Este documento describe los sistemas de coordenadas cartesianas tridimensionales y cómo representar puntos en el espacio a través de coordenadas. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos usando las coordenadas de cada punto, y cómo transformar coordenadas de un sistema a otro mediante una transformación ortogonal definida por los ángulos de Euler.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”.
EXTENSIÓN PORLAMAR
REPRESENTACION DE UN
PUNTO
SHARON CENTENO
C.I 23.488.083.
ARQUITECTURA
SEDE NUEVA
Porlamar, 16 de junio del 2014.

2. En Punto 1 Consideremos tres rectas “x”, “y”, “z”, que son mutuamente
perpendiculares y se intersecan en un mismo punto “O“. Éste punto se denominará origen
de coordenadas y divide a cada eje en dos semiejes (positivo y negativo). Para cada punto
“M” del espacio podemos encontrar las correspondientes coordenadas “P“, “Q“, “R“, de la
siguiente forma.
El punto “P” es la intersección del eje “OX” con un eje paralelo al plano “yz” que pasa por
“M“. De modo análogo se obtienen los puntos “Q” y “R” como resultado de la proyección
del punto “M” en sus respectivos ejes coordenados.
La longitud de los segmentos es:
OP = x.
OQ = y.
OR = z.
De modo que a cada punto del espacio le asignaremos la terna ordenada de números (x, y,
z).
Denotaremos por “i“, “j“, “k“, a los vectores unitarios coordenados cuya dirección y
sentido es el positivo de estos ejes. Dado un punto arbitrario “M“, se cumple que su vector
de posición satisface
OM = OP + OQ + OR.
En términos de los vectores unitarios:
OM = x i + y j + z k.
Siendo siempre:
x = OM i.
y = OM j.
z = OM k.
La base (i, j, k) del espacio tridimensional es una base ortonormal, ya que todos sus
vectores son unitarios y ortogonales dos a dos. Existe correspondencia biunívoca (única)
entre cada punto “M” del espacio y el conjunto de las coordenadas cartesianas
rectangulares (x, y, z).
Distancia entre Dos Puntos:
Sean los puntos “M1” y “M2“, y sean sus coordenadas respectivas (x1, y1, z1) y (x2, y2,
z2). Denominaremos distancia entre los puntos “M1” y “M2” a la longitud del segmento
que los une:
d(M1, M2) = [(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2]^1/2.
Este resultado se obtiene aplicando reiteradamente el Teorema de Pitágoras. A esta
distancia se le denomina distancia mínima euclídea entre los puntos “M1” y “M2“.
Método para definir la posición de un punto por medio de su distancia perpendicular a dos
o más líneas de referencia.
En geometría plana, dos líneas rectas, llamadas eje x y eje y, forman la base de un sistema

3. de coordenadas Cartesianas en dos dimensiones. Por lo general, el eje x es horizontal y el
eje y es perpendicular a él. Al punto de intersección de los dos ejes se le llama origen (O).
Cualquier punto en este plano se puede identificar por un par ordenado de números que
representan las distancias a los dos ejes. Por ejemplo, el punto (4, 2) es el punto que se
encuentra alejado 4 unidades del eje y en la dirección positiva del eje x y a 2 unidades del
eje x en la dirección positiva del eje y.
En tres dimensiones, se introduce un tercer eje, el eje z, para definir la altura o
profundidad de un punto. En el sistema de coordenadas Cartesianas, los tres ejes se
encuentran a ángulos rectos entre sí. Por ello, un punto se determina por tres números (x,
y, z).
Coordenadas:
Consideremos dos sistemas de ejes de coordenadas cartesianos (x, y, z) y (x’, y’, z’), con
sus respectivos orígenes “O” y “O‘”. Dado un punto “A” del espacio tridimensional,
podremos expresar sus coordenadas en ambos sistemas:
OA = x ex + y ey + z ez.
O’A = x’ ex’ + y’ ey’ + z’ ez.
Las coordenadas del origen “O” expresadas en sistema (x’, y’, z’) son:
O’O = x0′ ex’ + y0′ ey’ + z0′ ez’.
A partir de las definiciones se cumple:
O’A = O’O + OA = (x0′ ex’ + y0′ ey’ + z0′ ez’) + (x ex + y ey + z ez).
Expresemos ahora los vectores unitarios “ex“, “ey“, “ez“, en el sistema de vectores “ex’“,
“ey’“, “ez’“:
ex = a11 ex’ + a12 ey’ + a13 ez’.
ey = a21 ex’ + a22 ey’ + a23 ez’.
ez = a31 ex’ + a32 ey’ + a33 ez’.
Sustituyendo:
O’A = (x0′ ex’ + y0′ ey’ + z0′ ez’) + (x a11 + y a21 + z a31) ex’ + (x a12 + y a22 + z a32)
ey’ + (x a13 + y a23 + z a33) ez’, de donde: O’A = (x0′ + x a11 + y a21 + z a31) ex’ + (y0′
+ x a12 + y a22 + z a32) ey’ + (z0′ + x a13 + y a23 + z a33) ez’.
De donde:
x’ = x0′ + x a11 + y a21 + z a31.
y’ = y0′ + x a12 + y a22 + z a32.
z’ = z0′ + x a13 + y a23 + z a33.
En estas ecuaciones aparecen en los dos miembros coordenadas referidas al sistema
nuevo. Esto permite una escritura más compacta, pero si queremos poner en cada miembro
de las expresiones coordenadas referidas a un único sistema de referencia hemos de
modificar:
O’A = – OO + OA.
Siempre se cumple que:
ex ex’ = a11.
ey ex’ = a21.
ez ex’ = a31.
exey’ = a12.
eyey’ = a22.

4. ezey’ = a32.
exez’ = a13.
eyez’ = a23.
ezez’ = a33.
Por lo tanto, si hacemos la descomposición inversa de los vectores:
ex’ = a11 ex + a21 ey + a31 ez.
ey’ = a12 ex + a22 ey + a32 ez.
ez’ = a13 ex + a23 ey + a33 ez.
Para que la transformación lleve de un sistema de ejes ortogonales a otro ha de cumplirse:
|ex|^2 = |ey|^2 = |ez|^2 = |ex’|^2 = |ey’|^2 = |ez’|^2 = 1.
exey = ex ez = eyez = ex’ ey’ = ex’ ez’ = ey’ ez’ = 0.
Todas estas ecuaciones conducen a:
a11^2 + a12^2 + a13^2 = 1.
a21^2 + a22^2 + a23^2 = 1.
a31^2 + a32^2 + a33^2 = 1.
a11 a21 + a12 a22 + a13 a23 = 0.
a21 a31 + a22 a32 + a23 a33 = 0.
a31 a11 + a32 a12 + a33 a13 = 0.
Es decir, la suma de los cuadrados de los elementos con alguna componente similar es “1″,
y la suma de los productos dos a dos de las componentes de los vectores de la segunda
base es “0″. A este tipo de transformaciones se les denomina ortogonales.
Un modo de obtener una transformación ortogonal usando parámetros con un claro
significado geométrico es mediante los Ángulos de Euler. Sean dos sistemas coordenados
(x, y, z) y (x’, y’, z’) que comparten el origen de coordenadas. Para determinar la posición
de los ejes del sistema (x’, y’, z’) respecto a los ejes del sistema (x, y, z) basta con conocer
los siguientes tres ángulos:
El ángulo “σ” que forman los ejes zz’.
El ángulo “Ψ” desde el eje “x’” a la recta “OH” de intersección del plano “xy” con el
plano “x’y’”.
El ángulo “φ” que forma la recta “OH” con el eje “x”.
Angulos-eulerAl conjunto (φ, σ, Ψ) se le conoce como ángulos de Euler, y determinan
completamente la posición de (x’, y’, z’) respecto a los ejes del sistema (x, y, z). El
movimiento que lleva del triedro (x, y, z) al (x’, y’, z’) se puede descomponer en tres
pasos:
Una rotación de un ángulo “φ” alrededor del eje “z”:
x1 = x Cosφ + y Senφ.
y1 = – x Senφ + y Cosφ.
z1 = z.
Una rotación de un ángulo “σ” alrededor del eje “x” resultante (eje “OH”, que llamaremos
eje “x2″):
x2 = x1.

5. y2 = y1 Cosσ + z1 Senσ.
z2 = – y1 Senσ + z1 Cosσ.
.-Una rotación de un ángulo “ψ” alrededor del eje “z” resultante, que llamaremos eje “z3″:
x’ = x2 CosΨ + y2 SenΨ.
y’ = – x2 SenΨ + y2 CosΨ.
z’ = z2.
En resumen:
x’ = (CosφSenΨ – SenφSenΨCosσ) x + (SenφCosΨ + CosφSenΨCosσ) y + (SenΨSenσ)
z.
y’ = – (CosφSenΨ – SenφCosΨCosσ) x + (- SenφSenΨ + CosφCosΨCosσ) y +
(CosΨSenσ) z.
z’ = (SenφSenσ) x – (CosφSenσ) y + (Cosσ) z.