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- 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA-ENERGÍA 𝐂𝐈𝐂𝐋𝐎 𝟐𝟎𝟐𝟑 − 𝐈𝐈
- 3. 3 En esta sección deduciremos una expresión para calcular el área de una región determinada por una ecuación en coordenadas polares. Para ello recordemos el área de un sector circular de radio r y ángulo Donde r es el radio y es el ángulo central en radianes. Introducción: r 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝒓𝟐𝜽 1
- 4. 4 Sea R la región que vemos en la figura, limitada por la curva de ecuación r = f() y los rayos = a y = b, donde f es positiva y continua. R b a r = f() O = a = b
- 5. = a = b r = f() Dividimos la región R en n regiones más pequeñas con ángulo central .
- 6. 6 Por lo tanto, el área de la i-ésima región se aproxima como un sector circular de radio f() y ángulo . Así, de la fórmula 1 tendremos: 𝜟𝑨𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒇(𝜽) 𝟐𝜟𝜽
- 7. = a = b r = f() Una aproximación al área total de R estará dada por la suma de áreas de sectores circulares...
- 8. Es decir.... 𝑨 ≈ 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 𝟐 𝒇(𝜽) 𝟐 𝜟𝜽 Según se observa en la figura anterior, la aproximación mejora cuando n . Ya que estas sumas son Sumas de Riemann, resulta... 𝑨 = 𝒍í𝒎 𝒏→∞ 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 𝟐 𝒇(𝜽) 𝟐𝜟𝜽 = 𝒂 𝒃 𝟏 𝟐 𝒇(𝜽) 𝟐𝒅𝜽 2
- 9. 9 Con frecuencia esta fórmula se escribe... 𝑨 = 𝒂 𝒃 𝟏 𝟐 𝒓𝟐 𝒅𝜽 3 Observe la similitud entre las fórmulas 1 y 3. NOTA: Al aplicar la fórmula 3 es necesario imaginar que el área está barrida por un rayo que sale de O y gira desde a hasta b. 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝒓𝟐𝜽 1
- 10. Calcule el área encerrada por uno de los cuatro pétalos de la curva r = cos (2) Ejemplo 𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 = 𝟎 → 𝜽 = ± 𝝅 𝟒 𝜽 = 𝝅 𝟒 𝜽 = − 𝝅 𝟒 𝑨 = −𝝅 𝟒 𝝅 𝟒 𝟏 𝟐 𝒓𝟐 𝒅𝜽 = 𝟏 𝟐 −𝝅 𝟒 𝝅 𝟒 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟐 𝜽𝒅𝜽 = 𝟎 𝝅 𝟒 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟐 𝜽𝒅𝜽 = 𝟎 𝝅 𝟒 𝟏 𝟐 (𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝜽)𝒅𝜽 = 𝟏 𝟐 𝜽 + 𝟏 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝟒 𝜽 𝟎 𝝅 𝟒 = 𝝅 𝟖 𝒖𝟐
- 11. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐚𝐝𝐚 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐚 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚 𝐫 = 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝛉, 𝐥𝐨𝐬 𝐞𝐣𝐞𝐬𝛉 = 𝟎 𝐲 𝛉 = 𝛑/𝟐 𝑨 = 𝒂 𝒃 𝟏 𝟐 𝒓𝟐𝒅𝜽 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝟎 𝝅/𝟐 𝟐 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟐 𝒅𝜽 = 𝟗𝝅 + 𝟏𝟔 𝟖 𝒖𝟐 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝜃 = 0 𝜃 = 𝜋/2 𝟏 𝟐 𝟎 𝝅/𝟐 𝟐 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟐 𝒅𝜽 = 𝟏 𝟐 𝟎 𝝅/𝟐 𝟒 + 𝟒𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝜽 + 𝟏 𝟐 𝟎 𝝅/𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 + 𝟏 𝒅𝜽 = 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 + 𝜽 𝟎 𝝅/𝟐
- 12. 𝒓 = 𝟑𝐜𝐨𝐬(𝟑𝜽) 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝜽 = 𝟎 → 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝜽 = 𝟎 → 𝟑𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝟎) → 𝟑𝜽 = ± 𝝅 𝟐 → 𝜽 = ± 𝝅 𝟔 → − 𝝅 𝟔 < 𝜽 < 𝝅 𝟔 𝑨𝟏 = 𝟏 𝟐 − 𝝅 𝟔 𝝅 𝟔 (𝟑𝒄𝒐𝒔(𝟑𝜽)𝟐 )𝒅𝜽 = 𝟑𝝅 𝟒 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐞𝐧𝐜𝐞𝐫𝐫𝐚𝐝𝐚 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐚 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚 𝜽 = 𝝅 𝟔 𝑨𝟏 = 𝟎 𝝅 𝟔 (𝟑𝒄𝒐𝒔(𝟑𝜽)𝟐𝒅𝜽 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙á𝑚𝑖𝑛𝑎 … .
- 13. 𝑨 = 𝟎 𝝅 𝟔 (𝟑𝒄𝒐𝒔(𝟑𝜽)𝟐)𝒅𝜽 = 𝟗 𝟐 𝟎 𝝅 𝟔 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝜽 + 𝟏 𝒅𝜽 = 𝟗 𝟐 𝟏 𝟔 𝒔𝒆𝒏( 𝟔𝜽 + 𝜽 𝟎 𝝅 𝟔 = 𝟑𝝅 𝟒 𝑨𝒕 = 𝟑 𝟑𝝅 𝟐 = 𝟗𝝅 𝟒 𝒖𝟐 … 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
- 14. 𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒓𝟐 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒙 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒙 → 𝒙𝟐 − 𝐱 + 𝒚𝟐 = 𝟎 → 𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 𝟒 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒙 → 𝒚 = ± 𝒙 − 𝒙𝟐 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨: Halle el área encerrada por la curva 𝐱 = 𝐫𝐜𝐨𝐬𝛉; 𝐲 = 𝐫𝐬𝐞𝐧𝛉 𝐕𝐞𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐬𝐢 𝐟𝐮𝐞𝐫𝐚 𝐞𝐧 𝐜𝐨𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐚𝐬 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐧𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫𝐞𝐬 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒏𝒅𝒐: 𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑦 = ± 𝑥 − 𝑥2 𝐴 = 2 0 1 𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
- 15. 𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑨 = 𝟏 𝟐 −𝝅/𝟐 𝝅/𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒅𝜽 𝑨 = 𝒂 𝒃 𝟏 𝟐 𝒓𝟐 𝒅𝜽 𝑨 = 𝟎 𝝅/𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒅𝜽 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨: Halle el área encerrada por la curva
- 16. Ejemplo 2: Hallar el área encerrada en el interior del cardioide : Solución: El área pedida es el doble de la remarcada en la gráfica 𝑆 = 2 1 2 0 𝜋 𝑎2 (1 + cos 𝜃)2 𝑑𝜃 = = 𝒂𝟐 𝟎 𝝅 (𝟏 + 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜽)𝒅𝜽 = 𝒂𝟐 𝜽 + 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝟏 𝟐 𝜽 + 𝟏 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝟑𝝅𝒂𝟐 𝟐 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟎 → 𝒄𝒐𝒔𝜽 = −𝟏 → 𝜽 = 𝝅 𝒓 = 𝒂(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽)
- 17. 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝒂 𝒃 𝒇𝟐(𝜽) − 𝒈𝟐(𝜽) 𝒅𝜽 𝐄𝐧 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥 , 𝐬𝐞𝐚R 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐠𝐢ó𝐧 𝐞𝐧𝐜𝐞𝐫𝐫𝐚𝐝𝐚 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐚𝐬 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚𝐬 𝐜𝐨𝐧 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐩𝐨𝐥𝐚𝐫𝐞𝐬 𝐫 = 𝐟 𝛉 ; 𝐫 = 𝐠 𝛉 , 𝛉 = 𝐚 𝐲 𝛉 = 𝐛 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐟 𝛉 ≥ 𝐠 𝛉 ≥ 𝟎 𝟎 < 𝒃 − 𝒂 < 𝟐𝝅 𝐄𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐠𝐢ó𝐧 R 𝑵𝑶𝑻𝑨.
- 18. Ejercicio 2: 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝝅/𝟔 𝟓𝝅/𝟔 𝟗𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 − 𝟏 + 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝟐 𝒅𝜽 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝝅/𝟔 𝟓𝝅/𝟔 𝟖𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝜽 − 𝟏 𝒅𝜽 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐠𝐢ó𝐧 𝐝𝐞𝐧𝐭𝐫𝐨 𝐝𝐞𝐥 𝐜í𝐫𝐜𝐮𝐥𝐨 𝐫 = 𝟑𝐬𝐞𝐧𝛉 𝐲 𝐟𝐮𝐞𝐫𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐜𝐚𝐫𝐝𝐢𝐨𝐝𝐞 𝐫 = 𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝛉 𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝛉 = 𝟑𝐬𝐞𝐧𝛉 → 𝐬𝐞𝐧𝛉 = 𝟏 𝟐 𝛉 = 𝝅 𝟔 ; 𝟓𝝅 𝟔 𝑨 = 𝝅/𝟔 𝝅/𝟐 𝟖𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝜽 − 𝟏 𝒅𝜽
- 19. Ejemplo 3: Hallar el área encerrada fuera de 𝒓 = 𝟐 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒚 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒓 = 𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 = 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝐴 = 1 2 𝝅 𝟔 𝟓𝝅 𝟔 𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 2 − 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽) 2 𝑑𝜃 𝑨 = 𝝅 𝟔 𝝅 𝟐 𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝟐 − 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽) 𝟐 𝒅𝜽 𝒓 = 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽) 𝒓 = 𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝝅 𝟔 𝟓𝝅 𝟔 − 𝝅 𝟐 𝟐 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 = 𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 ⟺ 𝜽 = 𝝅 𝟔 ; 𝜽 = 𝟓𝝅 𝟔
- 20. Hallar el área encerrada interior a 𝒓 = 𝟐 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒚 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝒂 𝒓 = 𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝝅 𝟔 𝟓𝝅 𝟔 𝐴 = 2 1 2 − 𝝅 𝟐 𝝅 𝟔 𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 2 − 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽) 2 𝑑𝜃 − 𝝅 𝟐
- 21. Hallar el área común encerrada por 𝒓 = 𝟐 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒚 𝒓 = 𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝐴 = 2 1 2 𝝅 𝟔 𝟓𝝅 𝟔 𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 2 − 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽) 2 𝑑𝜃 𝐴𝑡 = 2 𝐴1 +𝐴2 𝑨𝟐 = − 𝝅 𝟐 𝝅 𝟔 𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝟐 𝒅𝜽 𝑨𝟏 = 𝝅 𝟔 𝝅 𝟐 2+𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽) 𝟐𝒅𝜽 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝝅 𝟔 𝟓𝝅 𝟔 𝐴2 𝐴1
- 22. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐫 = 𝟐 + 𝟐𝐬𝐢𝐧𝛉 𝐲 𝐝𝐞𝐧𝐭𝐫𝐨 𝐝𝐞𝐥 𝐫 = 𝟔𝐬𝐞𝐧𝛉 𝟐 + 𝟐𝐬𝐢𝐧𝛉 = 𝟔𝐬𝐢𝐧𝛉 → 𝐬𝐢𝐧𝛉 = 𝟏 𝟐 → 𝜽 = 𝝅 𝟔 ; 𝜽 = 𝟓𝝅 𝟔 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝝅 𝟔 𝝅 𝟐 𝟔𝐬𝐢𝐧𝛉 𝟐 − 𝟐 + 𝟐𝐬𝐢𝐧𝛉 𝟐 𝒅𝜽 𝑨 𝑨 𝑢2 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨
- 23. Ejemplo : Dadas las curvas 𝒓𝟏 = 𝟒𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 y 𝒓𝟐 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑖) 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 𝐚 𝐫𝟏 y fuera de 𝐫𝟐 𝒊𝒊) 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝟏 y dentro de 𝒓𝟐 𝒊𝒊𝒊) 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝒂 𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂𝒔 𝟒𝐬𝐞𝐧𝛉𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛉 = 𝐬𝐞𝐧𝛉 → 𝐬𝐞𝐧𝛉 𝟒𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛉 − 𝟏 = 𝟎 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎 ∨ 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 − 𝟏 = 𝟎 → 𝒄𝒐𝒔𝜽 = ± 1 2 𝜽 = 𝟎, 𝝅, 𝟐𝝅 𝝅 𝟑 ; 𝟐𝝅 𝟑 𝝅 𝟑 𝟐𝝅 𝟑 𝟎 𝝅 𝝅 𝟐
- 24. 𝑖) 𝐴 = 2 1 2 0 𝝅 𝟑 (𝟒𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽)2 −𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝑑𝜽 𝒊𝒊)𝐴 = 2 1 2 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 − (𝟒𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽)2 𝑑𝜽 𝒊𝒊𝒊)𝐴 = 2 1 2 𝟎 𝝅 𝟑 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝑑𝜽 + 1 2 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 (𝟒𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽)2𝑑𝜽
- 25. 𝑨 = 𝟐 𝟏 𝟐 𝝅 𝟔 𝝅 𝟐 𝟗 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽 𝒅𝜽 − 𝟏 𝟐 𝝅 𝟔 𝝅 𝟐 (𝟏 + 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽) 𝒅𝜽 = 𝝅 𝟔 𝝅 𝟐 (𝟖 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽 − 𝟏 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝒅𝜽 = 𝝅 𝟔 𝝅 𝟐 (𝟑 − 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜽 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝒅𝜽 as 𝐬𝐢𝐧𝟐 = 𝟏 𝟐 (𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜽) = 𝟑𝜽 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝜽 + 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝝅 𝟔 𝝅 𝟐 = 𝝅𝒖𝟐 𝐂𝐨𝐦𝐨 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐠𝐢ó𝐧 𝐞𝐬 𝐬𝐢𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚 𝐫𝐞𝐬𝐩𝐞𝐜𝐭𝐨 𝐚𝐥 𝐞𝐣𝐞 𝐧𝐨𝐫𝐦𝐚𝐥 𝛉 = 𝛑 𝟐 ; 𝐬𝐞 𝐩𝐮𝐞𝐝𝐞 𝐞𝐬𝐜𝐫𝐢𝐛𝐢𝐫
- 26. r=𝟑𝒄𝒐𝒔𝜽; 𝒓 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝜽 → 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟏 𝟐 → 𝜽 = 𝝅 𝟑 ; 𝟓𝝅 𝟑 𝐴 = 2 1 2 𝝅 𝟑 𝝅 (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽)2 𝑑𝜽 − 1 2 𝝅 𝟑 𝝅 𝟐 (𝟑𝒄𝒐𝒔𝜽)2 𝑑𝜽 = 𝝅 𝟖 𝒖𝟐 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒆𝒍 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝒂 r=𝟑𝒄𝒐𝒔𝜽 e interior a 𝒓 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 r=𝟑𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒓 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍
- 27. Ejemplo 𝐒𝐞 𝐩𝐮𝐞𝐝𝐞 𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚𝐬 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚𝐬 𝐬𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐬𝐞𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐞𝐧 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝟏 𝟐 ; 𝝅 𝟑 𝟏 𝟐 ; 𝟐𝝅 𝟑 𝟏 𝟐 ; 𝟒𝝅 𝟑 𝟏 𝟐 ; 𝟓𝝅 𝟑 𝑫𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂: 𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒚 𝒓 = 𝟏 𝟐 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐠𝐫á𝐟𝐢𝐜𝐚 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚𝐝𝐚 𝐩𝐨𝐫 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑟 = 1 2 𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝐴 = 8 0 𝜋/6 𝑐𝑜𝑠2 2𝜃 − 1 4 𝑑𝜃 𝒓𝟏 𝒓𝟐
- 28. 𝟑 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟐 → 𝒄𝒐𝒔𝜽 = − 𝟏 𝟐 → 𝜽 = − 𝝅 𝟑 𝜽 = 𝟐𝝅 𝟑 𝐄𝐧𝐜𝐮𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐜𝐨𝐦𝐮𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚𝐬 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚𝐬 𝐫 = 𝟑 + 𝟐𝐜𝐨𝐬𝛉 𝐲 𝐫 = 𝟐 𝐴 = 2 1 2 𝟎 𝟐𝝅 𝟑 𝟒𝒅𝜽 + 𝟐𝝅 𝟑 𝝅 𝟑 + 𝟐𝒄𝒐𝒔(𝜽) 2 𝒅𝜽 = 𝟏𝟗𝝅 𝟑 − 𝟏𝟏 3 𝟐 𝟐𝝅 𝟑 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨
- 29. Find Area of region inside smaller loop 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝟏 = 𝟎 𝜽 = 𝟐𝝅 𝟑 , 𝟒𝝅 𝟑 𝐴 = 1 2 2𝜋 3 4𝜋 3 𝑟2 𝑑𝜃 = 2𝜋 3 𝜋 2 cos 𝜃 + 1 2 𝑑𝜃 𝑨 = 𝟐𝝅 𝟑 𝝅 𝟒 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜽 + 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝟏 𝒅𝜽 𝑨 = 𝟐𝝅 𝟑 𝝅 (𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜽 + 𝟐) + 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝟏 𝒅𝜽 = 𝟐𝝅 𝟑 𝝅 𝟑 + 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜽 + 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒅𝜽 𝟑𝜽 + 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝜽 + 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟐𝝅 𝟑 𝝅 = (𝟑𝝅) − (𝟐𝝅 − 𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟑 𝟐 ) = 𝝅 − 𝟑 𝟑 𝟐 𝒖𝟐
- 30. Halle el area entre r=1 y exterior a 𝒓 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟎 𝜽 = 𝝅 𝟐 , − 𝝅 𝟐 𝐀 = 𝟎 𝛑 𝟐 ((𝟏)𝟐 − (𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝛉)𝟐 ) 𝐝𝛉 = 𝟎 𝛑 𝟐 (𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝛉 − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛉) 𝐝𝛉 = 𝟎 𝛑 𝟐 (𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝛉 − 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝛉) 𝐝𝛉 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽 − 𝟏 𝟐 𝜽 − 𝟏 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝜽 𝟎 𝝅 𝟐 = 𝟐 − 𝝅 𝟒 = 𝟖 − 𝝅 𝟒 𝒖𝟐 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
- 31. 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐞𝐧𝐭𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐫 = 𝟑𝐜𝐨𝐬𝛉 𝐲 𝐟𝐮𝐞𝐫𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚 𝐫 = 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝛉 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝐱 = 𝐫𝐜𝐨𝐬𝛉; 𝐲 = 𝐫𝐬𝐢𝐧𝛉 𝟑𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 → 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟏 𝟐 , 𝜽 = 𝝅 𝟑 ∨ 𝜽 = 𝟓𝝅 𝟑 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝝅/𝟑 𝟗𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 − 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟐 𝒅𝜽 = 𝐫 = 𝟑𝐜𝐨𝐬𝛉
- 32. 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 á𝐫𝐞𝐚 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐞𝐥 𝐞𝐱𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐜𝐚𝐫𝐝𝐢𝐨𝐝𝐞: 𝐫 = 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝛝 𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 𝐚𝐥 𝐜í𝐫𝐜𝐮𝐥𝐨 𝐫 = 𝟑𝐬𝐞𝐧𝛝 𝐜𝐨𝐬𝛝 = 𝐫 − 𝟏; 𝐬𝐞𝐧𝛝 = 𝑟 3 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 𝑟 − 1 2 ; 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 𝑟2 3 𝟏 = 𝒓𝟐 − 𝟐𝒓 + 𝟏 + 𝒓𝟐 𝟑 → 𝟒 𝟑 𝒓𝟐 − 𝟐𝐫 = 𝟎 → 𝒓 𝟒 𝟑 𝒓 − 𝟐 = 𝟎 𝑟 ≠ 0 ∨ 𝟐 𝟑 𝒓 − 1 = 0 → 𝑟 = 3 2 𝐫 = 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝛝 → 3 2 − 1 = 𝐜𝐨𝐬𝛝 → 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟏 𝟐 → 𝜽 = 𝝅 𝟑 𝐀 = 𝟏 𝟐 𝛑 𝟑 𝛑 (( 𝟑𝐬𝐞𝐧𝛝)𝟐 − (𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉)𝟐 ) 𝐝𝛉 𝐀 = 𝟏 𝟐 𝛑 𝟑 𝛑 𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 − 𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝐝𝛉 𝐀 = 𝟏 𝟐 𝛑 𝟑 𝛑 𝟑 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟐 − 𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟐 𝐝𝛉
- 33. 𝐄𝐉𝐄𝐑𝐂𝐈𝐂𝐈𝐎𝐒 𝐏𝐑𝐎𝐏𝐔𝐄𝐒𝐓𝐎𝐒 adicionar a la hoja de ejercicios 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚: 1. 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 𝐚 𝒓 = 𝟑 + 𝒄𝒐𝒔𝟒𝜽 𝒚 𝒓 = 𝟐 − 𝒄𝒐𝒔𝟒𝜽 𝟐. 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 𝐚 𝐥𝐚𝐬 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚𝐬: 𝐫 = 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝟐𝛉 𝐲 𝐫 = 𝟐 + 𝐬𝐢𝐧𝛉 3. 𝐋𝐚 𝐫𝐞𝐠𝐢ó𝐧 𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 𝐚 𝟐𝐫 = 𝟑 𝐲 𝐞𝐱𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 𝐚 𝐫𝟐 = −𝟗𝐜𝐨𝐬𝟐𝛉 𝟒. 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝒂 𝒓 = 𝟐 𝐚𝐜𝐨𝐬 𝟑𝜽 𝒚 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝒂𝒍 𝒄í𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒓 = 𝒂, 𝒂 > 𝟎 𝟓. 𝒓 = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒔𝒆𝒄𝜽, 𝜽 = 𝟎, 𝜽 = 𝝅 𝟑 𝟔. 𝒓𝟐 = 𝟐𝒂𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝟐
- 34. 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐫𝐞𝐧𝐝𝐢𝐝𝐚 𝐝𝐞 𝒓 = 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝟎 → 𝜽 = 𝝅 𝟔 𝜽 = 𝝅 − 𝝅 𝟔 = 𝟓𝝅 𝟔 𝑨 = 𝒂 𝒃 𝟏 𝟐 𝒓𝟐 𝒅𝜽 𝑨 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 = 𝟏 𝟐 𝜋 6 5𝜋 6 1 − 2𝑠𝑒𝑛 𝟐𝒅𝜽 𝑨 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 = 𝟏 𝟐 𝟐𝝅 − 𝟑 𝟑 𝒖𝟐