Rm 4° 2 b

53 54COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4to. Año
Secundaria
I. CONTEO DE FIGURAS
Métodos de conteo:
A) Conteo Directo (método de Schoenk)
Consiste en calcular la cantidad de figuras del
tipo deseado procedido a la numeración de
todas las figuras simples mediante dígitos y/o
letras, posteriormente al conteo ordenado de
las figuras de 1 número; al unir 2 números al
unir 3 números y así sucesivamente.
Ejemplo:
Hallar el número de triángulos en la figura
adjunta
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
Solución:
1
2
3
4 5
6 7
De 1# : 7 triángulos
De 2# : 12, 23, 45, 67, 46, 57
De 3# : 145, 453
Total = 15 Triángulos
Rpta.: D
B) Mediante Fórmulas (Método Inductivo)
Contar Ángulos
Se cuentan sólo ángulos convexos
(θ < 180°)
1
2
1 ángulo =
2
1x2
1
2
3
3 ángulo =
2
2x3
1
2
3
4
6 ángulos =
2
3x4
En general:
1
2
3
n
2
)1n(n
S
−
=
n: N° de rayos
Ejemplo:
¿Cuántos ángulos existen en la figura
a) 21 b) 18 c) 24
d) 20 e) 16
Solución
1
2
3
4
5
6
7
n = 7 → 21
2
)17(7
S =
−
=
Rpta.: A
Contar Segmentos
1 segmento
1 2
1 segmento =
2
1x2
3 segmentos
1 32
3 segmentos =
2
2x3
6 segmentos
1 42 3
6 segmentos =
2
3x4
En general:
1 42 3 . . . . n
S3RM34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM34B “El nuevo símbolo de una buena educación....”
IV
TÉCNICAS DE

Secundaria
2
)1n(n
S
−
= n: n° de puntos
Ejemplo:
Hallar el total de segmentos
C U A D R A D O
a) 24 b) 26 c) 28
d) 30 e) 32
n = 8 → 28
2
)18(8
S =
−
=
S = 28
Rpta: C
Contar Triángulos
1 2
1 triángulo =
2
1x2
1 2 3
3 triángulos =
2
2x3
1 2 3 4
6 triángulos =
2
3x4
En general:
1 2 3 n. . . . .
2
)1n(n
S
−
= n: n° de puntos en la base
Ejemplo:
Calcular el total de triángulos
a) 21 b) 18 c) 20
d) 16 e) 24
Solución:
1 2 3 4 5 6 7
n = 7 → 21
2
)17(7
S =
−
=
Rpta.: A
Contar Cuadriláteros
1 2 3 4
2
3
. . . n
m
2
)1m(m
x
2
)1n(n
S
−−
=
Ejemplo:
Calcular el total de cuadriláteros
a) 118 b) 112 c) 120
d) 130 e) 126
Solución:
1 2 3 4 5 6 7
2
3
4
2
)14(4
x
2
)17(7
S
−−
=
S = 21 x 6 = 126
Rpta.: E
Contar Cuadrados
Procediendo inductivamente:
1 1= 12
1 5 = 122
2
+ 22
1
14= 12
2
2 + 22
3
3
+ 32
En general:
1 2
2
3
3
... n
n
S = 12
+ 22
+ 32
+ . . . + n2
6
)1n2)(1n(n
S
++
=

Secundaria
Ejemplo:
Hallar el total de cuadrados en la figura:
a) 48 b) 50 c) 55
d) 42 e) 52
Solución.
1 2 3 4 5
2
3
4
5
n = 5 → 55
6
)110)(15(5
S =
++
=
Rpta.: C
Conteo de caminos o Rutas
Ejemplo 1:
De cuántas formas se puede leer la palabra
“NÚMERO”
N
U U
M M M
E E E E
R
O
R R R R
O O O O O
Solución:
Por el triángulo de Pascal:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1
1
4 6 4 1
5 10 5 110
Suma de la fila:
1 forma
2 formas
3 formas
4 formas
16 formas
32 formas
32 formas
Ejemplo 2:
De cuántas maneras se puede leer la palabra
“BOLIVIA”
B O L I
O L I V
L I V I
I V I A
Solución:
Por el “Triángulo de Pascal”
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
20 maneras
Ejemplo:
De cuántas formas se pueden ir de A a B por
el camino más corto
A
B
Solución:
1 1 1 1
1
21
1
1
3 4
5
15
35
70
351551
4 10 20
63 10
70 formas
Ejemplo 4:
De cuántas formas se puede ir de “M” a “N”
sin retroceder
M
N
Solución:
M
N
1 1 1
33
3
3
1
1 6 9 9
9
9
18
27 54
2
27
54 formas
Ejemplo 5:
De cuántas formas se puede ir de “A” a “B”
por el camino más corto
A
B
Solución:
A
B
1 1
1
1 1
1
1
2
3
3 4
14
4
34
6 10
10 204
144 34 68
68 formas
Ejemplo:
¿Cuántos caminos diferentes puede seguir la
hormiga que se indica en la figura para llegar
a “M” sin pasar por “A” ni “B” y sin tocar 2
veces un mismo punto
A B
M
hormiga
Solución:

Secundaria
A
d e
f g
B
M
h
hormiga
edfM; cdegiM; cdeghiM; cdeghM; cdeghfM;
cdfhM; cdfhiM; cdfhgiM
8 caminos diferentes
PRÁCTICA DE CLASE
01.Calcular el número de triángulos
a) 15 b) 16 c) 18
d) 14 e) 12
02.Cuántos triángulos existen
a) 8 b) 7 c) 9
d) 6 e) 10
03.Cuántos triángulos tiene la figura
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 14
04.Cuántos triángulos hay en la figura
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24
05.Cuántos cuadriláteros existen en la figura
a) 10 b) 12 c) 13
d) 14 e) 16
06.Hallar el total de cuadriláteros
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
07.Hallar el total de cuadriláteros
a) 10 b) 12 c) 14
d) 9 e) 13
08.Cuántos exágonos hay en total:
a) 14 b) 16 c) 18
d) 20 e) 15
09.Hallar el total de ángulos en figura
a) 22 b) 16 c) 24
d) 18 e) 20
10.Hallar el total de ángulos en la figura
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
a) 18 b) 22 c) 24
d) 25 e) 30
11.Calcular el total de segmentos
P
E
NR A Z O A R
S
A
R
a) 36 b) 32 c) 40
d) 28 e) 42
12.Cuántos segmentos existen en total en la
figura
a) 24 b) 26 c) 28
d) 30 e) 32
13.Calcular el total de segmentos que hay en la
figura
a) 40 b) 36 c) 45
d) 49 e) 52
14.Hallar el total de triángulos en la figura

Secundaria
a) 98 b) 96 c) 102
d) 108 e) 112
15.Cuántos triángulos hay en la figura
a) 16 b) 18 c) 19
d) 20 e) 15
16.Hallar el total de triángulos en la figura
a) 34 b) 32 c) 36
d) 40 e) 28
17.Calcular el total de triángulos en la figura
a) 32 b) 36 c) 35
d) 30 e) 40
18.Hallar el total de paralelogramos
a) 120 b) 110 c) 96
d) 100 e) 90
19.Cuántos sectores circulares hay
a) 80 b) 76 c) 84
d) 64 e) 88
20.Cuántos semicírculos existen en la figura
a) 20 b) 24 c) 27
d) 21 e) 26
21.Cuántas diagonales se pueden trazar
a) 96 b) 100 c) 110
d) 120 e) 112
22.calcular el total de triángulos en la figura
a) 48 b) 50 c) 42
d) 52 e) 46
23.Hallar el número de triángulos
1 2 ...... 20
.......
a) 360 b) 380 c) 400
d) 420 e) 390
24.Cuántos “♥” hay en el rectángulo y círculo
pero no en el triángulo
♥ ♥♥
♥ ♥♥♥
♥ ♥
♥ ♥♥
a) 1 b) 3 c) 2
d) 4 e) 0
25.Cuántos triángulos tienen por lo menos una
“*”
*
**
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 7
26.Cuántos cuadriláteros no contienen a la *
*
*
a) 11 b) 9 c) 8
d) 12 e) 10

Secundaria
27.Cuántas rectas se debe añadir para formar 10
triángulos
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2. CONTEO DE NÚMEROS
PRÁCTICA DE CLASE
01. En la serie natural: 1, 2, 3, 4, ...... , 4444
¿Cuántas cifras hay escritas?
a) 16 569 b) 16 669 c) 17 669
d) 16 589 e) N.A.
02.Si en la serie natural de los números se han
empleado 1341 cifras. Hallar el último
número escrito.
a) 516 b) 483 c) 515
d) 482 e) N.A.
03.Se escribe la serie natural de los números
desde 1 hasta el 2493. ¿Cuántas cifras serán
necesarias usar para escribir los 2000 últimos
números?
a) 7 444 b) 7 494 c) 6 484
d) 8 494 e) 7 484
04.Al escribir la serie natural de los números a
partir del número 71. ¿Cuál es la cifra que
ocupa el lugar 8 418?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) N.A.
05.¿Cuántas cifras se emplean en la escritura de
todos los números enteros desde el máximo
número de dos cifras distintas hasta el menor
número de 4 cifras distintas?
a) 2 700 b) 2 750 c) 2 800
d) 2 900 e) N.A.
06.Para numerar las 22 últimas páginas de un
libro se utilizarán 71 tipos. ¿Cuántos tipos en
total se utilizaron?
a) 2809 b) 2709 c) 2909
d) 3009 e) N.A.
07.Si en la numeración de las páginas impares de
un libro se han utilizado 440 tipos. ¿Cuántas
hojas tendrá dicho libro?
a) 330 b) 360 c) 165
d) 180 e) N.A.
08.¿Cuántos tipos de imprenta se emplearon para
imprimir la siguiente secuencia:
300797877 100....,100,100,100
a) 941 b) 1321 c) 1426
d) 1584 e) 2403
09.En la numeración de las 1 mnp páginas de un
libro se han empleado 4mnp cifras de
imprenta. Hallar m+n+p.
a) 14 b) 15 c) 18
d) 17 e) 20
10.Se han arrancado las 50 últimas hojas de un
libro, notándose que el número de tipos de
imprenta que se han utilizado en la
numeración ha disminuido en 361. ¿Cuántos
tipos de imprenta se han utilizado en la
numeración de las hojas que quedan?
a) 2700 b) 2720 c) 2746
d) 2772 e) 2870
11. ¿Cuántos números enteros se expresan con 3
cifras significativas distintas en el sistema
decimal?
a) 900 b) 729 c) 648
d) 504 e) N.A.
12.¿Cuántos números de 3 cifras en el sistema
quinario se expresan con numerales que
tienen por lo menos una cifra o dos?
a) 48 b) 729 c) 648
d) 504 e) N.A.
13.¿Cuántos números de 8 cifras poseen 7 cifras
siete?
a) 70 b) 72 c) 71
d) 80 e) N.A.
14.¿Cuántos números de 3 cifras del sistema
decimal utilizan al menos una cifra 2 o al
menos una cifra 3 en su escritura?
a) 402 b) 448 c) 450
d) 452 e) 454
15.¿En qué sistema de numeración existen 648
números de la forma:
)1c)(1c(c)2b(b)2a(a −+−+
a) 12 b) 16 c) 10
d) 11 e) 9
16.¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo
menos una cifra 3 y una cifra 5 en su
estructura?
a) 448 b) 400 c) 52
d) 48 e) 120
PROBLEMAS PROPUESTOS 01
01.Determine el número de términos en cada
serie .
* 20; 22; 24; ... 488
Rpta : .............
* 2420; 2416; 2412; ...... ; 12
Rpta :...........

Secundaria
* 104; 110; 116; ........; 3422
Rpta :............
* 3487; 3477; 3467; ....; 547
Rpta : ............
02. Determine el término que señala en cada
serie:
* 7; 27; 47; ................t50
Rpta: .............
* 21; 33; 45; ...........t86
Rpta: .............
* 37; 40; 43; ............t121
Rpta: ............
* 93; 106; 119; .......t91
Rpta:.............
03.¿ Cuántos números pares capicúas de 4 cifras
existen en el sistema decimal ?
a) 1600 b) 50 c) 40
d) 45 e) 36
04.¿ Cuántos números de 4 cifras no usan las
cifras 5; 4 y 7 en su escritura ?
a) 2108 b) 2126 c) 2058
d) 2342 e) 1998
05.Calcular el mayor valor posible del número
de términos de la siguiente progresión
aritmética de números naturales :
391; 385; 379; 373; ..........
a) 66 b) 64 c) 68
d) 67 e) 65
06.Si de una progresión aritmética se sabe que el
término de lugar 40 es 198 y el término de
lugar 90 es 448. Hallar el valor del término de
lugar 111
a) 558 b) 553 c) 503
d) 508 e) 550
07.En una progresión aritmética se sabe que la
relación del vigésimo primer término y el que
ocupa el lugar 71 es como 11 a 36.
Además el término onceavo es 72.¿Cuál será
la suma del primer término y la razón?
a) 12 b) 16 c) 18
d) 28 e) 22
08.En una progresión aritmética de 42 términos
el primer término es 29 y el último término es
316. Hallar el término vigésimo.
a) 152 b) 157 c) 162
d) 167 e) 182
09.Dada la siguiente P.A.
a2
+1; 7a; 9a-1; .............
Hallar el primer término que tenga 3 cifras
a) 101 b) 108 c) 105
d) 106 e) 107
10.¿ Cuántos números de 3 cifras tienen en su
escritura por lo menos una cifra 7 ?
a) 252 b) 253 c) 254
d) 200 e) 198
11.¿ Cuántos números capicúas de 4 cifras en
base 8 terminan en cifra par?
a) 576 b) 24 c) 32
d) 21 e) 28
12.¿Cuántos números de tres cifras se escribe
con un 8 ó 9 y alguna otra cifra diferente de
las anteriores?
a) 64 b) 46 c) 32
d) 44 e) 30
13.¿ Cuántos números de tres cifras del sistema
decimal utilizan al menos una cifra 2 , o al
menos una cifra 3 en su escritura ?
a) 402 b) 448 c) 450
d) 452 e) 451
14.¿ Cuántos números de la forma :
c)2b(b)(1a(a −+ existen ?
a) 800 b) 560 c) 630
d) 576 e) 640
15.¿ Cuántos números de la forma :
bc)a2)(3b(a +
existen tales que sean impares ?
a) 120 b) 1400 c) 140
d) 5000 e) 5400
16.Si consideremos el segmento como la unión
de dos puntos . Decir cuántos segmentos hay
en total en la figura.
a) 48 b) 53 c) 55
d) 45 e) 36
17.En la figura mostrada el cuadrado de la
diferencia entre el número de cuadriláteros y
el número de triángulos es :
a) 4 b) 9 c) 25
d) 36 e) 49
18.¿Cuántos cuadriláteros que contengan un I
existen en la siguiente figura ?
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
19.¿Decir cuántos cuadrados hay en la siguiente
figura?
a) 12 b) 14 c) 15
d) 18 e) 19

Secundaria
20.En el gráfico mostrado se tienen " n" filas y "
n" columnas de circunferencias. Hallar el
número total de puntos de intersección
1 2 3 4 n
1
2
3
n
a) n(n-1) b) 2n(n-1) c) 4n(n-1)
d) 3n(n-1) e) 6n(n-1)
21.En la figura se tiene " n" cuadrados
dispuestos como se muestra, si el máximo
número de triángulos que se determinan es
490. Hallar " n"
a) 122 b) 88 c) 212
d) 123 e) 121
22.En la figura que se muestra, el máximo
número de triángulos es 272. Hallar " n"
1
2
n
...
a) 24 b) 14 c)13
d) 17 e) 21
23.¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura?
B
M
A
N
C
a) 54 b) 27 c) 63
d) 71 e) 90
24.Al formar una pirámide regular de base
cuadrada se observa que en la base se usaron
400 bolas. ¿Cuántas bolas usaron en total?
a) 2870 b) 5740 c) 1435
d) 1600 e) N.a.
25.¿Cuál es el mínimo tiempo que utilizará un
niño para recorrer todos los lados y las dos
diagonales de un parque rectangular de 40 m
de largo y 30m de ancho corriendo con una
rapidez uniforme de 27 m/min.?
a) 10 min. b) 12 min. c) 14. min.
d) 15 min. e) 13 min.
TAREA DOMICILIARIA
01.Respecto al trazado de la figura de un solo
trazo sin levantar el lapicero
B C
A E
D
F
Marcar verdadero o falso :
I. Partiendo de E, no se puede trazar
II. partiendo de D, si se puede trazar
III. Partiendo de B, si se puede trazar
a) VFV b) VFF c) FVV
d) FFV e) FFF
02.¿Cuántos cuadriláteros no contienen a la letra
" b"?
b
b
a) 5 b) 9 c) 8
d) 10 e) 12
03.Con 120 bolas iguales se forma una pirámide
triangular regular. ¿ Cuántas bolas forman la
base?
a) 30 b) 40 c) 60
d) 36 e) 18
04.Con un alambre de 240 cm se construye un
cubo . Un insecto tarda como mínimo 10
minutos en recorrer todas las aristas del cubo,
caminando con rapidez uniforme. Calcular
dicha rapidez
a) 40 cm/min b) 30 cm/min c) 20 cm/ min
d) 10 cm/min e) 5 cm/min
05.Decir cuántos triángulos hay en la figura :
a) 17 b) 19 c) 21
d) 23 e) 16

Secundaria
Si tengo 3 esferitas diferentes
¿de cuántas maneras distintas
pueden alinear?.
;
; ;
;
6 maneras
Si tenemos a los alumnos "A",
"B" y "C", ¿de cuántas maneras
distintas se puede formar una
3 maneras
pareja ?.
A B C
A C A B B C
1. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE
CONTEO.
En los ejemplos anteriores, nos damos cuenta
que dado un evento particular (alinear las 3
esferas o formar una pareja ), estamos
interesados en conocer todas las maneras
distintas en que puede ocurrir. Para
determinar las veces que ocurre un
determinado evento, haremos uso de las
técnicas de conteo , que serán de gran ayuda
en estos casos.
1. Principio de multiplicación.
(Teorema fundamental del análisis
combinatorio ).
Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y
para cada una de estas, otro evento “B”
ocurre de “n” maneras, entonces el evento
“A” seguido de “B”, ocurre de
“m x n” maneras.
Observaciones :
* En este principio la ocurrencia es uno a
continuación del otro, es decir, ocurre el
evento “A” y luego ocurre el evento “B”.
* Este principio se puede generalizar para
más de dos eventos.
Ejemplos:
a. Una persona puede viajar de “A” a “B” de 3
formas y de “B” a “C” de 2 formas. ¿De
cuántas maneras distintas puede ir de “A” a
“C” pasando por “B” y sin retroceder.
Solución
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
b. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden
obtener al lanzar una moneda y un dado
simultáneamente ?.
Solución
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
c. Ana tiene 3 blusas diferentes y 4 faldas
también diferentes. ¿De cuántas maneras se
puede vestir Ana?.
Solución
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
d. Un producir se arma en 3 etapas: para la
primera etapa se tienen disponibles 5 líneas
de armado, para la segunda 4 y para la tercera
6 líneas de armado. ¿De cuántas maneras
distintas puede moverse el producto en el
proceso de armado ?.
Solución
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
e. ¿Cuántos números pares de 3 dígitos se puede
formar con los dígitos 1, 2, 5, 6, 7, 8 y 9, si
cada dígito puede emplearse una sola vez ?.
Solución.
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
2. PRINCIPIO DE ADICION.
Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y
otro evento “B” ocurre de “n” maneras,
entonces el evento A ó B, es decir, no
simultáneamente, ocurre de “m+n”
manera.
Observaciones
* En este principio la ocurrencia no es
simultáneamente, es decir, ocurre el
evento “A” o el evento “B”, pero no
ambos a la vez.
ANÁLISIS

Secundaria
* Este principio se puede generalizar para
mas de 2 eventos.
Ejemplos:
a. Una persona puede viajar de “A” a “B” por
vía aérea o por vía terrestre y tienen a su
disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas
terrestres. ¿De cuántas maneras distintas
puede realizar el viaje ?.
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
b. ¿Cuánto resultados diferentes se puede
obtener al lanzar un dado o una moneda ?
Solución
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
c. Un producto se vende en 3 mercados, en el
1ro. Se tiene disponible en 6 tiendas en el
2do. en 5 tiendas y en el 3er. mercado en 4
tiendas.
¿De cuántas maneras distintas puede adquirir
una persona un artículo de dicho producto ?.
Solución
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
II. FACTORIAL DE UN NUMERO.
Sea “n” un número entero positivo, el
factorial de “n”, se denota por “n!” o “ n” y
se define como el producto de todos los
enteros consecutivos de 1 hasta n inclusive,
es decir :
n ! = n = 1 x 2 x 3 x 4 x …. x (n-1) x n
Ejemplos:
• 1 ! = 1
• 2 ! = 1 x 2 = 2
• 3 ! = 1 x 2 x 3 = 6
• 4 ! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
• 5 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
• 6 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 =720
• 7 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040
• 8 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40320
• 9 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 =
362880
• 10 ! = 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10 =
3628800
Se observa :
8 !
10 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10
9 !
10 ! = 9! X 10
10 ! = 8! x 9 x 10
10 ! = 8! x 9 x 10
10 ! = 7! x 8 x 9 x10
Entonces:
n ! = (n - 1)! x n
De aquí obtenemos para n = 1 :
1! = (1 - 1) ! x 1 = 0! x 1 = 0 !
Luego definimos convencionalmente:
1! = 0! = 1
APLICACIÓN
a. Calcular :
17x!15
!17!16!15
E
++
=
5 Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
b. Reducir: E
n n n
n xn
=
+ +
−
( )! ! ( )!
( ! )! !1
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
III. COFACTORIAL O SEMI-FACTORIAL
Sea “n” un número entero positivo, el
cofactorial o semifactorial de”n” se denota
por “n” y se define:
a. Para “n” par :
8 !! = 2 x 4 x 6 x 8
20 !! = …………………
b . Para “n” impar :
7!! = 1 x 3 x 5 x7
19 !! = ………………….
APLICACIÓN
Expresar los siguientes cofactoriales en
términos de factoriales.
a. 40 !!
b. 41 !!
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
Observaciones:
• 3 ! = 6  factorial de 3
• 3 !! = 3  cofactorial de 3
• 3 !!!  no existe definición
• (3 !)! = 6 ! = 720
• ((3 !)!)! = ( 6!)! = 720!
• 3 !!! ≠ (( 3! )!)!
IV. PERMUTACION.
Es un arreglo u ordenación que se puede
formar con una parte o con todos los
elementos disponibles de un conjunto.
En una permutación si interesa el orden de
sus elementos. Se pueden presentar en tres
casos.
1. PERMUTACION LINEAL.
Es un arreglo u ordenación de elementos en
línea recta. Si tenemos un conjunto de cuatro
elementos, A={a,b,c,d} , los posibles arreglos
o permutaciones de este conjunto tomados de
2 en 2 son:

Secundaria
a ……, b…….., c……, d……..
a ……, b…….., c……, d……..
a ……, b…….., c……, d……..
Vemos que hay 12 permutaciones distintas.
Se puede llegar a la misma respuesta sin tener
que escribir todas las ordenaciones posibles,
si aplicamos el principio de multiplicación:
A = { a, b, c, d }
4 3
Ordenación
de 2 en 2
Por lo tanto: Número de permutaciones
posibles es:
4 x 3 = 12
Del ejemplo anterior obtenemos las siguientes
conclusiones:
• El número de permutaciones de 4
elementos tomados de 2 en 2 se denota
como : P2
4
• P2
4
= 12 = 4 x 3 =
4 3 2 1
2 1
x x x
x
P2
4 4
2
4
4 2
= =
−
!
!
!
( )!
En General
El número de permutaciones de “n”
elementos diferentes tomados de “K” en “K”,
se calcula como:
P
n
n K
K
n
=
−
!
( )!
0 < K ≤ n
Observación:
* Cuando se toman todos los elementos del
conjunto para ordenarlos o permutarlos
(es decir K=n), se dice que es una
permutación de “n” elementos y se denota
por Pn
P
n
n n
n n
n
n
=
−
= =
!
( )!
!
!
!
0 1
P P nn
n
n= = !
APLICACIÓN:
a. En una carrera participa 4 atletas. ¿De cuántas
maneras distintas pueden llegar a la meta, si
llegan uno a continuación del otro ?.
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………….
b. Un grupo esta formado por 6 persona y
desean formar una comisión integrada por un
presidente y un secretario. ¿De cuántas
maneras puede formarse dicha comisión ?.
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
c. Dos varones y tres chicas van al cine y
encuentran asientos juntos en una misma fila,
donde desean acomodarse. ¿De cuántas
maneras diferentes pueden sentarse, si las
tres chicas no quieren estar una al lado de la
otra ?.
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………….
d. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 10
chicas en una fila, de manera que dos chicas,
en particular, no queden juntas ?.
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………….
e. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12
niños en una fila, de manera que cuatro niños,
en particular queden juntos ?.
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………….
f. Encontrar el número total de enteros positivos
que pueden formarse utilizando los dígitos 1,
2, 3 y 4, si ningún dígito ha de repetirse
cuando se forma un número.
Solución
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………….
2. PERMUTACION CIRCULAR.
Es un arreglo u ordenación de elementos
diferentes alrededor de un objeto; en estas
ordenaciones no hay primer ni último
elemento, por hallarse todos los línea cerrada.
Ejemplo:
* Permutar “A” y “B” y “C” en forma
circular.
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………….
Para determinar el número de permutaciones
circulares de “n” elementos distintos,
denotado por Pc(n) basta fijar la posición de
uno de ellos y los “n-1” restantes podrán
ordenarse de (n-1) maneras. Si se toma otro
elemento como fijo, las ordenaciones de los
restantes serán seguro uno de los ya
considerados.
Luego:
P nc n( ) ( )!= −1
Observación:
* Para diferenciar una permutación circular de
otra, se toma uno de los elementos como
elemento de referencia, y se recorre en
sentido horario o antihorario, si se encuentran
los elementos en el mismo orden, entonces

Secundaria
ambas permutaciones serán iguales y en caso
contrario, diferentes.
Ejemplos:
* Para el ejemplo anterior :
A C
B
(1)
B A
C
(2)
C B
A
(3)
A B
C
(4)
Sea “A” el elemento de referencia;
recorremos a partir de “A” en sentido horario,
como indican las flechas.
En :
(1) A, C y B
( 2) A, C y B
( 3) A, B y C
sólo (4) es una permutación diferente a las
otras tres que representan una misma
permutación circular.
APLICACIÓN:
a. ¿De cuántas maneras diferentes pueden
sentarse alrededor de una mesa Juan y sus
cinco amigas ?.
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………….
b. En una mesa circular se encuentran servidos 5
vasos con gaseosa, entre ellos hay uno con
gaseosa marca “Coca Cola” . ¿De cuántas
maneras diferentes pueden ubicarse 6
personas en sus asientos, si entre ello hay 4
personas que no les gusta la gaseosa marca
“Coca Cola”?.
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
c. Cuatro parejas de enamorados, ¿de cuántas
maneras diferentes pueden ubicarse alrededor
de una fogata?. De modo :
i. Los hombres y mujeres queden alternados
ii. Cada pareja no se separe.
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………….
3. PERMUTACION CON ELEMENTOS
REPETIDOS.
Es un arreglo u ordenación de elementos no
todos diferentes (elementos repetidos ).
Si se tienen “n” elementos donde hay :
K1 elementos repetidos de una 1ra. Clase.
K2 elementos repetidos de una 2da. Clase.
• •
• •
• •
K1 elementos repetidos de una r-ésima clase
El número de permutaciones diferentes con
“n” elementos los cuales tienen elementos
que se repiten, se calcula como sigue:
P
n
K xK x xK
K K K
n
r
r1 2
1 2
, ,...,
!
! ! .... !
=
Donde :
K1 + K2 + …+ Kr ≤ n
APLICACIÓN
a. Un estante tiene capacidad para 5 libros de
R.M. que tiene pasta azul, 4 de R.V. de pasta
roja y 3 de matemáticas de pasta amarillas.
¿De cuántas maneras pueden colocarse los
libros según los colores?.
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………….
b. Se tienen 10 banderas donde 2 son rojas, 3
blancas y 5 son azules. De cuántas maneras se
pueden hacer señales poniendo todas las
banderas en fila ?.
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………….
c. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las
letras de la palabra DIVISIBILIDAD ?.
Solución:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………….
V. COMBINACION.
Es una selección o grupo que se puede formar
con una parte o con todos los elementos
disponibles de un conjunto. En una
combinación no interesa el orden de sus
elementos.
A través de un ejemplo nos daremos cuenta
que hay una estrecha relación entre las
permutaciones y las combinaciones.
Dado el conjunto A ={ a,b,c,d } calcular el
número de permutaciones y el número de
combinaciones de los elementos de “A”
tomados de 3 en 3.
Permutaciones Combinaciones
abc, acb, bac, bca, cab, cba
abd, adb, bad, bda, dab, dba
acd, adc, cad, cda, dac, dca
bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb
Total : 24 = P4
3
Total: 4 = C4
3
6
6
6
6
abc
abd
acd
bcd
1
1
1
1
Del ejemplo anterior obtenemos las siguientes
conclusiones:
* El número de combinaciones de 4
elementos tomados de 3 en 3 se denota por
C3
4
* Cada combinación tiene 6 perrmutaciones
es decir : 3 !.
* C
P
3
4 3
4
4
24
6 3
= = =
!
*
C3
4
4
4 3
3
4
3 4 3
=
−
=
−
!
( )!
!
!
!( )!
En general:
El número de combinaciones de “n”
elementos diferentes tomados de “K” en “K”
se calcula como:

Secundaria
C
n
K n KK
n
=
−
!
!( )!
; 0 < K ≤ n
Observaciones:
* Cuando se toman todos los elementos del
conjunto para agruparlos o combinarlos (es
decir , K=n), se dice que es una combinación
de “n” elementos y :
C
n
n n n
n
n xn
n
=
−
= =
!
!( )!
!
! !0
1
Cn
n
= 1
• C C n Cn n
n
n
0 11 1= = =; ;
• C CK
n
n K
n
= −
• C C C Cn n n
n
n n
0 1 2 2+ + + + =...
• C
n nn
2
1
2
=
−( )
• En el triángulo de Pascal podemos
observar lo siguiente :
1
1 1
21 1
3 31 1
4 6 4 11
10 10 551 1
61 15 20 15 6 1 C
6
C
C
C
C
C
1
2
3
4
5
C
4
0 =1 C
4
2 =6 C
4
3 =4
C
6
1 =6 C
6
4 =15 C
6
5 =6
;
; ;
;
APLICACIÓN
a. ¿Cuántos grupos de 4 personas se pueden
formar con 6 personas ?.
Solución:
…………………………………………….
…………………………………………….
………………………………………….....
………………………………………….....
………………………………………….…
b. Se extrae dos cartas de una baraja de 52
cartas. ¿De cuántas maneras se puede hacer
eso ?.
Solución:
…………………………………………….
…………………………………………….
…………………………………………….
…………………………………………….
………………………………….…………
c. En una reunión hay 10 hombres y 6 mujeres.
Se van a formar grupos de 5 personas.
¿Cuántos grupos diferentes se formarán si
siempre deben haber 3 hombres en el grupo ?.
Solución:
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
………………………………………………
d. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10
preguntas en un examen:
i. ¿De cuántas maneras puede el estudiante
escoger las 8 preguntas ?.
ii. Si las tres primeras son obligatorias. ¿de
cuántas maneras puede escoger las
preguntas ?.
iii. Si tiene que contestar 4 de las 5 primeras.
¿de cuántas formas puede escoger las
preguntas?.
Solución:
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
………………………………………………
CONCLUSION:
* La diferencia más importante entre las
permutaciones y las combinaciones radica en
el orden.
Permutaciones < > ordenamientos
Importa el orden
Combinaciones <> Agrupamientos
No importa el orden
PRACTICA DE CLASE
01. Hallar “x” en:
1! 22
+ 2! 32
+ 3! 42
+….+20! 212
= x! - 2!
Rpta:……………….
02. Una compañía aérea debe realizar
diariamente 5 viajes al Cusco, 3 a Trujillo y
2 a Iquitos. ¿De cuántas maneras distintas
puede realizar dicho itinerario ?.
Rpta: ………………..
03. Se dispone de 5 colores diferentes para
pintar la siguiente figura de modo que
cuadrados vecinos tengan colores
diferentes. ¿De cuantas maneras puede
cumplirse dicho objetivo, si el número de
colores utilizados en cada caso es mínimo?.
Rpta: ……………..
04. Caito, jugador estrella del Cantalao, debe
recorrer la cancha del Nacional de “A” a
“B” , según los movimientos indicados por
la flecha. ¿De cuántas maneras es posible
que Caito haga dicho recorrido ?.
A
B
Rpta: ……………..
05. En la figura A, B, C y D son ciudades y
cada línea es un camino. Si una persona
desea viajar. ¿De cuánta manera puede
elegir su recorrido ?. si :
a. Sale de A hacia D (pasando por B y C)
b. Sale de A hacia D y luego regresa hacia
A
c. Sale de A hacia D y luego regresa hacia
A sin pasar de nuevo por el mismo
recorrido.
A B C D
Rpta:……………

Secundaria
06. ¿Cuántas números de 3 cifras utilizan al
menos una cifra par o cero en su escritura ?.
Rpta:……………..
07. Un grupo de 3 mujeres y 5 hombres se
forman en 2 filas iguales. ¿De cuántas
formas se podrán ubicar, si en cada fila
debe hacer por lo menos 1 mujer ?.
Rpta:……………
08. Hay dos obras de 3 volúmenes cada una y
otras dos de dos volúmenes cada una. ¿De
cuántas maneras puede colocarse los 10
libros en un estante, si deben quedar de tal
manera que no se separen los volúmenes de
la misma obra ?.
Rpta: ……………..
09. En un semestre académico en la
Universidad, se enseña el curso de
Matemáticas 1 en 8 secciones. Después de
haberse realizado la matrícula oficial se
quedarán sin matricularse 6 alumnos. ¿De
cuántas maneras se pueden matricular si
cada una de las secciones puede aceptar un
alumno?.
Rpta: …………………
10. Se tiene 4 libros de aritmética y 3 libros de
álgebra. ¿De cuántas formas se podrán
ubicar en un estante donde sólo entran 5
libros y deben estar alternados?.
Rpta: …………………
11. Alrededor de una mesa circular de 6
asientos se ubican 2 niñas y 3 niños. ¿De
cuántas formas podrán hacerlo, si el asiento
vacío debe quedar entre las niñas?.
Rpta: ……………….
12. En una caja se tiene 2 fichas rojas, 4 fichas
blancas, 3 azules, 1 verde y 1 negra. ¿De
cuántas maneras diferentes se les puede
ordenar si se colocan una continuación de
otra.
a. en forma de línea recta
b. en forma de círculo.
Rpta: ………………..
13. Calcular el número total de palabras
diferentes que se pueden formar con todas
las letras a la vez de la palabra KATTII, de
manera que, vocales iguales estén juntas.
Rpta:……………..
14. ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en
total en un campeonato que se juega a dos
ruedas ?. Supongamos que participan 20
equipos.
Rpta:……………….
15. En un tienda hay 6 camisas y 5 pantalones
que me gustan. Si decido comprar 3
camisas y 2 pantalones, ¿de cuántas
maneras diferentes puedo escoger las
prendas que me gustan?.
Rpta: ………………….
16. De un grupo de 15 personas, 5 son
muchachos, 6 son muchachas y 4 son
adultos. Se desea formar un comité de 6
personas. ¿De cuántas maneras se pueden
agrupar, si en el comité debe hacer por lo
menos 2 adultos, 2 muchachas y 1
muchacho ?.
Rpta:…………………
17. Se tiene 6 números positivos y 8 números
negativos. Se eligen 4 números
arbitrariamente sin sustitución y se
multiplican. ¿De cuántas formas el
producto es un número positivo ?.
Rpta: ………………..
18. En un torneo de ajedrez jugaron en total
524 partidas, y se sabe además que
hubieron 2 ruedas. En la primera jugaron
todos contra todos y en la segunda jugaron
los 8 mejores. ¿Cuántas personas
participaron ?.
Rpta:………………
19. Un bote de 8 remos va a ser tripulado por
un grupo seleccionado de 11 hombres, de
los cuales 3 pueden llevar el timón. ¿De
cuántas maneras puede ordenarse el grupo
si dos de los hombres deben estar en el bote
y solo pueden remar en uno de los lados ?.
(El bote tiene la misma cantidad de remos a
sus lados ).
Rpta: ……………….
20.Se quiere tomar una foto a un grupo de 8
alumnos, pero en la foto solo pueden
aparecer 5 alumnos sentados en línea recta.
¿De cuántas maneras diferentes se puede
tomar dicha foto ?.
Rpta: ………………..
PROBLEMAS PROPUESTOS 02
01.Seis compañeros de la universidad se
encuentran en un evento tecnológico.
Determinar ¿cuántos saludos intercambian
como mínimo, si 2 de ellas están reunidas?
a) 6 b) 30 c) 15
d) 12 e) 14
02.En un simposio organizado por la
Municipalidad de Lima participaron 4
alcaldes del Cono Norte y 3 alcaldes del
Cono Sur, los cuales están ubicados en una
mesa rectangular dado de frente al público
asistente. ¿Dé cuantas maneras pueden
disponerse los alcaldes, si los burgomaestres
de un mismo cono no pueden estar separados?
a) 12 b) 240 c) 144
d) 288 e) 270
03.En un circo, un payaso tiene a su disposición
5 trajes multicolores diferentes, 6 gorras
especiales diferentes y 3 triciclos. ¿De
cuántas maneras puede seleccionar su equipo
para salir a la función?
a) 45 b) 30 c) 18
d) 90 e) 270
04.En una reunión 10 amigos desearon ordenarse
para tomarse un foto. Si entre ellos hay una
pareja de enamorados que no desea separarse.
¿De cuántas maneras pueden ordenarse?
a) 9! B) 8! C) 2.9!
d) 3.8! e) 3.9!
05.De un congreso de estudiantes de Ingeniería a
nivel del Perú, a la hora del almuerzo, en una
de las salas se encuentran un grupo de 15
participantes donde 10 son del interior y 5 de
la capital. ¿De cuántas formas se puede
seleccionar los alumnos para almorzar si en
cada grupo debe haber tres estudiantes del
interior y 2 de la capital?
a) 1200 b) 1320 c) 1020
d) 1230 e) 1300
06.Hallar el número de personas que asistieron a
una reunión si al despedirse se contaron 78
apretones de mano.
a) 10 b) 12 c) 13
d) 11 e) 14
07.Calcular el valor de “x” que satisface la
igualdad:

Secundaria
450C.V x
2
x
2 =
a) 16 b) 6 c) 15
d) 10 e) 5
08.Calcular x e y de las siguientes expresiones:
x
2y
x
y
x
y
x
1y
C5C4
CC
−
−
=
=
a) x=9; y=17 b) x=17; y=9
c) x=12; y=8 d) x=17; y=5
e) x=10; y=9
09.Calcular “n”:
( )( ) !60!3n3n...!5x5!4x4!3x3!2x22 =+++++++
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
10.Averiguar el valor de “n” que justifique a la
igualdad:
( ) n6n11n6n!3n 234
+++=+
a) 5 b) 1 c) 3
d) 2 e) 4
11.Al simplifica:
obtienese
CCCC
CC
20
8
19
12
18
12
18
6
21
13
21
8
+++
+
a)
2
1
− b)
2
1
c)
4
1
d) 2 e) 4
12.La expresión:
3
n
3
n
2
n
1
n
3
n
2
n
1
n
0
6C6C
6C12C7C
++
+++
a)
n
1
1 + b)
n
1
1 − c)
n
2
1 +
d)
n
1
e) n
13.El valor de la suma
m2
1m2
3m
2m
2m
1m
1m
m C....CCC −
+
+
+
+
+
++++
Será:
a) ( )1m2
2
1
+ b) ( )1m2
2
m
+
c) ( )1m
2
m
+ d) ( )1m3
2
m
+
e) 2m
14.Calcular “n” en:
5
7
C
CC
2n
4
1n
3
n
2
=
+
+
+
a) 2 b) 5 c) 9
d) 6 e) 3
15.Un coleccionista de artículos precolombinos
ha sido invitado a exponer sus mejores
cerámicas. Dicho coleccionista ha decidido
presentar 8 ceramios de los 10 de su
colección. ¿De cuántas maneras puede
seleccionarlos si 3 de ellos no pueden faltar
en la exposición.
a) 7 b) 3 c) 21
d) 8 e) 10
16.Resolver la ecuación expresado como:
( ) ( )
( ) ( )
120
!4n!3n
!5n!3n
=
++
++
a) -1 b) 1 c) -10
d) 10 e) N.a.
17.Si se dispone de “m” objetos iguales, otros
“n” objetos iguales y finalmente “p” objetos
diferentes. ¿De cuántas maneras puede Ud.
seleccionar por los menos al de ellos?
a) mnp
b) (m+1)(n+1) p-1
c) (m+1) (n+1) 2P
-1
d) mn2P
e) mn2P+1
- 1
18.¿De cuántas maneras pueden formar 6
soldados en un fila?
a) 120 b) 720 c) 240
d) 200 e) N.a.
19.¿Cuántas palabras de 6 letras, sin importar su
significado se pueden formar con las letras de
la palabra PIERRE?
a) 150 b) 120 c) 180
d) 24 e) N.a.
20.¿De cuántas formas diferentes pueden
sentarse alrededor de una mesa circular, dos
esposos y 5 hijos?
a) 120 b) 720 c) 5040
d) 2520 e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.¿De cuántas formas se pueden ordenar las
siguientes pelotas de diversos colores de un
juego: 3 rojos, 2 azules y 2 blancas?
02.Hallar el número de maneras como pueden
colocar en un estante 4 libros grandes, 3
medianos y 2 pequeños, de modo que los
libros de igual tamaño están siempre juntos?
03. Alumnos llegan a matricularse a la Academia
que dispone de 8 aulas ¿De cuántas maneras
se les puede distribuir de modo que siempre
ocupen aulas diferentes?
04.¿Cuántos números deferentes de 5 cifras
pueden tomarse con los dígitos : 1, 2, ,...8?

Secundaria
Imagina la siguiente situación:
Lanzamos sobre una mesa tres monedas e
intentamos contestar a las siguientes preguntas:
(1) ¿Se obtendrá al menos un sello?
(2) ¿Es muy posible que se obtenga dos caras?
El lanzamiento de las tres monedas es un
experimento aleatorio.
Al responder preguntas como (1) y (2) damos
lugar a sucesos los cuales pueden tener uno o
varios resultados.
Si un suceso tiene un solo resultado se le llama
suceso elemental.
Veamos otro ejemplo:
Lancemos un dado sobre una mesa. Aquí nos
podremos preguntar ¿saldrá el resultado menor
que 4? ¿saldrá impar? De cada una de estas
preguntas surge un suceso.
SUCESOS RESULTADOS
“menor que 4”
“obtener impar”
“sacar 3”
“tres o más”
{1; 2; 3}
{1; 3; 5}
{3}
{3; 4; 5; 6}
Tabla N° 5
En acción ..
Confecciona una tabla similar a la Tabla
N° 5 respondiendo a las siguientes
preguntas: ¿saldrá mayor o igual que
3?, ¿saldrá 4?
01. EXPERIMENTO ALEATORIO:
Es un experimento en el que no se puede
predecir el resultado. Decimos entonces que
el experimento está sujeto al azar.
Ejemplo:
• tirar un dado
• lanzar una moneda al aire
• extraer al azar una bola de una urna
donde hay bolas de igual tamaño pero de
distintos colores.
02. ESPACIO MUESTRAL: (E)
Es el conjunto de todos los resultados que se
obtiene al realizar un experimento.
Cada subconjunto del espacio muestral se
llama suceso.
Si este ultimo consta de un solo elemento se
llama suceso elemental.
Ejemplo:
Cuando lanzamos un dado, el espacio
muestral E es:
{ }6;5;4;3;2;1E =
Este espacio muestral tiene seis sucesos
elementales.
“Obtener par” es un suceso cuyo resultado es
el subconjunto { 2; 4; 6 }
PROPIEDADES DE LA
FRECUENCIA Y DE LA
PROBABILIDAD
FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA
RELATIVA DE UN SUCESO
Digamos que tenemos un experimento aleatorio
realizado N veces.
Si el suceso A aparece n veces, decimos que:
nAdeabsolutafrecuenciaFA ==
N
n
AderelativafrecuenciafA ==
PROPIEDAD FUNDAMENTAL
Si f(s) es la frecuencia relativa de un suceso S se
comprueba que:
( ) 12f0 ≤≤
Demostración:
De la definición de frecuencia resulta que el
número n de veces que se presenta el suceso S en
N pruebas cumple con:
Nn0 ≤≤ ; dividiendo todo por N:
( ) 1sf0ó
N
N
N
n
N
0
≤≤≤≤
PROBABILIDAD DE UN SUCESO (p)
Sigamos con el dado. El suceso “salir impar” se
verifica al obtener 1 ó 3 ó 5.
Resultados favorables = 3
Resultados posibles = 6
Entonces esperamos que salga impar 3 de cada 6
veces, es decir:
Probabilidad de que salga impar = 5.0
6
3
=
o también P {1; 3; 5} = 0.5
Mas ejemplos; regresemos a la tabla N° 5
SUCESO PROBABILIDAD
“menor que 4!
ó {1; 2; 3}
“obtener impar”
ó {1; 3; 5}
“sacar 3”
ó { 3}
“tres o más”
ó { 3; 4; 5; 6}
3/6 = 0,5 = 50%
3/6 = 0,5,= 50%
1/6 = 0,17 = 17%
4/6 = 0,67 = 67%
SUCESOS EQUIPROBABLES
Son aquellos que tienen la misma probabilidad de
ocurrencia.
Al tirar el dado existen 6 posibilidades de
resultado; cada una con p = 1/6
REGLA DE LAPLACE
Cuando los resultados son equiprobables:
PROBABILID

Secundaria
p ( A ) =
probabilidad de
un suceso A
=
N° de resultados favorables a A
N° de resultados posibles
Ejemplo:
En una urna se tienen 8 bolas numeradas del 1 al
8. todas del mismo peso, tamaño y color. ¿cuál es
la probabilidad de extraer al azar bolas
numeradas menores que 6?
SUCESO: “menor que 6” ó {1; 2; 3; 4; 5}
N° de resultados favorables = 5
N° de resultados posibles = 8
Probabilidad = p = 5/8
ó p = 0,625
Si p=0 suceso imposible; si p=1 suceso seguro
DIAGRAMA DEL ÁRBOL
Veamos un caso: lanzamos 2 monedas al aire.
Se nos pide calcular la probabilidad de obtener
alguna cara.
MONEDA 1 MONEDA 2
C
C
S
CC
CS
S
C
S
SC
SS
"alguna
cara"
N° de resultados favorables = 3
N° de resultados posibles = 4
Entonces p (alguna cara) =
4
3
PRACTICA DE CLASE
01.Se lanzan dos lados sobre una mesa y se
anota el resultado obtenido. Escribir el
espacio muestral de este experimento.
Además escribir los sucesos “obtenidos al
menos un 2” y “obtener 7 al sumar los
números obtenidos”. ¿Cuál es la suma de los
elementos de estos dos últimos subconjuntos?
02.En una bolsa hay dos bolas rojas y cuatro
bolas azules. Si extraemos al azar tres bolas,
escribir los sucesos “obtener 3 bolas de igual
color” y “obtener una bola azul”. ¿cuál es la
suma de los elementos de estos dos
conjuntos?
03.Cuando lanzamos 70 veces un dado se obtuvo
seis veces el número 3, cinco veces el número
5, cuatro veces el número 2, trece veces el
número 1, dos veces el número 6 y tres veces
el número 4.
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del suceso
“obtener par”?
b) ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso
“obtener número impar”
c) ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso
“obtener número primo”?
04.Si en un salón de clase hay 20 alumnos y 30
alumnas, ¿cuál es la probabilidad de que al
salir un alumno del aula este seas mujer?
05.¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos
en el lanzamiento de tres monedas?
06.¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 al
sumar los puntos de las caras superiores al
lanzar dos dados?
Sugerencia:
Una tabla de doble entrada (numeración del 1
al 6 en ambos lados) permitirá conocer el
número de casos posibles.
07.Se lanzan dos dados. ¿cuál es la probabilidad
de obtener por los menos 10 en la suma de los
puntos de las caras superiores?
08.Se lanzan dos dados. ¿cuál es la probabilidad
de obtener a lo más 10 al multiplicar los
puntos de las caras superiores?
09.¿cuál es la probabilidad que al lanzar una
moneda al aire se obtenga cara?
10.Se lanza un dado al aire ¿qué probabilidad
hay que se obtenga tres?
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03
01.Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado
sobre una mesa resulte un número par?
a) 0,5 b) 5 c) 50
d) 0,05 e) N.a.
02.¿Cuál es la probabilidad de que en una baraja
de cartas, al extraer una de ellas se obtenga un
as?
a) 1/52 b) 1/15 c) 1/10
d) 1/4 e) 1/13
03.En una caja se tienen 12 bolas negras y 18
azules. ¿cuál es la probabilidad de que al
extraer una al azar resulte azul?
a) 2 b) 0,6 c) 6,2
d) 0,02 e) 0,2
04.Una tienda vende únicamente 4 bebidas.
¿cuál es la probabilidad que el próximo
comprador elija una de estas 4 bebidas?
a) 1/4 b) 1/2 2/4
d) 4 e) 2
05.En un salón de clase hay 35 alumnos, de los
cuales 20 son limeños. ¿cuál es la
probabilidad que al elegir uno al azar resulte
no limeño?
a) 7/3 b) 7/12 c) 3/7
d) 12/7 e) T.a.
06.¿Cuál es la probabilidad de obtener un
número primo al lanzar un dado?
a) 0,2 b) 0,8 c) 2,8
d) 2, 3 e) N.a.
07.¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras
al lanzar aire dos monedas?
a) 5/8 b) 9/5 c) 1/2
d) 4/3 e) 1/4
08.Se lanzan dos dados sobre una mesa. ¿cuál es
la probabilidad que la diferencia de los puntos
sea menor que 3?
a) 3/2 b) 1/2 c) 1/4
d) 2/3 e) 2
09.En una fiesta por cada 3 varones habían 2
mujeres. A la media noche se retira una
persona. ¿cuál es la probabilidad que sea una
mujer?
a) 5/2 b) 2/5 c) 2/50
d) 5/20 e) N.a.
10.En una urna colocamos 15 bolas, de las cuales
7 son rojas. ¿cuál es la probabilidad de
obtener una bola que no sea roja al extraer
una bola de la urna?
a) 15/8 b) 8/10 c) 8/15
d) 15/10 e) N.a.
11.Se lanza un dado y se desea saber. ¿cuál es la
probabilidad que el número sea compuesto?
La probabilidad de un suceso es un
número comprendido entre 0 y 1

Secundaria
a) 1/2 b) 2/4 c) 1/6
d) 1/3 e) 1/4
12.Se lanzan tres monedas. ¿cuál es la
probabilidad de obtener 3 sellos?
a) 1/4 b) 3/8 c) 1/8
d) 2/8 e) N.a.
13.Del problema anterior. ¿cuál es la
probabilidad de obtener solo dos caras?
a) 1/4 b) 3/8 c) 1/8
d) 2/8 e) N.a.
14.Si lanzamos 2 dado ¿cuál es la probabilidad
que el producto de puntos sea mayor que 12?
a) 15/35 b) 14/34 c) 13/36
d) 36/16 e) 18/23
15.Si lanzamos 2 dados ¿cuál es la probabilidad
que el número de puntos de uno sea divisor
del número de puntos del otro?
a) 12/15 b) 12/14 c) 11/18
d) 11/28 e) 11/12
TAREA DOMICILIARIA
que la suma de los puntos sea múltiplo de 5?
que la suma de los puntos sea un múltiplo de
3?
La importancia de su conocimiento es realmente
grande, se les usa en todas las ramas del quehacer
humano para graficar de modo bastante simple
una gran diversidad de hechos, Ud. incluso, ya se
ha acostumbrado a verlos en diferentes
oportunidades.
Veamos ahora cuáles son los conceptos
fundamentales:
Empezaremos viendo los que es un PAR
ORDENADO.
PAR ORDENADO:
Llamamos así a dos números o términos
cualesquiera, pareados de tal manera que uno
puede ser considerado como el primo del par
(primera componente) y el otro como el segundo
(segundo componente)
Ejemplos de pares ordenados:
IGUALDAD DE PARES ORDENADOS:
2 pares ordenados son iguales entre sí, sí y
solamente sí, las primeras componentes son
iguales entre sí y las segundas componentes
también son iguales entre sí.
Es decir: ( a , b ) * ( c , d )
Sí y solamente sí: a = c
b = d
Podemos pues notar, ahora, que no es lo mismo
escribir (x, y) que (y, x) (en el caso de que x sea
diferente de y)
Veamos una aplicación práctica:
• Hallar x e y si se sabe que el par ordenado:
(3x + 5, 2y -3) es igual al par (8, 5)
Como nos dicen que ambos pares son iguales
escribiremos:
(3x + 5, 2y - 3) = (8, 5)
de donde por la igualdad de 2 pares ordenado,
podemos escribir:
3x + 5 = 8 y; 2y - 3 = 5
3x = 3 y; 2y = 8
x = 1 y; y = 4
Muy fácil .... ¿no le parece? ..................
• Ahora, halle Ud. el valor de la suma: x + y, sí
se sabe que:
(3x +2y , 8x - 3y) = (5, 6)
En otro tipo de estudios, podrá Ud. ver que entre
los pares ordenados también se pueden dar
operaciones como la suma, resta, producto, etc.
que - por ahora - obviaremos.
SISTEMA DE COORDENADAS:
Su propósito básico es localizar puntos en el
plano (o en el espacio) relacionándolos con
sistema de 2 líneas (o de 3) que se cortan
COORDENADAS
( 5 , 8 )
1a. comp. 2a. comp.
( a , 9 )
1a. comp. 2a. comp.
( sen x , cos y )
1a. comp. 2a. comp.

Secundaria
perpendiculares entre sí en un punto que
llamamos origen de coordenadas.
En el caso de un sistema de 2 líneas
perpendiculares entre sí, ellas son una línea
horizontal llamada: eje de las X ó eje de las
ABCISAS (en la que se medirán distancias
horizontales); y una línea vertical llamada; eje de
las Y o eje de las ORDENADAS (en la que se
medirán distancias verticales)
0
eje de las
ordenadas
0
eje de las
abcisas
A cada una de estas líneas le podemos asignar
una unidad común de distancia convirtiéndolas
así en rectas numéricas y conviniendo en que la,
dirección positiva del eje X es a la derecha del
origen de coordenadas y la dirección negativa en
sentido contrario; para el caso del eje Y la
dirección positiva será hacia arriba del origen y la
negativa hacia abajo. Veámoslo:
1
2
3
-1
-2
-3
0
1 2 3-3 -2 -1
.
.
.
.
.
.
. . .. . .
X
X
Y
Y
+
-
-
+
semiejes
positivos
semiejes
negativos
origen de
coordenadas
SITUACIÓN DE UN PUNTO
La situación de un punto en el plano se expresa a
través del par ordenado llamado:
COORDENADAS del punto, cuya primera
componente se llama ABCISA y al segunda se
llama ORDENADA.
COORDENADAS : (ABCISA, ORDENADA)
ABCISA (X): Se mide en el eje X o eje de las
abcisas. Indica la posición
horizontal del punto, o es también
distancia hacia la derecha o la
izquierda del origen.
ORDENADAS (Y): Se mide en el eje Y o eje de
las ordenadas . Indica la
ubicación vertical del punto
o es también distancia hacia
arriba o hacia abajo del
origen.
Veamos algunos ejemplos de ubicación de
puntos:
• Ubicar el punto a = (2, 3)
1. La abcisa es le primer número, en este caso
igual a 2.
Contamos 2 unidades, a partir del origen, en
el semieje positivo de las X, desde allí
trazamos una paralela a l eje Y.
2 3 410
Y
Y
XX
+
+-
-
2. La ordenada es igual a 3.
Contamos 3 unidades, a partir del origen, el
semieje positivo de las Y y de allí trazamos
una paralela al eje X.
2 3 410
Y
Y
X
X
+
+
-
-
1
3
2
A (2, 3)
En donde se cruzan ambas líneas, está ubicada el
punto A = (2, 3)
• Ubicar el punto B = (-6, 5)
Procedamos de otro modo:
A partir del origen y hacia la izquierda contamos
6 unidades, desde allí trazamos una paralela al eje
y contamos en dicha paralela 5 unidades
verticales.
En el punto en que acabemos el conteo, allí se
ubica el punto B.
-2-3-4-5-6 -1
2
3
4
5
1
B (-6, 5)
Y
X X
Y +
+-
-
Como Ud. puede haber notado, la ubicación de un
punto conociendo sus coordenadas es algo
sumamente simple.
Ahora, practique Ud. en los siguientes casos:
I. Ubique Ud. En cada caso siguiente los
puntos señalados:
C = ( 8 , 3 ) D = ( -6 , -2 )
Y+
Y-X-
X+
Y+
Y-
X-
X+
P = ( -5 , +8 ) Q = ( 5 , -a )
Y+
Y- X-
X+
Y+
Y-
X-
X+
Debe notarse también que cada una de
las cuatro regiones que se determinan al
cortarse los ejes, se denominan
CUADRANTES y en ellos las
componentes de las COORDENADAS,
tienen signos diferentes:
Y+
Y-
X-
X+
II CUADRANTE
( - , + )
Ier CUADRANTE
( + , + )
IIerI CUADRANTE
( - , - )
IVto CUADRANTE
( + , - )
II. En el siguiente caso “X” ó “Y” están
relacionados a través de: Y = 2X + 1.
Cada valor de “Y” se ha obtenido al
reemplazar el respectivo valor de X en la
expresión dada.

Secundaria
Ubique Ud. Cada par de puntos que se le
dan en la tabla adjunta y únalos para
poder obtener la gráfica de la relación
entre “X” ó “Y”:
Y= 2x + 1
Y+
Y-X-
X+
YX
10
31
52
73
94
¿Qué figura ha obtenido? ..........
Ahora proceda de la misma manera en
los siguientes casos:
Y= 3 – 3x
YX
-63
30
12-3
21-6
30-9
Y= 5 + 2x
YX
71
113
155
197
239
2711
¿Qué figuras volvió a obtener en estos
casos? .....................................................
En efecto, ha obtenido líneas rectas.
En general una igualdad de primer grado
con 2 variables SIEMPRE de lugar a una
recta, o es la ecuación de una recta, ella
entonces tendrá en general la forma:
Y = ax + b
Grafique ahora los dos casos siguientes:
Y = 3x2
+ 2x + 1
Y+
X+
YX
-29
-12
01
16
217
334
Y =X2
+ 1
YX
0
1
2
-1
-2
¿Qué ha obtenido? ...............................
Así se, ha obtenido líneas curvas. En
general toda ecuación de grado igual o
mayor a 2 es la representación de una
LINEA CURVA.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia geométrica entre dos puntos
situados en un plano y cuyas coordenadas
son A = (X, Y) y B = (x1, y1) está dada por
la expresión:
A(x,y)
(x , y )
2 1
AB=
AB
(X - X) + (Y - Y)1 1
2 2
Expresión que puede ser muy fácilmente
mostrada utilizando el teorema de Pitágoras.
Veamos ahora unas aplicaciones:
Ejemplo: Hallar la distancia entre los puntos
A=( 3,8 ) y B = ( 6,12 )
Aplicando la fórmula dada:
2
2
2
1 )()( YXXXAB −+−=
22
)812()36( −+−=AB
22
43 +=AB AB =5
 Ejemplo: Hallar la distancia entre los
puntos P=( 3 , 9 ) y C = ( 8 , 21 )
aplicando la fórmula dada:
Como puede ver, hallar la distancia entre
2 puntos es muy
simple. ............................... ¿No lo cree
Ud.? .......................................
 Halle Ud. La distancia entre los
siguientes pares de puntos:
a) A=(5,2) y B=(9,5)
b) p=(-1,-5) y Q=(-6, -9)
c) Q=(2x, Y) y R=(4X, -3Y)
d) S=(
4
3
X, 2X) y T=(x, -5X)
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO
ENTRE 2 PUNTOS:
Sean los puntos A=(X, Y), B=(X1, Y1), las
coordenadas del punto medio del segmento
que une a ambos puntos son:
M = 




 ++
2
,
2
11 YYXX
 Ejemplo: Las coordenadas del punto
medio del segmento que une los puntos
A=( 18 , 16 ) y B = ( 14 , 24 ) serán:
A
M
B
M = 8 + 14
2
16 + 24
2
( )
M = ( 16 , 20 )
 Ejemplo: Las coordenadas del punto
medio del segmento que une los puntos
A=(-6,-14) y B=(16,12) serán :
M = 




 +−+−
2
1214
,
2
166
M = (5, - 1)
Ahora calcule Ud., en cada caso las
coordenadas del punto medio:

Secundaria
A = ( 8, 16 ) B = ( 14, 16 )
M =
B=(-5, - 12) C=(-6, 13)
M =
D=(-4X + 2, 6X + 6)
E=(2X – 2, 6X + 6)
M=
Estando claros los conceptos anteriores,
veamos su aplicación a algunos
problemas:
1. En los siguientes gráficos, se muestran
los ingresos por ventas de dos empresas
durante los años 1975 – 1982.
76 77 78 79 80 81 82
30'
40'
50'
60'
70'
80'
90'
100'
110'
120'
I (millones)
75
T (años)
76 77 78 79 80 81 82
30'
40'
50'
60'
70'
80'
90'
100'
110'
120'
I (millones)
75
T (años)
a) En qué año la empresa A mantuvo un
nivel de ingresos?
b) ¿Qué empresa y durante cuántos años
obtuvo mayores ingresos?
c) ¿En qué año cada empresa llegó a
vender 95 millones de dólares?
SOLUCION
Muchas veces habrá de encontrarse con
que va a tener que sacar conclusiones a
través del análisis de un gráfico
estadístico, como en este caso;
procedemos a su interpretación:
a) Observando el gráfico de la Empresa
A, vemos que todos los años está
aumentando su ingreso, con
excepción del año 1977 en que su
ingreso fue constante e igual a 60
millones de dólares.
b) Para contestar a estas preguntas y
dado que ambos gráficos están en las
mismas unidades y escala, lo mejor y
más rápido es unirlos en uno solo,
tendremos así:
75 76 77 78 79 80 81
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
I (millones)
T (años)
82
Podemos ver que hasta el año ’79 en
que ambos gráficos se cruzan, la
empresa B tenía mayor nivel de
ingresos; y que a partir de ese año
hasta 1982 es la Empresa A la que
pasó a tener mayor nivel de ingresos.
c) Para saber en qué año cada empresa
llegó a vender 95 millones de dólares,
procedemos así:
 Ubicamos 95 en el eje Y,
donde se registran los ingresos.
Desde allí trazamos una paralela al
eje x y que corte a ambas gráficas.
 Desde el punto de corte de
dicha paralela con cada gráfica,
trazamos paralelas al eje y hasta
que se corten con el eje x donde se
miden los años.
 Tendremos entonces para
cada punto de corte, sus
coordenadas una de ellas nos da el
año y la otra el ingreso en ese año.
Veámoslo:
75 76 77 78 79 80 81
30'
40'
50'
60'
70'
80'
90'
100'
110'
120'
82
95
B
Se puede ver entonces que la empresa a
llegó a los 95 millones en 1980 y la
empresa B lo hizo en 1981.
2. Calcular el perímetro de la figura que se
obtiene al unir los puntos:
A=(2,1) , B=(5,5) , C=(8,5) , D=(12,1)
SOLUCIÓN
Para tener una mejor idea de la solución,
podemos proceder a graficar los puntos:
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
8 9 10 11 12
B(5,5) C(8,5)
D(12,1)(2,1)
A
El perímetro será igual a:
Perímetro = DACDBCAB +++

Secundaria
Hallemos cada lado en base a la fórmula
de la distancia entre 2 puntos:
543)15()25( 2222
=+=−+−=AB
303)55()58( 2222
=+=−+−=BC
2432)4(4)51()812( 2222
==−+=−+−=CD
10010)11()212( 2222
=+=−+−=DA
Entonces tendremos:
Perímetro = 5 + 3 4 2 +10
= 18 + 4 2
3. Determinar el punto de equídista de los
puntos
A ( 7,-2 ) , B ( -8 , 1 ) y C ( 3 , 4 )
SOLUCIÓN
Digamos que el punto buscado sea el
punto P(x,y) ............................ ¿qué ?
Significará que equidiste de los otros
puntos?..................................................
Significará que su distancia a cada uno
de ellos es igual en cada caso, por lo
tanto podemos escribir que:
PCPBPA ==
Entonces procedemos a calcular las
respectivas distancias:
22
))2(()7( −−+−= yxPA
22
)1())8(( −+−−= yxPB
22
)4()3( −+−= yxPC
Ahora igualamos dichas distancias y
tendremos:
PBPA =
2222
)1())8(())2(()7( −+−−=−−+− yxyx
Procedemos a desarrollar:
Elevamos al cuadrado ambos miembros
y quedará:
(x, - 7)2
+ ( y + 2 )2
= (x + 8 )2
+ ( y + 1)2
Desarrollamos y simplificamos al
máximo:
X2
-14x+49+y2
+4y+4=x2
+16x+64+y2
-2y+1
- 30x +6y =12
- 5x + y = 2 ......................... (1)
Ahora igualemos: PCPB = y
repitamos el proceso:
2222
)4()3()1())8(( −+−=−+−− yxyx
(x+8)2
+ (y-1)2
= (x - 3)2
+(y-4)2
x2
+16x+64+y2
-2y+1 = x2
-6x+9+y2
-8y+16
Quedará: 2x + 6y = - 40
11x + 3y = -20 ............. (2)
Resolviendo el sistema (1) y (2):
11x + 3y = -20
-5x + y = 2
x = -1
y = -3
Entonces el punto buscado es: P=(-1, -3)
4. Los puntos P=(-4,0), Q=(5, 3 3 ) y
R=(x,0) son vértices de un triángulo
rectángulo en Q.
1) Hallar el perímetro.
2) Hallar el área.
SOLUCION
- Inicialmente graficaremos teniendo en
cuenta que el punto R=(x,0), cuya
ordenada es cero, estará ubicado en el
eje x donde todas las ordenadas son de
valor cero.
1 2 3 4 5 6 7
R(x,0)
8-4 -3 -2 -1
Q (5,3 )33 3
P(-4,0)
- Para hallar el perímetro, debemos de
conocer el valor de cada lado y, como
ya hemos visto, cada lado se puede
conocer calculando la distancia entre
sus 2 puntos extremos. Ahora bien, en
este caso sólo conocemos las
coordenadas de 2 puntos, por lo tanto
sólo podemos – inmediatamente –
calcular el valor de un lado, ...............
¿Cómo haremos entonces para conocer
el valor de los otros dos? ..............
¿Qué relación existe entre los 3
lados? ...................... ¿se cumple algún
teorema entre ellos? .......... Así es, por
el hecho de ser lados de un triángulo
rectángulo se cumple entre ellos el
teorema de Pitágoras, entonces
tendremos.
222
PRQRPQ =+
222222222
))00())4(((())33()5(())330()54(( −+−−−=+−+−+−− xx
Como podemos ver tenemos una sola
ecuación con una sola variable: x,
entonces desarrollamos:
(-9)2
+(-3 3 )2
+(5-x)2
+(3 3 )2
= (x+4)2
81 + 27 + (5-x)2
+ 27 = (x+4)2
(5-x)2
– (x+4)2
+135 = 0
25 – 10x + x2
– x2
– 8x – 16 + 135 = 0
144 = 18x
18
144
= x
8 = x
Luego el área del triángulo será muy fácil
de calcular ........................ ¿Puede
hacerlo Ud.?
5. Calcular el área del cuadrilátero ABCD
si
A=(1,2) , B=(4,6) , C=( 7,3 ) y D=( 5,0 )
SOLUCION
- Ubiquemos cuidadosamente cada punto y
luego unámoslos para formar el
cuadrilátero dado:
1 2 3 4 5 6 7
D (5,0)
4
3
2
1
5
6
C (7,3)
B (4,6)
A (2,1)
Los pasos a seguir ahora son:
- Prolongaremos las ordenadas de A y C
hacia arriba y hacia abajo hasta que se
corten con la prolongación de la abcisa de
B y con eje de las x, ponemos entonces
letras a los puntos de corte:

Secundaria
1 2 3 4 5 6 7
P
4
3
2
1
5
6
B
A
D
H
0
¿Qué hemos conseguido? ................
Hemos logrado formar el rectángulo MNPQ
que encierra exactamente al cuadrilátero-
cuya área buscamos- y a otros 4 triángulos
rectángulos cuyas áreas podemos calcular.
Ese fue el objetivo de prolongar abcisas y
ordenadas: buscar que formar un
cuadrilátero dentro del cual estén además del
área buscada, otras áreas – que con los datos
podamos calcular.
¿Qué le parece?....... ¿Es
comprendido?...........
Ahora recordemos los aprendido en el
capítulo de Áreas sombreadas:
¿Cómo hallar el área sombreada? ...............
Muy simple, diremos:
)( DAQCPDBNCMBAMNPQABCDsombreado AAAAAAA +++−==
Reemplazando:







 ×
+
×
+
×
+
×
−=
2222
QDQAPDCPNCBNMQMB
NPxMNA ABCD
Los respectivos valores de cada segmento
pueden ser muy fácilmente hallados a través
de sumas y restas de abcisas o de ordenadas
respectivamente.
En nuestro caso tendremos:





 ×
+
×
+
×
+
×
−×=
2
31
2
23
2
33
2
52
65ABCDA
AABCD = 30 - (5. + 4.5 + 3 + 1.5)
AABCD = 30 - 14
AABCD = 16u2
Repase nuevamente el problema y notará
que el paso fundamental ha sido la
prolongación de las coordenadas respectivas
hasta lograr encerrar la figura dada en un
cuadrilátero (cuya área sea fácil calcular)
luego restamos áreas, calculando cada lado
necesario a través de la suma de las
respectivas coordenadas.
Veamos otro ejemplo:
6. Hallar el área del cuadrilátero: A=(1,1),
B=(4,6) C=(7,7), D=(9,3).
SOLUCIÓN
- Ubiquemos los puntos:
1 2 3 4 5 6 7
4
3
2
1
5
6 B
A
D
C
7
8 9
- Prolongamos adecuadamente:
1 2 3 4 5 6 7
4
3
2
1
5
6
A
D
C
7
8 9
B
R
ST
P Q
Entonces diremos:
)( **
DSTACRDQCBPQBAPRSTABCDsombreada AAAAAAA +++−==
Reemplazando directamente los valores de
sus lados respectivos:
AABCD= 8x7 –













 +
+
×
+
×
+
+
8
2
31
2
42
2
13
2
3)61(
AABCD= 56 – ( 10.5 + 1.5 + 4 + 16)
AABCD= 56 – 32
AABCD= 24u2
Recuérdese que el área de un trapecio es igual a:
Área trapecio=





 +
2
menorBasemayorBase
altur
a
7. Calcular el área del triángulo A=(2,3),
B=(3,5) y C=(6,2)
SOLUCION
Lo importante de los 2 casos anteriores
es que nos ha permitido conocer un
método de solución para el cálculo de
áreas en un sistema de coordenadas
cartesianas.
Lo aplicaremos también a este caso.
1) Grafiquemos:
1 2 3 4 5 6 7
4
3
2
1
5
2) Prolongamos
1 2 3 4 5 6 7
4
3
2
1
5
P B Q
C
RS
3) Luego el Área buscada será:
)( CPSABQCPBAPQRSABCbuscada AAAAAA ++−==
= 4 x 5 –











 +
+
×
+
×
4
2
32
2
33
2
12
= 20 – ( 1 + 4.5 + 10 )
= 4.5 u2
PRACTICA DE CLASE
01.Calcular la longitud del segmento cuyos
extremos son los puntos (5; 3) y (10; 15
a) 13 u b) u152 c) 149 u
d) 17 u e) u613
02.¿Qué punto sobre la recta AB equidista de A
(- 2; 16) y B (24; - 38)
a) (13; 27) b) (20; 20) c) (11; 11)
d) (- 20; 20) e) (- 13; - 27)
03.Hallar el punto medio de la línea que une (-5;
-6) y (7; 2)
a) (1; - 2) b) (1; - 4) c) (6; 4)
d) (6; - 4) e) (2; - 4)
04.Los vértices de un triángulo son: A (4, 6), B
(10; 6), C (- 4; 2). Hallar la longitud de la
mediana de B a AC.
a) 210 b) 29 c) 28

Secundaria
d) 27 e) 26
05.Hallar el área del cuadrilátero cuyos vértices
son (8; 10) ; (12; 0) ; (2; 5) y (4; 1)
a) 50 u2
b) 55 u2
c) 60 u2
d) 65 u2
e) 70 u2
06.¿Qué tipo de cuadrilátero se forma uniendo
los siguientes puntos (0; 1); (3; 5) ; (7; 2) y
(4; -2)?
1. Rectángulo
2. Cuadrado
3. Paralelogramo
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1 y 2 e) T.a.
07.Los extremos del diámetro de un círculo son
(- 2; 4) y (6; - 2). Hallar la distancia del
centro del círculo al origen.
a) 5 b) 2 c) 3
d) 5/2 e) N.a.
08.¿Qué tipo de triángulo se forma con los
siguientes puntos A (4; 2); B(8; 4) y C(6; 8)
1. Rectángulo 2. Isósceles
3. Escaleno 4. Equilátero
a) 1 b) 2 c) 3
d) 3 y 4 e) 1 y 2
09.Hallar el área del triángulo anterior.
a) 8 u2
b) 10 u2
c) 12 u2
d) 14 u2
e) 16 u2
10.Los vértices de un triángulo son (- 3; 3) ; (7;
3) y (- 1; 7). Hallar la longitud de la mediana
más corta.
a) 4 u b) 5 u c) 3 u
d) 17 u e) 50 u
11.ABC es un triángulo equilátero. Las
coordenadas de B y C son respectivamente:
(8; 5) y (14; 5). Determinar las coordenadas
de A sabiendo que está hacia abajo del lado
BC.
a) (11; 10,1) b) (11; - 0,1)
c) (11; 8) d) (11; 2)
e) N.a.
12.Determinar la longitud de la diagonal mayor
del trapecio MNPQ siendo M=(0; 0)
N= (3; 8); P= (8; 8) y Q= ((15; 0)
a) 134 b) 28 c) 138
d) 24 e) 6
13.Los vértices de un triángulo son: A (- 4; -5);
B (2; 1) y C (6; - 3). Hallar la longitud de la
mediana trazada desde B a AC.
a) 5 b) 26 c) 23
d) 62 e) 72
14.Dado el segmento AQ cuyo punto medio
es “M”. hallar las coordenadas de Q sabiendo
que las de A y M son respectivamente (- 4; -
12) y (6; 8)
a) (- 14; - 32) b) (16; 28)
c) (1; -2) d) (11; 18)
e) (36; 4)
15.P(- 5; 3); Q(- 2; 5); R(6; - 2) y S(3; 5) son los
vértices de un cuadrilátero cuya área es:
a) 55 u2
b) 96 u2
c) 67,5 u2
d) 42,5 u2
e) 15 u2
16.Hallar la distancia entre los puntos A(-
1; -2; 2) y B(2; 4; - 1).
a) u63 b) u32 c)
u66
d) u23 e) 52 u
17.¿Qué clase d triángulo se forma al unir los
puntos A (- 2; 4; - 3); B (4; - 3; - 2) y C
(- 3; - 2; 4)?
1. Escaleno 2. Isósceles
3. Acutángulo 4. Obtusángulo
a) 1 y 2 b) 3 y 4 c) 1
d) 2 y 4 e) Sólo 4.
18.Hallar las coordenadas de los puntos de
trisección del segmento cuyos extremos son:
(5; - 1; 7) y (- 3; 3; 1).
1. (7/3; 1/3; 5) 2. (2; 3/5; 1/3)
3. (- 1/3; 5/3; 3) 4. (- 2; - 3/5; - 1/3)
a) Sólo 2 b) Sólo 1 c) 2 y 3
d) 1 y 3 e) 3 y 4
19.Hallar el área de l región triangulas ABC si:
A(2; 8); B(- 4); C(- 4; - 6)
a) b) c)
d) e)
20.Hallar el área de la región pentagonal
cuyos vértices son: (- 6; 16); (16; 6); (- 10; -
4); (12; 12) y (20; - 8)
a) b) c)
d) e)
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 04
En el siguiente gráfico:
79 80 81 82 83 84 85
110
120
130
140
150
160
170
V
78
T
86
180
Se presenta el índice de nacimiento (N) en cierto
país, T está en años y N en miles. Responda Ud. a
las siguientes preguntas:
01.¿En qué año nacieron 162,00 niños?
a) 1979 b) 1982 c) 1983
d) 1900 e) F. datos
02.Si estimamos que una política de control de la
natalidad influye directamente en la
disminución del número de nacimientos, ¿En
que año podemos decir que dicha política
tuvo mayor éxito?
a) 1978 b) 1982 c) 1985
d) 1979 e) 1980
03.La ley de Charles, en Química, establece que:
sí la presión de un gas se mantiene constante,
entonces su volumen es directamente
proporcional a su temperatura, es decir:
V=KT donde k es la constante de
proporcionalidad, tal relación se halla
graficada a continuación.

Secundaria
30 45
7a
V
T
V = KT
Hallar el volumen cuando T=45
a) 115 b) 217 c) 117
d) 125 e) N.a
04.Hallar las áreas de la figura sombreada
sabiendo que cada cuadrilátero tiene su lado.
a) 48u2
b) 33.5u2
c) 13.5u2
d) 14.5u2
e) N.a
05.
a) 22u2
b) 0u2
c) 26u2
d) 18u2
e) F. datos
06.En el siguiente caso, tome π=3.14 y = como
centro del semicírculo.
de lado.
1 unidad (1u)
Cada cuadradito
a) 62.66u2 b) 66.26u2 c) 28.66u2
d) 43u2 e) 32.14u2
07.Hallar el perímetro del triángulo ABC, si se
sabe que A=(2,3), B=(3,5), C=(6,2)
a) 17815 ++
b) 182175 ++
c) 17185 ++
d) 5173 ++
e) N.a.
08.Hallar el área del triángulo cuyos vértices
son: A=(2,3) B=(5,8), C=(10,5)
a) 16.66u2
b) 17.26u2
c) 14u2
d) 17u2
e) 16u2
09.Hallar el área del triángulo cuyos vértices
son: A=(1,1) B=(5,7), C=(-1,3)
a) 16u2
b) 16.66u2
c) 17.26u2
d) 14u2
e) 17u2
10.Los vértices consecutivos del lado de un
rombo son (1,3) y (2,0); si el punto donde se
cortan perpendicularmente las diagonales en
el punto (2,3). Hallar el área del rombo.
a) 3u2
b) 8u2
c) 5u2
d) 13u2
e) F.datos
11.¿Cómo podemos recordar una relación del
tipo y=ax+b, de origen en un gráfico a una
línea recta?
En el caso siguiente hallar y cuando x=10
0
+
Y
+
X
-
Y
-
X 5
8
_
5 Y = ax + b
a) 21 b) -85 c) 12
d) 85 e) F. datos
12.El siguiente gráfico muestra la relación
existente entre el precio de un artículo y la
cantidad de artículos comprados a ese precio.
Cuántos artículos se comprarán cuando cada
uno de ellos cueste 80
20 35
35
120
P = precio en
soles.
C = cantidad
comparada en
millares
a) 19,800 b) 20 c) 20,000
d) 21,500 e) F. datos
13.Los puntos medios de los lados de un
triángulo son M1=(5,6) M2=(7,4) y M3=(10,7)
Hallar uno de los vértices del triángulo.
a) (3,2) b) (20,14) c) (8,8)
d) (8,9) e) (12,12)
14.Cuando representamos la relación entre la
velocidad y el tiempo a través de un gráfico
en el plano cartesiano, el área debajo de la
gráfica representa la distancia recorrida en un
tiempo determinado. Si tenemos el gráfico V-
T
A
R
C D
E
0 TT1 T2 T3 T4
Podremos decir que:
El área de OABT; es la distancia recorrida
durante T1 horas.
El área de OABCDT3, es la distancia
recorrida durante T3 horas.
La distancia recorrida entre os T1 y T2 horas
estará dada por el área de T1BCT2.
¿Ha entendido lo anterior perfectamente?..
................ Entonces ahora resolvamos:

Secundaria
La velocidad variable de un móvil está
representada en el gráfico siguiente:
30
V ( km/hr )
T (horas)5 10 20 25
60
80
¿Cuántos kilómetros habrá recorrido después
de 26 horas de viaje?
a) 1,350km b) 1530km c) 1680km
d) 1280km e) N.a
15.En el siguiente gráfico se representa la
velocidad de un móvil que en 11 horas ha
recorrido un total de 518 kilómetros
Hallar la velocidad final VF de dicho móvil.
1 2 3 4 5 6 7
10
20
30
40
50
60
70
0 8
80
90
9 10 11
T (horas)
V (km/hr)
Vf
a) 38km/h b) 39.5km/h c) 36.5km/h
d) 26km/h e) N.a
16.Se muestra en el gráfico siguiente la
velocidad de un móvil con relación al tiempo.
Si después de x horas de viaje el móvil ha
recorrido 900kms. Hallar el valor de x.
2 4
20
60
0 6 x T (horas)
V (km/hr)
a) 22.5hrs. b) 22hrs. c) 24.5hrs.
d) 25hrs. e) Faltan datos
17.¿Cuál de los siguientes gráficos es el que
muestra el tiempo (t1) luego del cual se
encuentran 2 móviles que parten
simultáneamente en sentidos contrarios y con
velocidades constantes.?
a) b)
T1
100
T (hr)
V (km/hr)
T1
x
T (horas)
V (km/hr)
c) d)
T1
T (hr)
V (km)
V1
T1
1/2
T (hr)
V (km)
V1
e) N.a
18.En el siguiente gráfico se muestran las
relaciones entre la velocidad y el tiempo de 2
móviles que parten simultáneamente en el
mismo sentido.
1 2 3 4 5 6
40
50
60
70
80
90
0
T (horas)
V (km/hr)
Movil B
Movil A
Quién habrá recorrido una mayor distancia 5
horas después de la partida
a) Móvil A
b) Móvil B
c) Ambos han recorrido la misma dist.
d) Faltan datos
e) N. a
19.¿Quién llegará primero a Chosica que se
encuentra a 260kms. Del punto de partida?
a) A
b) B
c) Ambos llegan al mismo tiempo
d) Faltan datos
e) N. a
20.¿A qué hora pasará el móvil B por Lima, que
se encuentra a 200km. Del punto de partida?
a) Entre 3 y 4 b) Entre 6 y 7 c) Entre 5 y 6
d) Entre 2 y 3 e) Entre 4 y 5
TAREA DOMICILIARIA
01.Hallar la pendiente de una recta que pasa por
los puntos (3; 5) y (- 2; - 4)
02.Escribir la ecuación de la recta que pasa por
los puntos P(7; 29) y Q(10; 5)
03.Hallar la ecuación de una recta con pendiente
2 y que pasa por el punto (3; - 7)
04.Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo
centro es el origen de coordenadas y pasa por
(5; 12)
05.Dados tres vértices de un paralelogramo
ABCD: A(3; 5); B(5; -3) y C(- 1; 3).
Determine las coordenadas del vértice D,
opuesto a B.
06.La mayor base de un trapecio isósceles une
los puntos (- 2; 8) y (- 2; - 4). Uno de los
extremos de la otra base tiene coordenadas
(3; 2). La longitud de la base menor es.
07.El área de un triángulo es 4 u2
; dos de sus
vértices son los puntos: A(2; 1) y B(3; - 2), el
tercer vértice C está situado en el eje X.
SOLUCIONARIO
N°
Ejercicios Propuestos
01 02 03 04
01 E A B
02 D E D
03 E D B C
04 C C A D

Secundaria
05 E A C B
06 B C C B
07 C B E C
08 C E D D
09 E C B A
10 A B C C
11 B C D D
12 A D C C
13 C C A C
14 E E C A
15 C C D
16 C A D
17 A D D
18 C B A
19 D C A
20 C B E
21 D
22 D
23 C
24 A
25 A GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2002

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