1. El documento habla sobre el cálculo diferencial y la derivada. Explica conceptos como la recta tangente, la pendiente de una curva en un punto, y cómo calcular la derivada de una función. 2. También presenta fórmulas para calcular derivadas como la derivada de funciones polinómicas, exponenciales, logaritmos y trigonométricas. 3. Finalmente, cubre temas como valores críticos, máximos y mínimos relativos, y el procedimiento para resolver problemas de optimización.

1. CALCULO DIFERENCIAL
LA DERIVADA
1

2. - Recta tangente
p0
Q0
p0
- Recta secante

3.  La pendiente de una curva en un punto P
es la pendiente, en caso de que exista, de
la recta tangente en P.
y
lim x
x
f ( x) 2x

4.  Si la derivada f`(x) puede evaluarse en
x = x1, el número resultante f`(x1) se
llama derivada de f en x1, y es la
pendiente (m).
y y1
m
x x1

5.  La derivada de una función f es la función,
denotada por f’ y definida por:
Siempre que este límite exista. Si f’(x) puede
encontrarse, se dice que f, es diferenciable

6. 1. d (c) 0
dx
2. d n
(x ) nx n 1
dx
3.
d
cf ( x) cf ( x)
4. dx
d
5. dx f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
d
f ( x).g ( x) f ( x).g ( x) f ( x).g ( x)
dx

7. 6. d f ( x) f ( x).g ( x) f ( x).g ( x)
2
dx g ( x) g ( x)
7. d
f ( x).g ( x)h( x) f ( x).g ( x).h( x) f ( x).g ( x).h( x) f ( x).g ( x).h ( x)
dx
8.
d
(x) 1
9. dx
d f ( x) 1 d
f ( x)
10.dx c c dx
d c c d
2
f ( x)
dx f ( x) ( f ( x)) dx

8. 11. d (( f ( x))n n( f ( x)) n 1 d
( f ( x))
dx dx
12. Regla de la cadena, y=f(u), u=f(x),
dy dy du
.
dx du dx
13. Regla de la potencia
n dy n 1du
y u , nu .
dx dx
14. d 1
log b x log b e,....  0, b 1
b
dx x
15. d ln X 1
dx x

9. d x
16. dx b b x ln b
17. d
ex ex
dx
18. d du
u u
e e .
dx dx
19.
d 1 du
log b u log b e.
dx u dx

10. Derivada de las funciones trigonométricas

11. 1.ln m ln n ln m
n
2. ln u n n ln u
3. ln( x. y) ln x ln y
4.ln 3 u ln u
3
5. d 1 du
ln u
dx u dx

12. d n du
6. dx ln u n
u dx
7.
ln x log x e
8. ln u
log b u
ln b
9. a e ln a

13. Supóngase que las variables x e y, están
relacionadas por alguna ecuación de la
forma: F(x, y) = 0, Si una función f, definida
en un intervalo I es tal que la ecuación se
transforma en una identidad cuando la
variable y se reemplaza por f(x), se dice
que f está definida implícitamente por
medio de la ecuación

16.  f’(x) = Primera derivada
 f’’(x)= Segunda derivada
 f’’’(x)= Tercera derivada

17. 1. f ( x0 ) 0 ,valores críticos de x
2. f ( x0 ) 0, , f tiene un máximo relativo
f ( x0 )  0,f tiene un mínimo relativo

18. 1. Dibujar diagrama con información del
problema.
2. Formular función para la cantidad que
se quiere maximizar o minimizar
3. Expresar la función en una sola
variable, señale dominio
4. Encontrar valor critico de la función,
probarlos y determinar el valor extremo
absoluto, examinar puntos extremos en
la función.

19. 19

20.  DERIVADA DE UNA CONSTANTE
 f(x) = k  f’(x) = 0
 Ejemplos
 y = 4  y’=0
 y = -√3  y’=0
 y = (e – 2) / π  y’=0
 DERIVADAS POLINÓMICAS
 n n-1
 f (x) = x  f ‘ (x) = n. x
 Ejemplos
 y = x4  y’= 4. x3
 y = -x7  y’= -7. x6
 y = x42  y’= 42. x41
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 20

21. OTRAS DERIVADAS
 DERIVADA DE LA INVERSA
 f(x) = 1/x  f’(x) = -1/ x2
 DERIVADA DE LA RAIZ

 f (x) = √x  f ‘ (x) = 1 / 2.√x
 También se obtendría como polinómica
 f (x) = √x  f (x) = x1/2  f’(x) = (1/2). x(1/2 – 1)
 DERIVADA DE LA EXPONENCIAL
 f(x) = ex  f’(x) = ex
 DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO
 f(x) = ln x  f’(x) = 1 / x
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 21

22. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
 DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 y = sen x  y ‘ = cos x
 y = cos x  y ‘ = - sen x
 y = tg x  y ‘ = 1+tg2 x = 1 / cos2 x
 También se obtendría como división de funciones
 y = tg x = sen x / cos x
 y’ = [cos x. cos x – sen x . (-sen x)] / cos2 x
 y’ = [cos2 x + sen2 x] / cos2 x = 1 / cos2 x
 DERIVADA DE F. TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
 y = arcsen x  y ‘ = 1 / √(1 – x2)
 y = arccos x  y ‘ = – 1 / √(1 – x2)
 y = arctg x  y ‘ = 1 / (1 + x2)
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 22