elastómero es hrt = 3( mm) + 2(6 mm) = 48 mm
12

Acortamiento de viga

Por temperatura
α = 10.8x10-6 / º C (concreto)
∆t = 20º C
L = 30 m

10 −6
∆ temp = 10.8 x o x 20 o C x 3000 cm = 0.65 cm
C
Por postensado

∆ post = 1.0 cm

Por contracción de fragua

∆ contrac = 0.2 cm

Con γ = 1.2 (Tabla 3.4.1-1)
Acortamiento total de viga:

∆ T = γ( ∆ temp + ∆ post + ∆ contrac ) = 1.2(0.65 cm + 1.0 cm + 0.2 cm) = 2.22 cm

IV-19

Como hrt ≥ 2 ∆ s (14.7.5.3.4-1)

hrt = 4.80 cm ≥ 2 ∆ s = 2(2.22 cm) = 4.44 cm OK !

f) Capacidad Rotacional del Apoyo

Deflexión instantánea por compresión

Con σ s = 102.22 kg / cm2 ( .02 MPa),
10 S = 5.77

De la Fig.: εi = 0.062

Como δ = ∑εh i ri (14.7.5.3.3-1)

= 4(0.062)(1.20 cm) = 0.298 cm

Capacidad rotacional del apoyo
L/2

δ 2δ 2(0.298 cm)
θ máx = = = = 0.0298 rad > θ = 0.010 rad OK !
L /2 L 20 cm

h) Estabilidad del Elastómero

hrt
1.92
A= L (14.7.5.3.6-2)
2L
1+
W

IV-20

4.80 cm
1.92
20 cm
A= = 0.34
2(20 cm)
1+
45 cm

2.67
B= (14.7.5.3.6-3)
 L 
(S + 2)1+ 
 4W 

2.67
B= = 0.31
 20 cm 
(5.77 + 2)1+
 4(45 cm) 

 

El apoyo será estable si:

2A ≤ B (14.7.5.3.6-1)

2(0.34) = 0.68 > 0.31 N.S.

Los apoyos rectangulares que no cumplen la ecuación anterior, deben cumplir:

GS
σs ≤ (14.7.5.3.6-4)
2A − B

( kg / cm2 )(5.77)
12
σ s = 102.22 kg / cm2 ≤ = 187.14 kg / cm2 OK!
2(0.34) − (0.31)

g) Cálculo de placas de refuerzo en el elastómero

En el estado límite de servicio:

3hmáx σ S
hs ≥ (14.7.5.3.7-1)
Fy

102.22 kg / cm2 )
3( .20 cm)(
1
hs ≥ = 0.145 cm
2531kg / cm2

En el estado límite de fatiga:

2hmáx σ L
hs ≥ (14.7.5.3.7-2)
∆FTH

∆FTH = 1683 kg/cm2 (Tabla 6.6.1.2.5-3)

IV-21

2( .20 cm)(24.44 kg / cm2 )
1
hs ≥ = 0.035 cm
1683 kg / cm2

Adoptamos hs = 2 mm = 0.2 cm > 0.145 cm

Se usarán 4 placas de 2 mm, y el espesor total del apoyo será:

48 mm + 4(2 mm) = 56 mm

200 mm

450 mm
6
12 Dirección del tráfico
56 mm 12
12
6
4 zunchos de 2 mm

V-1

CAP V: ESTRIBOS
1. ESTRIBOS
Son estructuras que sirven de apoyo extremo al puente y que además de soportar
la carga de la superestructura, sirven de contención de los terraplenes de acceso y
por consiguiente están sometidos al empuje de tierra.
Los estribos, como son muros de contención, pueden ser de concreto simple
(estribos de gravedad), concreto armado (muros en voladizo o con pantalla y
contrafuertes), etc.

Cajuela Cajuela Cajuela

Pantalla
Contrafuerte vertical

Punta Talón
Zapata

Estribo de gravedad Estribo en voladizo Estribo con pantalla y contrafuerte
(concreto simple) (concreto armado) (concreto armado)

2. PRE-DIMENSIONAMIENTO DE ESTRIBOS
PRE-

a) De gravedad (concreto simple)
Los estribos de gravedad son macizos que utilizan su propio peso para resistir las
fuerzas laterales debido al empuje del terreno y otras cargas. No necesitan
refuerzo y son adecuados cuando el terreno es de buena capacidad portante y la
altura a cubrir no es superior a 6 metros. No son admitidas tracciones en cualquier
sección del estribo.

H/12 (mín 0.30 m)

N

H

H/12 ~ H/6
(mín 0.20 m)

H/6 ~ H/8

B = ( 2)H ~ (2 3)H
1

V-2

Los anchos mínimos de cajuelas (2.11.2, Manual de Diseño de Puentes, Ministerio
de Transportes y Comunicaciones, Perú) se determinan eligiendo el mayor de los
valores obtenidos entre calcular los máximos desplazamientos o como un porcentaje
del ancho empírico de la cajuela N determinado por la ecuación:

N = (200 + 0.0017L + 0.0067H' )( + 0.000125S2 )
1

donde:
N = longitud mínima (empírica) de la cajuela, medida normalmente a la línea central
del apoyo (mm).
L = distancia del tablero del puente a la junta de expansión adyacente ó al final del
tablero del puente (mm). Para articulaciones entre luces, L debe tomarse como
la suma de la distancia a ambos lados de la articulación. Para puentes de un
solo tramo L es igual a la longitud del tablero del puente (mm).
H’ = para estribos, la altura promedio de las columnas que soportan al tablero del
puente hasta la próxima junta de expansión. Para columnas y/o pilares, la altura
del pilar o de la columna. Para articulaciones dentro de un tramo, la altura
promedio entre dos columnas ó pilares adyacentes (mm).
= 0, para puentes simplemente apoyados.
S = desviación del apoyo medido desde la línea normal al tramo (°).

b) En voladizo (concreto armado)
Son económicos cuando su altura está entre 4 y 10 metros. Adecuados en
la presencia de terreno de baja capacidad portante y cuando los agregados
son escasos o el transporte de los mismos no es económico.

mín 0.20 m

N

H/24 (mín 0.30 m)

H

B/3 H/12

H/12

B = ( 2)H ~ (2 3)H
1

V-3

c) Estribos con pantalla y contrafuertes (concreto armado)
En este caso la pantalla vertical no se encuentra en voladizo sino mas bien
apoyada en los contrafuertes y el cimiento.

mín 0.20 m

N

H/24 (mín 0.30 m)

Contrafuertes, e=0.20 (mín)
separación: H/3~2H/3 H

H/12 B/3

H/12

B = ( 2)H ~ (2 3)H
1

3. EMPUJE DEL SUELO: EH, ES, LS, y DD
EH: Empuje horizontal del suelo
ES: sobrecarga de suelo
LS: sobrecarga viva
DD: fricción negativa

El empuje del suelo se deberá considerar en función de los siguientes factores:
tipo y densidad del suelo, contenido de agua, características de fluencia lenta del
suelo, grado de compactación, ubicación del nivel freático, interacción suelo-
estructura, cantidad de sobrecarga, efectos sísmicos, pendiente del relleno, e
inclinación del muro.

Empuje lateral del suelo.-
suelo.
Se asumirá como:
p = kγsgz (10-6)
donde:
p = empuje lateral del suelo (MPa)
k = coeficiente de empuje lateral, tomado como ko para muros que no se
deforman ni se mueven, ka para muros que se deforman o mueven lo suficiente
para alcanzar la condición mínima activa, o kp para muros que se deforman o
mueven lo suficiente para alcanzar una condición pasiva.
γs = densidad del suelo (kg/m3)
z = profundidad del suelo debajo de la superficie (m)
g = aceleración de la gravedad (m/s2)

Se asumirá que la carga del suelo lateral resultante debida al peso del relleno
actúa a una altura igual a H/3 desde la base del muro, siendo H la altura total del
muro.

V-4

Coeficiente de Empuje Lateral en Reposo, ko

Para suelos normalmente consolidados, muro vertical y terreno nivelado, el
coeficiente de empuje lateral en reposo se puede tomar como:

ko = 1 - senφ'f

Para suelos sobreconsolidados:

ko = (1 - senφ'f) (OCR )senφ'f

donde:
φ'f = ángulo efectivo de fricción del suelo
ko = coeficiente de empuje lateral del suelo en reposo
OCR = relación de sobreconsolidación

Coeficiente de Empuje Lateral Activo, ka

sen 2 ( θ + φ' f ) (3.11.5.3-1)
ka =
[
Γ sen 2 θ.sen( θ − δ) ]

donde:

2
 sen ( φ' f + δ ).sen ( φ' f −β ) 
Γ =  +
1  (3.11.5.3-2)
 sen ( θ − δ ).sen ( θ + β ) 

δ = ángulo de fricción entre relleno y muro (ver Tabla 3.11.5.3-1)
β = ángulo que forma la superficie del relleno respecto de la horizontal
θ = ángulo que forma el respaldo del muro respecto de la horizontal
φ'f = ángulo efectivo de fricción interna

Notar que para δ = β = 0, θ =90°, el valor ka de las expresiones anteriores
(teoría de de Coulumb) es:
Ø
k a = tg 2 ( 45 − ) (teoría de Rankine)
2

V-5

Coeficiente de Empuje Lateral Pasivo, kp

El coeficiente de presión activa de Coulomb es:

sen 2 ( θ − φ' f )
2
 sen ( φ' f + δ ).sen ( φ' f + β ) 
kp = con Γ =  −
1 
sen ( θ + δ ).sen ( θ + β ) 
Γ ' sen 2 θ.sen( θ + δ) 

 


Sin embargo, conforme el valor de d crece, el método de cálculo de Coulomb da
valores erróneos crecientes de Pp .

El Reglamento AASHTO adopta el siguiente método introducido por Caquot y Kerisel:

- Para suelos no cohesivos, los valores del coeficiente de empuje lateral pasivo se
pueden tomar de la Figuras 3.11.5.4-1.
- Para suelos cohesivos, los empujes pasivos se pueden estimar con:

Pp = k p γ s gz( −6 ) + 2c k p
10

V-6

donde:

Pp = empuje lateral pasivo del suelo (MPa)
γs = densidad del suelo (kg/m3)
z = profundidad debajo del suelo (m)
c = cohesión del suelo (MPa)
kp = coeficiente de empuje lateral pasivo del suelo (ver Fig. 3.11.5.4-1)

Rankine.-
Método del Fluido Equivalente para Estimar Empujes Laterales de Rankine.-

El empuje básico del suelo p (kg/m2) se puede tomar como:

p = γ eq gz( −6 )
10
γeq = densidad de fluido equivalente del suelo, no inferior a 480 kg/m3
z = profundidad debajo de la superficie del suelo (m)

V-7

Se asume que la carga lateral del suelo resultante debida al peso del relleno
actúa a una altura igual a H/3 de la base del muro, siendo H la altura total del muro
medida desde la superficie del terreno hasta el fondo de la zapata.
Los valores típicos para densidades de fluido equivalente en muros de altura no
mayor a 6.0 m se pueden tomar:

Valores típicos para las densidades de fluido equivalente de los suelos
(Tabla 3.11.5.5-1)
3.11.5.5-
Tipo de suelo Relleno de superficie Relleno con β=25°
horizontal
Activo Activo
En reposo /H=1/240 En reposo /H=1/240
3 3
γeq (kg/m3) γeq (kg/m ) γeq (kg/m3) γeq (kg/m )
Arena o grava suelta 880 640 1040 800
Arena o grava de densidad media 800 560 960 720
Arena o grava densa 720 480 880 640

siendo:

∆ = movimiento de la parte superior del muro requerido para llegar al mínimo empuje
activo o máximo empuje pasivo por rotación o traslación lateral (mm)
H = altura del muro (m)
β = ángulo del relleno respecto de la horizontal.

La magnitud de la componente vertical del empuje del suelo resultante Pv (N/m) para el
caso de relleno de superficie inclinada se puede determinar como:

Pv = Ph tan β
donde:
Ph = 0.5γ eq gH2

(LS).
Sobrecarga Viva (LS).-
Se deberá aplicar una sobrecarga viva si se anticipa que habrá cargas vehiculares
actuando sobre la superficie del relleno en una distancia igual a la mitad de la altura del
muro detrás del paramento posterior del muro.

Altura de suelo equivalente para carga vehicular sobre estribos perpendiculares al tráfico
Tabla 3.11.6.4-1
3.11.6.4-
Altura del estribo (m) heq (m)
1.5 1.2
3.0 0.9
≥6.0 0.6

V-8

4. CARGAS DE DISEÑO

Las cargas a considerar, en general son:
a) Cargas verticales de la superestructura, correspondiente a las reacciones de la
carga muerta y viva. No se toma en cuenta el efecto de impacto.
b) El peso propio del estribo y del relleno.
c) El empuje del terreno más el efecto de sobrecarga sobre el terreno
d) Viento ejercido sobre la estructura y sobre la carga viva, que se transmite a
través del apoyo fijo.
e) Fuerza por el empuje dinámico de las aguas y la fuerza de flotación.
f) Fuerza longitudinal que se transmiten a través del apoyo fijo debido al frenado
de vehículos
g) Fuerza centrífuga, en el caso de puentes curvos
h) Fuerza sísmica de la superestructura y de la infraestructura.

5. CONSIDERACIONES PARA LA ESTABILIDAD
Los estribos y muros de sostenimiento se deben dimensionar de manera de
asegurar su estabilidad contra las fallas por vuelco, deslizamiento y presiones en la
base (11.6.3.1).

A. Vuelco – Estados Límites de Resistencia y Evento Extremo

Se debe calcular la excentricidad de la resultante alrededor del punto A en la base
del estribo. Las fuerzas y momentos que resisten el vuelco se usan con factores de
carga γ mínimos (caso de cargas tipo DC, DW, EV, etc.). Las fuerzas y momentos

V-9

que causan vuelco se usan con factores de carga γ máximos (caso de cargas EH y
otras).

Para el estado límite de Resistencia, se debe mantener la resultante en la base del
cimiento dentro de la mitad central (e ≤ B/4) excepto el caso de suelo rocoso en
que se mantendrá en los ¾ centrales (e ≤ 3/8 B) (Art. 11.6.3.3). Para el estado
límite de evento extremo y con γEQ = 0, mantener la fuerza resultante en la base del
cimiento dentro de los 2/3 centrales (e ≤ 1/3 B) de las dimensiones del cimiento
para cualquier suelo. Si en cambio γEQ = 1, mantener la resultante en la base del
cimiento dentro de los 8/10 centrales (e ≤ 2/5 B). Para valores de γEQ entre 0 y
1.0, interpolar linealmente entre los valores especificados para definir las
restricciones referidas a la ubicación de la resultante (Art. 11.6.5). En caso de
cimientos cargados biaxialmente, estos requerimientos deben aplicarse en ambas
direcciones.

B. Deslizamiento – Estados Límites de Resistencia y Evento Extremo (10.6.3.3)

El valor de la resistencia factorada al deslizamiento corresponde a una componente
friccional (ØτQτ) actuando a lo largo de la base del estribo y una componente
debido a la presión pasiva del terreno (ØepQep) actuando en la cara vertical
correspondiente. Esto es:

QR = ØτQτ+ ØepQep (10.6.3.3-1)

Donde:

Qτ = (V) tan δ (10.6.3.3-2)
δ = ángulo de fricción entre la base del cimiento y el suelo
tanδ = tan Øf para concreto vaceado directamente al suelo (10.6.3.3)
tanδ = (0.8)tan Øf para concreto pre-fabricado (10.6.3.3)
V = fuerza vertical total sobre el cimiento
Øf = ángulo de fricción interna del suelo.

Los valores Øτ y Øep se determinan de la Tabla 10.5.5.2.2-1. Para el estado límite
de Evento Extremo, Øτ= 1.0 y Øep = 1.0. Si la resistencia pasiva no está
asegurada debido a erosiones, socavaciones potenciales, o futuras excavaciones,
se debe usar Øep = 0 para los estados límites de Resistencia y Evento Extremo.

La resistencia factorada al deslizamiento debe ser mayor o igual a las cargas
horizontales factoradas aplicadas.

C. Presiones en la base – Estados Límites de Resistencia y Evento Extremo

Se calculan los esfuerzos basados en una distribución uniforme; en estribos
cargados excéntricamente cimentados sobre roca, se supone una distribución de
presiones triangular o trapezoidal.

Método de Meyerhof:

1. Hallar la excentricidad e con respecto al punto central de la base del cimiento,
con las cargas aplicables factoradas:

V-10

Σ momentos factorados actuantes
e =
Σ fuerzas verticales factoradas actuantes

2. Determinar los esfuerzos verticales factorados. Si la estructura está cargada bi-
axialmente, el cálculo se realiza en ambas direcciones.

Basados en una distribución de presión uniforme actuando en la base (suelo no
rocoso), el valor de q es:

Σ fuerzas verticales factoradas actuantes / unidad de longitud
q= (11.6.3.2-1)
B − 2e

Donde:
B = ancho del cimiento en el plano de cargas
B – 2e = ancho efectivo de cimiento
Vu = suma de las fuerzas verticales factoradas.

Para suelo rocoso la distribución de presiones es trapezoidal o triangular:

Vu 6e 
q máx = 1+  (11.6.3.2-2)
B  B 
 
V  6e 
q mín = u 1−  (11.6.3.2-2)
B 
 B 


V-11

3. Comparar q ó qmáx, que incluyen factores de carga, con la capacidad portante
del terreno (capacidad última de apoyo para el suelo, multiplicado por el factor
de resistencia apropiado). La capacidad de apoyo factorada (resistencia) debe
ser mayor o igual que el esfuerzo de apoyo factorado:

qR ≤ Øb qn (10.6.3.1.1-1)

Donde:
qn = qu =capacidad portante última no factorada para el estado límite apropiado
Øb = factor de resistencia (Tabla 10.5.5.2.2-1 y Art. 11.6.5)

Notar que qu es el mismo para los estados límites de Resistencia y
Evento Extremo. Un factor de resistencia de 1.0 se usa en el cálculo de
presiones sobre el terreno en el estado límite de Evento Extremo según Art.
11.6.5. (Ver Tabla 10.5.5.2.2-1 para factores de resistencia en el estado
límite de Resistencia).
La capacidad de apoyo para los estados límites de Resistencia y Evento
Extremo deben ser calculados considerando los efectos de resistencia cohesiva
y friccional del suelo, forma y dimensiones de la cimentación, profundidad de
desplante y la inclinación del suelo que presiona sobre el estribo. Los estudios
geotécnicos determinarán la capacidad portante. Los factores de inclinación de
carga en general no se consideran en la determinación de la capacidad
portante.

6. CONSIDERACIONES SÍSMICAS
La presión lateral del terreno en estructuras de retención, es amplificada en caso
de sismos debido a la aceleración horizontal de la masa retenida de terreno. En
caso de estructuras de retención altas (H>10 m) como es el caso de estribos, las
cargas sísmicas deben contemplarse, usándose a menudo la solución de Mononobe-
Okabe.

El método de Mononobe-Okabe es un método pseudo-estático que desarrolla una
presión de fluido estática equivalente para modelar la presión sísmica del terreno
sobre el muro. Es aplicable cuando:

• El muro no está restringido y es capaz de deformar lo suficiente para accionar la
presión activa del terreno retenido.
• El terreno de relleno es no cohesivo y no saturado

V-12

• La cuña activa de suelo que define la superficie de falla y carga el muro, es
plana.
• Las aceleraciones son uniformes a través de la masa de suelo retenido.

La presión del terreno incluyendo la acción sísmica, se determina con:

1
E AE = k AE γ t (( − k v )H2
1 (A.11.1.1.1-1)
2

siendo el coeficiente de presión activa sísmica del terreno:

cos 2 ( φ − θ − β)
k AE = 2
(A.11.1.1.1-2)
 . 
2  sen(φ + δ)sen(φ − θ − I ) 
cos θ cos β cos(δ + β + θ) +
1 . 

 cos(δ + β + θ) cos( I − β) 


donde:

γt = peso unitario del terreno
H = altura del terreno retenida por el muro
kv = coeficiente de aceleración vertical
kh = coeficiente de aceleración horizontal
φ = ángulo de fricción interna del suelo
Ө= arc tan [kh /(1- kv)]
β = ángulo de inclinación del muro con la vertical (sentido negativo como se ilustra)
δ = ángulo de fricción entre el suelo y el estribo
i = ángulo de inclinación del material de relleno con la horizontal

V-13

El valor de ha, la altura a la cual la resultante del empuje del suelo actúa sobre el
estribo, se puede tomar igual a H/3 para un caso estático que no involucre efectos
sísmicos. Sin embargo este valor aumenta a medida que aumentan las solicitaciones
de origen sísmico. Seed y Whitman han sugerido que h se podría obtener
suponiendo que la componente estática del esfuerzo del suelo actúa a H/3 de la
base del estribo, mientras que se podría considerar que el esfuerzo dinámico
adicional actúa a una altura h=0.6H. Sin embargo, para la mayoría de las
aplicaciones será suficiente asumir h=0.5H con un empuje uniformemente
distribuido (A.11.11.1.1).

La expresión para la fuerza pasiva actuando cuando el muro sufre el empuje del suelo
es:

1
E PE = k PE γ t (( − k v )H2
1 (A.11.1.1.1-3)
2

siendo el coeficiente de presión pasiva sísmica del terreno:

cos 2 ( φ − θ + β)
k PE = 2
(A.11.1.1.1-4)
 . 
2  sen(φ + δ)sen( φ − θ + I ) 
cos θ cos β cos(δ − β + θ) −
1 . 

 cos(δ − β + θ) cos( I − β) 


Para estimar la presión lateral del terreno por la acción sísmica, el coeficiente de
aceleración vertical, kv, se asume por lo general igual a cero y el coeficiente de
aceleración horizontal, kh, se toma como:

kh = 0.5A, para muros donde es posible movimientos horizontales de hasta
aproximadamente 250A mm. (p.e.: muros de gravedad, en voladizo, etc.), y

kh = 1.5A, para muros en que el desplazamiento horizontal es cero (p.e.: estribos
integrales, muros anclados, etc.)

Siendo:

A = coeficiente sísmico de aceleración horizontal (% g)

V-14

PROBLEMAS
PROBLEMA V.1 En el muro de contención mostrado de 10m de altura determinar la
determinar
presión lateral del terreno y la carga sísmica que actúa sobre el muro. Considerar para
el terreno ∅ = 35°, δ = 0°, γt = 1925 kg/m3 , coeficiente sísmico de aceleración
35°, 0°,
horizontal A = 0.20.
0.20.

PEQ=P - P A
AE
H=10m
PA

0.5H=5m
H/3=3.33m

Solución.-
Solución.-
Se tiene:

∅ = ángulo de fricción interna = 35°
δ = ángulo de fricción entre el suelo y el muro = 0°
i = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0°
β = ángulo de inclinación del muro con la vertical = 0°
H = altura del terreno = 10m
γt = peso unitario del terreno= 1925 kg/m3
A = coeficiente sísmico de aceleración horizontal = 0.20
kh = coeficiente de aceleración horizontal=0.5A= 0.5(0.20)= 0.10
kv = coeficiente de aceleración vertical =0
 k 
θ = arc tan h
1− k
 = 5.71°

 v 

A) Cálculo del coeficiente de empuje activo ka

Con (3.11.5.3-1) y (3.11.5.3-2) para los valores dados:

φ 35
k a = tg2 ( 45 − ) = tg2 ( 45 − ) = 0.271
2 2

B) Cálculo de la presión lateral del terreno

Considerando una longitud del estribo de 1.0m se tiene:

1 1
PA = γ t H2k a = (1925kg / m 3 )( m)2 ( .0m)(0.271 = 26, 084 kg
10 1 )
2 2

Aplicada en h=H/3 = 10m/3 = 3.33m, desde la base.

V-15

C) Cálculo de la fuerza sísmica

El coeficiente de presión activa sísmica del terreno es:

cos 2 ( φ − θ − β)
k AE = 2
(A.11.1.1.1-2)
 . 
 sen(φ + δ)sen(φ − θ − I ) 
cos θ cos 2 β cos(δ + β + θ) +
1 . 

 cos(δ + β + θ) cos( I − β) 


k AE = 0.328

Luego la fuerza de acción sísmica es:

1
PEQ = PAE − PA = γ t H2 (k AE − k a )
2

1
PEQ = 1925kg / m 3 )( m)2 ( .0m)(0.328 − 0.271 = 5, 486 kg
( 10 1 )
2

Aplicada en h=0.6H = 0.6(10m) = 0.60m desde la base, aunque es suficiente:

h=0.5H = 0.5(10m) = 0.50m (A.11.11.1.1)

V-16

PROBLEMA V.2 Diseñar un estribo de gravedad para las condiciones mostradas. El
PROBLEMA V.2
terreno de cimentación posee una capacidad última para el estado límite de resistencia
qR= 2.00 kg/cm2 y las propiedades que se detallan. La estructura está en una zona no
sísmica pero expuesta a velocidades de viento superiores a 90 km/h.
pero

BR = 300 kg/m

P = 7,000 kg/m
DC
1.80 P = 800 kg/m
DW
Superestructura P = 9,000 kg/m
LL+IM
Losa de transición
.30
WS = 150 kg/m
.80 .15
CR+SH+TU = 900 kg/m .40

s°
Terreno
Øf = 31°
õ = 24°
= 1600 kg/m³ H = 4.00 m
t
Estribo de
a gravedad
b
= 2320 kg/m³
1.00 c
h

B

Solución.-
Solución.-

PRE-
PRE-DIMENSIONADO

Para la altura H=4.00m, probamos una sección preliminar de estribo con:

B= ancho del cimiento = ½H ~ 2/3H = 2.00m~2.67m = 2.50m (adoptado)

h = altura del cimiento = H/6 ~ H/8 = 0.67m~0.50m = 0.50m (adoptado)

a = longitud de punta = H/12~ H/6 = 0.33m~0.67m = 0.30m (adoptado)

b = longitud de talón = H/12~ H/6 = 0.33m~0.67m = 0.30m (adoptado)

N = 0.50m (adoptado) > Nmín = 0.23m

Nmín= longitud mínima de cajuela (2.11.2, Manual de Diseño de Puentes, MTC Perú)
= (200+0.0017L+0.0067H)(1+0.000125S²)
= (200+0.0017x12,000)(1+0.000125x18.43²)mm
con L=12m (dato), H’=0, S=18.43°
= 0.23m.

V-17

BR = 300 kg/m
altura equivalente de suelo por S/C
P = 7,000 kg/m
DC
1.80 P = 800 kg/m
DW
P = 9,000 kg/m LS1 h' = 0.80 S/C por carga viva (LS)
LL+IM
.30
.80 .15
.40
DC
5
WS = 150 kg/m .25.25 0.50
LS2 = 3.70m x 365 kg/m² =1350 kg/m
CR+SH+TU = 900 kg/m

EH2 = 3.70m x 198 kg/m²= 734 kg/m
s=18.43°

H = 4.00 m DC
3

DC EH1= 0.5 x 3.7m x 1687 kg/m²
2 = 3121 kg/m
EV
1
.30 .17
DC1 õ = 24°
.30
0.50
0.90
EV
0.50 EV 3
2 DC
4
A ka x 3.70m x 1600 kg/m³ = 1687 kg/m²
B = 2.50 m ka x 0.30m x 2320 kg/m³ = 198 kg/m²
ka x 0.80m x 1600 kg/m³ = 365 kg/m²

ESTRIBO
CASO I – ESTRIBO CON PUENTE

A) Coeficiente de empuje activo Ka

δ = ángulo de fricción entre el suelo y el muro = 24° (Tabla 3.11.5.3-1)
β = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0°
ᒕ = ángulo de inclinación del muro del lado del terreno = 90°

Luego:

2
 sen ( φ + δ) sen (φ − β) 
Γ=+
1  (3.11.5.3-2)

 sen ( θ − δ) sen ( θ + β) 


Para β = 0° y ᒕ = 90° :

2
 sen (φ + δ) senφ 
Γ=+
1  = 2.821

 cos δ 

sen2 ( θ + φ)
ka = (3.11.5.3-1)
[
Γ sen2 θ sen (θ − δ) ]
cos2 φ
Para ᒕ = 90° : ka = = 0.285
Γ cos δ

V-18

B) Altura equivalente de suelo por S/C

Por cargas vehiculares actuando sobre el terreno, agregamos una porción
equivalente de suelo. De la Tabla 3.11.6.4-1, por interpolación para H = 4.00 m,
h’ = 0.80 m.

C) Metrado de Cargas

VERTICALES.
CARGAS VERTICALES.-

Cargas DC (peso propio)

Estribo:
DC1 = 0.5(.90 m x 2.70m) x 2,320 kg/m3 = 2,819 kg/m
DC2 = 0.50 m x 2.70m x 2,320 kg/m3 = 3,132 kg/m

DC3 = 0.50 m x 3.50m x 2,320 kg/m3 = 4,060 kg/m

DC4 = 0.50 m x 2.50m x 2,320 kg/m3 = 2,900 kg/m

Losa de Acercamiento:

DC5 = 0.30 m x 0.30 m x 2,320 kg/m3 = 209 kg/m

Carga muerta de la superestructura del puente:

PDC = 7,000 kg/m

Cargas DW (peso de superficie de rodamiento)

PDW = 800 kg/m

Cargas EV (presión vertical por carga muerta del terreno)

EV1 = 0.30 m x 3.20 m x 1,600 kg/m3 = 1,536 kg/m

EV2 = 0.30 m x 0.50 m x 1,600 kg/m3 = 240 kg/m

EV3 = ½ x 0.50 m x 0.17 m x 1,600 kg/m3 = 68 kg/m

Cargas EH (presión lateral del terreno)

Por 3.70 m de terreno:

EH1y = EH1 sen δ = 3,121kg/m (sen 24°) = 1,269 kg/m

Por losa de acercamiento:

EH2y = EH2 sen δ = 734 kg/m (sen 24°) = 299 kg/m

V-19

Cargas LL (carga viva de la superestructura de puente)

PL = 9,000 kg/m

Cargas LS (sobrecarga por carga viva en el terreno)

Terreno equivalente extendido en 0.30 m del estribo:
LS1 = 0.80 m x 0.30m x 1,600 kg/m3 = 384 kg/m

Componente vertical de la sobrecarga por carga viva:

LS2y = LS2 (sen δ) = 1,350 kg/m (sen 24°) = 549 kg/m

Resumen Cargas Verticales
CARGA TIPO V (Kg/m) (kg-
dA (m) MV(kg-m/m)
DC1 DC 2,819 0.90 2,537
DC2 DC 3,132 1.45 4,541
DC3 DC 4,060 1.95 7,917
DC4 DC 2,900 1.25 3,625
DC5 DC 209 2.35 491
PDC DC 7,000 1.45 10,150
PDW DW 800 1.45 1,160
EV1 EV 1,536 2.35 3,610
EV2 EV 240 0.15 36
EV3 EV 68 0.36 24
EH1y EH 1,269 2.50 3,173
EH2y EH 299 2.50 748
PL LL 9,000 1.45 13,050
LS1 LS 384 2.35 902
LS2y LS 549 2.50 1,373
Σ 34,265 53,337

HORIZONTALES.
CARGAS HORIZONTALES.-


Por 3.70 m de terreno:

EH1x = EH1 cos δ = 3,121kg/m (cos 24º) = 2,851 kg/m

Por losa de acercamiento:

EH2x = EH2 cos δ = 734 kg/m (cos 24º) = 671 kg/m


Componente horizontal de la sobrecarga por carga viva:

LS2x = LS2 (cos δ) = 1,350 kg/m (cos 24º) = 1,233 kg/m

V-20

Cargas WS (viento sobre la estructura)

WS = 150 kg/m

Cargas BR (fuerza de frenado)

BR = 300 kg/m

Cargas CR, SH y TU (Deformación del concreto por carga sostenida en el tiempo,
acortamiento por presforzado, y temperatura uniforme)

CR + SH + TU = 900 kg/m

Resumen Cargas Horizontales
CARGA TIPO H (kg/m) dA (m) (kg-
MH (kg-m/m)
EH1x EH 2,851 1.23 3,507
EH2x EH 671 1.85 1,241
LS2x LS 1,233 1.85 2,281
WS WS 150 3.60 540
BR BR 300 5.80 1,740
CR+SH+TU CR+SH+TU 900 3.60 3,240
Σ 6,105 12,549

D) Estados límites aplicables y combinaciones de cargas

Tomaremos en cuenta los Estados Límites de Resistencia I y III aplicables en este caso
y con un valor n=nDnRnI=1.
Observamos que existen numerosas combinaciones de factores de carga γ para cada
estado límite como puede deducirse de las Tablas 3.4.1-1 y 3.4.1-2. Incluso en un
solo estado límite encontramos que pueden establecerse numerosas combinaciones
distintas. El diseñador en este caso apelando a su responsabilidad y buen juicio debe
seleccionar los factores de carga apropiados en cada tipo de carga.
Para el chequeo de estabilidad al vuelco y deslizamiento, observando en el gráfico las
cargas actuantes, utilizaremos los factores γ máximos para las cargas horizontales que
generan vuelco alrededor del punto A y deslizamiento en la base (EH, LS, WS, BR,
CR+SH+TU) y los factores de carga γ mínimos en las cargas verticales que generan
estabilidad (DC, DW, EV, LL+IM) para de esta manera maximizar las condiciones críticas
en la estructura. Estos casos serán denominados Ia y IIIa, respectivamente.
Para el chequeo de presiones en la base utilizaremos los factores γ máximos en las
cargas verticales y horizontales para maximizar efectos. A estos casos los
denominaremos Ib y IIIb, respectivamente.

V-21

V-22

E) CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOS

a) Vuelco alrededor del punto “A”

Estable si:
= L
C
M MVU
e B/4 (fundación en suelo)
HU xo e=B/2-xo
e 3B/8 (fundación en suelo rocoso)
Vu Vu

A
B B/2 B/2

Estado Vu Mvu Mhu xo =
Mvu − Mhu B emax=B/4
e= ( −x )
(Kg-m/m) (Kg-m/m) Vu 2 o
(Kg/m) (m)
(m) (m)
Resistencia Ia 24,457 40,622 15,779 1.016 0.234 0.625 OK!
Resistencia Ib 48,574 75,971 15,779 1.239 0.011 0.625 OK!
Resistencia IIIa 22,824 36,640 9,498 1.189 0.061 0.625 OK!
Resistencia IIIb 31,191 49,152 9,498 1.271 0.021 0.625 OK!

b) Deslizamiento en base del estribo

Hu

Estable si:
Vu
F > Hu
f

Ff =µ(ØV )
u

Con:
µ = tgd = tg 24° = 0.445 (Tabla 3.11.5.3-1)
Øτ = 0.80 (Tabla 10.5.5.2.2-1)

Estados Vu RESISTENTE (Kg/m) ACTUANTE (Kg/m)
(Kg/m) Ff =µ (ØτVu) Hu
Resistencia Ia 24,457 8,707 8,416 OK!
Resistencia Ib 48,574 17,292 8,416 OK!
Resistencia IIIa 22,824 8,125 5,943 OK!
Resistencia IIIb 31,191 11,104 5,943 OK!

V-23

c) Presiones actuantes en la base del estribo

= L
C
MHU M VU
xo e=B/2-xo
Vu V

B q
máx
q
mín Fundación en roca
B/2 B/2
Estable si: q q máx
R

q q Fundación en suelo
B-2e Estable si: q q
R

Estado Vu Mvu Mhu Mvu − Mhu B VU
xo = e= ( −x ) q =
o B − 2e
(Kg/m) (Kg-m/m) (Kg-m/m) Vu 2
(kg/cm2)
(m) (m)
Resistencia Ia 24,457 40,622 15,779 1.016 0.234 1.20<2 OK!
Resistencia Ib 48,574 75,971 15,779 1.239 0.011 1.96<2 OK!
Resistencia IIIa 22,824 36,640 9,498 1.189 0.061 0.96<2 OK!
Resistencia IIIb 31,191 49,152 9,498 1.271 0.021 1.27<2 OK!

CASO II – ESTRIBO SIN PUENTE
II SIN

Estados límites aplicables y combinaciones de cargas

V-24

CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOS


Estable si:
= L
C
M MVU
e B/4 (fundación en suelo)
HU xo e=B/2-xo
e 3B/8 (fundación en suelo rocoso)
Vu Vu

A
B B/2 B/2

e= ( −x )
(Kg-m/m) (Kg-m/m) Vu 2 o
(Kg/m) (m)
(m) (m)
Resistencia Ia 17,637 30,733 11,114 1.112 0.138 0.625 OK!
Resistencia Ib 22,874 38,706 11,114 1.206 0.044 0.625 OK!
Resistencia IIIa 16,004 26,751 7,122 1.227 0.023 0.625 OK!
Resistencia IIIb 21,241 34,725 7,122 1.299 0.049 0.625 OK!

V-25


Con:
µ = tgd = tg 24° = 0.445
(Tabla 3.11.5.3-1)
Hu
Øτ = 0.80 (Tabla 10.5.5.2.2-1)
Estable si:
Vu
F > Hu
f

Ff =µ(ØV )
u

Estados Vu RESISTENTE (Kg/m) ACTUANTE (Kg/m)
(Kg/m) Ff =µ (ØτVu) Hu
Resistencia Ia 17,637 6,279 7,441 N.S.
Resistencia Ib 22,874 8,143 7,441 OK!
Resistencia IIIa 16,004 5,697 5,283 OK!
Resistencia IIIb 21,241 7,562 5,283 OK!

El estado límite de Resistencia Ia no es satisfactorio por lo que colocamos un
diente de concreto de sección 0.30mx0.30m. en la base tal como se muestra en
la figura; consideramos además la resistencia pasiva del suelo sólo en el ámbito del
diente.

0.5

0.30
0.5 k px1600x1.00=9,760kg

0.3 E =3,367kg
õ = 24° p
k x1600x1.30=12,688kg
p

De la Figura 3.11.5.4-1, el coeficiente de empuje pasivo es kp=7 (con Øf=31° y
Ө=90°) y el factor de reducción hallado por interpolación, R=0.870 (con
õ/Øf=0.774).

Luego:
kp = R kp(õ=Ø)

kp = 0.870(7) = 6.10

La resistencia pasiva es:

Epcos24°=½(9,760kg/m+12,688kg/m) x 0.30m x cos24° = 3,076kg

Para el estado límite de Resistencia Ia, agregando el diente de concreto se tiene:


V-26

Con:

ØτQτ = 6,279kg
Øep = 0.50 (Tabla 10.5.5.2.2-1)
Qep =3,076kg

QR = 6,279kg+ 0.50(3,076kg)=7,817kg > 7,441kg OK!
7,817kg
7,817


= L
C
MHU M VU
xo e=B/2-xo
Vu V

B q
máx
q
mín Fundación en roca
B/2 B/2
Estable si: q q máx
R

q q Fundación en suelo
B-2e Estable si: q q
R

xo = e= ( −x ) q =
o B − 2e
(Kg/m) (Kg-m/m) (Kg-m/m) Vu 2
(kg/cm2)
(m) (m)
Resistencia I 17,637 30,733 11,114 1.112 0.138 0.79<2 OK!
Resistencia Ia 22,874 38,706 11,114 1.206 0.044 0.95<2 OK!
Resistencia III 16,004 26,751 7,122 1.227 0.023 0.65<2 OK!
Resistencia IIIa 21,241 34,725 7,122 1.299 0.049 0.88<2 OK!

V-27

PROBLEMA V.3 Diseñar el estribo de concreto armado mostrado para un puente
simplemente apoyado de una sola vía. Las cargas verticales provenientes de la
apoyado
superestructura que inciden sobre el estribo son: PDC=12 Ton/m y PDW=1.8 Ton/m. La
fuerza de frenado BR=1.99 ton/m. El relleno es de 7.00m de altura, el suelo es no
cohesivo de peso unitario γt=1925 kg/m³, capacidad admisible qadm=2.67 kg/cm²
(FS=3), ángulo de fricción interna Øf=30°. Considerar un coeficiente sísmico de
=30°.
aceleración horizontal A=0.3 y coeficiente de sitio=1.2.

BR=1.99T/m

PDC =12T/m 1.80m
PDW =1.80T/m
PLL+IM
=9.494T/m
bparap

PEQ 0.75
h =1.50
parap 0.75
e1
e2 N
t2 t1
Prop. de terreno: tsup
Øf = 30°
õ = 0°
H=7.00m = 1925 kg/m³
t
q = 2.67 kg/cm²
adm
A = 0.3 s°
S = 1.2

L talón t inf L punta
h=1.50m
D

B

Solución.-
Solución.-

PRE-
PRE-DIMENSIONADO

Para la altura H=7.00m, probamos una sección preliminar de estribo con:

B= ancho del cimiento = ½H ~ 2/3H = 3.50m~4.67m (adoptado B=5.10m)

D = altura del cimiento = 0.1H = 0.70m (adoptado D=1.10m)

Lpunta = longitud de punta = B/3 = 1.67m (adoptado Lpunta=1.10m)

tsup=grosor menor de pantalla = H/24 = 0.29m (adoptado tsup mín=0.30m)

tinf =grosor mayor de pantalla = 0.1H = 0.70m (adoptado tinf=0.90m)

N = 0.70m (adoptado) > Nmín = 0.24m

V-28

Nmín = longitud mínima de cajuela (2.11.2, Manual de Diseño de Puentes, MTC Perú)

= (200+0.0017L+0.0067H’)(1+0.000125S²)
= (200+0.0017x20,000)(1+0.000125x10.01²)mm
con L=20,000mm, H’=0, S°=10.01°

= 0.24m.

Otras medidas tomadas se muestran en el gráfico siguiente:

BR

1.80m
Terreno equiv. por s/c
PDC, DW, LL+IM
LS .25 .70
h'=0.60 y

0.75
1.50 1
PEQ
0.75
.40 2
3 5
.60 9
.35 .30
.30 1.40
EV
5.90 EQterr LSX 8
EQestrib
H=7.00m
10 4
s°=10.01°
EH
11
3.50 6
y
CG
2.33 EV 12
h=1.50m
3.10 .90 1.10
1.10 Talón 7
p p' p'' A
B=5.10m

V-29

CASO I – ESTRIBO CON PUENTE

CARGAS VERTICALES (considerando franjas de 1m de longitud de estribo)

Cargas DC

Peso propio estribo de concreto armado (DC):

Elemento Volumen DC XA (m) YA (m) XA.DC YA.DC
(m³) (Ton/m) (Ton-m/m) (Ton-m/m)
1 0.375 0.900 2.225 6.250 2.00 5.63
2 0.380 0.912 1.875 5.300 1.71 4.83
3 0.105 0.252 2.117 4.900 0.53 1.23
4 1.200 2.880 1.850 3.100 5.33 8.93
5 0.090 0.216 1.600 4.900 0.35 1.06
6 1.020 2.448 1.500 2.233 3.67 5.47
7 5.610 13.464 2.550 0.550 34.33 7.41
∑= 21.072 47.92 34.55

DC=21.07 Ton/m
47.92 34.55
XA = = 2.274 m , YA = = 1.640m
21.07 21.07

Peso propio superestructura:

PDC= 12.00 Ton/m
XA = 1.75m

Cargas DW

Peso asfalto en superestructura:

PDW= 1.80 Ton/m
XA = 1.75m

Cargas EV (peso del terreno)

Elemento Volumen EV XA YA XA.EV YA.EV
(m³) (Ton/m) (m) (m) (Ton-m/m) (Ton-m/m)
8 16.225 31.233 3.725 4.050 116.34 126.49
9 0.105 0.202 2.233 4.700 0.45 0.95
10 1.190 2.291 2.175 2.800 4.98 6.41
11 0.014 0.027 1.124 1.367 0.03 0.04
12 0.440 0.847 0.550 1.300 0.47 1.10
∑= 34.60 122.27 135.00

EV=34.60 Ton/m

122.27 135.00
XA = = 3.534m , YA = = 3.902m
34.60 34.60

V-30

Cargas LL+IM

Carga viva e impacto desde la superestructura:

PLL+IM= 9.494 Ton/m
XA = 1.75m


Altura equivalente de suelo por S/C (Tabla 3.11.6.4-1):

Por cargas vehiculares actuando sobre el terreno, agregamos una porción
equivalente de suelo. En este caso para H = 7.00 m, h’ = 0.60 m.

Terreno equivalente extendido en 2.75m del talón del estribo:

LSy = 2.75m x 0.60m x 1.925Ton/m3 = 3.18 Ton/m
XA = 3.725m

Resumen Cargas Verticales
CARGA TIPO V (Ton/m) XA (m) (Ton-
MV (Ton-m/m)
DC DC 21.07 2.274 47.92
PDC DC 12.00 1.750 21.00
PDW DW 1.80 1.750 3.15
EV EV 34.60 3.534 122.27
PLL+IM LL+IM 9.49 1.750 16.61
LSy LS 3.18 3.725 11.83
Σ= 82.14 222.79

CARGAS HORIZONTALES (considerando franjas de 1m de longitud de estribo)

Cálculo del coeficiente de empuje activo (Ka)

∅f = ángulo de fricción interna = 30°
β = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0°
ᒕ = ángulo de inclinación del muro del lado del terreno = 90°

Para δ =β =0 y ᒕ =90°, las fórmulas AASHTO (3.11.5.3-1) y (3.11.5.3-2) se
convierten en:

 Ø   30° 
K a = tg2  45° − f  = tg2  45° −  = 0.333
 2   2 

V-31

Cargas actuantes:


Componente horizontal de la sobrecarga por carga viva:

p”= Ka h’γt = (0.333)(0.60m)(1.925Ton/m³) = 0.385 Ton/m²

LSx = H(p”)=7.00m(0.385Ton/m²)

LSx = 2.70 Ton/m

YA = 3.50m


Por 7.00m de terreno:

p = Ka H γt = (0.333)(7.00m)(1.925Ton/m³) = 4.492 Ton/m²

EH = ½ H (p)=½(7.00m)(4.492 Ton/m²)

EH = 15.72 Ton/m

YA = 2.333m

Cargas EQ (acción sísmica)

a) Acción sísmica del terreno (EQterr):

i = ángulo del material del suelo con la horizontal = 0°
β = ángulo de inclinación del muro con la vertical = 0°
A = coeficiente sísmico de aceleración horizontal = 0.30
kh = coeficiente de aceleración horizontal=0.5A= 0.5(0.30)= 0.15
kv = coeficiente de aceleración vertical =0
 k 
θ = arc tan h
1− k
 = 8.53°

 v 

Luego:

cos 2 ( φ − θ − β)
K AE = 2
(A.11.1.1.1-2)
 . 
2  sen(φ + δ)sen( φ − θ − I ) 
cos θ cos β cos( δ + β + θ) +
1 . 

 cos( δ + β + θ) cos( I − β) 


K AE = 0.433

V-32

Entonces:

EQterr = ½ (KAE-Ka) H² γt =½(0.433-0.333)(7m)²(1.925 Ton/m³)

EQterr = 4.70 Ton/m

YA = 3.50m

b) Carga sísmica por superestructura (PEQ):
El Art. 3.10.9.1 AASHTO LRFD establece para los puentes de un solo tramo,
independientemente de la zona sísmica en que se encuentren, una solicitación
mínima de diseño en una unión restringida entre superestructura y subestructura
no menor al producto entre el coeficiente de sitio, el coeficiente de aceleración
y la carga permanente tributaria, es decir:

PEQ=PDC+DW.A.S=13.8Ton/m x 0.3 x 1.2

PEQ=4.97 Ton/m

YA = 6.25m

c) Fuerza inercial del estribo:

De acuerdo a la Fig. A11.1.1.1-1 AASHTO LRFD:

W = peso del estribo y terreno tributario=21.07 + 34.60= 55.67Ton/m
YA = C.G. del estribo y terreno tributario

21.07T / m( .64m) + 34.60T / m(3.902m)
1
YA = = 3.045m
55.67T / m

Kh=0.5A

EQestrib=Kh.W=0.15x55.67Ton/m

EQestrib=8.35 Ton/m

YA = 3.045m

V-33

Cargas BR (frenado)
BR= 1.99 Ton/m

YA = 8.80m

Resumen Cargas Horizontales
CARGA TIPO H (Ton/m) YA (m) MH (Ton-m/m)
(Ton-
LSx LS 2.70 3.500 9.43
EH EH 15.72 2.333 36.68
EQterr EQ 4.70 3.500 16.44
PEQ EQ 4.97 6.250 31.05
EQestrib EQ 8.35 3.045 25.43
BR BR 1.99 8.800 17.51
Σ= 38.42 136.55

A) ESTADOS LÍMITES APLICABLES Y COMBINACIONES DE CARGAS

Tomamos en cuenta los estado límites de Resistencia I y Evento Extremo I aplicables en
este caso y con un valor n=nDnRnI=1
Para el chequeo de estabilidad al vuelco y deslizamiento observando en el gráfico las
cargas actuantes, utilizamos los factores γ máximos para las cargas horizontales que
generan vuelco alrededor del punto A y deslizamiento en la base (EH y LS) y los
factores de carga γ mínimos en las cargas verticales que generan estabilidad (DC y EV)
para de esta manera maximizar las condiciones críticas de vuelco y deslizamiento en la
estructura. Este caso será denominado Ia.
Para el chequeo de presiones en la base empleamos los factores γ máximos en cargas
verticales y horizontales para maximizar efectos. A este caso lo denominaremos Ib.
El chequeo de agrietamiento por distribución de armadura en la pantalla se realizará
para el estado límite de Servicio I.

V-34

V-35

B) CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOS


Cálculo de emáx:

- Estado límite de Resistencia (AASHTO, Art. 11.6.3.3):
Se debe mantener la resultante en la base del cimiento dentro de la mitad
central (e≤B/4), excepto el caso de suelo rocoso en que se mantendrá en
los ¾ centrales (e≤3/8B).

Es decir emáx = B/4 = (0.25)5.10m = 1.28m

- Estado límite de Evento Extremo (AASHTO, Art. 11.6.5):
Cuando γEQ=0, se debe mantener la resultante en la base del cimiento
dentro de los 2/3 centrales del cimiento para cualquier suelo (e≤1/3B).

Cuando γEQ=1, mantener la resultante dentro de los 8/10 centrales del
cimiento para cualquier suelo (e≤2/5B).

Para valores de γEQ entre 0 y 1.0, interpolar linealmente entre los valores
especificados . En nuestro caso, utilizando γEQ=0.5, la interpolación señala
el límite e≤11/30B.

Es decir emáx = (11/30)Bm = (0.367)5.10m = 1.87m

Mvu − Mhu B emax(m)
e= ( −x )
(Ton/m) (Ton-m/m) (Ton-m/m) Vu 2 o
(m) (m)
Resistencia Ia 71.09 207.06 102.18 1.48 1.07 1.28 O.K!
Resistencia Ib 112.92 305.73 102.18 1.80 0.75 1.28 O.K!
Evento Extremo Ia 67.12 192.27 141.42 0.76 1.79 1.87 O.K!
Evento Extremo Ib 97.09 270.17 141.42 1.33 1.22 1.87 O.K!

b) Deslizamiento
Deslizamiento en base del estribo

Con:
µ = tg Øf = 0.577 (Art. 10.6.3.3)

Øτ= 0.80, estado límite de Resistencia (Tabla 10.5.5.2.2-1).
=1.00, estado límite de Evento Extremo (Art. 11.6.5)

Estados Vu RESISTENTE (Ton/m) ACTUANTE (Ton/m)
(Ton/m) Ff =µ (ØτVu) Hu
Resistencia Ia 71.09 32.82 31.78 O.K!
Resistencia Ib 112.92 52.13 31.78 O.K!
Evento Extremo Ia 67.12 38.73 43.94 N.S.
Evento Extremo Ib 97.09 56.02 43.94 O.K!

V-36

El estado límite de Evento Extremo Ia, no es satisfactorio por lo que colocamos
un diente de concreto de sección 0.70mx0.70m. en la base como se muestra
en la figura; consideramos la resistencia pasiva del suelo sólo en el ámbito del
diente.

1.50

k p x1.925x1.50=8.49 Ton
E =7.33 Ton .70
p

k x1.925x2.20=12.45 Ton
p

.70

De la Figura 3.11.5.4-1, el coeficiente de empuje pasivo es kp=6.3 (con
Øf=30° y Ө=90°) y el factor de reducción hallado por interpolación,
R=0.467 (con õ/Øf=0).

Luego:
kp = R kp(õ=Ø)

kp = 0.467(6.3) = 2.94


Ep=½(8.49Ton/m + 12.45Ton/m) x 0.70m = 7.33Ton

agregando
Para el estado límite de Evento Extremo Ia, agregando el diente de concreto se
tiene:
Con:
ØτQτ = 38.73Ton
Øep = 1.00 (Art. 11.6.5)
Qep = 7.33Ton

QR = 38.73Ton + 1.00(7.33Ton)=46.06Ton > 43.94Ton OK!
46.06Ton


Capacidad de carga factorada del terreno (qR)

1) Estado límite de Resistencia, con Øb = 0.45 (Tabla 10.5.5.2.2-1):

qR=Øb qn (10.6.3.1.1-1)

qR=Øb(FS.qadm)=0.45(3x2.67kg/cm²) = 3.60kg/cm²

V-37

2) Estado límite de Evento Extremo, con Øb = 1.00 (Art. 11.6.5):

qR=Øb qn (10.6.3.1.1-1)

qR=Øb(FS.qadm)=1.00(3x2.67kg/cm²) = 8.01kg/cm²

3) Estado límite de Servicio:

qadm= 2.67kg/cm²

xo = e= ( −x ) q=
(Ton/m) (Ton-m/m) (Ton-m/m) Vu 2 o B − 2e
(m) (m) (kg/cm2)
Resistencia Ia 71.09 207.06 102.18 1.48 1.07 2.41<3.60 O.K!
Resistencia Ib 112.92 305.73 102.18 1.80 0.75 3.13<3.60 O.K!
Evento Extremo Ia 67.12 192.27 141.42 0.76 1.79 4.43<8.01 O.K!
Evento Extremo Ib 97.09 270.17 141.42 1.33 1.22 3.66<8.01 O.K!
Servicio I 82.14 222.79 63.63 1.94 0.61 2.12<2.67 O.K!

CASO II – ESTRIBO SIN PUENTE
II SIN

A) ESTADOS LÍMITES APLICABLES Y COMBINACIONES DE CARGAS

V-38

B) CHEQUEO DE ESTABILIDAD Y ESFUERZOS


e= ( −x )
(Ton/m) (Ton-m/m) (Ton-m/m) Vu 2 o (m)
(m) (m)
Resistencia Ia 59.12 186.11 71.53 1.94 0.61 1.28 O.K!
Resistencia Ib 78.61 245.68 71.53 2.22 0.33 1.28 O.K!
Evento Extremo Ia 55.15 171.32 101.61 1.26 1.29 1.87 O.K!
Evento Extremo Ib 74.64 230.89 101.61 1.73 0.82 1.87 O.K!


Con:
µ = tg Øf = 0.577 (Art. 10.6.3.3)

Øτ= 0.80, estado límite de Resistencia (Tabla 10.5.5.2.2-1).
=1.00, estado límite de Evento Extremo (Art. 11.6.5)

V-39

Estados Vu RESISTENTE (Ton/m) ACTUANTE (Ton/m)
(Ton/m) Ff =µ (ØτVu) Hu
Resistencia Ia 59.12 27.29 28.30 N.S.
Resistencia Ib 78.61 36.29 28.30 O.K!
Evento Extremo Ia 55.15 31.82 37.98 N.S.
Evento Extremo Ib 74.64 43.07 37.98 O.K!

Los estados límites de Resistencia Ia y Evento Extremo Ia, no son
satisfactorios. Luego, haciendo uso de la resistencia pasiva proporcionada por
el diente de concreto de sección 0.70mx0.70m. se tiene:

1.50

k p x1.925x1.50=8.49 Ton
E =7.33 Ton .70
p

k x1.925x2.20=12.45 Ton
p

.70

De la Figura 3.11.5.4-1, el coeficiente de empuje pasivo es kp=6.3 (con
Øf=30° y Ө=90°) y el factor de reducción hallado por interpolación,
R=0.467 (con õ/Øf=0).

Luego:
kp = R kp(õ=Ø)

kp = 0.467(6.3) = 2.94


Ep=½(8.49Ton/m + 12.45Ton/m) x 0.70m = 7.33Ton

- Para el estado límite de Resistencia Ia, agregando el diente de concreto se
tiene:
Con:
ØτQτ = 27.29Ton
Øep = 0.50 (Tabla 10.5.5.2.2-1)
Qep = 7.33Ton

QR = 27.29Ton + 0.50(7.33Ton)=30.95Ton > 28.30 OK!
30.95Ton
30.95

- Para el estado límite de Evento Extremo Ia, agregando el diente de concreto se
tiene:

V-40

Con:
ØτQτ = 31.82Ton
Øep = 1.00 (Art. 11.6.5)
Qep = 7.33Ton

QR = 31.82Ton + 1.00(7.33Ton)=39.15Ton > 37.98Ton OK!
39.15Ton 37.98Ton


xo = e= ( −x ) q=
(Ton/m) (Ton-m/m) (Ton-m/m) Vu 2 o B − 2e
(m) (m) (kg/cm2)
Resistencia Ia 59.12 186.11 71.53 1.94 0.61 1.53<3.60 O.K!
Resistencia Ib 78.61 245.68 71.53 2.22 0.33 1.77<3.60 O.K!
Evento Extremo Ia 55.15 171.32 101.61 1.26 1.29 2.18<8.01 O.K!
Evento Extremo Ib 74.64 230.89 101.61 1.73 0.82 2.15<8.01 O.K!
Servicio I 58.85 182.03 46.11 2.31 0.24 1.27<2.67 O.K!

CÁLCULO DEL ACERO

1) DISEÑO DE PANTALLA

BR

1.80m
0.60

PEQ 0.75
0.75

5.90 LS
EQ
EQestrib
EH

2.95 2.80
1.97

p p' p'' P

V-41

CARGAS EN BASE DE PANTALLA
CARGA CARGA DISTRIBUIDA (Ton/m) Carga(Ton) YP(m) M(T-
M(T-m)
LS p”=0.333x0.60x1.925=0.385 0.385x5.90=2.27 2.95 6.70
EH p=0.333x5.90x1.925=3.786 0.5x5.90x3.786=11.17 1.97 21.96
EQterr p’=0.5(0.4330.333)5.9x1.925=0.566 0.566x5.90=3.34 2.95 9.84
PEQ - 4.97 5.15 25.59
EQestri - 6.20 2.80 17.33
BR - 1.99 7.70 15.32

Donde para EQestr :

W = peso estribo y terreno tributario sobre P =7.61 + 33.72= 41.33Ton/m
Kh=0.5A
EQestrib=Kh.W=0.15x41.33Ton/m = 6.20Ton/m
YP = C.G. del estribo y terreno tributario sobre P = 2.80m

a) Acero Por Flexión

Momento de diseño en la base de la pantalla:

Estado límite de Resistencia I, con n= nDnRnI=1:

Mu = n[1.75MLS + 1.50MEH + 1.75MBR] (Tabla 3.4.1-1)

= 1.00[1.75(6.70T-m)+1.50(21.96T-m)+1.75(15.32T-m)]

= 71.49T-m

Estado límite de Evento Extremo I, con n= nDnRnI=1:

Mu = n[0.50MLS + 1.50MEH + 1.00MEQ + 0.50MBR] (Tabla 3.4.1-1)

=1.00[0.50(6.70T-m)+1.50(21.96T-m)+1.00(9.84+25.59+17.33)T-m

+0.50(15.32T-m)] = 96.72T-m

Con Mu= 96.72T-m, As= 1∅1”, recubrimiento r= 7.5cm (Tabla 5.12.3-1)

2.54
z = 7.5 + = 8.77 cm
2
d= 90cm – 8.77cm =81.23cm

A s fy A s x4200 z d
a= '
= = 6.97cm
0.85fc b 0.85x210x 100
90cm
Mu 96.00x 5
10 5.10
As = = = 29.62cm², s Ø1" = = 0.17m
a a 29.62
Ø f fy (d − ) 1.0x4200(81.23 − )
2 2

(Øf=1.0, según Art. 11.6.5 para estado límite de Evento Extremo)

V-42



c = a / β1 = 6.97cm / 0.85 = 8.20cm
de = 81.23cm
c /de = 0.10 ≤ 0.42 OK!


de1.2Mcr y 1.33Mu:


Siendo:

' '

S = bh2/6 = 100(90)2/6 = 135,000cm3

b) 1.33 Mu= 1.33(96.72T-m) = 128.64T-m

resiste Mu=96.72T-m >47.19T-m OK!

0.1
USAR 1∅1” @ 0.17m

b) As de temperatura
Ag
A s temp = 0.756 [SI] (5.10.8.2-1)
Fy

Siendo la pantalla de sección variable, tomamos conservadoramente un grosor
de 0.80m:

100) = 16.2 cm2
A s temp = 0.0018(90x

A s temp = 16.2 cm2 / 2 = 8.10 cm2 / capa
2.00
8.10

smáx = 3t = 3(0.90)= 2.70m (Art.5.10.8)
smáx = 0.45m OK! (Art.5.10.8)

0.24
USAR 1∅5/8” @ 0.24 m

Nota.- El acero de temperatura se colocará por no contar con ningún tipo de
acero en el sentido perpendicular al acero principal de la pantalla y también en
la cara de la pantalla opuesta al relleno, en ambos sentidos.

V-43

c) Revisión de fisuración por distribución de armadura (Art. 5.7.3.4)


Z
fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1)
(dc A )1/ 3

Para el acero principal: b
Ø
d c = recubrimie4 +
14 24nto 2
4 3
≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4 )

2.54 90 cm
d c = 5 cm + cm
2 1Ø1"@0.17 dc
dc = 6.27cm dc

17 cm

(2d c )b (2x6.27cm)( cm)
17
A= = = 213.18 cm2 (Art. 5.7.3.4)
nv 1

Z = 30,000N/mm (considerando exposición moderada) (Art. 5.7.3.4)

= 30,600Kg/cm

Luego:
30,600 kg / cm
fsa = = 2,778 kg / cm 2
(6.27cm x 213.18cm2 )1/ 3

fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2

fsa = 2,520 kg / cm2


Ms c
fs = n
I


Ms = n ( .0 MLS +1.0 MEH +1.0 MBR )
1 (Tabla 3.4.1-1)

Ms = 1.0(6.70T-m+21.96T-m+15.32T-m)

Ms = 43.99T-m/m


Ms = (43.99T-m/m) (0.17m) = 7.48T-m

V-44

Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2)

'
E c = 15,344 fc (5.4.2.4-1)
2
E c = 15,344 210 = 222, 356 kg / cm

E s 2'039, 400 kg / cm2
n= = =9
Ec 222, 356 kg / cm2

17 cm
y (-)

81.23
c=81.23-y 90 cm
(+)
8.77 (fs/n)

1Ø1"@0.17
Ast=9x5.10cm²=45.90cm²


Ast = 9(5.10cm2) = 45.90cm2


17y (y/2) = 45.90(81.23-y)

y = 18.42cm, c=81.23cm-y = 62.81cm

by 3
I = A st c 2 +
3
17 ( .42) 3
18
= 45.90 (62.81 2 +)
3

=216,496cm4

Luego:

Ms c 7.48 x 10 5 x 62.81
fs = n= x 9 = 1 953kg / cm2
,
I 216,496

fs = 1 953 kg / cm2 < fsa = 2, 520 kg / cm2
, OK !

V-45

corte
d) Revisión por corte

Típicamente el corte no gobierna el diseño de un muro de contención; sin
embargo revisaremos el grosor de la pantalla para confirmar que no se
requiere armadura transversal.

El cortante actuante en la base de la pantalla para el estado límite de
Resistencia I, con n= nDnRnI=1, es:

Vu = n[1.75 VLS+1.50 VEH +1.75 VBR] (Tabla 3.4.1-1)

= 1.00[1.75(2.27T) + 1.50(11.17T)+1.75(1.99T)]

= 24.21T

El cortante actuante en la base de la pantalla para el estado límite de Evento
Extremo I, con n= nDnRnI=1, es:

Vu = n[0.5 VLS+1.50 VEH +1.00 VEQ +0.5 VBR] (Tabla 3.4.1-1)

=1.00[0.5(2.27T)+1.50(11.17T)+1.0(3.34+4.97+6.20)+0.5(1.99T)]

= 33.39T

Luego Vu = 33.39T

El cortante resistente del concreto es:

V r = Ø Vn (5.8.2.1-2)
Ø = 1.0 (Art. 11.6.5)

Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1)
Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2)

'
Vc = 0.083β fc b v d v [N] (5.8.3.3-3)

'

'
Vc = 0.53 fc b v d v = 0.53 210 (
100 x77.75) = 59.71T

donde:
bv = ancho de diseño de pantalla= 100 cm
de = 81.23cm
a 6.97
d v = peralte de corte efectivo = d e − = 81.23 − = 77.75 cm (Art.
2 2
5.8.2.9)
no menor que el 0.90de= 0.90(81.23 cm) = 73.11cm OK!
mayor valor de 0.72h = 0.72(90 cm) = 64.80cm

V-46

Con Vp=0 y Vs=0 Vn = 59.71T
el menor valor de Vn = 0.25 x 210 x 100 x 77.75 = 408.19T

es: Vn = 59.71T

La resistencia del concreto al corte es:

Vr = ØVn = 1.0(59.72T) = 59.71T > 33.39T OK!
9.71 3.39T

2) DISEÑO DE CIMENTACIÓN

a) Acero parte superior de zapata

LS y=2.75mx0.60mx1.0mx1.925T/m3
h'=0.60
=3.18T

1.90

0.60

1.73

5.90 EV=33.73T

1.61

3.10
2.75 .35
3
DC =3.10mx1.0mx1.10mx2.4T/m =8.18T
As superior
1.10 Talón

q
B-2e
B

Momento de diseño en cara vertical de pantalla, estado límite de Resistencia
Ib, con n= nDnRnI=1, despreciando del lado conservador la reacción del suelo:

Mu = n[1.25 MDC +1.35 MEV +1.75 MLS] (Tabla 3.4.1-1)

= 1.00[1.25(8.18T x 1.55m) + 1.35(33.73T x 1.61m)
+ 1.75(3.18T x 1.73m)]

= 98.78T-m

Omitimos el estado de Evento Extremo I, pues no es crítico en este caso.

V-47

Utilizando acero ∅1” y recubrimiento r= 7.5cm (Tabla 5.12.3-1)

Ø 2.54
z = recub += 7.5 + = 8.77 cm
2 2
d= 110cm – 8.77cm = 101.23cm

Mu
As = = 26.64cm2 , (con Ø=0.9, según 5.5.4.2)
a
0.9fy (d − )
2
As fy
a= = 6.27cm
0.85fc' b
5.10
Utilizando varillas ∅1”, la separación será: s = = 0.19 m
26.64



c = a / β1 = 6.27 / 0.85 = 7.37cm
de = 101.23cm
c /de = 0.07 ≤ 0.42 OK!

de1.2Mcr y 1.33Mu:


Siendo:
' '

S = bh2/6 = 100(110)2/6 = 201,667cm3

b) 1.33 Mu= 1.33(98.78T-m) = 131.38T-m


0.19
USAR 1∅1” @ 0.19m

b) As de temperatura

A s temp = 0.0015 A g (5.10.8.2-2)
A s temp = 0.0015( 110) = 16.5 cm2
100x
A s temp = 16.5 cm2 / 2 = 8.25 cm2 / capa
2.00
8.25
smáx = 0.30m OK! (Art.5.10.8)

USAR 1∅5/8” @ 0.24 m

V-48

Nota.- El acero de temperatura se colocará por no contar con ningún tipo de
acero, perpendicular al acero de flexión, tanto en el talón como en la punta del
cimiento.

c) Revisión del talón por corte

El cortante actuante en el talón para el estado límite de Resistencia I, con n=
nDnRnI=1, es:

Vu = n[1.25 VDC + 1.35 VEV +1.75 VLS] (Tabla 3.4.1-1)

= 1.00[1.25(8.18T) + 1.35(33.73T) +1.75(3.18T)]

= 61.32T

Se omite el estado de Evento Extremo I, pues no gobierna el diseño.


Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2)
Ø = 0.9 (5.5.4.2)
Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1)
Vn = 0.25f’cbvdv +Vp (5.8.3.3-2)

'
Vc = 0.083β fc b v d v [N] (5.8.3.3-3)

'

'
Vc = 0.53 fc b v d v = 0.53 210 (
100 x98.10) = 75.35T

donde:

bv = ancho de diseño de zapata = 100 cm
de = 101.23cm
a 6.27
d v = peralte de corte efectivo = d e − = 101.23 − = 98.10 cm (Art.
2 2
5.8.2.9)
no menor que el 0.90de= 0.90(101.23cm) = 91.11cm OK!
mayor valor de 0.72h = 0.72(110cm) = 79.20cm

el menor valor de Vn = 0.25 x 210 x 100 x 98.10 =515.03T

es: Vn = 75.35T


Vr = ØVn = 0.9(75.18T) = 67.81T > 61.32T OK!
67.81T
81 1.32T

V-49

zapata
d) Acero en fondo de zapata
corte
d

As parte inferior zapata EV
Talón
DC Punta

q =4.43kg/cm
B-2e
B

flexión
Para el estado límite de Evento Extremo Ia, con qu= 4.43kg/cm²,
despreciando del lado conservador el peso del terreno (EV) y de la punta de
zapata (DC), el momento actuante en cara de pantalla es:

( .10m)2
1
Mu = 44.30T / m² x x1m = 26.80T − m
2

Utilizando 1∅5/8” @0.23m (As=2.00cm² / 0.23m = 8.70cm²/m)

siendo:

recubrimiento = 7.5cm (Tabla 5.12.3-1)

Ø 1.59
z = recub += 7.5 + = 8.30 cm
2 2
d= 110cm – 8.30cm = 101.7cm

A s fy 8.70(4200)
a= '
= = 2.05cm
0.85fc b 0.85x210x
100

Øf=1.0, según Art. 11.6.5 para estado límite de Evento Extremo

a 2.05
Mu = Øfy A s (d − ) = 1.0x4200x8.70 (
101.7 − ) = 36.79T − m > 26.80T − m
2 2



c = a / β1 = 2.05 / 0.85 = 2.41cm
de = 101.7cm
c /de = 0.02 ≤ 0.42 OK!

V-50


de1.2Mcr y 1.33Mu:
a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(29.13kg/cm2)(201,667 cm3) = 70.49T-m

Siendo:
' '

S = bh2/6 = 100(110)2/6 = 201,667cm3

b) 1.33 Mu= 1.33(26.98T-m) = 35.88T-m

El menor valor es 35.88T-m y la cantidad de acero propuesta (8.70cm2)

5/8” 0.23
23m
USAR 1∅5/8” @ 0.23m

e) Revisión de la punta por corte
corte

Cálculo de dv (Art. 5.8.2.9):
a 2.05
d v = peralte de corte efectivo = de − = 101.7 − = 100.68 cm
2 2
no menor que el 0.90de= 0.90(101.7cm) = 91.53cm OK!
mayor valor de 0.72h = 0.72(110cm) = 79.20cm

Debiendo tomar el cortante actuante a una distancia dv de la cara de la
pantalla, el cortante actuante es:

Vu = q u (L punta − d v ) = 44.3T / m2 ( .10m −1.01 ) = 4.11Ton / m
1 m


Vr = Ø Vn (5.8.2.1-2)

Ø = 1.0 (Art. 11.6.5)

Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1)
Vn = 0.25f’cbvdv + Vp (5.8.3.3-2)

'
Vc = 0.083β fc b v d v [N] (5.8.3.3-3)

'
'
Vc = 0.53 fc b v d v = 0.53 210 ( 100.68) = 77.33T
100 x

el menor valor de Vn = 0.25 x 210 x 100 x 100.68 =528.57T

es: Vn = 77.33T

V-51


Vr = ØVn = 1.0(77.33T) = 77.33T > 4.11T OK!
77.3 4.1

1φ1"@0.17

1φ5/8"@0.24
1φ5/8"@0.24

1φ1"@0.19
1φ5/8"@0.24

1φ5/8"@0.24 1φ5/8"@0.23

DISPOSICIÓN DE ARMADURA EN ESTRIBO

VI-1

CAP VI: PILARES
1. REFUERZO MÁXIMO Y MÍNIMO EN MIEMBROS A COMPRESIÓN (Art.
5.7.4.2)

La máxima sección de armadura longitudinal pretensada y no pretensada deberá ser
tal que:

A s A ps fpu
+ ≤ 0.08 (5.7.4.2-1)
Ag A g fy
A ps fpe
≤ 0.30 (5.7.4.2-2)
A g fc'

La mínima sección de armadura longitudinal pretensada y no pretensada deberá ser
tal que:

A s fy A ps fpu
'
+ ≥ 0.135 (5.7.4.2-3)
A f
g c A g fc'

donde:

Aps = área de acero del pretensado
Ag = área bruta de la sección
fy = tensión de fluencia especificada de las barras de armadura
f’c = resistencia a la compresión especificada del hormigón a 28 días
fpe = tensión de pretensado efectiva

El mínimo número de barras de armadura longitudinal deberá ser seis para
disposiciones circulares y cuatro para disposiciones rectangulares. El tamaño mínimo de
barra será Nº 16.
Para puentes en Zonas Sísmicas 1 y 2 se puede utilizar una sección efectiva
reducida si la sección transversal es mayor que la requerida para resistir las cargas
aplicadas. El mínimo porcentaje de armadura longitudinal total (pretensada y no
pretensada) del área efectiva reducida será uno por ciento o el valor obtenido de la
Ecuación 3, cualquiera sea el valor que resulte mayor.

2. EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ (Art. 5.7.4.3)

Para los elementos desplazables, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar
si:
KL u
< 22
r
Para los elementos que no se desplazan, los efectos de la esbeltez se pueden
despreciar si:
KL u M
< 34 −12 1
r M2

VI-2

siendo M1 y M2 el menor y mayor momento de extremo respectivamente, y el término
(M1/M2) positivo para flexión de curvatura única.

Para el diseño de elementos comprimidos no pretensados con Klu /r<100, se
puede utilizar el siguiente procedimiento aproximado:

- El diseño se basa en una carga axial mayorada Pu, determinada mediante análisis
elástico y un momento mayorado amplificado Mc, como se especifica en el Art.
4.5.3.2.2b.
- La longitud sin apoyo lateral Lu de un elemento comprimido se toma como la
distancia libre entre elementos capaces de proveer apoyo lateral a los elementos
comprimidos. Si hay acartelamientos, la longitud sin apoyo lateral se toma hasta el
extremo de cualquier acartelamiento en el plano considerado.
- El radio de giro r se calcula para la sección bruta del hormigón.
- Para los elementos sin desplazamiento, a menos que mediante un análisis se
demuestre que es posible utilizar un valor menor, K = 1.0.
- Para los elementos que se desplazan, K se determina considerando debidamente
los efectos de la fisuración y las armaduras sobre la rigidez relativa, y nunca se
tomará menor que 1.0.

En ausencia de cálculos más precisos, el valor EI para determinar Pe se toma como
el valor mayor entre:

E cIg
+ E sIs
EI = 5 (5.7.4.3-1)
1+ β d

E cIg

EI = 2.5 (5.7.4.3-2)
1+ β d

donde:

Ec = módulo de elasticidad del hormigón
Ig = momento de inercia de la sección bruta de hormigón respecto del eje
baricéntrico
Es = módulo de elasticidad del acero longitudinal
Is = momento de inercia del acero longitudinal respecto del eje baricéntrico
βd = relación entre los máximos momentos debidos a la carga permanente mayorados
y el máximo momento debido a la carga total mayorado; siempre positivo.

3. RESISTENCIA AXIAL (Art. 5.7.4.4)

La resistencia axial mayorada de los elementos comprimidos de hormigón armado
simétricos respecto de ambos ejes principales se deberá tomar como:

Pr = Ø Pn (5.7.4.4-1)

VI-3

- Para elementos con armadura en espiral:

[
Pn = 0.85 0.85fc' (A g − A st ) + fy A st ] (5.7.4.4-2)

- Para elementos zunchados:

[
Pn = 0.80 0.85fc' (A g − A st ) + fy A st ] (5.7.4.4-3)

donde:

Pr = resistencia axial mayorada, con o sin flexión
Pn = resistencia axial nominal, con o sin flexión
f’c = resistencia especificada del hormigón a 28 días
Ag = área bruta de la sección
Ast = área total de la armadura longitudinal
fy = tensión de fluencia especificada de la armadura
Ø = factor de resistencia (Art. 5.5.4.2)

4. FLEXIÓN BIAXIAL (Art. 5.7.4.5)

En vez de realizar un análisis en base a condiciones de equilibrio y compatibilidad de
deformaciones para flexión biaxial, los elementos no circulares solicitados a flexión
biaxial y compresión se pueden dimensionar utilizando las siguientes expresiones
aproximadas:

- Si la carga axial mayorada es mayor o igual que 0.10 Ø f’cAg :

1 1 1 1
= + − (5.7.4.5-1)
Prsy Prx Pry Ø P0

siendo:

P0 = 0.85fc' ( A g − A st ) + A st fy (5.7.4.5-2)

- Si la carga axial mayorada es menor que 0.10 Ø f’cAg :

Mux Muy
+ ≤ 1.0 (5.7.4.5-3)
Mrx Mry

donde:

Ø = factor de resistencia para elementos solicitados a compresión axial
Prxy = resistencia axial mayorada en flexión biaxial
Prx = resistencia axial mayorada determinada sobre la base de que la excentricidad ey
es la única presente
Pry = resistencia axial mayorada determinada sobre la base de que la excentricidad ex
es la única presente
Pu = fuerza axial mayorada aplicada
Mux = momento mayorado aplicado respecto del eje X

VI-4

Muy = momento mayorado aplicado respecto del eje Y
ex = excentricidad de la fuerza axial mayorada aplicada en la dirección X, es decir =
Muy / Pu
ey = excentricidad de la fuerza axial mayorada aplicada en la dirección Y, es decir =
Mux / Pu

La resistencia axial mayorada Prx y Pry no se deberá tomar mayor que el producto
entre el factor de resistencia Ø y la máxima resistencia nominal a la compresión dada
por las Ecuaciones 5.7.4.4-2 ó 5.7.4.4-3, según corresponda.

5. ESPIRALES Y ZUNCHOS (Art. 5.7.4.6)

El área de acero de los espirales y zunchos en puentes ubicados en Zonas Sísmicas
2, 3 ó 4 deberá satisfacer los requisitos especificados en el Art. 5.10.11.
Si el área de armadura en espiral y zunchos no está determinada por: requisitos de
diseño sismorresistente, corte o torsión según Art. 5.8, ni requisitos mínimos según
Art. 5.10.6, la relación entre la armadura en espiral y el volumen total del núcleo de
hormigón, medido entre las partes exteriores de los espirales, deberá satisfacer:

Ag fc'
ρ s ≥ 0.45( −1) (5.7.4.6-1)
Ac fyh
donde:

Ag = área bruta de la sección de hormigón
Ac = área del núcleo medida hasta el diámetro exterior del espiral
f’c = resistencia especificada del hormigón a 28 días
fyh = tensión de fluencia especificada de la armadura espiral

6. ARMADURA TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN
(Art. 5.10.6)
La armadura transversal de los elementos comprimidos puede consistir en zunchos
o en estribos cerrados.

Zunchos.- Pueden ser barras o alambre liso o conformado de un diámetro mínimo de
9.5 mm. La separación libre entre las barras del zuncho no deberá ser menor que 25
mm ó 1.33 veces el tamaño máximo del agregado. La separación entre centros no
deberá ser mayor que 6 veces el diámetro de las barras longitudinales ó 150 mm.
El anclaje de las armaduras en forma de zuncho se provee mediante 1.5 vueltas
adicionales de barra o alambre en cada uno de los extremos del zuncho. Para las Zonas
Sísmicas 3 y 4 la prolongación de la armadura transversal hacia los elementos con que
se conecta deberá satisfacer los requisitos del Art. 5.10.11.4.3.

Estribos cerrados.- Estarán constituidos por:

- Barras Nº10 para Barras Nº 32 o menores,
- Barras Nº 13 para Barras Nº 36 o mayores, y
- Barras Nº 13 para paquetes de barras.

La separación de los estribos cerrados no deberá ser mayor que la menor
dimensión del elemento comprimido ó 30 cm. Si hay dos o más barras mayores que una

VI-5

barra Nº 32 dispuestas de modo que forman un paquete, la separación no deberá ser
mayor que la mitad de la menor dimensión del elemento ó 15 cm.
En lugar de barras se puede utilizar alambre conformado o malla de alambre soldado
de área equivalente.
Cada barra longitudinal de esquina tendrá un apoyo lateral provisto por la esquina
de un estribo con un ángulo interno no mayor de 135°. Ninguna barra deberá estar a
una distancia mayor que 61 cm de una de estas barras con apoyo lateral. Si el diseño
de la columna se basa en la capacidad de rotulación plástica, ninguna barra longitudinal
estará a una distancia mayor que 15 cm de una de estas barras con apoyo lateral.
La distancia vertical entre el estribo cerrado inferior y la zapata u otro apoyo y la
distancia vertical entre el estribo cerrado superior y la armadura horizontal más baja del
elemento soportado no deberán ser menores que la mitad de la separación entre
estribos.

7. AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS VIGAS – COLUMNA (Art. 4.5.3.2.2b)
VIGAS

Los momentos o tensiones mayorados se pueden incrementar para que reflejen los
efectos de las deformaciones de la siguiente manera:

Mc = δ b M2b + δ s M2s (4.5.3.2.2b-1)

fc = δ b f2b + δ s f2s (4.5.3.2.2b-2)

siendo:

Cm
δb = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-3)
Pu
1−
ØPe

1
δs = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-4)
ΣPu
1−
ØΣPe

donde:

Pu = carga axial mayorada
Pe = carga de pandeo de Euler
Ø = factor de resistencia para compresión axial (Art. 5.5.4.2)
M2b= momento en el elemento comprimido debido a las cargas gravitatorias mayoradas
que no provoca desplazamiento lateral apreciable calculado mediante un análisis
de pórtico elástico convencional de primer orden, siempre positivo
f2b = tensión correspondiente a M2b
M2s= momento en un elemento comprimido debido a cargas laterales o gravitatorias
mayoradas que provocan un desplazamiento lateral, , mayor que Lu /1500,
calculado mediante un análisis de pórtico elástico convencional de primer orden,
siempre positivo
f2s = tensión correspondiente a M2s

VI-6

Para columnas compuestas de acero/hormigón la carga de pandeo de Euler, Pe , se
deberá determinar como se especifica en Art. 6.9.5.1. Para todos los demás casos Pe
se deberá tomar como:

π2EI
Pe = (4.5.3.2.2b-5)
(KL u )2

donde:

Lu = longitud no apoyada de un elemento comprimido
K = factor de longitud efectiva como se especifica en Art. 4.6.2.5
E = módulo de elasticidad
I = momento de inercia respecto del eje considerado

Para los elementos comprimidos de hormigón también se deberá aplicar los
requisitos del Art. 5.7.4.3.
Para los elementos arriostrados contra el desplazamiento lateral, δs se deberá
tomar como 1.0 a menos que un análisis indique que se puede utilizar un valor menor.
Para los elementos no arriostrados contra el desplazamiento lateral, δb se deberá
determinar como para un elemento arriostrado y δs como para un elemento no
arriostrado.
Para los elementos arriostrados contra el desplazamiento lateral y sin cargas
transversales entre apoyos, Cm se puede tomar como:

M1b
C m = 0.6 + 0.4 ≥ 0.4 (4.5.3.2.2b-6)
M2b
donde:
M1b = menor momento de extremo
M2b = mayor momento de extremo

La relación M1b / M2b se considera positiva si el componente se flexiona con una
única curvatura y negativo si se flexiona en doble curvatura.
Para todos los demás casos Cm se deberá tomar como 1.0.
En las estructuras que no están arriostradas contra el desplazamiento lateral, los
elementos flexionados y unidades de la fundación que forman pórticos con el elemento
comprimido se deberán diseñar para la sumatoria de los momentos de extremo del
elemento comprimido en la unión.
Si los elementos comprimidos están sujetos a flexión respecto de ambos ejes
principales, el momento respecto de cada eje se deberá amplificar aplicando δ,
determinado a partir de las correspondientes condiciones de restricción respecto de
dicho eje.
Si un grupo de elementos comprimidos en un nivel comprende un caballete, o si
están conectados de manera integral a la misma superestructura, y resisten el
desplazamiento lateral de la estructura colectivamente, el valor de δs se deberá calcular
para el grupo de elementos con ΣPu y ΣPe igual a las sumatorias para todas las
columnas del grupo.

VI-7

8. FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA, K (Art. 4.6.2.5)

Las longitudes físicas de las columnas se deberán multiplicar por un factor de
longitud efectiva, K, para tomar en cuenta condiciones de borde rotacionales y
traslacionales diferentes a las correspondientes a extremos articulados.

En ausencia de un análisis más refinado, si hay estabilidad lateral por arriostramiento
diagonal u otros medios adecuados, el factor de longitud efectiva en el plano
arriostrado, K, para los elementos comprimidos de cerchas trianguladas, cerchas y
pórticos se puede tomar como:

- Para conexiones abulonados o soldadas en ambos extremos: K = 0.75
- Para conexiones articuladas en ambos extremos K = 0.875

Las cerchas vierendeel se deberán tratar como pórticos no arriostrados.

La estabilidad lateral de las columnas de pórticos continuos, no arriostrados por
unión a muros de cortante, arriostramiento diagonal o estructuras adyacentes, depende
de la rigidez flexional de las vigas rígidamente conectadas. Por lo tanto, el factor de
longitud efectiva, K, es función de la restricción flexional total que aportan las vigas en
los extremos de la columna. Si la rigidez de las vigas es pequeña en relación con la de
la columna, el valor de K podría ser mayor que 2.0.
Suponiendo que sólo hay acción elástica y que todas las columnas pandean
simultáneamente en un pórtico no arriostrado, se puede demostrar que:

VI-8

2
π π
G a Gb   − 36
K  = K (C4.6.2.5-1)
6 (G a + G b ) π
tan 
K 

Los subíndices a y b se refieren a los dos extremos de la columna, siendo:

I 
Σ c 
L 
G=  c (C4.6.2.5-2)
 Ig 
Σ 
 Lg 
 

donde:

Σ = sumatoria de las propiedades de los componentes conectados rígidamente a un
extremo de la columna en el plano de flexión.
Ic = momento de inercia de la columna
Lc = longitud no arriostrada de la columna
Ig = momento de inercia de la viga u otro elemento que provee restricción
Lg = longitud no apoyada de la viga y otro elemento que provee restricción
K = factor de longitud efectiva para la columna considerada.

La Figura C1 es una representación gráfica de la relación entre K, Ga y Gb, y se
puede utilizar para obtener los valores de K en forma directa.
La Ecuación C1 y el nomograma de la Figura C1 se basan en la hipótesis de
condiciones idealizadas.

VI-9

VI-10

PROBLEMAS
PROBLEMA VI.1 Diseñar el pilar central de un puente ubicado en una zona no sísmica,
constituido por dos columnas circulares y una viga travesaño rectangular. Utilizar f’c=
210 kg/cm² y fy= 4200 kg/cm². Se precisan los esfuerzos críticos:

Viga
Mu = -145 T-m (estado de Resistencia I)
T-
Mu = +138 T-m (estado de Resistencia I)
T-
Ms = -95 T-m (estado de Servicio I)
T-
Vu = 200 T (estado de Resistencia I)

Columna (estado de Resistencia V)
Pu = -350 T
Plano del Pórtico Sentido Transversal
Mu = 90 T-m
T- Mu = 35 T-m
Mdu = 13 T-m
T- Mdu = 10 T-m
10

Viga 1.00m x1.00m
1.00

1.00

Columnas
Ø 0.90m Ø 0.90m 6.00m

Zapatas

Solución.-
Solución.-

A) DISEÑO DE LA VIGA DEL PÓRTICO

A.1) Acero requerido en flexión
Estribos Ø 5/8"

9 Ø 1"

Sección propuesta 1.00
para Mu =-145 T-m
y Mu =+138 T-m: 9 Ø 1" z

1.00

VI-11

Luego:

z = rec + Ø est + Ø/2
= 5.0 cm + 1.59 cm + (2.54/2) cm = 7.86 cm
d = 100 cm – 7.86 cm = 92.14 cm
As = 9 Ø1” = 9 x 5.10 cm² = 45.90 cm²

A s fy
Con a = (5.7.3.1.1-4)
0.85 fc' b
45.90 x 4200
a= = 10.80 cm
0.85 x 210 x 100
a
Mu = A s Ø fy (d − ) (5.7.3.2.2-1)
2
10.80
Mu = 0.9(45.90)(4200)(92.14 − ) = 150.50 T − m
2

Luego Mu = 150.50 T-m > Mu (-) =145 T-m OK!
> Mu (+)=138 T-m OK!

A.2) As máximo (Art. 5.7.3.3.1)


Como:
c = a / β1 = 10.80 / 0.85 = 12.71 cm
de = 92.14 cm
c /de = 0.14 ≤ 0.42 OK!

A.3) As mínimo (Art. 5.7.3.3.2)

de1.2Mcr y 1.33Mu:

a) 1.2Mcr = 1.2fr S = 1.2(29.13 kg/cm2)(166,667 cm3) = 58.26 T-m

Siendo:
' '

S = bh /6 = 100(100) /6 = 166,667 cm3
2 2

b) 1.33 Mu= 1.33(145 T-m) = 192.85 T-m

El menor valor es 58.32 T-m y la cantidad de acero propuesta (45.90 cm2)

VI-12

A.4) Limitación de la fisuración mediante distribución de la armadura (estado límite de
Servicio) (Art. 5.7.3.4)


Z
fsa = ≤ 0.6fy (5.7.3.4-1)
(d c A )1/ 3

Para el acero negativo:
Ø b
d c = recub4 Øestribo +
+
144 2444 3
≤ 5 cm ( Art.5.7.3.4 ) 2 dc
2.54 dc
d c = 5cm41.44 +
14+259cm3 cm
≤ 5 cm 2 100 cm
dc = 5cm + 1.27cm = 6.27cm

b = ancho de la viga = 100 cm

nb = número de varillas = 9 100 cm

(2d c )b (2x6.27cm)(
100)
A= = = 139.33 cm2 (Art. 5.7.3.4)
nb 9

= 30,591 Kg/cm

Luego:

30,591kg / cm
fsa = = 3,200 kg / cm2
(6.27cm x 139.33cm2 )1/ 3

fsa ≤ 0.6(4200kg / cm2 ) = 2,520 kg / cm2

fsa = 2,520 kg / cm2


Ms c
fs = n
I

Siendo:

Ms= 95x105 kg-cm

Es =200,000 MPa = 2’039,400 kg/cm2 (5.4.3.2)

E c = 15,344 fc' = 15,344 210 = 222, 356 kg / cm2 (5.4.2.4-1)

VI-13

E s 2'039,400 kg / cm2
n= = =9
Ec 222,356 kg / cm2

Ast= n As = 413.10 cm²
(fs / n)
7.86 (+)
c=92.14 - y
92.14 100 cm E.N.
y
(-)
f 'c
100 cm


Ast = 9(45.90 cm2) = 413.10 cm2


100y (y/2) = 413.10 (92.14-y)

y = 23.77 cm

by 3
I = A st (d s − y )2 +
3
100 (23.77) 3
= 413.10 (92.14 − y )2 +
3
= 2’378,697 cm4

c= 92.14 cm – 23.77 cm = 68.37 cm

Luego:
Ms c 95 x 105 x 68.37
fs = n= x 9 = 2,457 kg / cm2
I 2' 378, 697

A.5) Armadura de contracción y temperatura en caras laterales (Art. 5.10.8)

Ag
A s temp = 0.756 [SI] (5.10.8.2-1)
Fy

VI-14

A s temp = 0.0018x 100 = 18.0 cm2
100x
A s temp = 9.0 cm2 / cara

Usaremos por cara: 2 Ø 3/4”+ 2 Ø 5/8” (9.68 cm2) , con la consideración:

s máx = 3t = 3 (
100) = 300 cm y s máx = 45 cm OK!

9Ø1"
2Ø 3/4"
2Ø 3/4" + 2Ø 5/8" 100 cm
+ 2Ø 5/8"
9Ø1"

100 cm

A.6) Armadura superficial para limitar la fisuración del alma (Art. 5.7.3.4)

Para de > 90 cm :
A s + A ps
A sk ≥ 0.001(d e − 760) ≤ (5.7.3.4-4)
1200
donde:
As = área de la armadura de tracción = 9x5.10cm² = 45.9cm² = 4590 mm²
Ap = área del acero de pre-esfuerzo = 0

4590 mm2
A sk ≥ 0.001(921.4 − 760) ≤
1200 mm

mm2 mm2
A sk ≥ 0.161 ≤ 3.825
mm de altura mm

cm2
A sk ≥ 0.0161
cm de altura

Ask requerido por cara:

cm2
A sk = 0.0161 x100cm = 1.61cm2
cm de altura

Suministrado: 2 Ø 3/4”+ 2 Ø 5/8” =9.68 cm2 > 1.61cm² OK!

VI-15

A.7) Diseño por Corte

Cortante actuante : Vu = 200,000 kg

Cortante resistente : V r = Ø Vn (5.8.2.1-2)
Ø = 0.9 (5.5.4.2)

Vn = Vc+Vs+ Vp (5.8.3.3.-1)
Vn = 0.25f’cbvdb + Vp (5.8.3.3-2)

Donde:

'
Cortante resistente concreto Vc = 0.083β fc b v d v [N] (5.8.3.3-3)
para β=2 (Art. 5.8.3.4): Vc = 0.53 fc' b v d v [kg]

A v fy d v (cot θ + cot α)senα
s

con ᒕ = 45° (Art. 5.8.3.4) A v fy d v
s


Vc = 0.083β fc b v d v [N] = 0.53 fc' b v d v [kg] = 0.53 210 (
'
100 x86.74)

Vc = 66,620 kg

siendo:
bv = ancho de la viga= 100 cm
a 10.80
d v = de − = 92.14 − = 86.74 cm
2 2
no menor que el mayor valor de 0.9de = 0.9(92.14 cm) = 82.93 cm OK!
0.72h = 0.72(100 cm) = 72 cm

Cortante resistente del acero

A v fy d v (cot θ + cot α)senα A v fy d v 8(4200)(86.74)
Vs = = = = 166, 541kg
s s 17.5

Estribos: 4 ramas Ø 5/8"

VI-16

donde:
Av = 4 x 2.00 cm² = 8 cm² (asumiendo 4 ramas Ø 5/8”)
s = 17.5 cm (espaciamiento asumido de estribos)
ᒕ = 45° (sección no presforzada) (5.8.3.4)
α = 90° (ángulo de inclinación del estribo)


El menor valor de Vn = 66,620 kg + 166,541 kg + 0 = 233,161 kg
Vn = 0.25 x 210 x 100 x 86.74 + 0 = 455,385 kg

Luego Vn = 233,161 kg


Vr = ØVn = 0.9(233,161 kg) = 209,845 kg > 200,000 Kg OK!


' bv s
A v ≥ 0.083 fc [mm2 ] (5.8.2.5-1)
fy
bvs
= A v ≥ 0.27 fc' [cm2 ]
fy
100( .5)
17
A v ≥ 0.27 210 cm2
4200

A v mín = 1.63 cm² < 8.00 cm² OK !


Vu − φVp
vu = (5.8.2.9-1)
φb v d v

Vu 200,000
vu = = = 25.62 kg / cm²
φb v d v 0.9(
100)(86.74)

También:
si vu < 0.125f’c smáx= 0.8dv ≤ 60 cm (5.8.2.7-1)
si vu ≥ 0.125f’c smáx= 0.4dv ≤ 30 cm (5.8.2.7-2)

Como vu = 25.62 kg/cm² < 0.125(210 kg/cm²) = 26.25 kg/cm²

smáx= 0.8dv = 0.8(86.74 cm)= 69.39 cm

smáx= 60 cm

Luego s = 17.5 cm < smáx= 60 cm OK!

VI-17

B) DISEÑO DE COLUMNA

Columna propuesta:

12 Ø 1"

Estribos Ø3/8" @ 0.30 m

0.90 m

Diámetro de columna = 90 cm
π(90)2
Ag = = 6,362 cm2
4
r = recubrimiento = 5 cm (Tabla 5.12.3-1)
As = 12(5.10 cm²) = 61.2 cm²
Propuesta de estribos cerrados: Ø 3/8 @ 0.30 m (Art. 5.10.6.3)

B.1) Refuerzo máximo de miembros a compresión

A s A ps fpu
+ ≤ 0.08 (5.7.4.2-1)
Ag A g fy

As 61.2 cm2
≤ 0.08 → = 0.0096 < 0.08 OK !
Ag 6362 cm2

B.2) Refuerzo mínimo de miembros a compresión

A s fy A ps fpu
'
+ ≥ 0.135 (5.7.4.2-3)
A f
g c A g fc'

A s fy 61.2 x 4200
'
≥ 0.135 → = 0.192 > 0.135 OK !
A f
g c 6362 x 210

B.3) Esbeltez

En el plano del pórtico (no arriostrado)

VI-18

KL u 1.2(600)
= = 32 > 22 → columna esbelta (5.7.4.3)
r 22.5

donde:
K = 1.2 (Tabla C4.6.2.5-1)
L = 600 cm
r = d/4 = 90 cm/4 = 22.5 cm

En plano transversal al pórtico (no arriostrado)

KL u 2.1600)
(
= = 56 > 22 → columna esbelta (5.7.4.3)
r 22.5

donde:
K = 2.1 (Tabla C4.6.2.5-1)
L = 600 cm
r = d/4 = 90 cm/4 = 22.5 cm

B.4) Capacidad

a) En el plano del pórtico

Mcp = δ b M2b + δ s M2s (4.5.3.2.2b-1)
siendo:

Cm
δb = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-3)
P
1− u
ØPe

1
δs = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-4)
ΣPu
1−
ØΣPe

Cálculo de db
Cm = 1.0
Pu = 350 T
Ø = 0.75 (Art. 5.5.4.2)

VI-19

π2EI
Pe = (4.5.3.2.2b-5)
(KL u )2

donde:
K = 1.2
Lu = 600cm
EI = el mayor valor de:
E cIg
+ E sIs
EI = 5 (5.7.4.3-1)
1+ β d

E cIg

EI = 2.5 (5.7.4.3-2)
1+ β d

Por simple inspección, despreciando EsIs , el mayor valor es:

E c Ig
222, 356 (3' 220, 623)
EI = 2.5 = = 2.504x 11 kg − cm2
10
1+ β d 2.5 ( + 0.144)
1

E c = 15,344 fc' = 15,344 210 = 222, 356 kg / cm2 (5.4.2.4-1)
πd 4 π(90) 4
I= = = 3' 220, 623 cm 4
64 64

Mdu 13 T − m
βd = = = 0.144
Mu 90 T − m

Luego:

π2EI π2 (2.504x 11)
10
Pe = 2
= = 4, 767 T
(KL u ) ( .2x600)2
1

Cm 1.0
δb = = = 1.11 ≥ 1.0
Pu 350 T
1− 1−
ØPe 0.75 (4, 767 T )

Cálculo de ds
1
δs = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-4)
ΣPu
1−
ØΣPe

Usando Pu y Pe por simplicidad, en vez de ΣPu y ΣPe , tendremos:

VI-20

δ s = 1.11 ≥ 1.0
Luego:

Mcp = δ b M2b + δ s M2s = 1.11(M2b + M2s ) = 1.1190T ) = 99.9 T − m
(

b) En plano transversal

Mcp = δ b M2b + δ s M2s (4.5.3.2.2b-1)
siendo:
Cm
δb = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-3)
P
1− u
ØPe

1
δs = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-4)
ΣPu
1−
ØΣPe
Cálculo de db
Cm = 1.0
Pu = 350 T
Ø = 0.75
π2EI
Pe = (4.5.3.2.2b-5)
(KL u )2

Donde:
K = 2.1
Lu = 600cm
EI = el mayor valor de:
E cIg
+ E sIs
EI = 5 (5.7.4.3-1)
1+ β d

E cIg

EI = 2.5 (5.7.4.3-2)
1+ β d

Por simple inspección, despreciando EsIs , el mayor valor es:

E c Ig
222, 356 (3' 220, 623)
EI = 2.5 = = 2.227x 11 kg − cm2
10
1+ β d 2.5 ( + 0.286)
1

E c = 222, 356 kg / cm2
con Ig = 3' 220, 623 cm 4
Mdu 10 T − m
βd = = = 0.286
Mu 35 T − m

VI-21

π2EI π2 (2.227x 11)
10
Pe = 2
= = 1 384 T
, (4.5.3.2.2b-5)
(KL u ) (2.1 600)2
x

Cm
δb = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-3)
Pu
1−
ØPe

1.0
δb = = 1.51 ≥ 1.0
350T
1−
0.75 ( , 384T )
1

Cálculo de ds

1
δs = ≥ 1.0 (4.5.3.2.2b-4)
ΣPu
1−
ØΣPe

Usando Pu y Pe por simplicidad, en vez de ΣPu y ΣPe , tendremos:

δ s = 1.51 ≥ 1.0

Luego:

Mct = δ b M2b + δ s M2s (4.5.3.2.2b-1)

Mct = 1.51(M2b + M2s ) = 1.51(35T ) = 52.85 T − m

El momento combinado es:

Mu = M2 + M2 = 99.92 + 52.852 = 113.02 T − m
cp ct

Pu = 350 T

Diagrama de interacción de la columna circular

Considerando que:

2Pu
− Si 0.1fc' A g > Pu → Ø = − + 0.9 (Art. 5.5.4.2)
fc' A g
− Si 0.1fc' A g < Pu → Ø = 0.75

donde :

0.1f’cAg = 0.1(210 kg/cm²)(6362 cm²) = 133.60 T

VI-22

Se tienen los siguientes resultados en forma gráfica y tabulada:

P (T) M (T-m) P (T) M (T-m)
828.96 63.02 346.19 118.18
791.29 71.99 296.73 116.14
741.83 82.29 247.28 112.17
692.38 90.96 197.82 106.46
642.92 98.30 148.37 99.01
593.47 104.42 0 79.03
544.01 109.21 -59.14 61.59
494.55 113.08 -118.29 42.32
445.10 116.04 -177.43 21.21
395.64 118.29 -231.37 0

Como se aprecia en el diagrama de interacción de la columna circular, Pu = 350 T , y
Mu = 113.02 T − m , están dentro de la zona de resistencia por lo que la propuesta
de acero y geometría de la sección son adecuados.

Cálculo de estribos

Se utilizarán estribos cerrados Ø 3/8” @ 0.30 en forma de zuncho, distribución
que cumple con no ser mayor que la menor dimensión de la columna ni 30 cm.
(Art. 5.10.6.3).

VII-1

CAP VII: LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS
VII
II:
DEFINICIÓN
DEFINICIÓN
Una línea de influencia es la expresión gráfica de la variación de un esfuerzo en relación
a una carga móvil unitaria desplazándose sobre una estructura. En estructuras
isostáticas se expresan como líneas rectas; en estructuras hiperestáticas como curvas.
A continuación veremos un modo de construcción de líneas de influencia en vigas.

1. CASO DE VIGAS ISOSTÁTICAS

a) Línea de Influencia de la reacción en el apoyo A

X 1
C A B D

a L b
RA RB

Tomando como origen cartesiano el punto A, posicionamos una carga móvil
unitaria sobre la viga para determinar las expresiones:

Carga en el tramo AB (0≤ X ≤ L)

Tomando momentos en B:

R A (L ) −1 L − X) = 0
((

L−X
Luego: RA =
L

Carga en el tramo CA (-a ≤ X ≤ 0)

1 -X
C A B D

a L b
RA RB


R A (L ) −1 L − X) = 0
((

L−X
Luego: RA =
L

VII-2

Carga en el tramo BD (L ≤ X ≤ L+b)

1
X
C A B D

a L b
RA RB


R A (L ) +1 X − L ) = 0
(

L−X
Luego: RA =
L

La línea de influencia de la reacción en el apoyo A entonces se expresa como la
L−X
recta R A = , cuya gráfica se muestra:
L

X 1
C A B D

a L b
R R
A B
L+a +1
L
+
D
-b L.I. de R
A
C A B L

+1
L+b
+
L
-a L.I. de R
B
L C A B D

b) Línea de Influencia de la reacción en el apoyo B

Del mismo modo, tomando como origen cartesiano el punto A, posicionamos la
carga móvil unitaria sobre la viga para determinar las expresiones:

Carga en el tramo AB (0≤ X ≤ L)

X
Tomando momentos en A: RB =
L

Carga en el tramo CA (-a ≤ X ≤ 0)

X
L

VII-3

Carga en el tramo BD (L ≤ X ≤ L+b)

X
L

La línea de influencia de la reacción en el apoyo B se expresa como la recta
X
RB = , la misma que se muestra en el gráfico precedente.
L

c) Línea de Influencia del cortante en la sección E

Carga en el tramo CE (-a ≤ X ≤ m)

L−X X
VE = R A −1 = −1 = −
L L

Carga en el tramo ED (m ≤ X ≤ L+b)

L−X
VE = R A =
L

La línea de influencia del cortante en la sección E se expresa como el área
delimitada por dos rectas paralelas escindidas en E que pasan por los apoyos A
y B como se muestra en el gráfico:

X 1
C A E B D

R m n R
A B
a L b

+n
L
+a
L + D
L.I. de V
E
C A B -b
-m L
L

d) Línea de Influencia del momento flector en la sección E

Carga en el tramo CE (-a ≤ X ≤ m)

ME = R A (m) −1(m − x) = R B (n)

X
ME = .n
L

VII-4

Carga en el tramo ED (m ≤ X ≤ L+b)

L−X
ME = R A (m) = ( ).m
L

La línea de influencia del momento flector en la sección E se expresa
gráficamente como:

X 1
C A E B D

R m n RB
A
a L b

+nm
L
+
C D
L.I. de M
E
A B -bm
-an
L
L

VII-5

EJEMPLO VI1.1 En la viga mostrada determine el momento flector en E utilizando su
línea de influencia.

9T
2T/m
C E B D

A 4m 6m
3m 10m 2m

Solución.-
Solución.-

Después de construir la línea de influencia del momento flector en la sección E, para las
cargas dadas tenemos:

9T
2T/m
C E B D

A 4m 6m
3m 10m 2m
R
A
+4(6) =2.4m
10
+
C D
L.I. de M
E
A B
-4(2)
-3(6)=-1.8m =-0.8m
10
10

[ ]
ME = 2T / m Área + 9T(Ordenada)

ME = 2T / m[− ½ x1.8m x 3m] + 9T( +2.4m) = −16.20T − m

VII-6

2. CASO DE VIGAS HIPERESTÁTICAS

Aplicamos el principio de Müller-Breslau que refiere si una reacción o fuerza interna
actúa a lo largo de un desplazamiento producido, el perfil deformado es, a cierta
escala, la línea de influencia para la reacción en particular o fuerza interna.

EJEMPLO VI1.2 En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en el
de
apoyo B.

X 1
A B C

6m 4m

Solución.-
Solución.-

Procedimiento:

a) Expresamos la reacción en el apoyo B como una fuerza externa F1 para obtener
el siguiente modelo:

X 1 F
1
A B C

6m 4m

b) El modelo tomado puede expresarse como:

X 1 1
A B C A B C
a +
P 1P a F
11 1
6m 4m 6m 4m

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

Podemos plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F = 0
1

VII-7

Como:

a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
F = −R B
1

Luego:
aP1 + a11( −R B ) = 0

aP1
RB =
a11

Es decir la línea de influencia de la reacción en el apoyo B es proporcional a la
ecuación de la elástica aP1 como lo señala el principio de Müller-Breslau.

c) Para obtener RB calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

1
A P B C
a a
P1 11
0.4 0.6
6m 4m

VIGA CONJUGADA:
2.4
X
(10-X)0.6
+
A' C'
0.4X 2 B' 8/3
7.2 4.8 R
R (10-X) C'
A'

Tomando momentos en C’:

RA’(10) - 7.2(6) - 4.8(8/3) = 0

RA’ = 5.6

Como RA’ + RC’ = 12
RC’ = 6.4

Cálculo de a11:

a11(EI) = MB' = 5.6(6) − 7.2(2) = 19.2

VII-8

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

1 X
aP1(EI) = R A ' X − X(0.4X)
2 3
0.2 3
aP1(EI) = 5.6X − X
3

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):

Tomando momentos hacia la derecha:

1 ( − X)
10
aP1(EI) = R C ' ( − X) −
10 ( − X)( − X)0.6
10 10
2 3
aP1(EI) = 6.4( − X) − 0.1( − X) 3
10 10

d) Para la construcción de RB tenemos:

Tabulación de valores:
Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6): X (m) RB
0 0
1 0.2 3
RB = (5.6X − X ) 1 0.289
19.2 3
2 0.556
3 0.781
Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):
4 0.944
1 5 1.024
RB =
19.2
[
6.4( − X) − 0.1 − X) 3
10 (
10 ] 6 1.000
7 0.859
8 0.625
9 0.328
10 0

Gráfica:

VII-9

EJEMPLO VI1.3 En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en el
VI1.3
apoyo C.

X 1
A B C

6m 4m

Solución.-
Solución.-

Procedimiento:

a) Expresamos la reacción en el apoyo C como una fuerza externa F1 para obtener
el siguiente modelo:

X 1 F
1
A B C

6m 4m


X 1 F
1
A P a A
B 1P
+ B C
C a F
1
11
6m 4m 6m 4m


Podemos plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F = 0
1
Como:
F = −R C
1

Luego: aP1 + a11( −R C ) = 0

aP1
RC =
a11

VII-10

c) Para obtener RC calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
conjugada:
P 1
A a B C
P1
a
11
6m 4m

VIGA CONJUGADA:

X (10-X)
12 8
2 8/3
A' B' C' M
C'

R
R -2X -(10-X) C'
A'
3 -4

Tomando momentos en la articulación B’:

RA’(6) + 12(2) = 0

RA’ = -4

Como RA’ + RC’ + 20 = 0
RC’ = -16

También:

MC’ = RA’(10) + 12(6) + 8(8/3)

MC’ = 53.33

Cálculo de a11:

a11(EI) = MC' = 53.33

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

1 2 X
aP1(EI) = R A ' ( X) + X( X)
2 3 3

1 3
aP1(EI) = −4X + X
9

VII-11

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):

Tomando momentos a la derecha:

1 ( − X)2 ( − X)
10 10
aP1(EI) = MC' + . + R C' ( − X)
10
2 3

( − X) 3
10
aP1(EI) = 53.33 + −16 ( − X)
10
6

d) Para la construcción de RC tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6): X (m) RC
0 0
1  X3  1 -0.073
RC = − 4X + 
53.33 
 9  2 -0.133
3 -0.169
Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10): 4 -0.167
5 -0.115
1  1 3 
RC = 53.33 + 6 ( − X) −16( − X)
10 10 6 0
53.33   7 0.184
8 0.425
9 0.703
10 1

Gráfica:

VII-12

EJEMPLO VI1.4 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento
mostrada
flector en la sección D.

X 1
A B D C

3m 1.5m 1.5m

Solución.-
Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos al punto D en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula
como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como
un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo:

X 1
A B F F
1 1 C

3m 1.5m 1.5m


X 1 a
1P a
A P B 11
D C + A B C
F
1 1 1
3m 1.5m 1.5m 3m 1.5m 1.5m


En función del ángulo entre tangentes en el punto de inflexión D, podemos
plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F1 = 0
Como:
F = MD
1

Luego: aP1 + a11(MD ) = 0
Es decir:
aP1
MD = −
a11

VII-13

c) Para obtener MD calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
conjugada:

X
a
11
A a B
P1 C
1 1
3m 1.5m 1.5m

VIGA CONJUGADA:
1 2
2 2(6-X)
2X 3
3 +
A' D' C'
3 B' 3
R R R
A' D' C'
3 1.5 1.5
X (6-X)
(4.5-X)

Tomando momentos en la articulación B’, a la izquierda:

RA’(3) - 3(1) = 0

RA’ = 1

Tomando momentos en el apoyo C’:

RA’(6) + RD’(1.5) - 3(4) - 3(2) = 0

RD’ = 8

Como RA’ + RD’ + RC’ = 6
RC’ = -3

Cálculo de a11:

a11(EI) = R D' = 8

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

1 2 X
aP1(EI) = R A ' ( X) − X( X)
2 3 3
1 3
aP1(EI) = X − X
9

VII-14

Tramo BD (3 ≤ X ≤ 4.5):


1 2 1
aP1(EI) = (4.5 − X)R D' + (6 − X)R C' − (6 − X) (6 − X) (6 − X)
2 3 3

(6 − X) 3
aP1(EI) = 8(4.5 − X) − 3(6 − X) −
9

Tramo DC (4.5 ≤ X ≤ 6):


(6 − X)3
aP1(EI) = R C ' (6 − X) −
9

(6 − X) 3
aP1(EI) = −3(6 − X) −
9

d) Para la construcción de MD tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):
X (m) MD
1 X3  0 0
MD = −  X − 
8
 9  0.75 -0.088
1.50 -0.141
Tramo BD (3 ≤ X ≤ 4.5): 2.25 -0.123
3.00 0
1 1 3
MD = − 8(4.5 − X) − 3(6 − X) − 9 (6 − X)  3.75 0.252
8  4.50 0.609
5.25 0.287
Tramo DC (4.5 ≤ X ≤ 6):
6.00 0
1 1 
MD = 3(6 − X) + (6 − X) 3 
8
 9 

Gráfica:

VII-15

flector en el apoyo B.

X 1
A B C

3m 3m

Solución.-
Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos al apoyo B en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula
como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como
un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo:

X 1
A F B F
1 1 C

3m 3m


X 1
A P a 1 1 C
B 1P C + A B
a
11 F
1

3m 3m 3m 3m


En función del ángulo entre tangentes en el punto de inflexión B, podemos

a1P + a11F = 0
1

Como:

F = MB
1

VII-16

Luego: aP1 + a11(MB ) = 0
Es decir:
aP1
MB = −
a11

c) Para obtener MB calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
conjugada:
X
1 1 C
A P B
a a
11
P1

3m 3m

VIGA CONJUGADA:
1 1
X +1
X 1(6-X)
3 1.5 + 1.5 3
A' B' C'

3 R 3 R
R B' (6-X) C'
A'

Tomando momentos en la articulación B’, a la izquierda:

RA’(3) – 1.5(1) = 0

RA’ = 0.5

Tomando momentos en la articulación B’, a la derecha:

RC’ = 0.5

Como RA’ + RB’ + RC’ = 3
RB’ = 2

Cálculo de a11:

a11(EI) = R B ' = 2

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

1 1 X
aP1(EI) = R A ' ( X) − X( X)
2 3 3

VII-17

1 3
aP1(EI) = 0.5X − X
18

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):


1 1 1
aP1(EI) = R C' (6 − X) − (6 − X) (6 − X) (6 − X)
2 3 3

(6 − X) 3
aP1(EI) = 0.5(6 − X) −
18

d) Para la construcción de MB tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):
X (m) MB
1 X3  0 0
MB = − 0.5X − 
2 18  0.75 -0.176
1.50 -0.281
Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6): 2.25 -0.246
3.00 0
1 1  3.75 -0.246
MB = − 0.5(6 − X) − (6 − X)3 
2
 18  4.50 -0.281
5.25 -0.176
6.00 0

Gráfica:

VII-18

EJEMPLO VI1.6 En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la
línea
sección E.
X 1
A E B C

1.5m 1.5m 3m

Solución.-
Solución.-

Procedimiento:

a) En la viga liberamos a la sección E de su capacidad de corte para expresarla
como las fuerzas externas F1 y así obtener el siguiente modelo:

X 1
A F
1 B C
F E
1
1.5m 1.5m 3m


a
1 11
a 1
A 1P B P C + A B C
E 1 E F
1
1.5m 1.5m 3m 1.5m 1.5m 3m


En función del desplazamiento entre puntos del corte en E, podemos plantear la
siguiente ecuación:

a1P + a11F = 0
1

Como:

F = VE
1

Luego: aP1 + a11(VE ) = 0

VII-19

Es decir:
aP1
VE = −
a11

c) Para obtener VE calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
conjugada:

1.5
a
A 11 1 B P C
a
P1
1.5
R =1 1 R R
A B C
1.5m 1.5m 3m

VIGA CONJUGADA:
1 1
X M =+3
B

X (6-X)
+
A' B' C'
M E' 4.5 4.5
E'
1.5m 1.5m 3m R
R (6-X) C'
A'

Tomando momentos en la articulación B’, a la derecha:

RC’(3) – 4.5(1) = 0

RC’ = 1.5

Haciendo sumatoria de fuerzas verticales:

RA’ + RC’ = 9

RA’ = 7.5

Tomando momentos en el apoyo C’:

RA’(6) - ME’ – 4.5(4) – 4.5(2) = 0

ME’ = 18

Cálculo de a11:

a11(EI) = ME' = 18

VII-20

Cálculo de aP1:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

1 X
aP1(EI) = R A ' ( X) − X( X)
2 3

1 3
aP1(EI) = 7.5X − X
6

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

X3
aP1(EI) = R A ' ( X) − − ME'
6

X3
aP1(EI) = 7.5X − −18
6

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):


1 (6 − X)2 (6 − X)
aP1(EI) = R C ' (6 − X) −
2 3

1
aP1(EI) = 1.5(6 − X) − (6 − X) 3
6

d) Para la construcción de VE tenemos:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):
X (m) VE
1  X3  0 0
VE = − 7.5X − 
18 
 6  0.75 -0.309
1.50 -0.594/0.406
Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3): 2.25 0.168
3.00 0
1  X3 
3.75 -0.082
VE = − 7.5X − −18
18 
 6 
 4.50 -0.094
5.25 -0.059
Tramo EB (3 ≤ X ≤ 6): 6.00 0
1  1 
VE = − 1.5(6 − X) − (6 − X) 3 
18 
 6 

Gráfica:

VII-21

flector en la sección E.

X 1
A E B C D

1.5m 1.5m 3m 3m

Solución.-
Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de flexión instalando una
rótula como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto
como un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo:

X 1
A F E F
1 1 B C D

1.5m 1.5m 3m 3m


1
a a
A 1P B P C D A 11 B C
+ D
E 1 E 1 F
1
1.5m 1.5m 3m 3m 1.5m 1.5m 3m 3m


En función del ángulo entre tangentes a la deformada en el punto de inflexión E,
podemos plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F = 0
1

Como:

F = ME
1

Luego: aP1 + a11(ME ) = 0

VII-22

Es decir:
aP1
ME = −
a11

c) Para obtener ME calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
conjugada:

a11
A B P C D
aP1
1 1
RA 1.5m E 1.5m 3m 3m

VIGA CONJUGADA:

X M B (6-X)M B M C
MB 3 (9-X)M C
X 3MB 3MC
3 +
+ 3
A' E' D'
B' (X-3)M C C'
R R 3 R
A' E' (X-3) (6-X) (9-X) C'

1.5m 1.5m 3m 3m

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones
estáticas:

∑ FV = 0 : R A ' + R E' + R C' − 3MB − 3MC = 0 (1)
3
∑ MB', izq = 0 : 3R A ' +1.5R E ' − MB = 0 (2)
2
3
∑ MC', der = 0 : 3R C' − MC = 0 (3)
2
∑ MA ' = 0 : 9MB +18MC −1.5R E' − 9R C' = 0 (4)

La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, tomando momentos en la
articulación E a la izquierda:

RA(1.5) –1= 0

RA = 1/1.5

Entonces:
MB = RA (3) = 2 (5)

VII-23

Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene:

R A ' = −2.75 R E' = 7.5 R C' = −0.25 MB = 2 MC = −0.5

Cálculo de a11:

a11(EI) = R E' = 7.5

Cálculo de aP1:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

1 MB X
aP1(EI) = R A ' ( X) − ( .X)X( )
2 3 3

X3
aP1(EI) = −2.75X −
9

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

X3
aP1(EI) = −2.75X − + R E' ( X −1.5)
9

X3
aP1(EI) = −2.75X − + 7.5( X −1.5)
9

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

1 1 2
aP1(EI) = R A ' ( X) + R E ' ( X −1.5) − (3)MB ( X − 2) − MB ( X − 3) ( X − 3)
2 2 3

1 (6 − X)MB 1 1 M ( X − 3)
− ( X − 3) . ( X − 3) − ( X − 3)( X − 3) c
2 3 3 2 3 3

2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3) 3
aP1(EI) = −2.75X + 7.5( X −1.5) − 3( X − 2) − ( X − 3)2 − +
3 9 36

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):


1 (9 − X)Mc 1
aP1(EI) = R C' (9 − X) − (9 − X). . (9 − X)
2 3 3

1 1
aP1(EI) = − (9 − X) + (9 − X) 3
4 36

VII-24

d) Para la construcción de ME tenemos:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

1  1 3
ME = − − 2.75X − 9 X 
7.5  

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

1  X3 
ME = − − 2.75X − + 7.5( X −1.5)
7.5  9 

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

1  2 2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3)3 
ME = − − 2.75X + 7.5( X −1.5) − 3( X − 2) − ( X − 3) − + 
7.5  3 9 36 

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

1  1 1 
ME = − − (9 − X) + (9 − X)3 
7.5  4
 36 

X (m) ME
0 0
0.75 0.281
1.50 0.600
2.25 0.244
3.00 0
3.75 -0.108
4.50 -0.113
5.25 -0.061
6.00 0
6.75 0.033
7.50 0.038
8.25 0.023
9.00 0

Gráfica:

VII-25

EJEMPLO VI1.8 En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la
VI1.8
sección E.

X 1
A E B C D

1.5m 1.5m 3m 3m

Solución.-
Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de corte para expresarla
como las fuerzas externas F1 y así obtener el siguiente modelo:

X 1
A F B C
1 D
F
1 E
1.5m 1.5m 3m 3m


1
a a 1
A 1P B P C D A 11 B C
+ D
E E F
1 1
1.5m 1.5m 3m 3m 1.5m 1.5m 3m 3m


En función del desplazamiento entre los puntos de corte en E de la deformada,

a1P + a11F = 0
1

Como:

F = VE
1

VII-26

Luego: aP1 + a11(VE ) = 0
Es decir:
aP1
VE = −
a11

c) Para obtener VE calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
conjugada:
1.5
1
A a B P C
11 D
E
1 1.5 a
P1
R
A 1.5m 1.5m 3m 3m

VIGA CONJUGADA:

X M B (6-X)M B M C
MB 3 (9-X)M C
X 3MB 3MC
3 +
+ 3
A' E' D'
M B' (X-3)M C C'
E'
R 3 R
A' (X-3) (6-X) (9-X) C'

1.5m 1.5m 3m 3m

estáticas:

∑ FV = 0 : R A ' + R D' − 3MB − 3MC = 0 (1)
1
∑ MB', izq = 0 : 3R A ' − ME' − (3)MB ( ) = 0
1 (2)
2
1
∑ MC', der = 0 : 3R D' − (3)MC (1) = 0 (3)
2
∑ MD',izq = 0 : 9R A ' − ME' − 3MB (6) − 3MC (3) = 0 (4)

La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, con el equilibrio vertical del
tramo AE:

∑ FV = 0 : RA –1= 0 RA =1

Entonces: MB = RA (3) = 3 (5)

VII-27


R A ' = 7.125 R D' = −0.375 ME' = 16.875 MB = 3 MC = −0.75

Cálculo de a11:

a11(EI) = ME' = 16.875

Cálculo de aP1:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

1 MB X
aP1(EI) = R A ' ( X) − ( .X)X( )
2 3 3

X3
aP1(EI) = 7.125X −
6

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

X3
aP1(EI) = 7.125X − − ME'
6

X3
aP1(EI) = 7.125X − −16.875
6

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

1 1 2 1 (6 − X)MB 1
aP1(EI) = R A ' ( X) − ME' − (3)MB ( X − 2) − MB ( X − 3) ( X − 3) − ( X − 3) . ( X − 3)
2 2 3 2 3 3

1 M ( X − 3)
− ( X − 3)( X − 3) c
2 3 3

( X − 3)2 (6 − X) 0.75
aP1(EI) = 7.125X −16.875 − 4.5( X − 2) − ( X − 3)2 − + .( X − 3) 3
6 18

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):


1 (9 − X)Mc 1
aP1(EI) = R D' (9 − X) − (9 − X). . (9 − X)
2 3 3

0.75
aP1(EI) = −0.375(9 − X) + (9 − X) 3
18

VII-28

d) Para la construcción de VE tenemos:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

1  1 3
VE = − 7.125X − 6 X 
16.875  

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

1  X3 
VE = − 7.125X − −16.875
16.875 
 6 


Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

1  2 ( X − 3)2 (6 − X) 0.75 
VE = − 7.125X −16.875 − 4.5( X − 2) − ( X − 3) − + .( X − 3)2 
16.875 
 6 18 


Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

1  0.75 
VE = − − 0.375(9 − X) + (9 − X) 3 
16.875 
 18 

X (m) VE
0 0
0.75 -0.3125
1.50 -0.6/+0.4
2.25 0.1625
3.00 0
3.75 -0.0719
4.50 -0.0750
5.25 -0.0410
6.00 0
6.75 0.0219
7.50 0.0250
8.25 0.0156
9.00 0
Gráfica:

VII-29

VI1.9 línea
flector en la sección E.

X
A B E C D

3m 1.5m 1.5m 3m

Solución.-
Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de flexión instalando una
rótula como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto
como un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo:

X 1
A B F E F C
1 1 D

3m 1.5m 1.5m 3m


1
A a1P P a11
B C D A B C D
+
E 1 E 1 F
1
3m 1.5m 1.5m 3m 3m 1.5m 1.5m 3m


En función del ángulo entre tangentes a la deformada en el punto de inflexión E,

a1P + a11F = 0
1

Como:

F = ME
1

VII-30

Luego: aP1 + a11(ME ) = 0
Es decir:
aP1
ME = −
a11

c) Para obtener ME calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
conjugada:

A a11
P B C D
a 1 E 1
P1
3m 1.5m 1.5m 3m

VIGA CONJUGADA:
MB
X MB 2
MC MC
MB 3MB (9-X)M C
X 2
3 + 3
+ 3MC
A' D'
B' E' C'
(6-X)MB
R R E' R
A' 3
(X-3)MC C'
3
(X-3) (6-X) (9-X)
3m 1.5m 1.5m 3m

estáticas:

∑ FV = 0 : R A ' + R E' + R D' − 3MB − 3MC = 0 (1)
3
∑ MB', izq = 0 : 3R A ' − MB = 0 (2)
2
3
∑ MC', der = 0 : 3R D' − MC = 0 (3)
2
∑ MA ' = 0 : 9MB +18MC − 4.5R E ' − 9R D' = 0 (4)

La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, conociendo que el
momento en ambos lados de la rótula E es 1. Con el diagrama de momentos se
tiene:
MB MC
+ =1
2 2

Es decir:
MB + MC = 2 (5)

VII-31


R A ' = 0.5 R E' = 5 R D' = 0.5 MB = 1 MC = 1

Cálculo de a11:

a11(EI) = R E' = 5

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

1 MB X
aP1(EI) = R A ' ( X) − ( .X)X( )
2 3 3

X3
aP1(EI) = 0.5X −
18

Tramo BE (3 ≤ X ≤ 4.5):

1 1 2 1 (6 − X)MB 1
aP1(EI) = R A ' ( X) − (3)MB ( X − 2) − MB ( X − 3) ( X − 3) − ( X − 3) . ( X − 3)
2 2 3 2 3 3

1 M ( X − 3)
− ( X − 3)( X − 3) c
2 3 3

( X − 3)2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3) 3
aP1(EI) = 0.5X −1.5( X − 2) − − −
3 18 18

Tramo EC (4.5 ≤ X ≤ 6):

( X − 3)2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3) 3
aP1(EI) = 0.5X −1.5( X − 2) − − − + R E' ( X − 4.5)
3 18 18

( X − 3)2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3) 3
aP1(EI) = 0.5X −1.5( X − 2) − − − + 5( X − 4.5)
3 18 18

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):


1 (9 − X)Mc 1
aP1(EI) = R D' (9 − X) − (9 − X). . (9 − X)
2 3 3

(9 − X) 3
aP1(EI) = 0.5(9 − X) −
18

VII-32

d) Para la construcción de ME tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

1 1 3
ME = − 0.5X − 18 X 
5 

Tramo BE (3 ≤ X ≤ 4.5):

1 ( X − 3)2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3) 3 
ME = − 0.5X −1.5( X − 2) − − − 
5 3 18 18 

Tramo EC (4.5 ≤ X ≤ 6):

1 ( X − 3)2 ( X − 3)2 (6 − X) ( X − 3) 3 
ME = − 0.5X −1.5( X − 2) − − − + 5( X − 4.5)
5 3 18 18 

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

1 (9 − X) 3 
ME = − 0.5(9 − X) − 
5 18 

X (m) ME
0 0
0.75 -0.0703
1.50 -0.1125
2.25 -0.0984
3.00 0
3.75 0.2063
4.50 0.5250
5.25 0.2063
6.00 0
6.75 -0.0984
7.50 -0.1125
8.25 -0.0703
9.00 0

Gráfica:

VII-33

EJEMPLO VI1.10 En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en
VI1.10
el apoyo A .

X 1
A B

6m

Solución.-
Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos la reacción A en la viga y la expresamos como una fuerza externa F1
para obtener el siguiente modelo:

X 1
A B

F
1 6m


X 1
A A B
B
+ F
a1P P a11 1
1
6m 6m


En razón a que no existe desplazamiento vertical en el apoyo A, podemos

a1P + a11F = 0
1

Como:

F = −R A
1

VII-34

Luego: aP1 + a11( −R A ) = 0
Es decir:
aP1
RA =
a11

c) Para obtener RA calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
conjugada:
A B
MA P
MB
aP1
a11 1
6m

VIGA CONJUGADA:
(6-X)M A
MA MB MB
6 X
MA' 6
+ +

3MA 3MB
A' B'
X (6-X)
6m

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes ecuaciones
estáticas:

∑ FV = 0 : −3MA − 3MB = 0 (1)
∑ MB' = 0 : MA ' − 3MA ( 4) − 3MB (2) = 0 (2)

La tercera ecuación la obtenemos de la viga superior:

∑ MB = 0 : MA −1(6) − MB = 0 (3)

Resolviendo las tres ecuaciones se obtiene:

MA = 3 MB = −3 MA ' = 18

Cálculo de a11:

a11(EI) = MA ' = 18

VII-35

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

1 2X 1 M X 1 M X
aP1(EI) = MA ' − MA ( X)( ) − X(6 − X) A ( ) − X( B .X)( )
2 3 2 6 3 2 6 3

X 2 (6 − X) X 3
aP1(EI) = 18 X − X 2 − +
12 12

d) Para la construcción de RA tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

1  2 X 2 (6 − X) X 3 
RA =  −X −
18 + 
18  12 12 


X (m) RA
0 0
0.50 0.9803
1.00 0.9259
1.50 0.8438
2.00 0.7407
2.50 0.6238
3.00 0.5000
3.50 0.3761
4.00 0.2592
4.50 0.1562
5.00 0.0741
5.50 0.0197
6.00 0

Gráfica:

VII-36

VI1.11
flector en el apoyo A .

X 1
A B

6m

Solución.-
Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos el momento flector en el apoyo A y lo expresamos como una fuerza
externa F1 para obtener el siguiente modelo:

X 1
F
1 A B

6m


X 1
A P B A B
a1P + 1 F
a11 1

6m 6m


En razón que en A el giro es nulo, podemos plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F1 = 0

Como:

F = MA
1

VII-37

Luego: aP1 + a11(MA ) = 0
Es decir:
aP1
MA = −
a11

c) Para obtener MA calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
conjugada:

1 A aP1 B
a11

6m

VIGA CONJUGADA:

(6-X)
1 6 MB MB
X
6
+ +
A' B'
3 3MB
R
A'
X (6-X)
6m

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes ecuaciones
estáticas:

∑ FV = 0 : R A ' − 3 − 3MB = 0 (1)
∑ MA ' = 0 : 3(2) + 3MB (4) = 0 (2)

Resolviendo ambas ecuaciones se obtiene:

MB = −0.5 R A ' = 1.5

Cálculo de a11:

a11(EI) = R A ' = 1.5

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

1 2X 1 6 − X X 1 M X
aP1(EI) = R A ' ( X) − (1)( X)( ) − X.( )( ) − X( B .X)( )
2 3 2 6 3 2 6 3

VII-38

X 2 X 2 (6 − X) X 3
aP1(EI) = 1.5X − − +
3 36 72

d) Para la construcción de MA tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

1  X 2 X 2 (6 − X) X 3 
MA = −  .5X −
1 − + 
1.5  3 36 72 


X (m) MA
0 0
0.50 -0.4201
1.00 -0.6944
1.50 -0.8438
2.00 -0.8889
2.50 -0.8507
3.00 -0.7500
3.50 -0.6076
4.00 -0.4444
4.50 -0.2812
5.00 -0.1389
5.50 -0.0382
6.00 0

Gráfica:

Puentes LRFD - Ing Arturo Rodríguez

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