Este documento describe los diferentes sistemas de coordenadas para representar puntos en un espacio de dimensión 2 o 3. Explica las coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas, incluyendo ejemplos de cómo representar puntos en cada sistema. También cubre las transformaciones entre los diferentes sistemas de coordenadas y conceptos como la simetría en funciones de varias variables.

1. Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Extensión – Barcelona
Funciones de varias variables
Bachiller:
MIGUEL FUENTES
C.I:27.071.185
Profesor:
PEDRO BELTRAN
Barcelona, Noviembre 2020

2. Introducción
En Física y Matematicás es muy frecuente encontrarnos en situaciones
donde la magnitud a estudiar depende de más de una variable.
Efectivamente, si la región de estudio no es unidimensional y
contemplamos el estudio en un plano, a la variable x se le debe añadir una
nueva variable, llamémosla y, con lo que tendremos entonces como
variable genérica de la función a puntos (x,y). Si el estudio es en el espacio
tridimensional, añadimos las variables y, z, y tendremos puntos (x,y,z).
Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra,
cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que
una variable dependiente estará regida por más de una variables
independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables,
generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja
puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de
puntos coordenados a los que les corresponde un valor
de z.

3. Sistema de coordenadas
Un sistema de coordenadas es un método que usa uno o más números,
llamados coordenadas, para establecer inequívocamente la posición de un
punto o de un objeto geométrico en el espacio. Siendo de cualquier punto de
un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto
de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se
calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen lo que se denomina
sistema de referencia.
Solemos identificar sistema de coordenadas como sinónimo de plano
cartesiano, sin embargo estos dos conceptos no significan lo mismo. El plano
cartesiano es un sistema de coordenadas cartesianas, pero existen además
otros tipos de sistemas de coordenadas, es decir, otras formas de determinar la
posición específica de un punto en el espacio, ello se logra mediante números
que forman tuplas ordenadas.

4. Sistema de coordenadas
Las coordenadas se expresan en forma de tuplas ordenadas, dos coordenadas
forman una dupla, tres un trío, cuatro una cuádrupla, y así sucesivamente; el que
sean ordenadas significa que el orden en que se escriben las coordenadas es muy
importante, ya que escribirlas con un ordenamiento diferente hará referencia a otra
ubicación, es más, muchas veces se identifica a las coordenadas por su ubicación
en la tupla ordenada.
Existen diferentes tipos de sistemas
de coordenadas, estos son las
coordenadas cartesianas, coordenadas
cilíndricas, coordenadas esféricas y
coordenadas polares.

5. Sistema de coordenadas
cartesianas
 Formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente
perpendiculares que se cortan en el origen. Las coordenadas de un punto cualquiera
vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el punto el origen sobre
cada uno de los ejes.
 Las coordenadas cartesianas son las más utilizadas, este tipo de coordenadas se
ubican en un plano cartesiano al que están asociados los ejes ‘x’, ‘y’ y ‘z’. Todos los ejes
coordenados deben estar escalados bajo el mismo criterio y ser perpendiculares entre
sí, estos ejes pueden conformar un sistema bidimensional o tridimensional
dependiendo de si está formado por dos o tres ejes.
 Las tuplas ordenadas de este sistema de referencia tendrán la forma de pares
ordenados (x,y) o tríos ordenados (x,y,z), en ambos casos el origen del sistema de
referencia será el punto de intersección entre los dos o tres ejes y será en relación a
éste punto que se medirán las distancias.

6. Sistema de coordenadas
cartesianas
Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente
y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen O cuyas
coordenadas son, obviamente, (0,0). Los ejes dividen el
espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las
coordenadas alternan de positivo a negativo. Las
coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las
proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre
cada uno de los ejes.
En el espacio 3D, la posición de un punto en
coordenadas cartesianas, vendrá dada por un trío
ordenado de números que nos indicarán los valores de x,
y y z, en ese orden

7. Sistema de coordenadas cartesianas en el
espacio
Los planos de referencia XY (z=0) XZ (y=0) e YZ (x=0) dividen el espacio
en 8 octantes en los que como en el caso anterior los signos de las
componentes cambian de positivo a negativo según sean los valores de las
tres coordenadas.
Muchas de las formulas que Ustedes
conocen del espacio R2, tienen su
extensión en el espacioR3. Así por
ejemplo la distancia entre dos puntos
en el plano es:

8. Sistema de coordenadas
cartesianas
Ejemplo: Coordenadas cartesianas en el plano

9. Sistema de coordenadas
polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La
primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto,
mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que
pasa por ambos puntos.
El sistema de referencia está compuesto por un único punto “O” del plano, al
que se denomina origen o polo, y una recta que pasa por este punto, llamada eje
polar (equivalente al eje “x” en el sistema cartesiano). Así, todo punto “P” del
plano tendrá la forma de par ordenado (r,θ), donde “r” –llamada coordenada
radial o radio vector- es la distancia de “P” al origen y TETA –llamada
coordenada angular o ángulo polar- es el ángulo formado entre el eje polar y la
recta OP; como convención se ha establecido que θ crece en sentido anti horario
y decrece en sentido horario y que el origen está ubicado en el (0,0°).

10. Sistema de coordenadas
polares
Ejemplo: Sistema de coordenadas polares

11. Sistema de coordenadas cilíndricas
Generalización del sistema de coordenadas polares plano, al que se añade
un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos.
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas
tridimensional en el que la ubicación de un punto en el espacio está
determinada por una distancia, una altura y un ángulo.
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares
entre sí y un punto “O”, denominado origen, que corresponde al punto de
intersección de los tres ejes. De esta forma un punto “P” queda
representado por el trio ordenado (ρ, φ, z), donde “ρ” –coordenada radial-
es la distancia de “P” al eje “z”, “φ” – coordenada acimutal- es el ángulo
formado entre el eje “x” y “RO” y “z” – coordenada vertical- es la distancia
desde “P” al plano “x”-“y”.

12. Sistema de coordenadas
cilíndricas
Ejemplo: Sistema coordenadas cilíndricas

13. Sistema de coordenadas esféricas
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas tridimensional
basado en la misma idea que las coordenadas polares, en este sistema la
ubicación de un punto en el espacio está determinada por una distancia y dos
ángulos.
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y
un punto “O”, denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los
tres ejes. De esta forma un punto “P” queda representado por el trio ordenado (r, θ,
φ), donde “r” es la distancia de “P” al origen, “θ” -colatitud- es el ángulo formado
entre el eje “z” y la recta “OP” y “φ” – azimut- es el ángulo formado entre el eje “x” y
la proyección de la recta “OP” en el plano x-y
El sistema de coordenadas esféricas es un cambio total de las variables en el
espacio tridimensional. El cambio se da por las siguientes fórmulas:

14. Sistema de coordenadas Esfericas

15. Sistema de coordenadas esféricas
Ejemplo: Sistema coordenadas esféricas

16. Transformación de coordenadas de
cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas
polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.

17. Transformación de coordenadas
denpolares a cartesianas
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas
cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un
ángulo:

18. Transformación de coordenadas de
cartesianas a cilíndricas
De cilíndricas cartesianas:

19. Transformación de coordenadas de
cartesianas a esféricas
De esféricas a cartesianas:

20. Transformación de coordenadas de
esféricas a cilíndricas
De cilíndricas a esféricas

21. Simetría
En Geometría, se denomina simetría a la correspondencia exacta que se
registra en la disposición regular de las partes o puntos que conforman un cuerpo
o figura, considerado con relación a un centro, eje o plano.
Tipos de simetría
El carácter de las funciones puede ser de dos tipos:
–Simetría respecto del eje OY, también llamada simetría par: Diremos que una
función tiene simetría para cuando la función f(x)=f(-x); ; es decir, cuando cada valor
de la función en un punto, coincide con el valor de la función en el inverso. Por
ejemplo, si f(5)=1, entonces f(- 5)=1.

22. Simetría respecto del origen, también llamada simetría impar: Diremos que una
función tiene simetría impar cuando la función f(x)=-f(-x). Cuando una función tiene
este tipo de simetría,
decir que para cada valor de la función en un punto, es el valor opuesto del punto
opuesto. Por ejemplo si f(2)=6, entonces f(-2)=-6.
De forma gráfica, nos podemos dar cuenta cuando si doblamos el papel por el eje OX, la
aparentemente tiene simetría con respecto del eje OY o simetría par; y si la volviésemos
a doblar por el eje OY, las funciones se superpondrán.
Simetría

23. Funciones de varias variables
Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le
corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una
función. Existen funciones comunes que poseen una variable independiente (x) que cambia
libremente sin depender de ningún parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a
x. El cambio que sufre y está definido por una expresión algebraica que funge como regla.
Se puede entender a una función como una máquina por la que entra algo y sale algo
diferente, procesado:
La imagen anterior lo ilustra perfectamente. La función genera resultados para y = f(x)
dependiendo el valor que tome x. En el mundo real, estas funciones describen fenómenos que
dependen de solo una variable. Por ejemplo, en cinemática, la rama de la física que estudia el
movimiento sin preocuparse por las causas que lo provocan, la posición de un objeto se define
por funciones que varían respecto al tiempo t. Son funciones de una única variable dependiente.
Sin embargo, existen fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no depende únicamente
de un solo factor. Estas son funciones de varias variables.

24. Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma
definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará
regida por más de una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres
variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el
valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les
corresponde un valor de z.
Funciones de varias variables
Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su
comportamiento y entenderlo con más claridad. Las funciones de varias
variables no están exentas de ello. El problema es que no todas las
funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el máximo
número de variables que permite graficar es de tres variables. ¿Por qué?
Pues porque dimensionalmente no se pueden observar más de tres
variables interactuando entre sí, o al menos no
gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres
variables es el siguiente:

25. Funciones de varias variables
Ejemplos:

26. Dominio de una función de varias variables
El dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la
función sin que esta se indefina.
El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos
variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables
del argumento. Es decir, el dominio depende de como interactúan estas variables.
Por ejemplo:
Esta función es muy simple. El dominio es el
conjunto de valores de x y de y tal que ambas
variables pueden tomar cualquier valor de los
números reales, puesto que la función f jamás se
indefinirá. La manera formal de escribirlo es:

27. Conclusión
Los sistemas de coordenadas abren las puertas a representar de manera
matemática objetivos en el plano y el espacio para su comprensión
dependiendo el caso utilizando ya sean las cartesianas, polares, cilíndricas o
esféricas nos permitirán adquirir una gran fuente de información de una
representación grafica de dicho objeto.
Las funciones de varias variables son una gran ayuda en problemas tales como
física donde permiten calcular datos que son mayormente influencias por mas
de una variable algún ejemplo como el gasto mensual de electricidad de una
casa se ve influenciado por diferentes aspectos y aquí es donde entran las
funciones de varias variables para ayudar a solucionar estas incógnitas

28. Anexos
https://www.youtube.com/watc
h?v=uCm3HvF-EtQ&t=143s
https://www.youtube.com/
watch?v=y9U- TWcmCtA&t=384s https://www.youtube.com/
watch?v=P 8QHsN-dS1s

29. Bibliografía
Gustavo A.(2015) Funciones de varias variables. Recuperado de:
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/
Ana M.(2011) Sistemas de coordenadas. Recuperado de:
https://sites.google.com/site/maritareas/unidad-1/sistemas-cordenados
Anónimo. Sistema de coordenadas en el espacio. Recuperado de:
https://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIV/UT1/UT1_A.htm
Escalares.net. Sistema de coordenadas. Recuperado de:
https://www.escolares.net/fisica/sistema-de-coordenadas/
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http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/coordenadas-polares-
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https://www.tareasplus.com/calculo-vectorial-y-varias-variables/transformacion-
coordenadas-cartersianas-a-esfericas/Camilo-Serna
Anónimo. Simetría. Recuperado de: https://www.significados.com/simetria/