Este documento presenta un índice de contenidos sobre álgebra 1. Incluye temas como valor absoluto, inecuaciones con valor absoluto, logaritmos, funciones exponenciales y logarítmicas, propiedades de cologaritmos y antilogaritmos, relaciones y funciones, límites, derivadas, integrales y fórmulas. Al final incluye problemas de práctica para la clase y la casa relacionados con los temas de valor absoluto.
Este documento presenta un índice de contenidos sobre álgebra 1 y 2. En álgebra 1 se cubren temas como valor absoluto, inecuaciones con valor absoluto, logaritmos, funciones exponenciales y logarítmicas, propiedades de cologaritmos y antilogaritmos, relaciones y funciones, límites, derivadas, integrales y fórmulas. Álgebra 2 incluye el tema de valor absoluto, definiendo conceptos como el valor absoluto de un número, interpretación geométrica, teoremas y ecuaciones con
Este documento presenta ejercicios sobre expresiones fraccionarias y radicales. Incluye problemas de hallar valores numéricos de fracciones, determinar si fracciones tienen valor numérico, comprobar equivalencia de fracciones, simplificar fracciones, operar con fracciones, calcular productos y cocientes de fracciones, y simplificar expresiones radicales.
Este documento contiene el índice de un libro de álgebra dividido en cuatro unidades. La primera unidad cubre temas como exponentes, polinomios, productos notables y factorización. La segunda unidad trata conceptos como matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones. La tercera unidad se enfoca en inecuaciones y relaciones binarias. Finalmente, la cuarta unidad aborda funciones, progresiones y logaritmos.
Este documento presenta las propiedades y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Se explican las formas estándar y vértice de una ecuación cuadrática, así como métodos para resolverlas como factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También se cubren conceptos como discriminante, raíces reales e imaginarias. Por último, incluye ejercicios para practicar la resolución de ecuaciones cuadráticas y el análisis de gráficas cuadráticas.
1. El documento describe cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante los siguientes pasos: plantear la ecuación, despejar la incógnita quedando sola en un miembro, y encontrar el valor que iguala la ecuación.
2. Se proporcionan ejemplos detallados de cómo resolver ecuaciones de primer grado con una sola incógnita mediante la suma, resta, multiplicación y división.
3. El documento también explica cómo plantear ecuaciones a partir de problemas verbales estableciendo relaciones entre los datos y la incógnita.
El documento presenta 85 ejercicios de ecuaciones y sistemas de primer y segundo grado. Incluye ejercicios de resolver ecuaciones de primer grado, ecuaciones de primer grado con denominadores, sistemas de ecuaciones de dos incógnitas resueltos por tres métodos y factorización, y ecuaciones de segundo grado resueltas mediante fórmulas, factorización y relaciones de Cardano-Vieta.
1. Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente y también como base a la vez.
2. Algunas propiedades incluyen que si ax = bx, entonces a = b, a menos que x = 0.
3. Se proporcionan varios ejemplos y ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales.
Este documento presenta varios ejercicios de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. En primer lugar, expresa algunas situaciones verbales como ecuaciones algebraicas. Luego, resuelve diversas ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo aquellas con paréntesis, fracciones y variables en ambos lados. Finalmente, plantea un sistema de ecuaciones lineales para describir la composición de una clase.
Este documento presenta un índice de contenidos sobre álgebra 1 y 2. En álgebra 1 se cubren temas como valor absoluto, inecuaciones con valor absoluto, logaritmos, funciones exponenciales y logarítmicas, propiedades de cologaritmos y antilogaritmos, relaciones y funciones, límites, derivadas, integrales y fórmulas. Álgebra 2 incluye el tema de valor absoluto, definiendo conceptos como el valor absoluto de un número, interpretación geométrica, teoremas y ecuaciones con
Este documento presenta ejercicios sobre expresiones fraccionarias y radicales. Incluye problemas de hallar valores numéricos de fracciones, determinar si fracciones tienen valor numérico, comprobar equivalencia de fracciones, simplificar fracciones, operar con fracciones, calcular productos y cocientes de fracciones, y simplificar expresiones radicales.
Este documento contiene el índice de un libro de álgebra dividido en cuatro unidades. La primera unidad cubre temas como exponentes, polinomios, productos notables y factorización. La segunda unidad trata conceptos como matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones. La tercera unidad se enfoca en inecuaciones y relaciones binarias. Finalmente, la cuarta unidad aborda funciones, progresiones y logaritmos.
Este documento presenta las propiedades y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Se explican las formas estándar y vértice de una ecuación cuadrática, así como métodos para resolverlas como factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También se cubren conceptos como discriminante, raíces reales e imaginarias. Por último, incluye ejercicios para practicar la resolución de ecuaciones cuadráticas y el análisis de gráficas cuadráticas.
1. El documento describe cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante los siguientes pasos: plantear la ecuación, despejar la incógnita quedando sola en un miembro, y encontrar el valor que iguala la ecuación.
2. Se proporcionan ejemplos detallados de cómo resolver ecuaciones de primer grado con una sola incógnita mediante la suma, resta, multiplicación y división.
3. El documento también explica cómo plantear ecuaciones a partir de problemas verbales estableciendo relaciones entre los datos y la incógnita.
El documento presenta 85 ejercicios de ecuaciones y sistemas de primer y segundo grado. Incluye ejercicios de resolver ecuaciones de primer grado, ecuaciones de primer grado con denominadores, sistemas de ecuaciones de dos incógnitas resueltos por tres métodos y factorización, y ecuaciones de segundo grado resueltas mediante fórmulas, factorización y relaciones de Cardano-Vieta.
1. Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente y también como base a la vez.
2. Algunas propiedades incluyen que si ax = bx, entonces a = b, a menos que x = 0.
3. Se proporcionan varios ejemplos y ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales.
Este documento presenta varios ejercicios de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. En primer lugar, expresa algunas situaciones verbales como ecuaciones algebraicas. Luego, resuelve diversas ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo aquellas con paréntesis, fracciones y variables en ambos lados. Finalmente, plantea un sistema de ecuaciones lineales para describir la composición de una clase.
Este documento presenta 85 ejercicios de ecuaciones y sistemas de primer y segundo grado. Incluye ejercicios de resolución de ecuaciones de primer grado, ecuaciones de primer grado con denominadores, sistemas de ecuaciones de dos variables y ecuaciones de segundo grado. Los ejercicios están organizados en apartados y se pide resolverlos y comprobar las soluciones dadas.
El documento resuelve varias ecuaciones y sistemas de ecuaciones con radicales. Primero, resuelve ecuaciones individuales con radicales y encuentra sus soluciones. Luego, resuelve ecuaciones cuadráticas y sistemas de dos ecuaciones, identificando en cada caso las posibles soluciones. Finalmente, presenta seis sistemas de ecuaciones y sus correspondientes soluciones.
Este documento presenta las respuestas correctas a 15 preguntas de un examen de álgebra, trigonometría y geometría analítica. Todas las respuestas incluyen ecuaciones, sistemas de ecuaciones, desigualdades e inecuaciones cuadráticas y su resolución. El documento demuestra las habilidades del estudiante para resolver diferentes tipos de problemas matemáticos.
El documento presenta 10 problemas de división de polinomios. Proporciona las divisiones polinómicas solicitadas en cada problema y calcula valores relevantes como coeficientes, restos y sumas requeridas. Explica los pasos realizados mediante el método de Ruffini para resolver las divisiones polinómicas de manera sistemática.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre números complejos, expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades. Introduce los números complejos como expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales y i2 = -1. Explica las operaciones básicas con números complejos como suma, resta, multiplicación y división. Luego, define expresiones algebraicas, términos, ecuaciones lineales y cómo resolver ecuaciones de primer grado. Finalmente, introduce inecuaciones de primer grado y cómo resolverlas.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre polinomios que incluyen divisiones, factorizaciones, uso del teorema del resto y la regla de Ruffini, hallar raíces e identificar factores comunes. Los ejercicios abarcan temas fundamentales sobre polinomios como operaciones básicas, divisibilidad, factorización y aplicación de diferentes métodos para trabajar con polinomios.
Este documento presenta la solución a 10 problemas de álgebra que involucran la factorización de polinomios. El problema final involucra encontrar la suma del mayor y menor número primo generado por un factor primo de un polinomio dado.
Este documento presenta 10 problemas de álgebra para un examen mensual. Los problemas incluyen ecuaciones, funciones, logaritmos y operaciones matemáticas básicas. El objetivo es calcular valores numéricos, obtener gráficos de funciones y resolver ecuaciones.
Este documento contiene la práctica de ecuaciones lineales realizada por los alumnos Aliaga Vargas, Chalan Sánchez y Rodríguez Machuca en el aula B-302 con la profesora María Chuquilin. Se resuelven 27 ecuaciones lineales y 5 problemas relacionados con ecuaciones.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Introduce las formas generales de ecuaciones lineales (ax-b=0) y cuadráticas (ax2+bx+c=0). Explica métodos para resolver ecuaciones como factorización, completación de cuadrados y fórmula cuadrática. También cubre propiedades de las raíces como su suma, producto y relación con los coeficientes de la ecuación.
Este documento presenta la solución a 10 problemas de álgebra que involucran la factorización de polinomios. El problema final involucra encontrar la suma del mayor y menor número primo generado por un factor primo de un polinomio dado.
Recuperación 1er trimestre de matemática uñoJuliana Isola
Este documento resume conceptos matemáticos como funciones cuadráticas, ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones mixtas, propiedades de las raíces, intervalos en la recta real, módulos y números complejos. Incluye ejemplos para ilustrar cada tema y fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas y encontrar ecuaciones a partir de tres puntos dados.
El documento contiene información sobre métodos para resolver inecuaciones polinomiales y exponenciales. Incluye ejemplos de resolución de inecuaciones de primer y segundo grado, así como inecuaciones con más de un factor. También presenta teoremas sobre la variación de signos de polinomios y funciones exponenciales.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre conceptos básicos de expresiones algebraicas. Incluye operaciones como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, así como evaluación y simplificación de expresiones. Los ejercicios están organizados en secciones como sumar y simplificar expresiones, efectuar operaciones indicadas, determinar cuocientes y restos de divisiones, y hallar expresiones para obtener diferencias o sumas específicas.
Este documento explica conceptos básicos de álgebra como monomios, binomios, trinomios, polinomios, sumas, restas, productos y cocientes de expresiones algebraicas. Define términos como coeficiente, variable, grado de un monomio o polinomio, y explica cómo realizar operaciones con expresiones algebraicas como sumar o multiplicar monomios y polinomios. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento presenta ejemplos resueltos de ecuaciones con radicales. Explica los pasos para resolver este tipo de ecuaciones, que incluyen racionalizar elevando ambos lados al cuadrado para eliminar los radicales, y luego resolver la ecuación resultante para encontrar las posibles soluciones. También advierte sobre las "raíces extrañas" que no son soluciones válidas de la ecuación original. Finalmente, proporciona 20 ejercicios adicionales para que el lector practique resolviendo ecuaciones con radicales.
El documento describe la interpolación aritmética y las progresiones aritméticas. Explica que una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. Luego, detalla cómo encontrar los términos medios entre dos números dados usando el método de interpolación aritmética para formar una progresión aritmética completa.
Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se resuelven aplicando propiedades de la potenciación y descomponiendo factores para obtener una ecuación más sencilla. Un sistema de ecuaciones exponenciales contiene al menos una ecuación exponencial, y para hallar la solución debe tener el mismo número de ecuaciones que incógnitas. Dichos sistemas se resuelven usando propiedades de la potenciación y métodos para ecuaciones lineales.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo factorización simple, completando el cuadrado, la fórmula cuadrática y características de parábolas como orientación, puntos de corte, eje de simetría y vértice. También cubre el movimiento parabólico y sus ecuaciones.
El documento presenta los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. Explica que un sistema de ecuaciones está formado por dos ecuaciones de primer grado con las mismas dos incógnitas. Presenta métodos para resolver sistemas de ecuaciones tanto gráficamente como algebraicamente, y analiza las posibles soluciones de un sistema. Por último, muestra ejemplos de aplicaciones de sistemas de ecuaciones a problemas de la vida real.
1. El documento describe las desigualdades y las inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo sus formas generales, teoremas fundamentales y métodos de resolución. 2. Se proporcionan ejemplos de resolución de inecuaciones lineales y cuadráticas, haciendo uso de intervalos, puntos críticos y variación de signos. 3. También se explica el valor absoluto, sus propiedades y cómo resolver ecuaciones y inecuaciones que lo involucren.
Este documento define las ecuaciones de segundo grado y explica que son aquellas donde el mayor exponente de la variable es 2. Describe los tres tipos de ecuaciones de segundo grado (puras, completas y mixtas) y los métodos para resolverlas (factorización, raíz cuadrada, completando cuadrados y fórmula general). Además, presenta ejemplos para clasificar ecuaciones y resolver problemas relacionados con ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta 85 ejercicios de ecuaciones y sistemas de primer y segundo grado. Incluye ejercicios de resolución de ecuaciones de primer grado, ecuaciones de primer grado con denominadores, sistemas de ecuaciones de dos variables y ecuaciones de segundo grado. Los ejercicios están organizados en apartados y se pide resolverlos y comprobar las soluciones dadas.
El documento resuelve varias ecuaciones y sistemas de ecuaciones con radicales. Primero, resuelve ecuaciones individuales con radicales y encuentra sus soluciones. Luego, resuelve ecuaciones cuadráticas y sistemas de dos ecuaciones, identificando en cada caso las posibles soluciones. Finalmente, presenta seis sistemas de ecuaciones y sus correspondientes soluciones.
Este documento presenta las respuestas correctas a 15 preguntas de un examen de álgebra, trigonometría y geometría analítica. Todas las respuestas incluyen ecuaciones, sistemas de ecuaciones, desigualdades e inecuaciones cuadráticas y su resolución. El documento demuestra las habilidades del estudiante para resolver diferentes tipos de problemas matemáticos.
El documento presenta 10 problemas de división de polinomios. Proporciona las divisiones polinómicas solicitadas en cada problema y calcula valores relevantes como coeficientes, restos y sumas requeridas. Explica los pasos realizados mediante el método de Ruffini para resolver las divisiones polinómicas de manera sistemática.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre números complejos, expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades. Introduce los números complejos como expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales y i2 = -1. Explica las operaciones básicas con números complejos como suma, resta, multiplicación y división. Luego, define expresiones algebraicas, términos, ecuaciones lineales y cómo resolver ecuaciones de primer grado. Finalmente, introduce inecuaciones de primer grado y cómo resolverlas.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre polinomios que incluyen divisiones, factorizaciones, uso del teorema del resto y la regla de Ruffini, hallar raíces e identificar factores comunes. Los ejercicios abarcan temas fundamentales sobre polinomios como operaciones básicas, divisibilidad, factorización y aplicación de diferentes métodos para trabajar con polinomios.
Este documento presenta la solución a 10 problemas de álgebra que involucran la factorización de polinomios. El problema final involucra encontrar la suma del mayor y menor número primo generado por un factor primo de un polinomio dado.
Este documento presenta 10 problemas de álgebra para un examen mensual. Los problemas incluyen ecuaciones, funciones, logaritmos y operaciones matemáticas básicas. El objetivo es calcular valores numéricos, obtener gráficos de funciones y resolver ecuaciones.
Este documento contiene la práctica de ecuaciones lineales realizada por los alumnos Aliaga Vargas, Chalan Sánchez y Rodríguez Machuca en el aula B-302 con la profesora María Chuquilin. Se resuelven 27 ecuaciones lineales y 5 problemas relacionados con ecuaciones.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Introduce las formas generales de ecuaciones lineales (ax-b=0) y cuadráticas (ax2+bx+c=0). Explica métodos para resolver ecuaciones como factorización, completación de cuadrados y fórmula cuadrática. También cubre propiedades de las raíces como su suma, producto y relación con los coeficientes de la ecuación.
Este documento presenta la solución a 10 problemas de álgebra que involucran la factorización de polinomios. El problema final involucra encontrar la suma del mayor y menor número primo generado por un factor primo de un polinomio dado.
Recuperación 1er trimestre de matemática uñoJuliana Isola
Este documento resume conceptos matemáticos como funciones cuadráticas, ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones mixtas, propiedades de las raíces, intervalos en la recta real, módulos y números complejos. Incluye ejemplos para ilustrar cada tema y fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas y encontrar ecuaciones a partir de tres puntos dados.
El documento contiene información sobre métodos para resolver inecuaciones polinomiales y exponenciales. Incluye ejemplos de resolución de inecuaciones de primer y segundo grado, así como inecuaciones con más de un factor. También presenta teoremas sobre la variación de signos de polinomios y funciones exponenciales.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre conceptos básicos de expresiones algebraicas. Incluye operaciones como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, así como evaluación y simplificación de expresiones. Los ejercicios están organizados en secciones como sumar y simplificar expresiones, efectuar operaciones indicadas, determinar cuocientes y restos de divisiones, y hallar expresiones para obtener diferencias o sumas específicas.
Este documento explica conceptos básicos de álgebra como monomios, binomios, trinomios, polinomios, sumas, restas, productos y cocientes de expresiones algebraicas. Define términos como coeficiente, variable, grado de un monomio o polinomio, y explica cómo realizar operaciones con expresiones algebraicas como sumar o multiplicar monomios y polinomios. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento presenta ejemplos resueltos de ecuaciones con radicales. Explica los pasos para resolver este tipo de ecuaciones, que incluyen racionalizar elevando ambos lados al cuadrado para eliminar los radicales, y luego resolver la ecuación resultante para encontrar las posibles soluciones. También advierte sobre las "raíces extrañas" que no son soluciones válidas de la ecuación original. Finalmente, proporciona 20 ejercicios adicionales para que el lector practique resolviendo ecuaciones con radicales.
El documento describe la interpolación aritmética y las progresiones aritméticas. Explica que una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. Luego, detalla cómo encontrar los términos medios entre dos números dados usando el método de interpolación aritmética para formar una progresión aritmética completa.
Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se resuelven aplicando propiedades de la potenciación y descomponiendo factores para obtener una ecuación más sencilla. Un sistema de ecuaciones exponenciales contiene al menos una ecuación exponencial, y para hallar la solución debe tener el mismo número de ecuaciones que incógnitas. Dichos sistemas se resuelven usando propiedades de la potenciación y métodos para ecuaciones lineales.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo factorización simple, completando el cuadrado, la fórmula cuadrática y características de parábolas como orientación, puntos de corte, eje de simetría y vértice. También cubre el movimiento parabólico y sus ecuaciones.
El documento presenta los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. Explica que un sistema de ecuaciones está formado por dos ecuaciones de primer grado con las mismas dos incógnitas. Presenta métodos para resolver sistemas de ecuaciones tanto gráficamente como algebraicamente, y analiza las posibles soluciones de un sistema. Por último, muestra ejemplos de aplicaciones de sistemas de ecuaciones a problemas de la vida real.
1. El documento describe las desigualdades y las inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo sus formas generales, teoremas fundamentales y métodos de resolución. 2. Se proporcionan ejemplos de resolución de inecuaciones lineales y cuadráticas, haciendo uso de intervalos, puntos críticos y variación de signos. 3. También se explica el valor absoluto, sus propiedades y cómo resolver ecuaciones y inecuaciones que lo involucren.
Este documento define las ecuaciones de segundo grado y explica que son aquellas donde el mayor exponente de la variable es 2. Describe los tres tipos de ecuaciones de segundo grado (puras, completas y mixtas) y los métodos para resolverlas (factorización, raíz cuadrada, completando cuadrados y fórmula general). Además, presenta ejemplos para clasificar ecuaciones y resolver problemas relacionados con ecuaciones de segundo grado.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el valor absoluto y las relaciones matemáticas. Incluye problemas de simplificación de expresiones con valor absoluto, determinación de verdad de proposiciones, resolución de ecuaciones y desigualdades con valor absoluto, y cálculo de dominios, conjuntos solución y cardinalidad de relaciones.
El documento presenta 85 ejercicios de ecuaciones y sistemas de primer y segundo grado. Incluye ejercicios de resolver ecuaciones de primer grado, ecuaciones de primer grado con denominadores, sistemas de ecuaciones de dos incógnitas resueltos por tres métodos y mediante reducción, escribir ecuaciones de segundo grado con soluciones dadas y resolver ecuaciones de segundo grado usando la fórmula general.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado, identidades y cómo resolver ecuaciones de primer grado despejando la incógnita. Define ecuaciones como igualdades que solo son ciertas para algunos valores mientras que las identidades son siempre ciertas. Explica cómo clasificar ecuaciones y resuelve ejemplos paso a paso despejando la incógnita.
Este documento presenta los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como normas vectoriales y matriciales, y métodos iterativos como Jacobi y Gauss-Seidel. Explica cómo implementar estos métodos numéricamente en software como MATLAB para aproximar la solución de sistemas.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado, que son igualdades que solo son ciertas para valores específicos de las incógnitas. Resuelve ecuaciones de primer grado despejando la incógnita y reemplazando valores para verificar la igualdad. También clasifica ecuaciones en polinómicas, fraccionarias e irracionales dependiendo de la forma de la incógnita.
Este documento presenta ejercicios y problemas de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo ecuaciones lineales, cuadráticas, racionales, irracionales y exponenciales. Se proporcionan las soluciones detalladas a cada ejercicio.
Este documento presenta información sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la factorización. Explica cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos y no perfectos, así como binomios utilizando un factor común. También muestra cómo resolver ecuaciones cuadráticas completas e incompletas mediante la factorización. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para practicar estas técnicas.
Este documento presenta información sobre el uso de ecuaciones cuadráticas y la factorización para modelar situaciones y resolver problemas. Explica cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos y no perfectos, así como ecuaciones completas e incompletas de segundo grado. Incluye ejemplos de cómo aplicar estas técnicas para resolver problemas que involucran áreas, lados de figuras y ecuaciones.
Este documento presenta 20 problemas de álgebra que involucran ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones y raíces. Los problemas cubren temas como reducir ecuaciones, encontrar valores de variables, determinar el número de soluciones de una ecuación y calcular sumas y diferencias de raíces. El documento parece ser parte de un examen o cuestionario de álgebra desarrollado por la Universidad Nacional Mayor de San Marcos en el año 2011.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones. Explica que los sistemas pueden ser determinados, indeterminados o incompatibles, dependiendo de si tienen una, infinitas o ninguna solución respectivamente. Proporciona ejemplos de cada tipo de sistema y sus propiedades. Luego, presenta ejercicios de aplicación para resolver diferentes sistemas y hallar valores relacionados.
Este documento explica cómo resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Para las inecuaciones de primer grado, muestra los pasos para resolverlas algebraicamente y representar gráficamente el conjunto de soluciones. Para las inecuaciones de segundo grado, explica cómo factorizar la expresión, determinar los valores que hacen cero cada factor y analizar el signo de la función en cada intervalo para obtener el conjunto de soluciones. Incluye varios ejemplos resueltos de ambos tipos de inecuaciones.
1. El documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y desigualdades, incluyendo ecuaciones cuadráticas, bicuadráticas, recíprocas, desigualdades cuadráticas e inecuaciones con raíces y valor absoluto. Incluye ejercicios para resolver cada tipo de ecuación y desigualdad, con soluciones propuestas.
2. Se divide en secciones para cada tipo de ecuación y desigualdad, explicando conceptos y dando ejemplos numéricos.
3. El documento es un resumen de diferentes
1) Una ecuación es una igualdad que involucra cantidades desconocidas llamadas incógnitas.
2) Existen ecuaciones algebraicas, trascendentes, lineales, cuadráticas, fraccionarias e irracionales.
3) Los métodos para resolver ecuaciones incluyen factorización, completar cuadrados y la fórmula cuadrática.
Este documento contiene 29 ejercicios de matemáticas para repasar conceptos antes de una evaluación. Los ejercicios cubren temas como expresiones decimales, números naturales, enteros y reales, intervalos, representación de números en la recta real, aproximaciones y redondeos, ordenación de radicales, racionalización de fracciones, cálculo con logaritmos, expresiones algebraicas, desarrollo y factorización de polinomios, resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, y resolución de problemas matemáticos
Este documento contiene 29 ejercicios de matemáticas para repasar conceptos antes de una evaluación. Los ejercicios cubren temas como expresiones decimales, números naturales, enteros y reales, intervalos, representación de números en la recta real, aproximaciones y redondeos, ordenación de radicales, racionalización de fracciones, cálculo con logaritmos, expresiones algebraicas, desarrollo y factorización de polinomios, resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, y resolución de problemas matemáticos
Este documento define ecuaciones exponenciales y presenta algunas propiedades y ejemplos de resolución. Incluye la definición de una ecuación exponencial como una igualdad algebraica donde al menos una variable aparece en uno de sus exponentes. También presenta propiedades como que si aα = aβ, entonces α = β, y provee ejemplos resueltos de ecuaciones exponenciales y una sección de ejercicios de aplicación.
Este documento presenta una introducción al cálculo diferencial. Explica cómo resolver inecuaciones lineales y de segundo grado, incluyendo ejemplos. También cubre inecuaciones racionales y ejercicios de aplicación.
Los puentes son estructuras esenciales en la infraestructura de transporte, permitiendo la conexión entre diferentes
puntos geográficos y facilitando el flujo de bienes y personas.
3. Álgebra 3
TEMA: VALOR ABSOLUTO
Definición:
El valor absoluto de un número real “a” se denota por |a| y se define:
0aSia
0aSia
a
Ejm: |2| = 2 : 5)5(|5|
Si
3
1xsi,x31
3
1xSi,1x3
01x3si),1x3(
01x3si,1x3
|1x3|
Interpretación geométrica:
- Geométricamente el valor absoluto de la diferencia de dos números a y b denotado |a
– b| es la distancia que hay ente ellos en la recta numérica:
|a – b|
| |
a b
Teorema:
- valor de a: |a| 0 Se cumple:
Si a = 0 entonces |a| = |0| = 0
|a| = |-a|
a |a|
-a |a|
Supóngase: que a 0 b 0 entonces:
2
baba
4. Álgebra 4
|a| |b| = |ab|
0b,
|b|
|a|
b
a
|an
| = |a|n
, n entero
Desigualdad Triangular:
Dada por: |a + b| |a| + |b|
Demostración:
i) a |a| y b |b| |a| + |b| a + b
ii) -a |a| y –b |b| -(a + b) |a| + |b| ó
|a| + |b| -(a + b)
De donde: |a + b| |a| + |b|
Ecuaciones con Valor Absoluto:
El siguiente teorema es utilizado en la solución de ecuaciones con valor absoluto:
Teorema:
Este teorema establece que el universo U (es decir el campo de valores admisibles) de la
ecuación |a| = b esta determinado por la condición b 0; la cual debe ser resuelta
previamente una vez hallado este universo U se pasa a resolver las dos ecuaciones a = b y
a = -b1 finalmente se comprueba si estas soluciones se hallan dentro del universo U.
Ejm: |x| = 4
Como: b = 4 0 entonces el universo U es todo R; dentro del cual se resuelve la ecuación:
|x| = 4 x = 4 ó x = -4
5. Álgebra 5
Así:
El C.S. = Un {4 , -4}
= R n {4 , -4}
= {4 , -4}
Teorema: Dados a, b R
Si |a| = |b| a = b ó a = -b
Ejm:
Resolver la ecuación:
|x2
– 4x| = |2x – 8|
a = b x2
– 4x = 2x – 8
x2
– 6x + 8 = 0
(x – 4) (x – 2) = 0
2x
4x
a = -b x2
– 4x = -(2x – 8)
x2
– 2x -8 = 0
(x – 4) (x + 2) = 0
2x
4x
C.S. = {4 , 2 , -2}
6. Álgebra 6
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Resolver: |x – 1| = -3x
Rpta.:
2. Resolver la ecuación:
|x + 1| + |x – 1| = 6.
Rpta.:
3. Resolver:
(x – 3)2 – 8 |x – 3| + 15 = 0
Rpta.:
4. Dados los conjuntos de números
reales:
S = {P R / 2P + 6 – P }
T = {q R / |aq + b| |a + b – aq|,
-2b a 0}
Entonces: S T es:
Rpta.:
5. Si:
A = {x R / |3x – 1| = 2x + 5}
B = {x R / |x + 2| + 6 = 3x}
Hallar la suma de los elementos de
A B:
Rpta.:
6. Resolver la siguiente ecuación:
|5x – 3| = 4x + 1
Rpta.:
7. Resolver el siguiente sistema de
ecuaciones: “x”
|x – 3| + |y – 4| = 7
|x – 3| - y = 1
Rpta.:
7. Álgebra 7
8. Resolver:
|x|2
- |x| - 42 = 0
Rpta.:
9. Resolver la ecuación siguiente:
|x2
+ x – 12| = 3 – x
Rpta.:
10. Las soluciones de la ecuación:
|x| + x3
= 0
Rpta.:
11. El conjunto solución de:
|2x – 5| = 4
Rpta.:
12. ¿Cuántos elementos tiene el
conjunto solución de la ecuación
|x2 – 2| = 2 – 3x?
Rpta.:
13. Indicar las soluciones (la cantidad)
de la ecuación.
x2
- |x| + 0,125 = 0
Rpta.:
14. Resolver:
||x2 – 1| - x | = x
Rpta.:
15. Resolver:
||x| - 1| = 2- x
Rpta.:
8. Álgebra 8
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Indicar la mayor solución al
resolver:
1
2xx
6xx
2
2
a) -2 b) 2
c) 0 d) 3
e) -3
2. Resolver:
3x25x
a) -2 b) 8/3
c) 3/8 d) -1/2
e) a y b
3. ¿Cuántos elementos tiene el C.S.
de:
|x^2 – 2| = 2 – 3x?
a) 4 b) 3
c) 3 d) 1
e) 0
4. Proporcionar el cardinal del
conjunto solución de la ecuación:
|x + 3| - |x – 1| = x + 1
a) 5 b) 4
c) 3 d) 1
e) 2
5. Calcular:
x
|20x3||20x5|
E
si: x -3 , -2
a) -2 b) 1
c) 3 d) 2
e) 5
6. Indicar la suma de las soluciones:
4
1x
1x3
a) 41 / 7 b) 38 / 7
c) 13 / 7 d) 19 / 5
e) 32 / 5
9. Álgebra 9
7. Si: x1 y x2 son las soluciones de:
||15 – 2x| - 4| = 8
Calcular |x1 – x2|
a) 8 b) 10
c) 11 d) 14
e) 12
8. Indicar el producto de las soluciones:
|x2
– 6| = |x|
a) 18 b) -18
c) 36 d) -24
e) -20
9. Indicar la suma de las soluciones de:
3 |x + 1| + |x – 8| = 19
a) 4/3 b) 9/4
c) 5/7 d) 1/2
e) 11/6
10. Resolver:
|x – 2| + |x – 3| = |2x - 5|
a) x - , 2 3 , +
b) x - , -1 3 , +
c) x R
d) x
e) x - , 4
11. ¿Cuántos valores de “x” verifican
la ecuación:
|x + 3| = |2x – 4| + 5?
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
e) Ninguna
12. Resolver:
||x| - 1| 2 – x
a) {3/2} b) {-3/2}
c) {1/2} d) {3/2 ; 1/2}
e) {3/2 ; 1/4}
13. Resolver:
||x + 4| +4| -2 = 0
Indicar la suma de todos los
valores que asume “x”
a) -8 b) -6
c) 3 d) 0
e) No existe tal suma
14. Indicar una raíz al resolver:
06|1x2|
2
7
2
1
x2
2
10. Álgebra 10
a) 1 b) -2
c) 3/2 d) -5/2
e) Más de una es correcta
15. Las soluciones de la ecuación.
|18 – 3x – x2
| = 3 – x son
a) -5 y 3 b) -7 y -5
c) -6 y 2 d) -5; -7 y 3
e) -5 ; -6 y 3
16. La suma de las valores de y es:
y – 2 |x| = -3
|y| + x = 3
a) -2 b) 6
c) 7 d) 10
e) 13
17. Las soluciones de la ecuación:
x2
. 3x + 3
.+3|x–5|+ 6
= x2
. 3|x–5|+ 8
+ 3x+1
a) x = {-1/3 , 1/3}
b) - x 5
c) 5 x
d) x = {-1/3 , 1/3} - x 5
e) x1 =-1/30 ; x2 =1/3 ; 5 x
18. Después de resolver la ecuación:
||x – 5 | + 3| = 2, se puede decir que:
a) x = 5 b) x = 8
c) x = 0 d) es una indet..
e) es imposible
19. Resolver: (x1 + x2)
|x + 9| = 16
a) -12 b) -16
c) -4 d) 9
e) 15
20. Resolver:
|x2
– 4| = 5
a) {3 , -3} b) {-3}
c) {1 , -1} d) {3}
e) R
11. Álgebra 11
TEMA: INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Sabemos:
0a,a
0a,a
|a|
La solución de inecuaciones con Valor absoluta se basa en los siguientes teoremas:
Sean x a R entonces:
o Si |x| a a 0 -a x a
o Si |x| a a 0 -a x a
o Si |x| a a 0 x -a
o Si |x| a a 0 x -a
Teorema:
Dados a,b R:
1. |a| |b| (a + b) (a - b) 0
2. |a| |b| (a + b) (a – b) 0
3. |a| |b| (a + b) (a – b) 0
Ejm:
Resolver: |2x – 3| 1
|2x – 3| 1 1 0 -1 2x – 3 2
1 0 1 x 2
1 x 2
C.S. -1 , 2
Si |x| a , donde a 0
De donde viene:
a) Si x 0 entonces |x| = x x a
b) Si x 0 entonces |x| = -x -x a ó -a x
|x| a se cumple que: -a x a
se cumple lo mismo para |x| a , donde a 0
13. Álgebra 13
10. Hallar el conjunto solución:
|x + 6| |x + 9| + |x – 2|
Rpta.:
11. Hallar el C.S. de:
||x – 3| + 3| -2
Rpta.:
12. Si:
|2x|
1
1x12
5
/RxA
Hallar: AC
Rpta.:
13. Hallar el menor de los números
M tales que.
5,2xsi,M
6x
9x
Rpta.:
14. Hallar el C.S.:
3x2 x
Rpta.:
15. Hallar el número de elementos
del siguiente conjunto:
{x Z / |2x – 3| |x + 6|}
Rpta.:
14. Álgebra 14
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Si:
6;
5
1
x
2
; determinar el
menor valor entero de M para
que se cumpla:
M
6x
3x
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5
e) 1
2. Resolver:
|x3
– 1| x2
+ x + 1 es:
a) 1 x 2
b) 0 x 1
c) 0 x 2
d) -1 x 0
e) 0 x 2
3. La solución d la inecuación:
a) 2 – 4 2 x -2
b) 2 – 4 2 x -2
c) 2 – 4 2 x 2
d) 2 – 4 2 x -2 ; -2 x 2
e) - x 2
4. Hallar los valores de “x”
X2
+ 4 |x + 2| 20, es:
a) - x 4
b) 4 x
c) -3 x 4
d) Ninguna valor
e) Todo valor de x
5. La solución de la inecuación:
|x + 2 – x2
| |x2
– 3x + 4| es:
a) 1 x 3
b) - x 1
c) - x 1 ; 1 x 3
d) - x 3
e) 3 x
6. La solución de:
|x3
– 7x + 6| 19x – x3
– 18 es:
a) x - , -3 -3 , 1
b) x -3 , 1 3 ,
c) x - , 1 3 x
d) - x 1 ; 1 x
e) x - , 0 3 ,
15. Álgebra 15
7. El intervalo que satisface al
siguiente sistema de
inecuación:
|x2
– 4| 5 … (1)
|x2
– 5x + 6| … (2)
a) 1 x 3
b) 1 x 3
c) 1 x 3
d) -3 x 3
e) -3 x 4
8. Resolver:
|2x2
+ x – 5| x2
+ 2x – 3
a) x - , 1
b) x 1 , 2
c) x - ; -3 + 10
d) x - ,
6
1053
e) x -,
6
1053
2,
9. Resolver:
|x – 4| - |x – 2| |x – 1|
Indique la suma de los valores
naturales menores que 15
a) 102 b) 103
c) 104 d) 105
e) N.A.
10. La desigualdad:
-x2
+ 3 |x| + 28 0
Es equivalente a:
a) x 7
b) -3 x 3
c) x 3 x -3
d) x -7 x 7
e) x -3 x 7
11. Para cuantos valores enteros se
verifica:
|5x – 10| + |14 – 7x| |2x – x<2
|
a) 23 b) 24
c) 22 d) 21
e) 20
16. Álgebra 16
12. Indique el valor que no verifica
la inecuación:
x
1
|x|1
x
a) 532
b) 216
c)
2
17
d) 2062
e)
2
288
13. Resolver:
1
4x
|1x|
a) - , -4 -5/2 , +
b) - , -4 1 , 2
c) -4 ,
d) -5/2 , +
e) N.A.
14. 2
|1x|
|x|
a) 1 ,
b) - , 0
c) - , 1
d) - , 2/3
e) - ,
3
2
2 ,
15. Resolver:
0
5x
|2|1x|||1x|
2
2
a) 2 , 3
b)
c) R
d) 0 , 2
e) -1 , 3
17. Álgebra 17
TEMA: LOGARITMOS: FUNCIÓN EXPONENCIAL
Logaritmos:
Definición: Se llama logaritmo de un número en una base dada, positiva y distinta de la unidad, el
exponente a que debe elevarse la base para obtener una potencia igual al número dado.
Así, el logaritmo del número “N” en base “b” (b > 0 y b 1) es el exponente “x” a que debe
elevarse la base “b” (bx
) para obtener “N”.
Notación:
Número
Log N
b
=x
Base
Se lee “Logaritmo del número N en base b es igual a “x”
Por definición: Si NbxNogl x
b
Esta relación puede ser en función exponencial o función logarítmica:
1. .aLogaritmicFuncionyxlogxNlog
bb
2. ontencialexpFuncionybNb xx
Ejemplos:
5x
by5xybSi
ylog5xyxlogSi
bb
FUNCIÓN EXPONENCIAL:
Antes de tocar este tema es conveniente recordar la teoría de exponentes, restringir
números reales positivos y los exponentes a números racionales.
1)
yxyx
aaa
7)
xyyx
a)a(
2)
yx
y
x
a
a
a
8) nnn baab
3)
xxx
b.a)ab( 9) 0b,
b
a
b
a
n
n
n
18. Álgebra 18
4) 0b,
b
a
b
a
x
xx
10) n/mn m
aa
5) 0a1a0
11) mnm n aa
6) 0a,
a
1
a
x
x
12)
mn nm n baba
Definición: La función exponencial de base a, se define de la siguiente manera:
RD;1Ra,a)x(f f
x
Observación:
¿Por qué se excluye a, a = 1?
También debemos excluir las bases negativas, ya que de lo contrario tendríamos que
excluir muchos valores de x del dominio, como x = 1/2; x = 3/8, etc. Recuerda que (-2)1/2
, (-
1) 3/8
, etc., no están definidas en el sistema de números reales.
Gráfica de Funciones Exponenciales.
a) Cuando la base a < 0,1>:
En el gráfico se observa:
2x1x
aa
)x(f)x(f)xx(f 2121
,0RRD ff
b) Cuando la base a < 1, >:
En el gráfico se observa:
2x1x
aa
)x(f)x(f)xx(f 2121
,0RRD ff
)x( 1
f
)x( 2
f
1x 2x
x
)x( af
(0 , 1)
y
x
x
)x( af
1x 2x
)x( 2
f
)x( 1
f
(0 , 1)
y
x
19. Álgebra 19
c) Si a > 1:
Se observa:
xx
aa;0,x
xx
aa;,0x
En x = 0 ; ax
= a-x
= 1
Grafica de la función exponencial natural, f(x) = ex:
Sus propiedades son las mismas que las
de la función f(x) = ax
Problemitas:
Graficar:
x
x
3
1
)x(f)4()x(f
Caso I: f(x)=4x
a>1
Localizamos los puntos:
Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.
x
)x( 4f
64
16
4
1
-3 -2 -1 1 2 3
y
x
643
162
41
10
4/11
16/12
64/13
)x(fx
1)x(f
0x:Para
1)x(f0
0x:Para
x
3
x
2
x
)x( ef
x = 0
x
y
x
a x
a
(X = 0)
y
x
20. Álgebra 20
x
)x( 3
1f
-3-2-1 1 2 3
1
27
9
3
y
x
Caso II:
Localizamos puntos:
27/13
9/12
3/1
1
10
31
92
273
)x(fx
1)x(f0
0x:Para
1)x(f
0x:Para
Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.
Hallar el valor de x que satisface al siguiente sistema:
)2(...........yx
)1(...........yx
ba
xy
Sin utilizar logaritmos:
Como:
)dividiendo(
yx
yx
ba
xy
Quedaría: x y –a
= y x –b
)I...(..........
b
ax
y
y
x
a
b
axyb
axyxybxy
bx
x
ay
y
Sacando x:
)2(endoreemplazan;)I...(..........
b
ax
y
b
a
b
ax
x
21. Álgebra 21
ba
bb
ba
b
b
a
b
a
x
b
a
x
)exponentesrestarpasando(x
b
a
x
Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I) Si 0< a < b< 1 entonces ax
< bx
, x > 0
II) Si 1 < a < b entonces ax
< bx
, x < 0
III) Si 0 < a < 1 entonces Rx,
a
1
a
x
x
Sol:
1) Mediante la exponencial decreciente:
Como: 0 < a < b < 1
0x
< ax
< bx
<1x
, sólo si x es positivo, como veremos en la siguiente gráfica:
Falsa
espropociónLa
;0xba xx
2) Mediante la exponencial creciente:
Como: 1 < a < b
1 < ax
< bx
todo x positivo, como veremos en la siguiente grafica:
;0xba xx
Como habíamos visto anteriormente:
xx
ba1
Cuando x < 0, caso contrario. ax > bx
La proposición es verdadera
x
a
x
a
x
b
x
b
y
x
x
a
x
a
x
b
x
b x
)x( mf
x
y
22. Álgebra 22
3) Graficando :1a0,
a
1;a
xx
FalsaesnproposicióLa
0x
Rx;
a
1
a
x
x
Como resolver una ecuación exponencial con logaritmos:
Ejemplo:
Hallar unos de los valores de “x” que satisfagan el sistema:
)2(.......1264
)1(.......406464
yx
y2x2
En (1):
complicadomuy)I.........(Log)6464(Log
logaritmo)(sacando406464
40y2x2
y2x2
En (2):
64x+y
= 12 (sacando logaritmo)
log 64(x+y)
= log 12
(x + y) log 64 = log 12
(x + y) =
64log
12log … ()
Saber:
Log12 = 2 Log2 + Log3 ; Log6 = Log2 + Log3
Log64= 6 Log 2
Sabemos:
)II(..........86464
)12(240)6464(?
)64(2
)64)(64(2)6464(642642
yx
2yx
12
)yx(
yx
?
2yx
40
yx
x
a
x
)
a
1(
x
y
23. Álgebra 23
Igualmente:
)III.......(4y64x64
2440)6464(
)64(26464)6464(
2yx
12
)yx(
40
y2x22yx
2Log6
3Log2Log
x
LogLog2log6x
6Log64Logx
)aritmoslogsacando(664
12)64(2
)sumando(
)III........(46464
)II.........(86464:)III(y)I(En
32
x
x
yx
yx
Otro caso:
Una de las raíces de la ecuación: 683 2x
x
x
Sacando Logaritmos:
3log2log6log2log38log:Pero;6Log8Log
2x
x
3xLog
6Log8Log3Log
6Log8)3(Log
2x
x
x
2x
x
x
3Log2Log2Log
2x
x3
3xLog
25. Álgebra 25
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01)Resolver: ax
= b
Rpta:
02)Resolver:
xb
a = c
Rpta:
03)Resolver:
25xlog)15x52x(xlog
35
Rpta:
04)Resolver el siguiente sistema:
)II....(..........0)ylog3(3x
)I(..............y3
3
2
x
Rpta:
05) Resolver la siguiente ecuación:
3x+2
= 135.
Sabiendo que: log2 = 0.30103
log3 = 0.47712
Rpta:
06)Resolver la desigualdad:
2x 52x
– 5x+1
+ 2 < 0
Rpta:
07)Si se cumple que:
x35xx5x3
baba
la
equivalencia de: x log
b
a
es:
Rpta:
08)El valor de la expresión:
3
10625.0log
3
1
10E
Rpta:
09)El valor de la expresión:
27log
147log57log2
5
52
E
Rpta:
10)El valor de la expresión:
)1x(log.......5log4log3log x654x
es:
Rpta:
11)Sabiendo que el logaritmo de ,
5
93 en base15
27 , es igual a:
4 5 3
x291447 , el valor
de:
18xlog
3
es:
Rpta:
26. Álgebra 26
12)Si x =
a3log
2 el valor de:
3alogxalog
x73E es:
Rpta:
13)El valor de “x” que satisface la
siguiente ecuación:
125x35x2 5logxlog aa es:
Rpta:
14)Las raíces de la ecuación:
1xxlog2)25x102x(xlog
117
son:
Rpta:
15)Al resolver la ecuación: 5(4x
) +
4(10x
) = 25x
, el valor obtenido para
“x” es:
Rpta:
16)Al resolver la ecuación:
0274 x
12log9
3log
27
8
Rpta:
17) El número de soluciones reales
que presenta la ecuación:
6)5x(x
252)5x(
log
2)x2(2log2x2
2log
es:
Rpta:
18) Al resolver la ecuación:
64x
2
x )7x(log
, se puede afirmar
que:
Rpta:
19) El mayor valor de “x” que satisface
la siguiente ecuación:
64
x
x 4xlogxlog 2
2
2
2
Rpta:
20)El producto de las raíces de la
ecuación: , es:
,x2781 3xlog
es:
Rpta:
27. Álgebra 27
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) La ecuación : xx
xx , tiene por
solución a:
a) 1 b) 2 c) 4
d) 1 y 2 e) 1 y 4
02) El valor de “x” que satisface al sistema:
)2(.......bx
)1.......(ba
yy
yx
a) 1blog
blog
a a
a
blog
b) 1alog
alog
b b
b
alog
c) 1blog
blog
a a
a
blog
d) 1alog
alog
b b
b
blog
e) blog
1blog
a a
a
blog
03) Uno de los valores de “x” que
satisfacen al sistema:
)2(........2x
)1(.........1xlogy
105.0log2y
a) -1 b) 2 c) 10
d) 100 e) 1000
04) El valor de “y” que satisface al siguiente
sistema:
II........0)ylog3(3x
I.........y2
2
2
x
a) 2 b) 3 c) 8
d) 64 e) 256
05) La suma; ( x + y) se obtiene al resolver
el sistema:
),2(.........2xyLog
)1(.........172823
3
yx
es:
a) 3 b) 4 c) 6
d) 9 e) 10
06) Después de resolver el sistema de
ecuaciones:
)2(........ab
)1(........byax
ylogxlog
blogalog
Se observa que el valor de “x” es:
a) a b) 1/a c) b
d) 1/b e) a2
07) El mayor valor de “y” que satisface el
sistema:
)2(........2y2y
)1(........ylog1x
1x2x2
4
2
a) 1 b) 2 c) 4
d) 22 e) 24
08) Al resolver el sistema:
)2(.........8yx
)1(.........ylog5
11log
11log
2
x
xy
x
el valor (x + y) que se obtiene es:
28. Álgebra 28
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
09) Si: 4x
- 4x – 1
= 24, el valor de (2x)x
es:
a) 5 b) 55 c) 25
d) 125 e) 525
10) Los valores que satisfacen a la
ecuación: 8042 x1x
, son:
a) 2log
1y3 b) sólo 3
c) 2log
1sólo d) 2log
1y3
e) sólo -3
11) Hallar x, si: 10x
+ 10 –x
= 3
a)
2/53log
b) 10
c) )2/5log(
d) 10log2/)53(log
e)
2
)53log(
12) Si x es un número entero positivo que
verifica la relación:
8 5/)2x(4 4/)3x(
)64,0()8,0(
respecto a la desigualdad podemos
afirmar que:
a) Hay infinitas soluciones
b) El mayor valor de x es 11
c) Solamente la satisfacen los enteros
impares menores que 25.
d) La suma de todas sus soluciones
es 21.
e) El menor valor de x es 15
13) Los valores de “x” que satisfacen la
ecuación:
x
1x2
xx
tienen como
producto:
a) 0 b) 1 c) 4
d) 1 e) 12
14) Se tiene la función:
1a
1a
)x(f
x
x
; a > 1,
x [1,>. Hallar el rango de f.
a)
,
1a
1a
b)
1a
1a
,0
c)
1a
1a
,
1a
)1a(
d) ,0
e)
,
1a
1a
15) Hallar la suma de los cuadrados de
todos los elementos que cumplen con
7237723/y,xE 2
2y
2
x
2yx
a) 25 b) 18 c) 36
d) 32 e) 16
29. Álgebra 29
TEMA: FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Definición: Puesto que la función exponencial f(x) = ax,
tal que f: R
R+
es una función inyectiva.
Y su función inversa es: (Función Logaritmo)
Sea: a > 0, a 1, siendo “a” la base, denotada por:
0x,xlog)x(fY a
ay
= x
Don f = R+
= < 0, > Ran f = R = <-, >
Ahora veremos las siguientes gráficas:
Caso I: Si 0<a<1 0<b<1
Observamos:
0<b <a<1
x < 0,1> ; logax > logbx
x < 1,> ; logax < logbx
Si x = 1 logax = logbx = 0
Caso II: Si a >1 , b>1
Observamos:
1<a <1 a b son positivos.
x < 0,1> ; logax > logbx
x < 1,> ; logax < logbx
Caso III: a>1
Observamos:
x < 0,1> ; logax < log1/ax
x < 1,> ; logax < log1/ax
Existe simetría respecto al eje x.
y
x
xlogy a
xlogy b
(1, 0)
xlogy b
xlogy a
y
x
(1, 0)
xlogy
a
1
x
y xlogy a
30. Álgebra 30
Propiedades Generales de los logaritmos
Sea b: base de f(x) = logbx; b>0 b 1.
- Si b > 1 logb =+ logb0 = -
- Si 0 < b < 1 logb = - logb0 = +
bb1blog 1
b BlogAlogBAlog bbb
1b01log 0
b BlogAlog)B/A(log bbb
Nb Nlogb Alog
n
1
Alog b
n
b
aln
bln
blogNlnNlog ae
Nota: Sea : log251 = 2 – 39967
Donde: característica = 2
y la Mantisa = 0.39967 (parte decimal)
Ejemplos:
1) Encontrar el valor de “x” a partir de:
10
aa
2
a
2
xx alog)xloga(log)xloga(log
Considere: a > 0 a 1
Solución:
Sabemos: logbb = 1 logbbn
= n logbb = n (1) = n
Según el enunciado:
10)xlog2()2a(log ax
Además: 1alogblog ba
Llamaremos:
m
1
alogmxlog xa
Poniendo en (I): 10)m2(
m
1
2
Resolviendo:
2m2/1m
m10)m2()1m2(
35. Álgebra 35
Tomando logaritmo en base “a” ambos miembros de la igualdad:
Nb Nlogb (sabemos).
Se obtiene:
Nlogblog a
Nlog
a
b
Nlog
blog
1
blog
Nlog
Nlog
:totanloPorNlogblogNlog
a
aa
a
b
aab
El factor:
blog
1
a
se llama Módulo de paso de un sistema de logaritmos de base “a” a otro
de base “b”.
Ejemplo: Del ejercicio (6) del anterior:
a27log12 ; nos piden .basedecambiando16log6
m
a2
a3
ama23a
1m2
3
m2logSea
)2logtienenambos(?
2log1
2log4
6log
16log
16log
)I(.......a
12log2
3
12log
27log
27log
3
3
3
3
3
3
6
33
3
12
Reemplazando:
a3
a412
a3
)a3(4
a2
a3
1
a2
a3
4
16log6
(Esta forma será más simple que al utilizar el método anterior)
Indicar la relación de a y b. Si: 4
blog21
alog21
b
a
ab
36. Álgebra 36
4
blog1
blog
21
blog1
1
21
4
blog21
alog21
;
blog1
blog
2blog2
a
a
a
b
a
ab
a
a
b
a
Solución:
Cambiando de base:
Para:
)simplemás(
blog1
1
2alog2
blogalog
1
ablog
alog
2)alog2(
a
ab
aaa
a
ab
Para el otro caso:
blogalog
blog
2
b
a
log
blog
2blog2
aa
a
a
a
b
a
reemplazamos en el problema.
Sea: )fácilmás(xbloga
33
1
3
1
a3
1
3/13
a
2
2
babablogxSi
baba3blog3xSi
3/1x3x1x3x3
2
1x
1x
2
1x
1x
4
)1x(
1x
4
x1
1x
1x
1x
4
x1
x2
1
x1
2
1
Cumple dos relaciones entre a/b, según el problema.
37. Álgebra 37
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Calcular el logaritmo de
3
20032003 en base:
3
20032003 es:
Rpta:
02) Luego de resolver el sistema:
)2(......2LogyLogx
)1(.....425yx 22
Calcular: xlog y2
; considere x >y
Rpta:
03) Resolver:
)x(coslog1)senx(log)x2cos(log 222
Hallar: Tan (2x).
Rpta:
04) Calcular:
3 252log2
bllaM
Si 2)4ba(2log 24
)ba( 2
Rpta:
05) Resolver:
5,7xlogxlogxlogxlog 2
24162
Rpta:
06) Indicar el valor de:
56log
32log23log
94
es:
Rpta:
07) Resolver
2003)1xlog()1x2log(
2003log102003
Rpta:
08) Si consideramos a>1; el valor de “x”
que verifica el siguiente sistema:
)2(.......x)32(alog
)1(.......)32(alog
5
a
2
15
2
2
a
Rpta:
09) Reducir:
7log2log214log
7log2log
55
2
5
2
3
2
3
Rpta:
10) Mostrar el equivalente de:
n
nnn
nnn
Nln......3ln2ln
Nlog.......3log2log
Rpta:
11) El valor de “x” que verifica la
ecuación: Si:
Ennnlog
x
n
log4
n
sabiendo que:
3 nn
n
4
logE
38. Álgebra 38
1b0bbn
2log
2bloglog
2
12) Sabiendo que:
)2(........10ab
)1(.......2log3log ba
Calcular “b”
Rpta:
13) ¿Cuántas cifras tiene el resultado de
efectuar: ?25 8040
Rpta:
14) ¿Cuántas soluciones presenta el
sistema?
)2........(42
)1......(8)y/x(log)xy(log
ylogxlog
22
Rpta:
15) Calcular el área de la región que
describen en el plano Gausseano
los números complejos Z. que
verifican la desigualdad.
2
/z/2
1/z//z/
log
2
3
Rpta:
16) Hallar “x” de:
axlogxlogx2loglog aaaaaa
considere: a> 0 a 1
Rpta:
17) Hallar el valor de “n”:
2
20n2
log
n
1
1log...
3
1
1loglog
2
22
)
2
11(
2
Rpta:
18) Simplifique:
)yx(Ln)xz(Ln)yz(Ln
zyx
eee
)zyx()eee(
sabiendo que:
15ln5lny;3lnx
Rpta:
19) Resolver: 2)5x2(Log )3,0(
Rpta:
20) ¿Cuántos números enteros no
positivos verifican la inecuación:
Lne
14
xx224
log
2
16
2x25
Rpta:
39. Álgebra 39
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Calcular el valor de:
3
8
log
2
9
logN 273
a) 2/5 b) 3/4
c) 4/3 d) 5/3
e) 2/3
02) Evaluar:
clogclog
1calogbclog
R
ba
ba
para:
2c12b
12a
a) 1 b) -1
c) 1/2 d) -1/2
e) 2
03) Calcular:
495log97log83log
7
27log57log2
2log5
52
a) 512 b) 1024
c) 2048 d) 4096
e) 2
04) Reducir:
k
5
K25log...85log45log
5
2log
2log
E
a) 1k b) k c) 1k
d)
2
k
e)
2
1k
05) Si: 4
ylog21
ylog21
y
x
xy
halle:
)xy(log
y
x
log
y
xxy
a) 5/2 b) -5/2
c) -2/5 d) 2/5
e) Más de una es correcta.
06) Hallar “x”
2x2xxx
x )x()x(log
a) 5 b) 6
c) 3 d) 1
e) -1/2
07) Sabiendo que el logaritmo de
5
93 en base de
15
27 es:
4 5 3
x291447
Hallar x:
a) 729 b) 8
c) 27 d) 1
e) 64
08) Resolver:
01256log1)xlog 3
x2
a) x = 1/3 b) x = 1/8
c) x {1/3, 1/8} d) x = 1/9
e) 1/2
09) A partir del grafico de las curvas
logarítmicas:
40. Álgebra 40
)6xlog(x( 1
(a ; b)
(p ; q)
(t ; u)
(r ; s)
y
x
(x; log(x + 2))
Calcular; a + b + p + q + r + s + t + u
a) 4+ log20
b) 3 + log12
c) 6 + log24
d) 8 +l og30
e) 6 + log 24
10) Resolver el sistema:
2log3
yx
)yx(
log
13log1)yxlog( 22
a) {(9,7)} b) {(9,2)}
c) d) {(3,4)}
e) {(7,9)}
11) Resolver en Z:
10log
2
16
x25
)e(ln
14
xx224
log 2
a) 1 b) 2
c) 3 d) 8
e) 5/2
12) Resolver: 1
1x
3x
log 2
a) 223,1
b) 245,1
c) 22,1
d) 232,1
e) 223,1
13) Hallar el rango de la función:
6,4x
),x64xlog()x(f
a)
2log;
2
1
log b)
2log;
4
1
log
c) 2log;2log d)
2log;2log
8
1
e)
2;2log
5
1
14) Graficar:
1,0Rx
|1x|
)1x(
|x|
n
2e)x(f |x|x
4
1
2
a)
1 2
4
1
b)
4
2
1
c) 4
2
-1
d)
4
2
-1
e)
15) Señalar verdadero (V) o falso (F)
según corresponda:
41. Álgebra 41
I)
25
1
log5log
16
14
II) 3log7log 85
III) 1x00)1a(logsi},0{Ra 2
x
IV) 1x0xlogxlogSi 3/12/1
a) VFVV b) VFFF
c) VFVF d) FVFV
e) FVVF
16) Resolver:
10log
1
10log
1
10log
1
)4x()2x()12x(
a) 10 b) 16
c) 20 d) 22
e) 24
17) Sabiendo que los logaritmos: logyx;
logzy; logxz; logxz, en ese orden,
forman una progresión geométrica y
además cumple las siguientes
igualdades: 2x4
= y4
+ z4
; xyz = 125.
El valor de ( x + y + z), es igual a:
a) 5 b) 10
c) 15 d) 20
e) 25
18) El valor de “x” que satisface a la
siguiente igualdad.
balogbalog
3
1
)ba(log
2
1
xlog 82
22
42
a)
ba
baba 3
22
b)
4 2
33 22
)ba(
baba
c)
9
3 24 22
ba
)ba(ba
d)
3 2
94 22
)ba(
baba
e)
2
322
)ba(
baba
19) El valor de “x” que satisface al
siguiente sistema:
)3(........5ylogxlogzlog
)2(........5xlogzlogylog
)1(........5zlogylogxlog
64644
27273
882
a) 2 b) 3
c)
3
22
d)
9
38
e)
3
34
20) La solución de la ecuación:
0
4
x
log
6x7x2 2
es:
a) 1<x<2; 3<x<4
b) x4;
5
1
x1
c) x4;4x3;
2
3
x1
d) x5;4x3;2x1
e) x4;
2
7
x2;
2
3
x0
42. Álgebra 42
TEMA: PROPIEDADES GENERALES
COLOGARITMO: Se llama cologaritmo de un número de una base dada al logaritmo de
la inversa del número en la misma base. Es equivalente al logaritmo del número en la
misma base precedido del signo menos y también al logaritmo del número en una base
igual a la inversa de la base del cologaritmo.
Por definición:
)1(....
N
1
logNlogco bb
de (1) desarrollando el logaritmo de un cociente, se obtiene:
)2(.......Nlog0Nlogco
Nlog1logNlogco
bb
bbb
En (1), elevando a la base y al número al exponente -1, se obtiene:
)3..(..........NlogNlogCo
N
1
logNlogco
b
1b
1
1bb
de (1), (2) y (3) tenemos:
NlogNlog
N
1
logNlogco b
b
1bb
Ejem:
15log15log
15
1
log15logco 3
3
133
)5x3(log)5x3(log
5x3
1
log)5x3(logco x
x
1xx
ANTILOGARITMO
Definición: Se llama antilogaritmo en una base dada de logaritmo de un número en la
misma base al número el cual pertenece dicho logaritmo.
Sea el número 0: N = bx
43. Álgebra 43
Por definición de logaritmos, resulta: )1(......xNlogb
Por definición de antilogaritmos, se tiene:
NNlogloganti bb
La igualdad anterior nos indica que: cuando a un número se aplican dos funciones
contrarias (una directa y otra inversa) logaritmo y antilogaritmo de igual intensidad (la
misma base), sus efectos se neutralizan.
De otro lado, tomando antilogaritmo en base b ambos miembros de (1), se obtiene:
xlogantib
bNpero,xlogantiN
xlogantiNlogloganti
bx
x
b
bbb
o también : x
b bxloganti
De la última igualdad resulta que el antilogaritmo en una base dada aplicando al resultado de
haber tomado la función logaritmo es igual a la base del antilogaritmo elevado a este resultado.
Ejemplos:
1. 55logloganti 33
2. 3logloganti 24 , la base del antilogaritmo y del logaritmo deben será la mismas para
que sus efectos se neutralicen, elevando al cuadrado la base y el número de
logaritmo, se obtiene: 99logloganti3logloganti 44
2
224
3. 2552logloganti 2
25 5.
9
1
3)2(antilog 2
3
4.
8
1
33loganti
2
12/1
6.
8
1
2)3(loganti 3
3
Propiedades que Relacionan los logaritmos y antilogaritmos con el cologaritmo:
1) Rx,1a,0a;xxantiloglog aa
2) 0x,1a,0a;xxlogloganti aa
3) Rx,1a,0a;xxlogantilogco aa
4) 0x,1a,0a;
x
1xcologantilog aa
44. Álgebra 44
Problemas Resueltos:
1) Hallar el valor de x si: antilogx 4 2
antilog antilog23 = 81
Solución:
818logcontiloganti
x4loganti
28loganti
812logantiloganti:obtieneSe
bxloganti:iguladadlaAplicando
)igualmente(
4 2x
4
x
8
4
4 23
4 2x
x
b
)positivarealsoluciónlaes,dondede(3x
81x
)fórmulasegunigualmente(814loganti
81)2(loganti
4
x
84
x
2) Resolver: antilogx antilogxx = 16
Solución: Por definición de antilogaritmo resulta:
16x
16xloganti
xx
x
x
Dada la formula adecuada al segundo miembro, obtenemos:
22xx4xx
2x2x
De donde se observa: x = 2
3) Hallar el valor de:
11
2
1
)13(loglogantiloglogantilogcox 42395
Solución: Reduciendo los valores de la parte interna hacia fuera, resulta:
36log36log3log12log3log
2
1
12log
2
1
12log
11
2
1
12loglogantilogcox
11
2
1
12loglogantiloglogantilogcox
12log12log12log43log4log3log13log
9333333
395
22395
2444444
Por lo Tanto:
1136loglogantilogcox
36
995
45. Álgebra 45
ylogylogCo
:Sabemos35logco1136logcox
xx
55
2x25log2x
5log25logx
5
2
55
4) Resolver: log3(5x-1) + Colog(3x-5) = 2
Solución:
Aplicando la igualdad: )5x3(log)5x3(logco 33
2)5x3(log)1x5(log 3
3
3
Aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente, se tiene:
2
5x3
1x5
log3
Por definición de lo logaritmo, resulta:
2xx2244
)5x3(91x5
3
5x3
1x5 2
5) Resolver la siguiente ecuación: 03logcoX 2
x4log
)x4(log4log
Por la fórmula del cambio de base, se tiene:
xloglog
xlog
xloglog
4x
4
44
Luego: )logaritmoslosdelfundamenta(identidad4
)x4(logxlog
xlogXA
Nota: Otra forma de simplificar A es haciendo:
4
4 4xyxlog
b) Reemplazando en la ecuación:
03logxlog03logcoxlog 2424
9x
9log3logxlog 424
46. Álgebra 46
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Resolver:
x32logco2loganti 23
Rpta:
02) Si: 10
3x
Calcular
x
6
log
x2log
x
3
log
x 643logcoM
Rpta:
03) Simplifique:
blogalogblogcoclogalog)c(log
)clogb(logblogcoclogalog)alogco(
.
b>0 b 1; c>0 c 1
Rpta:
04) Evaluar:
)c(log)c(log
1)calogco)(bclogco(
R
ba
ba
Para:
2c;12b;12a
Rpta:
05) Resolver:
xlog2)4x3(log 5
x5log
x
Indicar: )x(logloganti 5x
Rpta:
06) Resolver el sistema:
3logantilog
yx
)yx(
log
13logco1)yxlog(co
2
22
Rpta:
07) Hallar el producto de las raíces de la
siguiente ecuación:
125)2x(logloganti 5x es:
Rpta:
08) Los valores de “x” que satisfacen a
la ecuación:
:son,x353logAnti 2
)x5(
Rpta:
09) Si cumple que:
x35xx5x3
baba
la
equivalencia de: alogcoblogx ,
es:
Rpta:
10) De las relaciones:
Antilogax =
x
y ……… (1)
logb
y
x = y ……….. (2)
Donde: a> b>1
Determine:
3 a
b
3 b
a ylogxlogK
Rpta:
47. Álgebra 47
11) Hallar la suma de valores de “y”,
luego resolver:
)2(.......ylogco42logAnti5
)1(......y2
4x
x
Rpta:
12) El valor de la expresión:
2logloganti
14logantilo)5log2(loganti
E
75
7572
es:
Rpta:
13) El valor de la expresión:
)1x(xlog....56log45log34logxloganti
es:
Rpta:
14) Si x = 2 log3a el valor de :
3logloganti7xloglogantiE axa3
es:
Rpta:
15) La raíz de la ecuación:
2)Aloganti(logAlog xA
A
x es:
Rpta:
16) El producto de las raíces de la
ecuación: x273loglogAnti x81 es:
Rpta:
17) El valor de “x” que satisface el
sistema:
antilogxy = yx
…… (1)
ax
= antilogby …… (2)
Rpta:
18) Después de simplificar:
57log
47log
4ylog
3ylog
x
2
5
3log
xlog
logAnti
resulta:
Rpta:
19) El valor de “x” que satisface la
siguiente igualdad:
2Ylogcoxlog 3y es
Rpta:
20) El producto de lar raíces de la
siguiente ecuación:
esn,Antiloglogmantiloglog x55x
Rpta:
48. Álgebra 48
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Calcular:
3 55 2loganti04,0logcoS
a) 2 b) 4
c) 3 d) 5
e) 1
02) Si:
3loglogiAnt4loglogiAntR 2893
Hallar: )24R(logco 5
a) 0 b) 2
c) -2 d) -1
e) 1
03) Calcular:
))05,0logco(loganti(logcologanti 24864
a) 8 b) 1/8
c) 16 d) 1/16
e) 4
04) Calcular: A. B es:
2loganti2loganti2logantiB
2logco2logco2logcoA
1684
1684
a) -12 b) -364
c) 322 d) 18
e) 24
05) Si:
b
alog (ab) = 2 calcular:
)))b()a((logloganti(logcoE 3
abb.a
a) -1/2 b) -1/324
c) -11 d) -1/112
e) -1/24
06) Sabiendo que: 1CalogCblog
Además: ab = c
Calcular:
3
353535
clogcoblogcoalogco
clogblogalog
B
a) 1 b) 0
c) -1 d) -2
e) 2
07) Sabiendo que:
1b;0b,
6
1
xloglogcologanti bbb
Calcular:
)bxlogantiblogco(blogM
a) 2 b) 4
c) 6 d) 8
e) 10
08) Hallar: 10
3J Siendo:
x
log
x3log
x
5
log
x
2.05.02
95log
625loglogantilog
)x(J
49. Álgebra 49
a) 1/2 b) 1/6
c) 1/3 d) 1/5
e) 2
09) El valor simplificado de:
3logantilog
logantiloglogantilogco
25.0
44
2
381
es: R.
Nos piden: Hallar los valores de x, si
la ecuación:
R69Rx2logAnti x
a) {3, 9} b) {3, -9}
c) {3, -6} d) {6, 9}
e) {3,6}
10) Sea:
.veces"n"
4 4 4 4
32 3.......loglogcoE es
y
.veces"n2"
3 3 3
23 2........logcologR
Hallar: )RE(loganti 16
a) 1 b) 4
c) 2 d) 16
e) 0
11) Las raíces de la ecuación:
:son)1xlog2(loganti
)25x10x(logloganti
x11
2
x7
a) 2 y 3 b) 4 y 6
c) 3 y 4 d) 6 y 8
e) 4 y 5
12) Después de simplificar:
6/taglog3logco 9
32/1log
1
2
resulta:
a) 2 b) 3
c) 8 d) 6
e) 8
13) Calcular: el lnxx-2
Sabiendo que:
x
e
)x(loglogco(loganti eee
a) e - 1 b) e - 2
c) e d) e + 1
e) e + 2
14) Sean A y B; números enteros.
108logco3log12loglogLogB
64loglogAntilogA
66663
100Ln
16e
Hallar: B2AR 3
a) 5 b) 4
c) 3 d) 2
e) 6
15) Al resolver:
027xlog )xloglogantilog( x el
valor que se obtiene para “x” es:
a) -3 b) 1, 000
c) 0,01 d) 0,1
e) 0,001
50. Álgebra 50
PROBLEMAS
01) El producto de las raíces de la siguiente
ecuación: xlogn5logm 5x
a) 0 b) 1 c) n
m
d) m
n e)
m n
5
02) Hallar la menor raíz:
2
3
2x
x3log
3
1
X9
a) 9-1
b) 3-1
c) 27/3 d) 3/3
e)
5
3
03) Dada la ecuación: 045112x
acerca de su conjunto solución,
podemos afirmar:
a) Es vacío b) Es unitario
c) Es binario d) Es ternario
e) Es cuaternario
04) Calcular:
49log9loglog
2log
2log5log2 5
7
8
7
77
3
5
52
a) 512 b) 1024 c) 2048
d) 4096 e) 32
05) Resolver:
01256log1)x(log 3
x2
a) x = 1/3 b) x = 1/8
c) x {1/3, 1/8} d) x = 1/9
e) 1/2
06) Tres números enteros positivos a, b y c
con a < b < c; están en progresión
geométrica. clogyblog;alog 222 ;
están en progresión aritmética, así:
)cba(6)c)(logb(log)a(log7 222
hallar el valor de “a”
a) 0,5 b) 16 c) 8
d) 2 e) 4
07) Si: zloganti,yloganti,xloganti 2793
están en progresión geométrica,
calcular: x – z. Si y – z = 2
a) 2 b) 4 c) 8
d) 3 e) 9
08) Resuelva el sistema:
xlogzlog
6xlogxlog
8zlogxlogxlog
24
42
442
a) x = 8, y = 16, z = 64
b) x = 2, y = 4, z = 4
c) x = -8, y = 16, z = -64
d) x = 2, y = 8, z = 4
e) N. A.
09) La solución de la ecuación:
1
)x3(log
)x4(log2
)x3(log
1
2
4/1
6
, es:
a) x = -2 b) x = 3
c) x = 2 d) x = 3
x = -2
e) x = 3
x =+2
10) La solución de la desigualdad:
6xlog
xlog
27log27log
3
3
6
3
9
x
3
x
es:
a) 1< x < 3 b) 0 < x < 3
c) 3< x < 9 d) 1<x<3; 9 < x <
e) 0 < x < 3; 9 < x <
51. Álgebra 51
TEMA: RELACIONES Y FUNCIONES
RELACIONES EN R:
Relación Binaria: Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B”, se denomina Relación R de
“A” en “B” a todo subconjunto del producto cartesiano de “A” por “B” ( R A x B), es decir:
R = {(a;b)/a A b B a R b}
Observaciones:
Si “R” es una relación de “A” en “B” entonces al conjunto “A” se le llama conjunto
de partida, y el conjunto “B” se le llama conjunto de llegada.
El Dom(R), está dado por el conjunto cuyos elementos son todas las primeras
componentes de los pares ordenados de la relación.
El Ran(R), está dado por las segundas componentes.
Clases de Relaciones:
1. Relación Reflexiva: Sea “R” una relación en “A”, diremos que “R” es una relación
reflexiva, si a A el par ordenado (a:a) R.
2. Relación Simétrica: Sea “R” una relación en “A”, diremos que “R” es una relación
simétrica, si (a;b) R implica (b;a) R.
3. Relación Transitiva: Sea “R” una relación en “A”, diremos que, “R” es una
Relación Transitiva, si tenemos: (a;b) R, (b;c) R implica (a:c) R.
4. Relación de Equivalencia: Sea “R” una relación en “A”, diremos que “R” es una
relación de equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez.
Funciones:
Dados los conjuntos no vacíos “A” y “B” y una relación F A x B se define: F es una
función de “A” en “B” si y sólo si para cada X A, existe a lo más un elemento y B
tal que el par (x ; y) F, es decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener
la misma primera componente.
Si: F es una función tal que (x;y) F (x;z) F y = z .
Dominio y Rango:
Abreviado por Dom(f) y Ran(f) respectivamente se define así:
Dominio:DenominadoPRE-IMAGEN,conjuntosdelosprimeros elementosdeun parordenado.
Rango: Llamado también IMAGEN, es el conjunto de los segundos elementos de la
correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B.
En conclusión: Dom(f) A Ran(f) B .
52. Álgebra 52
CLASES DE FUNCIONES:
F. Inyectiva o Univalente: Cuando cada elemento del Rango le corresponde un único
elemento del dominio.
F. Sobreyectiva: Cuando el rango o imagen de F coincide con el conjunto de llegada
B, es decir:
Ran(f) = F(A) = B .
Función Biyectiva: Cuando es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Función Par: F(-x) = F(x); x -x Dom(f)
Función Impar: F(-x) = -F(x); x - x Dom(f)
Función Periódica: T 0 (T = periodo). Tal que:
I. x Dom(f) (x + T) Domf.
II. F(x+T) = F(x) ; x Domf.
FUNCIONES MONOTONAS :
F. Creciente : X1 < X2 F(x1) < F(x2)
F. Decreciente : X1 < X2 F(x1) > F(x2)
FUNCIONES ESPECIALES:
F. Identidad : F(x) = x
F. Constante : F(x) = K; K R
F. Lineal : F(x) = y = mx + b
F. Valor Absoluto: F(x) = y = | x |
0x:x
0x:0
0x:x
F. Signo : F(x) = y = Sgn (x)
0x:1
0x:0
0x:1
F. Máximo Entero: F(x) = y = [ x ]
* y < x < y + 1: y Z.
ÁLGEBRA DE FUNCIONES
- Suma : Dom (f + G) = Dom(F) g Dom(g)
- Resta : Dom (f - G) = Dom(f) g Dom(G)
- Producto : Dom (f.G) = Dom(f) g Dom(g)
- División : Dom (f/G) = Dom(F) g Dom(g), G(x) 0
53. Álgebra 53
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01. Hallar verdadero (V) o falso (F)
según convenga:
- Toda función es una relación.
- Toda relación es una función.
- Toda recta es una función.
- Toda parábola es una función.
02. Sabiendo que:
F(2x) + 2F(x) + 1 = 2(1+Cosx)
(Senx+Cosx).
Donde F(x) es una función que
depende de x.
Evaluar:
F(2x)/F(x) para x = 30.
Rpta.:
03. Calcular “P” si:
P = F(2) + F(4) . F(-3) +(F-1).
Si:
F(x) =
2x;3x2
3x2;1x
3x;1x3
2
Rpta.:
04. Hallar el mínimo:
F(x) = 1xx2
Rpta.:
05. Es función:
F = [(8;2),(2;a),(a2
-1;b)(2;2a-3), (3:5)]
Hallar; “a + b”
06. Si: F(x+1) = F(x) + x; y F(2) = 5.
Calcular:
)0(F
)4(F
Rpta.:
07. Hallar el rango de:
F(x) = 2+(-1)[x]
Rpta.:
08. Dada la función:
F(x) =
1x
1
2
Entonces ¿se puede afirmar que
es creciente en 1, ?.
Rpta.:
09. Si: F(x) =
6x5x
4x
2
2
A = Dominio de F(x)
B = Rango de F(x).
Hallar “A - B”
Rpta.:
10. Encontrar elvalor mínimodelafunción:
F(x) =
;0x;
x1
x1 2
Rpta.:
54. Álgebra 54
11. Hallar el dominio de:
F(x) =
2
x1
1
Rpta.:
12. Cuántas proposiciones de las siguientes:
fx R; 0 < x – [x] < 1
F = {x;y) R2
/|y| = |x| -1} es una
función.
F(x) = x9 ; x 9;0 es
una función inyectiva.
F(x) = x 4x2
. Es una
función impar.
Son verdaderos:
Rpta.:
13. Para la función:
F(x) = 2,1x;
)1x(
1
1x
3x
2
Se puede afirmar:
I) Es inyectiva.
II) Es creciente
III) Posee inversa.
Rpta.:
14. Hallar el rango de:
F(x) =
|x|
x
x
|x|
Rpta.:
15. La función ´f, con dominio: Domf =
{0,1,2,3,5} está definida mediante:
f(a) = resto de dividir el polinomio [x3
+ (a+1)x2
+x] entre (x+a).
Calcular: f(1)+f(2)
Rpta.:
16. Hallar la suma de los elementos
del rango de la siguiente función:
F(x) = Sgn (x2
-1) + Sgn 1x
Rpta.:
17. Determinar si la función:
F(x) = |Senx| + |Cosx|. Es periódica; si
lo es hallar su periodo.
Rpta.:
18. Graficar aproximadamente: F(x) = -
(3x2
- |x|)
Rpta.:
19. La función polinomial: y = F(x) de
grado mínimo tiene una gráfica
aproximada.
x
y
-2
-1 3
-1
)x(fy
Si: (-4;b) F. Encuentre el valor
de “b”.
Rpta.:
20. Si la función F es periódica de
periodo “T”, la función definida por:
Y = F(ax+b): ab. Es también
periódica con periodo:
Rpta.:
55. Álgebra 55
PROBLEMAS PARA LA CASA
01. Si el rango de:
F(x) =
1x
x
2
2
, es b;a . Luego el
valor e “a+b” es:
a) 2 b) 1
c) 0 d) -1
e) -2
02. Calcular la suma de los elementos
en el rango de la siguiente función:
f(n) =
ceros1n
9n0...00,0
para: n = 1,2,3,4,5,6.
a) 0,023456 b) 10,034567
c) 0,223456 d) 0,223467
e) 0,234567
03. La ecuación:
(x2
/a2
) – (y2
/b2
) = 1
Donde a y b son constantes tales
que. a > 1; b > 1. ¿Es y una función
de x?
a) Si
b) Solo si x > a ó x < -a
c) Sólo si x > a
d) Sólo si x < a
e) No
04. Sea la función:
f(x) =
3,2x,3
2x,2
5,42,1x,1
1,0x,0
entonces “f” es:
a) No creciente en 2,0
b) No creciente en 5,2
c) No decreciente en 5,2
d) Constante en 3,1
e) No decreciente en 2/5;2/3
05. Si Dom f y Ran f representan el
dominio y el rango de la función
real:
f(x) = 6xx2
, determinar
Dom f g Ranf.
a) ,0 b) ;3
c) ;1 d) ;0
e) ;0
06. Si [x] designa el máximo entero de
x; además (x1, x2) es el conjunto
solución de: x2
– 2x
1
Calcular: [x1] + [x2]
a) 4 b) 3
c) 2 d) 1
e) 0
07. ¿Cuál de los siguientes gráficos
puede ser la gráfica de una función
polinomial:
P(x) = x3
+ ax + 0, a 0
x
y
x
y
a) b)
56. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Manuel Scorza” Quinto Año
Álgebra 56
x
y
x
y
y
c) d)
e)
08. Resolver [x] + [2x] + [3x] = 14;
donde la notación [ ] indica el
máximo entero.
a) 3;2 b)
3
7;2
c) 3;
3
8 d) 3;
2
5
e) 3
8;
2
5
09. Dado f: R R/f(x) = x3
– 29x + 1,
encontrar: f 32 .
a) 48 b) 52
c) 43 d) 50
e) 49
10. Sea la función real definida por g(x) = x2
– 2x – 1, si: x 5;2 . Hallar Rang.
a) 7;1 b) 14;2
c) 7;1 d) 14;7
e) 7;2
11. Si: f: R 49,0 , definida por f(x) = x2
.
Hallar “Dom f”
a) 7,0 b) 7,7
c) 7,7 d) 7,7
e) 7;0
12. En la función real:
h(x) = - 4x2
, determinar su
dominio y rango, proporcionando
luego Dom h – Ran h.
a) ;2 b) 2;
c) 2;2 d) 2;2
e) 0;2
13. ¿Cuáles de las siguientes funciones
son aplicaciones?
I) R R/y = x/(x-1)
II) g: 1;0 R/y = 1/ x1x
III)h: R 6;2 / y = 2x+3
IV) e: R R/y = .x3
a) f y h b) g y e
c) h y e d) f y e
e) f, h y e.
14. Determinar el área máxima de un
rectángulo que tiene un lado en
el eje “x” y los dos vértices del
lado opuesto sobre la parábola:
f(x) = 12 – x2
a) 45 b) 54
c) 32 d) 48
e) 36
15. Determinar el rango de la función f
definida por:
f(x) =
1x,1x)x(xf
1x,)x(fx2
a) , b) ,1
c) ;2 d) ;1
e) ;0
57. Álgebra 57
TEMA: LIMITES
Limite: significa valor más próximo.
Notación: )x(flim
ax
Limite de f(x) cuando; “x” tiende a “a”
OBS: tiende < > se acerca.
< > se aproxima.
Por la Izquierda Por la Derecha
a
)x(flim)x(flim
axax
Ejemplo:
2x
4x
lim
2
2x
4
2x
4x
lim
4limlim
1,4)x(flim1,2x
9.3)x(flim9,1x
2
2x
2x2x
1,2x
9,1x
Ejemplo: ?
x
1
lim
0x
x
1
lim
x
1
lim
?
x
1
lim
0x
0x
0x
61. Álgebra 61
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Calcular:
ax
abxb
lim
22
ax
a)
ab2
1
2
b)
ab
1
2
c) ab2 2
d)
ab2
1
2
e)
ab2
1
2
02) Calcular:
22
2
1x xaax1
x1
lim
a > 0
y a 1.
a)
1a
1
2
b) 2
a1
1
c) 2
a
1 d)
2
a1
e)
2
a1
03) Calcular:
33
77
ax ax
ax
lim
a)
4
a
4
7
b)
4
a
5
7
c)
4
a
7
3
d)
4
a
3
7
e)
3
a
7
3
04) Calcular:
1x
1x
lim
n
m
1x
a)
1n
nm
b)
1n
nm
c)
n
m
d)
nm
mn
e)
mn
nm
05) Calcular:
2x3x
1x33x5
lim
3
1x
a) 15 b) 3/15
c) 2 d) 2/15
e) 1/2
06) Calcular:
3 333 23
n
annannlim
a) 2
a3 b) a
3
2
c) a2 d) a3
e)
2
a3
07) Hallar a y b, constantes para que:
0bax
1x
1x
lim
2
x
dar
como respuesta: (ab + a+b)
a) 1 b) 2
c) -1 d) 3
e) 4
62. Álgebra 62
08) Calcular:
8y
4yy2
lim
33
x
a) 5/13 b) 13/8
c) 13/24 d) 5/48
e) 13/48
09) Calcular:
3x;
3x
21x
3x;
3x
6x5x2x
)x(f
si);x(flim
23
ax
a) 1/4 b) 1/3
c) 6 d) 5
e)
a) 2 b) -2
c) 1 d) -1
e) 0
10) Se tiene:
23 3
2
0x
bx
x1x1
x
limB
y
1x7
3x3
limA
a) 1 b) 2
c) -7/2 d) 7/2
e) 0
11) Hallar:
xx
xx
lim
22
1x
a) 1 b) 2
c) -7/2 d) 7/2
e)
12) Calcular:
xx
1x1x
x ba
ba
lim
a) b b) a
c) d) -
e) N.A
13) Calcular:
1x
x 1x
7x
lim
a) e4
b) e5
c) e6
d) e3
e) e2
14) Calcular el limite:
3x2
1xx2
)x(g
:si,)x(glim
2
x 2
3
a) 2 b) 1
c) -7/2 d) 7/2
e)
15) Calcular:
3x2x
10x3x
3x
2
2
2x
1x2
lim
a) e2
b) e4
c) e6
d) e8
e) N.A
63. Álgebra 63
TEMA: DERIVADAS
dx
)x(fd
)x(f
* Se define:
Sea: f (x) = y; como una regla de correspondencia.
f´(x) Se llama derivada de esta función.
Ejemplo:
Sea: f(x) = 3x2
+ 6x ; f(x)= 4x + 2
f(x) = 6x + 6. f(x) = 4
En General:
Sea: f(x) = axm
+ bxn
+ cxp
Hallando su derivada:
1P1n1m
xpcxnbxma)x(f
Se observa; que:
1mm
mxx
Baja
Se restan
Su derivada
El exponente se resta 1.
El otro baja como coeficiente multiplicando.
Casos: (de derivada)
X2
+ 4x 2x + 4 2 (2da
Derivada)
4 0
xn
nxn-1
x-3
-3 x-4
x-2
-2x-3
Forma trigonométrica:
Senx Cosx
Cos(x) -Sen (x)
Tan (x) Sec2
(x)
Cot (x) -Csc2
(x)
64. Álgebra 64
Sec (x) Tan xSecx
Csc (x) -Cotx Cosx
Sen (mx) mCos (mx)
Cos (mx) -mSen (mx)
Aplicaciones de la derivada: (de una función)
Sea una función con regla de correspondencia: Y = f(x), luego la ecuación f´(x) = 0.
Tiene por Raíces: x1,x2,x3, …., xn: los cuales forman los puntos (x1, f(x1); (x2, f(x2)); (x3,
f(x3)), … (xn, f(xn)).
Llamados extremos relativos:
Ahora si:
:0)x(f
:0)x(f
2
1
2
da
derivada
Máximo Relativo
Mínimo Relativo
Así mismo; la ecuación: f´ (x) = 0
Tiene por raíces: (1; 2; 3; 4;…..)
Los cuales forman los puntos de inflexión o de cambio de con cavidad.
Ejemplo: 1xxx)x(f 23
1x2x3)x(f 2
La ecuación:
1x
3/1x
0)1x)(1x3(
01x2x3 2
Los extremos relativos son: )0;1(;
27
32
;3
1
Luego: f´´ (x) = 6x – 2
f´´ (-1/3) = -4 (máximo Relativo)
f´´(1) = 4 (mínimo Relativo)
Se tiene: f´´ (1/3) <0
F´´(1) > 0
65. Álgebra 65
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Si: x91)x(F
Calcular: F’(7)
Rpta:
02) Si
2
xx
x
1
)x(F
Calcular: F (-3)
Rpta:
03) Si:
ax
a
ax)x(F
Calcular: F’(1)
Rpta:
04) Dado la función:
x11511
1
)x(F
Si: F’ (a) =
128
1
. Calcular “a”.
Rpta:
05) Calcular “n”
Si 4/5)n(F
Siendo: 9x)x(F 2
Rpta:
06) Calcular: a2
+b2
, si la función:
baxx2)x(F 23
presenta
un extremo relativo en (1; 2)
Rpta:
07) Calcular ab si la función:
baxx4)x(F 2
presenta un
electo mínimo relativo en el punto (-1, 4)
Rpta:
08) Calcular F(-1) en la función F(x), que
verifica:
10)1(F;3x4)x(F
Rpta:
09) Dada la función F(x) que verifica:
4)o(F
.10)1(F;4x6)x(F
Calcular: F(-1)
Rpta:
10) Si la suma de dos números es 18,
encontrara los números tales que la
suma de sus cuadrados sea mínimo.
Indicar como respuesta la diferencia
de dichos números.
Rpta:
66. Álgebra 66
11) Si la suma de la base y la altura de
un triángulo es igual a 38 m. ¿Qué
dimensión debe tener dicho triángulo
para que su área sea máxima?
Rpta:
12) Hallar el área máxima de un
rectángulo que tiene su base inferior
en el eje “x” y dos de sus vértices en
la curva: Y = 6 – 2x2
Rpta:
13) Un punto, móvil P describe la curva:
)0x(;
x
4
Y
Determinar la distancia mínima de P
al origen.
Rpta:
14) Encuentre el punto sobre la grafica
de: 1xy 2
mas cercano al
punto (3; 1)
Rpta:
15) Un punto esta en movimiento según
la ley:
3
T
T2)T(x
3
Donde “x” se mide en metros y “T”
en segundos. Hallar su velocidad
después de 6seg. Del comienzo del
movimiento.
Rpta:
16) Encontrar las dimensiones del
cilindro recto circular de volumen
máximo que puede inscribirse en un
cono circular recto de altura “H” y
radio “R”. Dar como respuesta su
altura.
Rpta:
17) Hallar el área del mayor rectángulo
con lados paralelos a los ejes de
coordenadas, que pueden inscribirse
en la región limitada por las
parábolas. 3y= 12 – x2
; 6y = x2
- 12
Rpta:
18) Encontrar las coordenadas del punto
o puntos de la curva; Y2
= 2x + 3;
que están mas cerca al origen.
Rpta:
19) Si la función: f(x) = x3
+ ax2
+ bx +c,
tiene un máximo relativo en x = -1 y
un mínimo relativo en x = 3. Calcular
“ab”
Rpta:
20) Un paralelogramo y un triángulo
tiene un vértice común y los otros
vértices del paralelogramo están
sobre los lados del triángulo dado.
Calcular el área máxima del
paralelogramo que se puede inscribir
de esta forma. Base del triángulo =
10; Altura del triángulo = 6.
Rpta:
67. Álgebra 67
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Dada la función: 3x)x(f 2
Calcular: )6(f)3(f
a) 3 b) 3
3 c) 2
6
d) 33 e) 32
02) Sea la función: 1bxax)x(f 2
;
si f(0) = 3 f(1) = 1
Además: )2/1(f2/1f
Calcular el valor de:
bc
ca
R
a) 0 b) 1/3 c) 4
d) ¼ e) 1/2
03) Se tiene la derivada de una función:
2x3)x(f 2
calcular: f(-1); si f(0)=1
a) 0 b) -1 c) 1
d) 2 e) -2
04) Si:
2x
2
)x(Gx5x)x(f
;
calcular:
)2(G
)1(f
a) -15 b) -2.5 c) 3
d) 25 e) -56
05) Dada la función:
x4
bax
)x(f
, si su
derivada es:
2/3
)x4(
x2
)x(f
calcular: “ab”
a) 128 b) -64 c) 64
d) -128 e) 32
06) Calcular; a + b, si la función:
1bxaxx)x(F 23
Presenta
punto de inflexión en el punto (-2, 11)
a) 8 b) 4 c) 5
d) 13 e) 9
07) Siendo:
ax
x
)x(f
¿para que el valor de
“a” se cumple: ?0a;)a(f 2
a
1
a) 1 b) 3 c) 2
d) 5 e) 4
08) ¿Cuál es el producto mínimo de dos
números cuya diferencia es 4?
a) 5 b) 12 c) 0
d) -3 e) -4
09) Sea las funciones:
Tanx)x(g
Senx)x(f
Donde: x pertenece en primer cuadrante.
Además se tiene que:
2))x(g))(x(f(
Hallar:
)x(g
1
)x(f)x(Q:si;)x(Q 2
a) 1 b) 2x c) x +1
d) 0 e) 2
68. Álgebra 68
10) Sisetieneelsiguientetriángulorectángulo:
5
4
3
Nos piden hallar:
αSenαCos
)αCos(αSen
F )α(
con respecto al
a) 5 b) 7 c) 4
d) 3 e) 6
11) Indicar el área máxima de un rectángulo
de lados (3 – 2x) y (x + 1).
a)
2
u4/25 b) 25/2 c) 25/8
d) 5/2 e) 35/4
12) Si el propietario de un teatro cobra S/. 10,
00 por cada boleta de admisión, la
asistencia promedio será de 100
personas. Si por S/. 1, 00 de incremento
en el precio del boleto, la asistencia
promedio desciende en dos personas ¿A
cuánto debe vender cada entrada para
obtener una ganancia máxima?
a) S/. 10 b) S/. 15 c) S/. 20
d) S/. 30 e) S/. 21
13) Una pieza larga y rectangular de lámina
de 30 cm. De ancho la convirtiese en un
canal para agua doblando hacia arriba
dos de sus lados hasta formar ángulos
rectos con la base. ¿Cuál debe ser el
ancho de las partes dobladas, si se desea
que tenga la mayor capacidad posible?
a) 5cm. b) 10 cm. c) 8,25 cm.
d) 6 cm. e) 7,5 cm.
14) Las graficas adjuntos corresponden a las
funciones:
3x3)x(G
2
1
x2x2)x(f 2
Determinar la máxima longitud vertical “d”.
Si:
d
a) 25/8 b) 15/2 c) 21/8
d) 17/4 e) 1
15) Un torpedero esta anclado a 9Km del
punto más próximo a la orilla. Se
necesita enviar un mensajero al
campamento situado en la orilla. La
distancia entre el campamento y el
punto mas próximo referido es de 15
Km.: teniendo en cuenta que el
mensajero recorre a pie 5 Km. /h
y en un bote remando 4 Km. /h. Indicar
en que pinto de la orilla debe
desembarcar para llegar al
campamento lo mas pronto posible.
a) A 3 Km. Del campamento
b) A 5 Km. Del campamento
c) A 2 Km. Del campamento
d) A 8 Km. Del campamento
e) A 4 Km. Del campamento
69. Álgebra 69
TEMA: INTEGRALES
Se define una integral como: C)x(gdx)x(f
Siendo:
.tetanConsC
)x(f)x(g
Ejemplo:
Cxx
3
x
Cx
2
x
2
3
x
Cdxxdx2dx)xdx)1x2x(
2
3
23
22
Debemos tener en cuenta:
dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
))x(g)x(f()x(Q:exponenteelDonde
C)x(Qdx))x(g)x(f(
)a(g)b(gdx)x(fb
a
tetancos
unaes
0imparesnSi
dxx2paresnSidxx 0
n
n
70. Álgebra 70
Recuerda:
Nunca Olvidarse de la
Consonante
Se tiene algunas integrantes:
Codx
CXdx1
C
2
x
xdx
2
)generalcaso(C
1n
x
dxx
1n
n
C
1n
x
dxx
1n
n
C)x(Lndxx 1
CKxKdx
CLn
4
x
Cdxxdxxdx)xx(
4
1313
Aplicado a funciones trigonométricas:
- CCosxSendx
- CSenxCosdx
- C)xln(cosTanxdx
- C)senx(LnCotxdx
- CrcSenxa
x1
dx
2
-
C)1x(Ln
1x
dx
71. Álgebra 71
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Se tiene la siguiente integral:
5x4x2dx)bax( 2
Hallar: a x b
Rpta:
02) Si: )x(gdx)1x( además
g(2) = 6 Hallar la constante de la
integración:
Rpta:
03) Hallar la suma de las integrales: Si:
3
0
2
0
2
dxxdx)2x(
Rpta:
04) Si:
10x7x4x6dx)pnxmx( 232
Hallar: m- (n + p)
Rpta:
05) Sea la función: 4x6)x(f Al
hallar su integral, sus coeficientes
suman 14. Hallar la constante.
Rpta:
06) Hallar: G(2)
5)x(Gdx)2x3xx( 5
Rpta:
07) Sabemos que: C)x(Ln
x
dx
entonces:
C)x(G
9x
dx3
Hallar: G(e – 9)
Rpta:
08) Hallar:
2
2
3
dxx
Rpta:
09) Si: bax)x(F y su integral de
dicha función es. 4x2
+ 3x +1.
Hallar: dx)abx( 2
Rpta:
10) Calcular: x
Rpta:
11) Resolver:
dx)x5x(dxx
1
0
3
2
2
Rpta:
73. Álgebra 73
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Sea la siguiente integral:
10x9x4dx)nmx( 2
Hallar: nm
a) 2 b) 1 c) 3
d) ½ e) 1/4
02) Hallar:
10
)3(G)2(G Si:
10)x(Gdx)5x3( 2
a) 5 b) 7 c) 6
d) 9 e) 2
03) Si la siguiente integral se encuentra en
10 y 15. Además: C =
2
0
1xdx2
Sea la integral:
)x(gdx)1x(2
Hallar el valor entero de “x”
a) 1/2 b) -2 c) 1
d) 2 e) 3
04) Si: )x(gdx)x3x5( 24
Además: G (2) = 48; nos pide Calcular
la constante de integración.
a) 8 b) 5 c) 9
d) 7 e) 6
05) Resolver: 3
π
6
π
1
0
xdxCosxdx
a) 2
31 b) 1 c) 2
d) 2
3 e) 2
3
06) Sea la siguiente función:
nmx)x(F y su integral de dicha
función es: 6x2
+ 4x + 7
dx5x
n
m 2
a) Cx5x3
b) Cx5x2 3
c) Cx6
3
x3
d) Cx5
3
x3
e) Cx5
4
x3
07) Sea las siguientes integrales:
2
2
1
C)x(Hdx)x4x3(
C)x(gdx)1x2(
Hallar: )3(g)2(H Además: C1 = C2
a) 3 b) 2 c) 4
d) 3/2 e) 3/4
08) Resolver: 7E
dx
3
2
x2
dx)2x5(
2
3
0
2
0
a) 4 y -4 b) 2 c) 4/3
d) 3 y -3 e) 2 y -2
09) Calcular: dxxdxx
3
a) 2/15/2
xx
2
5
b)
2/1
x
c) 5/2
x
3
2
d)
3/2
x
3
5
x
3
2 2/5
e) 2/32/5
x
3
2
x
5
2
74. Álgebra 74
10) Sea las siguientes integrales:
dx)8x12(B
dx)7x9(A
Hallar dx)AB(
Siendo las constantes de integración:
cero
a) Cx2x 23
b) C
2
x
2
x 23
c) C
2
x
x
2
3
d) C
2
x
2
x 23
e) Cx2x 23
Cx2x 23
11) Resolver:
2
dxxdx)senx(
4
4
32
π
4
π
a) 1/4 b) 2 c) ½
d) 1 e) 2/3
12) Hallar el valor de M.
2
0
1
1
23
3
5
xdx
dxxdxx
M
a) 1/2 b) 2 c) 1
d) 1/6 e) 1/3
13) Resolver: dx)dmx( , si se sabe
que:
1
1
2
dxxm y
8
8
53
dx)xx(d
a) C
3
x3
b) C
3
x2
c) C
2
x3
d) C
2
x2
e) Cx4
3
x2
14) Sabemos que: C)x(Ln
x
dx
y
Cx
3
2
x 3
2dx
Nos piden hallar: “M” si:
5
dxx
x
dx
M
1
0
e
1
a) 1/3 b) 2/3
c) 2 d) 3/2
e) 1
15) Resolver:
1
0 2
x1
dx
M y
2
0
xdxN
nos piden hallar: “M x N”
a) 2
b) 4
c) 2
d) e) 2/3
75. Álgebra 75
FÓRMULAS
Logaritmos:
NbxNlog x
b .
Función Exponencial:
RDonf:}1{Raa)x(f x
Si:
,0RanfRDomf
)x(f)x(f)xx(f
1,0aaa
2121
2x1x
Si:
,0RanfRDomf
)x(f)x(f)xx(f
,1aaa
2121
2x1x
Si:
1aa;0xEn
aa;,0x
aa;0,x1a
xx
xx
xx
Además: ...7.2e3e2
Hay que saber reglas de exponentes.
Función Logarítmica:
0x,xlog)x(fY a
76. Álgebra 76
Sea: a: base de 1b0b;xlog)x(f a
- Si 0loglog1b aa
- Si 0loglog1b aa
- 1blogb
- 01logb
- NNlogb b
-
Lna
Lnb
blogLnNNlog ae
- BlogAlogBAlog bbb
- BlogAlog)B/A(log bbb
- Alog
n
1
Alog b
n
b
Si: m.......bc,aNlog
mantisam...bc.0
ticacaracterísa
PROPIEDADES GENERALES
Cologaritmo y Antilogaritmo.
Cologaritmo:
NlogNlog
N
1
logNlogCo
b
1bb
N
1
logNlogco bb
Se;invierte
77. Álgebra 77
Antilogaritmo:
Sea: Nlogx b
NNlogloganti bb
x
b bxloganti
Propiedades:
1) xxlogantilog aa
2) xxlogloganti aa
3) xxloglogco aa
4) x/1xlogcologanti aa
Relaciones – Funciones:
Relación:
}aRbBbAa/)b;a{(R
Reflexiva: R)a;a(
Simétrica: R)a,b(R)b;a(
Transitiva: R)c;a(R)c;b(R)b;a(
Funciones:
F es función tal que (x; y) F (x, z) F y = z
Dom (f) A Ran(f) B
partida llegada
Álgebra de Funciones:
Suma: Dom gf DomDom)gf(
Resta: Dom gf DomDom)gf(
Producto: Dom gf DomDom)gf(
Division: Dom 0)x(G;Domdom)g/f( gf
Limites:
)x(flim
ax