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- 1. ACTIBIDAD OBLIGATORI 4B-PARTE 1-EJERCICIO N°4 Desigualdades con Valor Absoluto El valor absoluto: es la “medida” de un número real, es su “distancia al punto 0” en la recta real. El conjunto solución de una inecuación con valor absolutoviene dado por las siguientes propiedades: X, a ∈ ℝ 𝒂 > 𝟎 x si x>0 | 𝒙| 0 si x=0 -x si x<0 Planteo de las cuatros inecuaciones • |x| < a se expresa como: - a < x < a x>-a ∧ x< 𝑎 -a 0 a Para nuestro caso utilizaremos esta! • |x| > a se expresa como: x < - a ó x > a • |x| ≤ a se expresa como: - a ≤ x ≤ a • |x| ≥ a se expresa como: x ≤ - a ó x ≥ a
- 2. Inecuación resuelta de forma algebraica, paso a paso: |𝟐𝑿 − 𝟏 𝟕 | < 𝟕 −𝟕 < 𝟐𝑿 − 𝟏 𝟕 < 𝟕 −𝟕 + 𝟏 𝟕 < 𝟐𝑿 − 𝟏 𝟕 + 𝟏 𝟕 < 𝟕+ 𝟏 𝟕 − 𝟒𝟖 𝟕 <𝟐𝑿 < 𝟓𝟎 𝟕 − 𝟒𝟖 𝟕 . 𝟏 𝟐 <𝟐. 𝟏 𝟐 𝑿 < 𝟓𝟎 𝟕 . 𝟏 𝟐 − 𝟐𝟒 𝟕 < 𝑿 < 𝟐𝟓 𝟕 − 𝟐𝟒 𝟕 < X < 𝟐𝟓 𝟕 ⋁ X>− 𝟐𝟒 𝟕 ⋀ X< 𝟐𝟓 𝟕 SOLUCION= − 𝟐𝟒 𝟕 < X < 𝟐𝟓 𝟕 ⋁ X>− 𝟐𝟒 𝟕 ⋀ X< 𝟐𝟓 𝟕 Gráfica: -7 -6 -5 -4 - 𝟐𝟒 𝟕 -3 -2 -1 0 1 2 3 𝟐𝟓 𝟕 4 5 6 7 Solución en intervalo= (− 𝟐𝟒 𝟕 ; 𝟐𝟓 𝟕 ) Solución en forma de conjunto, Para: {x ∈ ℝ , 𝒙 (− 𝟐𝟒 𝟕 ; 𝟐𝟓 𝟕 )} Verificación: Para x = 0(punto interior al intervalo) |𝟐𝑿 − 𝟏 𝟕 | < 𝟕
- 3. 𝟐. 𝟎 − 𝟏 𝟕 < 𝟕 − 𝟏 𝟕 < 𝟕 (El valor de x=0 satisface la desigualdad) Para x = 4 (punto exterrio al intervalo) |𝟐𝑿 − 𝟏 𝟕 | < 𝟕 𝟐. 𝟒 − 𝟏 𝟕 < 𝟕 𝟖 − 𝟏 𝟕 < 𝟕 𝟕, 𝟖𝟓 < 𝟕(El valor de x=4 no satisface la desigualdad) Para x = −𝟐𝟒 𝟕 (punto extremo del intervalo) |𝟐𝑿 − 𝟏 𝟕 | < 𝟕 2. ( −𝟐𝟒 𝟕 )− 𝟏 𝟕 <7 - 48 7 − 𝟏 𝟕 <7 -7<7(El valor de x = −𝟐𝟒 𝟕 satisface la desigualdad) Para x = 𝟐𝟓 𝟕 (punto extremo del intervalo) |𝟐𝑿 − 𝟏 𝟕 | < 𝟕 2. 𝟐𝟓 𝟕 − 𝟏 𝟕 <7 50 7 − 𝟏 𝟕 <7 7<7 x = (El valor de x = 𝟐𝟓 𝟕 satisface la desigualdad)
- 4. Definición. Sean a y b las coordenadas o abscisas de los puntos A y B sobre la recta real. La distancia entre ellos está dada por: d(A, B) a b b a Se puede observar que la distancia entre el origen O y el punto A está dada por: d(A, 0) a 0 0 a a Gráfica de la inecuación pensada en términos de distancia a un punto |𝟐𝑿 − 𝟏 𝟕 | < 𝟕 |𝟐𝑿 − 𝟏 𝟕 | = 2X- 𝟏 𝟕 = 7 ⇒ X = 𝟕+ 𝟏 𝟕 𝟐 = 𝟐𝟓 𝟕 para 2X- 𝟏 𝟕 > 𝟎 ó𝒔𝒆𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 < 𝟏 𝟏𝟒 |𝟐𝑿 − 𝟏 𝟕 | = -(2X- 𝟏 𝟕 ) = -2+ 𝟏 𝟕 =7 ⇒ X = 𝟕− 𝟏 𝟕 −𝟐 =− 𝟐𝟒 𝟕 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 > 𝟏 𝟏𝟒 Lo verificamos por reemplazo directo en la ecuación de partida: |𝟐𝑿 − 𝟏 𝟕 | < 𝟕 |𝟐. 𝟐𝟓 𝟕 − 𝟏 𝟕 | = | 𝟓𝟎 𝟕 − 𝟏 𝟕 | = | 𝟕| = 7 |𝟐. (− 𝟐𝟒 𝟕 ) − 𝟏 𝟕 | = |− 𝟒𝟖 𝟕 − 𝟏 𝟕 | = |−𝟕|= 7 -4 −𝟐𝟓 𝟕 𝟏 𝟏𝟒 𝟐𝟓 𝟕 4
- 6. Verificación con Wolfram Alpha ACTIBIDAD OBLIGATORI 4B-PARTE 2-EJERCICIO N°8 SEGUNDA PARTE • Seleccione un enunciado de la lista. • Comparta en este foro la selección realizada para que otro alumno nola seleccione. • Explicite el nombre del lugar geométrico. • Exprese como lugar geométrico del plano, esto es como conjuntode puntos del plano que satisfacen cierta ecuación. • Explicite la ecuación general y la ecuación en su forma estándar que satisface dicho lugar geométrico. • Determine los puntos de corte con los ejes coordenados. • Según corresponda determine el centro y el radio (caso circunferencia); pendiente y ordenada origen (caso recta); vértice, recta directriz, sentido de las ramas, foco (caso parábola). • Indique si dicho lugar geométrico es además, o se la puede pensar como, una función. • Dibuje. • Comparta estas respuestas en relación a la inecuación elegida en este foro usando Scribd, Issuu, Slideshare, Word online o similar.
- 7. La siguiente Ecuación {( x , y )∈ ℝ/ ( 𝒙 + 𝟑) 𝟐 +( 𝒚 − 𝟑) 𝟐 =25 }responde a una circunferencia de centroC (-3;3 ) y radio r=5 Ecuación Ordinaria o Canónica de la circunferencia ( 𝒙 + 𝟑) 𝟐 +( 𝒚 − 𝟑) 𝟐 =25 No es FUNCION, porque una circunferencia dibujadaen el sistema de ejes x e y, hace que para un valor de x puedan haber dos valores de y, uno positivoy otro negativosi la circunferencia está centrada en el origen. PARA ESTE CASO NO ESTA CENTRADAEN EL ORIGEN, PERO SE PUEDE VER EN LA GRAFICA QUE NO CUMPLE CON LA “UNICIDAD”. La definición de función impone que el valor de y sea único para cada x. Gráfica: 𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 + 𝒚 𝟐 − 𝟔𝒚 + 𝟗 = 𝟐𝟓
- 8. 𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝒚 𝟐 − 𝟔𝒚 + 𝟏𝟖 = 𝟐𝟓 𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝒚 𝟐 − 𝟔𝒚 + 𝟏𝟖 − 𝟐𝟓 = 𝟎 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟕 = 𝟎 Ecuación General de la circunferencia Cortes enlos ejes coordenados Eje x→y=0 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟕 = 𝟎 𝒙 𝟐 + 𝟎 + 𝟔𝒙 − 𝟎 − 𝟕 = 𝟎 𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟕 = 𝟎 → 𝑥1 = −7; 𝑥2 = 1 (-7,0); (1,0) Eje y→x=0 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟕 = 𝟎 𝟎 + 𝒚 𝟐 + 𝟎 − 𝟔𝒚 − 𝟕 = 𝟎 𝒚 𝟐 − 𝟔𝒚 − 𝟕 = 𝟎 → 𝑦1 = −1; 𝑦2 = 7 (0,-1);(0,7) Conceptode la circunferenciacomolugar geométrico: Son todos los puntos del plano que tienen la misma distancia, de un puntofijo llamado centro de la circunferencia.
- 9. Casos de la ecuaciónde la circunferencia: 1- Ecuación reducida de la circunferencia centroen el Origen. (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 (x ─ 0)2 + (y ─ 0)2 = r2 x2 + y2 = r2 2-FormaOrdinariade la Circunferencia (Centrofueradel Origen)
- 10. (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 3-Ecuacion general de la circunferencia 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 Dada la ecuación de la circunferencia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se cumple que: