Este documento contiene 4 problemas de matemáticas para cada uno de los 5 niveles de la Olimpíada Nacional de Matemática de Uruguay de 2009, abarcando temas como números enteros, geometría y teoría de números. Los participantes deben resolver los problemas en un máximo de 2 horas sin usar calculadora ni consultar apuntes.

1. Com – Partida de Matemática del Uruguay
Federación Iberoamericana de Competiciones Matemáticas
Centro Latinoamericano de Matemática e Informática – CLAMI
2ª Instancia Olimpíada Nacional de Matemática 2009
Nivel II
Tiempo máximo: 2 horas
No se puede usar calculadora
No se pueden consultar libros ni apuntes
Agosto de 2009
PROBLEMA 1 (R
Los números enteros positivos desde 1 hasta 1000 están escritos uno a continuación de
otro, en orden creciente, formando el número n = 123456789101112…………9991000
En el número n, ¿cuántas veces aparece el 89 (es decir, las cifras 8 y 9 juntas y en ese
orden)?
PROBLEMA 2
Hallar la suma de las cifras del número n = 22009 . 52012
PROBLEMA 3 Bulgaria 2000)
En un triángulo ABC, M es el punto medio del segmento AB, N es el punto medio del
segmento MC y R es el punto medio del segmento AN.
Si el triángulo ABC tiene área 1000, ¿cuál es el área del triángulo MNR?
PROBLEMA 4 1 2 3 4 5 6
2 5
Se quiere llenar el tablero de 6x6 de la figura de forma tal que 3 4
cada uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 aparezca en cada una de 4 3
las filas y en cada una de las columnas. 5 2
Determinar de cuántas formas diferentes es posible lograr ese
6 5 4 3 2 1
objetivo.
JUSTIFICA TODAS TUS RESPUESTAS
www.compartida.org

2. Com – Partida de Matemática del Uruguay
Federación Iberoamericana de Competiciones Matemáticas
Centro Latinoamericano de Matemática e Informática – CLAMI
2ª Instancia Olimpíada Nacional de Matemática 2009
Nivel III
Tiempo máximo: 2 horas
No se puede usar calculadora
No se pueden consultar libros ni apuntes
Agosto de 2009
PROBLEMA 1 (R
Se considera el número n = 12 + 22 + 32 + 42 + …….. + 1768822 + 1768832.
Indicar cual es la cifra de las unidades del número n.
PROBLEMA 2
Se considera el trapecio PQRS de bases PQ y SR tales que SR = 2.PQ
M es el punto medio del segmento PQ, N es el punto medio del segmento QR y L es un
punto del lado SR tal que RL = 3.LS
Si el triángulo MNL tiene área 100, ¿cuál es el área del trapecio PQRS?
PROBLEMA 3 Bulgaria 2000)
Un número entero positivo diremos que es noble cuando se puede expresar como suma de
2 números enteros positivos consecutivos y también como suma de 3 números enteros
positivos consecutivos (por ejemplo, 87 es noble ya que 87 = 43+44 y 87 = 28+29+30).
a) Determinar el menor número que sea noble
b) Demostrar que 2007 es un número noble y que 2009 no lo es
c) Analizar si el número 20072009 es noble
PROBLEMA 4
Se quiere llenar el tablero de 6x6 de la figura de forma tal que 1 2 3 4 5 6
cada uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 aparezca en cada una de 2 5
las filas y en cada una de las columnas. 3 4
Determinar de cuántas formas diferentes es posible lograr ese
4 3
objetivo.
5 2
6 5 4 3 2 1
JUSTIFICA TODAS TUS RESPUESTAS
www.compartida.org

3. Com – Partida de Matemática del Uruguay
Federación Iberoamericana de Competiciones Matemáticas
Centro Latinoamericano de Matemática e Informática – CLAMI
2ª Instancia Olimpíada Nacional de Matemática 2009
Nivel IV
Tiempo máximo: 2 horas
No se puede usar calculadora
No se pueden consultar libros ni apuntes
Agosto de 2009
PROBLEMA 1 (R
Calcula la suma de los cuadrados de los 100 primeros términos de una progresión
aritmética sabiendo que la suma de ellos es -1 y que la suma de los términos que ocupan
lugar par es 1.
PROBLEMA 2
ABCD es un cuadrado de lado 6. Se toma un punto E en el lado AB y se toma un punto F
en el lado BC tales que AE = BF =x. M es el punto medio del segmento DF. H es el punto
de corte de las rectas AF y DE.
Halla el valor de x para el que la distancia MH sea 52 .
PROBLEMA 3 Bulgaria 2000)
Sea n un número natural. Sea p el número que resulta de escribir en orden inverso las
cifras de n. Sea S la suma de las cifras de n.
Determina si existen números naturales n de tres cifras tales que n = 2p +S (en caso
afirmativo, hallarlos).
PROBLEMA 4
Halla el número de conjuntos formados por 4 números naturales del 1 al 20 tales que la
suma de los cuatro es múltiplo de 5
JUSTIFICA TODAS TUS RESPUESTAS
www.compartida.org

4. Com – Partida de Matemática del Uruguay
Federación Iberoamericana de Competiciones Matemáticas
Centro Latinoamericano de Matemática e Informática – CLAMI
2ª Instancia Olimpíada Nacional de Matemática 2009
Nivel V
Tiempo máximo: 2 horas
No se puede usar calculadora
No se pueden consultar libros ni apuntes
Agosto de 2009
PROBLEMA 1 (R
Hallar la suma de todos los números que se obtienen como permutaciones de los
dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 (es decir, 12345 + 12354 + ... + 54321).
PROBLEMA 2
Los números enteros positivos desde 19 hasta 80 están escritos uno a continuación de
otro, en orden creciente, formando el número n = 1920212223……..787980.
Determinar si n es divisible entre 1980
PROBLEMA 3 Bulgaria 2000)
A, B, C y D son los vértices de un cuadrilátero convexo. J, L, M y N son los puntos de
tangencia de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero.
Demostrar que las diagonales AC y BD del cuadrilátero y las cuerdas JM y LN son
concurrentes.
PROBLEMA 4
Demostrar que para todo número primo p, distinto de 2 y 5, existen infinitos múltiplos de p
de la forma 111...1 (escritos sólo con unos).
www.compartida.org

5. Com – Partida de Matemática del Uruguay
Federación Iberoamericana de Competiciones Matemáticas
Centro Latinoamericano de Matemática e Informática – CLAMI
JUSTIFICA TODAS TUS RESPUESTAS
www.compartida.org