La integral definida representa el área delimitada por la gráfica de una función f(x), el eje de abscisas y las rectas verticales x = a y x = b. La integral definida se denota por la expresión ∫abf(x)dx y representa el área total de la región delimitada.

1. Dada una función f(x) y un intervalo [a, b], la integral
definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el
eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
La integral definida se representa por .
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de
la función que se integra.
Propiedades de la integral definida

2. 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los
límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral
definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se
descompone como una suma de dos integrales extendidas a los
intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma
de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a
la constante por la integral de la función.

3. Función integral
Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta
función se define la función integral:
que depende del límite superior de integración.
Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f,
se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.
Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del
recinto limitado por la curva y = f (t), el eje de abscisas y las rectas t =
a y t = x.

4. A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f
en el intervalo [a, b].
Aplicaciones de la integral definida.
Área del recinto limitado por la gráfica de una función.
 Sea f(x) continua y f(x) ≥ 0 para todo x en [a, b]:
El área del recinto limitado por la gráfica de una función positiva, el eje de
abscisas y dos rectas verticales es:
 Sea f(x) continua y f(x) ≤ 0 para todo x en [a, b]:
El área del recinto limitado por la gráfica de una función negativa, el eje de
abscisas y dos rectas verticales es:
 Sea f(x) continua y f(x) toma valores positivos y negativos en
subintervalos de [a, b]:
Cuando f(x) no tiene signo constante en el intervalo [a, b], su gráfica
determina con el eje OX varias regiones. Habrá que identificar el signo de la
función en cada uno de los subintervalos y calcular el área de cada una de
las regiones para posteriormente sumarlas.

5. Área del recinto limitado por la gráfica de dos funciones.
 Si f1, f2 son dos funciones distintas, integrables en [a, b] y tales que
f1(x) ≤ f2(x) para todo x en [a, b], entonces el área de la región R = {(x,
y)ÎÂ2, a ≤ x ≤ b y f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}, es:
 Si f1, f2 son dos funciones distintas, continuas en [a, b] y tales que sus
gráficas se cruzan en un número finito de puntos, entonces el área de
la región limitada por estas curvas y las rectas verticales x = a e y = b
es:
 Como caso particular, si f: [a, b] en  una función integrable en [a, b]
que no mantiene signo constante en dicho intervalo, entonces el área
de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas
verticales x = a, y x = b es:
Volúmenes de revolución:
El volumen V de revolución engendrado por el área que define una curva
continua f(x) sobre un intervalo dado del eje de abscisas puede considerarse
igual a la suma de los infinitos cilindros de altura infinitesimal que pueden ser
construidos por cortes perpendiculares al eje de simetría del volumen V (el

6. volumen del cilindro infinitesimal: superficie de la base –círculo de radio f(xi)-
por la altura Δxi).
Sea f una función real continua en [a, b], entonces el volumen de revolución
engendrado al girar en torno al eje X, el recinto limitado por las
rectas x=a, x=b, el eje X y la gráfica de f(x) viene dado por:
Longitud del arco de una curva:
La longitud de un arco cualquiera para una curva continua e integrable
Riemann, se obtendría como la suma infinita de las longitudes infinitesimales
de arco.
Sea f una función real continua en [a, b], tal que su derivada f ' también es
continua en [a, b]; entonces la longitud de la gráfica de f entre x=a y x=b es:
Área lateral de revolución:
Sea f una función real continua en [a, b], tal que su derivada f ' también es
continua en [a, b]; entonces el área lateral de revolución engendrada por f(x)
al girar en torno al eje X, entre las rectas x=a y x=b, es: