Este documento trata sobre las razones, proporciones y porcentajes. Explica que las razones son comparaciones entre dos cantidades mediante un cociente. Las proporciones establecen equivalencias entre dos razones. Se distinguen las proporcionalidades directa e inversa. Finalmente, introduce el concepto de porcentaje como una forma de dividir una cantidad en 100 partes iguales.

1. RAZONES Y PROPORCIONES
y PORCENTAJES
Matemática – 3ro.TT – Colegio Pcial. Nº 10 – La Rioja
Prof. Julieta Ivana Rios

2. RAZÓN
PROPORCION
DIRECTA INVERSA COMPUESTA
PORCENTAJE

3. Las razones y
proporciones son una
manera de encontrar
relaciones entre cantidades
que aumentan o disminuyen
¿Qué son las
razones y
proporciones?
Por ejemplo
La cantidad de dinero que se
paga por la compra de un kilo
de pescado irá aumentando o
disminuyendo en la medida que
aumente o disminuya la
cantidad de kilos de pescado a
comprar
http://blogs.educared.org/red-pronino/iean/files/2009/06/dsc00259.jpg

4. RAZÓN
Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidades por medio
del cociente entre ellas
Se puede escribir como
a:b Se lee " a es a bk
b
a
=
ó
Antecedente
Consecuenteb
a

5. APLICACIONES
En lenguaje de
cartografía la razón se
conoce como escala.
Si un mapa está a
escala 1:1000, ¿Qué
significa?
Cualquier distancia
(digamos 1cm) en el
mapa, representa 1000
cm en la vida real es
decir 10m.
http://galerias.educ.ar/d/13259-2/13_la_rioja_demografico_i.jpg

6. Los demógrafos, que son los
que estudian la evolución de
las poblaciones establecen que
la razón de natalidad anual es
de
Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen
al año 17 bebés.
APLICACIONES
http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?c=ar&v=25&l=es
17
-----
1000
Country 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Argentina 18,59 18,41 18,23 17,47 17,19 16,9 16,73 16,53 18,11 17,94 17,75 17,54 17,34

7. La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos,
como densidad poblacional.
Por ejemplo, se sabe que la población de la
Provincia de La Rioja es de 331.847
personas, y también se sabe que la
superficie es de 89.68 kilómetros
cuadrados
Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la
densidad poblacional es de:
habitantes por kilómetro cuadrado
¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!
APLICACIONES
331.847 hab = 3,7
89.680 km2
http://maps.google.com.ar/maps?psj=1&bav=on.2,or.r_qf.&bvm=bv.45960087,d.eWU&biw=1280&bih=698&q=superficie+de+la+rioja+argentina&um=1&ie=UTF-
8&hq=&hnear=0x942805ffc2fdfc9b:0xb7c177a5045d7360,La+Rioja&gl=ar&sa=X&ei=HZaFUb2DOMrE0QHziYHgDA&ved=0CJwBELYD

8. PROPORCIONES
Se llama proporción a la equivalencia entre dos
razones
d
c
b
a
=
Se escribe
o a : b = c: d Se lee “a es a b como c es a d”
En toda proporción:
d
c
b
a
=
Extremos
Medios

9. OBSERVACIÓN
El producto de los medios es igual a los extremos.
d
c
b
a
=
Dada la proporción:
Se cumple:
cbda ⋅=⋅
http://2.bp.blogspot.com/_RCPO8GwnXgU/TOPnovQILeI/AAAAAAAAAAM/pVeOZhI4WR0/s1600/Dibujo+pro.bmp

10. PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos o más cantidades a y b son directamente
proporcionales cuando su cociente es constante.

11. Observación
 Dos cantidades se dicen que son directamente
proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra
también aumenta.
 Dos cantidades se dicen que son directamente
proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra
también disminuye.
Ejemplo:
Mas horas de trabajo mas producción

12. EJEMPLO
En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas.
¿Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la receta
para 20 personas?
20
123
=
x
Se tiene:
Huevos Personas
3 12
x 20
Formando la proporción
Multiplicando cruzado x⋅=⋅ 12203
x=5 Por lo tanto, se necesitan 5 huevos para 20 personas
Resolviendo para x, se tiene que:

13. EJEMPLO
Un vehículo recorre 150 m en 5 seg. Si no varía su
velocidad, ¿que distancia puede recorrer en un
minuto y medio?
http://3.bp.blogspot.com/_IfrgG0tmy7s/TKyZ4Tmb42I/AAAAAAAABPw/f5Hhg1kH3Vg/s1600/a%C3%B1quiler_vehiculos_baratos_online.jpg

14. Dos o más cantidades son inversamente
proporcionales si los productos que se obtienen al
multiplicar los términos de cada una de las razones
son constantes.
PROPORCIONALIDAD INVERSA

15. El número de obreros y el tiempo para
realizar una obra
Observación
 Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y
solo si al aumentar una de ellas la otra disminuye.
 Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y
solo si al disminuir una de ellas la otra aumenta.
Ejemplo:

16. EJEMPLO
En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión
de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En
cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?
x
20
400
300
=
Se tiene:
Gallinas Días
300 20
400 x
Formando la
proporción
Multiplicando cruzado x⋅=⋅ 40020300
15=x Por lo tanto, en 15 días comerán la misma cantidad de granos
Resolviendo para x, se tiene que:
Se invierte la
segunda razón
20400
300 x
=

17. Ejemplo
Un depósito de agua se
llena en 2.25 horas
empleando cinco llaves
de agua de igual
diámetro. ¿En cuánto
tiempo se llenará, si se
utilizan tres llaves?
http://ar.selecciones.com/upload/contents/secondaryImage_522.jpg

18. Ejemplo de Proporcionalidad
1. El número de leñadores y el número de árboles que pueden
cortar es una proporción...
2. La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un
viaje es...
3. La cantidad de cigarrillos que fumo y lo que gasto fumando es...
4. El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar
es...
5. El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una
casa es...

19. PORCENTAJE
http://alserv.files.wordpress.com/2012/01/ejemplocircular.gif

20. Introducción
Para calcular un porcentaje, se divide el
entero en 100 partes iguales y se toma de
ella la cantidad requerida. Si una cantidad se
divide en 100 partes iguales y se toma 25 de
ellas, se está considerando el 25 % de la
cantidad.

21. Ejemplo
Si se dice que el 39,9 % de los
alumnos de este colegio son mujeres,
se está diciendo que de cada 100
alumnos aproximadamente 40 son
mujeres y 60 son varones.
http://1.bp.blogspot.com/_LogsScmKPwM/TI_vydj-nkI/AAAAAAAAACg/kZT_AfVl7y0/s1600/OK-graficas-facilitadores.gif

22. CÁLCULO DE PORCENTAJE
Para trabajar con tantos por cientos, se
procede de igual manera que en las
proporciones directas

23. Ejemplo
Calcular el 32 % de 459.
La proporción que se debe formar es:

24. Ejemplo
¿Qué porcentaje es 142 de 568?
Solución:
La proporción que se debe formar es:

25. Ejemplo
De qué cantidad es 96 el 12%?
Solución:
La proporción que se debe formar es: