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1. SECCIONES CÓNICAS - PARÁBOLA
Considero más valiente
al que conquista sus
deseos, que al que
conquista a sus
enemigos, ya que la
victoria más dura es la
victoria sobre uno
mismo.
aristóteles
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión el estudiante identifica los elementos y grafica la parábola. Reconoce las
diferentes expresiones algebraicas que representan una parábola y resuelve problemas aplicados
a la ingeniería donde utiliza conceptos y propiedades de la parábola”
6.2. Secciones Cónicas
El nombre de “secciones cónicas” se derivó
del hecho de que estas figuras se encontraron
originalmente en un cono. Cuando se hace in-
tersectar un cono con un plano obtenemos dis-
tintas figuras. Cada una de ellas es una cónica.
CONO: Es el lugar geométrico que se forma
al hacer girar una recta que pasa por el
origen alrededor de un eje. La recta que
se hace girar siempre se considera distinta
al eje y se conoce como generatriz.
6.2.1. La Parábola
Una parábola es el conjunto de todos los
puntos en el plano que equidistan de un recta
fija Ld , llamada directriz y de un punto fijo F
denominado foco.
P = p ∈ R2 ; d(P, F) = d(P, Ld )
Elementos de la parábola:
103

2. SECCIONES CÓNICAS
Distancia focal o parámetro (p): Es la dis-
tancia del foco al vértice y se le asigna la
letra p
Eje de simetría (L1 ): Recta perpendicular a
la directriz Ld que pasa por el vértice y el
foco.
Directriz(Ld ): Recta fija que dista p del vér-
tice.
Foco (F): Es un punto tal que cada punto de
la parábola posee la misma distancia que
hasta la recta directriz.
Vértice (V): Es el punto de intersección de la
parábola con eje de simetría.
Cuerda (CE): Es el segmento de la recta que
une dos puntos cualesquiera de la pará-
bola.
Cuerda focal (AB).- Segmento de la recta
que une los puntos de la parábola pasan-
do por el foco.
Lado recto (LR): Es una cuerda focal per-
pendicular al eje de simetría.
6.2.1.1. Ecuación de la Parábola
PARÁBOLA CON EJE MAYOR PARA-
LELO AL EJE Y
Consideremos la parábola cuyo eje es para-
lelo al eje Y, y cuyo vértice s el punto V (h, k).
La ecuación de dicha parábola es de la for-
ma
P : (x − h)2 = 4p(y − k)
Si p>0 la parábola es cóncava hacia arriba.
Si p<0 la parábola es cóncava hacia abajo
Elementos:
Foco: F(h, k + p)
Extremos del lado recto:
L(h − |2p|, k + p); R(h + |2p|, k + p)
Directriz: Ld : y = k − p
Ecuación del eje: x = h
Longitud del lado recto: LR = |4p|
Ecuación general:
P : x2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo 72. Bosqueje la gráfica de la ecuación
4x2 − 48y − 20x − 71 = 0; y halle las ecuacio-
nes de la recta Directriz, el Eje focal; Vértice,
Foco y lado recto.
Solución. :
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3. SECCIONES CÓNICAS
PARÁBOLA CON EJE MAYOR PARA-
LELO AL EJE X
Consideremos la parábola cuyo eje es para-
lelo al eje X, y cuyo vértice s el punto V (h, k).
La ecuación de dicha parábola es de la for-
ma
P : (y − k)2 = 4p(x − h)
Si p>0 la parábola es cóncava hacia la de-
recha.
Si p<0 la parábola es cóncava hacia la iz-
quierda.
Elementos:
Foco: F(h + p, k)
Extremos del lado recto:
L(h + p, k + |2p|); R(h + p, k − |2p|)
Directriz Ld : x = h − p
Ecuación del eje: y = k
Longitud del lado recto: LR = |4p|
Ecuación general:
P : y2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo 73. Bosqueje la gráfica de la ecuación
6y + y2 − 8x − 2 = 0; y halle las ecuaciones de
la recta Directriz, el Eje focal; Vértice, Foco y
lado recto.
Solución. :
.
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4. SECCIONES CÓNICAS
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA
Semana 11 Sesión 02
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Grafique la cónica y halle el vértice, el
foco, la ecuación de la recta directriz de
4y2 + 32x + 12y − 87 = 0
Solución. :
Respuesta:
2. Halle la ecuación general de la parábola
con vértice en (2; 5) y foco en (2; −3)
Solución. :
Respuesta:
3. Encuentre los puntos de intersección
la recta y = −2x + 2 con la parábola
2x2 − 4x − 2 − y = 0 y bosqueje ambas
graficas en el mismo plano coordenado.
Solución. :
Respuesta:
4. Se quiere construir los faros para un auto
clásico, el nuevo diseño tiene un fondo de
25 cm. Y un ancho de 30 cm. Determinar
la distancia desde el fondo donde se en-
cuentra ubicado el Foco y la ecuación de
la Parábola.
Solución. :
Respuesta:
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5. SECCIONES CÓNICAS
5. Hallar la ecuación general de la parábola
de eje focal paralelo al eje X, si su fo-
co y vértice son los extremos de un diá-
metro de la circunferencia de ecuación
C : x2 + y2 − 8x + 6y = 0
Solución. :
Respuesta:
6. Dados los puntos (−1, 2); (0, −1); (2, 1)
Determina la ecuación de la parábola que
pase por los tres puntos dados y tal que
su eje focal sea paralelo al eje Y
Solución. :
Respuesta:
7. El techo de un pasillo de 8 metros de an-
cho tiene la forma de una parábola con 9
metros de altura en el centro, así como de
6 metros de altura en las paredes latera-
les. Calcule la altura del techo a 2 metros
de una de las paredes.
Solución. :
Respuesta:
8. Grafique la cónica y halle el vértice, el
foco, la ecuación de la recta directriz de
3x2 + 24y − 30x + 43 = 0
Solución. :
Respuesta:
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6. SECCIONES CÓNICAS
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar la ecuación de la parábola de eje fo-
cal paralelo al eje Y sabiendo que su lado
recto es un diámetro de la circunferencia
x2 + y2 + 2x + 4y + 4 = 0
Solución. :
Respuesta:
2. Determinar la ecuación de la recta per-
pendicular a la recta que contiene al lado
recto de la parábola y2 − 10x = 0 y que
pasa por el punto (3; −7)
Solución. :
Respuesta:
3. Un puente tiene forma de arco parabólico,
tiene una extensión de 20m y una altura
máxima de 2,5m. Hallar la ecuación de la
parábola que genera este arco.
Solución. :
Respuesta:
4. Si las torres de un puente parábolico col-
gante tienen una separación de 400m y
los cables están atados a ellas a 200m por
arriba del piso del puente. Calcular la lon-
gitud que debe tener un puntal que está
a 50m de la derecha
Solución. :
Respuesta:
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7. SECCIONES CÓNICAS
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
TAREA DOMICILIARIA
1. Grafique la cónica y halle el vértice, el foco, la ecuación de la recta directriz de
9x2 + 72x + 24y + 24 = 0
2. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje Y y que pasa por los puntos
(4,5); (−2, 11) ; (−4, 21).
3. Hallar la ecuación general de la parábola de vértice (5, −3) y cuya directriz es la recta
x = 2
4. Una antena parabólica para televisión tiene un diámetro de 1m y su receptor está colocado
25cm por arriba de su vértice. Calcular la profundidad que tiene la antena.
5. Una cuerda de la parábola P : y2 − 4x = 0 es un segmento de la recta L : x − 2y + 3 = 0.
Hallar su longitud.
6. Calcular la altura de un punto de un arco parabólico de 18 metros de altura y de 24 metros
de base situada a una distancia de 8 metros del centro del arco.
7. Grafique la cónica y halle el vértice, el foco, la ecuación de la recta directriz de la parábola:
x2 − 4x − y + 3 = 0
8. Se quiere construir una cocina solar de forma Parabólica con un fondo de 2 mt. y 1.5mt.
de ancho. A que distancia del fondo se encuentra el punto donde se debe colocar la olla de
cocción.
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