Final Exam Solution Manual

1. 1.

4. Por geometría se sabe que:
Ecuación de movimiento del sistema:
2.
Posición
Inicial
Posición n
ℎ = 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑠𝑖𝑛2
𝜑
2
𝐿 = 𝑟2 + 𝐻2 − 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝜑
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑇: 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝐶𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎.
П: 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝑇
𝜕𝜑
) −
𝜕𝑇
𝜕𝜑
=-
𝜕П
𝜕𝜑

5. 𝑇 =
1
2
∗ 𝑚 ∗ 𝑣2
𝑣 = 𝑟 ∗ 𝜑 = 𝐿 ∗ 𝜑
𝑇 =
1
2
∗ 𝑚 ∗ (𝐿 ∗ 𝜑)2
𝑇 =
1
2
∗ 𝑚 ∗ (𝑟2
+ 𝐻2
− 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑)2
∗ 𝜑2
Energía cinética:
Idealización del Sistema Dinámico
Posición
Inicial
Posición n
𝜑
𝑣
Energía potencial:
П = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ
ℎ = 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑠𝑖𝑛2
𝜑
2
П = 2 ∗ 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝐻 ∗ 𝑠𝑖𝑛2
𝜑
2

6. П = 2 ∗ 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝐻 ∗ 𝑠𝑖𝑛2
𝜑
2
𝜕П
𝜕𝜑
= 2 ∗ 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝐻 ∗ 𝑠𝑖𝑛
𝜑
2
∗
1
2
∗ 𝑐𝑜𝑠
𝜑
2
𝜕П
𝜕𝜑
= 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝐻 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑 … (4)
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕𝜑
−
𝜕𝑇
𝜕𝜑
= − 𝜕П
𝜕𝜑
… (1)
𝑇 =
1
2
∗ 𝑚 ∗ (𝑟2 + 𝐻2 − 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑)2∗ 𝜑2
𝜕𝑇
𝜕𝜑
=
1
2
∗ 𝑚 ∗ 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∗ 𝜑2
= 𝑚 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∗ 𝜑2
𝜕𝑇
𝜕𝜑
= 𝑚 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∗ 𝜑2
… (2)
𝜕𝑇
𝜕𝜑
=
1
2
∗ 2 ∗ 𝑚 ∗ 𝑟2 + 𝐻2 − 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∗ 𝜑
𝜕𝑇
𝜕𝜑
= 𝑚 ∗ 𝑟2
+ 𝐻2
− 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∗ 𝜑
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕𝑞
= 𝑚 ∗ 𝑟2 + 𝐻2 − 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∗ 𝜑 + 𝑚 ∗ 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∗ 𝜑2 … (3)

7. 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 2 , 3 𝑦 4 𝑒𝑛 1 :
𝑚 ∗ 𝑟2
+ 𝐻2
− 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∗ 𝜑 + 𝑚 ∗ 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∗ 𝜑2
− 𝑚 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∗ 𝜑2
= −𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝐻 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑟2
+ 𝐻2
− 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∗ 𝜑 + 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∗ 𝜑2
= −𝑔 ∗ 𝐻 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑟2
+ 𝐻2
− 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∗ 𝜑 + 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝜑2
+ 𝑔 ∗ 𝐻 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 0
𝐴𝑠𝑢𝑚𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:
𝜑 → 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1 𝑦 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝜑
𝑟2
+ 𝐻2
− 2 ∗ 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝜑 + 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝜑2
+ 𝑔 ∗ 𝐻 ∗ 𝜑 = 0
(𝐻 − 𝑟)2
∗ 𝜑 + 𝐻 ∗ 𝑟 ∗ 𝜑2
+ 𝑔 ∗ 𝐻 ∗ 𝜑 = 0
𝐴𝑠𝑢𝑚𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:
𝜑 → 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝜑 → 0
(𝐻 − 𝑟)2
∗ 𝜑 + 𝑔 ∗ 𝐻 ∗ 𝜑 = 0
𝜑 + 𝑔 ∗
𝐻
(𝐻 − 𝑟)2
∗ 𝜑 = 0

8. 3. El brazo AB tiene una velocidad angular de 16 rad/s en sentido contrario al de las
manecillas del reloj. En el instante en que Θ = 90°, determinar la aceleración a) del
collarín D, b) del punto medio G de la barra BD.

10. 4.