1) El documento presenta conceptos sobre inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo propiedades, resolución y conjuntos de solución. 2) Se definen también inecuaciones con valor absoluto, radiciales, exponenciales e intervalos. 3) Finalmente, se proponen ejercicios resueltos sobre diferentes tipos de inecuaciones.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2014-III
Tablilla
Babilónica
ÁLGEBRA
Semana Nº 11
“INECUACIONES”
 Relación de Orden: Es la comparación de
INECUACIONES
números mediante el uso de los signos:
1.- NÚMEROS REALES
; " menorque"
Simples  estrictas 
; " mayorque"
Sea R el conjunto de números reales,
provisto de dos operaciones: la adición (+),
la multiplicación (.) y una relación de orden
; " menor  igualque"
Dobles  noestricta s 
; " mayor  igualque"
(< : menor que) constituye el SISTEMA DE
LOS NUMEROS REALES
a b ba 0
 Axiomas de la adición y multiplicación:
 CLAUSURA O CERRADURA
 a  b , es un número real.
 a.b ; es un número real.
 CONMUTATIVO
 a bba
 a.b  b.a
 ASOCIATIVO
 a  b  c   a  b  c
 Axiomas de Orden:
Ley de la tricotomía: a  R se cumple
una y solamente una de las siguientes
relaciones:
a0 ó a 0 ó a0
Ley Aditiva:
 a.b.c   a.b.c
Si : a  b  a  c  b  c; c  R
 ELEMENTO NEUTRO
 aoa
 a 1  a
 ELEMENTO OPUESTO O INVERSO
 a   a   o
Ley Multiplicativa:
Si : a  b  a.c  b.c; c  R
Ley Transitiva:
 a  a 1  1
 DISTRIBUTIVA
 a.b  c   a.b  a.c
Si : a  b  b  c  a  b
 a  b.c  a.c  b.c
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1
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2. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
INECUACIÓN DE 1º.
Se llama inecuación de 1º a toda inecuación
que admite alguna de las siguientes formas:
ax + b < 0; ax + b > 0 ;
ax + b  0; ax + b  0
Donde: x es la incógnita  a, b  R / a  0
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN:
Consideramos a la inecuación:
ax + b < 0;  ax < - b
DEFINICION DE INTERVALO.
i ) Intervalo abierto :
x
a
b
Si x  a ,b  a  x  b
En dicho intervalo no están incluido los
extremos
a y b.
ii) Intervalo cerrado:
a). Si: a > 0  x < -
x
a
x  <-, b). Si: a < 0  x > x<-
x
b
b
, es decir, su conjunto
a
b
,>
a
INECUACIONES DE 2º.
Es aquella que admite ser reducida a
cualquiera de las siguientes formas:
ax2 + bx < 0; ax2 + bx + c  0 ;
ax2 + bx < 0; ax2 + bx + c  0 ;
Donde: x = incógnita  {a, b, c}  R a  0
PROPIEDADES:
Si x  a ,b ] a  x  b
En dicho intervalo sólo se incluye el
extremo b
iv) Intervalo Semiabierto por la derecha :
x
b
Si x [ a ,b  a  x  b
En dicho intervalo sólo se incluye el
extremo a.
v) Intervalos Infinitos :
a)  a,  x  a
b) [ a,  x  a
c)   ,a  x  a
d)    ,a]  x  a
b
>
a
solución es:
iii) Intervalo Semiabierto por la izquierda
:
a
b
, es decir, su conjunto
a
solución es:
b
Si x [ a ,b ] a  x  b
En dicho intervalo si se incluyen los
extremos a y b
a
Álgebra.
 x  R, ax2 + bx + c > 0 
a > 0  b2 – 4ac > 0
El trinomio es siempre positivo para
cualquier valor de su incógnita.
*  x  R, ax2 + bx + c < 0 
a < 0  b2 – 4ac < 0
El trinomio es siempre negativo para
cualquier valor de su incógnita.
*
a
a
e)   ,    x R
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a
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.
Viene a ser desigualdades relativas, las cuales
frecuentemente se presentan en las siguientes
formas.
i). x < a  a > 0  -a < x < a
ii). x > a  x > a  x < -a
iii). x > y  (x+y) (x-y) > 0
iv). x < y  (x+y) (x-y) < 0
a
o
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INECUACIONES CON RADICALES.
Viene a ser desigualdades relativas en las que
se presentan radicales y dentro de ellos las
variables. Entre ellas se pueden reconocer a
las siguientes formas:
i). 2n x  y  x  0  y  0  x  y 2n
iii).
2n
3.
x  y
D.
4.
ax
5.
2.
6.
conjunto solución de la inecuación
C.
2;1]
 :  10
B.
1; 1
2;  1
E.
1; 0
7.
2;  
A
; B  es conjunto solución del
C
13x  5 3x  8 2 x  7
 2  5  3 1

sistema 
3x  1
x 1 x

1 


5
2
7

A  23
El valor de
es:
BC
B. 1/2
E. -1/2
C. 2
La solución del sistema
( x  1)( x  2)  ( x  4)( x  2)
( x  3)( x  1)  ( x  4)( x  3) Es:
5; 6
C. 3; 6
B. 5;  6
E. 3;  6
El conjunto solución de la inecuación
( x  3)2 ( x  2)( x  4)  0 Es:
A.  4; 2  U  3;   
B.  ;  4  U  2; 3 
C.
E.
C.  ;  4  U  2;    {3}
10;  
¡  {10}
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C.
Si 
D. 3; 6
1;  2

x2  20 x  100  0 es:
A. R
B. {10}
3;  2
A.
El conjunto solución de la inecuación
D.
E.
3
 ; 
8
 3
 
 8
En la inecuación
A. 1
D. -1
NIVEL I
E.
3
8
A.
ax < a y  x < y
> ay  x > y
2  5  3x  11 es:
A. 1; 2
B.  2; 2


C.
el
intervalo que no está incluido en el conjunto
solución es:
PROBLEMAS PROPUESTOS
1;1

 : 

x5  3x4  5x3  15x2  4 x  12  0
ii), Siendo: 0 < a < 1:
ax < a y  x > y
ax > a y  x < y
D.
B.
Es:
D.
Propiedades.
i). Siendo: a > 1:
El
3
9
x
0
4
64
A. R
Caso B: x  0  y < 0
iii). Para inecuaciones con radicales con
índices impares con cualquier signo de
relación no existe ninguna restricción.
INECUACIONES EXPONENCIALES.
Son aquellas desigualdades relativas, en las
que las incógnitas se presenta de exponente.
1.
El conjunto solución de la inecuación
x2 
Caso A: x  0  y  0  x > y2n
Álgebra.
D.  4;  2  U  3;   
E.  ;  2  U  2;    3
3
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4. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
8.
12. Hallar el menor “M”, x  R
El conjunto solución de la inecuación
(2 x  1)(3x  2)3 (2 x  5)  0 Es:
A.
 13  x  4 x  M
a) -8
9.
1
1
U 2 ;
2
2
E.
; 
2
2
U  ;
3
3
Si
M es
inecuación
Entonces el intervalo que no está incluido en
M es:
9

2
e) -6
cantidad de dinero para comprar un
cierto número de objetivos iguales
entre sí. Pensaba comprarlos al
precio de s/50 cada uno y le faltaban
más de s/ 48 y después pensó
comprarlos de s/ 40 y le sobraban
más de s/ 152; y por último los
compró al precio de s/ 30 cada uno y
le sobraron menos de s/ 372. ¿Cuál
fue
el
número
de
objetos
comprados?
a) 12 b) 21
c) 10 d) 15 e) 17
( x2  7)( x2  25)( x2  16)( x2  1)  0
D.  ; 
d) 8
14. Un comerciante disponía de una
el conjunto solución de la
A.  4;  3  B.  3; 4 
c) -9
sabiendo que su mitad, disminuida en
su tercera parte, es mayor que 7/6,
y que su cuarta parte, disminuida en
la quinta parte de dicho número, es
menor que 9/20.
a) 8
b) 6
c) 10 d) 5
e) 7
1 5
C.  ;
2 2
; 
b) 9
13. Hallar un número entero y positivo,
1
2 1
U ;2
2
3 2
D.
;
2
1 2
5
 ; U ;
2 3
2
B.  ; 
Álgebra.
C.  4;  7 
E.  7; 4 
10. Resolver:
( x 2  3)9 ( x  6)3 ( x 2  4 x  5)5 ( x  3) 4
( x  1)2 ( x  3)7 ( x  3)3
0
Indicar su intervalo solución:
a) x  <- ; -6] U <-3; 1> U <1, 3>
b) x  <- ; -3] U <1, 3>
c) x  <- ; -2] U <-1; 1> U <2, +>
d) x  
e) x  R
15. Hallar un número entero y positivo
que sumado con 11, resulte mayor que
el triple de él disminuido en 7; y que
sumado con 5 resulte menor que el
doble de él disminuido en 2.
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
11. Un número de plumas contenidas en
una caja es tal, que su duplo
disminuido en 86, es mayor que 200.
De la caja se sacan 17 plumas y
quedan menos que la diferencia
entre 200 y la mitad de las plumas
que había al inicio. ¿Cuántas eran
éstas?
a) 144 b) 132 c) 17 d) 180 e) 135
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5. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
NIVEL II
6. El
3º SUMATIVO 2010-II
1. Al resolver :
a.
6x  3
x3
 2 x  6 
, se
2
4
intervalo.
a)  1 / 2;1
entonces
e) 0;1
3º SUMATIVO 2011-II
3. Al resolver la inecuación: 8x2  2 x  15
a.
b.
c.
d.
e.
satisface
b) 1
c) -1
a) 2
inecuación?
d) 0
e) 3
9. Hallar el menor número natural que
4. El conjunto solución de la inecuación:
no
satisface
inecuación:
x  2  3 x  2  28  0, es :
2
d)  5;6
la
x 1 1
x3
  2x  1 
3
2
6
3º SUMATIVO 2012-I
b)  5;9
y
8. ¿Cuál es el mayor valor entero que
<-, -5/4>  <3/2, >
<-5/4,3/2 >
<-, -4/5>  <2/3, >
<-4/5,2/3 >
<-, -3/2>  <5/4, >
a)  4;9

A  m; m  1 / 3
 m 1 m  2
determine todos
B
;
2
 2
los posibles valores de m  Z tal que
A B.
a) 1
b) 2
c) 3 d) 4 y 5 e) 6 y 8
b)  1 / 2;3 / 2 c)  1;1 / 2
d)  1;0
 3;2  2,3
<-3, -2>  <2,3>
<-3, 3>
<2, 3>
7. Si
x pertenece al
x 1
de:
<-, -3>  <-2,2>  <3, >
c.
d.
e.
d) [7, >
e)  7;7
3º SUMATIVO 2010-III
Si x   1;1 / 2
conjunto
solución
x4
5 x 2  36
 4
, es ?
x 4  16
x  16
b.
obtiene como conjunto solución:
a) R
b) 
c) [-7, >
2.
Álgebra.
a
la
siguiente
x  2x 2  2 x  4  7  x 3
2
x
5
2
2
c)  3;6
e)  2;3
a) 12
3º SUMATIVO 2012-III
b) 7
c) 6
d) 10
e) 8
5. ¿Cuántos números enteros positivos 10. ¿Cuántos
satisfacen
5 x 13
la
números
impares
satisfacen a la siguiente inecuación?:
inecuación:
8 x 1
x 2  20  9 x  34
3 2  27 4 ?
a) 5
b) 7
c) 3
d) infinitos
e) no existen soluciones enteras.
5
7
a) 2
c) 0
d) 4
e) 3
11. Al resolver el sistema:
3x2 – 12x – 15  0
-x2 + 4x – 3  0
3º SUMATIVO 2012-III
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b) 1
5
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6. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
17. Determine el conjunto solución de:
el conjunto solución es : [a, b] 
[c, d]. Calcular el valor de: E = 2a +
b – 3c + d
a) –5
b) –3
c) 0
d) 1
e) 8
x 1  3x x  1
1


;a  
a
2
4a
2
a) <-,1/5] b) <-,1/2>
c) <-,1/3>
d) <-;2>
e) <-,-2/3>
12. Resolver la inecuación:
13.
Álgebra.
x(x - 8) + 8 > 4(1 - x)
a) R
b) <0, >
c) <-, 0>
d) R – {2}
e) R – {4}
Resolver la inecuación:
x2 – 3x  2x
18. Si M es el conjunto solución de la
inecuación: 2 x  5  x  3  3x  7 ,
entonces el conjunto solución M es:
a) <0,5>
b) <8,14> c)
<-,1>
d) <5,8>
e) <14,52>
a) <-, 0]  [5, > d) <-, 2]  [5, >
b) <-, 0>  [5, > e) <-, 0]  <2, >
c) <-, 0]  <5, >
19. En R definimos la operación a * b =
a b
, según esto hallar C.S. de:
2
14. Al resolver el sistema :
(x - 1) * 2  (4 * x) * 1/2  (1+ 2x) * 5
a) [11/5,2] b) [11/5,3] c) [11/4,2]
d) [-11/5,2]
e) N.A.
x2 + 8x + 15 < 0
x2 – 2x – 24 < 0
el conjunto solución es <a, b>.
Hallar el valor de “2b - a”.
a) –4
b) –2
c) 5
d) 7 e) 8
20. Resuelva la inecuación polinomial
x  32x  1x  15  0 , dar como
solución la suma de los valores
15. Después de resolver la inecuación:
enteros positivos.
x  1 x  1 3x  1
a) 1
b) 4
c) 10
d) 2
e) 3
2


 2,5
2
4
3
indicar la suma de los valores 21. Resuelva la inecuación polinomial:
enteros que admite x.
x  14 2x  1x  35  0 , dar
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2
e) 3
como respuesta el número de valores
enteros de su conjunto solución.
a) 1
b) 4
c) 10
d) 2
e) 3
16. Resolver:
a 2 ( x  1)
b 2 ( x  3)
 b2 
 2a 2
2
2
siendo: 0 < a < b.
a) <-,5]
b) <-,5>
c) [5, >
d) <5, >
e) <,-5>
22. Resuelva la inecuación polinomial:
x  13 x 2  1x  17  0
a)
d)
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 1;2
 1;1
0;2
e) 5;2
b)
c)
 1;1
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7. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
23. Resuelva la siguiente
29. Resuelva
inecuación
polinomial:
4
 ;2 / 3
c)
24. Dada
la
1; 
d)
e)
inecuación

30. Resuelva
polinomial
a)
d) 1
e) 16

a) -3
se
 x2
inecuación
3
 x
3
obtuvo
2
polinomial:
b) 3
 x
 2x  3
4

5
 5x  6  0
c) 2/5
x 1  x  3
x5  x
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d) 1
ecuación:
1
1
 7 x   6 , halle la suma
2
2
c) -1
d) 3/4 e) 3
Se verifica para un único valor
entero de “x”
a) -2
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
34. Resolver el sistema con x, y ,z
,
enteros:
determine su valor sabiendo que:
x   4;2
b) 5/2
e) 0
x 2  4x  3  0
 2
x  2x  4  6  x
x  a

CS  a, b  c .
28. Dada la expresión: M 
d) 1
sistema:
Determine el valor de “a+b-c”.
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 3
a) 3/5
e) 3
33. Hallar el valor de “a” para el cual el
inecuación
2
c) -1
la
de soluciones:
a) -2
b) -3/4
4
como
inecuación:
2
indique la longitud de su conjunto
solución:
a) 52/103 b) 1/2 c) 2 d) 52/105 e) 16
2
e) 3
2
32. Dada
2x 1 3x  2 4x  3 ...10x  910  0
x
la
valores
x  2x  1  x  2x  1  0
b) -1
c) 0
d) 1
2x
la
R
como
la ecuación x 2  3x  2  4  0
a) [-3,-1]  [3,> b) <,3>  <4,  >
c) <-,3> d) R e) [1,3]  <5,>
27. Dada
en
2
25. Resolver: x3 + x2  9x + 9
la
Dé
31. Halle la suma de las raíces reales de
el valor de “a+b+c”
a) 11
b) 5
c) 6
2
ecuación:
respuesta la suma de
absolutos de sus soluciones
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
x  533 x 2  2x  3x 2  253 x  6  0
Se obtuvo CS  a; b  c . Determine
26. Dad
siguiente
3  x  2  x  2  2x 1
2x  3 3x  24x  3  0
a)  ;3 / 2
b)  3 / 2
2
la
Álgebra.
4 x  3 y  2 z  6
2 x  y  3z  4
 y  2 z  12
y  2

e) 2
7
S- 11
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8. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
Señale:
a) -2/3
40. La
desigualdad:
2
4 x  8x  1  1; x  1 ; tiene
x 1
 xy 
 z


b) 1
c) 2
d) 3/2
Álgebra.
e) 4
por solución el siguiente conjunto:
35. Si la solución de la inecuación:
a)
x5 + 8x4 + 12x3 – x2 – 8x – 12 > 0
es <a,b>  <c,> el valor de a+b+c
a) -7 b) 7
c) -5
d) -8
e) 8
 ;3 / 2
c)
b)
 3 / 2; 
d)
 3 / 2
1; 
e)

41. Los valores de “x” superiores a 1/3,
que
satisfacen
la
inecuación:
36. Si la solución de la inecuación:
1
2
están dados por:

x
x3
x  1 3x  1
es: <a,b]  <c,> .

1 x 2  x
a) x  R / 1 / 3  x  6
Hallar a + c:
b) x  R / 1 / 3  x  8
a) 2
b) 3
c) 1
d) 3/2 e) 4
c) x  R / 1 / 3  x  3
37. ¿Cuántos enteros positivos no d) x  R / x  1 / 3
verifican
la
inecuación: e) x  R / x  1 / 3
2 x 2  5x
x 2  3x  2
?
2 x 2  5 x  2 x 2  3x  3
a) Ninguno
b) 1
c) 2
d) 3
e) más de 3
38. Al

resolver
la
42. La intersección del conjunto solución
 x 3  22 x  x 2  40
 0; con el
de:
x 2  7x
intervalo  5;2 es:
inecuación:
a)
x  1  2  x  6 , se obtiene como
conjunto solución al intervalo a; b .
Entonces a.b es:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
39. Al
3
resolver
la
entonces a.b es:
a) 2/3
b) 3/2 c) 2
se
d) 3
Centro Preuniversitario de la UNS
c)
0;2
de x que satisfacen la desigualdad:
3x  2
4x  7
2
; es:
x 5
x5
obtiene
 ; a
0; 
0;2
e) 5;2
b)
43. El producto de los valores enteros
inecuación:
x 3  3x 2  5 x  6  x  2
por conjunto solución
d)
 5;2
a) 120
b;  ,
b) 100 c) 80 d) 24
e) 12
e) 5
8
S- 11
Ingreso Directo