CAPITULO 4 DE UNIDA 5 DE CONTROL DIGITAL EN UPC

1. 22/04/2013
1
ANÁLISIS DE ESTABILIDAD EN
EL PLANO Z
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
• Un sistema dinámico lineal es estable,
si todos los polos de la función
transferencia están el semiplano
izquierdo de s . En el plano z , el
semiplano izquierdo s corresponde al
cálculo del círculo unitario centrado
en el origen, o sea, que el semiplano
izquierdo s tiene su representación
conforme en la parte interior del
círculo unitario en el plano z . Se
puede probar:
• Si:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

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2
• En el semiplano izquierdo s , σ < 0
. Por tanto, la amplitud de z varía
entre 0 y 1. El eje imaginario, o
sea σ = 0 , que corresponde al
origen dentro del círculo unitario
en el plano z. El interior del
círculo correspondiente al
semiplano izquierdo s.
• Cuando el punto en el plano s se
desplaza desde −∞ a ∞ sobre el eje
jω , se traza el círculo unitario
en el plano z infinito número de
veces.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
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1619/lecciones/orden/img89.gif
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3. 22/04/2013
3
1. Para que el sistema sea estable, los polos en
lazo cerrado o las raíces de la ecuación
característica deben presentarse en el plano z
dentro del círculo unitario. Cualquier polo en
lazo cerrado exterior al circulo unitario hace
inestable al sistema.
2. Si un polo simple se presenta en z = 1, entonces
el sistema se convierte en críticamente estable.
También el sistema se convierte en críticamente
estable si un solo par de polos complejos
conjugados se presentan sobre el círculo unitario
en el plano z. Cualquier polo múltiple en lazo
cerrado sobre el circulo unitario hace al sistema
inestable.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
3. Los ceros en lazo cerrado no afectan la
estabilidad absoluta y por lo tanto pueden
quedar localizados en cualquier parte del plano
z. Entonces, un sistema de control en lazo
cerrado en tiempo discreto lineal e invariante
en el tiempo de una entrada/una salida se vuelve
inestable si cualquiera de los polos en lazo
cerrado se presenta por fuera del circulo
unitario y/o cualquier polo múltiple en lazo
cerrado se presenta sobre el circulo unitario
del plano z.
PD: Existen métodos algebraicos que dan información
sobre la estabilidad de un sistema sin necesidad
de resolver el polinomio característico.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

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4
Determine la estabilidad del
sistema en lazo cerrado para
una función de transferencia de
lazo abierto con un periodo de
muestreo de 1 segundo, igual a:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)1(
11
)(




sss
e
sG
s
s
e s
1
)1(
1
ss
-
+
C(s)
C(z)
R(s)
R(z)
δT
Solución obtenida a pulso o con
retenedor de orden cero
anteriormente
Con un periodo de muestre T=1
seg, se obtiene:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)1)(3679,0(
2642,03679,0
)(



zz
z
zG

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La función de transferencia de
lazo cerrado es entonces:
Y su ecuación
Característica:
que se convierte en:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)(1
)(
)(
)(
zG
zG
zR
zC


06321,0
02642,03679,0)1)(3679,0(
2


zz
zzz
0)(1  zG
Obteniendo las raíces de ecuación
característica, se llega a que:
En vista que
Se concluye que el sistema es
estable
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
6181,05,01 jz  6181,05,02 jz 
121  zz

6. 22/04/2013
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1. Criterio de Jury: Al aplicar la
prueba de estabilidad de Jury a
una ecuación característica dada
P(z) = 0, se construye una tabla
cuyos elementos se basan en los
coeficientes de P(z). Se supone
que la ecuación característica
P(z) es un polinomio en z, como
sigue:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
• Tabla del criterio de Jury
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

7. 22/04/2013
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Los elementos del primer renglón están formados por
los coeficientes en P(z) arreglados en orden de
potencias ascendentes de z. Los elementos del
segundo renglón están formados por los coeficientes
de P(z) arreglados en orden de potencias
descendentes. Los elementos correspondientes a los
renglones 3 hasta 2n -3 se obtienen mediante los
siguientes determinantes:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
• El último renglón de la tabla está formado
por tres elementos. (Para sistemas de
segundo orden, 2n -3 = 1 la tabla de Jury
estará sólo formada por un renglón, que
contiene tres elementos). Los elementos en
cualquier renglón par son simplemente los
coeficientes en orden inverso al renglón
impar inmediatamente anterior.
• Ahora haciendo una ligera modificación de
la tabla anterior por conveniencia, para
obtener los valores mas fácilmente.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

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Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Para un
sistema de
4 orden los
valores de
las q no
aparecen
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
• Un sistema con la
ecuación
característica
P(z) = 0 dado,
donde a0>0, es
estable, si todas
las condiciones
siguientes se
satisfacen:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

9. 22/04/2013
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• Examine la estabilidad de la
ecuación característica
siguiente:
SOLUCIÓN: note que:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
008,03,007,02,1)( 234
 zzzzzP
08,0
3,0
07,0
2,1
1
4
3
2
1
0





a
a
a
a
a
Examinando las condiciones del
criterio:
1.Se satisface que
2.Se satisface
3.Se satisface
4.Ahora armamos la tabla de
estabilidad Jury modificada, pare
encontrar los valores de bk y ck
muchos mas rápidos.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
04 aa 
009,008,03,007,02,11)1( P
4,089,108,03,007,02,11)1(  nP par

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Renglón z0 z1 z2 z3 z4
-0,08 1
1 -0,08
b3=-0,994
-0,08 -1,2
1 0,3
b2=1,176
-0,08 0,07
1 0,07
b1=-0,0756
1
2
-0,08 0,3
1 -1,2
b0=-0,204
-0,994 -0,204
-0,204 -0,994
c2=-0,946
-0,994 -0,0756
-0,204 1,176
c1=-1,184
3
4
-0,994 1,176
-0,204 -0,0756
c0=0,315
5 0,946 -1,184 0,315
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
4. De la tabla se obtienen lo valores
de las siguientes condiciones
Que son:
De hecho la ecuación característica
dada P(z) puede factorizarse de la
siguiente forma
En donde todas las raíces se
encuentran en el circulo unitario en
el plano z.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

11. 22/04/2013
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Examine la estabilidad de la
ecuación característica
siguiente:
SOÑUCIÓN: Primero identificamos
los coeficientes
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Para el sistema de tercer orden, buscamos una
a una las condiciones de estabilidad de
Jury.
1. Para la primera claramente se
ve se satisface
2. Ahora :
3. Para n=3 (impar)
4. Ahora calculando b2=-0,96 y b0=-0,12 de
allí que:
la cual se satisface claramente.
Examinado las raíces de la ecuación
característica se encuentra una raíz
simple en el circulo unitario (z=1), por
lo tanto el sistema críticamente estable.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

12. 22/04/2013
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Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Considere el sistema de control
de tiempo discreto con
realimentación unitaria, con un
periodo de muestreo T=1, cuya
función de transferencia pulso
en lazo abierto es.
Determine el rango de valores de
K para la estabilidad con la
prueba de Jury.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)1)(3679,0(
2642,03679,0(
)(



zz
zK
zG

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SOLUCIÓN: La función de lazo cerrado
quedaría:
De allí que ecuación característica para
el sistema sea:
Dado que le sistema es de segundo orden
las condiciones de estabilidad de Jury
son las siguiente:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
KzKz
zK
zR
zC
2642,03679,0)3679,13679,0(
)2642,03679,0(
)(
)(
2



02642,03679,0)3679,13679,0()( 2
 KzKzzP
• Aplicando ahora la primera
condición de estabilidad de
Jury:
Entonces:
De allí que
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
12642,03679,0
1
2642,03679,0
0
2



K
a
Ka
12642,03679,01  K

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• Para la segunda condición
Lo que da que
• Para la tercera tenemos
Lo que da
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
2,3925-5,1775
0 ∞
∞ 26,382



2,39250

15. 22/04/2013
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Este método requiere de la transformación del
plano z a otro plano complejo, el plano w.
Luego de transformarlo a este plano
complejo, se examina la Estabilidad con el
Criterio de Routh. La transformación
bilineal en el plano z es:
Cambiando para la variable de w, se obtiene:
donde , con
valores de σ real y ω imaginaria.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
1
1



w
w
z
1
1



z
z
w
 jw 
Reemplazando el valor de la z en la
ecuación característica
Por el valor se obtiene:
Multiplicando la expresión por
Ahora se puede aplicar el criterio de
la estabilidad de Routh igual que
en tiempo continuo.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
1
1


w
w
0...)( 1
1
10  

nn
nn
bzbzbzbzP
0
1
1
...
1
1
1
1
)( 1
1
10 























 

nn
nn
b
w
w
b
w
w
b
w
w
bzP
 n
w 1
0...)( 1
1
10  

nn
nn
awawawawQ

16. 22/04/2013
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• Tabla de estabilidad de ROUTH
Ing.JhonJairoAnayaDíaz
b1
Sistemas de Control Automatico - Katsuhiko Ogata
Considere la siguiente ecuación
característica
Determine si alguna de las
raíces se encuentre por fuera
del círculo unitario del plano
z. Utilice la transformación
bilineal y el criterio
de estabilidad de ROUTH.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
1
1



w
w
z

17. 22/04/2013
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• SOLUCIÓN: se sustituye a
, en la ecuación característica se
obtiene:
Luego se multiplica la ecuación por
, factorizando se encuentre:
Dividiendo la ecuación por -0,14 se
obtiene:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
𝒛 =
𝒘 + 𝟏
𝒘 − 𝟏
𝒘 − 𝟏 𝟑
El arreglo de ROUTH será
Se puede ver que la condición necesaria no se
cumple ya que todos coeficientes no tiene
el mismo signo; además, para la condición
suficiente encontramos que en la primera
fila del arreglo hay un cambio de signo,
esto conlleva a un polo en el semiplano
derecho del plano s, lo cual es análogo a
un polo fuera del circulo unitario del
plano z. Sistema Inestable
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

18. 22/04/2013
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• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo
Discreto. Segunda Edición.
• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y
Discreto
• BIBLIOGRAFÍA WEB
• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems.
Tercera Edición
• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Contol Ingineering.
Primera Edición.
• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System
Design. Tercera Edición
• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de
Procesos. Primera Edición
• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno.
Décima Edición.