Solucionario nivel 3[1]

ONEM - 2011
VIII OLIMPIADA
NACIONAL ESCOLAR
DE MATEMÁTICA

SOLUCIONARIO
NIVEL

3
ICEM
INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

PRESENTACIÓN

La Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM) es organizada por el
Ministerio de Educación y es una competición abierta a todos los estudiantes de
Educación Secundaria de Instituciones Educativas Estatales y Particulares de todo
el País.

Esta competencia ha servido para mejorar la enseñanza de la Matemática en el
ámbito nacional, ya que toda la comunidad educativa involucrada ha ido
tomando paulatinamente mayor interés en su desarrollo. En muchos centros
educativos se han formado equipos o clubes de matemática en los cuales se
practica con las preguntas tomadas en años anteriores y con exámenes de
Olimpiadas Internacionales, tomando en cuenta que algunas preguntas, para su
resolución requieren revisar temas que no son parte de la currícula normal de
estudio.

Es por este motivo que el ICEM - Instituto de Capacitación en Educación
Matemática - pone a disposición de toda la Comunidad Educativa el Solucionario
de la VIII ONEM 2011 en su 1ra Fase, trabajo desarrollado por un equipo de
docentes en el Área de Matemática con el interés de aportar al crecimiento
académico de todos los estudiantes, en especial a los que pertenecen a la Región
Sur del Perú, esperamos las debidas críticas y sugerencias a dicho trabajo de
modo que este pueda ser mejorado, también estamos concientes que en las
soluciones a las preguntas existen diferentes caminos para llegar al resultado de
modo que pueden escribirnos al correo icemaqp@gmail.com .

También queremos invitarlos al I Concurso de Matemática Arequipa (I COMAT -
AREQUIPA), evento a llevarse a cabo próximamente y del cual obtendrán mayor
información en la siguiente dirección: www.icemperu.org , dicho concurso tiene
como meta brindar a los estudiantes problemas interesantes que despierten el
placer de razonar.

EQUIPO DIRECTIVO

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
VIII ONEM 2011
PRIMERA FASE – NIVEL 3
SOLUCIONARIO

Elaborado por un equipo de profesores de Matemática

 José Corimanya Escobedo cori_jce@hotmail.com
 Juan Mamani Cayani xmesias8@gmail.com
 José Choque Rivera (Responsable Nivel 3) josechoque@gmail.com

Gentiles aportaciones de:

 Mario Condori
 Ronald Luza

ICEM - AREQUIPA 2

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
(ONEM 2011)

Primera Fase – Nivel 3

30 de Junio de 2011

01. Sean A, B, C, D y E enteros positivos tales que:
A  B  B  C  C  D  D  E  3,
¿Cuántos valores puede tomar A  B  C  D  E ?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN:

 Del dato: A  B  3 , tomando en cuenta que A y B son enteros positivos, los únicos
valores que pueden tomar son 1 y 2.
 Sabemos que B  C  D  E  3 , reemplazando en la expresión pedida:
  B  C  D  E , ésta suma puede tomar dos valores 7 ú 8. 
A  
1ó 2 3 3

B) Clave: Rpta: B) 2

02. En la siguiente figura el rectángulo grande ha sido dividido en tres rectángulos
congruentes. Si el área del rectángulo grande es 54, calcula su perímetro.

A) 6 B) 9 C) 15 D) 30 E) 60

RESOLUCIÓN:

 En primer lugar, aprovechando que los tres rectángulos son congruentes, se puede
notar que en cada uno de ellos el largo es el doble de su ancho.

 Además el área del rectángulo grande se puede expresar como:

ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

ICEM - AREQUIPA 3

6a2  54  a  3

 Y su perímetro se expresaría como:
Perímetro  10a  10(3)
Perímetro  30 
Rpta: D) 30

03. Dentro de una caja grande se colocan 3 cajas medianas, dentro de cada una de éstas se
colocan 4 cajas pequeñas y dentro de cada una de estas últimas se colocan 3 canicas.
¿Cuál es la diferencia entre el número total de cajas y el número de canicas?

A) 12 B) 20 C) 15 D) 10 E) 18

RESOLUCIÓN:

 Calculamos el Nro. Total de cajas sumando la caja grande, las cajas medianas y las
cajas pequeñas: 1  1  3  1  3  4  16 cajas
 Ahora calculamos el Nro. Total de canicas 1  3  4  3  36 canicas
 Finalmente como nos piden la diferencia: 36  16  20 .

Rpta: B) 20

04. Las siguientes dos sumas tienen la misma cantidad de sumandos
S1  1  2  3  4  ...
S2  100  99  98  97  ...
Si ambas sumas dan el mismo resultado, ¿cuántos términos hay en cada suma?

A) 54 B) 72 C) 67 D) 100 E) 50

RESOLUCIÓN:

 Designemos con la letra “n” el número de términos en cada una de las sumas, de
modo que:
S1  1  2  4  ...  n
3
  
" n " sumandos
Que es la suma de los “n” primeros números naturales, y sabemos que se puede expresar
como:
n n  1
S1 
2
n  n  1
 Debido a que ambas sumas dan el mismo resultado entonces: S 2  , luego:
2
S1  S 2  n  n  1 
 Además observamos que al sumar los términos de S1 y S2 podemos agrupar
convenientemente:
S1  S2  (1  100)  (2  99)  (3  98)  (4  97)  ...  101  101   101.n
101  ...  101

" n " sumandos
 Igualando ambos resultados, obtendremos el valor de “n”:


ICEM - AREQUIPA 4

n n  1  101.n
n  100 

Rpta: D) 100

05. En la siguiente figura el triángulo grande es equilátero y los puntos D, E, F, G, H e I, son
puntos medios. ¿Qué porcentaje del área del triángulo ABC es el área del triángulo GHI?

A) 6% B) 16% C) 6.25% D) 0,625% E) 4%

RESOLUCIÓN:

 Al tener puntos medios podemos afirmar que los triángulos: EHI, HIG, IGF y HDG son
congruentes y por lo tanto tienen la misma superficie (S).
 También los triángulos: EBF, AED, EDF y DFC tienen la misma superficie (4S).

100
 El área total es 16S y representa el 100%, de modo que: S  %  6,25% , que
16
representa la superficie del triángulo GHI. 

Rpta: C) 6,25%

06. Determina cuántos números primos p cumplen la condición:
8! 1  p  8! 9
Aclaración: La expresión n! denota el producto de los primeros n enteros positivos. Por
ejemplo, 3!  1 2 3 .

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

RESOLUCIÓN:


ICEM - AREQUIPA 5

 “p” es de la forma 8! a siendo “a” un elemento del conjunto 2,3,4,5,6,7,8
 Debido a que 8!  1  2  3  4  5 6  7  8 , al sumarle el valor de “a”, siempre se podrá
obtener dos factores, por ejemplo si a  5 entonces: 8! 5  5(1  2 3 4  6  7  8  1) ,
que es un número compuesto, de modo que para ningún valor de “a” se obtendría un
número primo.
 Por lo tanto no hay ningún número primo que cumpla la condición.

Rpta: A) 0

07. En la siguiente figura, tenemos que reemplazar las letras A, B, C, D, E por los números 1,
2, 3, 4, 5 (sin repetir) de tal modo que los números A  B  C y D  B  E sean múltiplos
de 3, ¿de cuántas formas se puede hacer esto?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 12

RESOLUCIÓN:

o
 Sumando los cinco valores: A  B  C  D  E  15 , que es un múltiplo de tres ( 3 ).
 Por dato:
o
A B C 3
o
D B E 3
 Si sumamos éstas dos ecuaciones y utilizamos la observación anterior obtenemos:
o
  B  3 ; y necesariamente B  3
A B C  D  E
o
3
 Por lo tanto también se cumplirá:
o
AC 3
o
DE 3
 Considerando que: ( A  C )  (D  E )  12 , entonces tenemos las siguientes
posibilidades:
 A  1; C  2; D  4; E  5
 A  1; C  2; D  5; E  4

o AC 3 y D E  9  
 A  2; C  1; D  4; E  5
 A  2; C  1; D  5; E  4



ICEM - AREQUIPA 6

 A  1; C  5; D  2; E  4
 A  1; C  5; D  4; E  2

 A  5;C  1; D  2; E  4

 A  5;C  1; D  4; E  2
o AC 6 y D E 6  
 A  2; C  4; D  1;E  5
 A  2; C  4; D  5; E  1

 A  4;C  2; D  1;E  5
 A  4;C  2; D  5; E  1

 A  4;C  5; D  1; E  2
 A  4;C  5; D  2; E  1

o AC 9 y D E 3  
 A  5;C  4; D  1; E  2
 A  5;C  4; D  2; E  1

 Lo que da un total de 16 formas de colocar los números.

Rpta: D) 16

08. Los ángulos de un cuadrilátero están en progresión geométrica. Si la medida del ángulo
mayor es 27 veces la medida del menor, ¿cuál es la diferencia entre el mayor y menor
ángulo?

A) 216º B) 261º C) 234º D) 240º E) 243º

RESOLUCIÓN:

 Sea “” la medida del menor ángulo del cuadrilátero y “r” la razón de la progresión
geométrica, de modo que las medidas de los demás ángulos se pueden expresar
como: .r; .r2 y .r3; siendo éste último el mayor ángulo.
 Por dato del problema:
.r 3  27.  r  3
 Además sabemos que las medidas de los ángulos del cuadrilátero suman 360º:
  3  9  27  360º
40  360º
  9º
 Por lo tanto las medidas de los ángulos son: 9º; 27º; 81º y 243º.
 Y la diferencia entre el mayor y menor ángulo es: 243º 9º  234º .

Rpta: C) 234º

09. Sabino compró varios helados a 2 soles cada uno, y Huamaní compró otra cantidad de
helados a 3 soles cada uno. Si juntos compraron menos de 15 helados y gastaron más de
15 soles cada uno, ¿cuántos helados compraron en total?

A) 13 B) 14 C) 9 D) 12 E) 11

RESOLUCIÓN:


ICEM - AREQUIPA 7

 Consideremos que Sabino compró “S” helados, a 2 soles cada uno, entonces gastó
“2S” soles; y Huamaní compra “H” helados, a 3 soles cada uno, gasta “3H” soles.
 Como juntos compraron menos de 15 helados entonces: S  H  15
 Además gastaron más de 15 soles cada uno:
2S  15  S  7,5
3H  15  H  5
 Los únicos valores que cumplen las condiciones son: S  8 y H  6
 De modo que en total compraron: 8  6  14 helados. 

Rpta: B) 14

10. En una clase mixta de 35 estudiantes hay 19 mujeres. Además, 7 hombres aprobaron
aritmética, 6 hombres aprobaron álgebra, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno
de los dos cursos, 5 estudiantes aprobaron los dos cursos y 11 estudiantes aprobaron
solamente aritmética. ¿Cuántas mujeres aprobaron solamente álgebra?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN:

 Sea U el conjunto del total de estudiantes, con n(U )  35 ; M el conjunto de mujeres y
H el conjunto de hombres; si n( M )  19 , entonces n( H )  35  19  16 . Además A es el
conjunto de estudiantes que aprobaron Aritmética y B es el conjunto de estudiantes
que aprobaron Álgebra, de modo que podemos hacer el siguiente diagrama:

o Si nos dicen que 7 hombres aprobaron Aritmética, entonces: d  f  7
o 6 hombres aprobaron Álgebra, entonces: f  h  6
o 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos: b  5 y a  8
o 5 estudiantes aprobaron los dos cursos: e  f  5
o 11 estudiantes aprobaron solamente Aritmética: c  d  11
o Nos piden cuántas mujeres aprobaron solamente Álgebra: g  ?
 Como el total de hombres es 16: b  d    16  d  5
 f h
5 6

 Además: d  f  7  f  2

5


ICEM - AREQUIPA 8

 También: c  d  11  c  6

5

 Y como: e    5  e  3
f
2

 Finalmente el total de mujeres es 19: a  c  e  g  19  g  2 
  
8 6 3

Rpta: B) 2

11. En la figura se muestra un trapecio ABCD de lados paralelos BC y AD. Si AB  BC  a ,
CD  2a y AD  3a , calcula el valor de sec .

A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 5

RESOLUCIÓN:

 Después de ubicar los datos en el gráfico, trazamos BE  CD , de modo que BCDE es un
paralelogramo y por lo tanto ED  BC  a y BE  CD  2a , además: AE  3a  a  2a

a
 Luego el triángulo AEB es isósceles y si trazamos EH  AB entonces: AH  HB 
2
2a
 Ahora ya podemos obtener: sec    4 .
a /2

Rpta: B) 4

12. Sean a, b, c tres números que están en progresión aritmética, tales que si los
aumentamos en 1, 4 y 9, respectivamente, obtenemos tres números que son
directamente proporcionales a los números 1, 3 y 6. Halla el valor de a  b  c .

A) 12 B) 30 C) 9 D) 6 E) 18

RESOLUCIÓN:


ICEM - AREQUIPA 9

 Si a, b y c están en progresión aritmética, entonces: 2b  a  c
 Aumentándolos en 1, 4 y 9 obtenemos: a+1, b+4, c+9; y como son proporcionales a
los números 1, 3 y 6:
a  k  1
a1 b4 c 9 
   k  b  3k  4
1 3 6 c  6k  9

 Reemplazando en 2b  a  c :
2 3k  4    k  1    6k  9 
k 2
 Luego: a  1; b  2 y c  3 , y por lo tanto: a  b  c  6 .

Rpta: D) 6

13. Sea  un ángulo agudo y x  sen  cos  , determina el valor de:
N  (sec   csc )  (tan   cot )

2 1 2 2 1
A) 2
B) 2
C) D) 2
E)
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

RESOLUCIÓN:

 Conocemos la identidad trigonométrica: sen2   cos2   1 ; elevamos al cuadrado el
dato: x  sen  cos 
2
x 2   sen  cos    x 2  sen2  2sen.cos 
2
  cos
 
1

x  1  x  1 x  1 
2
sen.cos   
2 2
 Otras identidades conocidas son:
1 1 sen cos 
sec   ; csc   ; tan   y cot  
cos  sen cos  sen
 Reemplazamos en la expresión pedida:
 1 1   sen cos  
N     
 cos  sen   cos  sen 
      
x 1 
 sen  cos    sen   cos2  
2
x 1
N   
 sen.cos    sen.cos   sen.cos 
 
   
 Reemplazamos también sen.cos  :
x 1 2
N  N 
 x  1  x  1 x 1
2

2
Rpta: C)
x 1


ICEM - AREQUIPA 10

14. Coralí, una chica supersticiosa, al enumerar las 200 páginas de su diario, comenzó del 1,
pero excluyó aquellos números donde las cifras 1 y 3 aparecen juntas en cualquier
orden. Por ejemplo, los números 31 y 137 no aparecen en el diario, pero el 103 si
aparece. ¿Cuál fue el número que escribió en la última página de su diario?

A) 210 B) 212 C) 213 D) 214 E) 215

RESOLUCIÓN:

 Los únicos dos números de dos cifras que tuvo que eliminar son el 13 y 31.
 Pasando a 3 cifras tuvo que eliminar: 113, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137,
138, 139.
 Que hacen un total de 13 números eliminados, por lo tanto tuvo que llegar hasta el
213 pero como en dicho número aparecen el 1 y el 3, el último número que escribió
fue el 214.

Rpta: D) 214

15.
 M es igual al producto o a la suma de 2 y 7.
 N es igual al producto o a la suma de 3 y 9.
 P es igual al producto o a la suma de 4 y 8.
 Q es igual al producto o a la suma de 5 y 10.
¿Cuál es el único valor posible para M  N  P  Q , entre los valores mostrados?

A) 87 B) 88 C) 89 D) 90 E) 91

RESOLUCIÓN:

 Colocamos en una tabla los posibles valores de cada letra:

M N P Q M+N+P+Q
50 123
32
15 88
27
50 103
12
15 68
14
50 108
32
15 73
12
50 88
12
15 53
50 118
32
15 83
27
50 98
12
15 63
9
50 103
32
15 68
12
50 83
12
15 48


ICEM - AREQUIPA 11

 Y observamos que el único valor para M+N+P+Q, que aparece en las alternativas es el
número 88.

Rpta: B) 88

16. En un cuadrilátero ABCD, el punto P divide al segmento AC en la razón de 1 a 3 (con
AP  PC ). Si las áreas de las regiones triangulares ABD y BDC son 70m2 y 30m2,
respectivamente, entonces el área de la región triangular PBD es:

A) 42m2 B) 39m2 C) 40m2 D) 44m2 E) 45m2

RESOLUCIÓN:

 Construimos la figura, y por el dato del problema PC  3. AP , entonces: S BPC  3.S1 y
S PDC  3.S 2

 Además S ABCD  S ABD  S BDC  70  30  100m2 , y también S ABCD  4S1  4S 2  4( S1  S 2 ) ,
igualando ambas expresiones obtenemos:
4( S1  S2 )  100
S1  S2  25
 Luego nos piden S BPD

 Y observamos que S BPD  S ABD  (S1  S2 )  S BPD  70  25  45m2 . 

Rpta: E) 45 m2

17. ¿Cuántos triángulos escalenos tienen lados de longitudes enteras y perímetro menor que
13?


ICEM - AREQUIPA 12

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8

RESOLUCIÓN:

 Consideremos un triángulo cuyas longitudes de sus lados son: a, b y c; que son
números enteros, además: 0  c  b  a y por dato del problema: a  b  c 13
 Además por existencia triangular: a  b  c
 De ambas desigualdades obtenemos que: 2a  13  a  6,5 ; por lo tanto el máximo
valor entero que puede tomar “a” es 6.
 Tomando en cuenta que: b  c  13  a ; b  c  a ; sin olvidar que 0  c  b  a ,
analicemos diferentes opciones:
 Caso 1: Si a  6 , entonces b  c  7 ; b  c  6 y 0  c  b  6 de modo que no
hay valores enteros para “ b  c ”.
 Caso 2: Si a  5 , entonces b  c  8 ; b  c  5 y 0  c  b  5 hay 2 valores
enteros para “ b  c ”:
bc 6  b4  c 2
bc 7  b  4  c 3
 Caso 3: Si a  4 , entonces b  c  9 ; b  c  4 y 0  c  b  4 hay 1 valor entero
que puede alcanzar “ b  c ”: b  c  5  b  3  c  2
 Caso 4: Si a  3 , ya no hay valores enteros para “b” y “c” que cumplan con la
existencia triangular.

 En conclusión hay tres triángulos escalenos, y sus lados serían:
 a5; b4 ; c 2
 a 5 ; b  4 ; c 3
 a  4 ; b  3 ; c  2

Rpta: C) 3

18. El producto de los dígitos de un cuadrado perfecto de cuatro dígitos es 54. Calcula el
resto al dividir dicho cuadrado perfecto entre 28.

A) 1 B) 0 C) 3 D) 20 E) 12

RESOLUCIÓN:

 Sea N  abcd un cuadrado perfecto de cuatro dígitos, por dato:
a.b.c.d  54  2  3 3 3 , observando la descomposición de 54 en sus factores primos,
nos deja para los cuatro dígitos las siguientes posibilidades: (salvo orden) 1169,
1239, 2333 y 1336.
 También sabemos que un cuadrado perfecto termina en: 1, 4, 5, 6, ó 9. Descartamos
entonces el 2333.
 Además al dividir un cuadrado perfecto entre 9 puede dejar residuo: 1, 4, 0, 7. Esto es
debido a que:


ICEM - AREQUIPA 13
0 0
12  9 1 52  (9  4)2  9 7
0 0
22  9 4 62  (9  3)2  9 0
0
y 0
2
3  9 0 72  (9  2)2  9 4
0 0
4 2  9 7 82  (9  1)2  9 1
 Al dividir un número entre 9, el resto es igual al de la suma de sus cifras, por tanto
independientemente del orden:
0
 1169  9 8
0
 1239  9 6
0
 1336  9 4
Deducimos que las cifras de nuestro cuadrado son 1336.
 Como en la última cifra sólo puede haber un 6 o un 1, tenemos las siguientes
posibilidades: 1336, 3136, 3316, 6331, 3631 y 3361. De estos valores el único que
cumple con ser un cuadrado perfecto es el 3136  56 2 y como 28 es un divisor de 56,
entonces al dividir 3136 entre 28 obtendremos residuo cero. 

Rpta: B) 0

19. Sea ABCD un rombo tal que ABC  120º . Se ubica en la región exterior del rombo un
punto P tal que PAB  50º y PCB  70º , calcula la medida de PBA .

A) 70º B) 80º C) 60º D) 100º E) 90º

RESOLUCIÓN:

 Realizamos una gráfica con los datos brindados:

 Podemos notar que al trazar la diagonal BD , el rombo queda dividido en dos
triángulos equiláteros, y si trazamos una circunferencia, con centro en B y radio igual
al lado del rombo, dicha circunferencia pasará por los vértices A, D y C; observamos
también que AB  BD  BC  R .


ICEM - AREQUIPA 14

 Además en el gráfico inicial el DAP  60º 50º  10º y el DCP  70º 60º  10º ,
resultando ser iguales lo que nos permite asegurar que el cuadrilátero ADPC es
inscriptible o cíclico

 Y como ya tenemos una circunferencia que pase por A, D y C significa que el punto P
también pertenece a dicha circunferencia.

 Como BP resulta ser también radio de la circunferencia será igual con AB y el
triángulo ABP es isósceles, con APB  BAP  50º .


ICEM - AREQUIPA 15

 Finalmente en dicho triángulo, los ángulos internos suman 180º:
x  2(50º)  180º
x  80º 
Rpta: B) 80º

20. Hay un tablero de 44 dibujado en la pizarra y Carlos debe pintar cada casilla de blanco
o de negro, de tal modo que en cada fila y cada columna haya 2 casillas de cada color. ¿De
cuántas maneras Carlos puede pintar el tablero?

A) 72 B) 36 C) 96 D) 90 E) 108

RESOLUCIÓN:

Distinguiremos dos formas de realizar el pintado:
1. Haciendo que dos filas sean exactamente iguales.
 Siendo así las dos filas que faltan quedan completamente determinadas
(tienen justo los colores opuestos a las primeras) y son también iguales entre
sí.
 4
 La primera fila tiene    6 posibilidades.
 2
 La otra fila igual a la primera puede estar en 3 sitios distintos, y fijada esta, las
otras quedan inequívocamente situadas.
4
 Por lo tanto hay 3     3  6  18 tableros con 2 filas iguales.
2
2. Haciendo que todas las filas sean diferentes
 4
 Otra vez para la primera fila hay    6 posibilidades, podemos tomar como
 2
ejemplo que la primera fila es NNBB.
 Una de las tres últimas filas tendrá casillas opuestas a la primera, en nuestro
ejemplo: BBNN, otra fila empezaría con BN y la última fila empezaría con NB,
permutando estas tres filas hay 3!  6 posibilidades.
 Hay 2 opciones para completar las dos últimas filas: BNNB, NBBN y BNBN,
NBNB.
 Por tanto hay: 6  6  2  72 tableros con todas las filas distintas.
En total resultan: 18  72  90 maneras de pintar el tablero.
Rpta: D) 90


Solucionario nivel 3[1]

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Destacado

Similar a Solucionario nivel 3[1]

Más de duverlin

Último

Solucionario nivel 3[1]