DINAMICA ESTRUCTURAL

1. CLASE DE
DINAMICA
REALIZADO POR:
ING. ROMEL VALENZUELA
ING. FERNANDO LEIVA
CLASE 8

2. Vibraciones libres Amprtiguadas con
un solo grado de libertad
Cualquier sistema físico con movimiento
tiene presente fuerzas friccionantes o de
amortiguamiento, estas fuerzas forman
mecanismos que disipan o transforman
la energía mecánica en otra forma de
energía, como por ejemplo el calor
Estas fuerzas disipativas son proporcionales
a la magnitud de la velocidad y opuesta a
la dirección del movimiento, este tipo de
amortiguamiento se denomina
amortiguamiento viscoso.
C= coeficiente de amortiguamiento
viscoso
Aplicando la 2da ley de Newton :
Diagrama de cuerpo Libre
=
− − =
+ + = ( )
Ecuación fundamental de
la dinámica estructural
para el caso amortiguado

3. Sujeto a las condiciones iniciales
= 0 =
= 0 =
= 0
+ + = 0
+ + = 0
=
+ +
2
2
= 0
Se define :
=
2
+ + 2 = 0
+ + 2 = 0
La solución de la ecuación
diferencial es de la forma:
=
C y u son constantes
=
=
Sustituyendo en:
+ + 2 = 0
+ + 2 =0
Cancelando el factor
común :
= 0
+ 2 + = 0
Ecuación Característica

4. Como la Ecuación Característica
es una ecuación lineal
, = − ± −
La solución de la ecuación
diferencial es:
= +
Donde C1 y C2 son cte de
iteración determinadas de las
condiciones iniciales
Sin embargo la forma de la
ecuación depende de:
−
Caso II
Sistema con amortiguamiento
Critico
− =0
Caso I
Sistema sub amortiguado
− < 0
Caso III
Sistema con Sobre amortiguamiento
− > 0

5. Caso I ( Sistema sub amortiguado)
− < 0
Es decir que el Valor del radical es
negativo y las raíces de la ecuación
característica es compleja
=
= − > 0
− = −1( − )
−1 =
, = − ±
Evaluando la ecuación para los
valores de u1 y u2
= += +
= + ( )
= ∗ +
Utilizando la formula de Euler que relaciona las
ecuaciones exponenciales y trigonométricas
de la siguiente forma:
= cos +isen(θ)
= cos − isen(θ)

6. = cos + + cos −
= ∗ + cos + +
= + = ( + )
= ∗ cos +
:
0 =
0 =
=
= − cos + + (− + cos( ))
= 0
= − + =

7. =
( + )
Remplazando en x(t)
= ∗ cos +
( + )
Donde:
=
2
= −
También podemos determinar las ecuaciones de velocidad y aceleración
= ∗ cos +
= − + cos − +
= cos −

8. = − + = − +
+
=
= + =
+
+ =
+
La expresión se rescribe
= cos −
+
= − + + −
= + = + + = 2 +
= − =
+
− =
− +
= − 2 + +
− +

9. = 0
=
= +
+
Si multiplicamos y dividimos
A por x(t)
= ∗ cos +
( + )
cos =
+
+
=
( + )
+
+
= ∗ cos(α )cos + ( )

10. =
2
Periodo Amortiguado
Frecuencia Amortiguado
=
1
Relación de amortiguamiento
= =
2
=
= 2
> 0
> 0
=
Para el caso donde
< , <
Frecuencia Natural:
= − = 1 −
= 0 ; → ∞

11. Para encontrar el valor máximo de
amplitud hay que encontrar el tiempo t
que hace que v(t)=0
= ∗ ∗ − − − cos −
→ ∞
∗ = 0
− − − cos − = 0
−
cos −
= −
− = −
=
atan − +
= ∗ = − ∗
= (cos( − )
En los seg.
(cos − = ∗
(cos − =1

12. (cos − ) =1
La expresión dentro del paréntesis es:
− = 2
= 0,1,2,3, …
=
2 +
= ∗
=
2 + 1 +
= 0,1,2,3, …
= − ∗

13. CLASE DE
DINAMICA
REALIZADO POR:
ING. ROMEL VALENZUELA
ING. FERNANDO LEIVA
CLASE 9

14. Caso II ( Sistema críticamente
amortiguado)
Ocurre cuando:
=
Y la expresión dentro del
radical es =0
2
− = 0
= 2
Las dos soluciones de la
ecuación característica son
iguales entonces:
, = − = −
= +
Sujeto a condiciones
iniciales
0 =
0 =
=
= − ( − )
= +

15. = + ( + )
= + +
= − +
= (− 2 + + )
En 1 > 0
En 2 = 0
En 3 < 0 y el termino _0 + > 0
En 4 < 0 y el termino _0 + < 0

16. Caso III ( Sistema sobre
amortiguado)
La curva que se muestra representa los
desplazamientos de sistemas sobre amortiguados ,
los cuales son similares a los desplazamientos del
movimiento críticamente amortiguado. Pero el
regreto a la posición de equilibrio requiere mucho
mas tiempo
>
Las raíces de la ecuación característica
son reales, de manera que:
= +
Donde:
= − + −
= − − −
Sustituyendo las condiciones iiniciales
tenemos:
0 =
0 =

17. = +
= −
= +
Sustituyendo:
= + ( − )
=
−
−
= −
= −
−
−
=
− − +
−
=
−
−
Sustituyendo:
= +
=
−
−
+
−
−

18. =
−
−
+
−
−
Definiendo :
′ = −
= − 1
= − +
= − −
Sustituyendo:
=
− (− − )
2
=
+ +
2
− = − + − (− − )
− = 2
=
−
−
=
−
−
=
− + −
2

19. = +
=
+ +
2
+
− + −
2
( )
=
+ +
2
+
− + −
2
=
+ +
2
+
− + −
2
=
2
− + + +
2
−

20. Si :
ℎ =
1
2
( − ) cosh =
1
2
+
=
2
− + + +
2
−
= ( cosh +
+
) ℎ( ))
Ya que :
= =
= ( cosh +
+
) ℎ( ))

21. La ecuación de desplazamiento no representa una oscilación debido a que la resistencia viscosa es
tan grande que cuando el cuerpo es libre no vibra solamente se desliza gradualmente hacia la
posición de equilibrio
Decrecimiento logarítmico :
= ( cosh +
+
) ℎ( ))
En el caso de sobre amortiguamiento se establece que la proporción de amortiguamiento depende
de:
Y también que la relación de amplitud sucesivas es:
= = =

22. = ln = ∗ ≈
2
Si se desea una mayor aproximación se
usa una relación de dos ciclos
=
“j” es numero de oscilaciones tomada
después de la oscilación “i”
=
1
∗ ln
Existen casos en los que al contrario la
energía es guardada dentro del
sistema y como resultado la amplitud
de la vibración, en estos casos se utiliza
el concepto de amortiguamiento
negativo.
Si es negativa entonces crece con el tiempo y
las vibraciones se superponen gradualmente
Si se considera que es positivo y las vibraciones
decrecen, se encuentra en un movimiento estable.
Se puede concluir que si es negativo, entonces es
un sistema inestable