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INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
UNIDAD 3
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
A veces un poco de intuición e ingenio conduce a una reducción
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Los ceros de la transformada 𝑧𝑋 𝑧 son los valores de 𝑧 para los cuales
𝑋 𝑧 = 0.
𝑋 𝑧 =
𝑁 𝑧
𝐷 𝑧
=
𝑏0 + 𝑏1 𝑧−1 + ⋯ + 𝑏 𝑀 𝑧−𝑀
𝑎0 + 𝑎1 𝑧−1 + ⋯ + 𝑎 𝑁 𝑧−𝑁
=
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑧−𝑘
𝑘=0
𝑁
𝑎 𝑘 𝑧−𝑘
(3.23)
Los polos de una transformada 𝑧𝑋(𝑧) son los valores de 𝑧 para los cuales
𝑋 𝑧 = ∞
Si 𝑎 ≠ 0 y 𝑏 ≠ 0, se pueden evitar las potencias negativas 𝑧 sacando factor
común a los términos 𝑏0 𝑧−𝑀
y 𝑎0 𝑧−𝑁
, quedando
𝑋 𝑧 =
𝐵 𝑧
𝐴 𝑧
=
𝑏0 𝑧−𝑀
𝑎0 𝑧−𝑁
𝑧 𝑀 +
𝑏1
𝑏0
𝑧 𝑀−1 + ⋯ +
𝑏 𝑀
𝑏0
𝑧 𝑁 +
𝑎1
𝑎0
𝑎 𝑁−1 + ⋯ +
𝑎 𝑁
𝑎0
3.24
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 3
Polos y ceros
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Dado que 𝐵 𝑧 y 𝐴 𝑧 son polinomios en 𝑧, podemos expresarlos en forma
de factores como
𝑋 𝑧 =
𝑁 𝑧
𝐷 𝑧
=
𝑏0
𝑎0
𝑧−𝑀+𝑁
𝑧 − 𝑧1 𝑧 − 𝑧2 ⋯ 𝑧 − 𝑧 𝑀
𝑧 − 𝑝1 𝑧 − 𝑝2 ⋯ 𝑧 − 𝑝 𝑁
= 𝐺𝑧 𝑁−𝑀 𝑘=1
𝑀
(𝑧 − 𝑧 𝑀)
𝑘=1
𝑁
(𝑧 − 𝑝 𝑘)
3.25
donde 𝐺 ≡ 𝑏0 𝑎0.
Las raíces del numerador son los ceros, z = 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧 𝑀. Las raíces del
denominador son los polos 𝑧 = 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝 𝑁.
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
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Polos y ceros
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Ejemplo 3.15: Determine el diagrama de polos y ceros de la señal 𝑥 𝑛 =
𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 , 𝑎 > 0
Solución: A partir de la tabla de pares de transformadas tenemos
𝑋 𝑧 =
1
1 − 𝑎𝑧−1
=
𝑧
𝑧 − 𝑎
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎
𝑋 𝑧 tiene un cero en 𝑧 = 0 y un polo en 𝑝1 = 𝑎. El diagrama de polos y
ceros es:
Observe que el polo 𝑝1 = 𝑎 no está
incluido en la 𝑅𝑂𝐶, ya que la
transformada 𝑍 no converge en un polo.
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 5
Polos y ceros
Im 𝑧
Re 𝑧
𝑅𝑂𝐶
𝑎
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Ejemplo 3.16: Determine el diagrama de polos y ceros de la señal
𝑥 𝑛 =
𝑎 𝑛, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀 − 1
0, en otro caso
donde 𝑎 > 0.
Solución: La transformada 𝑍 es
𝑋 𝑧 =
𝑛=0
𝑀−1
𝑎𝑧−1 𝑛 =
1 − 𝑎𝑧−1 𝑀
1 − 𝑎𝑧−1
=
𝑧 𝑀 − 𝑎 𝑀
𝑧 𝑀−1 𝑧 − 𝑎
Dado que 𝑎 > 0, la ecuación 𝑧 𝑀
= 𝑎 𝑀
tiene 𝑀 raíces en
𝑧 𝑘 = 𝑎𝑒 𝑗2𝜋𝑘/𝑀 𝑘 = 0,1, … , 𝑀 − 1
El cero 𝑧0 = 𝑎 cancela el polo en 𝑧 = 𝑎. Por lo tanto
𝑋 𝑧 =
𝑧 − 𝑧1 𝑧 − 𝑧2 ⋯ 𝑧 − 𝑧 𝑀−1
𝑧 𝑀−1
3.26
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
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Polos y ceros
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Ejemplo 3.16:
(3.26) tiene 𝑀 − 1 ceros y 𝑀 − 1 polos. Para 𝑀 = 8
Observe que la 𝑅𝑂𝐶 es el plano 𝑍 completo, excepto 𝑧 = 0, porque los 𝑀 −
1 polos están ubicados en el origen.
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
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Polos y ceros
Im 𝑧
Re 𝑧
𝑎
𝑧 = 𝑎𝑀 − 1
polos
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Ejemplo 3.16: Determine la transformada 𝑍 y la señal que corresponda al
diagrama de polos y ceros de la figura siguiente
Solución: Tiene dos ceros (𝑀 = 2) en 𝑧1 = 0 y 𝑧2 = 𝑟 cos 𝜔0; dos polos
𝑁 = 2 en 𝑝1 = 𝑟𝑒 𝑗𝜔0 y 𝑝2 = 𝑟𝑒−𝑗𝜔0.
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
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Polos y ceros
Im 𝑧
Re 𝑧
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𝜔0
𝑧1
𝜔0
𝑟
𝑧2
𝑝1
𝑝2
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
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Polos y ceros
Ejemplo 3.16:
Sustituyendo estas relaciones en (3.25) obtenemos
𝑋 𝑧 = 𝐺
𝑧 − 𝑧1 𝑧 − 𝑧2
𝑧 − 𝑝1 𝑧 − 𝑝2
= 𝐺
𝑧 𝑧 − 𝑟 cos 𝜔0
𝑧 − 𝑟𝑒 𝑗𝜔0 𝑧 − 𝑟𝑒−𝑗𝜔0
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑟
Expandiendo los binomios y usando la identidad de Euler, obtenemos
𝑋 𝑧 = 𝐺
1 − 𝑟𝑧−1
cos 𝜔0
1 − 2𝑟𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑟2 𝑧−2
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑟
Inspeccionando la tabla de pares de transformadas, obtenemos la señal
𝑥 𝑛 = 𝐺 𝑟 𝑛
cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
La 𝑇𝑍 de 𝑋 𝑧 es una función compleja de la variable compleja 𝑧 = ℜ 𝑧 +
𝑗ℑ 𝑧 . 𝑋 𝑧 es el modulo de 𝑋 𝑧 , es una función real y positiva de 𝑧. Dado
que 𝑧 representa un punto en el plano complejo, 𝑋 𝑧 es una función
bidimensional y describe a una “superficie”.
Considera la función
𝑋 𝑧 =
𝑧−1 − 𝑧−2
1 − 1.2732𝑧−1 + 0.81𝑧−2
su gráfica bidimensional es:
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
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Polos y ceros
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Código en Matlab:
N=500;
Re_l=-10;
Re_h=10;
Im_l=-10;
Im_h=10;
a= Re_l : (Re_h - Re_l)/N : Re_h - (Re_h - Re_l)/N;
b= Im_l : (Im_h - Im_l)/N : Im_h - (Im_h - Im_l)/N;
Xz=zeros(N);
for x=1:N
for y=1:N
Xz(x,y)=((a(x)+i*b(y))^(-1)-((a(x)+i*b(y))^(-2)))/(1-1.2732*(a(x)+i*b(y))^(-1)
+0.81*(a(x)+i*b(y))^(-2));
end
End
mesh(a,b,abs(Xz))
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 11
Polos y ceros
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
El comportamiento de una señal en el dominio del tiempo depende, en mayor
medida, de la posición de sus polos en el dominio de la frecuencia.
Sea una señal real con transformada z con un polo real
𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛
𝑢 𝑛
𝑧
𝑋 𝑧 =
1
1 − 𝑎𝑧−1
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎
Donde 𝑝1 = 𝑎 sobre el eje real y 𝑧1 = 0, su comportamiento tanto en el
tiempo como en la frecuencia
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
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Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
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Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
La señal es decreciente si el polo se encuentra dentro de la circunferencia
unidad. Si esta de lado derecho, sus valores son positivos, si se encuentra
del lada izquierdo, es una señal oscilante
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
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Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
Cuando el polo de la circunferencia unidad, la señal tiene un valor constante
positivo en caso de que este de lado derecho; y es oscilatorio contante si el
polo está de lado izquierdo.
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
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Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
Cuando el polo esta fuera de la circunferencia unidad, la señal es creciente
positiva si el polo esta a la derecha. Cuando esta a la izquierda, es creciente
oscilatoria.
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Sea una señal real con un polo real doble tiene la forma
𝑥 𝑛 = 𝑛𝑎 𝑛
𝑢(𝑛)
Cuando los polos están dentro de la circunferencia unidad
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
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Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Cuando los polos están sobre la circunferencia unidad
Una señal con dos polos sobre la circunferencia unidad no está acotada.
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
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Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Cuando los polos están fuera de la circunferencia unidad
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 18
Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Un señal con un par de polos conjugados complejos da el siguiente
comportamiento.
La señal tiene una envolvente decreciente. La distancia 𝑟 de los polos
respecto del origen, determina la envolvente de la señal sinusoidal y su
ángulo con el eje real positivo es la frecuencia relativa
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 19
Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Observe que la amplitud de la señal es creciente si 𝑟 > 1, constante si 𝑟 = 1
(señales sinusoidales) y decreciente si 𝑟 < 1.
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 20
Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Observe que la amplitud de la señal es creciente si 𝑟 > 1, constante si 𝑟 = 1
(señales sinusoidales) y decreciente si 𝑟 < 1.
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 21
Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Comportamiento de una señal con una pareja de polos dobles sobre la
circunferencia unidad.
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 22
Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
En resumen, las señales reales causales con polos reales simples o parejas
de polos complejos conjugados simples, que se encuentran dentro o sobre
las circunferencia unidad, siempre están acotadas en amplitud. Además, una
señal con un polo (o una pareja de polos complejos conjugados) próximo al
origen decrece mas rápidamente que una asociada con un polo próximo (o
interior) a la circunferencia unidad. Por tanto, el comportamiento en el tiempo
de una señal depende fuertemente de la ubicación de sus polos respecto a la
circunferencia unidad.
Los ceros afectan al comportamiento de una señal aunque no de manera tan
significativa como los polos. Por ejemplo, en el caso de señales sinusoidales,
la presencia y la posición de los ceros solo afecta a su fase.
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 23
Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
La respuesta de un sistema a una secuencia 𝑥(𝑛) se puede obtener con la
convolución de la secuencia 𝑥(𝑛) con la respuesta al impulso unitario del
sistema.
𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ(𝑛)
En el dominio de Z,
𝑌 z = 𝑋 z 𝐻 z 3.26
Por lo tanto
𝐻 𝑧 =
𝑌 𝑧
𝑋 𝑧
3.27
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 24
Función de transferencia de un sistema LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Donde la 𝑇𝑍 de la función de transferencia es
𝐻 𝑧 =
𝑛=−∞
∞
ℎ 𝑛 𝑧−𝑛 3.28
Expresado mediante una ecuación en diferencias de coeficientes constantes
𝑦 𝑛 = −
𝑘=1
𝑁
𝑎 𝑘 𝑦 𝑛 − 𝑘 +
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 3.29
Por la propiedad del desplazamiento en el tiempo
𝑌 𝑧
𝑋 𝑧
= 𝐻 𝑧 =
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑧−𝑘
1 + 𝑘=1
𝑁
𝑎 𝑘 𝑧−𝑘
3.30
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 25
Función de transferencia de un sistema LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Un caso particular es cuando 𝑎 𝑘 = 0, para 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁
𝐻 𝑧 =
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑧−𝑘 =
1
𝑧 𝑀
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑧 𝑀−𝑘 3.31
Se dice que este es un sistema de solo ceros. Un sistema de este tipo tiene
una respuesta al impulso de duración finita, FIR.
Por el contrario, para el caso particular es cuando bk = 0, para 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑀
𝐻 𝑧 =
𝑏0
1 + 𝑘=1
𝑁
𝑎 𝑘 𝑧−𝑘
=
𝑏0 𝑧 𝑁
𝑘=0
𝑁
𝑎 𝑘 𝑧 𝑁−𝑘
, 𝑎0 ≡ 1 3.32
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 26
Función de transferencia de un sistema LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
Este sistema tiene solo polos, por consecuencia su respuesta al impulso es
de duración infinita, IIR.
Generalizando, cualquier sistema que contiene tanto ceros como polos no
triviales, se dice que es un sistema IIR.
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 27
Función de transferencia de un sistema LTI
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 28
Función de transferencia de un sistema LTI
Ejemplo 3.17: Determine la función de transferencia y la respuesta al
impulso unitario del sistema descrito por la siguiente ecuación en
diferencias
𝑦 𝑛 =
1
2
𝑦 𝑛 − 1 + 2𝑥 𝑛
Solución: La transformada 𝑍 de la ecuación en diferencias es
𝑌 𝑧 =
1
2
𝑧−1 𝑌 𝑧 + 2𝑋 𝑧
Por tanto, la función de transferencia es
𝐻 𝑧 =
𝑌 𝑧
𝑋 𝑧
=
2
1 −
1
2
𝑧−1
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 29
Función de transferencia de un sistema LTI
Ejemplo 3.17:
El sistema tiene un polo en 𝑧 =
1
2
y un cero en el origen. Utilizando la tabla
de pares de transformadas, obtenemos la transformada inversa que es la
respuesta al sistema
ℎ 𝑛 = 2
1
2
𝑛
𝑢 𝑛
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
3.3.1 La transformada 𝑍 𝑋 𝑧 de una señal real 𝑥 𝑛 incluye una pareja de
ceros complejos conjugados y una pareja de polos complejos conjugados.
¿Qué ocurre con estas parejas si multiplicamos 𝑥 𝑛 por 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛?
(Consejo: utilice el teorema del cambio de escala en el dominio 𝑧.)
3.3 Transformadas 𝑍 racionales
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 30
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Sección 3.3 Transformada Z racionales

  • 1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NAYARIT INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA Procesamiento Digital de Señales M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca UNIDAD 3 Transformada 𝑍 y sus aplicaciones A veces un poco de intuición e ingenio conduce a una reducción considerable en la complejidad, y a veces también a mejoras en su velocidad. – Roger Penrose, La mente nueva del emperador, 1996, México.
  • 2. Procesamiento Digital de Señales M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.3 Transformadas 𝑍 racionales
  • 3. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Los ceros de la transformada 𝑧𝑋 𝑧 son los valores de 𝑧 para los cuales 𝑋 𝑧 = 0. 𝑋 𝑧 = 𝑁 𝑧 𝐷 𝑧 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑧−1 + ⋯ + 𝑏 𝑀 𝑧−𝑀 𝑎0 + 𝑎1 𝑧−1 + ⋯ + 𝑎 𝑁 𝑧−𝑁 = 𝑘=0 𝑀 𝑏 𝑘 𝑧−𝑘 𝑘=0 𝑁 𝑎 𝑘 𝑧−𝑘 (3.23) Los polos de una transformada 𝑧𝑋(𝑧) son los valores de 𝑧 para los cuales 𝑋 𝑧 = ∞ Si 𝑎 ≠ 0 y 𝑏 ≠ 0, se pueden evitar las potencias negativas 𝑧 sacando factor común a los términos 𝑏0 𝑧−𝑀 y 𝑎0 𝑧−𝑁 , quedando 𝑋 𝑧 = 𝐵 𝑧 𝐴 𝑧 = 𝑏0 𝑧−𝑀 𝑎0 𝑧−𝑁 𝑧 𝑀 + 𝑏1 𝑏0 𝑧 𝑀−1 + ⋯ + 𝑏 𝑀 𝑏0 𝑧 𝑁 + 𝑎1 𝑎0 𝑎 𝑁−1 + ⋯ + 𝑎 𝑁 𝑎0 3.24 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 3 Polos y ceros
  • 4. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Dado que 𝐵 𝑧 y 𝐴 𝑧 son polinomios en 𝑧, podemos expresarlos en forma de factores como 𝑋 𝑧 = 𝑁 𝑧 𝐷 𝑧 = 𝑏0 𝑎0 𝑧−𝑀+𝑁 𝑧 − 𝑧1 𝑧 − 𝑧2 ⋯ 𝑧 − 𝑧 𝑀 𝑧 − 𝑝1 𝑧 − 𝑝2 ⋯ 𝑧 − 𝑝 𝑁 = 𝐺𝑧 𝑁−𝑀 𝑘=1 𝑀 (𝑧 − 𝑧 𝑀) 𝑘=1 𝑁 (𝑧 − 𝑝 𝑘) 3.25 donde 𝐺 ≡ 𝑏0 𝑎0. Las raíces del numerador son los ceros, z = 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧 𝑀. Las raíces del denominador son los polos 𝑧 = 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝 𝑁. 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 4 Polos y ceros
  • 5. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Ejemplo 3.15: Determine el diagrama de polos y ceros de la señal 𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 , 𝑎 > 0 Solución: A partir de la tabla de pares de transformadas tenemos 𝑋 𝑧 = 1 1 − 𝑎𝑧−1 = 𝑧 𝑧 − 𝑎 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎 𝑋 𝑧 tiene un cero en 𝑧 = 0 y un polo en 𝑝1 = 𝑎. El diagrama de polos y ceros es: Observe que el polo 𝑝1 = 𝑎 no está incluido en la 𝑅𝑂𝐶, ya que la transformada 𝑍 no converge en un polo. 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 5 Polos y ceros Im 𝑧 Re 𝑧 𝑅𝑂𝐶 𝑎
  • 6. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Ejemplo 3.16: Determine el diagrama de polos y ceros de la señal 𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀 − 1 0, en otro caso donde 𝑎 > 0. Solución: La transformada 𝑍 es 𝑋 𝑧 = 𝑛=0 𝑀−1 𝑎𝑧−1 𝑛 = 1 − 𝑎𝑧−1 𝑀 1 − 𝑎𝑧−1 = 𝑧 𝑀 − 𝑎 𝑀 𝑧 𝑀−1 𝑧 − 𝑎 Dado que 𝑎 > 0, la ecuación 𝑧 𝑀 = 𝑎 𝑀 tiene 𝑀 raíces en 𝑧 𝑘 = 𝑎𝑒 𝑗2𝜋𝑘/𝑀 𝑘 = 0,1, … , 𝑀 − 1 El cero 𝑧0 = 𝑎 cancela el polo en 𝑧 = 𝑎. Por lo tanto 𝑋 𝑧 = 𝑧 − 𝑧1 𝑧 − 𝑧2 ⋯ 𝑧 − 𝑧 𝑀−1 𝑧 𝑀−1 3.26 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 6 Polos y ceros
  • 7. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Ejemplo 3.16: (3.26) tiene 𝑀 − 1 ceros y 𝑀 − 1 polos. Para 𝑀 = 8 Observe que la 𝑅𝑂𝐶 es el plano 𝑍 completo, excepto 𝑧 = 0, porque los 𝑀 − 1 polos están ubicados en el origen. 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 7 Polos y ceros Im 𝑧 Re 𝑧 𝑎 𝑧 = 𝑎𝑀 − 1 polos
  • 8. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Ejemplo 3.16: Determine la transformada 𝑍 y la señal que corresponda al diagrama de polos y ceros de la figura siguiente Solución: Tiene dos ceros (𝑀 = 2) en 𝑧1 = 0 y 𝑧2 = 𝑟 cos 𝜔0; dos polos 𝑁 = 2 en 𝑝1 = 𝑟𝑒 𝑗𝜔0 y 𝑝2 = 𝑟𝑒−𝑗𝜔0. 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 8 Polos y ceros Im 𝑧 Re 𝑧 𝑅𝑂𝐶 𝜔0 𝑧1 𝜔0 𝑟 𝑧2 𝑝1 𝑝2
  • 9. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 9 Polos y ceros Ejemplo 3.16: Sustituyendo estas relaciones en (3.25) obtenemos 𝑋 𝑧 = 𝐺 𝑧 − 𝑧1 𝑧 − 𝑧2 𝑧 − 𝑝1 𝑧 − 𝑝2 = 𝐺 𝑧 𝑧 − 𝑟 cos 𝜔0 𝑧 − 𝑟𝑒 𝑗𝜔0 𝑧 − 𝑟𝑒−𝑗𝜔0 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑟 Expandiendo los binomios y usando la identidad de Euler, obtenemos 𝑋 𝑧 = 𝐺 1 − 𝑟𝑧−1 cos 𝜔0 1 − 2𝑟𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑟2 𝑧−2 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑟 Inspeccionando la tabla de pares de transformadas, obtenemos la señal 𝑥 𝑛 = 𝐺 𝑟 𝑛 cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛
  • 10. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones La 𝑇𝑍 de 𝑋 𝑧 es una función compleja de la variable compleja 𝑧 = ℜ 𝑧 + 𝑗ℑ 𝑧 . 𝑋 𝑧 es el modulo de 𝑋 𝑧 , es una función real y positiva de 𝑧. Dado que 𝑧 representa un punto en el plano complejo, 𝑋 𝑧 es una función bidimensional y describe a una “superficie”. Considera la función 𝑋 𝑧 = 𝑧−1 − 𝑧−2 1 − 1.2732𝑧−1 + 0.81𝑧−2 su gráfica bidimensional es: 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 10 Polos y ceros
  • 11. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Código en Matlab: N=500; Re_l=-10; Re_h=10; Im_l=-10; Im_h=10; a= Re_l : (Re_h - Re_l)/N : Re_h - (Re_h - Re_l)/N; b= Im_l : (Im_h - Im_l)/N : Im_h - (Im_h - Im_l)/N; Xz=zeros(N); for x=1:N for y=1:N Xz(x,y)=((a(x)+i*b(y))^(-1)-((a(x)+i*b(y))^(-2)))/(1-1.2732*(a(x)+i*b(y))^(-1) +0.81*(a(x)+i*b(y))^(-2)); end End mesh(a,b,abs(Xz)) 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 11 Polos y ceros
  • 12. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones El comportamiento de una señal en el dominio del tiempo depende, en mayor medida, de la posición de sus polos en el dominio de la frecuencia. Sea una señal real con transformada z con un polo real 𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 𝑧 𝑋 𝑧 = 1 1 − 𝑎𝑧−1 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎 Donde 𝑝1 = 𝑎 sobre el eje real y 𝑧1 = 0, su comportamiento tanto en el tiempo como en la frecuencia 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 12 Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
  • 13. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 13 Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales La señal es decreciente si el polo se encuentra dentro de la circunferencia unidad. Si esta de lado derecho, sus valores son positivos, si se encuentra del lada izquierdo, es una señal oscilante
  • 14. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 14 Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales Cuando el polo de la circunferencia unidad, la señal tiene un valor constante positivo en caso de que este de lado derecho; y es oscilatorio contante si el polo está de lado izquierdo.
  • 15. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 15 Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales Cuando el polo esta fuera de la circunferencia unidad, la señal es creciente positiva si el polo esta a la derecha. Cuando esta a la izquierda, es creciente oscilatoria.
  • 16. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Sea una señal real con un polo real doble tiene la forma 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑎 𝑛 𝑢(𝑛) Cuando los polos están dentro de la circunferencia unidad 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 16 Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
  • 17. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Cuando los polos están sobre la circunferencia unidad Una señal con dos polos sobre la circunferencia unidad no está acotada. 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 17 Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
  • 18. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Cuando los polos están fuera de la circunferencia unidad 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 18 Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
  • 19. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Un señal con un par de polos conjugados complejos da el siguiente comportamiento. La señal tiene una envolvente decreciente. La distancia 𝑟 de los polos respecto del origen, determina la envolvente de la señal sinusoidal y su ángulo con el eje real positivo es la frecuencia relativa 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 19 Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
  • 20. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Observe que la amplitud de la señal es creciente si 𝑟 > 1, constante si 𝑟 = 1 (señales sinusoidales) y decreciente si 𝑟 < 1. 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 20 Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
  • 21. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Observe que la amplitud de la señal es creciente si 𝑟 > 1, constante si 𝑟 = 1 (señales sinusoidales) y decreciente si 𝑟 < 1. 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 21 Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
  • 22. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Comportamiento de una señal con una pareja de polos dobles sobre la circunferencia unidad. 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 22 Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
  • 23. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones En resumen, las señales reales causales con polos reales simples o parejas de polos complejos conjugados simples, que se encuentran dentro o sobre las circunferencia unidad, siempre están acotadas en amplitud. Además, una señal con un polo (o una pareja de polos complejos conjugados) próximo al origen decrece mas rápidamente que una asociada con un polo próximo (o interior) a la circunferencia unidad. Por tanto, el comportamiento en el tiempo de una señal depende fuertemente de la ubicación de sus polos respecto a la circunferencia unidad. Los ceros afectan al comportamiento de una señal aunque no de manera tan significativa como los polos. Por ejemplo, en el caso de señales sinusoidales, la presencia y la posición de los ceros solo afecta a su fase. 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 23 Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales
  • 24. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones La respuesta de un sistema a una secuencia 𝑥(𝑛) se puede obtener con la convolución de la secuencia 𝑥(𝑛) con la respuesta al impulso unitario del sistema. 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ(𝑛) En el dominio de Z, 𝑌 z = 𝑋 z 𝐻 z 3.26 Por lo tanto 𝐻 𝑧 = 𝑌 𝑧 𝑋 𝑧 3.27 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 24 Función de transferencia de un sistema LTI
  • 25. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Donde la 𝑇𝑍 de la función de transferencia es 𝐻 𝑧 = 𝑛=−∞ ∞ ℎ 𝑛 𝑧−𝑛 3.28 Expresado mediante una ecuación en diferencias de coeficientes constantes 𝑦 𝑛 = − 𝑘=1 𝑁 𝑎 𝑘 𝑦 𝑛 − 𝑘 + 𝑘=0 𝑀 𝑏 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 3.29 Por la propiedad del desplazamiento en el tiempo 𝑌 𝑧 𝑋 𝑧 = 𝐻 𝑧 = 𝑘=0 𝑀 𝑏 𝑘 𝑧−𝑘 1 + 𝑘=1 𝑁 𝑎 𝑘 𝑧−𝑘 3.30 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 25 Función de transferencia de un sistema LTI
  • 26. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Un caso particular es cuando 𝑎 𝑘 = 0, para 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 𝐻 𝑧 = 𝑘=0 𝑀 𝑏 𝑘 𝑧−𝑘 = 1 𝑧 𝑀 𝑘=0 𝑀 𝑏 𝑘 𝑧 𝑀−𝑘 3.31 Se dice que este es un sistema de solo ceros. Un sistema de este tipo tiene una respuesta al impulso de duración finita, FIR. Por el contrario, para el caso particular es cuando bk = 0, para 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑀 𝐻 𝑧 = 𝑏0 1 + 𝑘=1 𝑁 𝑎 𝑘 𝑧−𝑘 = 𝑏0 𝑧 𝑁 𝑘=0 𝑁 𝑎 𝑘 𝑧 𝑁−𝑘 , 𝑎0 ≡ 1 3.32 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 26 Función de transferencia de un sistema LTI
  • 27. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones Este sistema tiene solo polos, por consecuencia su respuesta al impulso es de duración infinita, IIR. Generalizando, cualquier sistema que contiene tanto ceros como polos no triviales, se dice que es un sistema IIR. 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 27 Función de transferencia de un sistema LTI
  • 28. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 28 Función de transferencia de un sistema LTI Ejemplo 3.17: Determine la función de transferencia y la respuesta al impulso unitario del sistema descrito por la siguiente ecuación en diferencias 𝑦 𝑛 = 1 2 𝑦 𝑛 − 1 + 2𝑥 𝑛 Solución: La transformada 𝑍 de la ecuación en diferencias es 𝑌 𝑧 = 1 2 𝑧−1 𝑌 𝑧 + 2𝑋 𝑧 Por tanto, la función de transferencia es 𝐻 𝑧 = 𝑌 𝑧 𝑋 𝑧 = 2 1 − 1 2 𝑧−1
  • 29. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 29 Función de transferencia de un sistema LTI Ejemplo 3.17: El sistema tiene un polo en 𝑧 = 1 2 y un cero en el origen. Utilizando la tabla de pares de transformadas, obtenemos la transformada inversa que es la respuesta al sistema ℎ 𝑛 = 2 1 2 𝑛 𝑢 𝑛
  • 30. Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.3.1 La transformada 𝑍 𝑋 𝑧 de una señal real 𝑥 𝑛 incluye una pareja de ceros complejos conjugados y una pareja de polos complejos conjugados. ¿Qué ocurre con estas parejas si multiplicamos 𝑥 𝑛 por 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛? (Consejo: utilice el teorema del cambio de escala en el dominio 𝑧.) 3.3 Transformadas 𝑍 racionales Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 30 Ejercicios de sección

Notas del editor

  1. 3
  2. 4
  3. 10
  4. 11
  5. 30