En este ensayo mencionaremos dos sistemas de numeración no posicionales muy importantes en la historia de los números, mostraremos los signos que usaban para representar cada cantidad y la manera en que solían hacer operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación y división.

1. Sistemas de numeración no posicionales
Los sistemas de numeración no posicionales son conocidos como los más
antiguos en la historia, los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no
depende de la posición (columna) que ocupan en el número; se usaban los dedos
de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas
manos se tenía. También se hacía uso de cuerdas con nudos para representar
cantidad, esto tiene que ver mucho con la coordinación entre conjuntos. Entre
ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana y los
usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.
A continuación explicaremos los sistemas numéricos del antiguo Egipto y el
romano, presentaremos qué signos utilizaban y cómo realizaban algunas
operaciones aritméticas.
 Sistemas de numeraciónegipcia: Permitía representar números,
desde el uno hasta millones, desde el inicio del uso de la escritura de
jeroglíficos. A principios del tercer milenio a.C., los egipcios disponían del
primer sistema desarrollado decimal. Aunque no era un sistema posicional,
permitía el uso de grandes números y también describir pequeñas
cantidades en forma de fracciones unitarias: las fracciones del Ojo de
Horus. Las cantidades se representaban de una forma muy larga. Éste es
uno de los sistemas de numeración más antiguos.
Para la adición simplemente se unían los signos para sumar:
Si los pies señalaban en la dirección de la escritura, significaban suma, sino resta.
La multiplicación egipcia se hacían por duplicaciones del multiplicando, y es
conocido como duplicación y mediación, y se basa en la propiedad distributiva de
la multiplicación. El método utilizado solo requiere saber sumar:
Si deseamos multiplicar X por Y, siendo X mayor que Y (si no lo fuera, se
procedería a invertir el orden de los factores, se trata de realizar el menor número
posible de operaciones)
 En la primera columna se escribe la serie: X, 2X, 4X... (obteniendo cada cifra
duplicando la precedente)
 En la segunda columna se escribe la serie: 1, 2, 4, 8...(2n < Y) (obteniendo
cada cifra duplicando la precedente, hasta el último número que no supere la
cifra Y)
 En la tercera columna se marcan las cifras necesarias, de la segunda columna,
de tal forma que expresemos el valor de Y como la suma del menor número de

2. sumandos. Esto se puede hacer de dos formas por adición o
sustracción: Sustracción, se resta al valor de Y, o sea 14, el último valor de la
columna B, que es 8, obteniendo 6. Ahora a 6 hay que restarle el mayor
posible de la misma columna, en este caso 4, obteniendo 2 y se repite la
operación hasta que el resultado dé 0, en este caso quedaría completado con
la casilla siguiente. Adición, mentalmente se suman 8+4+2=14 y se marcan las
filas pertinentes.
 El resultado es la suma de las cifras de la columna primera marcadas.
La división se efectuaba por el procedimiento inverso de la multiplicación: Se
marcan los números de la columna B cuya suma es el dividendo, y sumando los
correspondientes de la columna A se halla el cociente.
 Sistema de numeración romana: Es un sistema de numeración no
posicional que se desarrolló en la Antigua Roma y se utilizó en todo el
Imperio Romano. Este sistema emplea algunas letras mayúsculas como
símbolos para representar ciertos números, la mayor parte de números se
escriben como combinaciones de letras. La siguiente tabla muestra los
símbolos usados y sus equivalencias en el sistema decimal.
Romano Decimal Nota
I 1 VNVS (ūnus)
V 5
QVINQVE (quinque).
V es la mitad superior de X; en etrusco Λ.
X 10 DECEM (decem)

3. L 50 QVINQVAGINTA (quinquaginta)
C 100 Letra inicial de CENTVM (centum).
D 500 Quingenti. D, es la mitad de la Phi Φ.
M 1000 Mille. Originalmente era la letra Phi.
Ahora plantearemos cómo es que llevaban a cabo la suma, resta y multiplicación:
Suma
CXVI + XXIV = 140
Paso Descripción Ejemplo
1 Eliminar la notación substractiva IV → IIII
2 Concatenar los términos CXVI + XXIIII → CXVIXXIIII
3 Ordenar los numerales de mayor a menor CXVIXXIIII → CXXXVIIIII
4
Simplificar el resultado reduciendo
símbolos
IIIII → V; VV → X; CXXXVIIIII →CXXXX
5 Añadir notación substractiva XXXX → XL
6 Solución CXL
Solución: CXVI + XXIV = CXL

4. El primer paso decodifica los datos posicionales en una notación única, lo que
facilita la tarea aritmética. Con ello, el segundo paso, al tener una notación
únicamente aditiva puede entrar en funcionamiento. Tras eso, es necesaria una
reordenación, pues los dos sumandos mantienen sus ordenaciones respectivas, lo
que no es problema al no estar presente anotación substractiva. Una vez
reordenados los símbolos, se agrupan y se introduce de nuevo la notación
substractiva, aplicando las reglas de numeración romana.
Resta
CXVI − XXIV = 92
Paso Descripción Ejemplo
1 Eliminar la notación substractiva IV → IIII
2
Eliminar los numerales comunes
entre los términos
CXVI − XXIIII → CV − XIII
3
Expandir los numerales del primer
término hasta que aparezcan
elementos del segundo.
CV − XIII → LLIIIII − XIII → LXXXXXIIIII −XIII
4
Repetir los pasos 2 y 3 hasta que el
segundo término quede vacío
LXXXXXIIIII − XIII → LXXXXII
5 Añadir notación substractiva LXXXXII → XCII
6 Solución XCII
Solución: CXVI − XXIV = XCII
Multiplicación de números romanos
La multiplicación de números romanos nos trae las primeras complicaciones
realmente serias. No hay formas sencillas de realizarla. En principio podríamos
pensar en lo más evidente: hacer sumas sucesivas. Pero eso no es demasiado útil
si tenemos números grandes. Vamos a ver una manera de hacer ese tipo de

5. multiplicaciones en la que tendremos que suponer que sabemos multiplicar y
dividir por dos un número romano (calcular el doble o la mitad de un número es
sencillo sin necesidad de reglas multiplicación y de división):
Para calcular A·B formamos dos columnas y colocamos A en la de la izquierda y B
en la de la derecha. Pasos a seguir:
 1.- Dividimos A entre 2 y escribimos el cociente de la división debajo de A. Por
ejemplo, si A es 15 escribiremos debajo 7
 2.- Multiplicamos B por 2 y escribimos el resultado debajo de B
 3.- Repetimos los pasos 1.- y 2.- con los números que vamos obteniendo hasta
que en la columna de la izquierda aparezca un 1.
 4.- Tachamos de la tabla resultante todas las filas en las que el número de la
izquierda sea par
 5.- Sumamos los números que nos hayan quedado en la columna de la derecha.
El resultado de esta suma es el resultado de A·B
Vamos con un ejemplo. Vamos a hacer 45·29. En números romanos XLV·XXIX.
Construimos la tabla:
A = XLV (45) B = XXIX (29)
XXII (22) LVIII (58)
XI (11) CXVI (116)
V (5) CCXXXII (232)
II (2) CDLXIV (464)
I (1) CMXXVIII (928)
Tachamos las filas donde el número de la izquierda es par. Nos queda la siguiente
tabla:
A = XLV (45) B = XXIX (29)

6. XI (11) CXVI (116)
V (5) CCXXXII (232)
I (1) CMXXVIII (928)
Sumamos los números que han quedado en la columna de la derecha utilizando la
regla de la suma que hemos visto anteriormente:
XXIX + CXVI + CCXXXII + CMXXVIII =
= XXVIIII + CXVI + CCXXXII + DCCCCXXVIII =
= [Concatenamos y ordenamos de mayor a menor valor] =
= DCCCCCCCXXXXXXXXVVVIIIIIIIIII =
= DCCCCCCCXXXXXXXXVVVVV =
= DCCCCCCCXXXXXXXXXXV =
= DCCCCCCCCV =
= DDCCCV =
= MCCCV
Y nos queda el resultado deseado: MCCCV = 1305
Como podremos darnos cuenta, el proceso de multiplicación es largo y algo
complicado para los que se inicien en esta forma de multiplicar.