Este documento presenta la solución a 6 ejercicios relacionados con señales continuas y discretas. En el primer ejercicio, se muestra que el periodo fundamental de una señal depende del máximo común divisor de k y N. En el segundo, se calculan los periodos fundamentales para N=7 y N=16. El tercer ejercicio involucra dibujar y muestrear una señal analógica sinusoidal, determinar su frecuencia discreta y periodo.

1. Quinto Ejercicio
a) Muestre que el periodo fundamental N0 de las se˜ales
n
sk [n] = ej2πkn/N , k = 0, 1, 2, 3, ...
esta dado por N0 = N/GCD(k, N ), donde GCD es el m´ximo com´n
a u
divisor de k y N .
b) Cu´l es el periodo fundamental del conjunto de se˜ales si N = 7?
a n
c) Cu´l es el periodo fundamental para N = 16?
a
Jorge A. Rodr´
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2. soluci´n
o
k
a) De la se˜al, se tiene ω0 = 2πk , de donde f = N ; recordemos que para que
n N
la se˜al sea peri´dica f debe de ser un racional.
n o
Sea
a = GCD(k, N )
Entonces k = k ′ a; N = N ′a
Reemplazando en f , tenemos
k′
f= ′
N
N
lo que implica que N ′ = N0 = a
b) N=7;
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
GCD(k, N ) = 7, 1, 1, 1, 1, 1, 7
N0 = 1, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 1
c) N=16;
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., 16
GCD(k, N ) = 16, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8, 1, .., 16
N0 = 16, 8, 16, 4, 16, 8, 16, 2, 16, 8, ..., 1
Jorge A. Rodr´
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3. Sexto Ejercicio
Considere la siguiente se˜al an´loga sinusoidal:
n a
x(t) = 3sen(100πt)
a) Dibuje la se˜al x(t) para los valores de t tal que 0 ≤ t ≤ 30ms.
n
b) La se˜al x(t) es muestreada con una tasa de muestreo
n
Fs = 300 muestras/s. Determine la frecuencia de la se˜al discreta
n
x[n] = x(nT ), T = 1/Fs , y muestre que es peri´dica.
o
c) Encuentre los valores de las muestras en un periodo de x[n]. Dibuje x[n] en
el mismo gr´fico con x(t). ¿Cu´l es el periodo de la se˜al discreta en
a a n
milisegundos?
Jorge A. Rodr´
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4. Soluci´n a)
o
Jorge A. Rodr´
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5. b)
1
x[n] = x(nT ); T =
300
1
= 3sen(100πnT ) = 3sen 100πn
300
pi
= 3sen n
3
1
como f = 6 entonces la se˜al es peri´dica
n o
(1)
Jorge A. Rodr´
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6. c)
Para un ciclo el valor de las muestras es:
3 3 3 3
x[n] = 0, √ , √ , 0, − √ , − √ , 0
2 2 2 2
El periodo de la se˜al discreta en milisegundos es 20ms
n
Jorge A. Rodr´
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