El documento presenta una guía para el aprendizaje sobre proporcionalidad inversa. Explica el concepto a través de un ejemplo sobre el tiempo que demora Sebastián en ir al colegio caminando o en bicicleta. Luego introduce la idea de que cuando dos variables son inversamente proporcionales, su producto es constante. Finalmente, muestra que la relación inversa se representa gráficamente mediante una hipérbola. Incluye ejercicios para practicar el tema.

1. Trinity School Eruditio et Religio
“GUIA PARA EL APRENDIZAJE Nº 4”
Nombre: Fecha: / /
Curso: 1° Medio Profesora: Miss Karina E. Morales Carrasco Unidad: Variaciones Proporcionales
Objetivo:
 Representar situaciones de proporcionalidad inversa a través de diversos registros: tablas de valores,
gráficos, fórmulas.
 Resolver problemas de proporcionalidad inversa
 Relacionar la proporcionalidad inversa con un producto constante
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Sebastián vive en el campo y la mayoría de los días se va al colegio caminando.
El camina con una rapidez promedio de 50 metros por minutos (50 m/min)y
demora en llegar a su colegio 30 minutos.
Otros días va en su bicicleta con una rapidez de 150 m/min. ¿Cuánto demora en
estos días?
Cuando va en bicicleta logra una rapidez que es igual al triple de la que tiene
cuando camina, por tanto esperamos que demore la tercera parte del tiempo, es
decir, 10 minutos. En otras palabras, para demorarse menos tiempo debe ir a
mayor velocidad.
Para demorar solo 5 minutos en llenar al colegio, ¿con qué rapidez tendría que ir
en bicicleta?
Como 5 minutos es la mitad de lo que demora cuando va en bicicleta, su rapidez tendría que ser igual al
doble de esta velocidad, esto es,
������
2 · 150 = 300
������������������
La tabla de valores que relaciona las variables “rapidez” y “tiempo” en esta situación es la siguiente:
Algo importante que se desprende de esta tabla es que, mientras la rapidez aumento, el tiempo disminuye, y
viceversa. Debido a esto se dice que hay una relación inversa entre estas dos variables.
Cuando dos variables están relacionadas de esta manera, y mientras una aumenta en una razón la otra
disminuye en la misma razón, decimos que son inversamente proporcionales.
En Resumen:
A y N son inversamente proporcionales si la razón entre dos valores de A es igual a la razón inversa de los
correspondientes valores de B
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PRODUCTO CONSTANTE
Ahora respondamos una pregunta que surge en el contexto de la situación referida a Sebastián y su traslado al
colegio. ¿Qué distancia recorre Sebastián todos los días para ir desde su casa al colegio?
Podemos responder esta pregunta tomando cualquiera de las filas de las tablas de valores, Por ejemplo, si
caminando 50 m/min demora 30 min, entonces la distancia recorrida es igual a 50·30=1.500 m. Lo mismo
obtenemos si consideramos que a 300 m/min se puede recorrer el camino en 5 minutos: 300·5= 1.500 m.
De este modo, así como encontramos que en el caso de magnitudes directamente proporcionales, los
cocientes entre los correspondientes valores de las variables era una cantidad constante, aquí observamos que
lo que se mantiene constante es el producto de estos valores.
En este caso el producto corresponde a la distancia entre la
casa y el colegio de Sebastián.
Si representamos por R la rapidez con la que se recorre el
camino y por T el tiempo en que se recorre, la fórmula que
describe la situación es: ������ · ������ = ������. ������������������, o equivalente,
1500
������ =
������
En Resumen:
Si dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales, la relación entre ellas se describe mediante
������ · ������ = ������, donde K es cierto valor fijo llamado constante de proporcionalidad. En nuestro ejemplo
k = 1.500.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Considerando el ejemplo anterior y agregando algunos pares de valores a la tabla, obtenemos lo siguiente:
Si agregaron tres parejas de valores
para visualizar mejor la relación entre
las variables en un gráfico. Observa
que estas parejas agregada mantienen la
condición de que se producto es igual a
1.500
¿Qué tipo de variables estamos
representado en el gráfico?
La curva que representa esta situación es una línea llamada hipérbola. Ella nos permite visualizar el hecho
de que a mayor rapidez (R), disminuye los correspondientes valores del tiempo (T) y viceversa.
El valor de la constante de proporcionalidad (K= 1.500) se obtiene multiplicando cualquier pareja de valores
de R y T.
En Resumen:
Si X e Y son dos Variables inversamente proporcionales, cuya relación queda representada por
������ · ������ = ������, donde K es la constante de proporcionalidad, el gráfico correspondiente a esta relación es una
curva llamada hipérbola.
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EJERCICIOS
1- Estudia las siguientes tablas de valores y determina si hay proporcionalidad directa
2- Dos ciclistas demoran 4 horas en llegar a la playa viajando con una rapidez de 3º km por hora.¿ Con
que rapidez tendrían que viajar para demorar 3 horas?
3- Un rectángulo tiene un ancho de 8 cm y largo de 12 cm. ¿Qué ocurre con el ancho si su largo aumenta
a 16 cm y su área permanece constante?
4- Determina los valores de A y B si se sabe que las variables X e Y son
inversamente proporcionales.
5- 10 obreros construyen una casa en 6 meses ¿ Cuanto tiempo demoran en construir una casa similar
con 15 obreros igualmente calificados y trabajando en las mismas condiciones?
6- La fuerza de la atracción entre 2 imanes varia de forma inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia entre ellos. ¿Cuándo los imanes están separados por 2cm, la fuerza de la atracción es 18
newton. ¿ Que distancia de separarlos para que la fuerza de la atracción sea de 2 newton?.
7- 25 talares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. ¿Cuántas horas demoran 60 telares iguales en
producir la misma cantidad de tela?
8- Si Z es inversamente proporcional al cuadrado de T, completa en tu cuaderno
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9- Determina si en las siguientes situaciones intervienen magnitudes directamente proporcionales,
inversamente proporcionales o ningún de ellas
a) El número de dulces del mismo tipo que compro y lo pago por ellos. ______________________
b) El caudal de una llave y el tiempo que demora en llenar el estanque._____________________
c) La edad y el peso de una persona._________________________
d) L velocidad de un auto y el tiempo que se demora en recorrer un camino.__________________
e) e)Los días que me quedo en un hotel y la cuenta del hospedaje que pago___________________
f) F) El costo del kilo del pan y la cantidad de pan que compra las personas.__________________
10- Escribe una expresión algebraica, Usando K como constante, que conecte las variables que se indican.
a) P es inversamente proporcional a Q.
b) X es inversamente proporcional al cuadrado de T.
c) M es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de N.
11- B es inversamente proporcional a E. Si B =A cuando E= 6, Calcula.
a) El valor de B cuando E= 16
b) El valor de E cuando B=4
12- Se deben envasar 2.00 litros de agua mineral y esto se puede hacer con distintos tipos de botellas. Por
ejemplo, se podrían usar botellas de 1 litro, para lo cual se necesitarían 2.000 botellas.
a) Completa la tabla siguiente con distintas posibilidades de botellas.
b) Elabora un grafico para esta situación. Ubica en el eje horizontal los valores de la variable “capacidad
de las botellas” y en el eje vertical, los valores de la variable “numero de botellas”
c) ¿Son inversamente proporcionales estas variables? Justifica tu respuesta.
d) ¿Qué ocurrirá si quisiéramos utilizar botellas de tres litros para envasar el agua mineral?
e) ¿Qué tipo de variables son las involucradas en esta situación?
13- Comprueba si los siguientes tríos de números son inversamente proporcionales.
a- A B A B A B
16 3 4 10 12 2
12 4 2 20 8 2
8 6 8 4 6 4
A B
4 8
24 48
36 72
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14- Calcula el valor de A y B en los siguientes tríos de números, sabiendo que son inversamente
proporcionales.
a- A B
a 12
8 3
6 b
b- A B
4 b
6 12
a 4
c- A B
9 81
a 7
3 b
d-
A B
10 b
20 12
a 24
15- Si P varía proporcionalmente al inverso de Q, completa los siguientes recuadros de la tabla.
a-
P 16 4
Q 5 10 8
b- P ������������ 4
������
Q 12 8 2,4
c- P 14 ������ 5
������
Q 100 25
d- P 15 ������������
������
Q 8 20 10,5
2
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16- 36 jóvenes andinistas tienen agua para 20 días. Si faltan 6 de ellos, el agua les alcanzara para 24 días.
En esta situación,
a- ¿Están las variables en proporcionalidad inversa? ¿por qué?
b- Si las variables son inversamente proporcionales, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
c- ¿cuál es la grafica que representa esta situación? Dibújala.
17- Las variables a y b son magnitudes inversamente proporcionales. Si a = 45 cuando b = 3, ¿ cual es el
valor de a, cuando b = 5 ?
18- Determina en cada caso si las magnitudes involucradas son inversamente proporcionales. Justifica.
a- Velocidad de un auto y el tiempo que demora en recorre un camino._________________________
b- Cantidad de integrantes de un grupo y tiempo que demoran en realizar un trabajo______________
c- Gasto de bencina de un auto y kilómetros recorridos.___________________________________
d- Cierta cantidad de obreros trabajando y el tiempo que demoran en realizar un determinado
trabajo._____________________
e- La cantidad de comida para perros y el número de números._________________________________
f- Ingreso per cápita y número de integrantes del grupo familiar._______________________________
g- Longitud de los lados de un triangulo equilátero y su perímetro .______________________________
19- Resuelve los siguientes problemas.
a- Con mi dinero puedo comprar 25 dulces a $ 30 cada uno. Si suben a $ 35, ¿cuánto podre comprar?
b- Si 50 telares producen cierta cantidad de tela en 240 horas. ¿Cuántas horas demoran 120 telares
iguales en producir la misma cantidad de tela?
c- Dos ruedas dentadas están engranadas. Tienen 12 y 24 dientes respectivamente. ¿Cuántas vueltas
habrá dado la segunda, cuando la primera ha dado 144 vueltas?
d- Un padre desea repartir $ 180.000 entre sus dos hijos, en forma inversamente proporcionalmente
proporcional a las edades, que son 14 y 6 años respectivamente. ¿Cuánto dinero le corresponde a
cada uno?
e- En 6 días, dos personas hacen un trabajo. ¿Cuántos días demoran 3 personas en realizar el mismo
trabajo?
f- Una casa se pinta en 20 días con 40 hombres. ¿Cuántos hombres se necesitarían si se quiere pintar en
80 días?
g- En los piques de clasificación, el auto líder demoró 2,5 minutos en dar una vuelta a la pista a 250
km/h. Si el segundo auto demoró 2,8 minutos, ¿a qué velocidad promedio dio la vuelta a la pista?
h- Una travesía en velero por la bahía demora 50 minutos, a 80 km/h. Si por problemas viento y
marejadas no se puede desarrollar más que una velocidad de 50 Km/h, ¿cuánto tiempo se empleará en
atravesarla?
i- A una velocidad de 80 km/h, un auto se demora 6 horas en recorrer cierta distancia. Si la velocidad
fuera de 100 km/h, ¿cuánto tiempo demoraría en recorrer la misma distancia?
j- Un rectángulo cuyo ancho mide 8 cm y su largo 12 cm, tiene un área de 96 cm 2. ¿Qué ocurre con el
ancho si su largo aumenta a 16 cm y su área permanece constante?
k- Dos ciclistas demoran 4 horas en llegar a la playa viajando con una rapidez de 30 km/h. ¿A qué
rapidez deberán viajar para demorar 3 horas?
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20- Un acuario se puede llenar vaciando 12 bidones de 15 litros cada uno, por lo que con bidones de 5
litros se deben ocupar 36 bidones, para el mismo fin.
a) Completa la siguiente gráfica, indicando el tipo de proporción que representa la situación.
b) Utilizando la gráfica anterior, ¿cuántos bidones de 30 litros necesitó para llenar el acuario? ¡Y
bidones de 6 L? ¿y de 20 L?
c) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad?
21- Un curso está preparando un paseo de fin de año, la única información que manejan es que si el bus
va a 100 km/h, se demoran 5 horas en llegar a destino.
a) ¿Cuál es el tipo de proporción entre las variables?
b) ¿A qué distancia se encuentran del destino del paseo?
c) ¿A qué velocidad debe ir el bus para demorarse 8 horas en llegar?
d) Si el bus fuese a 90 km/h, ¿cuánto tiempo tardarían en llegar a destino?
e) Si la velocidad promedio de una persona al caminar es de 5 km/h, ¿cuánto demoraría una
persona en realizar el mismo viaje?
f) Realiza una tabla de datos y gráfica que representen la situación anterior.
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