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Matemática Aplicada 2013
Ing. Silvana Edith Lazarte
FUNCIONES
Dados dos conjuntos: A y B
Se llama FUNCIÓN de A en B a una correspondencia tal que a cada
elemento de A le corresponde un único elemento del conjunto B

xA

yB

variable independiente

variable dependiente

f
A

x
xx

B

y=f(x)
y=f(x)

Cuando A y B son subconjuntos de los números reales se dice que las
funciones son ESCALARES o NUMÉRICAS
Identifiquemos las funciones:
A

B

a)

A

B

b)

B

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c)

a) No es función porque a un elemento de A le pertenecen dos elementos
del conjunto B
b) Es función porque a cada uno de los elementos de A le corresponde un
elemento de B
c) Es función porque a cada uno de los elementos de A le corresponde el
elemento de B
Formas de expresar una función:

Imagen de cuadernillo de Ingreso UTN FRT 2011
Dominio de f: Dom f
Conjunto de valores que toma la variable independiente
Rango de f: Rgo f
Conjunto de valores que toma la variable dependiente
Ejemplos:
A

B

f
1
2
3
4

m
n
p
q

g

A
s
t
u

Dom f={ 1,2,3,4}

Dom f={ s,t,u,}

Rgo f={ m,n,p,q}

Rgo f={ r}

B

r
Fórmulas:
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y= f(x)

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Notación de Conjuntos:
Por numeración o extensión
Se enumeran Todos los pares de
valores relacionados por medio de la
función.

Ejemplo: f={(1,2);(2,4);(3,6);(4,8)}

Por Propiedad o Comprensión:
Se indica con una fórmula la propiedad
que cumplen los pares (x,y)
Ejemplo: f={(x,y)/y=2x}

Funciones dadas por tablas:
Se utilizan cuando los datos son pocos porque las tablas pueden ser muy extensas
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Diagrama de Venn:
Es posible utilizar esta forma de
representación cuando los valores son
pocos

En un sistema de ejes cartesianos:

En el eje horizontal van los valores
posibles
de
la
variable
independiente y en el eje de las
ordenadas
va
el
valor
de
y=f(x).Obtenemos un punto en el
plano
Ejemplo: Ganancias de una empresa en función del precio del producto que
comercializa

Imágenes de cuadernillo de Ingreso UTN FRT 2011
Intersección con los ejes coordenados
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las ordenadas:
Es el punto Q(0,y).
Puede existir o no existir;
es el valor de y
que satisface la condición f(0)

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A los valores de x que satisfacen esta condición se los denomina ceros de la
función x=a es un cero de f si y solo si f(a)=0
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 Una función se dice creciente en el intervalo (a,b) si se
cumple que:
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f(x1)<f(x2) para todo x1, x2 a,b)
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x1<x2 
f(x1)>f(x2) para todo x1, x2 a,b)
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función es decreciente en el intervalo (o,)

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Una función f alcanza un máximo absoluto en el punto a del dominio si
para todo x perteneciente al dominio, xa, entonces la imagen de x es
menor que la de a.
Simbólicamente:
x  Domf , xa , f(x)<f(a)
Una función f alcanza un mínimo absoluto en el punto a si para todo
x perteneciente al dominio, xa, la imagen de x es mayor que la de a.
Simbólicamente:
x  Domf , xa , f(x)>f(a)
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Respuestas:
a) La función de la gráfica no alcanza máximo ni mínimo
absoluto ya que no existe un valor del dominio que
cumpla la definición
b) La función sólo alcanza mínimo absoluto en x=0, ya
que f(0)<f(x), x  Domf
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Diapositivas funciones 1

  • 1. Matemática Aplicada 2013 Ing. Silvana Edith Lazarte
  • 2. FUNCIONES Dados dos conjuntos: A y B Se llama FUNCIÓN de A en B a una correspondencia tal que a cada elemento de A le corresponde un único elemento del conjunto B xA yB variable independiente variable dependiente f A x xx B y=f(x) y=f(x) Cuando A y B son subconjuntos de los números reales se dice que las funciones son ESCALARES o NUMÉRICAS
  • 3. Identifiquemos las funciones: A B a) A B b) B A c) a) No es función porque a un elemento de A le pertenecen dos elementos del conjunto B b) Es función porque a cada uno de los elementos de A le corresponde un elemento de B c) Es función porque a cada uno de los elementos de A le corresponde el elemento de B
  • 4. Formas de expresar una función: Imagen de cuadernillo de Ingreso UTN FRT 2011
  • 5. Dominio de f: Dom f Conjunto de valores que toma la variable independiente Rango de f: Rgo f Conjunto de valores que toma la variable dependiente Ejemplos: A B f 1 2 3 4 m n p q g A s t u Dom f={ 1,2,3,4} Dom f={ s,t,u,} Rgo f={ m,n,p,q} Rgo f={ r} B r
  • 6. Fórmulas: Forma explícita: Cuando tiene la forma Forma implícita: Cuando tiene la forma y= f(x) F(x,y)=0 Ejemplo: y=2x Ejemplo: 3x+y-5=0 Notación de Conjuntos: Por numeración o extensión Se enumeran Todos los pares de valores relacionados por medio de la función. Ejemplo: f={(1,2);(2,4);(3,6);(4,8)} Por Propiedad o Comprensión: Se indica con una fórmula la propiedad que cumplen los pares (x,y) Ejemplo: f={(x,y)/y=2x} Funciones dadas por tablas: Se utilizan cuando los datos son pocos porque las tablas pueden ser muy extensas y difíciles de manejar
  • 7. Formas Gráficas: Diagrama de Venn: Es posible utilizar esta forma de representación cuando los valores son pocos En un sistema de ejes cartesianos: En el eje horizontal van los valores posibles de la variable independiente y en el eje de las ordenadas va el valor de y=f(x).Obtenemos un punto en el plano Ejemplo: Ganancias de una empresa en función del precio del producto que comercializa Imágenes de cuadernillo de Ingreso UTN FRT 2011
  • 8. Intersección con los ejes coordenados Intersección con el eje de las ordenadas: Es el punto Q(0,y). Puede existir o no existir; es el valor de y que satisface la condición f(0) Intersección con el eje de las abscisas: Son los puntos de la forma P(x,0). Pueden no existir. A los valores de x que satisfacen esta condición se los denomina ceros de la función x=a es un cero de f si y solo si f(a)=0
  • 9. Ceros de una función
  • 10. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento de una función  Una función se dice creciente en el intervalo (a,b) si se cumple que: x1<x2  f(x1)<f(x2) para todo x1, x2 a,b)  Una función se dice decreciente en el intervalo (a,b) si se cumple que: x1<x2  f(x1)>f(x2) para todo x1, x2 a,b)
  • 11. Ejemplos de Funciones Crecientes y Decrecientes La siguiente gráfica representa la tasa de crecimiento de una población determinada. Vemos que es una función creciente Gráfica realizada con Graphmática
  • 12. Ejemplos de Funciones Crecientes y Decrecientes La gráfica representa la demanda de un producto en función del precio. Esta función es decreciente en el intervalo (o,) Gráfica realizada con Graphmática
  • 13. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hasta el punto 0,83 la función es creciente y el mínimo valor es 3. Desde 0,83 en adelante la función es decreciente
  • 14. Máximos y Mínimos Absolutos Una función f alcanza un máximo absoluto en el punto a del dominio si para todo x perteneciente al dominio, xa, entonces la imagen de x es menor que la de a. Simbólicamente: x  Domf , xa , f(x)<f(a) Una función f alcanza un mínimo absoluto en el punto a si para todo x perteneciente al dominio, xa, la imagen de x es mayor que la de a. Simbólicamente: x  Domf , xa , f(x)>f(a)
  • 15. Ejercicios: Determinar máximos y mínimos absolutos
  • 16. Respuestas: a) La función de la gráfica no alcanza máximo ni mínimo absoluto ya que no existe un valor del dominio que cumpla la definición b) La función sólo alcanza mínimo absoluto en x=0, ya que f(0)<f(x), x  Domf c) Sólo posee máximo absoluto en x=2 , ya que f(x)<f(2) ,  x  Dom f d) Sólo posee mínimo absoluto en x=1 , ya que f(1)<f(x) ,  x  dom f