El triangulo de pascal o triangulo aritmetico sus 19 propiedades clasicas y sus analogas en el prisma combinatorio

El Triángulo de Pascal o “Triángulo aritmético”, sus 19 propiedades
clásicas, y sus análogas en el “Prisma Combinatorio”
Enrique R. Acosta R. Octubre 2018

Introducción:
La idea central de este nuevo trabajo, es intentar hacer una analogía, entre las 19 “características”
o propiedades del “Triángulo Aritmético” (que referiremos como T.A., y simbolizaremos como ∆0),
que describe Pascal en su famoso tratado, y las propiedades equivalentes, que podemos describir
en nuestro “Prisma Combinatorio” (que referiremos como P.C.), considerado como una expansión
espacial a la 3D, de dicho triángulo. *
Estas 19 propiedades o características del T.A., las hemos enunciado y demostrado, en un trabajo
anterior (2018), que referenciaremos como “Actualizando las fuentes”, que pretende presentar y
desarrollar dichas propiedades en un lenguaje matemático más actual, y característico de la ciencia
Combinatoria, introduciendo algunas originalidades con respecto a la nomenclatura utilizada para
el caso correspondiente de las sucesiones paralelas (𝑆 𝑚), o elementos básicos que conforman la
estructura interna de dicho T.A.
Para alcanzar nuestros objetivos, y para ayudar al lector a formarse una ilación histórica y lógica de
los resultados previamente obtenidos, hemos considerado conveniente escribir una breve reseña o
resumen retrospectivo de nuestros trabajos, relacionados con el Triángulo de Pascal o ∆0.
Nuestro primer encuentro “académico” con el T.A., comienza en 1997, y se refleja en un primer
trabajo, denominado: “Combinatoria con repetición, series paralelas y números naturales”, donde
se introduce, una nomenclatura original, con respecto a la denominación y el tratamiento de dichas
series o sucesiones paralelas, y su interrelación con las combinaciones con repetición de números
enteros positivos.
Posteriormente (1998), en un siguiente trabajo, denominado “Prisma Combinatorio y su relación
con los coeficientes trinomiales”, al intentar obtener analítica y gráficamente la distribución de los
coeficientes de un trinomio, elevado a la potencia entera positiva m, nos topamos con nuestro P.C.,
como un cuerpo prismático, correspondiente a la distribución de permutaciones con repetición,
biunívocamente, asociadas al conjunto de puntos de coordenadas cartesianas enteras y positivas
en el espacio 3D, puntos, que quedan agrupados en capas triangulares ∆ 𝑘 (donde k indica el nivel o
coordenada 𝑍+
considerada), determinadas por las trazas de los planos paralelos por k, a los
semiplanos coordenados 𝑂𝑋+
𝑦 𝑂𝑌+
, y por la fila considerada del propio ∆ 𝑘.
Dicha distribución de puntos en el P.C., se corresponde biunívocamente, con la distribución de las
permutaciones con repetición o número de caminos posible y diferentes, que se pueden formar o
recorrer respectivamente, con 𝑖 + 𝑗 + 𝑘 = 𝑚, elementos o trazos unitarios, tomados m a m, para
desplazarse siempre en sentido de avance (+), desde un punto elegido como origen de coordenadas,
hasta otro punto considerado de coordenadas i, j, k, en el interior del P.C.
La distribución asociada al nivel 𝑘 = 0, que denominamos ∆0, se corresponderá con la distribución
de números combinatorios simples (
𝑛
𝑖
), conocida como “Triángulo de Pascal”. Dichas
combinaciones se corresponden a su vez, con las permutaciones con repetición del caso 3D, para
k=0.
Para el P.C., la relación básica de las sucesiones paralelas consecutivas, o relación de recurrencia de
Pascal, se nos transforma en las Relaciones de Proximidad, que allí enunciamos, expresamos
matemáticamente y ejemplificamos.

Como un resultado importante e inmediato de este trabajo, podemos destacar la determinación
analítica de los coeficientes de un trinomio elevado a la potencia entera positiva m, y su distribución
triangular ∆ 𝑻, mediante la simple multiplicación escalar de cada elemento de las filas de ∆0, hasta
la fila n=m, por el elemento de igual posición relativa de la propia fila n. Obteniendo así, la
distribución triangular de coeficientes trinomiales correspondientes a la potencia m, que
constituyen la base generadora de la distribución tetraédrica de los coeficientes tetranomiales como
se desarrolla en un trabajo posterior (ver bibliografía). Así mismo la obtención de dichos coeficientes
trinomiales y su distribución triangular, se obtiene mediante el método gráfico allí desarrollado,
denominado: “Diagrama de Colmena”.
También, allí se desarrollan otros métodos alternativos para la obtención de los coeficientes
trinomiales, y se explica cómo obtener los elementos combinatorios trinomiales de un ∆ 𝑘 dado,
mediante la simple multiplicación escalar de ∆0, por un vector vertical constituido por los elementos
de la sucesión 𝑆 𝑚.
En un nuevo trabajo (2018), denominado “Prisma Combinatorio, o expansión espacial del triángulo
de Pascal”, detallamos con mayor detenimiento, las estructuras internas o distribución de
sucesiones paralelas en el P.C., según los ejes coordenados y niveles considerados. Así mismo,
detallamos o hacemos hincapié, en la distribución y obtención del número de caminos posibles y
diferentes de avance en una malla reticular unitaria 3D, y su relación con algunos conceptos de la
combinatoria regular, extendidos a la 2ᵃ, y 3ᵃ, dimensión.
Allí se plantean las leyes de generación, y la formulación matemática para obtener dicho número de
caminos posibles y diferentes, hasta un determinado punto, en función de su posición relativa, con
respecto a un sistema de ejes cartesianos coordenados, por capas y niveles del P.C.
En todos estos trabajos, nuestro encuentro con el T.A., siempre fue referencial y sin acceso directo
al famoso tratado, hasta que el contacto con algunos materiales bibliográficos específicos, nos
permitió elaborar el referido “Actualizando las Fuentes”, donde nuestra intención como delata
dicho subtítulo, era la de expresar y tratar las “características” que enuncia Pascal en su obra, pero
en un lenguaje matemático más moderno **. Por ese mismo motivo, posteriormente, se nos ocurrió
desarrollar un trabajo análogo, pero en relación al P.C., como una expansión espacial de ∆0, donde
solo nos limitaremos a re-enunciar y ejemplificar cada una de las 19 propiedades clásicas, pero
adaptadas y con relación a un ∆ 𝑘, genérico del P.C.
Para ello, después de exponer brevemente, los conceptos, la nomenclatura, y las formulaciones
básicas utilizadas tanto en el T.A., como en el P.C., haremos la comparación, y el re-enunciado
resultante, de cada propiedad en cada uno de los casos.
Notas:
*En realidad, el T.A. o triángulo de Pascal, puede considerarse como el caso trivial correspondiente
al nivel 𝑘 = 0, del Prisma Combinatorio.
**En este nuevo trabajo, no utilizaremos el sistema referencial de Pascal, sino el usual, característico
del tratamiento “moderno” del T.A.

Comenzaremos, con un breve resumen o tratamiento tradicional que, sobre el Triángulo de Pascal,
ya hemos presentado en otros trabajos anteriores (ver Bibliografía).
Triángulo de Pascal( ∆ 𝟎), origen y estructura interna: Sucesiones Paralelas
El triángulo que a continuación se muestra ( ∆ 𝟎) , se denomina en Occidente como triángulo de
Tartaglia (1500-1557) o más comúnmente triángulo de Pascal (1632-1662), porque su descubrimiento
es atribuido a dichos matemáticos europeos, pero ya dicha distribución de números, aparece en la
portada del Rechnung, un libro de aritmética del matemático y astrónomo alemán Peter Apian (1499-
1552), y el matemático chino Chu Shih Chien, lo mencionó en 1303 (3 siglos antes) en su libro “El
espejo maravilloso de los 4 elementos”, refiriéndose a él como el antiguo método (usado desde 2
siglos atrás). Probablemente dicho triángulo se remonta al año 1100 d.C., cuando el poeta y
matemático persa Omar Khayyam, parece referirse a él en su famosa álgebra.
El triángulo de Pascal, se construye a partir de las sucesiones de números, constituyentes de las series ,
obtenidas a partir de la relación o identidad de recurrencia:
𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)…(𝑥+𝑚−1)(𝑥+𝑚)
1.2.3…𝑚(𝑚+1)
−
(𝑥−1)𝑥(𝑥+1)…(𝑥+𝑚−1)
1.2.3…𝑚(𝑚+1)
=
𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)…(𝑥+𝑚−1)
1.2.3…𝑚
,*
Nosotros hemos denotado a dichas sucesiones como : 𝑺 𝟏, 𝑺 𝟐, 𝑺 𝟑, … , 𝑺 𝒎 , donde consideramos los
primeros n términos de la sucesión, y el sub índice m, es un contador para indicar su ubicación como
serie paralela, que hacemos coincidir con el segundo término de la sucesión respectiva.
Cada una de estas sucesiones paralelas de n términos se caracteriza porque su término n-ésimo,
es igual a la suma de los n términos de la sucesión precedente.
La manera más usual de representar estas sucesiones, es agrupándolas en forma de un triángulo
equilátero numérico (con igual número de elementos en cada lado), y simétrico respecto a su
“altura”, en el cual estas sucesiones de números figurados, o combinatorios 𝑺 𝒎 , aparecen
repetidas en ambas direcciones oblicuas del triángulo.
El triángulo resulta ilimitado por su base y la lectura de sus filas horizontales tiene el mismo tenor,
si su lectura se hace en un sentido o en el contrario. Así mismo, cada fila inicia y termina en un valor
unitario y los restantes términos de cada fila se pueden obtener de la anterior, sumando cada dos
números consecutivos de la fila anterior, siendo esto una consecuencia inmediata de que cada
sucesión paralela, viene a ser la sucesión de las diferencias primeras de la sucesión anterior. (Ver a
modo de ejemplo el trazado de color rojo entre fila 5 y fila 6 en el gráfico numérico del triángulo)
El triángulo de Pascal, se puede considerar horizontalmente, como la distribución de números o
coeficientes que resultan de la expansión de las potencias sucesivas de un binomio elevado a una
potencia k, como (𝑥1 + 𝑥2) 𝑘
, cuando k varia de cero a n. Las filas del triángulo se numeran de arriba
abajo, tal como sea el valor de k, y los términos de la fila n, son los coeficientes que corresponden al
desarrollo del binomio (𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
o binomio de Newton:

(𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
= ∑ (
𝑛
𝑖
)
𝑛
𝑖=𝑜
𝑥1
𝑛−𝑖
𝑥2
𝑖
Estos coeficientes distribuidos en filas (líneas), se denominan coeficientes binomiales y se denotan
usualmente como:
(
𝑛
𝑚
) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑚)! 𝑚!
=
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑚 + 1)
1.2.3 … 𝑚
Como es conocido, la expresión (
𝑛
𝑚
), se denomina número combinatorio, y representa el n⁰ de
combinaciones que se pueden formar con los n elementos de un conjunto, tomados de m en m, de tal
manera que todos los grupos resultantes se diferencien entre sí, al menos en un elemento
(combinaciones simples, sin repetición, y por ende , el orden de los elementos en el grupo no hace
diferenciación alguna).Por conveniencia ,en lo que respecta a la nomenclatura a utilizar, para nuestros
fines, hemos incluido el valor 1 en el vértice superior del triángulo, de manera de incluir el caso trivial
(𝑥1 + 𝑥2)0
=1, correspondiente a k=0, y al combinatorio (
0
0
) = 1. Así aparece en la fila cero (0), el
coeficiente 1, como único elemento. Una identidad fundamental e inmediata de estos números es
(
𝑛
𝑚
)=(
𝑛
𝑛 − 𝑚
), implícita en su propia definición.
*La relación de recurrencia, puede expresarse en términos combinatorios como:
(
𝑛 + 𝑚
𝑚 + 1
) − (
𝑛 + 𝑚 − 1
𝑚 + 1
) = (
𝑛 + 𝑚 − 1
𝑚
)
Las sucesiones paralelas, se pueden expresar en términos combinatorios como:
𝑺 𝒎={(
𝒊
𝒎 − 𝟏
)} con i = (m-1),m,…,(m+n-2), para cada m=1,2,…,n , donde n, representa
el lugar del término en la sucesión ( y no la fila de ∆ 𝟎).La relación entre el subíndice m de una
sucesión paralela y la fila n, donde se inicia, es: 𝒎 = 𝒏 + 𝟏
y su valor suma, 𝑺 𝒎
+
, corresponde a las combinaciones con repetición de n números naturales,
tomados m a m, que simbolizamos como: 𝑪𝒓 𝒏,𝒎 .
Luego para m=1 , con i= 0,1,…,(n-1) resulta:
𝑆1 = {(
𝑖
0
)} = {(
0
0
) , (
1
0
) , (
2
0
) , … , (
𝑛 − 1
0
)} = {1,1,1,1,1, … ,1} , y: 𝑆1
+
= 𝐶𝑟𝑛,1 = ∑ (
𝑖
0
) = (
𝑛
1
)𝑛−1
𝑖=0
Si m=2 , con i=1,2,…,n
𝑆2 = {(
𝑖
1
)} = {(
1
1
) , (
2
1
) , (
3
1
) , … , (
𝑛
1
)} = {1,2,3,4,5,6, … , 𝑛}, y: 𝑆2
+
= 𝐶𝑟𝑛,2 = ∑ (
𝑖
1
)𝑛
𝑖=1 = (
𝑛 + 1
2
)
Notamos que 𝐶𝑟𝑛,1 = (
𝑛
1
), representa el término n-ésimo de 𝑆2
Si m=3, con i=2,3,…,(n+1)
𝑆3 = {(
𝑖
2
)} = {(
2
2
) , (
3
2
) , (
4
2
) , … , (
𝑛 + 1
2
)} = {1,3,6,10,15,21, … ,
(𝑛+1)𝑛
2!
},y: 𝑆3
+
= 𝐶𝑟𝑛,3 = ∑ (
𝑖
2
)𝑛+1
𝑖=2 = (
𝑛 + 2
3
)
𝑛 + 1
2

Para m=4, con i=3,4,…,(n+2)
𝑆4 = {(
𝑖
3
)} = {(
3
3
) , (
4
3
) , (
5
3
) , … , (
𝑛 + 2
3
)} = {1,4,10,20,35,56, … ,
(𝑛+2)(𝑛+1)𝑛
3!
}, y: 𝑆4
+
= 𝐶𝑟𝑛,4 = ∑ (
𝑖
3
)𝑛+2
𝑖=3 = (
𝑛 + 3
4
)
𝑛 + 2
3
………………………………………………………………………………..
La expresión general será:
Para m, con i=m-1, m, m+1,…,(m+n-2)
𝑺 𝒎 = {(
𝒊
𝒎 − 𝟏
)} = {(
𝒎 − 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎 + 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , … , (
𝒎 + 𝒏 − 𝟐
𝒎 − 𝟏
)}={𝟏,
𝒎
𝟏!
,
(𝒎+𝟏)𝒎
𝟐!
,
(𝒎+𝟐)(𝒎+𝟏)𝒎
𝟑!
, … ,
[𝒏+(𝒎−𝟐)][𝒏+(𝒎−𝟑)]…𝒏
(𝒎−𝟏)!
},
y: 𝑆 𝑚
+
= 𝐶𝑟𝑛,𝑚 = ∑ (
𝑖
𝑚 − 1
)𝑛+𝑚−2
𝑖=𝑚−1 = (
𝑛 + 𝑚 − 1
𝑚
),
de manera análoga, concluimos que 𝑪𝒓 𝒏,𝒎 = (
𝒏 + 𝒎 − 𝟏
𝒎
), representa el término n-ésimo de
𝑺 𝒎+𝟏, y a su vez, representa la suma de los n primeros términos de 𝑺 𝒎
+
.
Adicionalmente utilizaremos la nomenclatura 𝑺 𝒎
𝒌
, para indicar que la sucesión 𝑺 𝒎, se extiende
solo a los primeros k términos, y 𝑺 𝒎
+𝒌
, para indicar que solo consideramos la suma de los
primeros k términos de 𝑺 𝒎
Cada elemento de ∆ 𝟎 , puede escribirse como un número combinatorio de la forma (
𝑛
𝑚 − 1
) , donde
n representa la fila considerada de ∆ 𝟎 , y m, la sucesión 𝑺 𝒎 correspondiente, así p. ej. la intersección
de la sucesión 𝑆5 , con la fila 8, estará dada por (
8
5 − 1
) = (
8
4
) = 70 , como puede comprobarse en
cualquiera de los dos gráficos de ∆ 𝟎, que presentamos a continuación.
TRIANGULO DE PASCAL NUMÉRICO ( ∆ 𝟎 ), (filas desde n=0, hasta n=8) Fila
𝑺 𝟏
1 𝑺 𝟐 0
1 1 𝑺 𝟑 1
1 2 1 𝑺 𝟒 2
1 3 3 1 𝑺 𝟓 3
1 4 6 4 1 𝑺 𝟔 4
1 5 10 10 5 1 𝑺 𝟕 5
1 6 15 20 15 6 1 𝑺 𝟖 6
1 7 21 35 35 21 7 1 𝑺 𝟗 7
1 8 28 56 70 56 28 8 1 8

TRIANGULO DE COEFICIENTES COMBINATORIOS ( ∆ 𝟎 ) , (filas desde n=0, hasta n=8)
𝑺 𝟏
fila
(
𝟎
𝟎
) 𝑺 𝟐
0
(
𝟏
𝟎
) (
𝟏
𝟏
) 𝑺 𝟑
1
(
𝟐
𝟎
) (
𝟐
𝟏
) (
𝟐
𝟐
) 𝑺 𝟒
2
(
𝟑
𝟎
) (
𝟑
𝟏
) (
𝟑
𝟐
) (
𝟑
𝟑
) 𝑺 𝟓
3
(
𝟒
𝟎
) (
𝟒
𝟏
) (
𝟒
𝟐
) (
𝟒
𝟑
) (
𝟒
𝟒
) 𝑺 𝟔
4
(
𝟓
𝟎
) (
𝟓
𝟏
) (
𝟓
𝟐
) (
𝟓
𝟑
) (
𝟓
𝟒
) (
𝟓
𝟓
) 𝑺 𝟕
5
(
𝟔
𝟎
) (
𝟔
𝟏
) (
𝟔
𝟐
) (
𝟔
𝟑
) (
𝟔
𝟒
) (
𝟔
𝟓
) (
𝟔
𝟔
) 𝑺 𝟖
6
(
𝟕
𝟎
) (
𝟕
𝟏
) (
𝟕
𝟐
) (
𝟕
𝟑
) (
𝟕
𝟒
) (
𝟕
𝟓
) (
𝟕
𝟔
) (
𝟕
𝟕
) 𝑺 𝟗 7
(
𝟖
𝟎
) (
𝟖
𝟏
) (
𝟖
𝟐
) (
𝟖
𝟑
) (
𝟖
𝟒
) (
𝟖
𝟓
) (
𝟖
𝟔
) (
𝟖
𝟕
) (
𝟖
𝟖
) 8
Notamos que en la fila 0 solo hay un elemento, en la fila 1 aparecen 2 elementos, en la dos aparecen
3 elementos, y así sucesivamente, es decir el número de elementos de cada fila, corresponde a la
sucesión 𝑆2 = {(
𝑖
1
)} = 1,2,3, … , 𝑛, con i=1,2,…,n
Tres de las propiedades más conocidas del triángulo de Pascal, son las siguientes:
1. La suma de los coeficientes combinatorios de cualquiera fila n del triángulo de Pascal, es siempre
igual a 2 𝑛
, lo cual puede obtenerse al hacer 𝑥1 = 𝑥2 = 1, en
(𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
= ∑ (
𝑛
𝑖
)𝑛
𝑖=𝑜 𝑥1
𝑛−𝑖
𝑥2
𝑖
, de lo cual resulta: (1 + 1) 𝑛
=∑ (
𝑛
𝑖
)𝑛
𝑖=0 = 2 𝑛
2. La suma de los coeficientes combinatorios de cualquiera fila n del triángulo de Pascal, con signos
alternados, es siempre igual a cero (0), lo cual puede obtenerse al hacer 𝑥1 = 1, y 𝑥2 = −1, en
la misma expresión del binomio de Newton, de lo que resulta: (1 − 1) 𝑛
=∑ (−1)𝑖
(
𝑛
𝑖
)𝑛
𝑖=0 = 0
3. La expresión de una fila genérica n, del triángulo de Pascal, viene dada por la expresión:
𝐹𝑛
0
= {(
𝑛
𝑖
)} con i = 0,1,2, … , n, siendo n el número correspondiente de la fila o base de
∆0
A continuación, presentamos un breve resumen o tratamiento tradicional que, sobre el Prisma
Combinatorio, ya hemos presentado en otros trabajos anteriores (ver Bibliografía).
Prisma Combinatorio
Definamos las permutaciones con repetición Pᵣ,(i+j+k),i,j,k ,como el número de caminos posibles y
diferentes, que se pueden formar o recorrer con i+j+k=m, elementos o trazos unitarios tomados m
a m para desplazarse siempre en sentido de avance(+),desde un punto elegido como origen de

coordenadas, hasta otro punto considerado, de coordenadas enteras y positivas, (i,j,k),donde el
total(m) de trazos unitarios en cada grupo o camino, siempre se construye al recorrer i trazos en
dirección X⁺ ,j trazos en dirección Y⁺ y, k trazos en dirección Z⁺.
En estas permutaciones con repetición, dos caminos o grupos posibles, se consideran distintos, si se
diferencian al menos en dos de sus trazos o recorridos de avance unitarios. Lo que si se repite en
cada caso, es el Nº de veces que se recorren en cada grupo o camino, los trazos en cada dirección
de avance, es decir: el Nº de trazos unitarios recorridos en dirección X⁺, el Nº de trazos unitarios
recorrido en dirección Y⁺ y, el Nº de trazos unitarios recorridos en dirección Z⁺, es el mismo para
cada uno de los caminos posibles y diferentes, siempre cada camino constituido por i+j+k=m trazos
unitarios.
El resultado de esta distribución de permutaciones con repetición, asociada a la distribución de
puntos de coordenadas enteras y positivas en el espacio 3D, se puede considerar como
“encerrada” en un espacio prismático de bordes limitados por los semiplanos coordenados positivos
y por planos transversales, perpendiculares al plano OX⁺Y⁺, cuyas intersecciones con dicho plano o
con cualquier otro paralelo a este, trazado a la altura k sobre el eje Z⁺, corresponden a líneas, donde
i+j=n, es constante, denominadas usualmente “filas”. La distribución de estos valores así
considerada, quedará contenida en capas triangulares (∆ 𝒌), determinadas por las trazas de estos
planos paralelos por k, con los semiplanos coordenados y por la fila n considerada.
La distribución asociada al caso k=0, o caso plano (∆ 𝟎), se corresponderá con la distribución de
números combinatorios o combinaciones simples(
𝒏
𝒊
), conocida como “triángulo de Pascal”.
Dichas combinaciones simples ,se podrán definir ahora en términos de permutaciones con
repetición ,Pᵣ,(i+j),i,j, correspondientes al caso k=0 del “Prisma Combinatorio”, como aquellas que
conforman el Nº de caminos posibles y diferentes, que se pueden recorrer con i+j=n elementos o
trazos unitarios, tomados n a n , para desplazarse siempre en sentido de avance (+), desde el origen
de coordenadas elegido, hasta el punto considerado (i,j), de coordenadas enteras y positivas,
situado en el plano OX⁺Y⁺, donde el total (n) de los trazos unitarios en cada camino, siempre se
construye al recorrer i trazos unitarios en dirección X⁺ y, j trazos unitarios en dirección Y⁺. Haciendo
las mismas consideraciones que para el caso espacial, pero con k=0. En este caso, las permutaciones
con repetición dispuestas en las distintas filas de ∆ 𝟎, contituyen los valores combinatorios o
coeficientes (
𝑛
𝑖
) del” Binomio de Newton”, para las diferentes potencias enteras de n.
El valor numérico de las Permutaciones con repetición, asociadas a un punto de coordenadas
positivas y enteras (i, j, k), situado en el plano ∆ 𝒌, del “Prisma combinatorio”, vendrá dado por:
Pᵣ,(i+j+k),i,j,k =(
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋
𝒊
)=
(𝒊+𝒋+𝒌)!
𝒊!𝒋!𝒌!
La relación entre la distribución triangular de permutaciones con repetición en ∆ 𝒌 y en ∆ 𝟎, vendrá
dada por:
Pᵣ,(i+j+k),i,j,k= (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
)Pᵣ,(i+j),i,j

Relaciones de proximidad:
Se puede obtener el valor de estas permutaciones con repetición correspondientes al punto de
coordenadas enteras y positivas (i, j, k), a partir de los 3 valores inmediatamente precedentes en
el prisma combinatorio, mediante la expresión simbólica:
Pᵣ(i,j,k) = Pᵣ(i,j-1,k) + Pᵣ(i-1,j,k) + Pᵣ(i,j,k-1)*o, en términos combinatorios:
(
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋
𝒊
)= (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌 − 𝟏
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋 − 𝟏
𝒊
) + (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌 − 𝟏
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋 − 𝟏
𝒊 − 𝟏
) + (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌 − 𝟏
𝒌 − 𝟏
) (
𝒊 + 𝒋
𝒊
)*
*El último término en estas expresiones no procede para k=0
Asimismo, se puede obtener este valor a partir de los valores post y precedentes desde el nivel
considerado (k), hasta el nivel k=0, tomando siempre en cuenta, la permanencia de sus ubicaciones
relativas en las filas correspondientes de cada nivel. Simbólicamente:
Pᵣ(i,j,k) = Pᵣ(i,j,0) + ∑ [𝑷ᵣ(𝒊, 𝒋 − 𝟏, ∝) + 𝑷ᵣ(𝒊 − 𝟏, 𝒋, ∝)]𝒌
∝=𝟏
Diagrama de distribución de Permutaciones con repetición en el “Prisma Combinatorio”-Relación entre ∆ 𝒌 y ∆ 𝟎
Nota: Aquí i, j, y k, representan las coordenadas del punto sobre los ejes 𝑋+
, 𝑌+
, y 𝑍+
, respectivamente, y no vectores
unitarios sobre dichos ejes. Así mismo 𝑚 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘, representa la suma de dichas coordenadas, y no se corresponde
con el contador utilizado como subíndice en la nomenclatura de las Sucesiones Paralelas 𝑆 𝑚. Mientras que 𝑛 = 𝑖 + 𝑗, si
corresponde al valor de la fila n, considerada en cada ∆ 𝒌.
∆ 𝑘
∆0

Como podemos notar en el gráfico anterior, El valor numérico de las Permutaciones con repetición,
asociadas a un punto de coordenadas positivas y enteras (i, j, k), situado en el plano ∆ 𝒌, del “Prisma
combinatorio”, se puede denotar mediante la expresión:
𝑃𝑟, (𝑛 + 𝑘), 𝑖, 𝑗, 𝑘 = (
𝑛 + 𝑘
𝑘
) (
𝑛
𝑖
) , donde 𝑛 = 𝑖 + 𝑗, representa la fila n, genérica, y k, el nivel a
considerar, pero siendo (
𝑛 + 𝑘
𝑘
) ≡ (
𝑛 + 𝑘
𝑛
), por definición, la expresión puede escribirse como:
𝑷 𝒓, (𝒏 + 𝒌), 𝒊, 𝒋, 𝒌 = (
𝒏 + 𝒌
𝒏
) (
𝒏
𝒊
) = (
𝒏 + 𝒌
𝒏
𝒊
) = (
𝒎
𝒏
𝒊
)
Es decir, que dichas permutaciones con repetición, asociadas a los puntos de coordenadas positivas
y enteras, dentro del espacio prismático que define y delimita al “Prisma Combinatorio”, se
corresponden biunívocamente con la distribución de coeficientes trinomiales, ubicados en los
planos paralelos ∆ 𝑘 de dicho espacio prismático, siendo la distribución binomial en el plano de
base ∆ 𝟎, solo el caso particular correspondiente a 𝒌 = 𝟎 , como ya habíamos afirmado en la
definición.
En el siguiente gráfico, intentamos una representación 3D de dicho Prisma, Hasta el nivel k=3.Por
razones de visibilidad y limitaciones de la herramienta utilizada para la representación, se ha
deformado (agrandado) la “escala” vertical.

Prisma Combinatorio conteniendo los planos ∆ 𝒌, desde 𝒌 = 𝟎, 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒌 = 𝟑, todos limitados por
la fila 𝒏 = 𝟒 de su propio plano
Y⁺
⁺+
X⁺
Z⁺
K=0
0
K=1
K=2
K=3

Podemos notar que los 5 elementos sucesivos distribuidos en los bordes de ∆0, ∆1, ∆2, 𝑦 ∆3, sobre
los ejes coordenados, X⁺, e Y⁺, o sus paralelas por k=0,1, 2, y 3, y sus intersecciones con el eje Z⁺,
limitados todos por la fila n= 4 de cada uno de dichos planos, corresponden, si ascendemos a partir
de ∆0 siguiendo líneas paralelas en dirección Z⁺, a los primeros 4 elementos de las sucesiones
paralelas 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4, 𝑦𝑆5 , es decir los conjuntos:
𝑆1
4
= {1,1,1,1}
𝑆2
4
= {1,2,3,4}
𝑆3
4
= {1,3,6,10}
𝑆4
4
= {1,4,10,20}
𝑆5
4
= {1,5,15,35}
Como se indica a ambos lados, en el diagrama anterior del Prisma Combinatorio (P.C.), o que pueden
visualizarse claramente, trazando paralelas verticales que unan dichos elementos, en los gráficos
sucesivos de ∆ 𝑘, también ya mostrados.
Evidentemente, este resultado se puede extender a m planos ∆ 𝒌, limitados, cada uno, por la fila
n de cada plano, con lo que se obtendrían siguiendo la dirección del eje vertical, los primeros m
elementos de c/u de las n+1, sucesiones paralelas 𝑺 𝟏, 𝑺 𝟐, 𝑺 𝟑, … , 𝑺 𝒏+𝟏 respectivamente.
Veamos con un ejemplo gráfico, correspondiente a un P.C., cuya base la constituye un ∆0, limitado
por su fila 𝑛 = 4, como se distribuyen las sucesiones paralelas, tanto en las direcciones paralelas a
los ejes coordenados X⁺, e Y⁺, como en la dirección paralela al eje Z⁺
Para no congestionar de líneas dicho gráfico, hemos creído conveniente separar ambos casos, en
1⁰: sucesiones según los ejes X⁺, e Y⁺, y 2⁰: sucesiones según el eje Z⁺:
1⁰: Sucesiones paralelas en ∆ 𝟎, limitado por 𝒏 = 𝟒

2⁰: Sucesiones paralelas y sus múltiplos que partiendo de un ∆ 𝟎 , limitado por la fila 𝒏 = 𝟒, siguen
la dirección 𝒁+
en el P.C.
Nota: En este 2⁰ gráfico, se han modificado las “escalas” en los ejes coordenados, para lograr una
mejor visualización.
Para la fila n de ∆0, las sucesiones paralelas al eje 𝑍+
, seguirán la secuencia:
𝑺 𝒏+𝟏
𝒏(𝒏−𝟏)
𝟐!
𝑺 𝒏+𝟏
𝑛(𝑛 − 1)
2!
𝑆 𝑛+1
𝒏𝑺 𝒏+𝟏Escriba aquí la ecuación.
1
𝒏𝑺 𝒏+𝟏
n
𝑛(𝑛 − 1)
2! . . .
𝑛(𝑛−1)
2! n 1
𝑺 𝒏+𝟏

Para el nivel k=0 del P.C. , las sucesiones paralelas que conforman dicho nivel, siguen en ambos
lados, la secuencia que corresponde Triángulo de Pascal o ∆0:
𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4, 𝑆5, …,y así sucesivamente.
Para el nivel k=1 del P.C., las sucesiones paralelas que conforman dicho nivel, siguen la siguiente
secuencia a ambos lados del triángulo:
1𝑆2, 2𝑆3, 3𝑆4, 4𝑆5, 5𝑆6, …., y así sucesivamente.
Para el nivel k=2 del P.C., siguen la secuencia:
1𝑆3, 3𝑆4, 4𝑆5, 5𝑆6, 6𝑆7, …, y así sucesivamente.
Para el nivel k=3, del P.C. siguen la secuencia:
1𝑆4, 4𝑆5, 10𝑆6, 20𝑆7, 35𝑆8, …, y así sucesivamente, etc.
En términos generales, la secuencia tiene la forma:
{(
𝑖
𝑘
) 𝑆𝑖+1}, con 𝑖 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, … , 𝑘 + 𝑛 − 1 para cada 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛-1 Como algo
curioso y nemotécnico, las sucesiones Paralelas a ambos lados de cada uno de los planos sucesivos
∆ 𝑘 del Prisma Combinatorio (PC), se pueden agrupar como un triángulo donde los coeficientes que
las afectan, siguen las mismas secuencias que las que corresponden a las filas de ∆0, tal como se
muestra en el gráfico a continuación:

Regresando al Tema central que nos ocupa., Pascal presenta en su tratado, 19 características o
propiedades básicas del T.A., cuyos enunciados hemos reescrito para expresarlos en un lenguaje
matemático más acorde con la nomenclatura combinatoria actual. Cada uno de dichos enunciados
para el T.A., se han desarrollado y demostrado siguiendo en lo posible el sistema referencial de
Pascal, pero incluyendo algunos nuevos elementos imprescindibles para su adaptación y
tratamiento. Para el lector interesado, los resultados obtenidos, pueden consultarse en nuestro
trabajo titulado: El Triángulo de Pascal o Triángulo Aritmético y sus propiedades o características
clásicas (actualizando las Fuentes).
Presentaremos a continuación cada uno de estos nuevos enunciados y los contrastaremos con el
caso general válido para el P.C. y sus diversos niveles ∆ 𝑘, para re-enunciarlos de nuevo, de manera
que puedan aplicarse de manera general a cualquier nivel del Prisma Combinatorio, del cual, el
Triángulo Aritmético de Pascal es solo el caso correspondiente al nivel k=0
Para el T.A.:
1ᵊ Propiedad: En todo T.A., todas las series paralelas, sean horizontales o verticales, inician con la
unidad. (O su equivalente: todas las filas de ∆ 𝟎, inician y finalizan en un valor igual a la unidad).
Primero que nada, recordemos que cuando consideramos que la estructura interna del T.A., y
también la de cualquier caso de los ∆ 𝒌 de un P.C., está constituida por sucesiones idénticas, que
inician desde una misma altura o valor de fila, en ambos lados del triángulo, y que discurren
paralelamente a dichos lados, descendiendo ordenadamente desde su vértice, no es necesario
diferenciar entre sucesiones horizontales o verticales.
La primera propiedad para el caso del T.A., es una consecuencia directa de que cada Sucesión
Paralela 𝑆 𝑚 , tiene como primer elemento a la unidad, independientemente del valor (entero
positivo) de m. Ya que por definición 𝑆 𝑚={(
𝑖
𝑚 − 1
)} con i = (m-1),m,…,(m+n-2), y por ende
(
𝑚 − 1
𝑚 − 1
) = 1 .Análogamente, una fila n, en ∆0, está dada por 𝐹𝑛
0
= {(
𝑛
𝑖
)}, con 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛, por
lo que los coeficientes inicial y final, responden a la igualdad (
𝑛
0
) = (
𝑛
𝑛
) = 1
Para cualquier fila del T.A.
Para el P.C.:
1ᵊ Propiedad: En todo P.C., para cada nivel k, el conjunto de los coeficientes de inicio de las
Sucesiones Paralelas (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝑺 𝒏+𝒌+𝟏, a cada lado de la fila n de ∆ 𝒌, constituye a su vez, una
sucesión igual a 𝑺 𝒌+𝟏, o de manera equivalente: Para cualquier nivel k del P.C., la fila n de ∆ 𝒌 , de
igual posición relativa a la fila n en ∆ 𝟎, inicia y termina en un coeficiente igual a (
𝒏 + 𝒌
𝒌
)

Recordemos la Determinación analítica de los coeficientes del Trinomio, en función de su interrelación
con los valores combinatorios del triángulo de Pascal, ya desarrollada en trabajos anteriores.
Por la relación que existe, entre la distribución triangular de permutaciones con repetición en ∆ 𝑘 𝑦 𝑒𝑛 ∆0 ,
cualquier término contenido en ∆ 𝑘 , puede ser obtenido a partir del correspondiente en ∆0, situado en igual
posición y fila, mediante la expresión :Pᵣ,(i+j+k),i,j,k= (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
)Pᵣ,(i+j),i,j, que evidentemente podemos
reescribir como: 𝑷 𝒓,𝒎,𝒊,𝒋,𝒌= (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝑷 𝒓,𝒏,𝒊,𝒋.Si para resaltar esta correspondencia biunívoca entre elementos,
filas y posición relativa, denominamos a 𝑷 𝒓,𝒎,𝒊,𝒋,𝒌 como𝒇𝒊,𝒏
𝒌
y, a 𝑷 𝒓,𝒏,𝒊,𝒋 como 𝒇𝒊,𝒏
𝟎
, podremos escribir:
𝒇𝒊,𝒏
𝒌
=(
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝒇𝒊,𝒏
𝟎
con iє{𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏 − 𝟏, 𝒏}
Donde i, indica la posición del elemento en la fila n (tanto en ∆ 𝒌 como en ∆ 𝟎 )
n=i+j , indica el N° dela fila, a partir del vértice del triángulo o fila cero
k, indica el nivel de la capa triangular del prisma ( k≥0 )
0, indica el nivel correspondiente a ∆ 𝟎
Así por ejemplo: El tercer valor combinatorio de la fila 5 en ∆4, puede obtenerse a partir del tercer
valor combinatorio de la fila 5 en ∆0 , mediante:
𝑓2,5
4
= (
9
4
) 𝑓2,5
0
= (
9
4
) (
5
2
) = 126 ∗ 10 = 1260
Nótese que i=2 corresponde al tercer elemento de la fila, en este caso de la fila 5 en ambos planos
Si denominamos por 𝑭 𝒏
𝟎
, al conjunto de los n+1 elementos de la fila n, en ∆ 𝟎, es decir:
𝑭 𝒏
𝟎
= {(
𝒏
𝒊
)} = {(
𝒏
𝟎
) , (
𝒏
𝟏
) , (
𝒏
𝟐
) , … , (
𝒏
𝒏 − 𝟏
) , (
𝒏
𝒏
)}
Y por 𝑭 𝒏
𝒌
, el conjunto de los n+1 elementos de la fila n en ∆ 𝒌 , (k≥0), entonces se cumple:
𝑭 𝒏
𝒌
= (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝑭 𝒏
𝟎
,
Relación entre las filas de ∆ 𝟎, y de ∆ 𝒌
Estos resultados pueden aplicarse a la obtención de la distribución triangular ∆ 𝑻, de coeficientes
trinomiales , correspondientes a ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
, los cuales a su vez, constituyen la base
triangular sesgada del tetraedro que corresponde a la distribución de coeficientes tetranomiales de
( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝒎
. Ver bibliografía.

Así, por ejemplo si queremos obtener los coeficientes trinomiales (∆ 𝑻) correspondientes a un trinomio
elevado a la quinta potencia (m=5), bastará partir del triángulo de Pascal, correspondiente a las primeras seis
filas.
𝐹0
5
= (
5
5
) 𝐹0
0
=1.{1} ={1}
𝐹1
4
= (
5
4
) 𝐹1
0
=5.{1,1} = {5,5}
𝐹2
3
= (
5
3
) 𝐹2
0
= 10. {1,2,1}={10,20,10}
𝐹3
2
= (
5
2
) 𝐹3
0
= 10. {1,3,3,1} = {10,30,30,10}
𝐹4
1
= (
5
1
) 𝐹4
0
= 5. {1,4,6,4,1} = {5,20,30,20,5}
𝐹5
0
= (
5
0
) 𝐹5
0
= 1. {1,5,10,10,5,1}={1,5,10,10,5,1}
Como podemos observar, la operación se reduce a multiplicar cada una de las filas del triángulo de Pascal,
por el factor correspondiente, ubicado en la última fila del propio triángulo (señalado en amarillo en este
ejemplo).
Podemos graficarlo de manera más simple, para el caso que nos ocupa (m=5), de la siguiente manera:
Esta última deducción, nos permite obtener dichos coeficientes trinomiales de una manera sencilla e
inmediata, para cualquier caso m=n.
Extensión a la determinación de los coeficientes trinomiales de un ∆ 𝒌, hasta la fila n, a partir
de los coeficientes binomiales de un ∆ 𝟎, de igual número de filas:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Triángulo de Pascal(∆ 𝟎) Factores
1 1
1 1 5
1 2 1 10
1 3 3 1 10
1 4 6 4 1 5
1 5 10 10 5 1 1
Triángulo de Coeficientes
trinomiales (∆ 𝑻)
1
5 5
10 20 10
10 30 30 10
5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1

Estas propiedades, se pueden extender a la determinación de los coeficientes trinomiales de un ∆ 𝒌 de un P.C.,
a partir de los valores combinatorios simples, contenidos en el triángulo de Pascal.
Para ello, podemos establecer, a través de una nomenclatura similar, una expresión matemática sencilla que
nos permita obtener los valores combinatorios para un determinado ∆ 𝒌, a partir de los valores primarios
correspondientes, contenidos en ∆ 𝟎, siempre limitando ambos planos combinatorios por filas de un mismo
orden n .Resultaría :
∆ 𝟎
𝒏
. 𝑺 𝒎
𝒏+𝟏
=∆ 𝒌
𝒏
Donde∆ 𝒌
𝒏
, indica que el triángulo de valores combinatorios en ∆ 𝑘, que se obtiene, se desarrolla hasta la fila n
como fila límite.
∆ 𝟎
𝒏
, indica que el triángulo de valores combinatorios primarios en ∆ 𝟎, de partida, se desarrolla hasta la fila n
como fila límite.
y, 𝑺 𝒎
𝒏+𝟏
, se corresponde con los primeros n+1 términos de la sucesión combinatoria paralela específica 𝑆 𝑚,
donde 𝒎 = 𝒌 + 𝟏
Siendo: 𝑺 𝒎 = {(
𝒊
𝒎 − 𝟏
)}, con i=m-1, m, m+1,…,(m+n-2)
Es decir: 𝑺 𝒎 = {(
𝒊
𝒎 − 𝟏
)} = {(
𝒎 − 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎 + 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , … , (
𝒎 + 𝒏 − 𝟐
𝒎 − 𝟏
)}
Haciendo hincapié en que el producto se efectúa ,afectando todos los términos de cada fila de ∆ 𝟎
𝒏
, por el factor
correspondiente (en la misma posición relativa) de la sucesión 𝑺 𝒎
𝒏+𝟏
Así por ejemplo, para obtener ∆ 𝟑
𝟒
, será:∆ 𝟎
𝟒
. 𝑺 𝟒
𝟓
=∆ 𝟑
𝟒
∆ 𝟎
𝟒
𝑺 𝟒
𝟓
∆ 𝟑
𝟒
1 1 1
1 1 4 4 4
1 2 1 10 10 20 10
1 3 3 1 20 20 60 60 20
1 4 6 4 1 35 35 140 210 140 35

Y, Para obtener ∆6
4
, será: ∆ 𝟎
𝟒
. 𝑺 𝟕
𝟓
=∆ 𝟔
𝟒
Veamos cómo sería la aplicación de la 1ᵃ propiedad equivalente, ya enunciada para un
determinado ∆ 𝒌, del P.C., por ej., para k=3
Fila Coeficientes
0 1
1 4 4
2 35𝑆8
10 20 10 35𝑆8
3 20 60 60 20
4 35 140 210 140 35
5 56 280 560 560 280 56
6 84 504 1260 1680 1260 504 84
7 120 840 2520 4200 4200 2520 840 120
8 165 1320 4620 9240 11550 9240 4620 1320 165
Grafica-Tabla de ∆ 𝟑, correspondiente al P.C., hasta la fila 8
Consideremos ahora la fila n=4, y comprobaremos que las 2 sucesiones de coeficientes, paralelas a
los lados del triángulo que inician en cada extremo de la fila n=4, de ∆ 𝟑, responden a la expresión
(
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝑺 𝒏+𝒌+𝟏 , en este caso obtenemos: (
𝟕
𝟑
) 𝑺 𝟖 = 𝟑𝟓𝑺 𝟖
∆ 𝟎
𝟒
𝑺 𝟕
𝟓
∆ 𝟔
𝟒
1 1 1
1 1 7 7 7
1 2 1 28 28 56 28
1 3 3 1 84 84 252 252 84
1 4 6 4 1 210 210 840 1260 840 210
Con este sencillo y práctico procedimiento es posible obtener de manera inmediata y directa,
cualquiera distribución de valores combinatorios en ∆ 𝒌 , a partir de la correspondiente en ∆ 𝟎.
E.D.S

Es decir sus elementos son: 35{1,8,36,120,330, … } = 35, 280,1260,4200,11550, …, como
podemos observar en el gráfico de ∆ 𝟑, hasta la fila n=8, representados, y resaltados en rojo, en la
figura anterior.
A su vez, comprobamos que la fila 4 del triángulo mostrado, inicia y termina con el coeficiente (
7
3
) =
35
Así mismo, observamos que los coeficientes de inicio y final de cada fila, resaltados en amarillo en
la figura, serían: 1,4,10,20,35,56,84,120,…, que constituyen la Sucesión Paralela 𝑆4.
Para el T.A.:
2ᵊ Propiedad: En todo T.A., el coeficiente combinatorio de lugar n, perteneciente a una sucesión
paralela horizontal 𝑺𝒋+𝟏, es igual a la suma de los n elementos consecutivos de la sucesión
paralela precedente 𝑺𝒋.
3ᵊ Propiedad: En todo T.A., el coeficiente combinatorio de lugar n perteneciente a una sucesión
paralela vertical 𝑺 𝒌+𝟏, es igual a la suma de los n elementos consecutivos de la sucesión paralela
precedente 𝑺 𝒌.*
Nota: *Cuando utilizamos la letra k, en el T.A., no se refiere a nivel, sino a cantidad o lugar de
los elementos
Cuando aplicamos la expresión genérica (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝑺 𝒏+𝒌+𝟏 , al T.A., aquí si k se refiere al nivel, que
será para este caso: k=0, luego se trata de (
𝑛
0
) 𝑆 𝑛+1 = 𝑆 𝑛+1, y según sea el valor n de la fila
(n=0,1,2,3,….), se obtienen las sucesiones paralelas 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, …, que conforman la estructura
interna de ∆0
Como es evidente, según lo que hemos ya expuesto: si consideramos que la estructura interna del
T.A., y también la de cualquier caso de los ∆ 𝒌 de un P.C., está constituida por sucesiones idénticas,
que inician desde una misma altura o valor de fila, en ambos lados del triángulo, y que discurren
paralelamente a dichos lados, descendiendo ordenadamente desde su vértice, no es necesario
diferenciar entre sucesiones horizontales o verticales. Por lo que dichas propiedades 2ᵃ y 3ᵃ,
pueden englobarse en una sola, referida a las sucesiones paralelas, sin hacer la distinción, entre
sucesiones horizontales y verticales, por lo que podríamos enunciar esta propiedad como:
2ᵊ-3ᵊ Propiedad: En todo T.A., la suma de los primeros n elementos de una sucesión paralela
dada 𝑺 𝒎, es igual al término de lugar n, de la sucesión paralela siguiente 𝑺 𝒎+𝟏
Por lo tanto, para obtener el coeficiente de lugar n (en este caso n, correspondería a lugar o cantidad
de coeficientes, y no al valor de la fila) de la sucesión paralela inmediatamente siguiente a una
dada, bastara sumar directamente los n primeros coeficientes de la sucesión dada , cosa que no
ocurre para niveles de 𝒌 ≠ 𝟎.
Veamos con un ejemplo como se aplica esta propiedad para el T.A. (∆ 𝟎, hasta la fila 8)

∆ 𝟎, hasta la fila 8
Fila Coeficientes
0 1 𝑆3
1 1 1 𝑆4
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Consideremos los primeros 5 elementos de las Sucesiones paralelas consecutivas 𝑆3, y 𝑆4, y
como se refleja en la tabla siguiente, observamos, como al ir sumando acumulativamente, los
coeficientes fila por fila de 𝑆3, se van obteniendo los coeficientes sucesivos de 𝑆4, que
corresponden a la fila siguiente.
Fila Coef. de 𝑺 𝟑 Fila Coef. de 𝑺 𝟒
2 1 3 1=1
3 3 4 1+3 =4
4 6 5 1+3+6 =10
5 10 6 1+3+6+10=20
6 15 7 1+3+6+10+15=35
Para el P.C.:
La propiedad que enunciaremos a continuación, para el P.C., y cualquiera de sus niveles ∆ 𝒌,
corresponde a la equivalente de englobar en una, dichas dos propiedades.
Propiedad 2ᵃ y 3ᵃ: En todo P.C., si al resultado de sumar los primeros m elementos de una sucesión
paralela (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝑺 𝒏+𝒌+𝟏, que inicia al extremo de una fila n de un ∆ 𝒌 dado, se multiplica por el
valor del subíndice (n+k+1), y se divide por (n+1), se obtiene el coeficiente de lugar m, de la
sucesión paralela siguiente.
Nota: Como podemos observar, Para el T.A., o nivel k=0, el cociente de (n+0+1)/ (n+1), (donde n
representa fila), corresponderá a la unidad.
Veamos cómo se aplicaría la propiedad equivalente ya enunciada, pero para un determinado
∆ 𝒌 , del P.C. por ej., para k=3.

∆ 𝟑, hasta la fila 8
Fila Coeficientes
𝑆4
0 1 4𝑆5
1 4 4
2 10 20 10
3 20 60 60 20
4 35 140 210 140 35
5 56 280 560 560 280 56
6 84 504 1260 1680 1260 504 84
7 120 840 2520 4200 4200 2520 840 120
8 165 1320 4620 9240 11550 9240 4620 1320 165
Consideremos los primeros 4 elementos de la sucesiones 𝑺 𝟒 , que inicia en la fila 𝒏 = 𝟎 y la
sucesión paralela inmediatamente siguiente 𝟒𝑺 𝟓, que inicia en el extremo derecho de la fila 1
de ∆ 𝟑 ,es decir 𝑺 𝟒
𝟒
= {𝟏, 𝟒, 𝟏𝟎, 𝟐𝟎}, y 𝟒𝑺 𝟓
𝟒
= {𝟒, 𝟐𝟎, 𝟔𝟎, 𝟏𝟒𝟎} , entonces como aquí, 𝒏 = 𝟎 , y
k=3, será (n+k+1)/ (n+1)=4/1
Fila Coef. de 𝑺 𝟒 Fila Coef. de 4𝑺 𝟓
0 1 1 1 . 4/1=4
1 4 2 (1+4) . 4/1=20
2 10 3 (1+4+10) . 4/1=60
3 20 4 (1+4+10+20). 4/1=140
Observamos en esta tabla, como al multiplicar en cada fila, la suma de los coeficientes
acumulados de la sucesión 𝑺 𝟒, por el factor 4/1, se van obteniendo los coeficientes de la
sucesión 4𝑺 𝟓, correspondientes a la fila siguiente.
Nota: *No es nuestro objetivo, ni nuestra prioridad en este trabajo, la demostración de cada una de
las 19 propiedades, para el caso del Prisma Combinatorio.
Para el T.A.:
4ᵊ Propiedad: En todo T.A., el coeficiente binómico correspondiente a la intersección de dos
sucesiones paralelas 𝑺𝒊, y 𝑺𝒋, que inician en lados diferentes del triángulo, es igual a la suma
más la unidad, de todos los elementos del T.A., comprendidos entre ambas sucesiones.
Veamos la aplicación de esta expresión para ∆ 𝟎 . Consideremos las filas 𝒊 = 𝟑, 𝒚 𝒋 = 𝟒

Fila Coeficientes
0 1
1 1 1 𝑆4
2 𝑆5 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Entonces el coeficiente correspondiente a la intersección de la sucesión paralela (
3
0
) 𝑆4 = 𝑆4, que
inicia al extremo derecho de la fila i=3, y la sucesión (
4
0
) 𝑆5 = 𝑆5, que inicia al extremo izquierdo de
la fila j=4, vendrá dado por: 𝑪 𝟑,𝟒
𝟎
= (
𝟎+𝟑+𝟏
𝟒
) ∑ (
𝒎
𝟎
)𝟑+𝟒−𝟏
𝒎=𝟎 (
𝒎 + 𝟑
𝒎
)
Es decir: 𝑪 𝟑,𝟒
𝟎
= (
𝟒
𝟒
) ∑ (
𝒎
𝟎
)𝟔
𝒎=𝟎 (
𝒎 + 𝟑
𝒎
) = 𝟏. [(
𝟎
𝟎
) (
𝟑
𝟎
) + (
𝟏
𝟎
) (
𝟒
𝟏
) + (
𝟐
𝟎
) (
𝟓
𝟐
) + (
𝟑
𝟎
) (
𝟔
𝟑
)] =
𝟏. {𝟏. 𝟏 + 𝟏. 𝟒 + 𝟏. 𝟏𝟎 + 𝟏. 𝟐𝟎} = 𝟏. {𝟏 + 𝟒 + 𝟏𝟎 + 𝟐𝟎} = 𝟏. 𝟑𝟓 = 𝟑𝟓
La suma de todos los elementos del T.A., comprendidos entre ambas sucesiones, está dada por:
1+1+1+1= 4
1+2+3+4= 10
1+3+6+10 20
Ʃ 34
Su diferencia con el coeficiente de intersección vendrá dada por: 35-34=1
Es importante destacar, que solo para el caso de ∆ 𝟎 , el valor obtenido coincidirá con la suma más
la unidad, de todos los elementos del T.A., comprendidos entre ambas sucesiones.
Para el P.C.:
4ᵃ Propiedad: En todo P.C., el coeficiente 𝑪𝒊,𝒋
𝒌
, de intersección de dos Sucesiones Paralelas situadas
en lados diferentes de ∆ 𝒌 , la 1ᵃ, (
𝒊 + 𝒌
𝒌
) 𝑺𝒊+𝒌+𝟏, iniciando desde el extremo derecho de la fila n=i,
y la 2ᵃ, (
𝒋 + 𝒌
𝒌
) 𝑺𝒋+𝒌+𝟏, iniciando desde el extremo izquierdo de la fila n=j, vendrá dado por la
expresión: 𝑪𝒊,𝒋
𝒌
= (
𝒌+𝒊+𝟏
𝒋
) ∑ (
𝒎
𝒌
)
𝒌+𝒋−𝟏
𝒎=𝒌 (
𝒎 + 𝒊
𝒎
).

Veamos su aplicación para nuestro ∆ 𝒌, de ejemplo, es decir para k=3, con i=3, y j=4, que
correspondería a la intersección de la sucesión paralela 20𝑆7, que inicia en el extremo derecho de
la fila 3, con la sucesión paralela 35𝑆8, que inicia en el extremo izquierdo de la fila j=4.
Fila Coeficientes
0 1
1 4 4 20𝑆7
2 35𝑆8
10 20 10
3 20 60 60 20
4 35 140 210 140 35
5 56 280 560 560 280 56
6 84 504 1260 1680 1260 504 84
7 120 840 2520 4200 4200 2520 840 120
8 165 1320 4620 9240 11550 9240 4620 1320 165
Entonces, dicho coeficiente vendrá dado por:
𝑪 𝟑,𝟒
𝟑
= (
𝟕
𝟒
) ∑ (
𝒎
𝟑
)
𝟔
𝒎=𝟑
(
𝒎 + 𝟑
𝒎
)
𝑪 𝟑,𝟒
𝟑
= (
𝟕
𝟒
) [(
𝟑
𝟑
) (
𝟔
𝟑
) + (
𝟒
𝟑
) (
𝟕
𝟒
) + (
𝟓
𝟑
) (
𝟖
𝟓
) + (
𝟔
𝟑
) (
𝟗
𝟔
)] =
𝟕
𝟒
[𝟏. 𝟐𝟎 + 𝟒. 𝟑𝟓 + 𝟏𝟎. 𝟓𝟔 + 𝟐𝟎. 𝟖𝟒]
=
𝟕
𝟒
[𝟐𝟎 + 𝟏𝟒𝟎 + 𝟓𝟔𝟎 + 𝟏𝟔𝟖𝟎] =
𝟕
𝟒
. 𝟐𝟒𝟎𝟎 = 𝟒𝟐𝟎𝟎
La suma de todos los elementos de ∆ 𝟑, comprendidos entre ambas sucesiones, está dada por:
1+4+10+20= 35
4+20+60+140= 224
10+60+210+560= 840
Ʃ 1099
Y su diferencia con el coeficiente de intersección vendrá dada por: 4200-1099=3101, y no por la
unidad.
Veamos un ejemplo para ∆ 𝟐, consideremos las filas i=4, y j=4, con k=2, que correspondería a la
intersección de la sucesión paralela 15𝑆7, que inicia en el extremo derecho de la fila 4, con la
sucesión paralela 15𝑆7, que inicia en el extremo izquierdo de la fila j=4

Grafica-Tabla de ∆ 𝟐, correspondiente al P.C., hasta la fila 8
Fila Coeficientes
0 1
1 3 3
2 15𝑆7
6 12 6 15𝑆7
3 10 30 30 10
4 15 60 90 60 15
5 21 105 210 210 105 21
6 28 168 420 560 420 168 28
7 36 252 756 1260 1260 756 252 36
8 45 360 1260 2520 3150 2520 1260 360 45
Entonces tendremos:
𝑪 𝟒,𝟒
𝟐
= (
𝟕
𝟒
) ∑ (
𝒎
𝟐
)
𝟓
𝒎=𝟐
(
𝒎 + 𝟒
𝒎
)
𝑪 𝟒,𝟒
𝟐
= (
𝟕
𝟒
) [(
𝟐
𝟐
) (
𝟔
𝟐
) + (
𝟑
𝟐
) (
𝟕
𝟑
) + (
𝟒
𝟐
) (
𝟖
𝟒
) + (
𝟓
𝟐
) (
𝟗
𝟓
)] =
𝟕
𝟒
[𝟏. 𝟏𝟓 + 𝟑. 𝟑𝟓 + 𝟔. 𝟕𝟎 + 𝟏𝟎. 𝟏𝟐𝟔]
=
𝟕
𝟒
[𝟏𝟓 + 𝟏𝟎𝟓 + 𝟒𝟐𝟎 + 𝟏𝟐𝟔𝟎] =
𝟕
𝟒
. 𝟏𝟖𝟎𝟎 = 𝟑𝟏𝟓𝟎
La suma de todos los elementos de ∆ 𝟐, comprendidos entre ambas sucesiones, está dada por:
1+3+6+10= 20
3+12+30+60= 105
6+30+90+210= 336
10+60+210+560= 840
Ʃ 1301
Y su diferencia con el coeficiente de intersección vendrá dada por: 3150-1301=1849, y no por la
unidad.
5ᵊ Propiedad. En todo T.A., los coeficientes que corresponden a puntos de coordenadas
recíprocas, tienen igual valor.
Como podemos comprobar, al observar y analizar cualquier caso o valor de k, la simetría con
respecto a la diagonal del plano, de cualquier ∆ 𝒌, se conserva igual que en el T.A. (Ver casos
graficados de ∆ 𝟑, y ∆ 𝟐, donde se indica el eje de simetría de cada uno)

Al respecto ya hemos señalado en nuestro trabajo “Actualizando las Fuentes”, lo siguiente:
• Muchas de las propiedades enunciadas, pueden considerarse como recíprocas, y derivadas
de la simetría del Triángulo Aritmético con respecto a la bisectriz del plano, que corresponde
a la línea que Pascal llama “Dividente”, que une los puntos de coordenadas iguales, siendo
esta línea la altura del triángulo isósceles rectángulo o triángulo de Pascal, de manera que
los coeficientes binómicos, situados sobre una misma fila o base, a una distancia
equidistante de dicho eje de simetría (E.D.S.), resultan recíprocos en cuanto a sus
coordenadas, e iguales en cuanto a su valor numérico.
Por lo tanto, la 5ᵃ propiedad para el caso del P.C., sería muy similar, pero más general:
Para el P.C.:
5ᵊ Propiedad. En todo P.C., y para cada nivel ∆ 𝒌 del mismo, los coeficientes que corresponden
a puntos de coordenadas recíprocas, tienen igual valor.
Consideramos que, siendo una propiedad derivada de la simetría de un triángulo isósceles-
rectángulo, respecto a su altura, mediana y bisectriz del ángulo recto, y de su superposición sobre
una matriz cartesiana de puntos coordenados, no es pertinente aquí, extenderse en demostraciones
y ejemplos.
6ᵊ Propiedad: En todo T.A. las sucesiones de igual subíndice, a ambos lados del mismo, están
compuestas de coeficientes de igual valor, y por ende la suma de sus términos para un mismo
número de elementos (es decir hasta una misma fila), tiene un mismo valor.
Esta propiedad, prácticamente resulta evidente, o una consecuencia inmediata, derivada de la
composición, o estructura interna del T.A., constituido por sucesiones idénticas, que inician a una
misma altura o valor de fila, en ambos lados del triángulo y que discurren paralelamente a dichos
lados, descendiendo ordenadamente desde su vértice.
De manera que la propiedad se conserva para los ∆ 𝒌 de un P.C. pero deberemos tomar en cuenta
las expresiones encontradas para las sucesiones paralelas (sus múltiplos) correspondientes a estos
casos.
Para el P.C.:
6ᵊ Propiedad: En todo P.C., las sucesiones Paralelas (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝑺 𝒏+𝒌+𝟏, que inician desde cada
extremo de una fila n, de un ∆ 𝒌, , están compuestas de coeficientes de igual valor, y por ende la
suma de sus términos para un mismo número de elementos (es decir hasta una misma fila), tiene
un mismo valor.
Un ejemplo inmediato, lo observamos en los elementos resaltados en rojo en los gráficos de ∆ 𝟑, y
∆ 𝟐, ya mostrados anteriormente.
7ᵊ Propiedad: En todo T.A. la suma de los elementos de una base o fila, es el doble que la suma
de los elementos de la fila anterior.

Para el T.A.:
Como ya hemos determinado anteriormente, la suma de los coeficientes correspondientes a una fila
n, en ∆ 𝟎, (propiedad 8ᵃ del T.A.) viene dada por:
∑ (
𝑛
𝑖
)
𝑛
𝑖=0
= 2 𝑛
Entonces la suma de los coeficientes correspondientes a la fila n-1, estará dada por:
∑ (
𝑛 − 1
𝑖
)
𝑛−1
𝑖=0
= 2 𝑛−1
Y siendo 2 𝑛
= 2. 2 𝑛−1
, queda demostrada la propiedad, para el caso del T.A.
Para el P.C.:
7ᵊ Propiedad. En todo P.C. la suma de los elementos de una fila n, de un ∆ 𝒌 dado, es igual a
𝟐
(𝒌+𝒏)
𝒏
veces, la suma de los coeficientes de la fila precedente 𝒏 − 𝟏
Veamos primero, la aplicación de esta expresión para ∆ 𝟎, y la suma de los coeficientes de la fila n,
con respecto a la suma de los coeficientes de la fila precedente n-1. Evidentemente en este caso al
ser k=0, el factor 𝟐
(𝒌+𝒏)
𝒏
, es igual a 2, y por ende el resultado se corresponde con la propiedad
enunciada para el T.A.
Consideremos el caso para el P.C. y un ∆ 𝒌 dado:
Aquí haremos también, uso de la propiedad siguiente u 8ᵃ, que, a nuestro juicio, debería ocupar
el lugar de la 7ᵃ, y viceversa, tanto para el T.A., como para el P.C.
Como ya hemos establecido en la 1ᵃ propiedad, para una fila n, de un ∆ 𝑘 dado se verifica:
𝐹𝑛
𝑘
= (
𝑛 + 𝑘
𝑘
) 𝐹𝑛
0
, de manera que si la suma de los coeficientes de la fila n de ∆ 𝑘 , 𝐹𝑛
𝑘
, es igual a la
suma de los coeficientes de las fila n de ∆ 𝑜 , 𝐹𝑛
0
, multiplicada por el factor común a cada uno de sus
elementos, es decir, por (
𝑛 + 𝑘
𝑘
), entonces, como según la propiedad 8ᵃ, para el T.A., la suma de los
coeficientes de la fila n de ∆ 𝑜 , es 2 𝑛
, resulta en consecuencia que para el P.C., la suma de los
coeficientes de una fila n, de un ∆ 𝑘 dado, es igual a (
𝑘 + 𝑛
𝑘
) 2 𝑛
.
En este caso ( para ∆ 𝑘 ), podemos verificar fácilmente que se verifica la identidad siguiente:
(
𝑛 + 𝑘
𝑘
) 2 𝑛
= 2
(𝑛 + 𝑘)
𝑛
. (
𝑛 + 𝑘 − 1
𝑘
) 2 𝑛−1
Con lo cual quedaría demostrada la 7ᵃ propiedad para el caso del P.C.
Para el T.A.
8ᵊ Propiedad. En todo T.A., la suma de los coeficientes combinatorios de cualquier fila n, es
siempre igual a 𝟐 𝒏

Para el P.C.:
8ᵊ Propiedad: En todo P.C., la suma de los coeficientes combinatorios de cualquier fila n, de un
∆ 𝒌, es siempre igual a (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝟐 𝒏
Como ya hemos afirmado anteriormente, consideramos que tanto para el T.A., como para el P.C., la
8ᵃ propiedad, debe corresponder a la 7ᵃ., y viceversa. Y no insistiremos en demostraciones adicionales
innecesarias.
Para el T.A.
9ᵊ Propiedad. En todo T.A., el valor suma de una base, disminuido en una unidad, es igual a la
suma de todos los valores sumas de las bases precedentes.
Como una consecuencia de la propiedad 8ᵃ, del T.A., la suma de los coeficientes desde la fila 0, hasta
la fila n-1, puede escribirse como:
∑ (
𝑖
0
) 2𝑖𝑛−1
𝑖=0 =(
0
0
) 20
+ (
1
0
) 21
+ (
2
0
) 22
+ ⋯ + (
𝑛 − 1
0
) 2 𝑛−1
= 20
+ 21
+ 22
+ ⋯ + 2 𝑛−1
Para la fila n, la suma de sus coeficientes estará dada por 2 𝑛
Evidentemente la sumatoria indicada, se corresponde con la suma de los términos de una progresión
geométrica de término inicial 𝑎1 = 1, de razón 𝑟 = 2, y de n términos. Si aplicamos las conocidas
fórmulas del caso, para el término n-ésimo, tendremos: 𝑎 𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1
, y para la suma de sus primeros
n términos: 𝑆 𝑛 =
𝑎1(𝑟 𝑛−1)
(𝑟−1)
. Luego con 𝑎1 = 1, y 𝑟 = 2, resultan:
𝑎 𝑛 = 2 𝑛−1
, y 𝑺 𝒏 = 𝟐 𝒏
− 𝟏, que equivale a comprobar que: 𝟐 𝟎
+ 𝟐 𝟏
+ 𝟐 𝟐
+ ⋯ + 𝟐 𝒏−𝟏
=𝟐 𝒏
− 𝟏,
quedando con ello demostrada la validez de la propiedad enunciada.
Aplicación con un ejemplo, para ∆ 𝟎, con n=6
𝑺 𝟏
Fila Coeficientes Ʃ
0 1 1= 1. 𝟐 𝟎
1 1,1 2= 1. 𝟐 𝟏
2 1,2,1 4= 1. 𝟐 𝟐
3 1,3,3, 1 8= 1. 𝟐 𝟑
4 1,4,6, 4, 1 16=1. 𝟐 𝟒
5 1,5,10,10,5, 1 32=1. 𝟐 𝟓
Ʃ 63
6 1,6,15,20,15,6,1 64=1. 𝟐 𝟔

En este caso ∑ (
𝑖
0
) 2𝑖5
𝑖=0 = (
0
0
) 20
+ (
1
0
) 21
+ (
2
0
) 22
+ (
3
0
) 23
+ (
4
0
) 24
+ (
5
0
) 25
= 20
+ 21
+
22
+ 23
+ 24
+ 25
= 26
− 1 = 64 − 1 = 63
Como puede observarse la diferencia entre la suma de los coeficientes de la fila n=6, y la suma de
todos los coeficientes de las filas, desde n=0, hasta n=5, es igual a la unidad.
Para el P.C.
9ᵃ Propiedad: En todo P.C., la diferencia entre la suma de los coeficientes de una fila n, de un
∆ 𝒌, dado y la suma de todos los coeficientes de las filas precedentes desde 0, hasta n-1, vendrá
dada por:
Para un valor par de k:
[(
𝑛 + 0
1
) + (
𝑛 + 2
3
) + ⋯ + (
𝑛 + 𝑘 − 2
𝑘 − 1
)] 2 𝑛+1
+ 1
Nota: para k=0, las sumas incluidas en el corchete serán nulas, y la diferencia se hace igual a la unidad.
En términos generales, para k par, se cumplirá:
(
𝑛 + 𝑘
𝑘
) 2 𝑛
= ∑ (
𝑖
𝑘
) 2𝑖−𝑘
𝑛+𝑘−1
𝑖=𝑘
+ [(
𝑛 + 0
1
) + (
𝑛 + 2
3
) + ⋯ + (
𝑛 + 𝑘 − 2
𝑘 − 1
)] 2 𝑛+1
+ 1
Donde el término de la izquierda, representa la suma de los coeficientes de la fila n, del ∆ 𝒌
considerado, y la sumatoria a la derecha, representa la suma de todos los coeficientes de las filas
desde el valor 0, hasta el valor n-1 del ∆ 𝒌, mientras que los términos incluidos en el corchete más
la unidad, representan la diferencia entre los dos valores anteriores.
Para un valor impar de k, la diferencia vendrá dada por:
[(
𝑛 − 1
0
) + (
𝑛 + 1
2
) + ⋯ + (
𝑛 + 𝑘 − 2
𝑘 − 1
)] 2 𝑛+1
− 1
En términos generales, para k impar, se cumplirá:
(
𝑛 + 𝑘
𝑘
) 2 𝑛
= ∑ (
𝑖
𝑘
) 2𝑖−𝑘
𝑛+𝑘−1
𝑖=𝑘
+ [(
𝑛 − 1
0
) + (
𝑛 + 1
2
) + ⋯ + (
𝑛 + 𝑘 − 2
𝑘 − 1
)] 2 𝑛+1
− 1
Donde el término de la izquierda, representa la suma de los coeficientes de la fila n, del ∆ 𝒌
considerado, y la sumatoria a la derecha, representa la suma de todos los coeficientes de las filas
desde el valor 0, hasta el valor n-1 del ∆ 𝒌, mientras que los términos incluidos en el corchete menos
la unidad, representan la diferencia entre los dos valores anteriores.
Nota: Aunque puede desarrollarse una expresión única aplicable para ambos casos, preferimos en
aras de la claridad y la sencillez, diferenciar por medio de dos expresiones separadas.

Como ocurre de manera análoga, para la 4ᵃ Propiedad, solo en el caso trivial, de k=0,
correspondiente al T.A., la diferencia será igual a la unidad.
Veamos su aplicación en el P.C., con algunos ejemplos:
Sea nuestro ya representado anteriormente, ∆ 𝟐, caso de k par, y consideraremos la fila n=6
𝑆3
0 1 1 = 1. 𝟐 𝟎
1 3, 3 6= 3. 𝟐 𝟏
2 6, 12, 6 24= 6. 𝟐 𝟐
3 10,30, 30, 10 80= 10. 𝟐 𝟑
4 15,60, 90, 60, 15 240=15. 𝟐 𝟒
5 21,105,210,210,105,21 672=21. 𝟐 𝟓
Ʃ 1023
6 28,168,420,560,420,168,28 1792=28. 𝟐 𝟔
Entonces para este caso, con k=2, y n=6, se deberá cumplir:
(
8
2
) 26
= ∑ (
𝑖
2
) 2𝑖−2
7
𝑖=2
+ [(
6
1
)] 27
+ 1
Es decir: 28.64 = (
2
2
) 20
+ (
3
2
) 21
+ (
4
2
) 22
+ (
5
2
) 23
+ (
6
2
) 24
+ (
7
2
) 25
+ 6.128 + 1 = (1.1 +
3.2 + 6.4 + 10.8 + 15.16 + 21.32) + (768 + 1) = (1 + 6 + 24 + 80 + 240 + 672) + (768 +
1) = 1023 + 769 = 1792
Lo cual evidentemente se cumple, siendo 1792, el valor correspondiente a la suma de los coeficientes
de la fila n=6, mientras que 1023, es el valor correspondiente a la suma de todos los coeficientes de
las filas previas desde 0, hasta 5, y 769, la diferencia entre ambos valores.
Veamos un ejemplo para el caso ∆ 𝟑 , de k impar: sea k=3, y n=6
𝑆4
0 1 1 = 1. 𝟐 𝟎
1 4, 4 8= 4. 𝟐 𝟏
2 10,20, 10 40= 10. 𝟐 𝟐
3 20,60, 60, 20 160= 20. 𝟐 𝟑
4 35,140,210, 140, 35 560= 35. 𝟐 𝟒
5 56,280,560, 560, 280, 56 1792=56. 𝟐 𝟓
Ʃ 2561
6 84,504,1260,1680,1260,504,84 5376=84. 𝟐 𝟔

Para este caso de k impar e igual a 3, y con n=6, deberá cumplirse:
(
9
3
) 26
= ∑ (
𝑖
3
) 2𝑖−3
8
𝑖=3
+ [(
5
0
) + (
7
2
)] 27
− 1
Es decir: 84.64 = (
3
3
) 20
+ (
4
3
) 21
+ (
5
3
) 22
+ (
6
3
) 23
+ (
7
3
) 24
+ (
8
3
) 25
+ [1 + 21]. 128 − 1 =
(1.1 + 4.2 + 10.4 + 20.8 + 35.16 + 56.32) + (22.128 − 1) = (1 + 8 + 40 + 160 + 560 +
1792) + (2816 − 1) = 2561 + 2815 = 5376
Lo cual evidentemente se cumple, siendo 5376, el valor correspondiente a la suma de los coeficientes
de la fila n=6, mientras que 2561, es el valor correspondiente a la suma de todos los coeficientes de
las filas previas desde 0, hasta 5, y 2815, la diferencia entre ambos valores.
Para el T.A.
10ᵃ Propiedad. En todo T.A., la suma de tantos elementos como se quiera, de una fila dada es
igual a la suma de igual número de elementos de la fila anterior, más el mismo número menos
uno de elementos de esa fila anterior, también, siempre contados desde un mismo extremo.
Veamos cómo se aplica la 10ᵃ propiedad para el TA. ( ∆ 𝟎, hasta la fila 7)
Fila Coeficientes
0 1
1 1,1
2 1,2,1
3 1,3,3, 1
4 1,4,6, 4, 1
5 1,5,10,10,5, 1
6 1,6,15,20,15,6, 1
7 1,7,21,35,35,21,7,1
Consideremos p.ej., la suma de los primeros 4 términos de la fila n=7, del T.A. mostrado, en la tabla
anterior.
1+7+21+35=64
Podemos comprobar que, si sumamos los primeros 4 elementos de la fila previa, (fila6), con los
primeros 3 elementos de esa misma fila: (1+6+15+20) +(1+6+15) =42+22=64, obtenemos el mismo
valor anterior.
Para el P.C.
10ᵃ Propiedad: En todo P.C., para cada par de niveles consecutivos de k, la diferencia entre la
suma de tantos elementos como se quiera, de una fila n de ∆ 𝒌, y la suma de igual número de
elementos , más ese mismo número de elementos menos uno de la fila anterior n-1 de ∆ 𝒌 , es
igual a la suma del mismo número de elementos originalmente considerados, pero de la fila n,
del nivel anterior ∆ 𝒌−𝟏, también siempre contados desde un mismo extremo.

Para un ejemplo para este caso, consideremos Simultáneamente dos niveles consecutivos, tales como
∆ 𝟎 , y ∆ 𝟏.
∆ 𝟎, hasta la fila 7 ∆ 𝟏, hasta la fila 7
Sumemos ahora los primeros 4 elementos de la fila 7 de ∆ 𝟏:
8+56+168+280=512
Sumemos a continuación, los primeros 4 elementos con los primeros 3 elementos de la fila 6 de ∆ 𝟏
(7+42+105+140) + (7+42+105) = 294+154=448
Calculemos la diferencia entre los dos resultados obtenidos anteriormente:
512-448=64
Podemos comprobar que este valor se corresponde con la suma de los primeros 4 valores de la fila 7
de ∆ 𝟎: 1+7+21+35=64
11ᵃ Propiedad:
La línea que Pascal llama la “Dividente”, se identifica con el eje de simetría (E.D.S.), o bisectriz,
correspondiente a cualquier plano ∆ 𝒌 del P.C., y por ende también del T.A., o ∆ 𝟎. Y puede definirse
como la línea que une los puntos de la retícula cartesiana, de coordenadas iguales en cada nivel, o
como la línea determinada por el vértice y los elementos centrales de las filas pares de cualquier ∆ 𝒌.
La propiedad 11ᵃ, que señala Pascal puede considerarse como derivada de la Relación de Recurrencia,
que existe entre los coeficientes de cualesquiera dos filas consecutivas del T.A.
Originalmente, Pascal enuncia: Cada célula de la Dividente, es el doble de aquella que la precede en
su rango paralelo o perpendicular. Pero que en nuestro intento de “actualizar la fuente”, hemos
redactado como:
Para el T.A.
11ᵃ Propiedad. Todas las filas pares del T.A., tienen un elemento central, el cual se sitúa sobre la
intersección del eje de simetría o bisectriz del plano, y su valor es el doble que cualquiera de los
dos elementos inmediatamente próximos en la fila precedente.
Fila Coeficientes
0 1
1 1,1
2 1,2,1
3 1,3,3, 1
4 1,4,6, 4, 1
5 1,5,10,10,5, 1
6 1,6,15,20,15,6, 1
7 1,7,21,35,35,21,7,1
Fila Coeficientes
0 1
1 2,2
2 3,6, 3
3 4,12, 12, 4
4 5,20, 30, 20, 5
5 6,30, 60, 60, 30, 6
6 7,42, 105,140,105,42, 7
7 8,56, 168,280,280,168,56,8

A excepción del caso trivial correspondiente a la fila 0, y su único coeficiente igual a la unidad, por
la relación de recurrencia, cada valor central de una fila par en ∆ 𝟎, es igual a la suma de los dos
coeficientes simétricos, equidistantes, e inmediatamente próximos, de igual valor en la fila impar
previa, y como consecuencia, resulta de un valor igual al doble de dicho coeficiente simétrico.
Fila Coeficientes
0 1 central
1 1 1
2 2 central 2=1+1
3 3 3
4 6 central 3+3=6
5 10 10
6 20 central 10+10=20
7 35 35
8 70 central 35+35=70
En el caso del P.C., La correspondencia análoga, o equivalente a la relación de recurrencia del T.A.,
está determinada por las relaciones de proximidad entre los coeficientes de dos niveles consecutivos
de k, por ello, proponemos la siguiente redacción equivalente:
Para el P.C.
11ᵃ Propiedad: Para todo P.C., el coeficiente central de una fila par de un ∆ 𝒌 dado, es el doble
del valor correspondiente a cualquiera de los dos coeficientes idénticos, inmediatamente
próximos en la fila impar precedente, más la suma del coeficiente central, de igual fila, en el
nivel anterior ∆ 𝒌−𝟏.
Tomemos como ejemplo para su aplicación, el caso de ∆ 𝟑, y ∆ 𝟐 ,hasta la fila 6, tal como se
muestra:
Fila Coeficientes
0 1
1 4, 4
2 10,20, 10
3 20,60, 60, 20
4 35,140,210, 140, 35
5 56,280,560, 560, 280, 56
6 84,504,1260,1680,1260,504,84
E.D.S.

∆ 𝟐, hasta la fila 6
Fila Coeficientes
0 1
1 3, 3
2 6, 12, 6
3 10,30, 30, 10
4 15,60, 90, 60, 15
5 21,105,210,210,105,21
6 28,168,420,560,420,168,28
Consideremos el valor 1680, coeficiente central de la fila 6 de ∆3. Inmediatamente, podemos
comprobar que este valor, es igual a la suma de los dos coeficientes idénticos, inmediatamente
próximos 560 de la fila 5 del propio ∆3 , más el coeficiente 560, valor central de la fila 6 de ∆2, es
decir: 1680=(560+560)+ 560
12ᵃ Propiedad. En todo T.A., si se toman dos coeficientes combinatorios contiguos, sobre una
misma fila, el posterior es al anterior, como la cantidad de coeficientes desde el posterior
(inclusive), hasta el extremo derecho de la fila, es a la cantidad de coeficientes desde el anterior
(inclusive), hasta el inicio de la fila.
En términos generales, si n es una fila genérica de ∆0, y los coeficientes consecutivos escogidos
corresponden a las posiciones 𝑖 = 𝑘 − 1(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟), y a 𝑖 + 1 = 𝑘(𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟), entonces de:
: 𝐹𝑛
0
= {(
𝑛
𝑖
)} = {(
𝑛
0
) , (
𝑛
1
) , … , (
𝑛
𝑘 − 1
) , (
𝑛
𝑘
) , … , (
𝑛
𝑛
)}, con n+1 coeficientes
k coeficientes (n+1)-k coeficientes
resultan: coeficiente posterior: (
𝑛
𝑘
)
número de coeficientes desde el posterior (inclusive), hasta el extremo superior: (𝑛 + 1) − 𝑘
coeficiente anterior: (
𝑛
𝑘 − 1
)
número de coeficientes desde el anterior(inclusive), hasta el inicio de la fila: 𝑘
luego según la propiedad 12ᵃ, asociada al T.A., que ya hemos demostrado en nuestro “Actualizando
la Fuente”, se cumple:
(
𝑛
𝑘
)
(
𝑛
𝑘−1
)
=
(𝑛+1)−𝑘
𝑘
, o como producto: (
𝑛
𝑘
) = (
𝑛
𝑘 − 1
)
[(𝑛+1)−𝑘]
𝑘
Como un ejemplo para el T.A., utilizaremos el caso de un ∆ 𝟎 hasta la fila 7, ya utilizado en otros
ejemplos anteriores:

Fila Coeficientes
0 1
1 1,1
2 1,2,1
3 1,3,3, 1
4 1,4,6, 4, 1
5 1,5,10,10,5 ,1
6 1,6,15,20,15,6, 1
7 1,7,21,35,35,21,7,1
Consideremos los 8 coeficientes de la fila 7 de ∆ 𝟎 : 1,7,21,35,35,21,7,1, y como coeficiente posterior
al valor 21, situado 3 lugares antes del extremo derecho o final de la fila. Y como coeficiente anterior,
al valor 35, situado 5 lugares después del inicio o extremo izquierdo de la fila.
Entonces, según la propiedad enunciada, deberá cumplirse:
21
35
=
3
5
Lo cual evidentemente se cumple, ya que 21𝑥5 = 35𝑥3 = 105
Para el P.C.
Hemos encontrado, que esta propiedad se conserva para cualquier nivel del P.C., y proponemos
enunciarla así:
12ᵃ Propiedad. En todo P.C., si se toman dos coeficientes combinatorios contiguos, sobre una
misma fila de un ∆ 𝒌, el posterior es al anterior, como la cantidad de coeficientes desde el
posterior (inclusive), hasta el extremo derecho de la fila, es a la cantidad de coeficientes que hay
desde el anterior (inclusive), hasta el inicio de la fila.
Como ejemplo para el P.C.:
Consideremos los 7 coeficientes de la fila 6 de ∆ 𝟑 : 84,504,1260,1680,1260,504,84, y como
coeficiente posterior al valor 1260, situado 3 lugares antes del extremo derecho o final de la fila. Y
como coeficiente anterior, al valor 1680, situado 4 lugares después del inicio o extremo izquierdo de
la misma fila.
Entonces, según la propiedad enunciada, deberá cumplirse:

1260
1680
=
3
4
Lo cual evidentemente se cumple, ya que: 1260x4=1680x3=5040
Para el T.A.:
13ᵃ Propiedad. En todo T.A., para dos coeficientes contiguos en una misma (𝑺 ‖ 𝑽) 𝑺 𝒌 , el
coeficiente posterior, es al coeficiente anterior, como el valor n, de la fila que contiene al
posterior, es al subíndice de la (𝑺 ‖ 𝑯) 𝑺𝒋, que contiene al anterior.
14ᵃ Propiedad. En todo T.A., para coeficientes contiguos en una misma sucesión paralela
horizontal, el coeficiente mayor (el más a la derecha), es al coeficiente menor, como el valor n de
la fila que contiene al coeficiente mayor, es al subíndice de la sucesión vertical que contiene al
coeficiente menor.
Como en el formato normal que utilizamos para el T.A., o ∆ 𝟎, no es necesario hacer la distinción
entre sucesiones paralelas o rangos horizontales y verticales, proponemos redactar estas 13ᵃ y 14ᵃ
propiedades en una sola, de la siguiente manera:
13ᵃ 14ᵃ Propiedad. En todo T.A., para dos coeficientes contiguos en una misma sucesión paralela
𝑺 𝒎 , el coeficiente posterior, es al coeficiente anterior, como el valor n, de la fila que contiene al
posterior, es al lugar ( 𝒏 − 𝒎 + 𝟏), que corresponde al coeficiente anterior en la sucesión.
Con esta nueva redacción, de la 13ᵃ, y 14ᵃ propiedades en una sola, al no tener importancia la
distinción entre sucesiones horizontales o verticales, se hace innecesaria considerar una
propiedad diferente para cada caso, y por lo tanto, la propiedad 14ᵃ, se considera incluida en la
13ᵃ.
Ejemplo de aplicación para el T.A., en un ∆ 𝟎, hasta la fila 8
Fila Coeficientes
0 1
1 1,1 𝑆4
2 1,2,1
3 1,3,3, 1
4 1,4,6, 4, 1
5 1,5,10,10,5 ,1
6 1,6,15,20,15,6, 1
7 1,7,21,35,35,21,7, 1
8 1,8,28,56,70,56,28,8,1
Sea la sucesión paralela 𝑆 𝑚, con m=4, que inicia en la fila m-1=3, y sus coeficientes:
56, como posterior, situado en la fila n= 8
35, como anterior, situado en la fila 7, donde ocupa el lugar: n-m+1=5

Entonces según la 13ᵃ Propiedad, se cumplirá:
56
35
=
8
5
, lo cual evidentemente se cumple, ya que:
56x5=35x8=280
Para el P.C.
Por el mismo motivo, ya considerado al realizar una nueva redacción o enunciado para la propiedad
13ᵃ- 14ᵃ, del T.A., resulta innecesario también en el caso del P.C., considerar una propiedad 14ᵃ,
como diferente o no incluida, pero por motivos de presentación y correspondencia con las 19
características que plantea Pascal en su tratado, seguiremos su enumeración.
13ᵃ-14ᵃ Propiedad. En todo ∆ 𝒌 de un P.C., y para un coeficiente determinado de una sucesión
paralela dada (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝑺 𝒏+𝒌+𝟏 , la relación entre dicho coeficiente y el anterior en la sucesión,
está en la misma proporción que existe entre la fila a la cual pertenece dicho coeficiente,
aumentada en k, y el lugar que ocupa el coeficiente anterior en la sucesión considerada.
Tomemos como ejemplo para su aplicación, el caso de ∆ 𝟐, hasta la fila 8:
∆ 𝟐, hasta la fila 8
Sea la sucesión de inicio correspondiente a n=3, y k=2, es decir 10𝑆6, y consideremos su coeficiente
2520, ubicado en la fila i= 8 de ∆2
Entonces tendremos:
Coeficiente posterior:2520, ubicado en la fila i=8, que, aumentada en k, resulta: 𝑖 + 𝑘 = 8 + 2 = 10
Coeficiente anterior: 1260, que ocupa el lugar 𝑖 − 𝑛 = 8 − 3 = 5 en la sucesión escogida
Luego, según la propiedad 13-14, para el P.C., se cumplirá:
2520
1260
=
10
5
, lo cual evidentemente se
cumple, ya que 2520x5=1260x10=12600
Fila Coeficientes
0 1
1 3, 3 𝟏𝟎𝑺 𝟔
2 6, 12, 6
3 10, 30, 30, 10
4 15, 60, 90, 60, 15
5 21, 105, 210, 210, 105, 21
6 28, 168, 420, 560, 420, 168, 28
7 36, 252, 756, 1260,1260,756, 252, 36
8 45, 360, 1260,2520,3150,2520,1260,360,45

Para el T.A.
15ᵃ Propiedad. En todo T.A., la suma de los coeficientes binómicos de una (𝑺 ‖ 𝑯) 𝑺 𝒎, hasta una
determinada (𝑺 ‖ 𝑽) 𝑺 𝒌, es al último coeficiente considerado, como la fila que contiene al
valor suma 𝑺 𝒎
+𝒌
(2ᵃ Propiedad), es al subíndice m.
En primer lugar, en este enunciado la letra k, utilizada como sub, o supra índice, solo indica lugar o
número de elementos, y no nivel como en el P.C. Así mismo, la propiedad enunciada, habla de la fila
que contiene al valor suma 𝑺 𝒎
+𝒌
, según la 2ᵃ Propiedad, lo cual como ya hemos establecido, solo ocurre
para el caso del T.A., o nivel cero del P.C. Y por último en el formato que utilizamos en este trabajo,
no es necesario diferenciar entre sucesiones paralelas horizontales o verticales.
Por ello, proponemos una nueva redacción para esta 15ᵃ propiedad del T.A.:
15ᵃ Propiedad: En todo T.A., la suma de los coeficientes de una sucesión paralela 𝑺𝒊+𝟏, que
inicia al extremo de una fila 𝒏 = 𝒊, hasta su intersección con otra sucesión paralela 𝑺𝒋+𝟏, que
inicia en el otro extremo de una fila 𝒏 = 𝒋, es a dicho coeficiente de intersección, como la fila
que contiene a la suma considerada, es al subíndice 𝒊 + 𝟏
Veamos con un ejemplo para un ∆ 𝟎 , hasta la fila 8, como funciona esta propiedad para el T.A.
Fila Coeficientes
0 1
1 𝑆3 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1 𝑆5
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Consideremos las sucesiones:
𝑆3, que inicia en el extremo izquierdo de la fila i= 2, resaltada en rojo
𝑆5, que inicia en el extremo derecho de la fila j= 4, resaltada en rojo
Como podemos observar en el gráfico, ambas sucesiones se intersectan en el coeficiente común: 15,
quinto de la sucesión 𝑆3, (y tercero de 𝑆5)
Por la 2ᵃ-3ᵃ propiedad del T.A., la fila que contiene la suma de los primeros 5 elementos de 𝑆3

1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35, resaltado en azul, corresponde a la fila 7. Entonces según la 15ᵃ
propiedad del T.A. se cumplirá:
35
15
=
7
3
, lo cual es evidente, ya que 35x3=15x7=105
Para el P.C.
15ᵃ Propiedad: En todo ∆ 𝒌 de un P.C., para una sucesión paralela dada (
𝒊 + 𝒌
𝒌
) 𝑺𝒊+𝒌+𝟏, que
inicia en un extremo de la fila 𝒏 = 𝒊, la suma (según la 2ᵃ-3ᵃ propiedad del P.C.) de sus
coeficientes hasta la intersección con otra sucesión paralela (
𝒋 + 𝒌
𝒌
) 𝑺𝒋+𝒌+𝟏, que inicia en el otro
extremo de una fila 𝒏 = 𝒋, es a dicho coeficiente de intersección, como la fila correspondiente
a dicha suma, aumentada en k, es al número de coeficientes de la segunda sucesión hasta dicha
intersección, es decir a ( 𝒊 + 𝟏).
Veamos un ejemplo para el P.C., correspondiente a ∆ 𝟑, hasta la fila 6
Fila Coeficientes
0 1 10𝑆6
1 20𝑆7
4 4 20𝑆7
2 10 20 10
3 20 60 60 20
4 35 140 210 140 35
5 56 280 560 560 280 56
6 84 504 1260 1680 1260 504 84
Sean las sucesiones:
(
2 + 3
3
) 𝑆2+3+1 = (
5
3
) 𝑆6 = 10𝑆6, que inicia en el extremo derecho de la fila 2 de ∆3, y
(
3 + 3
3
) 𝑆3+3+1 = (
6
3
) 𝑆7 = 20𝑆7, que inicia en el extremo izquierdo de la fila 3 de ∆3
La intersección de dichas sucesiones, corresponde al coeficiente 560, cuarto de 10𝑆6, y tercero de
20𝑆7.
Consideremos los primeros 4 elementos de la sucesión inicial 10𝑆6 que inicia en la fila n= 2, es
decir: 10𝑆4
4
= {10,60,210,560}, con n=2, y k=3, será (n+k+1)/ (n+1)=6/3, entonces el “coeficiente
suma”, según la 2ᵃ-3ᵃ propiedad del P.C, lo obtenemos de:(10+60+210+560).6/3=1680
La fila correspondiente a este coeficiente suma 1680, aumentada en k=3, resulta 6 + 3 = 9
Entonces, según la 15ᵃ Propiedad del P.C., se cumple:
1680
560
=
9
3
, como es evidente, ya que
1680x3=560x9=5040

Para el T.A.
16ᵃ Propiedad. En todo T.A., la suma de los coeficientes de una (𝑺 ‖ 𝑯) 𝑺 𝒎 ∗, hasta su intersección
con una fila n dada, es a la suma de los coeficientes de la (𝑺 ‖ 𝑯) ∗ 𝑺 𝒎−𝟏 ∗, hasta la misma fila
n, como la cantidad de coeficientes de 𝑺 𝒎, es a m.
*Señalamos que, para nuestro formato, no es necesario indicar que se trata de sucesiones
horizontales o verticales, sino solamente, que son consecutivas.
Comencemos con un ejemplo para un ∆ 𝟎 , hasta la fila 8, para evidenciar como funciona esta
propiedad para el T.A.
Fila Coeficientes
0 1
1 1 1 𝑆4
2 1 2 1
3 1 3 3 1 𝑆5
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Consideremos la sucesión 𝑆5, hasta su intersección con la fila 𝑛 = 7, en el coeficiente 35. La suma
de los 4 coeficientes de 𝑆5, hasta esa fila 7, vendrá dada por: 1 + 5 + 15 + 35 = 56
Consideremos la sucesión precedente 𝑆4, y el valor de la suma de sus coeficientes hasta esa misma
fila 7, dada por: 1 + 4 + 10 + 20 + 35 = 70. Entonces según la propiedad 16ᵃ del T.A., se tendrá:
56
70
=
4
5
, lo cual se cumple evidentemente, ya que: 56x5=70x4=280.
Para el P.C.
16ᵃ Propiedad: En todo ∆ 𝒌 , de un P.C., para una sucesión paralela dada (
𝒊 + 𝒌
𝒌
) 𝑺𝒊+𝒌+𝟏 , que
inicia al extremo de la fila i, la suma según la propiedad 2ᵃ-3ᵃ, del P.C., de sus coeficientes hasta
una fila n , es a la suma según la propiedad 2ᵃ-3ᵃ, del P.C., de los coeficientes de la sucesión
precedente hasta la misma fila 𝒏, como el número de coeficientes de la sucesión dada , hasta la
fila n considerada, dado por: (𝒏 − 𝒊 + 𝟏), es al lugar que ocupa dicha sucesión, cuando
descendemos desde el vértice de ∆ 𝒌, dado por:(𝒊 + 𝟏)

Veamos su aplicación con un ejemplo: ∆ 𝟑, hasta la fila 8
Fila Coeficientes
0 1 10𝑆6
1 4 4 20𝑆7
2 10 20 10
3 20 60 60 20
4 35 140 210 140 35
5 56 280 560 560 280 56
6 84 504 1260 1680 1260 504 84
7 120 840 2520 4200 4200 2520 840 120
8 165 1320 4620 9240 11550 9240 4620 1320 165
Consideremos la sucesión dada como 20𝑆7, con 𝑛 = 𝑖 = 3, 𝑦 𝑘 = 3.Para estos valores, resulta el
factor
3+3+1
3+1
= 7/4 , luego el coeficiente suma hasta la fila 𝑛 = 7, según la propiedad 2ᵃ-3ᵃ, del P.C.,
vendrá dado por: (20 + 140 + 560 + 1680 + 4200).
7
4
= 11550
Así mismo, para la sucesión precedente dada por 10𝑆6, con 𝑛 = 𝑖 − 1 = 2, 𝑦 𝑘 = 3. Para estos
valores resulta el factor
2+3+1
2+1
= 6/3, luego el coeficiente suma hasta la fila 𝑛 = 7, según la
propiedad 2ᵃ-3ᵃ, del P.C., vendrá dado por: (10 + 60 + 210 + 560 + 1260 + 2520).
6
3
= 9240
Siendo 7 − 3 + 1 = 5, el número de coeficientes de 20𝑆7, hasta la fila 7
El lugar que corresponde a esta sucesión cuando descendemos desde el vértice de ∆ 𝟑, está dado por:
3 + 1 = 4
Luego según la propiedad 16ᵃ, enunciada para el P.C., se deberá cumplir:
11550
9240
=
5
4
, lo cual
evidentemente se cumple, ya que 11550x4=9240x5=46200
Para el T.A.
17ᵃ Propiedad. En todo T.A., cualquier coeficiente binómico, que sea sumado al conjunto de
todos aquellos coeficientes previos de su propia (𝑺 ‖ 𝑽) 𝑺 𝒌, es al mismo coeficiente, sumado al
conjunto de todos aquellos previos de la (𝑺 ‖ 𝑯) 𝑺 𝒎, a la que también pertenece, como es entre
sí la cantidad total de coeficientes de cada sucesión.
Para nuestro sistema referencial, es obvio que este enunciado se refiere al coeficiente de intersección,
de dos sucesiones paralelas dadas, por ello proponemos una redacción equivalente, cónsona, con un
T.A., referido a dicho sistema referencial:
17ᵃ Propiedad. En todo T.A, si sumamos el coeficiente de intersección de dos sucesiones paralelas
dadas, 𝑺𝒊+𝟏 que inicia en el extremo izquierdo de la fila i, y 𝑺𝒋+𝟏, que inicia en el extremo derecho
de la fila j, a la suma de los coeficientes previos, de cada sucesión , las sumas resultantes, están
entre sí, como la cantidad total de coeficientes de 𝑺𝒊+𝟏, hasta la intersección (inclusive), es a la
cantidad total de coeficientes de 𝑺𝒋+𝟏, hasta la intersección (inclusive), dado por el inverso del
cociente entre los subíndices de las sucesiones respectivas: (j+1)/(i+1)

Veamos con un ejemplo su aplicación para el T.A.:
∆ 𝟎 , hasta la fila 8
Fila Coeficientes
0 1
1 𝑆4 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1 𝑆6
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Consideremos la sucesión 𝑆4, que inicia en el extremo izquierdo de la fila 3 de ∆ 𝟎, y la sucesión 𝑆6,
que inicia en el extremo derecho de la fila 5 de ∆ 𝟎, como puede observarse en la tabla- gráfica anterior,
ambas sucesiones se intersecan en el coeficiente de valor 56, perteneciente a la fila n=8
Si sumamos este coeficiente a la suma de los coeficientes previos en 𝑆4,, obtenemos:
56 + (1 + 4 + 10 + 20 + 35) = 56 + 70 = 126
Si lo sumamos a la suma de los coeficientes previos en 𝑆6, obtenemos:
56 + (1 + 6 + 21) = 56 + 28 = 84
La cantidad total de coeficientes hasta la intersección (inclusive), para 𝑆4, es 6, que corresponde al
subíndice 1+5=6, de 𝑆6
La cantidad total de coeficientes hasta la intersección (inclusive), para 𝑆6, es 4, que corresponde al
subíndice 1+3=4, de 𝑆4
Entonces, según la propiedad 17ᵃ, del T.A., se cumplirá:
126
84
=
6
4
, lo cual evidentemente se cumple,
ya que: 126x4=84x6=504
Para el P.C.
17ᵃ Propiedad: En todo ∆ 𝒌 , de un P.C., si sumamos el coeficiente de intersección, de dos
sucesiones paralelas dadas, (
𝒊 + 𝒌
𝒌
) 𝑺𝒊+𝒌+𝟏, que inicia en el extremo izquierdo de la fila 𝒏 = 𝒊, y
(
𝒋 + 𝒌
𝒌
) 𝑺𝒋+𝒌+𝟏, que inicia en el extremo derecho de una fila 𝒏 = 𝒋, a la suma de los coeficientes
previos de cada sucesión, el cociente de dichas sumas totales resultantes, es proporcional al
inverso del cociente entre los valores de los subíndices correspondientes a las sucesiones
respectivas, dado por: (𝒋 + 𝒌 + 𝟏)/(𝒊 + 𝒌 + 𝟏)

Veamos su aplicación con un ejemplo: ∆ 𝟐 , hasta la fila 8
Fila Coeficientes
0 1
1 10𝑆6
3 3
2 6 12 6
3 10 30 30 10 21𝑆8
4 15 60 90 60 15
5 21 105 210 210 105 21
6 28 168 420 560 420 168 28
7 36 252 756 1260 1260 756 252 36
8 45 360 1260 2520 3150 2520 1260 360 45
Consideremos la sucesión paralela 10𝑆6 que inicia en el extremo izquierdo de la fila 3 de ∆ 𝟐 ,
correspondiente a: 𝑛 = 𝑖 = 3, 𝑦 𝑘 = 2, y la sucesión paralela 21𝑆8, que inicia en el extremo derecho
de la fila 5 de ∆ 𝟐, correspondiente a: 𝑛 = 𝑗 = 5, 𝑦 𝑘 = 2. Como puede observarse en la tabla-gráfico
anterior, ambas sucesiones se intersecan en el coeficiente 2520, sesto de 10𝑆6, y cuarto de 21𝑆8
Si sumamos este coeficiente de intersección a la suma de los coeficientes previos de 10𝑆6, resulta:
2520 + (10 + 60 + 210 + 560 + 1260) = 2520 + 2100 = 4620
Y si lo sumamos a la suma de los coeficientes previos de 21𝑆8, resulta:
2520 + (21 + 168 + 756) = 2520 + 945 = 3465
Como 𝑗 = 5, 𝑦 𝑘 = 2, será: 𝑗 + 𝑘 + 1 = 5 + 2 + 1 = 8
Y como 𝑖 = 3, 𝑦 𝑘 = 2, será: 𝑖 + 𝑘 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6
Entonces, según la propiedad 17 del P.C. deberá cumplirse que:
4620
3465
=
8
6
, lo cual evidentemente se
cumple, ya que: 4620x6=3465x8=27720
Para el T.A.
18ᵃ Propiedad. En todo T.A., las sumas de los coeficientes de dos sucesiones paralelas horizontales,
o de dos sucesiones paralelas verticales, que intersecan a una misma fila n, en coeficientes de
igual valor numérico, y recíprocamente equidistantes de los extremos, son entre sí, como sus
respectivos números de elementos*
*Recordamos que, para nuestro formato, no es necesario indicar que se trata de sucesiones
horizontales o verticales, por ende, proponemos una nueva redacción:
18ᵃ Propiedad. En todo T.A., las sumas de los coeficientes de pares de sucesiones paralelas que
inician en lados diferentes de ∆ 𝟎, tales que se intersecan en coeficientes de igual valor numérico,
pertenecientes a una misma fila n, y que son recíprocamente equidistantes de los extremos, estan
entre sí, como su respectivo número de elementos, incluyendo la intersección.

Veamos cómo se aplica, con un ejemplo para un ∆ 𝟎 , hasta la fila 8
∆ 𝟎 , hasta la fila 8
Fila Coeficientes
0 1
1 𝑆4 1 1 𝑆4
2 1 2 1
3 𝑆6 1 3 3 1 𝑆6
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Consideremos las sucesiones paralelas 𝑆4, que inicia en el extremo izquierdo de la fila i=3, y la
sucesión paralela 𝑆6, que inicia en el extremo derecho de la fila j=5 , y su intersección en el coeficiente
56, a cuatro lugares del extremo derecho de la fila 𝑛 = 8
Para el caso recíproco, Consideremos las sucesiones paralelas 𝑆6, que inicia en el extremo izquierdo
de la fila i= 5, y la sucesión paralela 𝑆4, que inicia en el extremo derecho de la fila j=3 , y su
intersección en el coeficiente 56, a cuatro lugares del extremo izquierdo de la fila 𝑛 = 8
La suma de los primeros 6 elementos de 𝑆4, en cualquier caso, hasta intersección inclusive, está dada
por: 1 + 4 + 10 + 20 + 35 + 56 = 126
Y la suma de los primeros 4 elementos de 𝑆6, en cualquier caso, hasta la intersección inclusive, está
dada por: 1 + 6 + 21 + 56 = 84
Entonces, según la propiedad 18 del T.A., debe cumplirse:
126
84
=
6
4
, lo cual evidentemente se cumple,
ya que: 126x4=84x6=504
Nota: En cada caso se cumple 𝑛 = 𝑖 + 𝑗
Para el P.C.
18ᵃ Propiedad. En todo ∆ 𝒌 , de un P.C., las sumas de los coeficientes de dos sucesiones paralelas,
tales que se intersecan en coeficientes de igual valor numérico, pertenecientes a una misma fila
n, y recíprocamente equidistantes de los extremos, son entre sí, como lo son sus respectivos
número de elementos (incluyendo la intersección), aumentados cada uno en k.
Veamos su aplicación para el P.C., con un ejemplo: : ∆ 𝟑 , hasta la fila 8

Fila Coeficientes
0 10𝑆6
1 10𝑆6
1 4 4
2 10 20 10
3 20 60 60 20
4 84𝑆10
35 140 210 140 35 84𝑆10
5 56 280 560 560 280 56
6 84 504 1260 1680 1260 504 84
7 120 840 2520 4200 4200 2520 840 120
8 165 1320 4620 9240 11550 9240 4620 1320 165
Consideremos las sucesiones paralelas 10𝑆6, que inicia en el extremo izquierdo de la fila i=2, y la
sucesión paralela 84𝑆10, que inicia en el extremo derecho de la fila j=6 , y su intersección en el
coeficiente 4620, a tres lugares del extremo derecho de la fila 𝑛 = 8
Para el caso recíproco, Consideremos las sucesiones paralelas 84𝑆10, que inicia en el extremo
izquierdo de la fila i= 6, y la sucesión paralela 10𝑆6, que inicia en el extremo derecho de la fila j=2 ,
y su intersección en el coeficiente 4620, a tres lugares del extremo izquierdo de la fila 𝑛 = 8
La suma de los primeros 7 elementos de 10𝑆6, en cualquier caso, hasta intersección inclusive, está
dada por: 10 + 60 + 210 + 560 + 1260 + 2520 + 4620 = 9240
Y la suma de los primeros 3 elementos de 84𝑆10, en cualquier caso, hasta la intersección inclusive,
está dada por: 84 + 840 + 4620 = 5544
Siendo 𝑘 = 3, según la 18ᵃ propiedad del P.C., deberá cumplirse:
9240
5544
=
7+3
3+3
=
10
6
, lo cual
evidentemente se cumple, ya que: 9240x6=5544x10=55440
Nota: Análogamente, se tendrá: 𝑛 = 𝑖 + 𝑗
Para el T.A.
19ᵃ Propiedad. En todo T.A., para dos coeficientes consecutivos pertenecientes a la bisectriz del
plano, o “dividente”, el coeficiente inferior, es al cuádruple del coeficiente superior, como el valor
n , de la fila par a la que pertenece el coeficiente superior, aumentado en una unidad, es decir:
𝒏 + 𝟏 es al valor 𝒏 + 𝟐, de la siguiente fila par, a la que pertenece el coeficiente inferior.
Por razones evidentes de adecuación a nuestro formato referencial para ∆ 𝟎, proponemos una
nueva redacción para esta propiedad 19, del T.A.:
19ᵃ Propiedad. En todo T.A., el cociente entre el coeficiente central de una fila par 𝒏, y el
cuádruple del coeficiente central de la fila par (𝒏 − 𝟐), precedente, es equivalente al cociente
dado por: (𝒏 − 𝟏)/𝒏
Veamos cómo se aplica, con un ejemplo para un ∆ 𝟎 , hasta la fila 8

Fila Coeficientes
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Los resultados de aplicar esta propiedad para las filas pares sucesivas de este ∆0, se recogen en el
cuadro siguiente:
𝑛 Filas pares consecutivas 1/4Cociente Coefs. centrales (𝑛 − 1)/𝑛
2 2-0 1
4
.
2
1
= 1/2
1/2
4 4-2 1
4
.
6
2
= 3/4
3/4
6 6-4 1
4
.
20
6
= 5/6
5/6
8 8-6 1
4
.
70
20
= 7/8
7/8
Para el P.C.
19ᵃ Propiedad: Para todo ∆ 𝒌, de un P.C., el cociente entre el coeficiente central de una fila par 𝒏,
y el cuádruple del coeficiente central de la fila par (𝒏 − 𝟐), precedente, es equivalente al cociente
dado por: (𝒏 + 𝒌 − 𝟏)(𝒏 + 𝒌)/𝒏 𝟐
Nótese que cuando 𝑘 = 0, es decir para el caso del T.A., o ∆ 𝟎, este último cociente, se reduce a:
(𝑛 − 1)𝑛
𝑛2
= (𝑛 − 1)/𝑛
Veamos su aplicación para el P.C., con un ejemplo para ∆ 𝟏 , hasta la fila 8
Fila Coeficientes
0 1
1 2 2
2 3 6 3
3 4 12 12 4
4 5 20 30 20 5
5 6 30 60 60 30 6
6 7 42 105 140 105 42 7
7 8 56 168 280 280 168 56 8
8 9 72 252 504 630 504 252 72 9

Los resultados de aplicar esta propiedad para las filas pares sucesivas de este ∆1, se recogen en el
cuadro siguiente:
𝑛 Filas pares consecutivas 1/4Cociente Coefs. centrales (𝑛 + 𝑘 − 1)(𝑛 + 𝑘)/𝑛2
2 2-0 1
4
.
6
1
= 3/2
2.3
4
= 3/2
4 4-2 1
4
.
30
6
= 5/4
4.5
16
= 5/4
6 6-4 1
4
.
140
30
= 7/6
6.7
36
= 7/6
8 8-6 1
4
.
630
140
= 9/8
8.9
64
= 9/8
Con estas últimas aplicaciones para la propiedad 19 del T.A., y del P.C., consideramos que hemos
alcanzado el cometido que nos habíamos propuesto*, ya explicado en la introducción de este
trabajo.
Nota: *No es nuestro objetivo, ni nuestra prioridad en este trabajo, la demostración de cada una de
las 19 propiedades, para el caso del Prisma Combinatorio.
Enrique Ramón Acosta Ramos 30 de Octubre de 2018

Bibliografía de mis trabajos anteriores:
Combinatoria con repetición Series paralelas y Números Naturales 1997-revisado 2016
Prisma Combinatorio y su relación con los coeficientes Trinomiales 1997-revisado 2016
Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016
Coeficientes Multinomiales y generalización del Triángulo de Pascal 2016
Distribución espacial de coeficientes Pentanomiales 2017
Coeficientes Multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m: Teorema Multinomial y
otros tópicos complementarios 2017
Particiones Discretas de m, en r. Coeficientes Polinómicos y su cadena de valor 2017
Particiones Discretas de m, en r. Formulaciones Matemáticas 2017
Particiones con repetición. Composición de enteros 2017
Tabla Universal de Particiones de Enteros 2018
Productos internos y externos del Triángulo de Pascal 2018
Prisma Combinatorio o expansión espacial del Triángulo de Pascal 2018
El Triángulo de Pascal, o Triángulo Aritmético, y sus propiedades o características clásicas
(Actualizando las Fuentes) 2018
Todos estos trabajos pueden leerse y descargarse en Slideshare de Linkedin

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