Este documento presenta una sesión sobre probabilidades que incluye probabilidades simples, conjuntas, condicionales y totales. Explica conceptos como espacio muestral, eventos, reglas de probabilidad como la ley de adición y multiplicación, y cómo calcular probabilidades a través de ejemplos como extraer bolas de una urna o seleccionar empleados según edad y sexo. También introduce diagramas de árbol para organizar cálculos de probabilidad y el teorema de probabilidad total para calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades

1. Escuela de
Administración
TOMA DE DECISIONES
SESIÓN 2
Probabilidades: Simple, Conjunta,
Condicional, Total.

2. Administración
Pregrado
1. Probabilidad Simple

3. Administración
Pregrado
Teoría elemental de la probabilidad.- es la
parte de las matemáticas que se encarga del
estudio de los fenómenos o elementos
aleatorios.
Experimento aleatorio.- todo aquel
experimento que cuando se le repite bajo las
mismas condiciones iniciales, el resultado
que se obtiene no siempre es el mismo.
Ejemplos: cara, sello = pcara = 1/2
- Lanzar una moneda.
- Lanzar un dado.

4. Administración
Pregrado
¿Cómo calculamos probabilidades?
Haciendo uso de las estadísticas.
Basándose en la experimentación.
Asignando probabilidades.
Se hace uso de la información que se ha acumulado
acerca del evento que nos interesa, y se procede a
calcular las probabilidades requeridas.
Determine la probabilidad de que en cierta línea de
producción se manufacture un producto defectuoso, si
se toma como referencia que la producción de la
última semana en esta línea fue de 1,500 productos,
entre los que se encontraron 18 productos
defectuosos.

5. Administración
Pregrado
p(producto defectuoso) = No de productos defectuoso /Total
de productos producidos en la semana
= 18 / 1500 = 0.012
Lo anterior nos indica que es muy probable que 1.2 % de
productos que se manufacturen en esa línea serán
defectuosos.

6. Administración
Pregrado
Probabilidad de Eventos.
Espacio muestral (Ω).- Es el conjunto de todos los resultados
posibles de un experimento. Es nuestro Universo.
1. Se lanza al aire un dado normal (perfectamente
equilibrado), enumere los posibles resultados de este
experimento.
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
2. Se lanza al aire una moneda normal, defina su espacio
muestral.
Ω = { c, s }

7. Administración
Pregrado
Definición de Evento.
Un evento se define como la posibilidad que ocurra un
suceso de interés.
Evento.- Es un subconjunto del espacio muestral. E
= evento seguro.
Ø = evento imposible.
1. Sea A el evento de que aparezca un número par
en el lanzamiento de un dado = { 2, 4, 6 } ,
N(A) = 3
3/6 =0.5

8. Administración
Pregrado
PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento.- Se lanza una moneda
Evento A.- que al lanzar una moneda caiga cara.
Calcular la probabilidad de A:
Ω = { C, S}, N(Ω) = 2
A = { C }, N(A) = 1
( ) 1
( ) .5
( ) 2
N A
P A
N
  


9. Administración
Pregrado
PROBABILIDAD
Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera y
A un evento, tal que A  S, entonces se
cumple que
0  P(A)  1 (3)
esto significa que la probabilidad de cualquier evento
no puede ser más grande que uno, ni ser
menor que cero. Si es igual a 1 se llama
evento seguro, y cuando es cero se llama
evento imposible.
P(A)
P(A)
___________________________________
-2 -1 0 1 2

10. Administración
Pregrado
REGLAS DE PROBABILIDAD
Ley Especial de Adición: Se aplica para eventos MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Por lo tanto, se
aplica la propiedad de los conjuntos que dice que: la unión de dos eventos (A y B) ocurre cuando
una de las alternativas sucede, sea el evento “A”, ó sucede el evento “B”, ó suceden ambos
eventos. Por lo tanto, el conjunto de resultados de un experimento pertenece a algunos de los dos
eventos dados: (A U B), entonces:
P (A U B) = P(A) + P(B)
Ley General de Adición: Se aplica para eventos que NO SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES, ya
que es posible que ambos aparezcan al mismo tiempo. De allí que aparezca una Probabilidad
Conjunta, es decir, aquella medida de probabilidad que evalúa la posibilidad de que dos o más
eventos ocurran en forma simultanea. Por tal motivo, se debe modificar la regla especial de la
adición, con tal de no contar doble:
P (A ó B) = P(A) + P(B) – P(A y B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) ; donde: P (A∩B) = #(A∩B)/#Ω

11. Administración
Pregrado
Son mutuamente excluyentes
( ) 1
( )
( ) 4
( ) 2
( )
( ) 4
1 2 3
( ) ( ) ( )
4 4 4
N A
P A
N
N B
P B
N
P A B P A P B
 

 

     

12. Administración
Pregrado
El evento es 3 veces sello
https://www.youtube.com/watch?v=yQPiyswq
CY8

13. Administración
Pregrado
2. La probabilidad conjunta
La probabilidad conjunta (P) se refiere a
la probabilidad de que ocurran dos eventos al mismo
tiempo, donde un evento puede entenderse como
cualquier cosa que se esté midiendo, como una carta
específica que se roba o un lanzamiento de dados.
Intersección de 2 eventos:
Es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece
a los 2 eventos dados. Es decir, la intersección de 2 eventos
“A” y “B” se realiza cuando ocurren simultáneamente ambos
eventos.
P (A∩B) = #(A∩B)/#Ω

14. Administración
Pregrado
Ley Especial de Multiplicación: Esta regla especial de la multiplicación requiere que dos eventos “A” y “B” sean
independientes. Ello implica que la ocurrencia de uno no altera la posibilidad de que suceda otro, o, lo que es lo mismo,
el resultado de un segundo evento no depende del resultado del primero. Si lo anterior se cumple la probabilidad de
que ocurran ambos eventos se obtiene multiplicando las dos probabilidades (Probabilidad de la Intersección de
Sucesos INDEPENDIENTES):
P (A y B) = P(A)*P(B) = P(A∩B) = #(A∩B)/#Ω
Ley General de Multiplicación: La probabilidad de que ocurra un evento determinado, dado que otro evento ya sucedió
se llama Probabilidad Condicional. Dados dos eventos, “A” y “B”, la Probabilidad Conjunta de que ambos ocurran se
encuentra multiplicando la probabilidad de que suceda el evento “A”, por la probabilidad condicional de que ocurra el
evento “B”. Esto es, la probabilidad de que un evento dado ocurra dado que otro evento ya ocurrió, es:
P (B, dado A) = P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
 P (A∩B) = P(B/A)*P(A) = P (A y B)
Lo último indica que, cuando dos eventos ocurren simultáneamente, a la probabilidad respectiva se le denomina
Probabilidad Conjunta ó Probabilidad de la Intersección de Sucesos DEPENDIENTES, que es la probabilidad de
que 2 eventos dados ocurran simultáneamente, si es que uno de ellos depende de que ocurra el otro (es decir, la
probabilidad de que ocurra “B” dado que ocurra “A”).

15. Administración
Pregrado
Ejemplo
Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7
verdes. Se extrae una al azar. ¿Cuál es la
probabilidad de que:
a) Sea Roja. 8/20 espacio muestral=N( )=20
b) Sea Verde.
c) Sea Amarilla. 5/20
d) No sea Roja. 1- (8/20) = 12/20
e) No sea Amarilla. 1- (5/20)= 15/20
f) No se verde. 1- (7/20)= 13/20

16. Administración
Pregrado
Ejemplo
Los 1,000 empleados de una empresa, según la edad y el sexo de los mismos, vienen dados en la
siguiente tabla de doble entrada.

17. Administración
Pregrado
Ejemplo
P (a priori)
a) P(hombre) = 700/1,000 = 70%
b) P(mujer) = 300/1,000 = 30%
c) P(menos de 30 años) = 350/1,000 = 35%
d) P(30 años a más) = 650/1,000 = 65%
P (conjunta)
e) P(mujer y menor de 30 años) = 100/1,000 = 10%
f) P(hombre y de 30 años o más) = 450/1,000 = 45%

18. Administración
Pregrado
Ejemplo
Una máquina automática Shaw llena bolsas de plástico con
una mezcla de frijoles, brócolis y otras legumbres. La mayor
parte de las bolsas contiene el peso correcto, pero debido a
ligeras variaciones en el tamaño de las verduras, un paquete
puede tener un peso ligeramente diferente. Una verificación de
4,000 paquetes que se llenaron el mes pasado reveló lo
siguiente:
P (satisf)=3600/4000 =90/100 =0.9
1-0.9 = 0.1
¿Cuál es la probabilidad de que un determinado paquete tenga un
peso menor o mayor?

19. Administración
Pregrado
Ejemplo
P (A ó C)
= P(A) + P(C)
= (100/4,000) + (300/4,000)
= 0.1

20. Administración
Pregrado
3. Probabilidad Condicional

21. Administración
Pregrado
DIAGRAMA DEL ÁRBOL
Un diagrama de árbol es una representación gráfica útil para organizar cálculos de
probabilidad –para sucesos dependientes e independientes– que abarcan varias
etapas. Cada segmento en el árbol es una etapa del problema. Se parte poniendo
una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten
nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo
representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada
nudo ha de dar 1.
Para elaborarlo se siguen los siguientes pasos:
1. Localizar la raíz a la izquierda del área seleccionada.
2. Dibujar el número de ramas que salen de la raíz.
3. En cada rama dibujar el número de ramificaciones que salen.
4. Realice los cálculos según sea el interés.

22. Administración
Pregrado
Ejemplo

23. Administración
Pregrado
4. PROBABILIDAD TOTAL
Nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas: Ejemplo:
supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo
dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un
accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo. Es
decir, la probabilidad de que ocurra el suceso “B” (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es
igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con
los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por
la probabilidad de cada suceso A. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un
requisito: Los sucesos “A” tienen que formar un “sistema completo”, es decir, que contemplen
todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).
Sea “A1, A2, ...,An” un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es
distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales
P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:
P(B) = i=1∑n(Ai)*P(B/Ai) = P(A1)*P(B/A1) + P(A2)*P(B/A2) + … + P(An)*P(B/An)

24. Administración
Pregrado
Ejemplo 25
En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M1,
M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos
producidos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son
3%, 4% y 5%, respectivamente. Si se selecciona un artículo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de
que el artículo sea defectuoso?
Sea “D” el evento: Que sea un artículo Defectuoso.
P(M1) = 50% P(D/M1) = 3%
P(M2) = 30% P(D/M2) = 4%
P(M3) = 20% P(D/M3) = 5%
P(D) = P(D/M1)*P(M1) + P(D/M2)*P(M2) + P(D/M3)*P(M3)
= 0.03(0.50) + 0.04(0.30) + 0.05(0.20) = 3.70%

25. Administración
Pregrado
25
P(M1 / D) = P(M1 D) =0.05*0.03
P(D) 0.037

26. Administración
Pregrado