El documento presenta definiciones y ejercicios sobre elipses e hipérbolas para estudiantes de décimo grado. Incluye las definiciones de elipse, sus partes, ecuaciones y ejemplos de ejercicios. También define la hipérbola, sus partes y la ecuación canónica cuando los focos están en el eje x. Se asignan fechas de entrega de los ejercicios para diferentes cursos.
En esta presentación se ofrece una vista a gran escala de lo que son las secciones cónicas, su historia, como aparecen en la vida diaria, como podemos presentarlas a los estudiantes de una forma más simple, sus ecuaciones y finalmente algunos recursos electrónicos.
Problema para encontrar la ecuación ordinaria y general de una circunferencia, utilizando las respectivas fórmulas de distancia entre dos puntos, y las de las ecuaciones.
Asignación de Cónicas : (Parábola)
Definición de Parábola (como lugar geométrico).
-Elementos de una Parábola (dibujo).
-Ecuación canónica de una Parábola (demostración).
- Ecuación general de una Parábola (demostración).
-Resolución de un problema de Parábola (cada equipo hará uno distinto).
En esta presentación se ofrece una vista a gran escala de lo que son las secciones cónicas, su historia, como aparecen en la vida diaria, como podemos presentarlas a los estudiantes de una forma más simple, sus ecuaciones y finalmente algunos recursos electrónicos.
Problema para encontrar la ecuación ordinaria y general de una circunferencia, utilizando las respectivas fórmulas de distancia entre dos puntos, y las de las ecuaciones.
Asignación de Cónicas : (Parábola)
Definición de Parábola (como lugar geométrico).
-Elementos de una Parábola (dibujo).
-Ecuación canónica de una Parábola (demostración).
- Ecuación general de una Parábola (demostración).
-Resolución de un problema de Parábola (cada equipo hará uno distinto).
Crónicas, ecuaciones paramétricas y Coordenadas polaresLuis Vargas
• Entender la definición de una sección cónica.
• Analizar y dar las ecuaciones de parábola utilizando las propiedades de la parábola.
• Analizar y dar las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse.
• Analizar y dar las ecuaciones de la hipérbola utilizando las propiedades de la hipérbola.
• Trazar la gráfica de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas.
• Eliminar el parámetro en un conjunto de ecuaciones paramétricas.
• Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una curva.
• Entender dos problemas clásicos del cálculo, el problema tautocrona y el problema braquistocrona.
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Caso pratico análise analise de vibrações em rolamento de HVAC para resolver problema de lubrificação apresentado durante a 1ª reuniao do Vibration Institute em Lisboa em 24 de maio de 2024
Criterios de la primera y segunda derivadaYoverOlivares
Criterios de la primera derivada.
Criterios de la segunda derivada.
Función creciente y decreciente.
Puntos máximos y mínimos.
Puntos de inflexión.
3 Ejemplos para graficar funciones utilizando los criterios de la primera y segunda derivada.
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LIBRO DE CONTABILIDAD FINANCIERA, ESTE TE AYUDARA PARA EL AVANCE DE TU CARRERA EN LA CONTABILIDAD FINANCIERA.
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Convocatoria de becas de Caja Ingenieros 2024 para cursar el Máster oficial de Ingeniería de Telecomunicacion o el Máster oficial de Ingeniería Informática de la UOC
1. ELIPSE E HIPERBOLA
DEFINICIONES Y EJERCICIOS
Chía, Octubre 22 de 2015
Señores Estudiantes grados Décimos
Adjunto encontrarán las definiciones y los ejercicios que deben realizar de los dos
temas pendientes para la evaluación general del cuarto periodo, todos los ejercicios
deben ser elaborados algunos en clase y los demás en hojas para entregar si hay alguna
pregunta o inquietud, se resuelve en clase. A continuación aparece la fecha de entrega
para cada curso de acuerdo al horario de clases así:
1001, 1002, 1004, 1006 (Nov-3-15)
1003 (Nov-5-15)
Algunos de los datos que aparecen en esta presentación corresponden a imágenes y
conceptos de internet, los ejercicios son del libro de Santillana grado 10°
Cordialmente,
Rosario Monastoque R
Profesora de Matemáticas
2. Excentricidad: (e) en matemáticas, geometría,
astronomía y otras ciencias exactas, es un
parámetro que determina el grado de desviación de
una sección cónica con respecto a una
circunferencia.
Valores de la excentricidad en secciones cónicas:
Circunferencia e = 0
Elipse 0 < e < 1
Parábola e = 1
Hipérbola e > 1
3. 3
Una elipse es un lugar geométrico de los puntos (x, y) de un
plano, que tienen la propiedad de que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es
constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor AB
de la elipse.
ELIPSE
4. F2 F1
Partes de La elipse
foco foco
..
eje focal
..
vértice vértice
.
centro
V2 V1
v3
v4
.
.
V3v4: eje menor
V1V2 : eje mayor
6. 6
00
e
a
y;
e
a
y
Excentricidad
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x
Latus rectum
a
ba
a
c
e
22
a
b2
2
00
e
a
x;
e
a
x
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje y
Se denomina latus Rectum de la Elipse al segmento de
recta perpendicular al semieje mayor, pasando por uno de
los focos y cuyos extremos están sobre la elipse.
Analíticamente el Latus Rectum es:
7. F2 F1
Elipse con centro (0,0) y eje
mayor sobre x
.. .. .V2 V1
v4
v3
.
.
X2 Y2
a2 b2
---- + ---- = 1
X
Y
8. Elipse con centro (0,0) y eje
mayor sobre y
.. .V2 V1
v4
v3
.
.
X2 Y2
b2 a2
---- + ---- = 1
X
Y
.
F1
F2
9. Elipse con eje focal paralelo al eje x
.
x
y
..F2 F1
(h,k)
(x - h)2 (y - k)2
a2 b2
____ ____+ = 1
V2 V1
V3
V4
10. Elipses con eje focal paralelo al eje y
(h,k)
.
x
y
.
.F1
F2
(x - h)2 (y - k)2
b2 a2
____ ____+ = 1
V2
V1
V3 V4
12. Si las coordenadas de los vértices
de una elipse son V (3,0), V(-3,0),
V(0,5), V(0,-5) graficar y
determinar:
1.Centro
2.Longitud del semieje mayor
3.Longitud del semieje menor
4.Coordenadas del foco
13. Luego de dibujar la elipse , ubicamos el centro
que corresponde al punto medio entre los
vértices mayores y menores. Por lo tanto el
centro es (0,0)
La longitud del semieje mayor se determina por
la longitud del segmento que une el centro con
un vértice mayor, por lo tanto el semieje mayor
mide a= 5
La longitud del semieje menor se determina por
la longitud del segmento que une el centro con
un vértice menor por lo tanto el semieje menor
mide b= 3
14. Los focos deben ubicarse
sobre el eje mayor en este
caso sobre el eje y entre el
centro con un vértice
menor.
Como a mide 5 y b mide 3 ,
entonces calculamos el
valor de c mediante el
teorema de Pitágoras
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
Luego el resultado de c es 4
La coordenadas del foco
son F(0,4) y F(0,-4)
15. 𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
Ecuación Canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje x
y centro (0,0)
Ecuación Canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje y
y centro (0,0)
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1
16. Ecuación Canónica de la elipse con centro en un punto (h,k)
y eje mayor paralelo al eje x es:
(𝑥;ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦;𝑘)2
𝑏2 = 1
Ecuación Canónica de la elipse con centro en un punto (h,k)
y eje mayor paralelo al eje y es:
(𝑥;ℎ)2
𝑏2 +
(𝑦;𝑘)2
𝑎2 = 1
17. Ecuación General de la elipse es:
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + Cx + Dy + E = 0 para A, B, C, D, E ∈ R
Ejemplo hallar las coordenadas del centro y de los focos de la elipse cuya ecuación
general es:
9𝑥2
+ 4𝑦2
− 54x − 40y + 145 = 0
PROCESO: Expresamos la ecuación general en forma canónica organizando los
trinomios y completando cuadrado para factorizar
9(𝑥2 − 6x+ ) + 4(𝑦2 − 10y+ ) = −145
9(𝑥2
− 6x + 9) + 4(𝑦2
− 10y + 25 = −145 + 81 + 100
18. 9(𝑥2 − 6x+ ) + 4(𝑦2 − 10y+ ) = −145
9(𝑥2 − 6x + 9) + 4(𝑦2 − 10y + 25 = −145 + 81 + 100
9(𝑥 − 3)2 + 4(𝑦 − 5)2 = 36 dividimos entre 36
9(𝑥 − 3)2
36
+
4(𝑦 − 5)2
36
=
36
36
(𝑥;3)2
4
+
(𝑦;5)2
9
= 1
Las coordenadas del centro son (3,5)
Como 𝑐2
= 𝑏2
− 𝑐2
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐2
= 5, 𝑐 = 5
Las coordenadas del foco son: F(3, 5+ 5) y F(3, 5- 5)
Dibujar en el plano la elipse
19. Expresar en forma canónica cada una de las ecuaciones generales
dibujando y hallando las coordenadas del centro y de los focos de la
elipse cuya ecuación general es:
1. 24𝑦2
+ 2𝑥2
+ 48y + 4x − 22 = 0
2. 2𝑦2
+ 11𝑥2
+ 36y + 44x + 184 = 0
3. 26𝑦2
+ 24𝑥2
− 312y + 336x + 1488 = 0
4. 22𝑦2
+ 32𝑥2
− 308y − 512x + 2422 = 0
5. 30𝑦2
+ 32𝑥2
− 120y − 64x − 808 = 0
6. 12𝑦2
+ 16𝑥2
+ 72y + 128x + 172 = 0
7. 5𝑦2
+ 36𝑥2
− 60y + 216x + 324 = 0
8. 11𝑦2
+ 14𝑥2
− 22y − 252x + 991 = 0
9. 14𝑦2
+ 16𝑥2
+ 112y − 160x + 400 = 0
10.10𝑦2
+ 17𝑥2
+ 80y + 102x + 143 = 0
32. Hipérbola
32
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos (x , y) de un
plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias
a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es constante e igual a
la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
aPFPF 221
33. V’ VF´ F
B
B´
oFocos: F y F´
oVértices: V y V´
oEje transverso: VV´
oCentro: C
oEje conjugado: BB´
oLados Rectos:
LR y L´R´.
C
oAsíntotas
34. Partes de la Hipérbola
34
C: punto central de la hipérbola donde se
cruzan las asíntotas.
Eje transversal: línea que une los puntos
focales (F1 y F2).
a : distancia del vértice al centro sobre el
eje transversal.
Eje conjugado: línea perpendicular al eje
transversal de distancia 2b.
b: punto de corte del eje conjugado con la
circunferencia de centro a y radio c.
Directrices, D1 y D2 : líneas paralelas al eje
conjugado.
Latus rectum: cuerda que pasa por el
foco en forma paralela a la directriz.222
cba
36. Hipérbola - Demostración
36
1
020
200
2
2
2
2
22
22222
222
22222222
222
2222
2222
b
y
a
x
ba
baayxb
bac
acayaxac
ycxaacx
ycxaycx
aycxycx
)(
)(
)()(
)()(
Dividiendo por
Haciendo que
Elevando al cuadrado y
reduciendo términos
Elevando al cuadrado y
simplificando
aPFPF 221
222
cba
37. V’(−a, 0) V(a, 0)F´(−c, 0) F(c, 0)
B(0, b)
B´(0, −b)
HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN EL EJE X
38. Ecuación Canónica de la Hipérbola
con centro (0,0) y focos en el eje X
38
12
2
2
2
b
y
a
x
122
ByAx
Ecuación general de una hipérbola con centro en el origen y
focos sobre los ejes de coordenadas
39. • Ecuación: ,
• Centro: C(0, 0)
• Coordenadas de sus vértices: V(a, 0) y V´(-a, 0)
• Coordenadas de los extremos del eje conjugado:
B(0, b) y B´(0, -b)
• Coordenadas de sus focos: F(c, 0) y F´(-c, 0)
• Longitud del eje transverso: VV´= 2a
• Longitud del eje conjugado: BB´=2b
• Longitud de cada lado recto:
• Excentricidad:
• Asíntotas:
40. V’(0, −a)
V(0, a)
F´(0, −c)
F(0, c)
B(b, 0)B´(−b, 0)
HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN EL EJE Y
41. • Ecuación: ,
• Centro: C(0, 0)
• Coordenadas de sus vértices: V(0, a) y V´(0, -a)
• Coordenadas de los extremos del eje conjugado:
B(b, 0) y B´(-b, 0)
• Coordenadas de sus focos: F(0, c) y F´(0, -c)
• Longitud del eje transverso: VV´= 2a
• Longitud del eje conjugado: BB´=2b
• Longitud de cada lado recto:
• Excentricidad:
• Asíntotas:
42. Ecuación Canónica de la Hipérbola
con centro (0,0) y focos en el eje Y
42
12
2
2
2
b
x
a
y
122
ByAx
Ecuación general de una hipérbola con centro en el origen y
focos sobre los ejes de coordenadas
43. Hipérbola
43
hx
b
a
kyhx
a
b
ky ;
Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola con centro
en las coordenadas (h,k) para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
x
b
a
yx
a
b
y ;
44. Hipérbola
44
x
b
a
yx
a
b
y ;
Excentricidad
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x
y cuando están sobre el eje y
Latus rectum
Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
a
c
e
a
b 2
2
e
a
y
e
a
x ;
45. Consideremos el centro de la hipérbola el par ordenado C(h,k)
12
2
2
2
b
ky
a
hx
Ecuación General de la Hipérbola
022
FDyCxByAx
Ecuación Canónica de la Hipérbola
con centro (h,k) y eje focal paralelo al eje X
46. 12
2
2
2
b
hx
a
ky
Ecuación General de la Hipérbola
022
FDyCxBxAy
Ecuación Canónica de la Hipérbola
con centro (h,k) y eje focal paralelo al eje Y
47. Ecuación Canónica de la Hipérbola
con centro (h,k)
47
Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal
paralelo al eje x
12
2
2
2
b
ky
a
hx
12
2
2
2
b
hx
a
ky
Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal
paralelo al eje y
Ecuación general de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) y
ejes paralelos a los de las coordenadas x y y, siendo A y B del mismo signo
022
FEyDxByAx