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Deformaciones en flexión de una barra sometida a carga puntual y distribuida
- 1. Deformaciones en la Flexión Resolución del Ejercicio N° 7 de la Guía de la Práctica – TP N° 4 (Ejercicio IV del Complemento Teórico) Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
- 2. Para la barra en el estado de carga indicado se pide: 1. Dibujar los diagramas de características previo análisis cinemático. 2. Dimensionar la sección de la barra. 3. Hallar la ecuación de las rotaciones absolutas y la ecuación de la elástica. 4. Calcular el corrimiento vertical máximo (flecha máxima). 5. Dibujar el diagrama de rotaciones absolutas y corrimientos verticales. Enunciado Datos: L=7,4 m; P=4,5 t; q=1,8 t/m; adm=1400 Kg/cm2; adm=800 Kg/cm2; E=2,1x106 Kg/cm2; Perfil “doble T” (DIN 1025)
- 3. Para la barra en el estado de carga indicado se pide: Se trata de una barra isostáticamente sustentada pues posee un apoyo móvil y uno fijo que restringen sus tres (3) grados de libertad. Además no existen vínculos aparentes pues la normal del apoyo móvil no pasa por el punto fijo “B”. Resolución Calculamos las reacciones de vínculo RA y RB. Planteando el equilibrio respecto del eje “y” y tomando momento respecto de “A” y se tiene: 𝑴𝑨 = 𝟎 = 𝑷 ∙ 𝑳 𝟐 + 𝒒 ∙ 𝑳𝟐 𝟐 − 𝑹𝑩 ∙ 𝑳 𝑭𝑽 = 𝟎 = 𝑷 + 𝒒 ∙ 𝑳 − 𝑹𝑨 − 𝑹𝑩 → 𝑹𝑨 = 𝟖, 𝟗𝟎 𝒕 𝑹𝑩 = 𝟖, 𝟗𝟎 𝒕 𝑹𝑨 𝑹𝑩
- 4. Trazamos los diagramas de características, y dado que existe simetría geométrica y de cargas, el diagrama de momentos será simétrico y el de corte antimétrico. Resolución Dimensionamos la sección de la barra considerando despreciable el efecto del esfuerzo de corte. 𝑾𝒙 = 𝑴𝒎𝒂𝒙 𝝈𝒂𝒅𝒎 = 𝟐𝟎, 𝟔𝟒𝟔 × 𝟏𝟎𝟑 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎 𝟏𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒈 𝒄𝒎𝟐 → 𝑾𝒙= 𝟏𝟒𝟕𝟒, 𝟕𝟏 𝒄𝒎𝟑 Debemos seleccionar de la tabla de perfiles un perfil que posea un módulo resistente (Wx) igual o mayor al calculado
- 5. Seleccionamos para los perfiles DIN 1025 𝑾𝒙 = 𝟏𝟕𝟒𝟎 𝒄𝒎𝟑 ≥ 𝟏𝟒𝟕𝟒, 𝟕𝟏 𝒄𝒎𝟑 Resolución Debemos seleccionar de la tabla de perfiles un perfil que posea un módulo resistente (Wx) igual o mayor al calculado → 𝑷𝑵𝑰 𝟒𝟐𝟓 …con las siguientes características: → 𝑭 = 𝟏𝟑𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝑱𝒙 = 𝟑𝟔𝟗𝟕𝟎 𝒄𝒎𝟒 𝑾𝒙 = 𝟏𝟕𝟒𝟎 𝒄𝒎𝟑 𝑱𝒚 = 𝟏𝟒𝟒𝟎 𝒄𝒎𝟒 𝑾𝒚 = 𝟏𝟕𝟔 𝒄𝒎𝟑 𝑺𝒙 = 𝟏𝟎𝟐𝟎 𝒄𝒎𝟑 → 𝝈𝒎𝒂𝒙= 𝟐𝟎, 𝟔𝟒𝟔 × 𝟏𝟎𝟑 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎 𝟏𝟕𝟒𝟎 𝒄𝒎𝟑 = 𝟏𝟏𝟖𝟔, 𝟓𝟓 𝒌𝒈 𝒄𝒎𝟐 ≤ 𝟏𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒈 𝒄𝒎𝟐 = 𝝈𝒂𝒅𝒎 → 𝝈𝒎𝒂𝒙= 𝑴𝒎𝒂𝒙 𝑾𝒙 [𝑷𝑵𝑰𝟒𝟐𝟓]
- 6. Lo haremos a partir de las siguientes relaciones: Calculemos ahora la ecuación de las rotaciones absolutas y la ecuación de la elástica Resolución 𝒒 = − 𝒅𝑸 𝒅𝒙 1 ; 𝑸 = 𝒅𝑴 𝒅𝒙 2 ; 𝜽 = − 𝒅𝜼 𝒅𝒙 3 𝜼, corrimientos verticales 𝒅𝜽 𝒅𝒙 = −𝑴 𝑬 ∙ 𝑱 = − 𝒅𝟐𝜼 𝒅𝒙𝟐 → 𝜽 = − 𝑴 𝑬 ∙ 𝑱 𝒅𝒙 = −𝟏 𝑬 ∙ 𝑱 𝑴 ∙ 𝒅𝒙 4 Por la simetría de geométrica y de cargas las funciones también tendrán una distribución simétrica () y antimétrica (). Calculamos las funciones para el intervalo L – L/2 y luego extendemos las funciones a la totalidad del intervalo 0 – L. Partimos de la relación (1): 𝒒 = − 𝒅𝑸 𝒅𝒙 → 𝑸 = − 𝒒 ∙ 𝒅𝒙 = −𝒒 ∙ 𝒙 + 𝑪𝟏 𝑪𝟏, constante de integración 𝑸 𝒙=𝑳 = 𝑹𝑨 condición de borde → 𝑪𝟏= 𝑹𝑨 + 𝒒 ∙ 𝑳 → 𝑸 = −𝒒 ∙ 𝒙 + 𝑹𝑨 + 𝒒 ∙ 𝑳
- 7. Planteamos ahora la relación (2): Calculemos ahora la ecuación de las rotaciones absolutas y la ecuación de la elástica Resolución 𝑸 = 𝒅𝑴 𝒅𝒙 → 𝑴 = 𝑸 ∙ 𝒅𝒙 = −𝒒 ∙ 𝒙 + 𝑹𝑨 + 𝒒 ∙ 𝑳 ∙ 𝒅𝒙 → → 𝑴 = −𝒒 ∙ 𝒙𝟐 𝟐 + 𝑹𝑨 + 𝒒 ∙ 𝑳 ∙ 𝒙 + 𝑪𝟐 𝑪𝟐, constante de integración 𝑴 𝒙=𝑳 = 𝟎 condición de borde → 𝑪𝟐= −𝒒 ∙ 𝑳𝟐 𝟐 − 𝑹𝑨 ∙ 𝑳 → 𝑴 = −𝒒 ∙ 𝒙𝟐 𝟐 + 𝑹𝑨 + 𝒒 ∙ 𝑳 ∙ 𝒙 − 𝒒 ∙ 𝑳𝟐 𝟐 − 𝑹𝑨 ∙ 𝑳 Planteamos ahora la relación (4): 𝜽 = −𝟏 𝑬 ∙ 𝑱 𝑴 ∙ 𝒅𝒙 = 𝟏 𝑬 ∙ 𝑱 −𝒒 ∙ 𝒙𝟐 𝟐 + 𝑹𝑨 + 𝒒 ∙ 𝑳 ∙ 𝒙 − 𝒒 ∙ 𝑳𝟐 𝟐 − 𝑹𝑨 ∙ 𝑳 ∙ 𝒅𝒙 → → 𝜽 = −𝟏 𝑬 ∙ 𝑱 −𝒒 ∙ 𝒙𝟑 𝟔 + 𝑹𝑨 + 𝒒 ∙ 𝑳 ∙ 𝒙𝟐 𝟐 − 𝒒 ∙ 𝑳𝟐 𝟐 + 𝑹𝑨 ∙ 𝑳 ∙ 𝒙 + 𝑪𝟑 𝑪𝟑 , constante de integración 𝜽 𝒙= 𝑳 𝟐 = 𝟎 condición de borde → 𝑪𝟑= −𝟏 𝑬 ∙ 𝑱 −𝑹𝑨 ∙ 𝑳𝟐 𝟖 − 𝒒 ∙ 𝑳𝟑 𝟒𝟖 → 𝜽 = −𝟏 𝑬 ∙ 𝑱 𝑹𝑨 𝟐 ∙ 𝒙 − 𝑳 𝟐 − 𝒒 𝟔 ∙ 𝒙 − 𝑳 𝟑 + −𝑹𝑨 ∙ 𝑳𝟐 𝟖 − 𝒒 ∙ 𝑳𝟑 𝟒𝟖
- 8. Planteamos ahora la relación (3): Resolución 𝜽 = − 𝒅𝜼 𝒅𝒙 → 𝜼 = − 𝜽 ∙ 𝒅𝒙 → → 𝜼 = 𝟏 𝑬 ∙ 𝑱 𝑹𝑨 𝟐 ∙ 𝒙 − 𝑳 𝟐 − 𝒒 𝟔 ∙ 𝒙 − 𝑳 𝟑 + −𝑹𝑨 ∙ 𝑳𝟐 𝟖 − 𝒒 ∙ 𝑳𝟑 𝟒𝟖 ∙ 𝒅𝒙 → → 𝜼 = 𝟏 𝑬 ∙ 𝑱 𝑹𝑨 𝟔 ∙ 𝒙 − 𝑳 𝟑 − 𝒒 𝟐𝟒 ∙ 𝒙 − 𝑳 𝟒 + −𝑹𝑨 ∙ 𝑳𝟐 𝟖 − 𝒒 ∙ 𝑳𝟑 𝟒𝟖 ∙ 𝒙 + 𝑪𝟒 𝜼 𝒙=𝑳 = 𝟎 condición de borde → 𝑪𝟒= 𝟏 𝑬 ∙ 𝑱 𝑹𝑨 ∙ 𝑳𝟑 𝟖 + 𝒒 ∙ 𝑳𝟒 𝟒𝟖 → 𝜼 = 𝟏 𝑬 ∙ 𝑱 𝑹𝑨 𝟔 ∙ 𝒙 − 𝑳 𝟑 − 𝒒 𝟐𝟒 ∙ 𝒙 − 𝑳 𝟒 + −𝑹𝑨 ∙ 𝑳𝟐 𝟖 ∙ 𝒙 − 𝑳 ∙ 𝒙 − 𝒒 ∙ 𝑳𝟑 𝟒𝟖 𝒙 − 𝑳 𝑪𝟒, constante de integración Elástica de la deformación
- 9. Tabulamos las rotaciones absolutas y los desplazamientos verticales Resolución
- 10. Graficamos las rotaciones absolutas y los desplazamientos verticales Resolución
- 11. Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko
- 12. Muchas Gracias