Rm 4° 4 b

29 30COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4to Año Secundaria
1. CONTEO
La resolución de problemas de conteo no
necesita un conocimiento previo ni fórmulas,
pues lo más importante es el orden que tengas
al interpretar los ejercicios propuestos.
1.1 CONTEO DE FIGURAS
Se debe comenzar numerando cada zona en la
que queda dividida la figura y contar lo que
nos piden.
Ejemplo:
¿Cuántos triángulos hay en la siguiente
figura?
Solución :
Numeramos cada zona, sea ésta triángulo o
no:
1 2
34
A continuación ubicamos la figura pedida,
juntando zonas de manera ordenada y
ascendente.
# Zonas # Triángulos
1 1 / 2 / 3
2 1,2 / 1,4 / 2,3 / 3,4
3 No hay
4 1, 2, 3, 4
Total = 8
Triángulos
1.2 CONTEO DE CAMINOS
Debemos tener mucho cuidado con estos
problemas, pues es muy fácil olvidar algún
camino si es que no trabajamos con orden.
Ejemplo:
¿Cuántos caminos existen para ir de A hacia
B, sin pasar dos veces por un mismo punto?
A B
C
E
D
Solución :
Veamos que hay tres rutas posibles, por C,E o
D.
* Por C : 1) ACB
2) ACEB
3) ACEDB
* Por E : 4) AEB
5) AECB
6) AEDB
* Por D : 7) ADB
8) ADEB
9) ADECB
Existen 9 caminos posibles.
1.3 CONTEO POR AGRUPACION
Este tipo de problemas presenta un grupo de
elementos que deben relacionarse todos entre
si.
Ejemplo:
En un campeonato de fulbito intervienen 4
equipos. Si todos deben jugar entre sí un
partido, ¿Cuántos deberán programarse?
Solución:
Cada equipo juega contra los otros 3, lo cual
podemos graficarlo de la siguiente manera :
A
B
D
C
Donde :
A jugo 3 partidos.
B jugo 3 partidos.
C jugo 3 partidos.
D jugo 3 partidos.
De este modo estamos considerando A vs B
un partido y B vs A otro , lo cual es
incorrecto por lo tanto:
6
2
)3(4
partidos# ==
1.3.1Principios de Adición y
Multiplicación
Principio de Adición
Si un evento A puede realizarse de m
maneras y otro evento B puede hacerse de n
maneras, entonces el número de maneras en
que puede realizarse A o B es :
# = (m + n) maneras
Principio de Multiplicación
Si un evento A puede realizarse de m
maneras y otro evento B puede realizarse de n
maneras, entonces el número de maneras en
que puede realizarse A y B es :
# = (m n) maneras
PRÁCTICA DE CLASE
01.¿Cuántos triángulos hay en la siguiente
figura?
a) 6 b) 7 c) 12
d) 16 e) N.A.
02.¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente
figura?
a) 50 b) 52 c) 54
d) 55 e) Menos de 50
03.¿Cuántos trapecios hay en la siguiente figura?
a) 3 b) 5 c) 6
d) 8 e) N.A.
04.¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente
figura?
S4RM34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
VI
TÉCNICAS DE

a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) N.A.
05.¿Cuántos caminos posibles existen para ir de
A hasta B, sin pasar dos veces por un mismo
punto?
A
B
C
D E
a) 6 b) 7 c) 8
d) 7 e) Menos de 6
06.¿De cuántas formas distintas se puede ir de A
a G, sin hacer más de 3 paradas intermedias?
A
B
C
D
E
F
G
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) N.A.
07.¿De cuantas maneras se puede ir de M a L sin
pasar dos veces por un mismo punto?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) N.A.
08.¿De cuantas maneras se puede ir de A hasta
B, si todos los recorridos deben ser de igual
longitud y ésta, la menor posible?
A
B
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) N.A.
09.¿Cuántos caminos diferentes hay para ir de A
hacia B, sin pasar por M ni N , y sin tocar dos
veces un mismo punto?
M
N
A
B
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) N.A.
10.En un edificio se tiende un cable telefónico
para que 2 oficinas puedan comunicarse entre
sí. Si los técnicos han colocado un total de 28
cables , ¿cuántas oficinas pueden
comunicarse entre sí?
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
11.En un campeonato de fútbol se
intercambiaron 264 banderines al cabo de la
rueda de revanchas. Si jugaron todos contra
todos, ¿Cuántos equipos participaron?
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) N.A.
12.A una reunión asistieron x personas, que se
saludaron entre sí con un apretón de manos.
Si al finalizar los saludos se contabilizaron
435 de ellos, ¿Cuántas personas asistieron a
dicha reunión?
a) 25 b) 28 c) 29
d) 30 e) Más de 30
13.María desea comprar un producto, y sabe que
lo venden en tres mercados distintos. En el
primero lo tienen 8 tiendas, en el segundo 3 y
en el tercero 2. ¿En cuántas tiendas distintas
puede adquirirse el producto?
a) 13 b) 16 c) 24
d) 48 e) N.A.
14.Pedro construye un juguete que tiene 3
partes. Para la primera parte dispone de 4
máquinas, para la segunda tiene 3 máquinas y
para la tercera tiene 6 máquinas. ¿De cuántas
formas puede programarse la construcción?
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) N.A.
15.¿De cuantas maneras diferentes se puede ir de
A hacia B, sin retroceder en algún momento?
A B
a) 60 b) 64 c) 72
d) 90 e) N.A.
16.¿De cuántas maneras diferentes se puede ir
de A hacia B, sin retroceder en algún
momento?
B
A
a) 11 b) 18 c) 19
d) 21 e) N.A.
17.Cuatro personas se van a sentar en una banca
en el cine que tiene cuatro asientos libres.
¿ De cuántas maneras diferentes pueden ellos
sentarse?
a) 4 b) 16 c) 24
d) 32 e) 64
18.Cuatro amigos desean sentarse alrededor de
una mesa en la que hay cuatro sillas. ¿ De
cuántas maneras diferentes podrán hacerlo?
a) 4 b) 6 c) 12
d) 24 e) N.A.
19.Un testigo del robo del banco, informo a la
policía que el auto utilizado por los ladrones
para la fuga tenia placa de 6 símbolos, que los
2 primeros eran vocales, que los 4 últimos
eran dígitos mayores que 4, y que no había 2
símbolos iguales . ¿cuántos autos deberá
investigar la policía?
a) 3000 b) 2400 c) 1800
d) 1500 e) N.A.
20.¿Cuántos números mayores que 999 y
menores que 10 000 son múltiplos de 5?
a) 900 b) 2000 c) 1900
e) 1000 e) 1800
1.4 CONTEO DE NÚMEROS
PRÁCTICA DE CLASE
01.Sea la sucesión:
  
términos1000
...............;
5
4
;
4
3
;
3
2
;
2
1
¿Cuántas cifras se han empleado para su
escritura?
a) 3018 b) 5782 c) 5789
d) 4849 e) 6000

02.En el calendario de un año no bisiesto se
observó que desde el 1° de Enero hasta el
onomástico de una persona se empleó 264
cifras para enumerar los días transcurridos.
¿Qué día y mes nació dicha persona?
a) 14 de Abril b) 20 de Mayo c) 7 de Junio
d) 2 de Julio e) N.A.
03.Si se escribe la serie de los números naturales
a partir del 1, ¿cuál es en esta serie la cifra
que ocupa el 1992° lugar?
a) 0 b) 1 c) 2
d) 5 e) N.A.
04.Al enumerar las 200 últimas páginas de un
libro se emplearon 715 cifras. ¿Cuántas
páginas tiene dicho libro? Dar como
respuesta la suma de sus cifras.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) N.A.
05.Calcular cuántas cifras se emplean al escribir
la siguiente serie:
25178179180
25.........,,.........25,25,25
a) 701 b) 702 c) 703
d) 704 e) 705
06.¿Cuántas cifras 5 se utilizan en la
enumeración desde 1 a 600?
a) 120 b) 121 c) 220
d) 123 e) N.A.
07.Hallar la cantidad de páginas que tiene un
libro sabiendo que para enumerar sus últimas
36 páginas se emplearon la misma cantidad
de cifras que se empleó en las primeras 63
páginas:
a) 1002 b) 1008 c) 948
d) 998 e) N.A.
08.Cuántas cifras se emplean al escribir la
siguiente serie:
30, 33, 36, 39, ..............., 2238
a) 2600 b) 2321 c) 2315
d) 2478 e) N.A.
09.Para enumerar un libro de 1000 páginas se
dispone de 234 cifras de 5. ¿Cuántas sobran o
faltan?
a) Sobran 36 b) Faltan 36 c) Sobran 66
d) Faltan 66 e) N.A.
10.Al escribir la secuencia: 1, 2, 3, 4, ........
abc ; se han empleado 2130 tipos de
imprenta.
Hallar a + b + c
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
11.Al escribir la siguiente secuencia:
abc4321
abc.....;....................;.........4;3;2;1
, se emplearon 1860 cifras.
Hallar el valor de a × b × c
a) 70 b) 72 c) 86
d) 84 e) N.A.
12.De un libro de 300 páginas se arrancan cierto
número de páginas del principio, notándose
que en las páginas que quedan se han
utilizado 625 tipos de imprenta. ¿Cuántas
hojas se arrancaron?
a) 89 b) 84 c) 88
d) 44 e) N.A.
13.En la enumeración de las páginas de un libro
de ab páginas se han utilizado 506 cifras
menos que en la enumeración de otro de
ba2 páginas. Hallar a − b
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
14.Al enumerar las entradas de las 3 funciones
de un cine en forma separada se observa que
se emplean 852 cifras menos que si
numerasen en forma continuada los boletos
de las 3 funciones. Determinar la capacidad
del cine si es más de 500 y menos de 1000.
a) 510 b) 545 c) 610
d) 645 e) N.A.
15.En la siguiente P.A.: 32, 38, 44..........
Calcular el mayor término de 3 cifras. Dar
como respuesta la suma de sus cifras.
a) 27 b) 26 c) 25
d) 24 e) 23
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01.En la serie natural :
1,2,3,4, …… 4444
¿ Cuántas cifras hay escritas ?
a) 16569 b) 16669 c) 17669
d) 16589 e) N.a.
02.Si en la serie natural de los números se han
empleado 1341 cifras. Hallar el último
número escrito.
a) 516 b) 483 c) 515
d) 482 e) N.a.
03.Se escribe la serie natural de los números
desde 1 hasta el 2493. ¿ Cuántas cifras serán
necesarias usar para escribir los 2000 últimos
números ?
a) 7444 b) 7494 c) 6484
d) 8494 e) 7484
04.Al escribir la serie natural de los números a
partir del número 71. ¿ Cuál es la cifra que
ocupa el lugar 8418 ?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) N.a.
05.¿Cuántas cifras se emplean en la escritura de
todos los números enteros desde el máximo
número de dos cifras distintas hasta el menor
número de 4 cifras distintas?
a) 2700 b) 2750 c) 2800
d) 2900 e) N.a.
06.Para numerar las 22 últimas páginas de un
libro se utilizarán 71 tipos. ¿ Cuántos tipos en
total se utilizaron ?
a) 2809 b) 2709 c) 2909
d) 3009 e) N.a.
07.Si en la numeración de las páginas impares de
un libro se han utilizado 440 tipos , ¿ cuántas
hojas tendrá dicho libro ?
a) 330 b) 360 c) 165
d) 180 e) N.a.
08.¿Cuántos tipos de imprenta se emplearon para
imprimir la siguiente secuencia :
10077
, 10078
, 10079
, ….. 100300
a) 941 b) 1321 c) 1426
d) 1584 e) 2403
09.En la numeración de las 1mnp páginas de un
libro se han empleado 4mnp
Cifras de imprenta. Hallar : m+n+p
a) 14 b) 15 c) 18
d) 17 e) 20
10.Se han arrancado las 50 últimas hojas de un
libro, notándose que el número de tipos de
imprenta se han utilizado en la numeración ha
disminuido en 361. ¿ Cuántos tipos de
imprenta se han utilizado en la numeración de
las hojas que quedan?
a) 2700 b) 2720 c) 2746
d) 2772 e) 2870
11.¿Cuántos números enteros se expresan con 3
cifras significativas distintas en el sistema
decimal?
a) 900 b) 729 c) 648

d) 504 e) N.a.
12.¿Cuántos números de 3 cifras en el sistema
quinario se expresan con numerales que
tienen por lo menos una cifra o dos?
a) 48 b) 49 c) 50
d) 51 e) 52
13.¿Cuántos números de 8 cifras poseen 7 cifras
siete?
a) 70 b) 72 c) 71
d) 80 e) N.a.
14.¿Cuántos números de 3 cifras del sistema
decimal utilizan al menos una cifra 2 o al
menos una cifra 3 en su escritura?
a) 402 b) 448 c) 450
d) 452 e) 454
15.¿En qué sistema de numeración existen 648
números de la forma :
a(a+2)b(b-2)c(c+1)(c-1)
a) 12 b) 16 c) 10
d) 11 e) 9
16.¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo
menos una cifra 3 y una cifra 5 en su escritura
?
a) 448 b) 400 c) 52
d) 48 e) 120
17.¿Cuántos “” hay en rectángulo y círculo
pero no en él triángulo?
 
  
 
  
a) 1 b) 3 c) 2
d) 4 e) 0
18.¿Cuántos triángulos tienen por lo menos una
“*”?
*
* *
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 7
19.¿Cuántos cuadriláteros no contienen a la *?
*
*
a) 448 b) 400 c) 52
d) 48 e) 120
20.¿Cuántas rectas se debe añadir para formar 10
triángulos?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
TAREA DOMICILIARIA
01.En un partido de básquet existen diversas
puntuaciones cuando se logra encestar, así el
encestar fuera de la zona contraria se
recompensa con 3 puntos, hacerlo desde la
zona 2 puntos, y de un tiro libre se otorgar 1
punto. Si en un partido Pepe logra anotar 7
puntos para su equipo, ¿De cuántas maneras
diferentes pudo lograrlo?
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) N.A.
02.En la figura, ¿cuántos cubitos están en
contacto con otros 3?
a) 1 b) 3 c) 4
d) 6 e) 8
03.En un campeonato intervienen 241 equipos,
siendo el sistema de clasificación el siguiente:
se sortea un equipo en la primer vuelta y se
enfrentan los otros , quedando 121 equipos
clasificados; se sortea un equipo en la
segunda vuelta y se enfrentan los otros 120
quedando 61 equipos y así sucesivamente
hasta el final del campeonato. ¿ Cuántos
partidos se jugarán hasta determinar al
campeón?
a) 240 b) 241 c) 308
d) 350 d) N.A.
04.María desea pintar una tabla como la de la
figura de modo que 2 zonas adyacentes no
sean del mismo color. Si ella cuenta con 3
colores distintos, ¿ de cuántas maneras podrá
pintar la tabla?
a) 9 b) 12 c) 18
d) 24 e) N.A.
05.Tres parejas de esposos : los Mejía, los Vidal
y los Medina llegan a la orilla de un río con
intensión de cruzarlo, pero se encuentran con
un bote que solo tiene cabida para 2 personas.
Siendo los señores muy celosos y para evitar
cualquier situación embarazosa, nunca una
mujer debe encontrarse sin su esposo en un
grupo (en las orillas o en el bote) donde haya
hombres, pero pueden estar en grupo sin la
presencia de ellos. Si todos saben remar,
¿Cuántas veces habrá de cruzar el bote el río?
a) 11 b) 10 c) 9
d) 8 e) Más de 11
TÉCNICA DE CONTEO
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN
Supongamos que tengo 3 camisas de vestir y 4
pantalones . ¿Cuáles y cuántas serán las diferentes
formas que tendré para vestirme con dichas
prendas? Veamos :
C representa una camisa y P un pantalón;
entonces :
C1
P 1
P 2
P 3
P 4
4 formas
C2
P 1
P 2
P 3
P 4
4 formas
C3
P 1
P 2
P 3
P 4
4 formas
∴ Tendemos 3 x 4 = 12 formas diferentes.
En general :
Si un proceso (A) se puede efectuar de n maneras
y otro proceso (B) se puede efectuar de m
maneras diferentes, entonces ambos procesos
juntos se pueden efectuar de (mxn) maneras
diferentes.
ANÁLISIS

PRINCIPIOS DE LA ADICIÓN
Si tengo 4 maneras diferentes para ir al Cusco y
otras 3 formas para viajar a Arequipa, entonces
tengo (4+3) formas diferentes para ir al Cusco o
Arequipa. 
Entonces :
Si un proceso (A) se puede efectuar de n
maneras y otro proceso (B) se puede efectuar de
m maneras, entonces A o B se pueden efectuar de
( m + n ) maneras.
VARIACIONES
Supongamos que Alberto (A), Beatriz (B), Carlos
(C) y Daniel (D) se quieren sentar en dos sillas
disponibles. ¿De cuántas maneras diferentes se
pueden ubicar?
Veamos :
Silla
Silla
A A A B B B C C C D D D
B C D A C D A B D A B C
12 maneras diferentes
Es decir, el número de arreglos diferentes que se
pueden hacer con 4 elementos diferentes,
tomados de a 2, es igual a 12. Luego, el número
de variaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2
será :
124
2 =V
En general : ( )!
!
kn
n
V n
k
−
=

Donde n ∧ k ∈ Z+
Ejemplo :
4
2
V =
2
24
!2
!4
= = 12
COMBINACIONES
Si tenemos 5 textos de diferentes cursos, ¿cuántos
grupos diferentes de 2 textos cada grupo se
pueden formar?
Si los textos son A,B,C,D,E, entonces las parejas
serán :
{A;B};{A;C};{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},
{C,D},{C,E},{D,E}
Luego el número de combinaciones de 5
elementos tomado de 2 en 2 es 10.
En general : ( ) !!
!
kkn
n
C n
k
−
= n ∧ k ∈ Z+
Ejemplo : 5
2C =
!2!3
!5
x
=
26
120
x
=10
PROPIEDAD IMPORTANTE
n
kC
= k
n
k
P
V

PROBLEMAS RESUELTOS
01.Pablito va con su papá a una tienda de discos.
Luego de una detallada búsqueda se decide
por 5 CDs y 7 casetes; sin embargo su padre
le indica que solo puede escoger 2 CDs y
3 casetes. Calcular el número de formas
diferentes que puede efectuar su pedido
considerando la sugerencia de su padre.
a) 300 b) 30 c) 350
d) 45 e) 28
Solución :
Se puede observar que de los 5 CDs debe
elegir sólo 2, y de los 7 casetes debe
seleccionar 3. Veamos :
* Para calcular el número de formas diferentes
de seleccionar 2 CDs de 5 se aplica :
5
2C =
!2!3
!5
=
21321
54321
xxxx
xxxx
= 10 
* Para calcular el número de formas diferentes
de seleccionar 3 casetes de 7 se aplica :
7
3C =
321
567
xx
xx
= 35
* Luego el número de formas diferentes para
efectuar su pedido es :
5
2C x 7
3C = 10 x 35 = 350 
Clave “C”
02.¿Cuántos diccionarios billingües se deben
editar si tomamos en consideración los
siguientes idiomas: español, inglés, francés,
alemán y japonés?
a) 60 b) 24 c) 10
d) 5 e) 32
Solución :
En este caso debemos observar que habrán
tantos diccionarios como parejas se pueden
formar con los idiomas indicados, no
importando el orden.
* El número de parejas que se pueden formar
con los 5 idiomas es : 5
2C =
21
45
x
x
=10∴10
diccionarios bilingües.
Clave “C”
03.Un supervisor, responsable de 7 promotores
de venta debe verificar el trabajo de su
equipo. Con el fin de no despertar
suspicacias, varía permanentemente el orden
de verificación. ¿De cuántas formas diferentes
puede efectuar su trabajo?
a) 920 b) 820 c) 720
d) 5040 e) 620
Solución :
En la verificación de lo trabajos de su equipo,
el orden determinará las diferentes formas
que lo pueda realizar.
* El número de formas diferentes de
verificación a los 7 promotores de venta está
dado por el número de permutaciones de 7
elementos, es decir :
50407654321!77 === xxxxxxP

* Luego el supervisor tendrá 5040
posibilidades.
Clave “D”
04.¿De cuántas maneras diferentes se pueden
ubicar 6 niños en fila, a condición de que tres
de ellos en particular, estén siempre juntos?
a) 5040 b) 4050 c) 7000
d) 72 e) 144
Solución :
Como de los 6 niños 3 deben estar siempre
juntos, entonces se pueden considerar como
uno sólo; de está manera planteamos lo
siguiente :
* Si los niños los consideramos como uno, se
tendrá :
1 2 3 4 5 6
A B C D
Los cuatro se pueden ubicar de 4P = 4! =
24 formas diferentes.

* Pero los 3 que deben estar siempre juntos se
pueden acomodar de 3P =3! = 6 formas
diferentes.
* Luego por el principio de la multiplicación; el
número total de posibilidades de ubicación es
:
Total = 6 x 24 = 144 
Clave “E”
PRACTICA DE CLASE
NIVEL I
01.Con las cifras 8; 5; 1; 2; 6, ¿cuántos números
mayores de 10 y menores de 99, se pueden
formar?
a) 10 b) 60 c) 120
d) 30 e) 20
02.Con las letras de la palabra “EDITOR”,
¿cuántas palabras de 6 letras que terminen en
“E” se pueden formar?
a) 60 b) 720 c) 360
d) 120 e) 24
03.Un padre va al cine con sus 4 hijos. ¿De
cuantas maneras podrán sentarse en una fila,
si el padre siempre se sienta al centro?
a) 24 b) 48 c) 120
d) 60 e) 30
04.Noemí tiene por su casa 6 amigos, uno de los
cuales se llama Jorge. ¿De cuantas maneras
podrá invitar a 3 de ellos a su casa, si Jorge
siempre debe estar entre los invitados?
a) 20 b) 10 c) 60
d) 40 e) 120
05.¿De cuantas maneras se pueden disponer 5
personas en una fila, si una de ellas siempre
va en un extremo?
a) 24 b) 48 c) 120
d) 240 e) 20
06.¿De cuantas maneras se podrá formar una
comisión de por lo menos 4 personas, con 6
personas disponibles?
a) 15 b) 21 c) 42
d) 28 e) 22
07.¿De cuántas maneras se pueden sentar 5
personas alrededor de una mesa circular?
a) 125 b) 25 c) 20
d) 24 e) 48
08.Martín tiene 12 amigos y 15 amigas. ¿De
cuántas maneras podrá elegir a 6 amigos y 8
amigas para invitarlos a su casa?
a) 924 b) 6 435 c) 7 359
d) 5 945 940 e) 5 945 490
09.Un entrenador de fútbol tiene 16 jugadores.
¿De cuántas maneras podrá formar su equipo,
si cualquiera de los jugadores puede
desempeñarse en cualquier puesto?; además
se sabe que un jugador no puede jugar por
estar lesionado.
a) 1 356 b) 1 365 c) 1 500
d) 3 003 e) 1 615
10.¿de cuantas formas diferentes se pueden
ordenar todas las letras de la palabra:
identificación?
a)875 030 215 b)360 925 000 c)960 360 000
d)908 701 020 e)908 107 200
11.En un mercado venden 6 tipos diferentes de
frutas y 8 tipos diferentes de verdura. ¿De
cuantas maneras una señora podrá comprar 3
tipos diferentes de verdura?
a) 280 b) 560 c) 48
d) 140 e) 96
12.En el problema anterior, ¿de cuantas maneras
diferentes, al señora podrá comprar 3 tipos
diferentes de fruta o 2 tipos diferentes de
verdura?
a) 48 b) 96 c) 280
d) 140 e) 560
13.En un grupo de 15 personas hay 4 que se
llaman Luis, 6 Pedro y el resto Jorge. ¿De
cuántas maneras se podrán elegir a 2 Luises,
4 Pedros y 3 Jorges?
a) 900 b) 600 c) 750
d) 300 e) 1 200
14.En un plano hay 10 puntos, ¿cuántos
segmentos se pueden determinar, que tengan
como extremos a dichos puntos?
a) 45 b) 90 c) 20
d) 5 e) 50
15.Se tienen 15 puntos coplanarios, donde 3 o
más de ellos no son colineales. ¿Cuántos
triángulos se pueden determinar, que tengan
como vértices a dichos puntos?
a) 165 b) 910 c) 250
d) 150 e) 455
16.Un muchacho visita a su enamorada 3 veces a
la semana. ¿De cuantas maneras podrá elegir
dichos días de visita, si uno de esos días debe
ser sábado?
a) 21 b) 30 c) 15
d) 42 e) 45
17.Un barco lleva 5 banderas de color diferente.
¿Cuántas señales diferentes se podrán hacer,
izando en un mástil, por lo menos 3
banderas?
a) 520 b) 430 c) 864 000
d) 246 e) 150
18.En el problema anterior, ¿cuántas señales
podrán hacerse, pudiendo izarse cualquier
número de banderas?
a) 405 b) 210 c) 325
d) 350 e) 180
19.Con 10 marineros, ¿cuántas tripulaciones de 4
marineros se pueden formar?
a) 180 b) 210 c) 220
d) 420 e) 270
20.En el problema anterior, si los marineros
deben ocupar puestos determinados, ¿de
cuántas maneras se formará la tripulación?
a) 2 500 b) 240 c) 5 400
d) 5 040 e) 1 800
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02
NIVEL II
01.Suponiendo que deben ir a un mismo lado,
con pesas de 1; 2; 3; 4 y 5 kg.
respectivamente, ¿cuántas pesadas diferentes
pueden realizarse?
a) 5 b) 31 c) 6
d) 36 e) 42
02.Usando las cifras 1; 7; 8 y 9, ¿cuántos
números de dos cifras diferentes pueden
formarse?
a) 12 b) 24 c) 6
d) 8 e) 4
03.Un marcador manual sólo tiene útiles los
dígitos 3; 6; 7; 8 y 9. ¿Cuántos carnés de 5
cifras se pueden marcar con ellos?
a) 720 b) 240 c) 360
d) 60 e) 120
04.Usando las letras J, K, L y los dígitos 2; 4; 6;
8, ¿cuántas placas que usen dos letras y tres

dígitos podrán obtenerse, si las dos primeras
cifras han de ser letras y las restantes dígitos?
a) 144 b) 3 204 c) 4 302
d) 4 203 e) 2 304
05.¿Cuántos números de 3 cifras diferentes
pueden formarse con los dígitos 1; 2; 3; 4 y
5?
a) 60 b) 120 c) 30
d) 48 e) 90
06.Se tienen placas rectangulares con los dígitos
escritos 2; 7; 8 y 9; uno en cada placa y uno
de cada dígito. Con dichas placas, tomadas de
a 2, una persona hace señales a otra, distante
300 metros. ¿Cuántas señales diferentes
podrá hacer la primera a la segunda?
a) 24 b) 12 c) 6
d) 48 e) 10
07.En la formula E = ab
, a y b solo pueden
formar valores impares positivos menores que
15, pero diferentes.
¿Cuántos resultados distintos pueden
obtenerse?
a) 49 b) 42 c) 36
d) 21 e) 84
08.Se crea un juego de lotería Skaninka, el cual
consiste en elegir seis números diferentes de
entre los que se proponen.
20; 21; 22; 23; .....; 55
¿Cuántos boletos distintos, como máximo,
pueden venderse?
a) 36! b)
!30
!36
c) 1 947 972
d)
!6
!36
e) 1 947 792
09.En la formula F = x, y, los valores de x e y
sólo pueden ser números primos menores que
20. ¿Cuántos resultados diferentes pueden
obtenerse?
a) 14 b) 56 c) 28
d) 64 e) 112
10.Un entrenador de fútbol tiene que elegir los
jugadores que han de conformar la delantera
de su equipo. Si debe escoger a tres, de cinco
candidatos polifuncionales, ¿cuántas
posibilidades tiene?
a) 10 b) 60 c) 30
d) 20 e) 15
11.En una competencia de natación compiten 7
nadadores. ¿De cuántas formas pueden ser
ocupados los tres primeros lugares?
a) 35 b) 70 c) 140
d) 21 e) 210
12.Se debe formar una comisión de tres
profesionales: un abogado, un ingeniero y un
contador. ¿Cuántas posibilidades de formar
dicha comisión hay si se cuentan con tres
abogados, cuatro ingenieros y seis
contadores?
a) 13 b) 72 c) 48
d) 36 e) 18
13.En los casilleros en blanco que a continuación
se muestran deben colocarse los números:
{2; 5; 7; 19; 31; 37} +:
Si no se pueden repetirse el mismo número en
cada prueba, ¿cuántos posibles resultados se
obtendrán?
a) 720 b) 15 c) 360
d) 180 e) 30
14.Jesús, Wilfredo y Marco van un día al cine y
encuentran cuatro asientos consecutivos
vacíos. ¿De cuántas maneras pueden
distribuirse?
a) 24 b) 48 c) 12
d) 7 e) 9
15.Desde la primera cuadra de la avenida
Arequipa puedo trasladarme hasta la cuadra
50 en combi, microbús o taxi - colectivo.
¿De cuántas formas podré viajar ida y vuelta
si al regresar debo hacerlo en un medio de
locomoción distinto al que usé en la ida?
a) 3 b) 6 c) 10
d) 12 e) 5
16.¿Cuántos números de cuatro cifras distintas
pueden formarse con los dígitos 2; 3; 5; 6; 9?
a) 5 b) 20 c) 60
d) 10 e) 120
17.En el problema anterior, ¿cuántos de dichos
números son menores que 6 000?
a) 36 b) 96 c) 72
d) 144 e) 81
18.¿Cuántos números de tres cifras distintas,
todas significativas, tienen un cinco en su
escritura?
a) 56 b) 192 c) 147
d) 243 e) 168
19.¿Cuántos números de cuatro cifras impares
diferentes, pero que no llevan el dígito 7 en
su escritura, existen?
a) 20 b) 10 c) 12
d) 24 e) 6
20.¿Cuántos números de tres cifras, que no
llevan un dígito cuadrado perfecto, existen?
a) 294 b) 216 c) 252
d) 180 e) 120
Las diferentes aplicaciones de la probabilidad,
hacen que tome singular importancia en el estudio
de la matemática. Útil no sólo en la ingeniería o
ciencias sino también en otras áreas como la
agricultura, la administración, la medicina, etc.
La teoría de la probabilidad comenzó en el siglo
VII con el estudio realizado por Blas Pascal y
Pierre de Fermat, a los juegos de azar ( Juego de
dados, de cartas, etc.), señalando la forma
apropiada de realizar las apuestas a los jugadores.
Pero también el estudio de la probabilidad se
desarrolla con el análisis de los registros de
mortalidad conservados en Londres a fines del
siglo XVI, es quizás por ellos que a la
probabilidad se le presenta con interpretaciones
diferentes.
I. EL CALCULO DE PROBABILIDADES
1.- EXPERIMENTO ALEATORIO ( )
La palabra aleatorio significa “depende del azar”,
textualmente se puede escribir: “experimentos
que dependen del azar” cuyo significado nos
dá una idea de tales experimentos. En estos
experimentos no se puede señalar con precisión el
resultado que se obtendrá a pesar de que no se
cambien las condiciones en que se realiza el
experimento, lo que sí se puede señalar es la
variedad de resultados posibles a obtener. Por
ejemplo:
E1: Lanzar una moneda y observar el resultado.
Puede obtenerse cara ( C ) o sello ( S ) , pero no
se puede afirmar que en este lanzamiento se
obtendrá cara (Sello).
E2 : Lanzar los dados y sumar los puntajes.
Resultados posibles: 2;34;;5;....;10;11;12.
2.- ESPACIO MUESTRAL ( )
Es un conjunto asociado a un experimento
aleatorio, cuyos elementos son todos los posibles
resultados del experimento señalado.
TEORIA DE LA

Así por ejemplo, de los experimentos anteriores:
E1: su espacio muestral: { c,s}
E2:suespaciomuestral es
{ 2;3;4;5;6;7;8;9;10’11’12}
3.- EVENTO
Se llama así a cualquier subconjunto de un
espacio muestral. Se representa por una letra
mayúscula.
Ejemplo:
Sea el siguiente experimento aleatorio E:
E: lanzar una moneda y un dado juntos.
Se tendrá los siguientes eventos A y B:
Evento A: “se obtenga cara y cualquier valor del
dado”
A = { (c;1);(c;2);(c;3);(c;4);(c;5);(c;6)}
Evento B: “se contenga sello y un valor par”
B= {(S;2);(s;4);(s;6) }
II. DEFINICION DE PROBABILDAD.
La teoría clásica de la probabilidad, formulada
por Laplace, considera que ella mide el grado de
creencia, así, cuando se está seguro de que ocurre
algo se puede asignar el valor de 1 y si se está
seguro de que no ocurrirá puede asignarse el
valor de0. En el caso que no se esté seguro, el
grado de su creencia estará entre 0 y 1.
En general si un experimento aleatorio tiene n
resultados posible, lo sus elementos del espacio
muestra tendrá la misma posibilidad de salir. En
consecuencia la probabilidad que salga cualquiera
de ellos es 1/n.
La probabilidad de un evento A, denotado por
P{A}, está dado por la razón entre el número de
casos favorables y el número de casos posibles.
P[A] = n(A)/ n( )
PRÁCTICA DE CLASE
01.¿Cuál es la probabilidad de que llueva
mañana?
a) 0,2 b) 0,4 c) 0,5
d) 0,9 e) 1
02.Al arrojar dos dados ¿Cuál es la probabilidad
de que salga un 4 y un 6?
a) 1/18 b) 1/36 c) 1/12
d) 1/12 e) N.A
03.Al arrojar dos dados ¿Cuál es la probabilidad
de obtener la suma de 8 ó 9?
a) 1/6 b) 1/18 c) ¼
d) 1/12 e) N.A
04.Al arrojar tres dados ¿ Cuál es la probabilidad
de obtener un 3 un 4 y un 5 ?
a) 1/6 b) 1/12 c) 1/36
d) 1/216 e) N.A
05.Al arrojar un dado ¿Cuál es la probabilidad
de no obtener un número impar no mayor a
3?
a) 2/3 b) 1/2 c) 1/3
d) 1/6 e) 5/6
06.Al lanzar dos dados ¿ Cuál es la probabilidad
de obtener una suma de puntos menor a cinco
?
a) 1/4 b) 1/9 c) 1/18
d) 1/6 e) N.A
07.Al efectuar el lanzamiento de un dado ) Cuál
será la probabilidad de obtener un número
impar?
a) 2/3 b) 1/3 c) ½
d) 1/4 e) 1/6
08.Si se efectúa el lanzamiento de una moneda
¿Cuál será la probabilidad de no obtener
sello?
a) 1/3 b) 2/3 c) ½
d) 1/6 e) N.A
09.En cierto depósito se tienen 5 bolas azules,
tres bolas blancas y dos bolas negras. ¿ Cuál
es la probabilidad de que al extraer una bola
al azar, esta sea blanca o negra ?
a) 2/5 b) 3/10 c) 4/5
d) 7/10 e) N.A
10.Se tienen 10 fichas numeradas del cero al
nueve, calcular la probabilidad de que al
extraer dos fichas al azar, los dígitos en éstas
sumen un número par?
a) 2/9 b) 1/2 c) 1/4
d) 4/9 e) N.A
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 03
01.Al efectuar el lanzamiento de dos dados en
forma simultánea, determinar que suma de
puntos es más probable de obtener ?
a) 2 b) 11 c) 6
d) 7 e) N.A
02.Se efectúan tres lanzamientos consecutivos de
una misma moneda determinar la
probabilidad de obtener sello, cara y sello; en
ese orden:
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/8
d) 3/4 e) 2/5
03.En una caja, se han depositado cinco bolas
rojas, ocho bolas blancas y cuatro bolas
negras ; se extraen tres al azar. Determinar la
probabilidad de obtener 2 bolas blancas y una
negra
a) 42/85 b) 5/17 c) 5/18
d) 14/85 e) N.A
04.En el lanzamiento simultáneo de dos dados
¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4, en
sólo uno de ellos
a) 1/12 b) 1/6 c) 2/9
d) 5/18 e) 1/2
05.Juan juega a la ruleta con Jorge, la
probabilidad que tiene de ganar una partida es
de 1/3 ) Cuál es la probabilidad que tiene Juan
de ganar cuando menos una de tres partidas
consecutivas?
a) 2/3 b) 1/9 c) 3/13
d)19/27 e) 13/25
06.En cierta urna se tiene 2 fichas azules y seis
fichas rojas; otra urna contiene 4 fichas rojas
y 4 fichas azules. Se extraen dos fichas, una
de cada urna ¿Cuál es la probabilidad de que
ambas sean del mismo color?
a) 7/8 b) 1/2 c) 5/8
d) 1/3 e) 3/4
07.Se lanza un dado dos veces consecutivas.
Calcular la probabilidad de obtener por lo
menos un tres en uno de los lanzamientos
a) 11/36 b) 5/6 c) 19/27
d) 5/36 e) 1/4
08.De un mazo de 52 cartas se extraen tres veces
consecutivas una carta, con reposición,
calcular la, probabilidad de obtener una figura
de trebol, en cada caso?
a) 1/8 b) 1/64 c) ¾
d) ½ e) 3/16
09.En una bolsa se depositan 2 bolas verdes y 5
bolas negras; en una segunda bolsa se tienen
4 bolas negras y 3 bolas verdes; se extraen
dos bolas, una de cada bolsa. Calcular la
probabilidad de que la primera sea negra y la
segunda sea verde
a) 8/7 b) 7/8 c) 15/49
d) 7/49 e) 4/7

10.¿Cuál es la probabilidad de que dos naipes
distintos cualesquiera de una baraja de 52
cartas, estén juntos sin tener en cuenta el palo
a) 5/36 b) 6/13 c) 8/13
d) 1/26 e) 7/26
11.De un total de 52 cartas, se extraen dos a la
vez ¿Cuál es la probabilidad de que dichas
cartas sean de espadas?
a) ¼ b) 1/17 c) 3/27
d) 2/5 e) 5/52
12.Para una rifa se venden 20 cupones Luis
compra dos cupones. Si se ofrecen dos
premios. ¿Cuál es la probabilidad de que
obtenga sólo uno de los premios?
a) 19/20 b) 18/95 c) 7/36
d) 3/4 e) N.A
13.Tres caballos "A","B" y "C" intervienen en
una carrera "A" tiene doble probabilidad de
ganar que "B" y "B" doble probabilidad de
ganar que "C" ¿ Cuál es la probabilidad de
ganar que tiene "C"
a) 1/7 b) 2/7 c) 4/7
d) 3/7 e) 5/7
14.Seis parejas de casados se encuentran en un
cuarto. Si se escogen 2 personas al azar.
Hallar la probabilidad de que uno sea hombre
y otro mujer sin ser esposos
a) 0,5 b) 0,46 c) 0,83
d) 0,45 e) 0,90
15.Diez fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan
en una palangana. Se sacan de la palangana
dos fichas numeradas (x,y) una y otra vez sin
sustitución. ¿ Cuál es la probabilidad de que x
+ y = 10 ?
a) 1/2 b) 4/15 c) 4/45
d) 15/28 e) N.A
16.La probabilidad de que Koral ingrese a la
UNI es 0,4; que ingrese a la UNT es 0,7; si la
probabilidad de que no ingrese a ninguna es
0,12. Hallar la probabilidad de que ingrese a
ambas a la vez ?
a) 0,42 b) 0,22 c) 0,24
d) 0,48 e) 0,58
17.Seis marathonistas (A,B,C,D,E,F) compiten
en la marathon de los andes ¿ Cuál es la
probabilidad de que "A" llegue antes que B?
a) 0,5000 b) 0,208 c) 0,4666
d) 0,5240 e) 0,6250
18.Al arrojar 3 monedas al aire ¿Cuál es la
probabilidad de obtener 2 caras y un sello?
a) 1/4 b) 3/8 c) ¾
d) 1/8 e) N.A
19.Un estudiante diariamente toma su ómnibus a
la 7a.m para ir a su centro de estudios. Los
días que el ómnibus pasa lleno, llega tarde; en
caso contrario llega temprano. Los Domingos
no tiene problemas. Durante la semana
siempre llega tarde 2 veces. Si un día
laborable, espera su ómnibus. ¿Cuál es la
probabilidad que no pase lleno?.
a) 1/2 b) 1/6 c) 1/3
d) 2/3 e) 4/5
20.En una academia preuniversitaria hay 3
profesores de Razonamiento Matemático A,
B y C; los cuales deben enseñar en una
Maratón de R.M. Si los alumnos, caben
exactamente en las aulas 1 y 2. ¿ Cuál es la
probabilidad que el profesor que el profesor C
se quede sin enseñar en la Maratón.?.
a) 1/3 b) 1/6 c) 1/8
d) 1/4 e) 3/4
TAREA DOMICILIARIA
01.Un grupo de 10 amigos (4 amigos y 6
mujeres), fueron de paseo. en el grupo se
encuentra Andrés y Ana que son muy amigos.
Si en un momento, se escoge una pareja al
azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la pareja
esté constituida por Andrés y Ana?.
a) 1/20 b) 1/8 c) 1/21
d) 1/24 e) 1/10
02.En una fiesta donde asistieron 80 personas,
resulta que 60 beben, 40 fuman y 10 no
fuman ni beben. Si de estas personas se
escoge, una de ellas al azar. ¿ Cuál es la
probabilidad que solo fume?.
a) 1/5 b) 1/2 c) 1/4
d) 1/8 e) 1/80
03.Del problema anterior. ¿Cuál es la
probabilidad que beba y fume?.
a) 3/5 b) 3/8 c) 2/5
d) 1/8 e) 3/4
04.Del problema 02. ¿Cuál es la probabilidad de
que beba pero no fume?.
a) 6/8 b) 3/8 c) 2/7
d) 5/9 e) 1/4
05.Del problema 02. se escoge una persona al
azar y resulta que no fuma. ¿ Cuál es la
probabilidad de que beba?.
a) 3/5 b) 3/8 c) 2/3
d) 3/8 e) 3/4
06.Una urna contiene 80 esferas numeradas del 1
al 80; ¿ cuántas extracciones como mínimo,
debo realizar para obtener con seguridad dos
esferas cuyos números sean pares?.
a) 2 b) 4 c) 40
d) 42 e) 41
07.Hay 12 maneras en las cuales un artículo
manufacturado puede tener un pequeño
defecto y 10 maneras en las cuáles pueden
tener un defecto mayor. ¿ De cuántas maneras
puede ocurrir un defecto mayor y un defecto
menor?.
a) 22 b) 120 c) 60
d) 40 e) 240
08.En el problema anterior, ¿ de cuántas maneras
puede ocurrir 2 defectos menores y 2
mayores?.
a) 2390 b) 1200 c) 2800
d) 2400 e) 2970

ÁREAS SOMBREADAS
1.- INTRODUCCION.- El estudio de las
coordenadas es fundamental tanto en las
ciencias como en matemática aplicada.
Nosotros no vamos a ir más ala, como es el
caso de la “Geometría analítica” que es la
fusión de la Geometría y el Algebra; pero
si nos interesa conocer cómo se específica la
posición de un punto en una superficie dada.
El porque un alumno debe saber asociar
puntos con números, es justamente para poder
ubicar un punto sobre un plano. Al unir estos
puntos se obtiene una recta. Cualquier
conjunto de puntos en la recta es la gráfica
del conjunto de números que corresponden a
los números.
La utilidad de los gráficos es muy
grande. En matemática, en física, estadística,
industria, comercio, etc.
2.- PAR ORDENADO.- Cuando el orden en que
se nombra un par de números tiene alguna
significación se dice que esa pareja de
números es un par ordenado.
Ejms:
(5,8) (a,9)1 2
1ra comp. 2da com.
(cos x , tg x) (log 100, 1 - 31)3 4
2.1IGUALDAD DE PARES ORDENA-DOS.
Dos pares ordenados son iguales entre sí, si y
sólo si, las primeras componentes son iguales
entre sí y las segundas componentes también
son iguales entre sí.
Es decir:
(a,b) = (c,d)
⇔ a = c ∧ b = d
EJERCICIOS DEMOSTRATIVOS.
(1)Hallar x é y, si se sabe que:
(3x + 5 , 2y – 3) = (8,5)
Sol. Por igualdad de pares ordenados:
• 3x + 5 = 0 → x = 1
• 2y – 3 = 5 → y = 4
(2)Hallar (x + y), si se sabe que:
(3x + 2y . 8x – 3y) = (5,6)
(3)Hallar (m – n), si se sabe que:






+=





+ n3,34,m2
3.- SISTEMA DE COORDENADAS.
3.1 ORIGEN DE COORDENADAS: (0,0)
3.2 EJE DE LAS ABCISAS: EJE X
3.3 EJE DE LAS COORDENADAS: EJE Y
I cuadranteII cuadrante
III cuadrante IV cuadrante
origen de coordenadas
eje de las
abcisas (x)
eje de las
coordenadas (y)
4.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
La distancia entre dos puntos (x1 , y1) y (x2 ,
y2) está dado por:
d =
( ) ( )2
12
2
12 yyxx −+−
P (x , y )
1 11
Q (x , y )
12
P (x , y )
2 22
Ejemplos :
(1)Sea A el punto (4,-1) y B el punto (8,2)
Sol.
d =
( ) ( ) 51248
22
=−+− −
4.1 PUNTO MEDIO
Sean los puntos A = (x,y) , B = (x1 , y1), las
coordenadas del punto medio del segmento
que une a ambos puntos son:





 ++
=
2
yy
,
2
xx
M 11
Ejms.
(1)Las coordenadas del punto medio del
segmento que une los puntos A = (18, 16) y B
= (14 , 24) serán:
Sol.
A
B
M
(2)Las coordenadas del punto medio del
segmento que une los puntos
A = (-6, -14) y B = (16, 22)
serán: M = ( 5 ; 4 )
5.- APLICACIONES PRACTICAS
(1)Construir una gráfica que permita hallar el
costo de cualquier número de metros de tela
(hasta 10m) sabiendo que 3m. cuestan S/. 40.
Sol.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
40 80 120
A
B
C
m
S/.
* Extendiendo la tabla, obtenemos una gráfica
que nos da el valor para cualquier número de
metros. Para saber el precio sólo basta leer el
valor de la abscisa.
(2)En los siguientes gráficos, se muestran los
ingresos por ventas de dos empresas durante
los años 1975 – 1982.
a) En que año la empresa A mantuvo un
nivel de ingresos?
b) Qué empresa y durante cuántos años
obtuvo mayores ingresos?
c) En que año cada empresa llegó a vender
95 millones de dólares?
SISTEMA DE





 ++
=
2
2416
,
2
1418
M
M = (16 , 20)

120'
110'
100'
90'
80'
70'
60'
50'
40'
30'
76 77 78
Millones
79 80 81 82 75 76 77 78 79 80 81 82
Empresa A Empresa B
millones
(años) (años)
75
Solución:
Muchas veces habrá de encontrarse con que
va a tener que sacar conclusiones a través del
análisis de un gráfico estadístico, como en
este caso; interpretemos:
a) En el año 1977
b) Para contestar a estas preguntas y dado
que ambos gráficos están en las mismas
unidades y escala, lo mejor y más rápido
es unirlos en uno sólo así:
110'
100'
90'
80'
70'
60'
50'
40'
30'
76 77 78
Millones
79 80 81 82
(años)
75
120'
A
B
* podemos ver que hasta el año 79 en que
ambos gráficos se cruzan, la empresa B
tenía mayor nivel de ingresos; y que a
partir de ese año hasta 1982 la empresa A
la que paso a tener mayor nivel de
ingresos.
La empresa A a partir del año 1979.
c) Empresa A llegó a los 95 millones en
1980 y la empresa B lo hizo en 1981.
AREA DE UN POLIGONO EN FUNCION DE
LAS COORDENADAS DE SUS VERTICES.
ANALICE:
Sean los puntos P1(x1 ; y1)
P1 (x2 ; y2)
P3 (x3 ; y3)
Al unir estos puntos en forma consecutiva se
obtiene un triángulo de vértices P1 ; P2 y P3
P (x ; y )
3 3 3
P (x ; y )
1 1 1
P (x ; y )
2 2 2
El cálculo del área de este polígono en función de
las coordenadas de los vértices se realiza
aplicando determinantes, así:
Area =
1
2
x y
1 1
x y
2 2
x y3 3
x y
1 1
(-)
(-)
(-)
(+)
(+)
(+)
Area=
( ) ( )[ ]312312133221 y.xy.xy.xy.xy.xy.x
2
1
++−++
Ejemplo.
Hallar el área de un triángulo cuyos vértices son
los puntos de coordenadas (2;3) ; (5,7) ; (-3;4)
1º Graficamos los puntos dados en el plano
cartesiano.
A (2;3)
A (5;7)
C (-3;4)
( )( )[ ]8211592014
2
1
32
43
75
32
2
1
Area +−−−+=
−
=
( ) 2
u5,11225
2
1
Area =−=
CALCULOS DE AREAS
METODOS
1) METODO DIRECTO
Ejm. Hallar el área de la región sombreada.
a
Resolución:
El área del cuadrilátero formado al unir los
puntos medios es la mitad del cuadrilátero
original.
S
S
II) METODO INDIRECTO
A) DIFERENCIA DE REGIONES:
A la figura mayor se le resta la figura menor.
6a
Resolución:
6a
4aa a
3a
6a
2S =
2
a 2
S =
4
a 2

As = -
As =
( )
2
a18a60
2
)a3(a6
2
a6)a4a6 22
−
=−
+
As = 21a2
B) PARTICION DE REGIONES
Toda figura se parte realizando trazos
auxiliares (diagonales, diámetros, verticales,
horizontales, etc)
a
a
a
Resolución
a
a
a
s
s
s
s
s
s
s
s s
s s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
a
a
a
a
a
a
a
24 S = 6 ∆ equiláteros
24 S = 6








4
3a 2
S =
16
3a 2
As = 15 S = 15








16
3a 2
C) TRASLACION DE REGIONES
a
a
Resolución
a
a
As =
As = π.a2
. 90º
360º
As =
4
a 2
π
PRÁCTICA DE CLASE
01.Calcular el perímetro de la figura que se
obtiene al unir los puntos:
A = (2,1) , B = (5,5) , C = (8,5) , D = (12,1)
Rpta. 18 + 4 2
02.Determinar la ecuación algebraica que
expresa el hecho de que el punto P(x,y)
equidista de los puntos: A(-3, 5) , B(7,-9)
Rpta. 5x – 7y – 24 = 0
03.Los puntos P=(-4,0) , Q=(5, 3 3 ) y
R=(x,0) son vértices de un triángulo
rectángulo en Q. Hallar el perímetro y el área.
Rpta. 6(3+ 3 ) y 18 3
04.Los puntos (2,3) (2,6) y (5,3) son tres vértices
de un cuadrado. Encontrar las coordenadas
del cuarto vértice:
Rpta: (5,6)
05.La base mayor de un trapecio isósceles une
los puntos (-3,-2) y (7,-2). Uno de los
extremos de la base menor tiene por
coordenadas (-1,4). Encontrar las
coordenadas del otro punto extremo.
Rpta: (5,4)
06.En la siguiente figura: A(-2,4) , B(-2,-2) ,
C(6,-2). Calcular el ángulo BED.
A
E
D
X
C
B
y
Rpta: 63,5º
07.Uniendo los puntos A(3,1) , B(2,2) , C(0,1),
D(1,0), ¿qué figura se obtiene?
Rpta: un paralelogramo
08.Se dan los puntos A(-1,0) , B(0,-1), C(2,0),
23CDy2AD == , al unir los
puntos la figura que se obtiene es:
Rpta: absurdo
09.Calcular la distancia entre los puntos medios
de las distancias de (0,0) a los puntos (12,8) y
(-4,6)
Rpta: 65
10.Calcular el área del cuadrilátero ABCD, si:
A = (1,2), B = (4,6), C = (7,3) y D = (5,0)
Rpta: 18,5u2
11.Cuál es el área del triángulo equilátero RST
en la siguiente figura?
R (2,2)
X
O
y
S
T (5,-2)
Rpta: 6,25 3
12.Hallar el área del cuadrilátero:
A=(1,1), B=(4,6), C = (7,7), D = (9,3)
Rpta: 4,5u2

13.Los vértices de un trapecio isósceles son :
(-1,4), (-3,-3), (5,-3) y (a,b).
Si una base mide 8, el área será:
Rpta. 42
14.Hallar el área del cuadrilátero que une los
puntos:
(-2,-3/2),(2,-3/2),(2,3/2) y (-3 3 /2 , 2 3
).
Rpta. 16,81.u2
15.Los vértices consecutivos del lado de un
rombo son (1,3) y (2,0); si el punto donde se
cortan perpendicularmente las diagonales es
el punto (2,3). Hallar el área del rombo.
Rpta: 6u2
16.El gráfico indica el número de pacientes
atendidos por un médico en los 4 primeros
días de la semana.
Cuántos pacientes ha atendido el tercer día.
1O
Nº de pacientes
150
90
60
20
1 2 3 4 (días)
Rpta. 30
17.En el siguiente gráfico se representa la
velocidad de un móvil que 11 horas ha
recorrido un total de 518km. Hallar la
velocidad final (vf) de dicho móvil.
90
80
70
60
50
40
30
1 2 3
V(km/h)
4 5 6 7 T(horas)75
20
10
8 9 10
vf
Rpta. 36 km/h
18.En el siguiente gráfico se muestra las
relaciones entre la velocidad y el tiempo de 2
móviles que parten simultáneamente en el
mismo sentido.
90
80
70
60
50
40
1 2 3
V(km/h)
4 5 6 7 T(horas)75 8
Móvil A
100
Móvil B
a) Quién habrá recorrido una mayor
distancia 5 horas después de la partida?
b) Quién llegará primero a Cartavio que se
encuentra a 260km. Del punto de partida?
c) Aqué hora pasará el móvil B por Lima,
que se encuentra a 200km del punto de
partida?
19.En la siguiente figura: calcular el área
sombreada.
R P(m,0)
Q(0,m)
a) m2
b) 2m2
c)
4
m3 2
π
d) ( )2
2
m
−π e) ( )2
4
m 2
−π
20.En la figura mostrada:
a a
el 50% del área sombreada es:
a) a2
(4 - π) b) 4πa2
c) 2a2
(4-π)
d) π2
a
3
2
e) N.a.
EJERCICIOS PROPUESTOS 04
01.Hallar el valor del área sombreada en la
figura:
a a
a) a2
( 3 -π) b)
2
a 2
(π- 3 )
c)
4
a 2
(π- 3 ) d) a2





 π
−
3
3
e) N.a.
02.En un cubo de arista unitaria, hallar el área
del triángulo formado por la diagonal
principal y la diagonal de una de sus caras.
a) 2 b) 3 /2 c) 2 /2
d) 3 /2 e) N.a.
03.¿Qué porcentaje de área sombreada se ha
extraído del círculo?
m
a) 20% b) 25% c) 75%
d) 45% e) N.a.
04.Hallar el área sombreada en:

m
a) m2
b) m2
/2 c) m2
/4
d) πm2
/4 e) N.a.
3m
a) 4,5 m2
b) 9 m2
c) 6 m2
d) 4 m2
e) N.a.
m
a) m2
(π -1) b) 





−
π
1
2
m 2
c) m2
(π -3) d) m2
e) N.a.
6m
a) 3(π -2) b) 3(6 - π) c) 3(π - 3)
d) 3 π e) N.a.
08. Hallar el área sombreada en:
4m
a) 0,2 m2
b) 0,4 m2
c) m2
d) 0,6 m2
e) N.a.
09.En la siguiente figura hallar el área
sombreada.
4m
a) 0,8 m2
b) 0,6 m2
c) m2
d) 2m2
e) N.a.
2a
a) 2a2
(π-2) b) 2a2
(π-3) c) 2a2
(π-1)
d) 2a2
(π-2) e) N.a.
2m
A
B
2mO
a) ( ) 2
m1222 − b)
( ) 2
m32 π−
c) ( ) 2
m33 −π d)
( ) 2
m128 π−
e) N.a.
12.Hallar las coordenadas del circuncentro del
triángulo ABC, si A (0 ; 0 ) , B (3 ; 8) y C (7;
5)
a) (227/82 ; 289/82) b) (225/81 ; 286/81)
c) (225/82 ; 285/82) d) (227/81 ; 289/81)
e) N.a.
13.Hallar la ecuación de la mediatriz del
segmento AB donde A(- 4; 3) y B(2; 9)
a) y = - x + 5 b) y = x +5
c) y = - x - 5 d) y = x - 5
e) N.a.
14.Hallar la distancia del punto (- 4; 3) a la recta
L: y = 2x + 5
a) ( )6/55 b) ( )6/54
c) ( )6/56 d) ( )6/56
e) N.a.
15.Los vértices de un triángulo son los puntos
A(3; 6); B( -1; 3) y C(2; - 1). Calcular la
longitud de la altura trazada desde C.
a) 4 b) 6 c) 5
d) 3 e) 1
16.Hallar la ecuación de la recta bisectriz del
ángulo agudo que forman las rectas
L1: 2x - 4y +6 = 0
L2: 24x - 7y - 177 = 0
a) 14x +9y + 49= 0
b) 13x - 9y - 49 = 0
c) 13x + 9y + 49 = 0
d) 14x - 9y - 49 = 0
e) N.a.
17.Los vértices de un cuadrado son: A ( 0; -3), B
(b1; b2), C(3; 4); y D(d1; d2). Hallar el área
del rectángulo cuyos vértices son los puntos ,
P, D, Q donde P = (d1; d2) y Q(b1; b2)
a) 22u2
b) 21u2
c) 20u2
d) 19u2
e) 18u2
18.La ecuación x2
+ 6x + y2
- 9 = 0, es la
ecuación de un circunferencia de centro (h;
k) y radio r. Hallar E = r/ (h+k)
a) 2 b) 22− c) 2 - 2
d) 2− e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.Uniendo los puntos A (3; 1); B (2; 2), C(0 ;
1) y D (1; 0), que figura se obtiene
02.Calcular la distancia entre los puntos medios
de las distancias de (0; 0) a los puntos (12; 8)
y (4; 6)
03.Calcular el área de la figura que se forma
uniendo los puntos A (2; 3); B (3; 1) y C
(0; 4)
04.Calcular el área de las figura que se forma
uniendo los puntos (0, 0); 1; 2) y (0; 5)
05. Hallar el área del cuadrilátero: A (1 ; 1), B
(4, 1); C (7; 7) y D (9; 3)

SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03 04
01. B B D D
02. B A C C
03. B E D B
04. B A D E
05. C A D A
06. C C B B
07. C B A B
08. B C B D
09. C D C A
10. D A D A
11. D E B D
12. E B E A
13. C C A A
14. D A C C
15. C B E C
16. C E B B
17. C C A B
18. C D B D
19. E D D
20. B D A
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003

Rm 4° 4 b

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