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Demostraciones boussinesq(1885)

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AlexCalsinCondori

El documento presenta demostraciones matemáticas para calcular el incremento de esfuerzo vertical en una masa de suelo debido a una carga uniformemente distribuida en un área rectangular. A través de la integración de ecuaciones que relacionan las coordenadas espaciales, se obtiene una fórmula final para el incremento de esfuerzo en términos de las dimensiones del área de carga y la profundidad.

Ingeniería
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Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori ENSAYO DE LA VELETA EN CAMPO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL MECANICA DE SUELOS II – (Ecuaciones de Boussinesq) Incremento De Esfuerzo Vertical En Una Masa De Suelo ( 𝛁𝝈) DOCENTE: Ing. Edgar Acurio Cruz Estudiante:  Calsin Condori Alexander Edison 201520307H Abancay – Perú 2018
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  Esfuerzo debajode un área rectangular  Partimos De La Fórmula De La Carga Puntual: 𝛁𝝈 = 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅𝑹 𝟓 ; 𝑹 𝟐 = 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒓 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 ; 𝒅𝒑 = 𝝎𝒅𝒙𝒅𝒚  Integramos a lo largo de cada punto de la cargar uniformemente distribuida. ∫ 𝒅( 𝛁𝝈) = ∫ ∫ 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝒅𝒙𝒅𝒚 𝟐𝝅( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟓 𝟐 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎  Primerointegramos respectode x: 𝐈 = ∫ 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅𝑹 𝟓 𝟎 𝒅𝒙 = ∫ 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟓 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝟎 𝒙 𝟎 𝒂 𝟐 = 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒄 = 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝐈 = 𝒄 ∫ 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟓 𝟐 𝒙 𝟎 𝑰𝟏 = ∫ 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟓 𝟐 ; Transformamos la integral definida a una integral indefinida para facilitar cálculos posteriores.
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori { 𝒙 = 𝒂𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒅𝒙 = 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 ; Utilizando la sustitución trigonométrica 𝑰𝟏 = ∫ 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 𝒂 𝟒 ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝟏) 𝟓 𝟐 ; 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 ; 𝑰𝟏 = 𝟏 𝒂 𝟒 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝐬𝐞𝐜 𝟓 𝜽 𝒅𝜽 = 𝟏 𝒂 𝟒 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝜽 𝒅𝜽 𝑰𝟏 = 𝟏 𝒂 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽( 𝟏 − 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝜽) 𝒅𝜽 = 𝟏 𝒂 𝟒 (∫𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒅𝜽 − ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝜽𝒅𝜽) 𝑰𝟏 = 𝟏 𝒂 𝟒 (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝐬𝐞𝐧 𝟑 𝜽 𝟑 ) → 𝛁𝝈 = 𝒄 𝒂 𝟒 (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝟑 𝜽 𝟑 ) 𝐈 = 𝒄 𝒂 𝟒 ( 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟑 𝟑(√ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟑)| 𝒙 𝟎 = 𝒄 𝒂 𝟒 ( 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟑 𝟑(√ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟑) = 𝒄 𝒂 𝟒 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 (𝟏 − 𝒙 𝟐 𝟑( 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) ) ; 𝒂 𝟐 = 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝐈 = 𝒄 𝒂 𝟒 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟑𝒙 𝟐+𝟑𝒚 𝟐+𝟑𝒛 𝟐 −𝒙 𝟐 𝟑( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ) = 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝟏 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟐 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝟐𝒙 𝟐+𝟑𝒚 𝟐+𝟑𝒛 𝟐 𝟑( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝐈 = 𝝎 𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝟏 ( 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐 𝒙 √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟐𝒚 𝟐 + 𝟐𝒛 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) = 𝝎 𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) 𝐈 = 𝝎 𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) + 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ) ; Finalmente tenemos: 𝐈 = 𝝎 𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟏 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ;
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  Por último integramosrespectode “y”: 𝛁𝝈 = ∫ [ 𝝎𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝟏 ( 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟏 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 )] 𝒚 𝟎 𝒅𝒚 ; 𝒗 = 𝝎𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝛁𝝈 = 𝒗 ∫ 𝒅𝒚 ( 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝟐𝒗∫ 𝒅𝒚 ( 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒚 𝟎 𝒚 𝟎 . 𝑰𝟏 = 𝒗∫ 𝒅𝒚 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒄 𝟐+𝒚 𝟐)√𝒄 𝟐+𝒚 𝟐 𝒚 𝟎 ; Por sustitucióntrigonométrica (Integral Definida) .{ 𝒚 = 𝒄𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒅𝒚 = 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 ; ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽 + 𝒄 𝟐) 𝟏 𝟐 = 𝒄𝒔𝒆𝒄𝜽 .𝑰𝟏 = ∫ 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒛 𝟐) 𝒄𝒔𝒆𝒄𝜽( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒄 𝟐) . 𝑰𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟐 ∫ 𝒅𝜽 ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒛 𝟐) 𝒔𝒆𝒄𝜽 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒅𝜽 ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒛 𝒄 ) 𝟐 ) 𝒔𝒆𝒄𝜽 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒉) 𝟐) = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 +𝒉 𝟐 ) = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝜽𝒅𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽 +𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽𝒉 𝟐) ; 𝒉 = 𝒛 𝒄 .𝑰𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽𝒉 𝟐) − 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽𝒉 𝟐) ; 𝑵𝒐𝒕𝒆: 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽𝒉 𝟐 = 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏 − 𝒉 𝟐) + 𝒉 𝟐 .𝑰𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏−𝒉 𝟐)+𝒉 𝟐 − 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏−𝒉 𝟐)+𝒉 𝟐 ; 𝑰𝟏 = 𝑰𝟏𝟏 − 𝑰𝟏𝟐
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori Para: 𝑰𝟏𝟏 . 𝑰𝟏𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏−𝒉 𝟐)+𝒉 𝟐 ; "𝑪𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆" 𝜽 ⇒ 𝒖 .𝒖 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 𝟐 = 𝒉 𝟐 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝑵𝒐𝒕𝒆: ∫ 𝒅𝒙 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 = 𝟏 𝒂 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙 𝒂 ) + 𝒄 .𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 .𝑰𝟏𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟐( 𝟏−𝒉 𝟐)+𝒉 𝟐 = 𝒗 𝒄 𝟒( 𝟏−𝒉 𝟐) ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+ 𝒉 𝟐 ( 𝟏−𝒉 𝟐) = 𝒗 𝒄 𝟒( 𝟏−𝒉 𝟐) ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+𝒌 𝟐 = 𝒗 𝒄 𝟒( 𝟏−𝒉 𝟐) { 𝟏 𝒌 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒖 𝒌 )} ; 𝒌 𝟐 = 𝒉 𝟐 ( 𝟏−𝒉 𝟐)  Sustituyendo“u”: .𝑰𝟏𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟒( 𝟏−𝒉 𝟐) { 𝟏 𝒌 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 )} … 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 "𝜶" . 𝑰𝟏𝟐 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏−𝒉 𝟐)+𝒉 𝟐 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+ 𝒉 𝟐 ( 𝟏−𝒉 𝟐) = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒌 𝟐 ; 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆:  Para 𝑰𝟏𝟐: .𝑰𝟏𝟐 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 ∫ 𝒖 𝟐 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+𝒌 𝟐 ; 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 (𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐): . 𝑰𝟏𝟐 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 ∫ ( 𝟏 − 𝒌 𝟐 𝒖 𝟐+𝒌 𝟐 ) 𝒅𝒖 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 ∫ 𝒅𝒖 − 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 ∫ 𝒌 𝟐 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+𝒌 𝟐 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 [ 𝒖 − 𝒌 𝟐 𝟏 𝒌 𝟐 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒖 𝒌 )]
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝑰𝟏𝟐 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 [ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝒌 𝟐 𝟏 𝒌 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 )] … 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 "𝜷"  𝑨𝒈𝒓𝒖𝒑𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝜶 𝒚 𝜷 𝒆𝒏 𝑰𝟏 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔: .𝑰𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟒( 𝟏−𝒉 𝟐 ) [ 𝟏 𝒌 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 ) − 𝒔𝒆𝒏𝜽+ 𝒌𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 )] = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐 ) 𝒄 𝟒 [ 𝟏+𝒌 𝟐 𝒌 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 ) − 𝒔𝒆𝒏𝜽] ; 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒕𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒂 (𝒙,𝒚,𝒛) . 𝑰𝟏 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 [( 𝟏+𝒌 𝟐 𝒌 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒚 𝒌√𝒚 𝟐+𝒄 𝟐 ) − 𝒚 √𝒚 𝟐+𝒄 𝟐 ]… 𝑨𝒒𝒖í 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝜽 = 𝒇( 𝒙, 𝒄) ; 𝒌 = 𝒇( 𝒉) 𝒉 = 𝒇( 𝒛 𝒄⁄ )  𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔:( 𝒉, 𝒌, 𝒄) ⇒ 𝒇( 𝒙, 𝒚, 𝒛) . 𝒉 = 𝒛 𝒄 ; 𝒌 𝟐 = 𝒉 𝟐 ( 𝟏−𝒉 𝟐 ) = 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐 𝟏− 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐−𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 −𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 .{ 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒌 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 ; 𝟏+𝒌 𝟐 𝒌 = 𝟏+ 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒛 𝒙 = 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙𝒛 ; ( 𝟏 − 𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 = (𝟏 − 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐 )𝒄 𝟒 = ( 𝒄 𝟐 − 𝒛 𝟐) 𝒄 𝟐 = ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟐) 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐)
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒚𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝑰𝟏: . 𝑰𝟏 = 𝒗 [ 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) − 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒚 √ 𝒚 𝟐+𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ]| 𝒚 𝟎 𝑰𝟏 = 𝒗 [ 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) − 𝒚 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ] … 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 (𝟏)  𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑰𝟐: .𝑰𝟐 = 𝟐𝒗 ∫ 𝒅𝒚 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟐√ 𝒄 𝟐+𝒚 𝟐 ; 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐  Por sustitucióntrigonométrica (Integral Definida): .{ 𝒚 = 𝒄𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒅𝒚 = 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝑰𝟐 = 𝟐𝒗 ∫ 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒛 𝟐) 𝟐 𝒄𝒔𝒆𝒄𝜽 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽𝒅𝜽 ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒛 𝒄 ) 𝟐 ) 𝟐 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽𝒅𝜽 (𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒌) 𝟐) 𝟐 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽𝒌 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 ) 𝟐 𝒅𝜽 ; 𝒌 = 𝒛 𝒄⁄ . 𝑰𝟐 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽𝒌 𝟐) 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟒 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝜽 [ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏−𝒌 𝟐)+𝒌 𝟐] 𝟐 𝒅𝜽 = 𝒗 ( 𝟏−𝒌 𝟐) 𝟐 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝜽 [ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+ 𝒌 𝟐 ( 𝟏−𝒌 𝟐) ] 𝟐 𝒅𝜽 ; 𝒉 𝟐 = 𝒌 𝟐 ( 𝟏−𝒌 𝟐) ; 𝟏 ( 𝟏−𝒌 𝟐) 𝒄 𝟒 = 𝟏 𝒙 𝟒 . 𝑰𝟐 = 𝒗 ( 𝟏−𝒌 𝟐) 𝟐 𝒄 𝟒 ∫ [ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐] 𝒅𝜽 = 𝒗 ( 𝟏−𝒌 𝟐) 𝟐 𝒄 𝟒 [∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝜽] ; 𝑰𝟐 = 𝑰𝟐𝟏 − 𝑰𝟐𝟐  Para 𝑰𝟐𝟏: .𝑰𝟐𝟏 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝜽 { 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 ; 𝑯𝒂𝒄𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 . 𝑰𝟐𝟏 = ∫ 𝒅𝒖 ( 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 ; 𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂: .{ 𝒖 = 𝒉𝒕𝒂𝒏𝝋 𝒅𝒖 = 𝒉 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋𝒅𝝋
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori .𝑰𝟐𝟏 = ∫ 𝒉𝒔𝒆𝒄𝝋 ( 𝒉 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝝋+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 𝟑 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋 ( 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝝋+𝟏) 𝟐 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 𝟑 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋 ( 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋) 𝟐 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 𝟑 ∫ 𝟏 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 𝟑 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝝋 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 𝟑 [ 𝝋 𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝝋 𝟒 ] 𝒉 𝟐 = 𝒌 𝟐 𝟏 − 𝒌 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝟏 − 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 ; 𝒉 = 𝒛 𝒙  Trasladando variables { 𝝋 → 𝜽 → (𝒙, 𝒚, 𝒛)}: . 𝑰𝟐𝟏 = 𝟏 𝟐𝒉 𝟑 (𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒖 𝒉 ) + 𝒖 √ 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐 𝒉 √ 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐 ) = 𝟏 𝟐𝒉 𝟑 (𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒖 𝒉 ) + 𝒖𝒉 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐 ) = 𝟏 𝟐𝒉 𝟑 (𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒉 ) + 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒉 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐 ) . 𝑰𝟐𝟏 = 𝟏 𝟐( 𝒛 𝒙 ) 𝟑 ( 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒚 𝟐+𝒄 𝟐 ) + 𝒚𝒉 √ 𝒚 𝟐+𝒉 𝟐 𝒚 𝟐 𝒚 𝟐+𝒄 𝟐+𝒉 𝟐 ) = 𝒙 𝟑 𝟐𝒛 𝟑 [ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒚𝒉 √ 𝒚 𝟐+𝒉 𝟐 𝒚 𝟐+𝒉 𝟐(𝒚 𝟐+𝒄 𝟐) 𝒚 𝟐+𝒄 𝟐 ] = 𝒙 𝟑 𝟐𝒛 𝟑 [ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒚𝒉√𝒚 𝟐+𝒉 𝟐 𝒚 𝟐+𝒉 𝟐( 𝒚 𝟐+𝒄 𝟐) ] . 𝑰𝟐𝟏 = 𝒙 𝟑 𝟐𝒛 𝟑 [𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )+ 𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙( 𝒙 𝟐+( 𝒛 𝒙 ) 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)) ] = 𝒙 𝟑 𝟐𝒛 𝟑 [𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ] . 𝑰𝟐𝟏 = 𝒙 𝟑 𝟐𝒛 𝟑 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒙 𝟑 𝟐𝒛 𝟑 𝒙𝒚𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  Para 𝑰𝟐𝟐: . 𝑰𝟐𝟐 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝜽 ; { 𝝍 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝝍 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝝍 ; 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 .𝑰𝟐𝟐 = ∫ 𝝍 𝟐 ( 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝝍 ; "𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔" .{ 𝒖 = 𝝍 𝒅𝒖 = 𝒅𝝍 { 𝒅𝒗 = 𝟐 𝟐( 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒗 = −𝟏 𝟐( 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 ∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖 { 𝜽 → 𝝍 → ( 𝒙, 𝒚, 𝒛)} ; Trasladando a las variables originales: . 𝑰𝟐𝟐 = − 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) 𝟐 − ∫ −𝒅 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) = − 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) 𝟐 + ∫ 𝒅 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) . 𝑰𝟐𝟐 = 𝟏 𝟐 [ −𝝍 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐 + 𝟏 𝒉 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝝍 𝒉 )] = 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝒉 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒉 ) − 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 [ 𝒙 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )− 𝒚√ 𝒚 𝟐+𝒄 𝟐 𝒚 𝟐+𝒉 𝟐( 𝒚 𝟐+𝒄 𝟐) ]
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝑰𝟐𝟐 = 𝟏 𝟐 [ 𝒙 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )− 𝒚√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 [ 𝒙 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )− 𝒙 𝟐 𝒚√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ] . 𝑰𝟐𝟐 = 𝒙 𝟐𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) − 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)  Luego operandoy factorizando 𝑰𝟐 = 𝑰𝟐𝟏 − 𝑰𝟐𝟐 ; tenemos: 𝑰𝟐 = 𝟐𝒗 𝒙 𝟒 [ 𝒙 𝟐𝒛 ( 𝒙 𝟐 − 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) + 𝒙 𝟐 𝟐 ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝒚√ 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) ] … . 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 (𝟐)  Como ya tenemos 𝑰𝟏 ; 𝑰𝟐 ahora debemos verificar que estas ecuaciones son auténticas y satisfacen con las siguientes condiciones: . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝒗 𝟏 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝟐𝒗 𝟏 ( 𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝟐 √ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆:𝒗 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 ; 𝒔𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆: ∫ 𝒅( 𝒇) = 𝒇
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝒗 𝟏 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ; demostraremos primero esta ecuación para I1: . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝒅{[ 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )− 𝒚 𝒙 𝟐(𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ]} 𝒅𝒚 = 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 ( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) ′ 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) − 𝟏 𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐−𝒚 𝟐𝒚 𝟐√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙−𝒙𝒚 𝟐𝒚𝒛 𝟐√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) − 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐−𝒚 𝟐 √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 = 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 𝒙𝒛( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)−𝒙𝒚 𝟐 𝒛 √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) − 𝟏 𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 𝒙𝒛( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐−𝒚 𝟐) √𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] − 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 = 𝟏 𝒙 𝟐√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 [ 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) − 𝟏 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ] . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝒙 𝟐√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 [ ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] ] = 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 [ ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐−𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ] . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝒙 𝟐(𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 [ 𝒙 𝟐 (𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 −𝒚 𝟐 ) 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 (𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 ) ] = 𝟏 (𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 )( 𝒛 𝟐 +𝒚 𝟐 ) ; (𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 )(𝒛 𝟐 + 𝒚 𝟐 ) = 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 (𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 )  Finalmente se verifica la Ecuación (1) mediante la derivada de 𝑰𝟏: . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝟏 (𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)(𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝟐𝒗 𝟏 ( 𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝟐 √ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 ; Seguidamente demostraremos esta ecuación para I2: . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝒅[ 𝟏 𝟐𝒛𝒙 𝟑 ( 𝒙 𝟐 −𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 )+ 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝒚√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ] 𝒅𝒚 ; { 𝜷 = 𝟏 𝟐𝒛𝒙 𝟑 ( 𝒙 𝟐 −𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) 𝜶 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝒚√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ;{ 𝑰𝟐 = 𝜷 + 𝜶 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝒅(𝜷) 𝒅𝒚 + 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚  Calculamos 𝒅(𝜷) 𝒅𝒚 : . 𝒅(𝜷) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒛𝒙 𝟑 ( 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙−𝒙𝒚( 𝟐𝒚𝒛 𝟐√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) = 𝟏 𝟐𝒛𝒙 𝟑 ( 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙𝒛 [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)]√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(𝜷) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝟏 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐  Calculamos 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 : . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)](√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐+ 𝟐𝒚 𝟐 𝟐√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )−𝒚√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝟐𝒚( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)] [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)]( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)−𝟐𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)]( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒚 𝟐 [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)]−𝟐𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐 ; 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)−𝟐𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)]+𝒚 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐+𝒛 𝟐 𝒚 𝟐−𝟐𝒙 𝟐 𝒚 𝟐−𝟐𝒛 𝟐 𝒚 𝟐]+𝒚 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐−𝒚 𝟐 𝒛 𝟐−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐]+𝒚 𝟐 [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐−( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒚 𝟐]+𝒚 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 𝟐−𝒚 𝟐 ]( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐)+𝒚 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 𝟐−𝒚 𝟐 ]( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒚 𝟐( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)( 𝒛 𝟐−𝒚 𝟐)+𝒙 𝟐( 𝒛 𝟐−𝒚 𝟐)+𝒚 𝟐( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐 ) 𝒛 𝟐+𝒙 𝟐( 𝒛 𝟐−𝒚 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟒+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)] 𝟐  Reemplazando las ecuaciones 𝒅(𝜷) 𝒅𝒚 ; 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 𝒆𝒏 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 : . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝟏 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐)√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)]( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 [𝒙 𝟐 − 𝒛 𝟐 + ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 ] = 𝝀[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐 −𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐 −𝒛 𝟐)+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 ] Donde: 𝝀 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝝀[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐−𝒙 𝟐−𝒛 𝟐)+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐+𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) ] = 𝝀 [ −𝟐𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒛 𝟐+𝟐𝒙 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) ] = 𝝀[ 𝟐𝒙 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐−𝒚 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) ] . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 𝒛 𝟐 ( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 [ 𝟐𝒙 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) ] ; 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝟏 ( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) 𝟐√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  Reemplazando I1; I2 tenemos: 𝛁𝝈 = 𝒗 { 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) − 𝒚 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝟏 𝒛𝒙 𝟑 ( 𝒙 𝟐 − 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) + 𝟏 𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝒚√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) } 𝑰𝟏; 𝑰𝟐 Son sus antiderivadas respectivas;factorizamos y reducimos términos 𝛁𝝈 = 𝒗{( 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 + 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐 𝒙 𝟑 𝒛 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒚 𝒙 𝟐√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐 − 𝟏 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 )} = 𝝎𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅 { 𝟏 𝒙𝒛 𝟑 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒚 𝒙 𝟐√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) 𝒛 𝟐 − 𝟏 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 )} 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( 𝟏 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) )+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)−𝒛 𝟐( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) )+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)+( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐+( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) )+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝟐𝒛 𝟐) ( 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 )( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒙𝒚𝒛( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝟐𝒛 𝟐) ( 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 )√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] ; 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒏𝒅𝒐 ∶ 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝟐𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] ; 𝒑𝒐𝒓 ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 "𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏": 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒚) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙+𝒚 𝟏−𝒙𝒚 )+ 𝒌𝝅 Si: { 𝒙𝒚 < 𝟏 ; 𝒌 = 𝟎 𝒙𝒚 > 𝟏 ∧ 𝒙 > 𝟎 ; 𝒌 = 𝟏 𝒙𝒚 > 𝟏 ∧ 𝒙 < 𝟎 ; 𝒌 = −𝟏 𝛁𝝈 = 𝟏 𝟐 ( 𝝎 𝟐𝝅 )[ 𝟐( 𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝟐𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ))] ; multiplicamospor 2 y dividimosentre 2: 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟒𝝅 [ 𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝟐𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟐𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )]… 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 (𝟑)
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  Ahora operamos y aplicamos la propiedaden el término siguiente: 𝟐𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 𝟏−[ 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ] 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝟐𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒛 𝟐√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 ) Finalmente: 𝟐𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)− 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐) … 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝝓  Reemplazamos“𝝓” enla 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 (𝟑) tenemos: 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟒𝝅 [ 𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) + 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) − 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 )] Donde: 𝝎0 = 𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝟐𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)− 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐) . 𝛁𝝈 = 𝝎𝝎0 donde; 𝝎0: Coeficiente de influencia(factorde influencia)  Para losábacos de Fadum reemplazamos { 𝒎 = 𝒙 𝒛⁄ 𝒏 = 𝒚 𝒛⁄ tenemos: . 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟒𝝅 [ 𝟐𝒎𝒏√ 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏)+𝒎 𝟐 𝒏 𝟐 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟐 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝟐𝒎𝒏√ 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏)−𝒎 𝟐 𝒏 𝟐 )] ; Demostrado
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori Esfuerzo debidoa una carga linealde longitudfinita  Partimos de la fórmulade la Carga puntual: 𝛁𝝈 = 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅𝑹 𝟓 𝑹 𝟐 = 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒓 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐  Integramos a lo largo de cada punto de la cargar linealmente distribuida. ∫ 𝒅( 𝛁𝝈) = ∫ 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅𝑹 𝟓 𝟎 𝒅𝒚 = ∫ 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟓 𝟐 𝒅𝒚 𝒚 𝟎 𝒚 𝟎 𝒂 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒄 = 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝛁𝝈 = 𝒄 ∫ 𝒅𝒚 ( 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟓 𝟐 𝒙 𝟎 𝑰𝟏 = ∫ 𝒅𝒚 ( 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟓 𝟐 ; Transformamos a una integral definida para facilitar cálculos posteriores.
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori { 𝒚 = 𝒂𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒅𝒚 = 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 ; Utilizando la sustitución trigonométrica 𝑰𝟏 = ∫ 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 𝒂 𝟒 ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝟏) 𝟓 𝟐 ; 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 ; 𝑰𝟏 = 𝟏 𝒂 𝟒 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝐬𝐞𝐜 𝟓 𝜽 𝒅𝜽 = 𝟏 𝒂 𝟒 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝜽 𝒅𝜽 𝑰𝟏 = 𝟏 𝒂 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽( 𝟏 − 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝜽) 𝒅𝜽 = 𝟏 𝒂 𝟒 (∫𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒅𝜽 − ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝜽𝒅𝜽) 𝑰𝟏 = 𝟏 𝒂 𝟒 (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝐬𝐞𝐧 𝟑 𝜽 𝟑 ) → 𝛁𝝈 = 𝒄 𝒂 𝟒 (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝐬𝐞𝐧 𝟑 𝜽 𝟑 ) 𝛁𝝈 = 𝒄 𝒂 𝟒 ( 𝒚 √ 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐 − 𝒚 𝟑 𝟑(√ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟑)| 𝒙 𝟎 = 𝒄 𝒂 𝟒 ( 𝒚 √ 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐 − 𝒚 𝟑 𝟑(√ 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟑) = 𝒄 𝒂 𝟒 𝒚 √ 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐 (𝟏 − 𝒚 𝟐 𝟑( 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐) ) ; 𝒂 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝛁𝝈 = 𝒄 𝒂 𝟒 𝒚 √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟑𝒚 𝟐+𝟑𝒙 𝟐+𝟑𝒛 𝟐 −𝒚 𝟐 𝟑( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ) = 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝟏 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟐 𝒚 √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 𝟐𝒚 𝟐 +𝟑𝒙 𝟐+𝟑𝒛 𝟐 𝟑( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝛁𝝈 = 𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝟏 ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐 𝒚 √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟐𝒚 𝟐 + 𝟐𝒛 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) = 𝑷𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) + 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) 𝛁𝝈 = 𝑷𝒚𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) + 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ) ; Finalmente tenemos: 𝛁𝝈 = 𝑷𝒚𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟏 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟐 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ); Para Fadum: 𝛁𝝈 = 𝒑 𝒛 𝒎 𝟐𝝅( 𝒎 𝟐+𝟏)√ 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( 𝟏 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 + 𝟐 𝒎 𝟐+𝟏 ); { 𝒎 = 𝒙 𝒛⁄ 𝒏 = 𝒚 𝒛⁄ P0= 𝒎 𝟐𝝅( 𝒎 𝟐+𝟏)√ 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( 𝟏 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 + 𝟐 𝒎 𝟐+𝟏 ) ; 𝛁𝝈 = 𝒑 𝒛 𝐏0
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori Esfuerzo debidoa un área circularmente cargada 𝝎: 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒖𝒏𝒊𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 𝝎 = 𝒑 𝑨 ;𝑨: 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 𝑷 = 𝝎𝑨 𝑷 = [ 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜶] 𝝎…(1) 𝒅𝑨 = 𝒅𝒓( 𝒓𝒅𝜶) 𝒅𝑨 = 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜶  Partimos de la fórmulade la Carga puntual: 𝛁𝝈 = 𝟑𝑷 𝟐𝝅 𝟏 𝒛 𝟐 [ 𝟏 𝟏+( 𝒓 𝒛 ) 𝟐] 𝟓 𝟐 … (𝟐)
Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  Reemplazando(1) en(2) e integrando: ∫ 𝒅( 𝛁𝝈) = ∫ ∫ 𝟑 𝟐𝝅 ( 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜶) 𝝎 𝒛 𝟐 𝟏 [ 𝟏+( 𝒓 𝒛 ) 𝟐 ] 𝟓 𝟐 𝜶=𝟐𝝅 𝜶=𝟎 𝒓=𝒓 𝒓=𝟎 ; los límites de integración:{ 𝒓 → 𝟎 𝒖 → 𝒛 𝟐; { 𝒓 → 𝒓 𝒖 → 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝛁𝝈 = 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝟐𝝅 (∫ 𝒓𝒅𝒓 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟓 𝟐 𝒓 𝟎 )(∫ 𝒅𝜶 𝟐𝝅 𝟎 ) ;𝛁𝝈 = 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝟏 𝟐 ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟓 𝟐 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ; Cambio de variable:{ 𝒖 = 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒅𝒖 = 𝟐𝒓𝒅𝒓 𝛁𝝈 = 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝟐 ( −𝟐𝒖 −𝟑 𝟐⁄ 𝟑 )| 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 = −𝝎𝒛 𝟑 [ 𝟏 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟑 𝟐 ] + 𝝎𝒛 𝟑 𝒛 𝟑 = 𝝎𝒛 𝟑 [ 𝟏 𝒛 𝟑 − 𝟏 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟑 𝟐 ] 𝛁𝝈 = 𝝎𝒛 𝟑 [ 𝟏 𝒛 𝟑 − 𝟏 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟑 𝟐 ] = 𝝎[𝟏 − 𝒛 𝟑 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟑 𝟐 ] = 𝝎{𝟏 − 𝟏 [( 𝒓 𝒛 ) 𝟐 +𝟏] 𝟑 𝟐 } ; 𝝎0= {𝟏 − 𝟏 [( 𝒓 𝒛 ) 𝟐 +𝟏] 𝟑 𝟐 }(factor de influencia) 𝛁𝝈 = 𝝎𝝎0 ; donde: 𝝎0= 𝒇( 𝒓 𝒛⁄ )

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Demostraciones boussinesq(1885)

  • 1. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori ENSAYO DE LA VELETA EN CAMPO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL MECANICA DE SUELOS II – (Ecuaciones de Boussinesq) Incremento De Esfuerzo Vertical En Una Masa De Suelo ( 𝛁𝝈) DOCENTE: Ing. Edgar Acurio Cruz Estudiante:  Calsin Condori Alexander Edison 201520307H Abancay – Perú 2018
  • 2. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  Esfuerzo debajode un área rectangular  Partimos De La Fórmula De La Carga Puntual: 𝛁𝝈 = 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅𝑹 𝟓 ; 𝑹 𝟐 = 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒓 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 ; 𝒅𝒑 = 𝝎𝒅𝒙𝒅𝒚  Integramos a lo largo de cada punto de la cargar uniformemente distribuida. ∫ 𝒅( 𝛁𝝈) = ∫ ∫ 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝒅𝒙𝒅𝒚 𝟐𝝅( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟓 𝟐 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎  Primerointegramos respectode x: 𝐈 = ∫ 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅𝑹 𝟓 𝟎 𝒅𝒙 = ∫ 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟓 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝟎 𝒙 𝟎 𝒂 𝟐 = 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒄 = 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝐈 = 𝒄 ∫ 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟓 𝟐 𝒙 𝟎 𝑰𝟏 = ∫ 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟓 𝟐 ; Transformamos la integral definida a una integral indefinida para facilitar cálculos posteriores.
  • 3. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori { 𝒙 = 𝒂𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒅𝒙 = 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 ; Utilizando la sustitución trigonométrica 𝑰𝟏 = ∫ 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 𝒂 𝟒 ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝟏) 𝟓 𝟐 ; 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 ; 𝑰𝟏 = 𝟏 𝒂 𝟒 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝐬𝐞𝐜 𝟓 𝜽 𝒅𝜽 = 𝟏 𝒂 𝟒 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝜽 𝒅𝜽 𝑰𝟏 = 𝟏 𝒂 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽( 𝟏 − 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝜽) 𝒅𝜽 = 𝟏 𝒂 𝟒 (∫𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒅𝜽 − ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝜽𝒅𝜽) 𝑰𝟏 = 𝟏 𝒂 𝟒 (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝐬𝐞𝐧 𝟑 𝜽 𝟑 ) → 𝛁𝝈 = 𝒄 𝒂 𝟒 (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝟑 𝜽 𝟑 ) 𝐈 = 𝒄 𝒂 𝟒 ( 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟑 𝟑(√ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟑)| 𝒙 𝟎 = 𝒄 𝒂 𝟒 ( 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟑 𝟑(√ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟑) = 𝒄 𝒂 𝟒 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 (𝟏 − 𝒙 𝟐 𝟑( 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) ) ; 𝒂 𝟐 = 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝐈 = 𝒄 𝒂 𝟒 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟑𝒙 𝟐+𝟑𝒚 𝟐+𝟑𝒛 𝟐 −𝒙 𝟐 𝟑( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ) = 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝟏 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟐 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝟐𝒙 𝟐+𝟑𝒚 𝟐+𝟑𝒛 𝟐 𝟑( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝐈 = 𝝎 𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝟏 ( 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐 𝒙 √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟐𝒚 𝟐 + 𝟐𝒛 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) = 𝝎 𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) 𝐈 = 𝝎 𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) + 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ) ; Finalmente tenemos: 𝐈 = 𝝎 𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟏 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ;
  • 4. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  Por último integramosrespectode “y”: 𝛁𝝈 = ∫ [ 𝝎𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝟏 ( 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟏 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 )] 𝒚 𝟎 𝒅𝒚 ; 𝒗 = 𝝎𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝛁𝝈 = 𝒗 ∫ 𝒅𝒚 ( 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝟐𝒗∫ 𝒅𝒚 ( 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒚 𝟎 𝒚 𝟎 . 𝑰𝟏 = 𝒗∫ 𝒅𝒚 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒄 𝟐+𝒚 𝟐)√𝒄 𝟐+𝒚 𝟐 𝒚 𝟎 ; Por sustitucióntrigonométrica (Integral Definida) .{ 𝒚 = 𝒄𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒅𝒚 = 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 ; ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽 + 𝒄 𝟐) 𝟏 𝟐 = 𝒄𝒔𝒆𝒄𝜽 .𝑰𝟏 = ∫ 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒛 𝟐) 𝒄𝒔𝒆𝒄𝜽( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒄 𝟐) . 𝑰𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟐 ∫ 𝒅𝜽 ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒛 𝟐) 𝒔𝒆𝒄𝜽 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒅𝜽 ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒛 𝒄 ) 𝟐 ) 𝒔𝒆𝒄𝜽 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒉) 𝟐) = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 +𝒉 𝟐 ) = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝜽𝒅𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽 +𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽𝒉 𝟐) ; 𝒉 = 𝒛 𝒄 .𝑰𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽𝒉 𝟐) − 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽𝒉 𝟐) ; 𝑵𝒐𝒕𝒆: 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽𝒉 𝟐 = 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏 − 𝒉 𝟐) + 𝒉 𝟐 .𝑰𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏−𝒉 𝟐)+𝒉 𝟐 − 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏−𝒉 𝟐)+𝒉 𝟐 ; 𝑰𝟏 = 𝑰𝟏𝟏 − 𝑰𝟏𝟐
  • 5. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori Para: 𝑰𝟏𝟏 . 𝑰𝟏𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏−𝒉 𝟐)+𝒉 𝟐 ; "𝑪𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆" 𝜽 ⇒ 𝒖 .𝒖 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 𝟐 = 𝒉 𝟐 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝑵𝒐𝒕𝒆: ∫ 𝒅𝒙 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 = 𝟏 𝒂 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙 𝒂 ) + 𝒄 .𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 .𝑰𝟏𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟐( 𝟏−𝒉 𝟐)+𝒉 𝟐 = 𝒗 𝒄 𝟒( 𝟏−𝒉 𝟐) ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+ 𝒉 𝟐 ( 𝟏−𝒉 𝟐) = 𝒗 𝒄 𝟒( 𝟏−𝒉 𝟐) ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+𝒌 𝟐 = 𝒗 𝒄 𝟒( 𝟏−𝒉 𝟐) { 𝟏 𝒌 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒖 𝒌 )} ; 𝒌 𝟐 = 𝒉 𝟐 ( 𝟏−𝒉 𝟐)  Sustituyendo“u”: .𝑰𝟏𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟒( 𝟏−𝒉 𝟐) { 𝟏 𝒌 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 )} … 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 "𝜶" . 𝑰𝟏𝟐 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏−𝒉 𝟐)+𝒉 𝟐 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+ 𝒉 𝟐 ( 𝟏−𝒉 𝟐) = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒌 𝟐 ; 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆:  Para 𝑰𝟏𝟐: .𝑰𝟏𝟐 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 ∫ 𝒖 𝟐 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+𝒌 𝟐 ; 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 (𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐): . 𝑰𝟏𝟐 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 ∫ ( 𝟏 − 𝒌 𝟐 𝒖 𝟐+𝒌 𝟐 ) 𝒅𝒖 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 ∫ 𝒅𝒖 − 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 ∫ 𝒌 𝟐 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+𝒌 𝟐 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 [ 𝒖 − 𝒌 𝟐 𝟏 𝒌 𝟐 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒖 𝒌 )]
  • 6. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝑰𝟏𝟐 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 [ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝒌 𝟐 𝟏 𝒌 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 )] … 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 "𝜷"  𝑨𝒈𝒓𝒖𝒑𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝜶 𝒚 𝜷 𝒆𝒏 𝑰𝟏 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔: .𝑰𝟏 = 𝒗 𝒄 𝟒( 𝟏−𝒉 𝟐 ) [ 𝟏 𝒌 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 ) − 𝒔𝒆𝒏𝜽+ 𝒌𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 )] = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐 ) 𝒄 𝟒 [ 𝟏+𝒌 𝟐 𝒌 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 ) − 𝒔𝒆𝒏𝜽] ; 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒕𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒂 (𝒙,𝒚,𝒛) . 𝑰𝟏 = 𝒗 ( 𝟏−𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 [( 𝟏+𝒌 𝟐 𝒌 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒚 𝒌√𝒚 𝟐+𝒄 𝟐 ) − 𝒚 √𝒚 𝟐+𝒄 𝟐 ]… 𝑨𝒒𝒖í 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝜽 = 𝒇( 𝒙, 𝒄) ; 𝒌 = 𝒇( 𝒉) 𝒉 = 𝒇( 𝒛 𝒄⁄ )  𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔:( 𝒉, 𝒌, 𝒄) ⇒ 𝒇( 𝒙, 𝒚, 𝒛) . 𝒉 = 𝒛 𝒄 ; 𝒌 𝟐 = 𝒉 𝟐 ( 𝟏−𝒉 𝟐 ) = 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐 𝟏− 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐−𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 −𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 .{ 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒌 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 ; 𝟏+𝒌 𝟐 𝒌 = 𝟏+ 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒛 𝒙 = 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙𝒛 ; ( 𝟏 − 𝒉 𝟐) 𝒄 𝟒 = (𝟏 − 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐 )𝒄 𝟒 = ( 𝒄 𝟐 − 𝒛 𝟐) 𝒄 𝟐 = ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟐) 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐)
  • 7. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒚𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝑰𝟏: . 𝑰𝟏 = 𝒗 [ 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) − 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒚 √ 𝒚 𝟐+𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ]| 𝒚 𝟎 𝑰𝟏 = 𝒗 [ 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) − 𝒚 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ] … 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 (𝟏)  𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑰𝟐: .𝑰𝟐 = 𝟐𝒗 ∫ 𝒅𝒚 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟐√ 𝒄 𝟐+𝒚 𝟐 ; 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐  Por sustitucióntrigonométrica (Integral Definida): .{ 𝒚 = 𝒄𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒅𝒚 = 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽
  • 8. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝑰𝟐 = 𝟐𝒗 ∫ 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒛 𝟐) 𝟐 𝒄𝒔𝒆𝒄𝜽 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽𝒅𝜽 ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒛 𝒄 ) 𝟐 ) 𝟐 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽𝒅𝜽 (𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒌) 𝟐) 𝟐 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽𝒌 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 ) 𝟐 𝒅𝜽 ; 𝒌 = 𝒛 𝒄⁄ . 𝑰𝟐 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽𝒌 𝟐) 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟒 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒗 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝜽 [ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏−𝒌 𝟐)+𝒌 𝟐] 𝟐 𝒅𝜽 = 𝒗 ( 𝟏−𝒌 𝟐) 𝟐 𝒄 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝜽 [ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+ 𝒌 𝟐 ( 𝟏−𝒌 𝟐) ] 𝟐 𝒅𝜽 ; 𝒉 𝟐 = 𝒌 𝟐 ( 𝟏−𝒌 𝟐) ; 𝟏 ( 𝟏−𝒌 𝟐) 𝒄 𝟒 = 𝟏 𝒙 𝟒 . 𝑰𝟐 = 𝒗 ( 𝟏−𝒌 𝟐) 𝟐 𝒄 𝟒 ∫ [ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐] 𝒅𝜽 = 𝒗 ( 𝟏−𝒌 𝟐) 𝟐 𝒄 𝟒 [∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝜽] ; 𝑰𝟐 = 𝑰𝟐𝟏 − 𝑰𝟐𝟐  Para 𝑰𝟐𝟏: .𝑰𝟐𝟏 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝜽 { 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 ; 𝑯𝒂𝒄𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 . 𝑰𝟐𝟏 = ∫ 𝒅𝒖 ( 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 ; 𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂: .{ 𝒖 = 𝒉𝒕𝒂𝒏𝝋 𝒅𝒖 = 𝒉 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋𝒅𝝋
  • 9. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori .𝑰𝟐𝟏 = ∫ 𝒉𝒔𝒆𝒄𝝋 ( 𝒉 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝝋+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 𝟑 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋 ( 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝝋+𝟏) 𝟐 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 𝟑 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋 ( 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋) 𝟐 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 𝟑 ∫ 𝟏 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 𝟑 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝝋 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 𝟑 [ 𝝋 𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝝋 𝟒 ] 𝒉 𝟐 = 𝒌 𝟐 𝟏 − 𝒌 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝟏 − 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 ; 𝒉 = 𝒛 𝒙  Trasladando variables { 𝝋 → 𝜽 → (𝒙, 𝒚, 𝒛)}: . 𝑰𝟐𝟏 = 𝟏 𝟐𝒉 𝟑 (𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒖 𝒉 ) + 𝒖 √ 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐 𝒉 √ 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐 ) = 𝟏 𝟐𝒉 𝟑 (𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒖 𝒉 ) + 𝒖𝒉 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐 ) = 𝟏 𝟐𝒉 𝟑 (𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒉 ) + 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒉 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐 ) . 𝑰𝟐𝟏 = 𝟏 𝟐( 𝒛 𝒙 ) 𝟑 ( 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒚 𝟐+𝒄 𝟐 ) + 𝒚𝒉 √ 𝒚 𝟐+𝒉 𝟐 𝒚 𝟐 𝒚 𝟐+𝒄 𝟐+𝒉 𝟐 ) = 𝒙 𝟑 𝟐𝒛 𝟑 [ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒚𝒉 √ 𝒚 𝟐+𝒉 𝟐 𝒚 𝟐+𝒉 𝟐(𝒚 𝟐+𝒄 𝟐) 𝒚 𝟐+𝒄 𝟐 ] = 𝒙 𝟑 𝟐𝒛 𝟑 [ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒚𝒉√𝒚 𝟐+𝒉 𝟐 𝒚 𝟐+𝒉 𝟐( 𝒚 𝟐+𝒄 𝟐) ] . 𝑰𝟐𝟏 = 𝒙 𝟑 𝟐𝒛 𝟑 [𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )+ 𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙( 𝒙 𝟐+( 𝒛 𝒙 ) 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)) ] = 𝒙 𝟑 𝟐𝒛 𝟑 [𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ] . 𝑰𝟐𝟏 = 𝒙 𝟑 𝟐𝒛 𝟑 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒙 𝟑 𝟐𝒛 𝟑 𝒙𝒚𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)
  • 10. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  Para 𝑰𝟐𝟐: . 𝑰𝟐𝟐 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝜽 ; { 𝝍 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝝍 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝝍 ; 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 .𝑰𝟐𝟐 = ∫ 𝝍 𝟐 ( 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝝍 ; "𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔" .{ 𝒖 = 𝝍 𝒅𝒖 = 𝒅𝝍 { 𝒅𝒗 = 𝟐 𝟐( 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒗 = −𝟏 𝟐( 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 ∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖 { 𝜽 → 𝝍 → ( 𝒙, 𝒚, 𝒛)} ; Trasladando a las variables originales: . 𝑰𝟐𝟐 = − 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) 𝟐 − ∫ −𝒅 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) = − 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) 𝟐 + ∫ 𝒅 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) . 𝑰𝟐𝟐 = 𝟏 𝟐 [ −𝝍 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐 + 𝟏 𝒉 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝝍 𝒉 )] = 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝒉 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒉 ) − 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 [ 𝒙 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )− 𝒚√ 𝒚 𝟐+𝒄 𝟐 𝒚 𝟐+𝒉 𝟐( 𝒚 𝟐+𝒄 𝟐) ]
  • 11. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝑰𝟐𝟐 = 𝟏 𝟐 [ 𝒙 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )− 𝒚√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 [ 𝒙 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )− 𝒙 𝟐 𝒚√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ] . 𝑰𝟐𝟐 = 𝒙 𝟐𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) − 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)  Luego operandoy factorizando 𝑰𝟐 = 𝑰𝟐𝟏 − 𝑰𝟐𝟐 ; tenemos: 𝑰𝟐 = 𝟐𝒗 𝒙 𝟒 [ 𝒙 𝟐𝒛 ( 𝒙 𝟐 − 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) + 𝒙 𝟐 𝟐 ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝒚√ 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) ] … . 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 (𝟐)  Como ya tenemos 𝑰𝟏 ; 𝑰𝟐 ahora debemos verificar que estas ecuaciones son auténticas y satisfacen con las siguientes condiciones: . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝒗 𝟏 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝟐𝒗 𝟏 ( 𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝟐 √ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆:𝒗 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 ; 𝒔𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆: ∫ 𝒅( 𝒇) = 𝒇
  • 12. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝒗 𝟏 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ; demostraremos primero esta ecuación para I1: . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝒅{[ 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )− 𝒚 𝒙 𝟐(𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ]} 𝒅𝒚 = 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 ( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) ′ 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) − 𝟏 𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐−𝒚 𝟐𝒚 𝟐√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙−𝒙𝒚 𝟐𝒚𝒛 𝟐√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) − 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐−𝒚 𝟐 √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 = 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 𝒙𝒛( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)−𝒙𝒚 𝟐 𝒛 √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) − 𝟏 𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 𝒙𝒛( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐−𝒚 𝟐) √𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] − 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 = 𝟏 𝒙 𝟐√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 [ 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) − 𝟏 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ] . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝒙 𝟐√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 [ ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] ] = 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 [ ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐−𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ] . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝒙 𝟐(𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 [ 𝒙 𝟐 (𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 −𝒚 𝟐 ) 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 (𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 ) ] = 𝟏 (𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 )( 𝒛 𝟐 +𝒚 𝟐 ) ; (𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 )(𝒛 𝟐 + 𝒚 𝟐 ) = 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 (𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 )  Finalmente se verifica la Ecuación (1) mediante la derivada de 𝑰𝟏: . 𝒅(𝑰𝟏) 𝒅𝒚 = 𝟏 (𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)(𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐
  • 13. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝟐𝒗 𝟏 ( 𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝟐 √ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 ; Seguidamente demostraremos esta ecuación para I2: . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝒅[ 𝟏 𝟐𝒛𝒙 𝟑 ( 𝒙 𝟐 −𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 )+ 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝒚√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ] 𝒅𝒚 ; { 𝜷 = 𝟏 𝟐𝒛𝒙 𝟑 ( 𝒙 𝟐 −𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) 𝜶 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝒚√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ;{ 𝑰𝟐 = 𝜷 + 𝜶 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝒅(𝜷) 𝒅𝒚 + 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚  Calculamos 𝒅(𝜷) 𝒅𝒚 : . 𝒅(𝜷) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒛𝒙 𝟑 ( 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙−𝒙𝒚( 𝟐𝒚𝒛 𝟐√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) = 𝟏 𝟐𝒛𝒙 𝟑 ( 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙𝒛 [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)]√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(𝜷) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝟏 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐  Calculamos 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 : . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)](√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐+ 𝟐𝒚 𝟐 𝟐√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )−𝒚√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝟐𝒚( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)] [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)]( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)−𝟐𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐
  • 14. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)]( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒚 𝟐 [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)]−𝟐𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐 ; 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)−𝟐𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)]+𝒚 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐+𝒛 𝟐 𝒚 𝟐−𝟐𝒙 𝟐 𝒚 𝟐−𝟐𝒛 𝟐 𝒚 𝟐]+𝒚 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐−𝒚 𝟐 𝒛 𝟐−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐]+𝒚 𝟐 [ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐−( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒚 𝟐]+𝒚 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 𝟐−𝒚 𝟐 ]( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐)+𝒚 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 𝟐−𝒚 𝟐 ]( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒚 𝟐( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)( 𝒛 𝟐−𝒚 𝟐)+𝒙 𝟐( 𝒛 𝟐−𝒚 𝟐)+𝒚 𝟐( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐 ) 𝒛 𝟐+𝒙 𝟐( 𝒛 𝟐−𝒚 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐
  • 15. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟒+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)] 𝟐  Reemplazando las ecuaciones 𝒅(𝜷) 𝒅𝒚 ; 𝒅(𝜶) 𝒅𝒚 𝒆𝒏 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 : . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝟏 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐)√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐] √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)]( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 [𝒙 𝟐 − 𝒛 𝟐 + ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 ] = 𝝀[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐 −𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐 −𝒛 𝟐)+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 ] Donde: 𝝀 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝝀[ 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐( 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐−𝒙 𝟐−𝒛 𝟐)+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐+𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) ] = 𝝀 [ −𝟐𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒛 𝟐+𝟐𝒙 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) ] = 𝝀[ 𝟐𝒙 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐−𝒚 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) ] . 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 𝒛 𝟐 ( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐)√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 [ 𝟐𝒙 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) ] ; 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝒅(𝑰𝟐) 𝒅𝒚 = 𝟏 ( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) 𝟐√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐
  • 16. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  Reemplazando I1; I2 tenemos: 𝛁𝝈 = 𝒗 { 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) − 𝒚 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝟏 𝒛𝒙 𝟑 ( 𝒙 𝟐 − 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) + 𝟏 𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝒚√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) } 𝑰𝟏; 𝑰𝟐 Son sus antiderivadas respectivas;factorizamos y reducimos términos 𝛁𝝈 = 𝒗{( 𝟏 𝒙 𝟑 𝒛 + 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐 𝒙 𝟑 𝒛 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒚 𝒙 𝟐√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐 − 𝟏 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 )} = 𝝎𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅 { 𝟏 𝒙𝒛 𝟑 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒚 𝒙 𝟐√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒛 𝟐+𝒚 𝟐) 𝒛 𝟐 − 𝟏 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 )} 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( 𝟏 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) )+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)−𝒛 𝟐( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) )+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)+( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐−𝒛 𝟐( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐+( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐 ( 𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) )+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝟐𝒛 𝟐) ( 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 )( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒙𝒚𝒛( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝟐𝒛 𝟐) ( 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 )√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] ; 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒏𝒅𝒐 ∶ 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟐𝝅 [ 𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝟐𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )] ; 𝒑𝒐𝒓 ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 "𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏": 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒚) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙+𝒚 𝟏−𝒙𝒚 )+ 𝒌𝝅 Si: { 𝒙𝒚 < 𝟏 ; 𝒌 = 𝟎 𝒙𝒚 > 𝟏 ∧ 𝒙 > 𝟎 ; 𝒌 = 𝟏 𝒙𝒚 > 𝟏 ∧ 𝒙 < 𝟎 ; 𝒌 = −𝟏 𝛁𝝈 = 𝟏 𝟐 ( 𝝎 𝟐𝝅 )[ 𝟐( 𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝟐𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ))] ; multiplicamospor 2 y dividimosentre 2: 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟒𝝅 [ 𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝟐𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟐𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 )]… 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 (𝟑)
  • 17. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  Ahora operamos y aplicamos la propiedaden el término siguiente: 𝟐𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 𝟏−[ 𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ] 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝟐𝒙𝒚 𝒛√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐)−𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒛 𝟐√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 ) Finalmente: 𝟐𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙𝒚 𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)− 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐) … 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝝓  Reemplazamos“𝝓” enla 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 (𝟑) tenemos: 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟒𝝅 [ 𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) + 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) − 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 )] Donde: 𝝎0 = 𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝟐𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)− 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐) . 𝛁𝝈 = 𝝎𝝎0 donde; 𝝎0: Coeficiente de influencia(factorde influencia)  Para losábacos de Fadum reemplazamos { 𝒎 = 𝒙 𝒛⁄ 𝒏 = 𝒚 𝒛⁄ tenemos: . 𝛁𝝈 = 𝝎 𝟒𝝅 [ 𝟐𝒎𝒏√ 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏)+𝒎 𝟐 𝒏 𝟐 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟐 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝟐𝒎𝒏√ 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏)−𝒎 𝟐 𝒏 𝟐 )] ; Demostrado
  • 18. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori Esfuerzo debidoa una carga linealde longitudfinita  Partimos de la fórmulade la Carga puntual: 𝛁𝝈 = 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅𝑹 𝟓 𝑹 𝟐 = 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒓 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐  Integramos a lo largo de cada punto de la cargar linealmente distribuida. ∫ 𝒅( 𝛁𝝈) = ∫ 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅𝑹 𝟓 𝟎 𝒅𝒚 = ∫ 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟓 𝟐 𝒅𝒚 𝒚 𝟎 𝒚 𝟎 𝒂 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒄 = 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝛁𝝈 = 𝒄 ∫ 𝒅𝒚 ( 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟓 𝟐 𝒙 𝟎 𝑰𝟏 = ∫ 𝒅𝒚 ( 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟓 𝟐 ; Transformamos a una integral definida para facilitar cálculos posteriores.
  • 19. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori { 𝒚 = 𝒂𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒅𝒚 = 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 ; Utilizando la sustitución trigonométrica 𝑰𝟏 = ∫ 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽𝒅𝜽 𝒂 𝟒 ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝟏) 𝟓 𝟐 ; 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 ; 𝑰𝟏 = 𝟏 𝒂 𝟒 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝐬𝐞𝐜 𝟓 𝜽 𝒅𝜽 = 𝟏 𝒂 𝟒 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝜽 𝒅𝜽 𝑰𝟏 = 𝟏 𝒂 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽( 𝟏 − 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝜽) 𝒅𝜽 = 𝟏 𝒂 𝟒 (∫𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒅𝜽 − ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝜽𝒅𝜽) 𝑰𝟏 = 𝟏 𝒂 𝟒 (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝐬𝐞𝐧 𝟑 𝜽 𝟑 ) → 𝛁𝝈 = 𝒄 𝒂 𝟒 (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝐬𝐞𝐧 𝟑 𝜽 𝟑 ) 𝛁𝝈 = 𝒄 𝒂 𝟒 ( 𝒚 √ 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐 − 𝒚 𝟑 𝟑(√ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟑)| 𝒙 𝟎 = 𝒄 𝒂 𝟒 ( 𝒚 √ 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐 − 𝒚 𝟑 𝟑(√ 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐) 𝟑) = 𝒄 𝒂 𝟒 𝒚 √ 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐 (𝟏 − 𝒚 𝟐 𝟑( 𝒚 𝟐+𝒂 𝟐) ) ; 𝒂 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝛁𝝈 = 𝒄 𝒂 𝟒 𝒚 √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟑𝒚 𝟐+𝟑𝒙 𝟐+𝟑𝒛 𝟐 −𝒚 𝟐 𝟑( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ) = 𝟑𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝟏 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟐 𝒚 √ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 +𝒛 𝟐 𝟐𝒚 𝟐 +𝟑𝒙 𝟐+𝟑𝒛 𝟐 𝟑( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) 𝛁𝝈 = 𝑷𝒛 𝟑 𝟐𝝅 𝟏 ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐 𝒚 √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟐𝒚 𝟐 + 𝟐𝒛 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) = 𝑷𝒙𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐) + 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) 𝛁𝝈 = 𝑷𝒚𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) + 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ) ; Finalmente tenemos: 𝛁𝝈 = 𝑷𝒚𝒛 𝟑 𝟐𝝅( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)√𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟏 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟐 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ); Para Fadum: 𝛁𝝈 = 𝒑 𝒛 𝒎 𝟐𝝅( 𝒎 𝟐+𝟏)√ 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( 𝟏 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 + 𝟐 𝒎 𝟐+𝟏 ); { 𝒎 = 𝒙 𝒛⁄ 𝒏 = 𝒚 𝒛⁄ P0= 𝒎 𝟐𝝅( 𝒎 𝟐+𝟏)√ 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( 𝟏 𝒎 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 + 𝟐 𝒎 𝟐+𝟏 ) ; 𝛁𝝈 = 𝒑 𝒛 𝐏0
  • 20. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori Esfuerzo debidoa un área circularmente cargada 𝝎: 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒖𝒏𝒊𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 𝝎 = 𝒑 𝑨 ;𝑨: 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 𝑷 = 𝝎𝑨 𝑷 = [ 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜶] 𝝎…(1) 𝒅𝑨 = 𝒅𝒓( 𝒓𝒅𝜶) 𝒅𝑨 = 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜶  Partimos de la fórmulade la Carga puntual: 𝛁𝝈 = 𝟑𝑷 𝟐𝝅 𝟏 𝒛 𝟐 [ 𝟏 𝟏+( 𝒓 𝒛 ) 𝟐] 𝟓 𝟐 … (𝟐)
  • 21. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori  Reemplazando(1) en(2) e integrando: ∫ 𝒅( 𝛁𝝈) = ∫ ∫ 𝟑 𝟐𝝅 ( 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜶) 𝝎 𝒛 𝟐 𝟏 [ 𝟏+( 𝒓 𝒛 ) 𝟐 ] 𝟓 𝟐 𝜶=𝟐𝝅 𝜶=𝟎 𝒓=𝒓 𝒓=𝟎 ; los límites de integración:{ 𝒓 → 𝟎 𝒖 → 𝒛 𝟐; { 𝒓 → 𝒓 𝒖 → 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝛁𝝈 = 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝟐𝝅 (∫ 𝒓𝒅𝒓 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟓 𝟐 𝒓 𝟎 )(∫ 𝒅𝜶 𝟐𝝅 𝟎 ) ;𝛁𝝈 = 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝟏 𝟐 ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟓 𝟐 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ; Cambio de variable:{ 𝒖 = 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒅𝒖 = 𝟐𝒓𝒅𝒓 𝛁𝝈 = 𝟑𝝎𝒛 𝟑 𝟐 ( −𝟐𝒖 −𝟑 𝟐⁄ 𝟑 )| 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 = −𝝎𝒛 𝟑 [ 𝟏 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟑 𝟐 ] + 𝝎𝒛 𝟑 𝒛 𝟑 = 𝝎𝒛 𝟑 [ 𝟏 𝒛 𝟑 − 𝟏 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟑 𝟐 ] 𝛁𝝈 = 𝝎𝒛 𝟑 [ 𝟏 𝒛 𝟑 − 𝟏 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟑 𝟐 ] = 𝝎[𝟏 − 𝒛 𝟑 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟑 𝟐 ] = 𝝎{𝟏 − 𝟏 [( 𝒓 𝒛 ) 𝟐 +𝟏] 𝟑 𝟐 } ; 𝝎0= {𝟏 − 𝟏 [( 𝒓 𝒛 ) 𝟐 +𝟏] 𝟑 𝟐 }(factor de influencia) 𝛁𝝈 = 𝝎𝝎0 ; donde: 𝝎0= 𝒇( 𝒓 𝒛⁄ )