Este documento presenta información sobre la ecuación de la hipérbola en geometría analítica. Explica los elementos de la hipérbola como sus vértices, focos y ejes. También presenta la ecuación canónica de la hipérbola y ejercicios de aplicación para encontrar la longitud del lado recto, el eje transverso y escribir la ecuación dado diferentes condiciones.

1. MATEMÁTICA II
Geometría Analítica
Ecuación de la Hipérbola
Sesión 6
Unidad Didáctica: 4
“Templar el alma para la vida” Área de Matemática

2. Programa de la Unidad Didáctica
Área de Matemática
• DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS - PUNTO MEDIO - DIVISIÓN
DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
• LA RECTA: ECUACION GENERAL DE LA RECTA
• LA CIRCUNFERENCIA: ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
ORDINARIA, CANONICA Y GENERAL
• LA PARABOLA: ECUACION DE LA PARABOLA
• ELIPSE: ECUACION DE LA ELIPSE
• HIPERBOLA: ECUACION DE LA HIPERBOLA
• TRASLACION DE SISTEMAS DE COORDENADAS I

3. Aprendizaje Esperado
• Identifica una hipérbola mediante las
diferentes formas de escribir su ecuación.
• Grafica y encuentra sus vértices, focos y ejes
• Resuelve problemas referentes a la ecuación
de la hipérbola
Área de Matemática

4. Puente Einstein - Rosen
¿viajar a través del tiempo y el espacio?
"Agujeros de gusano" es un nombre
curioso para algo tan exótico.
Aunque también es muy ilustrativo.
Después de revelar su teoría general de la relatividad
en 1915, Albert Einstein quedó preocupado por un gran
agujero en su argumento.
"Concibió una nueva teoría sobre todo el Universo, en
la que decía que cuando las estrellas colapsaban
formaban agujeros negros“.
"En esa época, se creía que lo agujeros negros no
existían. Incluso Einstein pensaba así. Pero algo le
molestaba:
"En el centro del agujero negro, alcanzabas la
singularidad, el punto en el que toda la materia se
comprime a tamaño 0 y, por ende, densidad infinita”.
Es como cuando divides algo por 0 en tu calculadora y
te dice que cometiste un error.
"Entonces, con el físico estadounidense-
israelí Nathan Rosen, publicaron un artículo donde
esa singularidad se convierte en un puente que
lleva del centro del agujero negro a otro lugar,
quizás a otro agujero negro o incluso a un agujero
blanco", explica Al-Khalili.
"Eso es lo que se conoce como el puente Einstein-Rosen".
“Básicamente, un cuerpo de densidad infinita crea una perforación del espacio-tiempo, haciendo que este
se curve de forma hiperboloidal, conectando dos puntos diferentes del cosmos, haciendo posible crear
“atajos” para viajar por el espacio y también …a través del tiempo.

5. Responde estas preguntas:
Área de Matemática
• ¿Qué es un Puente Einstein-Rose o
mas conocido como agujero de
gusano?
• Aunque matemáticamente es posible
su existencia, aun no se han
encontrado en la realidad. ¿Qué
forma geométrica podría
describirlos?
• ¿Existirán otras formas hiperboloides
en la naturaleza?

6. Hipérbola
• Hipérbola es el lugar geométrico de los
puntos del plano cuya diferencia de
distancias a dos puntos fijos, llamados
focos, es constante.
ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
Y: Es el eje secundario de la hipérbola.
X: Es el eje focal de la hipérbola.
F y F´: Son los focos de la hipérbola.
A y A´: Son los vértices de la hipérbola.
O: Es el centro de la hipérbola.
P: Es un punto de la hipérbola.
PF y PF´: Son los radio vectores de la
hipérbola.
L y L´ : Lados rectos
F´ F
A
A´
Y
X
O
P
PF – PF' = 2a

7. Ecuación analítica de la hipérbola:
2c: Se le llama distancia focal.
2a: Eje transverso.
2b: Eje conjugado o secundario.
F´ F
A
A´
Y
O
P
2a
2c
podemos obsevar que c2 = a2 + b2
Si el eje focal es vertical.
Ec. General :
Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0
Si el eje focal es horizontal.
Ecuacion canónica
b c
b
Longitud del Lado Recto: L =
2𝑏2
𝑎
Excentricidad: e =
𝑐
𝑎

8. 1. Hallar la longitud del lado recto de la hipérbola:
(𝑥+2)2
20
−
𝑦−6 2
36
=1
Ejercicios De Aplicación
Si el eje focal es horizontal.
a2 = 20 a = 2 5
b2 = 36 b= 6
Longitud del Lado Recto: L =
2𝑏2
𝑎
L =
2(36)
2 5
L =
(36)
5
. 5
. 5
L =
36 5
5

9. Ejercicios De Aplicación
2. Dada la hipérbola 2x2 - y2 = 3, ¿Cuánto mide su eje
transverso?
Debemos darle la forma
canónica a la ecuación:
Para ello dividimos la
ecuación entre 3 :
2x2 - y2 = 3
3 3 3
Acomodando los
coeficientes se obtiene:
𝑥2
(3
2)
-
𝑦2
3
= 1
Haciendo la comparación
vemos :
a2 = 3/2 a = 3/2
Pero el eje transverso es 2a: 2a =2
3
2
Racionalizando: 2a = 6

10. 3. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola equilátera centrada
en el origen, con vértice en (0; 4)?
Ejercicios De Aplicación
V(0;4)
x
y
4
a
4
c(0;0)
La ecuación canónica de la
hipérbola con eje transverso en el
eje “y”:
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1
𝑎 = 4
Donde:
Si la hipérbola es
equilátera: 𝑏 = 4
𝑦2
42 −
𝑥2
42 = 1
𝑦2
16
−
𝑥2
16
= 1

11. 4. Escribir la ecuación de la hipérbola cuyo centro sea el
origen del sistema de coordenadas rectangulares, un
vértice en (2; 0) y su eje conjugado de longitud igual a 6
Ejercicios De Aplicación
(2;0) x
y
3
3
2
Observamos que el eje
transverso está sobre el eje
“x” :
𝑎 =2
𝑏 =3
Donde:
𝑥2
22 −
𝑦2
32 = 1 𝑥2
4
−
𝑦2
9
= 1

12. 5. Escríbase la ecuación canónica de la hipérbola si la
distancia focal es igual a 10 y la hipérbola pasa por el punto
(3; 0)
Ejercicios De Aplicación
Recordemos que la Ec.
Canónica tiene la forma:
Donde: c2 = a2 + b2
Y la distancia focal: 2c
2c =10 c =5 a2 + b2 = 52 a2 + b2 = 25
Reemplazando el punto de paso en la ecuación:
(3)2
𝑎2 −
0 2
𝑏2 =1
9
𝑎2 =1 9 = 𝑎2 𝑎 = 3
32 + b2 = 25
𝑏 = 4
La ecuación de la hipérbola será:
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1

13. Realiza un organizador visual
donde describas todo lo
aprendido sobre triángulos
Área de Matemática

14. PARTE II
Ecuación de la Hipérbola

15. 6. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola si su centro es
C:(1;1) y un foco con su vértice correspondiente son (7; 1)
y (5; 1)?
Ejercicios De Aplicación
(1;1)
x
y
c
a
1
v(5;1) f(7;1)
1
Si el eje focal es horizontal.
Además: c2 = a2 + b2
𝑎 = 4
c = 6
Donde: 62 = 42 + b2
36 -16 = b2
b2 = 20
(𝑥 − 1)2
42
−
(𝑦 − 1)2
20
= 1
Centro:(h;k)=(1;1)
(𝑥 − 1)2
16
−
(𝑦 − 1)2
20
= 1

16. 7. Hallar el centro de la hipérbola: 4y2-16x2-48x-4y+1=0
Ejercicios De Aplicación
-16(x2 + 3x ) + 4(y2 – y) + 1 = 0
Factorizando:
Completando
cuadrados: -16(x2 + 3x +(
3
2
)2 − (
3
2
)2) + 4(y2 -y + (
1
2
)2 − (
1
2
)2 ) + 1 = 0
-16[ -
9
4
] +
(x+
3
2
)2 4[ -
1
4
] + 1 = 0
(y-
1
2
)2
-16x2 - 48x + 4y2 – 4y + 1 = 0
Ordenando:
+ 1 = 0 16 (x+
3
2
)2 - 4(y-
1
2
)2 =36
Dividimos entre 36 16(𝑥 +
3
2
)2
36
−
4(𝑦 −
1
2
)2
36
= 1
-16 (x+
3
2
)2 + 36 + 4(y-
1
2
)2 - 1
Finalmente: (x +
3
2
)2
9
4
+
(y −
1
2
)2
9
= 1
ℎ = −
3
2
𝑘 =
1
2
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜(−
3
2
;
1
2
)

17. 8. Determine la ecuación de la hipérbola de centro (2; 1) cuyo eje
transverso mide 10 y paralelo al eje X, además su excentricidad
es 7/5
Ejercicios De Aplicación
Centro:(h;k)=(2;1)
2
1
2a: Eje transverso.
2𝑎 =10
𝑎 = 5
Excentricidad: e =
𝑐
𝑎
𝑐
𝑎
=
7
5
𝑐
5
=
7
5
c = 7
Además: c2 = a2 + b2
𝑎 =5
c = 7
Donde: 72 = 52 + b2
49 -25 = b2
b2 = 24
Si el eje focal es horizontal.
(𝑥 − 2)2
25
−
(𝑦 − 1)2
24
= 1

18. Ejercicios De Aplicación
9. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los
vértices de la elipse: 11x2 + 7y2 = 77, y cuyos vértices son los
focos de esta elipse
Hallemos los vertices y los focos de la elipse:
11x2 + 7y2 = 77
Dividimos entre 77
11𝑥2
77
+
7𝑦2
77
= 1
𝑥2
7
+
𝑦2
11
= 1
𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐: ℎ; 𝑘 = (0; 0)
𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆𝒔: ℎ; 𝑘 + 𝑎 = (0; 0 + 11) = (0; 11)
ℎ; 𝑘 − 𝑎 = (0; 0 − 11) = (0; − 11)
𝑭𝒐𝒄𝒐𝒔: ℎ; 𝑘 + 𝑐 = (0; 0 + 2) = (0; 2)
ℎ; 𝑘 − 𝑐 =(0; 0 − 2) = (0; −2)
Vemos que es una elipse de eje vertical centrada en el origen
b = 7
𝑎 = 11
Donde:
Además: c2 = a2 - b2
c2 = 11 - 7
c2 = 4
c = 2
Para la hipérbola: 𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆𝒔: (0; 2)
(0; −2)
𝑭𝒐𝒄𝒐𝒔: (0; 11)
(0; − 11)

19. Ejercicios De Aplicación
9. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los
vértices de la elipse: 11x2 + 7y2 = 77, y cuyos vértices son los
focos de esta elipse
Para la hipérbola: 𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆𝒔: (0; 2)
(0; −2)
𝑭𝒐𝒄𝒐𝒔: (0; 11)
(0; − 11)
V(0;2)
x
y
a
2
c(0;0)
La ecuación canónica de la hipérbola
con eje transverso en el eje “y”:
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1
Donde: 𝑎 =2
f(0; 11)
c11
c = 11
Además: c2 = a2 + b2
11 = 4 + b2
b2 = 7
Reemplazando:
𝑦2
4
−
𝑥2
7
= 1

20. METACOGNICIÓN
• ¿Qué aprendimos hoy?
• ¿Qué dificultades has encontrado y
como las has resuelto?
• ¿Cómo puedes aplicar lo aprendido en
la vida diaria?
Área de Matemática