Unidad 2. integral de riemann stieltjes

Análisis matemático II
Unidad 2. Integral de Riemann Stieltjes
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
1
Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
8° cuatrimestre
Análisis Matemático II
Clave:
050930829

2
Índice
Unidad 2. Integral de Riemann-Stieltjes. .................................................................................3
Presentación de la unidad........................................................................................................3
Propósitos de la unidad ...........................................................................................................3
Competencia específica de la unidad......................................................................................3
2.1. Antecedentes .....................................................................................................................3
2.1.1. Definición de la Integral de Riemann-Stieltjes. Notación................................................ 4
2.1.2. Propiedades .................................................................................................................. 7
2.1.3. Integración por partes.................................................................................................... 9
Actividad 1.”Foro integral de Riemann-Stieltjes”.................................................................10
2.2. Teorema de cambio de variable......................................................................................11
2.2.1. Enunciado y demostración del teorema....................................................................... 11
2.2.2. Aplicaciones ................................................................................................................ 13
Actividad 2. Cálculo de Integrales .........................................................................................15
Autoevaluación .......................................................................................................................15
Evidencia de Aprendizaje. Aplicaciones de la Integral de Riemann-Stieltjes.....................16
Autorreflexiones ............................................................................¡Error! Marcador no definido.
Cierre de la unidad..................................................................................................................16
Para saber más: ......................................................................................................................17
Referencias Bibliográficas .....................................................................................................17

3
Unidad 2. Integral de Riemann-Stieltjes
Presentación de la unidad
En las Matemáticas a menudo un concepto se generaliza en el sentido que más objetos
cumplen alguna propiedad. La integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la Integral
de Riemann que se estudia en el curso elemental de Cálculo Integral. La integral de Riemann
es presentada como un proceso mediante el cual se puede calcular el área bajo la gráfica de
ciertas funciones reales de variable real en un intervalo compacto dado. Si a este proceso le
agregamos otra función para determinar ciertos “pesos” agregados a los intervalos obtenemos
una definición de integral que cumple las propiedades de linealidad y aditividad, esta definición
satisface los teoremas que permiten el cálculo de integrales a modo de las técnicas de
integración en términos elementales: la integración por partes y el cambio de variable
Propósitos de la unidad
 Comparar integral de Riemann-Stieltjes contra Integral de Riemann.
 Resolver problemas utilizando Integración por partes.
 Resolver problemas utilizando el Teorema de Cambio de Variable.
Competencia específica de la unidad
Aplicar las propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes para resolver problemas de
integración. Comparándola con la integral De Riemann clásica.
2.1. Antecedentes
Thomas Jan Stieltjes (1856-1894) matemático nacido en Holanda, en 1894 realizó
investigaciones que lo llevaron a introducir el concepto matemático de distribución de masa
positiva, señaló que una distribución de este tipo era equivalente a una función creciente φ(x)
que daba la masa total correspondiente al intervalo [0,x] de modo que los puntos de
discontinuidad de φ corresponden a las masas concentradas en un punto, para este tipo de
distribución en [a,b], Stieltjes consideró las sumas ∑ ( )( ( ) ( )), y demostró que,
cuando f era continua, estas sumas tendían a un límite que designó por ∫ ( ) ( ).En 1909
el matemático húngaro F. Riesz utilizó la integral definida por Stieltjes para resolver el problema
de representación de funcionales lineales continuos y desarrolló la integral de Stieltjes.

4
2.1.1. Definición de la Integral de Riemann-Stieltjes. Notación
La integral de Riemann consiste en aproximar áreas bajo la gráfica de una función con áreas
de rectángulos, mediante la partición del conjunto , - con un conjunto finito de elementos en
, -, daremos la definición de integral de Riemann como punto de partida.
Definición 0. Sea , recibe el nombre de partición del intervalo , - cualquier
subconjunto finito de puntos de , - donde .
Escribimos
Sea función real, acotada, definida sobre , - y P partición de , -, sean
( ) ( )
( ) ( )
( ) ∑
( ) ∑
Definimos S.∫ / ( ) .∫ / ( ) donde se ha considerado el
sup(supremo ) y el inf (infimo) sobre todas las particiones P sobre , -, las definiciones
anteriores se llaman integral superior e inferior de Riemann sobre , -, respectivamente.
Definición1. Si las integrales superior e inferior son iguales decimos que es integrable según
Riemann, se representa el valor común por ∫ y se escribe . Ya que es acotada,
existen dos números y tal que ( ) , -, de aquí que para todo ,
( ) ( ) ( ) ( )
De modo que los números ( ) ( ) forman un conjunto acotado, lo que implica la
existencia de las integrales superior e inferior
El siguiente teorema nos da un criterio para probar si una función es Riemann integrable.
Teorema 2.
, - ( )
( ) .
Definición 3. Sea f una función definida en , - y una partición, en la diferencia ( )
( ) ∑( ) cuando f es Riemann integrable es pequeña, una parte importante de
esta condición es que sea más pequeño, a esta última diferencia le llamaremos la
oscilación de , - y se denotará ( , -).

5
Con esta definición del teorema 2 se obtiene el siguiente
.
Corolario 4. La función , - es integrable si y solo si para cualquier , existe una
partición P tal que
∑ ( , -)
Se cumple linealidad en la integral de Riemann, lo que se enuncia en el siguiente teorema.
Teorema 5. Si , - , - son integrables y , entonces son
integrables y
∫ ( ( ) ( )) ∫ ( ) ∫ ( )
Y
∫ ( ) ∫ ( ) .
Los dos siguientes teoremas caracterizan a funciones Riemann integrables
Teorema 6 , - es continua, entonces f es Riemann integrable.
Teorema 7. Si , - es monótona, entonces f es Reimann integrable.
Enunciaremos también los teoremas fundamentales de integral de Riemann
Teorema 8. Teorema fundamental del Cálculo. Si la función , - es continua y
, - es tal que ( ) ( ) para ( ), entonces ∫ ( ) ( ) ( ).
Y
Teorema 9. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. Supóngase que , - es
integrable y , - está definida por
( ) ∫ ( )
Entonces
(a) F(x) es uniformemente continua.
(b) Si f es continua en un punto c, entonces F es diferenciable en c ( ) ( ).
Haciendo una modificación en la definición de suma de Riemann sustituyendo ( ), se
obtiene una nueva definición:
Definición 10.
(a) Si , - , - son acotadas, P es una partición de , -, y es una
colección de puntos intermedios de P, la suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g, P
y es

6
( ) ∑ ( )( ( ) ( )).
(b) integrable Reimann-Stieltjes con respecto a g con integral I, si dado , existe una
partición P tal que | ( ) | siempre que P´ sea un refinamiento de P y para cualquier
colección de puntos intermedios, si esto es así escribimos
∫ ∫ ( ) ( );
A la función f se le llama el integrando y a g el integrante, se dice que f es g-integrable, o f es
Riemann-Stieltjes integrable con respecto a g.
Escribimos ( ) ( ), la definición anterior es equivalente a una de sumas
inferiores y superiores, sean como en la definición 1:
Teorema 11. Sea , -, g es creciente en , f es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a
g si y solo si, dado existe una partición tal que
( ) ( ) ∑ ∑ .
Ejemplo.
1. 1 Si ( ) , la integral de Riemann-Stieltjes ∫ es la misma que la integral de
Reimann ∫ ( ) .
2. Supóngase que , - es continua en 0. Sea ( ) ( ) .
Entonces ( ) ( ) a menos que , ) y si esto es así, ( )
( )
Entonces ( ) 0 )
( ) ( ) , ) ( ) ya que f es continua en
0, ambos valores están cercanos a f(0) haciendo pequeño, se sigue que ∫
( ).
3. Sea ( ) { , si consideramos , -,y , - , entonces para
cualquier partición , - se tiene que ( ) ( ) ( ) ( ), así la
condición para que f sea g-integrable es que ( ) ( ), esto incluye obviamente a las
constantes, este es un ejemplo de una función Riemann-Stieltjes integrable que no es
Riemann integrable.
El siguiente teorema da una caracterización de g-integrabilidad:
Teorema 12. Si , - es continua y , - es creciente, entonces f es Reimann
Stieltjes - integrable con respecto a g.

7
Demostración
Sea dado, elijamos tal que
( ( ) ( )) .
Como f es uniformemente continua en , - existe un tal que
(1) | ( ) ( )|
Si | | , - , -.
Si P es cualquier partición de , - tal que Entonces (1) implica
( )
Por lo tanto
( ) ( ) ∑( )
∑ ( ( ) ( ))
Por el teorema 11 f es g-Reimann-Stieltjes integrable, algunas veces se expresa ( ).
Ejemplo.
Se tienen las funciones siguientes definidas en el intervalo , -,
( ) | | ( ) , entonces ya que es continua y es creciente f es
(aplicando el teorema 12).
2.1.2. Propiedades
La integral de Riemann-Stieltjes satisface las propiedades establecidas en el siguiente teorema:
Teorema 13.
1) Si ( ) y ( ) en , -,
( ),
( ) y
∫ ( ) ∫ ∫
∫ ∫
2) Si ( ) ( ) en , -

8
∫ ∫
3) Si ( ) en , - y , entonces ( ) en , - , -,
∫ ∫ ∫ .
4) Si ( ) en , - y | ( )| en , -,
|∫ | ( ( ) ( ))
5) Si ( ) ( ), entonces ( ) y
∫ ( ) ∫ ∫ ;
( ) y c es una constante positiva, entonces ( ) y
∫ ( ) ∫ .
Demostración.
Se demostrará la primera parte de 1), las demás se hacen de manera similar.
Si y P es alguna partición de , - tenemos que
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ). (I)
Si ( ) ( ), dado . Existen particiones . Tales que
( ) ( ) .
Esas desigualdades subsisten si se sustituyen P1 y P2 por su refinamiento común P. Entonces
(I) implica
( ) ( ) , lo que demuestra que ( ).
Con este mismo P, tenemos
( ) ∫ Por lo que (I) implica
∫ ( ) ∫ ∫ .
Como era arbitrario, se deduce que
∫ ∫ ∫ .
Sustituyendo en la anterior desigualdad f1 y f2 por –f1 y –f2 se invierte la desigualdad y queda
demostrada la igualdad.

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2.1.3. Integración por partes
De los teoremas 12 y 13. observamos que una función continua es integrable con respecto a
cualquier función continua es integrable con respecto a cualquier función que pueda ser escrita
como suma de funciones crecientes y decrecientes. A tales funciones se les llama funciones de
variación acotada. Con esto se obtiene el siguiente corolario
Corolario 14. Si , - es continua y , - es de variación acotada, entonces f es
integrable con respecto a g.
Tenemos ahora nuestra definición para una clase de funciones continuas con las de variación
acotada, con el siguiente teorema podemos intercambiar los roles de f y g.
Teorema 15 Si f es integrable con respecto a g, entonces g es integrable con respecto a g y
∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫
Demostración. Sea * + una partición de , - tal que si P´ es cualquier refinamiento
de P y * + es una colección de puntos intermedios, | ( ) | . Sea
* + . Entonces es también una partición de , -, con y
= , y P´ es un refinamiento de P. Considere la suma ∑ ( ) . Sumando y restando
los términos ( ) ( ) ( ) ( ) reacomodando y observando que ,
vemos que
∑ ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Donde * + y es siempre uno de los puntos xk de la partición original. La última
suma es una suma de Riemann-Stieltjes para f con respecto a g sobre un refinamiento de P, y
así está a una distancia de ∫ , con lo que se concluye el resultado.
Teorema 16 Si la derivada g´ existe y es continua en J y si f es integrable con respecto a g
entonces el producto es integrable y
∫ ∫
Ejemplos
Sea ( ) . Evalúa ∫ , ya que f(x)=x es continua y es de variación acotada,
así aplica el teorema, intercambiando f y g obtenemos ∫ ∫ .

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( ) es integrable con respecto a , -, así
∫ ( ) ∫ ( ) |
Actividad 1. Integral de Riemann-Stieltjes
La finalidad de esta actividad es que puedas identificar diferencias a través de comparar la
integral de Reimann y la integral de Reimann-Stieltjes.
La siguiente es una serie de preguntas que te servirán de base para anotar tus conclusiones
dentro del foro:
1. A partir de las definiciones, menciona como la Integral de Reimann-Stieltjes generaliza la
integral de Reimann. ¿En qué casos la integral de Riemann-Stieltjes se puede reducir a
una integral de Riemann?
Ejemplo. Si , - es continua, ( ) , - {
, -
( ), existe
∫ y es igual a ( ).
2. Generaliza el ejemplo anterior a n puntos en , -.
3. Dada una suma ∑ ,
b) ¿En qué casos es posible expresarla como una integral de Riemann-Stieltjes?
c) ¿Existe un análogo en integral de Riemann?
d) ¿Qué ocurre si en una integral de Riemann-Stieltjes, la función integrante tiene un
número infinito numerable de discontinuidades?
4. Ingresa al foro y anota tus conclusiones.
5. Comenta las aportaciones de tus compañeros. Acepta o rechaza al menos las de dos de
ellos.
Nota: Antes de participar en el foro, recuerda consultar la Rúbrica general de participación en
foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.

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2.2. Teorema de cambio de variable
El teorema de cambio de variable nos ha permitido calcular integrales con la integral de
Riemann, un teorema análogo satisfacen las Integrales de Riemann-Stieltjes. Presentaremos
algunos teoremas sin demostración para centrarnos en el teorema principal.
2.2.1. Enunciado y demostración del teorema
Estamos interesados en calcular integrales de R-S (Riemann-Stieltjes), presentamos los
principales teoremas que nos facilitarán esta tarea:
Teorema 17 Primer Teorema del Valor Medio. Si g es creciente en , - y f es continua
de , entonces, existe un número c tal que
∫ ( ) ∫ ( )( ( ) ( )).
Teorema 18 Teorema de Diferenciación. Suponga que f es continua en J y que g es creciente
en J y tiene una derivada en un punto c en J. Entonces, la función F definida para x en J por
medio de
( ) ∫
Tiene una derivada en c y ( ) ( ) ( ).
Demostración. Si h>0 es tal que pertenece a J, entonces del teorema 3 y del resultado
anterior se sigue que
( ) ( ) ∫ ∫ ∫
( )( ( ) ( ))
Para alguna c1 con una relación análoga se da si h<0. Dado que f es continua y g
tiene una derivada en c, entonces F´(c) existe y es igual ( ) ( ).
El siguiente teorema se refiere a la integral de Riemann.
Teorema 19. Primer teorema del valor medio
. Si son continuas en , - y ( ) para toda , entonces, existe un punto
tal que
∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( )
El siguiente teorema es el análogo de integral de Riemann al de integral de Riemann-Stieltjes.

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Teorema 20. Integración por partes. Si tienen derivadas continuas en , -, entonces
∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫
El siguiente resultado se refiere a integral de R-S.
Teorema 21. Segundo teorema del valor medio.
1. Si f es creciente y g es continua en , -, entonces, existe un punto tal que
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ .
2. Si f es creciente y h es continua en J , entonces, existe un punto c en J tal que
∫ ( ) ∫ ( ) ∫
3. Si es no negativa y creciente y h es continua en J, entonces, existe un punto c en J tal
que ∫ ( ) ∫ .
Demostración.
Para 1, Aplicando el teorema 17 implica que g es integrable con respecto a f en J. Se obtiene
∫ ( )( ( ) ( )), aplicando el teorema 15 (integración por partes) y el primer
teorema del valor medio se concluye que f es integrable con respecto a g y
∫ ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ))
( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ))
( ) ∫ ( ) ∫ .
Para 2, sea g definida en J por ( ) ∫ , usando T-16 y y parte 1
Para 3, se define F igual a para ( - ( ) y se aplica 2 a F.
Cambio de variable, el siguiente es el resultado que permite calcular muchas integrales
Teorema 22. Cambio de variable.
Supóngase que es una función continua estrictamente creciente que mapea un intervalo
, - , -. Supóngase también que es monótona creciente sobre , -. Si se define
y g sobre , - por medio de.
( ) ( ( )) ( ) ( ( )).
Entonces ( ) y
∫ ∫ ( )

13
Demostración
A cada partición P= * + , - le corresponde una partición
* + , -, de tal forma que ( ). Todas las particiones de , - se
obtienen de esta forma. Como los valores tomados por f sobre , - son los mismos que los
tomados por g sobre , -, de aquí que
( ) ( ) ( ) ( )
por la integrabilidad de f dado existe una partición P´ de [a,b] tal que ( )
( ) por tanto g es integrable con respecto a . Y se satisface (1).
Una propiedad muy importante en cualquier definición de integral es su comportamiento bajo
sucesiones, la convergencia de las integrales depende de la convergencia de las sucesiones,
como queda plasmado en el siguiente teorema
Teorema 23 Sea una función monótona creciente en , - y sea * + una sucesión de
funciones integrables con respecto a g sobre . Suponga que la sucesión * + converge
uniformemente en a una función límite . Entonces, es integrable con respecto a y
∫ ∫ .
2.2.2. Aplicaciones
A continuación se dan dos aplicaciones de la Integral de Riemann-Stieltjes, una a la
Probabilidad y otra a la Física.
1. En un experimento numérico se obtienen los resultados , con probabilidades
asociadas , el valor esperado del experimento es ∑ . Ahora supóngase que los
resultados posibles del experimento incluyen todos los números entre a y b. Entonces
tendremos en lugar de una colección finita de probabilidades, una función acumulativa de
distribuciones ( ), donde ( ) , -.
En el caso discreto podemos representar la esperanza matemática por ∑ ( ).
Para una función continua de probabilidades tenemos ∫ ( ) con f función de densidad,
ahora se define la función de distribución F( ) ( )=∫ ( ) , ( ) Por tanto la
definición de esperanza matemática en el caso continuo es
∫ ( ) ∫ ( )
2. En física, considere n masas, cada una de las masas . localizadas a lo
largo del eje x ,a una distancia del origen, con . El momento de inercia I
alrededor del eje x, a través del origen en ángulos rectos al sistema de masas. Está dado por

14
∑ en el caso discreto, si en lugar de eso tenemos un alambre de longitud a lo largo
del eje x con un extremo en el origen, entonces el momento de inercia es
∫ ( )
Donde para cada ( ) es la densidad seccional transversal.
3. El uso que Riesz hizo de la integral de Reimann_Stieltjes le permitió demostrar su famoso
teorema de representación.
El teorema de Representación de Riesz (matemático húngaro,1880-1955) es fundamental en
análisis funcional daremos solo las definiciones elementales para enunciarlo.
Sea , -, denotemos por ( ) al conjunto de funciones reales continuas definidas sobre J,
y ‖ ‖ * ( ) +.
Una funcional lineal G definida sobre ( ) es una función real, tal que dados
( ) cumplen
( ) ( ) ( )
La funcional lineal se positiva, si para cada ( ) tal que ( ) , se tiene
( ) .
Una funcional G definida sobre ( ) se dice que es acotada si existe una constante M, tal
que: | ( )| ‖ ‖, para todo ( ).
Con esto se tiene el siguiente lema
Lema 24. Si g es una función monótona creciente y G está definida para ( ) por
( ) ∫
Entonces G es una funcional lineal, positiva, acotada sobre ( ).
G se obtiene calculando una integral de Riemann-Stieltjes para cada elemento de ( ), el
siguiente es el teorema donde Riesz utilizó la integral de Riemann-Stieltjes.
Teorema 25. Teorema de Representación de Riesz, si G es una funcional lineal, positiva,
acotada sobre ( ), entonces existe una función monótona creciente g sobre J tal que
( ) ∫ , para toda ( ).

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Actividad 2. Cálculo de Integrales
El objetivo de esta actividad es que puedas aplicar las propiedades de la Integral de
Riemann-Stieltjes para resolver diversos problemas matemáticos usando los conceptos
básicos así como integración por partes y Teorema de cambio de variable
Instrucciones:
1. Descarga el archivo llamado “Act.2. Cálculo de integrales””.
2. Resuelve cada una problemas de acuerdo a las propiedades de la integral de Riemann-
Stieltjes
3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MANU2_U2_A2_XXYZ.
4. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación.
Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se
tomarán en cuenta para su revisión.
Autoevaluación
Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad
del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación.
Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.

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Evidencia de Aprendizaje. Aplicaciones de la Integral de Riemann-Stieltjes
Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que aplicar tus
conocimientos sobre aproximación de funciones continuas.
Instrucciones:
1. Descarga el documento: “EA. Integral de Riemann-Stieltjes”
2. Lee las instrucciones y resuelve los problemas que se plantean, tomando en cuenta el
contenido de la unidad.
3. Guarda y envía tu reporte al portafolio de evidencias con la nomenclatura
MAMT2_U2_EA_XXYZ. Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a). Una vez que la
tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.
Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será
evaluado tu trabajo.
Autorreflexiones
Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y
leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar
tu Autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también se
toman en cuenta para la calificación final.
Cierre de la unidad
En esta unidad hemos ampliado nuestro concepto de integral a partir de la Integral de Riemann,
se generaliza de una forma que permite mayor cantidad de funciones integrables a la vez que
permite que las funciones Reimann-integrables sean Riemann-Stieltjes integrables. Se estudió
que la integral de Reimann-Stieltjes satisface todas las propiedades de la integral de Riemann.
El teorema 16 es muy importante pues nos da la posibilidad de reducir integrales de Rieman-
Stieltjes a integrales de Riemann
Por otra parte la existencia de las funciones integradoras será importante en el desarrollo de la
integral de Lebesgue que se estudiará en las siguientes unidades. Las aplicaciones de la
integral de Riemann-Stieltjes son herramienta fundamental en varias áreas de la ciencia.

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Para saber más:
En el siguiente link te brinda datos biográficos de Thomas Stieltjes que incluyen referencias a su
producción matemática:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Mathematicians/Stieltjes.html
Archivo libre en donde puedes descargar el libro escrito por Hermite sobre su correspondencia
con Stieltjes el link es el siguiente
http://archive.org/details/correspondancedh01hermuoft
Notas de acceso libre donde se estudia la fuerte relación entre integral de Stieltjes y la
probabilidad:
https://files.nyu.edu/eo1/public/Book-PDF/pChapterDDD.pdf
Tesis de licenciatura sobre la integral de Riemann-Stieltjes
http://lic.mat.uson.mx/tesis/20TesisVale.PDF
Referencias Bibliográficas
Apostol, Tom. (1981). Mathematical Analysis. USA. Addison Wesley.
Bartle, R. (1980). Introducción al Análisis Matemático. México. Limusa.
Protter, M. (1991). Basic Elements of Real Analysis. USA. Springer Verlag.
Rudin, W. (1980). Principios de Análisis Matemático. México. Mc Graw Hill.
Sánchez, Carlos, Valdés, Concepción. (2004). De los Bernoulli a los Bourbaki. España. Nivola.
Schram, Michael. (1996). Introduction to Real Analysis. USA. Prentice Hall.
Wheeden, R., Zygmund, A. (1977). New York. USA:

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