Este documento presenta conceptos clave sobre combinaciones lineales y dependencia lineal en espacios vectoriales. Explica que un vector es una combinación lineal de otros si puede expresarse como una suma de esos vectores multiplicados por escalares. También define qué es un sistema generador y analiza ejemplos de dependencia e independencia lineal entre conjuntos de vectores.

1. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 1
COMBINACIONES LINEALES
TEMA 2.4 * 2º BCT

2. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 2
COMBINACIONES LINEALES
• Un vector v del espacio vectorial (V, +, .) es combinación lineal de los
vectores v1, v2, … , vn de V si puede expresarse de la forma:
• v= α.v1 + β.v2 + λ.v3 + … + μ.vn , con α, β, λ, …, μ є R
• Propiedades
• Cualquier vector v є V es combinación lineal de si mismo.
• v= 1.v, con 1 є R
• El vector nulo 0 є V es combinación lineal de cualquier vector v y de su
opuesto, -v.
• 0= λ .v + λ .(-v) , para Vλ є R
• El vector nulo 0 є V es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores
v1, v2 , v3 , … vn, de V.
• 0= 0.v1 + 0.v2 + 0.v3 + … + 0.vn , con 0 є R

3. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 3
Ejemplo
• Sea el vector v=( 0, 13, 6) y los vectores v1=(1, 2, 3) y v2=(-4, 5, -6).
• ¿Es v combinación lineal de v1 y v2?.
• Solución
• v=λ.v1+μ.v2
• (0, 13, 6)= λ.(1, 2, 3)+μ.(-4, 5, -6)
• (0, 13, 6)= (λ.1, λ.2, λ.3)+(μ.(-4), μ.5, μ.(-6))
• 0 = λ.1 – 4 μ
• 13 = λ.2 + μ.5
• 6 = λ.3 – 6.μ
• Resolviendo el sistema: λ = 4 , μ = 1
• Para dichos valores de los escalares λ y μ, el vector v es combinación
lineal de v1 y v2.

4. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 4
SISTEMA GENERADOR
• Dado un espacio vectorial siempre es posible encontrar
una serie de vectores a partir de la cual, mediante
combinaciones lineales, podemos obtener cualquier
vector perteneciente a dicho espacio vectorial.
• Un conjunto S=(x1, x2, ….xn) de vectores de un espacio
vectorial V, es un sistema generador de dicho espacio
si cualquier vector v del mismo se puede expresar como
combinación lineal de los vectores de S.
• v= α.x1 + β.x2 + λ.x3 + … + μ.xn , con α, β, λ, …, μ є R

5. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 5
Ejemplos
• ¿Es x1=(1,0,0),x2=(0,0,1),x3=(0,1,0) un sistema generador de R3
?.
• Solución
• Tomamos un vector cualquiera v=(a,b,c)
• v=λ.x1+μ.x2 + k.x3
• (a, b, c)= λ.(1, 0, 0)+μ.(0, 0, 1) + k.(0,1,0)
• (a, b, c)= (λ, 0, 0)+(0, 0, μ) + (0, k, 0)
• (a, b, c) = (λ, k, μ)  λ = a, k = b, μ = c
• Vemos que siempre habrá tres números reales, λ, μ y k, para los cuales
cualquier vector v es combinación lineal de los vectores x1, x2 y x3.
• Luego es un sistema generador.
• ¿Es Q(x)=x, R(x)=x2
, S(x)=x3
un sistema generador del espacio vectorial de
los polinomios de grado igual o menor que 3?.
• Solución
• Tomamos un polinomio cualquiera P(x) = 3.x3
– 2
• 3.x3
– 2 = λ.x3
+ μ.x2
+ k.x  λ = 3 , μ = 0, k = 0
• Vemos que no es un sistema generador. (No genera el término indep.)

6. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 6
DEPENDENCIA LINEAL
• Se dice que n vectores, x1, x2, ….xn , de un espacio vectorial V, son
linealmente dependientes cuando alguno de ellos es combinación lineal
de los demás.
• Al conjunto S=(x1, x2, ….xn) formado por dichos vectores se le denomina
conjunto ligado o linealmente dependiente.
• Asimismo un conjunto S=(x1, x2, ….xn) de vectores es libre o linealmente
independiente cuando ninguno de ellos es combinación lineal de los
demás.
• EJEMPLO
• x1= (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (5, 7, 9)
• El conjunto S=(x1, x2,x3) es un conjunto ligado o linealmente dependiente,
pues x3 = x1 + x2
• El tercer vector es combinación lineal de los dos primeros.
• También se dice que depende linealmente de los dos primeros.
• x3 = α.x1 + β.x2 , con α=1, β=1 / α, β є R

7. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 7
TEOREMAS DE LA DEPENDENCIA
• TEOREMA 1
• Un conjunto S=(x1, x2, ….xn) de vectores de V es linealmente
dependiente si, y sólo si, existen λ1, λ2, ... λn , є R, no todos nulos, tales
que:
• λ1.x1 + λ2.x2 + λ3.x3 + … + λn.xn = 0
• TEOREMA 2
• Un conjunto S=(x1, x2, ….xn) de vectores de V es linealmente
independiente si, y sólo si, para cualquiera λ1, λ2, ... λn , є R, tales que λ1.x1
+ λ2.x2 + λ3.x3 + … + λn.xn = 0, se cumple:
• λ1= λ2 = ... = λn = 0
• PROPIEDAD
• Sea S=(x1, x2, ….xn) un conjunto linealmente independiente. Si se cumple
que:
• v = λ1.x1 + λ2.x2 + λ3.x3 + … + λn.xn
• v = k1.x1 + k2.x2 + k3.x3 + … + kn.xn
• Entonces: λ1= k1 , λ2 = k2 , λ3 = k3 , … , λn = kn

8. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T. 8
• EJEMPLO 1
• x1= (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7,8, 9), x4= (2, 4, 6)
• Miramos si son linealmente dependientes:
• λ1.x1 + λ2.x2 + λ3.x3 + λ4.x4 = 0
• Vemos que: 2.x1 + 0.x2 + 0.x3 + (- 1).x4 = 0
• Para λ1 = 2, λ2=0, λ3 =0 y λ4 = (-1)
• Luego el conjunto S=(x1, x2,x3) es un conjunto ligado o linealmente
dependiente.
• EJEMPLO 2
• x1= (1, 0, 0), x2 = (0, 1, 0), x3 = (0, 0, 1)
• Miramos si son linealmente independientes:
• λ1.x1 + λ2.x2 + λ3.x3 = 0
• λ1.(1,0,0)+ λ2.(0,1,0)+ λ3.(0,0,1)= 0
• (λ1,0,0)+ (0,λ2,0)+ (0,0,λ3)= 0
• (λ1,λ2,λ3)= 0  (λ1,λ2,λ3)= (0,0,0)  λ1 = 0, λ2 = 0 , λ3 = 0
• Vemos que todos los coeficientes escalares son ceros.
• Luego el conjunto S=(x1, x2,x3) es un conjunto linealmente independiente.