Este capítulo presenta conceptos básicos de álgebra como operaciones con números reales, propiedades de operaciones, fracciones, potencias, raíces y ecuaciones. Se definen adición, multiplicación, sustracción y división. Luego, se explican propiedades como conmutativa, asociativa, elementos neutros y distributiva. Finalmente, se cubren temas de fracciones, potencias, raíces y sus propiedades antes de introducir ecuaciones y resolución de éstas.

1. Capítulo 1
Álgebra básica
1.1 Operaciones con números reales
1.2 Propiedades de las operaciones
1.3 Propiedades de las fracciones
1.4 Potencias y raíces
1.5 Simplificación de expresiones algebraicas
1.6 Resolución de ecuaciones
1.7 Inecuaciones
El material de este capítulo es básico para el estudio del álgebra. Se establecerán las
propiedades y operaciones algebraicas de los números reales, posteriormente
estudiaremos los exponentes y radicales, y el modo de aplicación para simplificar
expresiones algebraicas, finalmente, utilizaremos lo aprendido para la resolución de
ecuaciones e inecuaciones.

2. 1.1 Operaciones con los números reales
En esta sección estableceremos las operaciones algebraicas básicas utilizadas en
el conjunto de los números reales y por consiguiente en cualquier subconjunto de
éste, ya sean los números naturales, los enteros o racionales.
Las operaciones básicas en el conjunto de los números reales son: la adición y la
multiplicación.
1.1.1 Adición (Regla para la suma)
Consiste en sumar las cantidades representadas por los números reales. En esta
parte enunciaremos la regla para la suma de números de igual signo y de signo
diferente.
a) Si los números poseen el mismo signo, entonces se realiza una suma y al
resultado de esta suma se le asigna el signo que tenían los números. Es
decir, si poseen igual signo, se suman y se conserva el signo.
Veamos algunos ejemplos:
b) Si los números poseen signos diferentes (positivo, negativo o negativo,
positivo), entonces lo que se realiza es una resta y al resultado final se le
asigna el signo de aquel número que sea mayor en valor absoluto. Es decir,
si tienen signos diferentes, se restan y queda con el signo del número
“mayor”.
Ejemplos:

3. 1.1.2 Multiplicación (Regla para la multiplicación)
La multiplicación de números reales consiste en sumar reiteradamente un mismo
valor la cantidad de veces indicada por un segundo valor.
Para realizar multiplicaciones de números con igual o diferente signo, hacemos
uso de la denominada ley de signos:
Se puede resumir estos resultados de la siguiente manera:
a) Si los signos son iguales, el resultado de la multiplicación será un valor
positivo.
b) Si los signos son diferentes, el resultado de la multiplicación será un valor
negativo.
Ahora definiremos las operaciones inversas a la adición y multiplicación.
1.1.3 Sustracción o Resta
Dados dos números reales a y b se define como resta a la siguiente operación:
1.1.4 Cociente o División
Antes de definir la división introduciremos una notación muy importante.
Definición de
Dado un número real a se define

4. La división o el cociente se definen de la siguiente manera:
1.2 Propiedades de las operaciones
Estas dos operaciones básicas de adición y multiplicación presentan las
siguientes propiedades:
1. Propiedad conmutativa
Esta propiedad nos indica que el orden de los términos (cuando es adición) o
factores (cuando es multiplicación), no altera el resultado final. En términos
algebraicos podemos decir que dados dos números reales a y b se tiene que:
Para la adición y multiplicación respectivamente. Esta propiedad no es válida
para las operaciones inversas a la adición (sustracción) y a la multiplicación
(división)
2. Propiedad asociativa
Esta propiedad nos permite agrupar términos o factores para realizar una
simplificación más fácil de la expresión. Algebraicamente hablando dados tres
números reales a, b y c se tiene que:

5. 3. Elementos neutros
Esta propiedad nos garantiza la existencia de un elemento neutro tanto para la
adición como para la multiplicación. Para cualquier número real a se tiene que:
4. Propiedad distributiva
Esta propiedad es importantísima en álgebra, es la que nos permite relacionar las
operaciones de adición y multiplicación. Dados tres números reales a, b y c se
tiene que:
Además haciendo uso de estas dos propiedades distributivas, se obtiene la
siguiente propiedad que será de gran utilidad más adelante:
De esta última propiedad y la noción de potencias, se obtienen las muy
conocidas fórmulas notables.
1.2.1 Fórmulas notables
2. ( PRIMERA FÓRMULA)
3. (SEGUNDA FÓRMULA)
4. (TERCERA FÓRMULA)
1.3 Propiedades de las fracciones (Cocientes)
1. Igualdad de cocientes. Si para los números a, b, c y d; con se
tiene:
Entonces, se realiza una multiplicación en y se obtiene:

6. 2. Suma de cocientes con igual denominador. Para los números a, b y c;
se tiene:
Se conserva el denominador y se suman los numeradores.
3. Suma de cocientes con diferente denominador. Para los números a, b, c y d;
, se tiene que:
4. Multiplicación de cocientes. Para los números a, b, c y d; , se
tiene que:
La multiplicación de fracciones se realiza en línea recta, es decir, numerador por
numerador y denominador por denominador.
5. División de cocientes. Para los números a, b, c y d; , se
tiene que:
Es decir, la división de fracciones consiste en realizar una multiplicación en
(equis)
1.4 Potencias y raíces
Si se tiene un número real a, se utilizará la siguiente notación para expresar el
producto (multiplicación) de n veces a. (n número natural)
Esto significa que la base a es multiplicada por ella misma el número de veces
que indique n.

7. Ejemplos:
a)
b)
c)
Note que para cualquier número .
1.4.1 Leyes de potencias
Dados los números reales y , y los números racionales y . Se cumplen las
siguientes propiedades:
a. Producto de potencias iguales.
b. ( ) Cociente de potencias iguales.
c. Producto de potencias de igual base.
d. Cociente de potencias de igual base.
e.
f. Potencia de una potencia.
Además, para todo número real x diferente de cero, se tiene que:
1.4.2 Raíces y sus propiedades
Las raíces de los números reales se definen de la siguiente manera:
√
Donde n es el índice de la raíz, a es el subradical y toda la expresión √ se
denomina radical.
Se deben de tener siempre presentes las siguientes restricciones:
1. Que a y b no sean ambos negativos y n sea un entero positivo.

8. 2. Los números a y b pueden ser negativos pero n debe ser un entero positivo
impar.
Para aclarar las restricciones anteriores diremos que, NO existen raíces de
números negativos cuando el índice de la raíz es un número par.
Ejemplos de raíces o radicales:
a. √
b. √
c. √
d. √
e. √ Note que en este último ejemplo el
subradical es un número negativo, pero esta raíz sí existe ya que el índice
de la raíz es un número impar.
1.4.2.1 Propiedades de las raíces o radicales
a. √ √ √
√
b. √
√
c. √√ √
Ejemplos:
1. √ √ √
√
2. √
√
3. √ √ √