Este documento describe las medidas de variabilidad o dispersión, incluyendo el rango, la varianza, la desviación estándar, la desviación media y otros. Explica cómo calcular estas medidas y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos. El objetivo es describir los conceptos básicos de las medidas de variabilidad y aplicar ejercicios de cálculo.

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2.  Describir los conceptos básicos de las
Medidas de Variabilidad.
1. Rango.
2. Varianza.
3. Desviación media.
4. Desviación estándar.
5. Medida de asimetría.
6. Coeficiente de variación.
7. Sesgo.
 Mediante la Aplicaciones de ejercicios.
Objetivo:

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Las medidas de dispersión son medidas estadísticas que muestran la variabilidad
en la distribución de los datos. Las medidas de tendencia central, como la
media, la mediana y la moda, solo describen el centro de los datos, pero no nos
dicen nada acerca de la dispersión (separación) de los datos. Y en ocasiones, es
muy importante conocer que tan dispersos o separados se encuentran los datos,
y esto se consigue con las medidas de dispersión o variabilidad.
MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DISPERSIÓN

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Si tu estatura es de 1,80 metros y un guía de turismo te dice que el río que estás a
punto de cruzar a pie tiene una profundidad promedio de 1,50 metros, ¿lo
cruzarías a pie? Antes de tomar una decisión, sería mejor saber cuál es la
profundidad máxima y cuál es la mínima. Si el guía te dice que la profundidad
mínima es de 1,40 metros y máxima es de 1,60 metros, seguramente te animarás a
cruzar el río a pie.
Pero, ¿qué pasaría si el guía te dice que la profundidad mínima es de 0,50 metros
y la máxima es de 2,50 metros? ¿te animarías aún a cruzar el río? Probablemente
no. En este caso, no es suficiente con conocer el promedio, si no también, el valor
máximo y el mínimo.
Ejemplo 1

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Hace un tiempo, iba a comprar 10 000 frascos de perfumes para revenderlos a un mejor precio a mis amigos. El
vendedor me dijo que, en promedio, los frascos traían 100 mililitros. Pero yo como yo sabía algo de estadística,
decidí realizar un muestreo de 15 frascos, y estos fueron los resultados que obtuve:
En el muestreo, efectivamente la media fue de 100 ml, pero hubo perfumes con 88 ml, con 106 ml y con 112 ml.
La dispersión de los datos obtenidos era muy alta, iba a tener muchos problemas y quejas con mis amigos. Lo ideal
hubiera sido que todos los perfumes traigan 100 ml, o al menos volúmenes muy cercanos a este valor, sin tanta
dispersión o separación entre los valores, es decir, que los valores se encuentren estrechamente agrupados.
Felizmente que eran perfumes, porque si eran medicinas y salían al mercado, algunos pacientes hubieran recibido
una dosis menor y otros una sobredosis.
Es por ello que son tan importantes las medidas de dispersión o variabilidad, pues estas nos indican que tan
dispersos o separados se encuentran los datos.
Ejemplo 2

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Las medidas de dispersión son medidas estadísticas que muestran la
variabilidad en la distribución de los datos.
Los valores de las medidas de dispersión, nos permiten saber si los datos se
encuentran estrechamente agrupados, si se encuentran ampliamente dispersos
o si son iguales.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN

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Es un valor numérico que indica la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de una
población o muestra estadística.
Fórmula del rango
Para calcular el rango de una muestra o población estadística utilizaremos la siguiente
fórmula:
R = Máxx – Mínx
• R es el rango.
• Máx: es el valor máximo de la muestra o población.
• Mín: es el valor mínimo de la muestra o población estadística.
• X: es la variable sobre la que se pretende calcular esta medida.
El rango:

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Las ganancias de la primera mitad del año pasado de una empresa que vende
ositos de peluche en lata, son las siguientes:
Rango = valor máximo – valor mínimo
Rango = $ 34 500 – $ 12 500
Rango = $ 22 000
Ejemplo 1

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La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión o variabilidad,
es decir, indican la dispersión o separación de un conjunto de datos. Hay que
tener en cuenta que las fórmulas de la varianza y la desviación estándar son
diferentes para una muestra que para una población.
Varianza y desviación estándar:

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Varianza de la población (σ2)
La varianza se define como la media aritmética de los
cuadrados de las diferencias de los datos con su media
aritmética.
Desviación estándar de la población (σ)
La desviación estándar es la raíz cuadrada
positiva de la varianza.
Te recomendamos calcular primero la varianza de la población y
luego sacar su raíz cuadrada para obtener la desviación estándar.
Ten en cuenta que, si tienes una serie de valores de una población y
necesitas calcular su varianza y su desviación estándar, deberás
calcular primero la media poblacional µ con la siguiente fórmula:
Varianza y desviación estándar (POBLACIÓN):

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Varianza de la muestra (s2)
La fórmula de la varianza de la muestra es diferente a
la de varianza de la población.
Desviación estándar de la muestra (s)
Recuerda que la desviación estándar es la
raíz cuadrada positiva de la varianza.
Te recomendamos calcular primero la varianza de la muestra y
luego sacar su raíz cuadrada para obtener la desviación estándar.
Ten en cuenta que, si tienes una serie de valores de una muestra y
necesitas calcular su varianza y su desviación estándar, deberás
calcular primero la media poblacional x
̄ con la siguiente fórmula:
Varianza y desviación estándar (POBLACIÓN):

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En los ejercicios, se siguen los siguientes pasos:
1. Se calcula la media.
2. Se calcula la varianza.
3. Se calcula la desviación estándar, que es la raíz cuadrada
positiva de la varianza.
EJERCICIOS DE VARIANZA Y
DESVIACIÓN ESTÁNDAR

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Calcular la varianza y la desviación estándar de los siguientes datos: 2, 4, 6
y 8 sabiendo que corresponden a una población.
Nos indican que estos datos forman una población, por lo tanto, usaremos
las fórmulas de varianza y desviación estándar para la población, teniendo
en cuenta que tenemos 4 datos, es decir, N = 4.
Ejercicio 1:
Solución

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Empezamos calculando la media poblacional:
Ahora calculamos la varianza poblacional:
El valor de la varianza poblacional, es de 5.
Ahora calculamos la desviación estándar, teniendo en
cuenta que es la raíz cuadrada de la varianza.

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Calcular la varianza y la desviación estándar de los siguientes datos: 1, 3, 5, 7 y 9
sabiendo que corresponden a una muestra
Nos indican que estos datos forman una muestra, por lo tanto, usaremos las
fórmulas de varianza y desviación estándar para la muestra, teniendo en cuenta
que tenemos 5 datos, es decir, n = 5.
Empezamos calculando la media de la muestra:
Ejercicio 2:
Solución

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Ahora calculamos la varianza de la muestra:
El valor de la varianza poblacional, es de 10.

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Ahora calculamos la desviación estándar, teniendo en cuenta que es
la raíz cuadrada de la varianza.

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Calcular la varianza y la desviación estándar de los siguientes datos: 10, 12, 13,
16, 9, 8, 12, 8, 6, 16 sabiendo que corresponden a una población.
Empezaremos calculando la media y la varianza usando las fórmulas de la
población.
Ejercicio 3:
Solución

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En este caso, como tenemos muchos datos, recurriremos a una tabla para
mantener el orden. Colocaremos los valores de los elementos de la población
(xi) y sumaremos los valores.
Teniendo en cuenta que tenemos 10 datos (N = 10),
calculamos la media:

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Con el valor de la media, vamos en busca de
la varianza poblacional:
Agregamos 2 columnas más a nuestra tabla para llegar a la forma de la varianza:

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Reemplazamos los valores en la fórmula:
La varianza tiene un valor de 10,4.
Finalmente calculamos la desviación estándar:
La desviación estándar tiene un valor de 3,225.

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