El documento trata sobre espacios vectoriales cocientes. Introduce la noción de congruencia hermitiana entre matrices y define el espacio cociente V/W como el conjunto de clases de equivalencia bajo la relación de equivalencia dada por v ~ w si y solo si v - w pertenece a W. Explica que bajo ciertas condiciones V/W es también un espacio vectorial y da ejemplos con polinomios.

1. EPN/ Fac. Ciencias Prof. Dr. Julio MEDINA
Algebra Lineal Semestre: Julio-Diciembre 2012
Deporte cerebral – Serie 3- Oct.30
ESPACIOS VECTORIALES COCIENTES
1. Sean y elementos de Se dice que es congruente hermitiana respecto a si existe una matriz
invertible tal que .
a) Si , . Hallar para que posibilite la
congruencia hermitiana de con respecto a .
b) Mostrar que la congruencia hermitiana define una relación de equivalencia en
2. Sean un –espacio vectorial,un sub-espacio vectorial de . Sea (fijo) se define
.
a) ¿Bajo qué condiciones es un sub-espacio vectorial?
b) Demostrar la equivalencia entre los enunciados siguientes para
(i) (ii
c) Si y , hallar y dibujar
Nota: la propiedad b) nos dice que podemos definir la relación de equivalencia en de la manera siguiente:
3. Sea (fijo). Se nota (respectivamente ) el conjunto de polinomios constantes (respectivamente que
se anulan en ) de .
a) Dar bases para y para
b) ¿ y forman una suma directa en
c) Dar una base de y de
4. En el espacio vectorial se consideran los sub-espacios vectoriales
y
a) Dar una base de y una base de
b) Justificar que una base de es
c) Razonar si la suma es directa o no; si no lo es obtener una base para
d) Hallar bases para , y
e) ¿Qué relación existe entre , y