1. 381
Apéndice A
Desplazamientos de miembros prismáticos
La tabla siguiente proporciona los desplazamientos en vigas de rigidez
constante a la flexión 𝐸𝐼 y rigidez constante a la torsión 𝐺𝐽, sometidas a la
carga que se muestra sobre cada viga. Las direcciones positivas de los
desplazamientos son: hacia abajo para la traslación y en el sentido horario para
la rotación. Se desprecian las deformaciones debidas a las fuerzas normales y
cortantes
Viga Desplazamiento
q por unidad de longitud
𝑓1 =
5
384
𝑞𝑙4
𝐸𝐼
𝑓2 = 𝑓3 =
19
2048
𝑞𝑙4
𝐸𝐼
𝑓
4 = −𝑓5 =
𝑞𝑙3
24𝐸𝐼
𝑓6 =
𝑞𝑥
24𝐸𝐼
(𝑙3
− 2𝑙𝑥2
+ 𝑥3)
𝑓1 =
𝑃(𝑙−𝑏)𝑥
6𝑙𝐸𝐼
(2𝑙𝑏 − 𝑏2
− 𝑥2) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ≤ 𝑏 𝑓1 =
𝑃𝑏(𝑙−𝑥)
6𝑙𝐸𝐼
(2𝑙𝑥 − 𝑏2
−
𝑥2) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ≥ 𝑏
𝑓2 =
𝑃𝑏(𝑙 − 𝑏)
6𝑙𝐸𝐼
(2𝑙 − 𝑏) 𝑓3 =
𝑃𝑏
6𝑙𝐸𝐼
(𝑙2
− 𝑏2)
Cuando 𝑏 =
𝑙
2
, 𝑓2 = −𝑓3 =
𝑃𝑙2
16𝐸𝐼
, 𝑦 𝑓1 =
𝑃𝑙3
48𝐸𝐼
en 𝑥 =
𝑙
2
5. 385
Apéndice B
Fuerzas de extremo empotrado de miembros
prismáticos
La tabla siguiente da las fuerzas de extremo empotrado en vigas de rigidez
constante a la flexión y rigidez constante a la torsión debidas a cargas aplicadas. Las
fuerzas se consideran positivas si son hacia arriba o en dirección horaria. Un par de
torsión es positivo si actúa en la dirección de rotación de un tornillo de rosca derecha
que avanza hacia la derecha. Cuando las fuerzas en los extremos se usan en el
método de desplazamiento, los signos apropiados se deben asignar de acuerdo con el
sistema de coordenadas seleccionado.
Viga
Fuerza de extremo
empotrado
𝐹1 = −𝐹2 =
𝑃𝑙
8
𝐹3 = 𝐹4 =
𝑃
2
𝐹1 =
𝑃𝑎2
𝑏
𝑙2
𝐹2 = −
𝑃𝑎𝑏2
𝑙2
𝐹3 = 𝑃 (
𝑎
𝑙
+
𝑎2
𝑏
𝑙3
−
𝑎𝑏2
𝑙3
)
𝐹4 = 𝑃 (
𝑏
𝑙
−
𝑎2
𝑏
𝑙3
+
𝑎𝑏2
𝑙3
)
7. 387
Viga Fuerzas de extremo
empotrado
𝐹1 = −𝐹2 =
𝑞𝑙2
96
𝐹3 = 𝐹4 =
𝑞𝑙
4
𝐹1 = −𝐹2 =
𝑞𝑙2
15
𝐹3 = 𝐹4 =
𝑞𝑙
3
𝐹1 = −𝐹2 =
𝑞𝑙2
12
𝐹3 = 𝐹4 =
𝑞𝑙
2
𝐹1 = −𝐹2 =
𝐸𝐼𝛼
ℎ
(𝑡2 − 𝑡1)
𝐹3 = −𝐹4 = 𝐸𝐴𝛼𝑡𝑐𝑔
𝑡𝑐𝑔 es la variación de temperatura
en el las fibras del centroide de la
sección
𝛼: coeficiente de expansión
térmica
𝐹1 = −
𝑇𝑎
𝑙
𝐹2 = −
𝑇𝑏
𝑙
𝐹1
𝐹4
𝐹3
𝑡2
𝑡1
ℎ
𝐹2
q por unidad de longitud
q por unidad de longitud
Carga total =𝑞𝑙
8. 388
Si el apoyo empotrado en cualquiera de los casos anteriores, excepto el último, se
cambia por un apoyo articulado o rodillo, los momentos finales fijos en el otro extremo
se pueden calcular usando las ecuaciones de este apéndice y la ecuación 5.10.
Algunos casos son muestran a continuación:
𝐹1 =
𝑃𝑎𝑏
𝑙2
(𝑎 +
𝑏
2
)
𝐹2 = 𝑃 [
𝑏
𝑙
−
𝑎𝑏
𝑙3
(𝑎 +
𝑏
2
)]
𝐹3 = 𝑃 [
𝑎
𝑙
+
𝑎𝑏
𝑙3
(𝑎 +
𝑏
2
)]
𝐹1 =
𝑞𝑙2
8
𝐹2 =
3𝑞𝑙
8
𝐹3 =
5𝑞𝑙
8
𝐹1 =
𝑞𝑙2
15
𝐹2 =
𝑞𝑙
10
𝐹3 =
2𝑞𝑙
5
𝐹1 =
3𝐸𝐼𝛼
2ℎ
(𝑡𝑖𝑛𝑓 − 𝑡𝑠𝑢𝑝)
𝐹2 = −𝐹3 =
−3𝐸𝐼
2ℎ𝑙
𝛼(𝑡𝑖𝑛𝑓
− 𝑡𝑠𝑢𝑝)
𝛼: coeficiente de expansión
térmica
Aumento de
temperatura
Tinf
Tsup
q por unidad de longitud
q por unidad de longitud
9. 389
Apéndice C
Fuerzas de extremo originadas por un
desplazamiento unitario en el extremo de un
miembro prismático
En la tabla que sigue las fuerzas en los extremos de los miembros debidas a una
traslación o una rotación unitaria de un extremo. Las direcciones positivas para las
fuerzas son hacia arriba y en el sentido horario. Se desprecian las deformaciones
producidas por las fuerzas axiales y cortantes. La rigidez a la flexión EI y a la torsión
GJ son constantes.
Viga Fuerza
𝐹1 = 𝐹2 =
6𝐸𝐼
𝑙2
𝐹3 = −𝐹4 =
12𝐸𝐼
𝑙3
𝐹1 =
4𝐸𝐼
𝑙
𝐹2 =
2𝐸𝐼
𝑙
𝐹3 = −𝐹4 =
6𝐸𝐼
𝑙2
𝐹1 =
3𝐸𝐼
𝑙2
𝐹2 = −𝐹3 =
3𝐸𝐼
𝑙3
10. 390
Viga Fuerza
𝐹1 =
3𝐸𝐼
𝑙
𝐹2 = −𝐹3 =
3𝐸𝐼
𝑙2
𝐹1 = −𝐹2 =
2𝐸𝐼
𝑙
𝐹1 = 𝐹2 =
6𝐸𝐼
𝑙
𝐹4 = −𝐹3 =
12𝐸𝐼
𝑙2
𝐹1 = −𝐹2 =
𝐺𝐽
𝑙
Se desprecia el efecto de la
combadura
Ángulo de torsión
12. 392
Figura Área Centroide
Parábola de 2º grado
1
3
𝑎 × 𝑙 𝑥̅ =
3
4
𝑙
𝑦
̅ =
3
10
𝑎
Parábola de 2º grado
2
3
𝑎 × 𝑙
𝑥̅ =
5
8
𝑙
𝑦
̅ =
2
5
𝑎
Parábola de 3º grado
1
4
𝑎 × 𝑙
𝑥̅ =
4
5
𝑙
𝑦
̅ =
2
7
𝑎
13. 393
Apéndice E
Constante de torsión
Si un elemento circular de sección constante y longitud 𝑙se somete a un
momento de torsión constante 𝑇, el ángulo de torsión entre los dos extremos
del elemento es
𝜑 =
𝑇𝑙
𝐺𝐽
(E-1)
Donde 𝐺 es el módulo de rigidez y 𝐽 el momento polar de inercia
Cuando la sección transversal del elemento no es circular, no se verifica la
hipótesis de las secciones planas y ocurrirá combadura producida por
desplazamientos longitudinales de puntos en la sección transversal. No
obstante la ecuación E-1 se puede usar con buena exactitud para secciones
transversale no circulares, pero 𝐽 se debe tomar como la constante de torsión
apropiada. A continuación se enumeran las constantes de torsión para varias
formas de sección transversal.
Sección Constante de torsión J
𝐽 =
𝜋𝑟4
2
𝐽 = 0.1406𝑏4
14. 394
Sección Constante de torsión
𝐽 =
𝜋(𝑟2
4
− 𝑟1
4)
2
𝐽 = 𝑐𝑏3
[
1
3
− 0.21
𝑏
𝑐
(1 −
𝑏4
12𝑐4
)]
𝐽 =
𝑏4
√3
80
Sección cerrada
𝐽 =
4𝑎2
∫
𝑑𝑠
𝑙
Donde 𝑎 es el área encerrada por una línea que
atraviesa el centro del espesor y la integral se
extiende sobre la circunferencia
𝐽 =
2𝑡1𝑡2(𝑏1 − 𝑡2)2
(𝑏2 − 𝑡1)2
𝑏1𝑡2 + 𝑏2𝑡1 − 𝑡2
2
− 𝑡1
2
16. 396
Apéndice F
Evaluación de integrales para el cálculo del
desplazamiento por el método de las fuerzas
virtuales
El desplazamiento 𝐷𝑗 en cualquier punto y en cualquier dirección sometida
a un sistema de fuerzas {𝐹} de una estructura se calcula con el método del
trabajo virtual usando la siguiente ecuación.
𝐷𝑗 = ∫
𝑛𝑗𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑠 + ∫
𝑚𝑗𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑠 + ∫
𝑣𝑗𝑉
𝐺𝐴𝑟
𝑑𝑠 + ∫
𝑡𝑗𝑇
𝐸𝐼
𝑑𝑠 (F-2)
donde:
𝑁. 𝑀, 𝑉 y 𝑇 son las fuerzas internas en cualquier sección debidas al
sistema de fuerzas {𝐹} y
𝑛𝑗, 𝑚𝑗, 𝑣𝑗 y 𝑡𝑗 Son las fuerzas internas en cualquier sección debidas a una
fuerza virtual unitaria 𝛿𝑄 = 1
La dificultad en la determinación de los desplazamientos consiste en la
necesidad de determinar las funciones analíticas de las fuerzas internas
debidas a la carga real y a la carga unitaria. Consideraremos aquí como se
puede simplificar la operación de integración. Esta simplificación tiene su
fundamento teórico en el hecho de que los diagramas de las fuerzas internas
correspondientes las fuerzas virtuales en tramos rectos resultan ser lineales.
Supongamos que en el tramo de longitud l se necesita calcular la integral
del producto de dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥),
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑙
0
(F-3)
con la condición de que, por lo menos, una de las funciones sea lineal. Si 𝑔(𝑥)
es la función lineal
17. 397
𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
y la ecuación (F-2) puede escribirse como
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥). (𝑚𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥
𝑙
0
= 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑙
0
+ 𝑚 ∫ 𝑥𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
La primera de estas integrales representa el área limitada por la curva 𝑓(𝑥)
(figura F-1), es decir, el área bajo la curva de 𝑓(𝑥)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑙
0
= 𝐴𝑓(𝑥)
Figura F-1
La segunda integral representa el primer momento de esta área respecto al
eje 𝑦1, es decir,
∫ 𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
= 𝐴𝑓(𝑥)𝑥̅
Siendo 𝑥̅ la coordenada del centroide de 𝐴𝑓(𝑥) . Así pues obtenemos
𝐼 = 𝑏𝐴𝑓(𝑥) + 𝑚𝐴𝑓(𝑥)𝑥̅ = 𝐴𝑓(𝑥)(𝑏 + 𝑚𝑥̅)
𝐶. 𝐺
𝑥
𝑥
𝑔(𝑥)
𝑥̅
𝑏 + 𝑚𝑥̅
𝑥 𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝑙
O
O
18. 398
pero,
𝑏 + 𝑚𝑥̅ = 𝑔(𝑥̅)
Representa el valor de la función lineal para una abscisa correspondiente al
centroide del área 𝐴𝑓(𝑥). por lo tanto
𝐼 = 𝐴𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥̅) (F-3)
La integral es igual al producto del área del diagrama de 𝑓(𝑥) por la
ordenada del de la función lineal 𝑔(𝑥) bajo el centroide del primer diagrama.
Si ambos diagramas, los de 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥), son lineales, entonces, el
producto es conmutativo, es decir, el resultado no se altera, si se multiplica el
área del primer diagrama por la ordenada del segundo o el área del segundo
por la ordenada del primero.
En todos los términos de las ecuaciones del trabajo virtual figura el
producto de dos funciones. Por lo tanto, se puede aplicar el método de
multiplicación de diagramas:
∫ 𝑛
𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑙 =
𝑙
0
𝐴𝑁𝑛
̅
∫ 𝑚
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑙 =
𝑙
0
𝐴𝑀𝑚
̅
∫ 𝑣
𝑉
𝐺𝐴𝑟
𝑑𝑙 =
𝑙
0
𝐴𝑉𝑣̅
∫ 𝑡
𝑇
𝐺𝐽
𝑑𝑙 =
𝑙
0
𝐴𝑇𝑡̅
donde 𝐴𝑁, 𝐴𝑀, 𝐴𝑉, y 𝐴𝑇son las áreas de los diagramas
𝑁
𝐸𝐴
,
𝑀
𝐸𝐼
,
𝑉
𝐺𝐴𝑟
, y
𝑇
𝐺𝐽
respectivamente, y
𝑛
̅, 𝑚
̅, 𝑣̅, y 𝑡̅ son, respectivamente, los valores de 𝑛, 𝑚, 𝑣 𝑦 𝑡 en el centroide
de cada una de las áreas 𝐴 consideradas arriba.
El signo positivo del producto se obtiene cuando el diagramas de N, M,V y
T son del mismo signo que las ordenadas 𝑛
̅, 𝑚
̅, 𝑣̅, y 𝑡̅, es decir cuando ellos
están colocados en el mismo lado del miembro
19. 399
En casi todos los casos los diagramas de 𝑛, 𝑚, 𝑣 𝑦 𝑡 son lineales o se
pueden dividir en partes de tal forma que la ordenada sea una línea recta, en
esta condiciones el método de multiplicación de diagramas es eficaz. No
obstante, en estructuras con miembros curvos, los diagramas no son rectos,
pero una barra curva se puede aproximar con varias partes rectas sobre las
cuales se puede considerar recto el diagrama de las fuerzas internas debido a
la carga virtual.
Evaluemos la Integral ∫ 𝑚𝑗
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑙
𝑙
0
en un miembro de longitud 𝑙 con rigidez 𝐸𝐼
constante en donde ambos diagramas sean lineales (véase la figura F-2).
Usando la ecuación (F-3) deducimos una fórmula para multiplicar diagramas
lineales.
Figura F-2
𝐴𝑀𝑚
̅ =
𝑀1𝑙
2𝐸𝐼
(
2
3
𝑚1 +
1
3
𝑚2) +
𝑀2𝑙
2𝐸𝐼
(
1
3
𝑚1 +
2
3
𝑚2)
𝐴𝑀𝑚
̅ =
𝑙
6𝐸𝐼
[𝑀1𝑚2 + 2(𝑀1𝑚1 + 𝑀2𝑚2) + 𝑀2𝑚1] (F-4)
Similarmente se puede deducir una fórmula para el caso en que el
diagrama de 𝑀 (figura F-3a) represente una parábola de segundo grado, este
se puede dibujar por partes (figura F-3b) y multiplicarlo por del diagrama de 𝑚,
así se tiene
𝐴𝑀𝑚
̅ =
𝑀1𝑙
2𝐸𝐼
(
2
3
𝑚1 +
1
3
𝑚3) +
𝑀3𝑙
2𝐸𝐼
(
1
3
𝑚1 +
2
3
𝑚3) +
2𝑙
3𝐸𝐼
(𝑀2 −
𝑀1 + 𝑀3
2
) 𝑚2
=
𝑙
6𝐸𝐼
[2𝑀1𝑚1 + 𝑀1𝑚3 + 𝑀3𝑚1 + 2𝑀3𝑚3 + 4𝑀2𝑚2 − 2(𝑀1 + 𝑀3)𝑚2]
=
𝑙
6𝐸𝐼
[2𝑀1𝑚1 + 4𝑀2𝑚2 + 2𝑀3𝑚3 + 𝑀1𝑚3 + 𝑀3𝑚1 − (𝑀1 + 𝑀3)(𝑚1 + 𝑚3)]
20. 400
𝐴𝑀𝑚
̅ =
𝑙
6𝐸𝐼
(𝑀1𝑚1 + 4𝑀2𝑚2 + 𝑀3𝑚3) (F-5)
Figura F-3.
Usando las ecuaciones F-3, F-4 y F-5, en la tabla F-1 se han calculado los
valores de la integral ∫ 𝑚𝑀𝑑𝑙 para diferentes diagramas de 𝑀 y 𝑚 que se
necesitan en el cálculo de los desplazamientos de estructuras compuestas por
barras por trabajo virtual. Las mismas tablas se pueden usar para la evaluación
de las integrales ∫ 𝑛𝑁𝑑𝑙,∫ 𝑣𝑉𝑑𝑙 𝑦 ∫ 𝑡𝑇𝑑𝑙, o para la integral sobre una longitud
𝑙 de dos funciones cualesquiera que varían de la manera que se indica en los
diagramas en la parte superior y en el margen izquierdo de la tabla
Tabla F-1
(b)
(c)
(a)
22. 402
Apéndice G
Deflexiones de una viga simple de EI constante
solicitada por momentos de extremo unitarios
Los valores de las deflexiones que se presentan a continuación son útiles en el
cálculo de las ordenadas de influencia. La deflexión y debida a momentos de
extremo 𝑀𝐴𝐵 = 1 y 𝑀𝐵𝐴 = 0 (figura F-1a) está dado por la ecuación 6.
𝑦 =
𝑙2
6𝐸𝐼
(2𝜉 − 3𝜉2
+ 𝜉3) (G-4)
Donde 𝜉 =
𝑥
𝑙
, es la distancia desde el extremo izquierdo, y 𝑙 es la longitud de la
viga. Los valores de las deflexiones para diferentes valores de
𝑥
𝑙
se dan en la
tabla G-1
(a)
(b)
Figura F-1. Deflexiones de una viga simple sometida a momentos unitarios en sus extremos
B
MBA=1
𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
A
A B
MAB=1
23. 403
Tabla G-1 Deflexiones debidas a un momento unitario en el sentido horario en el extremo
izquierdo
𝜉 =
𝑥
𝑙
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Multiplicador
𝑦 0 285 480 595 640 625 560 455 320 165 0 10−4
𝑙2
𝐸𝐼
Tabla G-2 Deflexiones debidas a un momento unitario en el sentido horario en el extremo derecho
𝜉 =
𝑥
𝑙
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Multiplica-
dor
𝑦 0 -165 -320 -455 -560 -625 -640 -595 -480 -285 0 10−4
𝑙2
𝐸𝐼
La deflexión 𝒚 debida al momento de extremo 𝑀𝐵𝐴 = 1 y 𝑀𝐴𝐵 = 0 (véase
figura la G-1b) está dado por
𝑦 = −
𝑙2
6𝐸𝐼
(𝜉 − 𝜉3) (G-5)
Los valores de las deflexiones para diferentes valores de 𝜉 =
𝑥
𝑙
se dan en la
tabla G-2