Este documento presenta 16 problemas y ejercicios sobre conceptos topológicos como la convergencia de sucesiones, conjuntos acotados, puntos aislados, compacidad y propiedades de familias de conjuntos. Los problemas cubren temas como caracterizaciones de la convergencia de sucesiones, supremo e ínfimo de conjuntos, cerradura de conjuntos, diámetro de conjuntos, compacidad de conjuntos específicos y propiedades de la unión e intersección de familias de conjuntos.

1. QUINTO MATERIAL PRACTICO DE´
´
ANALISIS REAL I
(Topolog´ en la recta - 2)
ıa
∞
1. Sea (an )n=1 una sucesi´n de n´meros reales y x0 ∈ .
o u
Probar que la sucesi´n converge a x0 ⇔ ∀G abierto en
o , que contiene a
x0 se cumple que ∃ k0 ∈ N : xk ∈ G ∀ k k0 .
2. Si A es acotado, probar que SupA e Inf A est´n es A.
a
3. Probar que A es cerrado ⇔ A contiene contiene todos sus puntos de acu-
mulaci´n.
o
4. Probar que x ∈ A ⇔ x ∈ A
5. Probar que x ∈ A es un punto aislado ⇔ ∃ ε > 0 : B(x, ε) ∩ A = {x}.
6. Hallar los puntos aislados, si existen, de los conjuntos: Z, Q.
7. Pru´bese que la uni´n de un n´mero finito de conjuntos acotados es un
e o u
conjunto acotado.
8. D´ un ejemplo de conjunto no acotado cuyo interior sea acotado.
e
9. Se define el di´metro de conjunto A ⊂
a , dimA, como el supremo de las
distancias para puntos en A.
(a) Hallar el di´metro de (a, b), [a, b].
a
(b) Mu´strese, mediante un ejemplo, que el di´metro de un conjunto no
e a
es siempre igual al de su interior.
10. Est´diese la compacidad de los siguientes conjuntos:
u
1
(a) C = {(−1)n + : n ∈ N}
n
1
(b) D = {n + : n, m ∈ N }
m
11. Si A, B son compactos pruebe:
(a) A + B es compacto.
(b) Qu´ sucede con AB?.
e
12. Probar que la uni´n finita de compactos es compacto.
o
13. Probar que la intersecci´n arbitraria de compactos es compacto.
o
1

2. ∞
14. Sea (xn )n=1 una sucesi´n convergente de n´meros reales y x0 su l´
o u ımite.
el conjunto: H = {xk : k ∈ N } ∪ {x0 } es compacto?
15. Probar que el conjunto C de cantor es:
(a) compacto.
(b) igual a su derivado.
(c) no numerable.
16. Una familia F de conjuntos tiene la propiedad de intersecci´n finita si toda
o
subfamilia finita de F tiene intersecci´n no vac´
o ıa.
(a) Existen familias con la propiedad de intersecci´n finita, cuya inter-
o
secci´n es vac´
o ıa?
(b) Existe una familia de cerrados con la propiedad de intersecci´n finita
o
cuya intersecci´n es vac´
o ıa?.
Individualmente... nada somos.
Helmuth villavicencio f ern´ndez
a
(11/06/10)
2