Este documento presenta los fundamentos matemáticos de la integral definida y algunas de sus propiedades y teoremas clave. Explica conceptos como la integral de Riemann y cómo se pueden usar las integrales para calcular el área debajo de una curva, entre dos curvas, el volumen de un cuerpo de revolución, y la longitud de un arco de curva. También cubre aplicaciones geométricas como el cálculo de áreas, volúmenes y longitudes.

1. Tema 4. Integrales Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito - Integral de Riemann - Teoremas sobre la integración - Aplicaciones de la integral

3. Concepto de integral definida Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Tipos de integral definida: - Integral de Cauchy - Integral de Riemann - Integral de Lebesgue (la más general) Trataremos únicamente la integral de Riemann, que se refiere a funciones acotadas y continuas, salvo en una cantidad numerable de puntos. Conceptos previos: - Partición de un intervalo - Sumas de Riemann - Integral superior e integral inferior de Riemann

4. Concepto de integral definida Dada una función f ( x ) no negativa en un intervalo [ a , b ], se llama integral definida de esa función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje de abcisas y las rectas verticales x = a y x = b . La integral definida de la función f ( x ) en el intervalo [ a , b ] se denota como Área = Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

5. Propiedades de la integral definida Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito 1. Linealidad respecto al integrando Sean f y g dos funciones integrables en [ a , b ] y   IR un número real; entonces las funciones f + g y  · f son funciones integrables en [ a , b ], y se verifican las igualdades: 2. Aditividad respecto al intervalo Sea f una función definida en [ a , b ] y c un punto de ( a , b ); f es integrable en [ a , b ] si y sólo si f es integrable en [ a , c ] y [ c , b ]. Además: Estas dos propiedades juntas dan lugar a la propiedad de linealidad:

6. Propiedades de la integral definida Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito 3. Monotonía Sean f y g dos funciones integrables en [ a , b ] tales que f ( x ) ≤ g ( x ) para todo x  [ a , b ]. Entonces: 4. Otras propiedades - Si f y g son dos funciones integrables en [ a , b ] , entonces f · g es una función integrable en [ a , b ]. Además: - Si f y g son dos funciones integrables en [ a , b ] y la función | g | está acotada inferiormente, entonces f / g es una función integrable en [ a , b ]. - Si f es una función integrable en [ a , b ], entonces la función | f | es una función integrable en [ a , b ]. Además:

7. Teoremas sobre la integración Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Teorema del valor medio integral Si f ( x ) es una función continua en [ a , b ], entonces existe al menos un punto c  [ a , b ] tal que: Interpretación geométrica Teorema generalizado del valor medio integral Si f ( x ) es una función continua en [ a , b ] y g ( x ) es integrable y no negativa en [ a , b ], entonces existe al menos un punto c  [ a , b ] tal que:

8. Teoremas sobre la integración Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Regla de Barrow Sea f ( x ) es una función integrable en [ a , b ] y sea F ( x ) una primitiva de f , es decir F ´( x ) = f ( x ) para todo x  [ a , b ]. Entonces:

9. Aplicaciones geométricas de la integral Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Áreas de figuras planas 1. Área de la región plana entre una curva y el eje de abcisas . Si la curva tiene ecuación explícita y = f ( x ) para todo x  [ a , b ], el recinto limitado por la curva, el eje de abcisas y las rectas x = a y x = b tiene un área que vale: Si la curva tiene ecuaciones paramétricas x = x ( t ), y = y ( t ), para t  [ t 1 , t 2 ], con a = x ( t 1 ) y b = x ( t 2 ), el área del recinto limitado por la curva, el eje de abcisas y las rectas x = a y x = b viene dada por: Si la curva tiene ecuación en polares  =  (  ) , para   [  1 ,  2 ], el área del recinto encerrado por la curva entre los valores  1 y  2 está dada por:

10. Aplicaciones geométricas de la integral Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito 2. Área de la región plana encerrada entre dos curvas . Dadas dos funciones f y g , el recinto limitado por la curva y = f ( x ), la curva y = g ( x ) y las rectas x = a y x = b tiene un área que vale:

11. Aplicaciones geométricas de la integral Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Longitud de un arco de curva Se entiende por rectificar una curva, hallar la medida de su longitud. Pero no todas las curvas continuas se pueden rectificar; para ello, la función f ( x ) que define a la curva ha de poseer derivada continua en [ a , b ]. Si la función f ( x ) es derivable con derivada continua en [ a , b ], la longitud del arco de curva y = f ( x ) entre a y b está dada por: Si la curva tiene ecuaciones paramétricas x = x ( t ), y = y ( t ), para t  [ t 1 , t 2 ], con a = x ( t 1 ) y b = x ( t 2 ), la longitud del arco de curva entre a y b está dada por : Si el arco es el de la curva que tiene ecuación en polares  =  (  ) , para   [  1 ,  2 ], entonces su longitud es:

12. Aplicaciones geométricas de la integral Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Volumen por secciones Se llama volumen por secciones al del cuerpo que tiene secciones transversales dadas por una función continua A ( x ) cuando x varía entre los valores x = a y x = b . El volumen por secciones está dado por:

13. Aplicaciones geométricas de la integral Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito Área y volumen de revolución Sea y = f ( x ) una función continua en [ a , b ] que gira alrededor del eje OX para engendrar un cuerpo de revolución. 1. Se llama área de revolución a la del cuerpo engendrado al girar en torno al eje OX la gráfica de la función f ( x ), con derivada continua, comprendida entre los valores x = a y x = b . El área de revolución está dada por: Si la curva tiene ecuaciones paramétricas x = x ( t ), y = y ( t ), para t  [ t 1 , t 2 ], el área engendrada entre los valores del parámetro viene dada por: Si la curva tiene ecuación en polares  =  (  ) , para   [  1 ,  2 ], el área engendrada entre los argumentos  1 ,  2 , con 0 ≤  1 <  2 ≤ 2  está dada por:

14. Aplicaciones geométricas de la integral Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito 2. Se llama volumen de revolución al del cuerpo engendrado al girar en torno al eje OX la gráfica de la función continua f ( x ), comprendida entre los valores x = a y x = b . El volumen de revolución está dada por: Si giramos en torno del eje OY , bastará intercambiar los papeles de x e y , adecuando el intervalo de integración, resultando: