Este documento introduce la aproximación normal a la distribución binomial. Explica que cuando el tamaño de la muestra (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) no está extremadamente cerca de 0 o 1, la distribución normal proporciona una buena aproximación. Presenta ejemplos para ilustrar cómo la distribución binomial se aproxima a la normal a medida que n aumenta o p se acerca a 1/2. También muestra cómo calcular probabilidades binomiales usando áreas bajo la curva normal.

1. APROXIMACIÓN NORMAL A LA
BINOMIAL
FCC BUAP
Luis Alfredo Moctezuma
4/16/2016 1Aprox. normal a la binomial, distribución
gamma-exponencial

2. Introducción,I
• Conocerémos la relación entre la distribución binomial y
la normal
– Se sabe que algunas distribuciones convergen a la normal a
medida que sus parámetros se aproximan a ciertos límites.
• Cuando n es considerablemente grande
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gamma-exponencial
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3. Introducción,~
• Distribución binomial
– dos resultados posibles: éxito,fracaso
– n: tamaño de muestra
– p: probabilidad de éxito
– q=1-p: probabilidad de fracaso
• Distribución normal
– μ: media de la población μ=np
– σ: desviacion estandar de la población σ=√(n.p.q)
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4. Introducción,~
- Si n=5 p=0.3 q=0.7
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- Si n=10 p=0.3 q=0.7
Ejemplo de distribución binomial: p=0.3 q=0.7

5. Introducción,~
• Si n=30 p=0.3 q=0.7
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6. Introducción,~
• Si n=100 p=0.3 q=0.7
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7. Introducción,~
• Si n=150 p=0.3 q=0.7
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8. Introducción,~
• Ejemplo 1: n=5 p=0.3 q=0.7 • Ejemplo 2: n=5 p=0.5 q=0.5
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9. Introducción,~
• Ejemplo 1: n=10 p=0.3 q=0.7 • Ejemplo 2: n=10 p=0.5 q=0.5
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10. Introducción,~
• Ejemplo 1: n=30 p=0.3 q=0.7 • Ejemplo 2: n=30 p=0.5 q=0.5
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11. Aproximación normal a la binomial,I
• La distribución normal con μ=np y σ2= npq ofrece una
muy buena aproximación cuando:
– n es grande y p no esta extremadamente cerca de 0 o 1
– n es pequeña pero p esta razonablemente cerca de 1/2
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12. Aprox. normal a la binomial,II
Teorema 6.3:
Si X es una variable aleatoria binomial con media μ = np
y desviación estandar σ= √(npq), entonces la forma
limitante de la distribución de
conforme n--> ∞, es la distribución normal estandar
Permitirá utilizar áreas bajo la curva normal para
aproximar propiedades binomiales cuando n es
suficientemente grande.
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13. Aprox. normal a la binomial,III
• Estadístico Z
– Mide la distancia entre un valor especificado de X y la media
aritmética, en las unidades de la desviación estándar(normaliza)
– Al determinar el valor Z, se puede encontrar el área de
probabilidad bajo cualquier curva normal
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14. Aprox. normal a la binomial,IV
• La probabilidad exacta de que la variable aleatoria
binomial X tome un valor determinado x es igual al área
de la barra cuya base se centra en x.
– Por ejemplo, la probabilidad exacta de que X tome el valor 4 es
igual al área del rectángulo con base centrada en x = 4.
P (X = 4) = b(4; 15, 0.4) = 0.1268
μ=0.4*15= 6
ϭ=√(15*0.4*0.6)=1.8974
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15. Aprox. normal a la binomial,IV,~
• Que es aproximadamente igual al área de la región
sombreada bajo la curva normal entre las dos
ordenadas x1= 3.5 y x2= 4.5
P (X = 4 ) = b(4; 15, 0.4) ≈ P (−1.32 < Z < −0.79)
= P (Z <−0.79) − P (Z < −1.32) = 0.2148 − 0.0934
= 0.1214
0.1268 ≈ 0.1214
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16. Aprox. normal a la binomial,IV,~
• La probabilidad de que X tome un valor de 7 a 9 es dada
por:
= 0.9662 − 0.6098 = 0.3564
– Que es igual a la sumatoria de las áreas de los rectángulos
cuyas bases están centradas en x = 7, 8 y 9
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17. Aprox. normal a la binomial,IV,~
• Para la aproximación normal calculamos el área de la
región sombreada bajo la curva entre las ordenadas
x1=6.5 y x2=9.5
• P (7 ≤ X ≤ 9) ≈ P ( 0.26 < Z < 1.85) = P (Z < 1.85) − P (Z < 0.26)
= 0.9678 − 0.6026 = 0.3652
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18. Aprox. normal a la binomial,V
• En los ejemplos anteriores se vio que si buscamos el
área bajo la curva normal hacia la izquierda de, digamos
x, es más preciso utilizar x + 0.5(corrección de
continuidad)
P (X = 4) = b(4; 15, 0.4) = 0.1268 P (−1.32 < Z < −0.79) = 0.1214
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19. Aprox. normal a la binomial,VI
• Sea X una variable aleatoria binomial con parámetros n
y p. Para una n grande, X tiene aproximadamente una
distribución normal con μ= np y σ= √(npq)
» ≈ área bajo la curva normal a la izq de x+0.5
y la aproximación será buena si np y nq son mayores que o
iguales a 5
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20. Aprox. normal a la
binomial,VII,Ejemplo1
• Un paciente que padece una rara enfermedad de la
sangre tiene 0.4 de probabilidad de recuperarse.
Si se sabe que 100 personas contrajeron esta
enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que sobrevivan
menos de 30?
– n es grande
– p esta relativamente cerca de 1/2
μ=100*0.4= 40
σ=√(100*0.4*0.6)=4.899
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21. Aprox. normal a la
binomial,VII,Ejemplo1,~
• Para obtener la probabilidad que se desea, tenemos que
calcular el área a la izquierda de x = 29.5
• P (X < 30) ≈ P (Z <−2.14) = 0.0162
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22. Aprox. normal a la
binomial,VII,Ejemplo2
• Un examen de opción múltiple tiene 200 preguntas,
cada una con 4 respuestas posibles, de las que sólo una
es la correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que
solamente adivinando se obtengan de 25 a 30
respuestas correctas para 80 de los 200 problemas
sobre los que el estudiante no tiene conocimientos?
μ=80*1/4= 20
σ=√(80*1/4*3/4)=3.873
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23. Aprox. normal a la
binomial,VII,Ejemplo2,~
• Se necesita el área entre x1 = 24.5 y x2 = 30.5. Los
valores z correspondientes son
≈ P (1.16 < Z < 2.71)
= P (Z < 2.71) − P (Z < 1.16) = 0.9966 − 0.8770 = 0.1196
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24. Aprox. normal a la
binomial,VII,Ejemplo3
• La probabilidad de que cierta clase de componente
sobreviva a una prueba de choque es de 3/4. Calcule la
probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 de los
siguientes 4 componentes que se prueben.
μ=4*3/4= 3
σ=√(4*3/4*1/4)=0.75
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25. Aprox. normal a la
binomial,VII,Ejemplo3,~
• Se necesita el área entre x1 = 1.5 y x2 = 2.5. Los
valores z correspondientes son
=0.2109
• ≈ P (-2 < Z < -0.66) = P (Z < -0.66) − P (Z < -2)
= 0.2877- 0.0228 = 0.2649
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