Sección 3.3 Transformada Z racionales

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NAYARIT
INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
UNIDAD 3
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
A veces un poco de intuición e ingenio conduce a una reducción
considerable en la complejidad, y a veces también a mejoras en su
velocidad.
– Roger Penrose, La mente nueva del emperador, 1996, México.

Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
3.3 Transformadas 𝑍 racionales

Los ceros de la transformada 𝑧𝑋 𝑧 son los valores de 𝑧 para los cuales
𝑋 𝑧 = 0.
𝑋 𝑧 =
𝑁 𝑧
𝐷 𝑧
=
𝑏0 + 𝑏1 𝑧−1 + ⋯ + 𝑏 𝑀 𝑧−𝑀
𝑎0 + 𝑎1 𝑧−1 + ⋯ + 𝑎 𝑁 𝑧−𝑁
=
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑧−𝑘
𝑘=0
𝑁
𝑎 𝑘 𝑧−𝑘
(3.23)
Los polos de una transformada 𝑧𝑋(𝑧) son los valores de 𝑧 para los cuales
𝑋 𝑧 = ∞
Si 𝑎 ≠ 0 y 𝑏 ≠ 0, se pueden evitar las potencias negativas 𝑧 sacando factor
común a los términos 𝑏0 𝑧−𝑀
y 𝑎0 𝑧−𝑁
, quedando
𝑋 𝑧 =
𝐵 𝑧
𝐴 𝑧
=
𝑏0 𝑧−𝑀
𝑎0 𝑧−𝑁
𝑧 𝑀 +
𝑏1
𝑏0
𝑧 𝑀−1 + ⋯ +
𝑏 𝑀
𝑏0
𝑧 𝑁 +
𝑎1
𝑎0
𝑎 𝑁−1 + ⋯ +
𝑎 𝑁
𝑎0
3.24
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 3
Polos y ceros

Dado que 𝐵 𝑧 y 𝐴 𝑧 son polinomios en 𝑧, podemos expresarlos en forma
de factores como
𝑋 𝑧 =
𝑁 𝑧
𝐷 𝑧
=
𝑏0
𝑎0
𝑧−𝑀+𝑁
𝑧 − 𝑧1 𝑧 − 𝑧2 ⋯ 𝑧 − 𝑧 𝑀
𝑧 − 𝑝1 𝑧 − 𝑝2 ⋯ 𝑧 − 𝑝 𝑁
= 𝐺𝑧 𝑁−𝑀 𝑘=1
𝑀
(𝑧 − 𝑧 𝑀)
𝑘=1
𝑁
(𝑧 − 𝑝 𝑘)
3.25
donde 𝐺 ≡ 𝑏0 𝑎0.
Las raíces del numerador son los ceros, z = 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧 𝑀. Las raíces del
denominador son los polos 𝑧 = 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝 𝑁.
Polos y ceros

Ejemplo 3.15: Determine el diagrama de polos y ceros de la señal 𝑥 𝑛 =
𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 , 𝑎 > 0
Solución: A partir de la tabla de pares de transformadas tenemos
𝑋 𝑧 =
1
1 − 𝑎𝑧−1
=
𝑧
𝑧 − 𝑎
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎
𝑋 𝑧 tiene un cero en 𝑧 = 0 y un polo en 𝑝1 = 𝑎. El diagrama de polos y
ceros es:
Observe que el polo 𝑝1 = 𝑎 no está
incluido en la 𝑅𝑂𝐶, ya que la
transformada 𝑍 no converge en un polo.
Polos y ceros
Im 𝑧
Re 𝑧
𝑅𝑂𝐶
𝑎

Ejemplo 3.16: Determine el diagrama de polos y ceros de la señal
𝑥 𝑛 =
𝑎 𝑛, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀 − 1
0, en otro caso
donde 𝑎 > 0.
Solución: La transformada 𝑍 es
𝑋 𝑧 =
𝑛=0
𝑀−1
𝑎𝑧−1 𝑛 =
1 − 𝑎𝑧−1 𝑀
1 − 𝑎𝑧−1
=
𝑧 𝑀 − 𝑎 𝑀
𝑧 𝑀−1 𝑧 − 𝑎
Dado que 𝑎 > 0, la ecuación 𝑧 𝑀
= 𝑎 𝑀
tiene 𝑀 raíces en
𝑧 𝑘 = 𝑎𝑒 𝑗2𝜋𝑘/𝑀 𝑘 = 0,1, … , 𝑀 − 1
El cero 𝑧0 = 𝑎 cancela el polo en 𝑧 = 𝑎. Por lo tanto
𝑋 𝑧 =
𝑧 − 𝑧1 𝑧 − 𝑧2 ⋯ 𝑧 − 𝑧 𝑀−1
𝑧 𝑀−1
3.26
Polos y ceros

Ejemplo 3.16:
(3.26) tiene 𝑀 − 1 ceros y 𝑀 − 1 polos. Para 𝑀 = 8
Observe que la 𝑅𝑂𝐶 es el plano 𝑍 completo, excepto 𝑧 = 0, porque los 𝑀 −
1 polos están ubicados en el origen.
Polos y ceros
Im 𝑧
Re 𝑧
𝑎
𝑧 = 𝑎𝑀 − 1
polos

Ejemplo 3.16: Determine la transformada 𝑍 y la señal que corresponda al
diagrama de polos y ceros de la figura siguiente
Solución: Tiene dos ceros (𝑀 = 2) en 𝑧1 = 0 y 𝑧2 = 𝑟 cos 𝜔0; dos polos
𝑁 = 2 en 𝑝1 = 𝑟𝑒 𝑗𝜔0 y 𝑝2 = 𝑟𝑒−𝑗𝜔0.
Polos y ceros
Im 𝑧
Re 𝑧
𝑅𝑂𝐶
𝜔0
𝑧1
𝜔0
𝑟
𝑧2
𝑝1
𝑝2

Polos y ceros
Ejemplo 3.16:
Sustituyendo estas relaciones en (3.25) obtenemos
𝑋 𝑧 = 𝐺
𝑧 − 𝑧1 𝑧 − 𝑧2
𝑧 − 𝑝1 𝑧 − 𝑝2
= 𝐺
𝑧 𝑧 − 𝑟 cos 𝜔0
𝑧 − 𝑟𝑒 𝑗𝜔0 𝑧 − 𝑟𝑒−𝑗𝜔0
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑟
Expandiendo los binomios y usando la identidad de Euler, obtenemos
𝑋 𝑧 = 𝐺
1 − 𝑟𝑧−1
cos 𝜔0
1 − 2𝑟𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑟2 𝑧−2
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑟
Inspeccionando la tabla de pares de transformadas, obtenemos la señal
𝑥 𝑛 = 𝐺 𝑟 𝑛
cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛

La 𝑇𝑍 de 𝑋 𝑧 es una función compleja de la variable compleja 𝑧 = ℜ 𝑧 +
𝑗ℑ 𝑧 . 𝑋 𝑧 es el modulo de 𝑋 𝑧 , es una función real y positiva de 𝑧. Dado
que 𝑧 representa un punto en el plano complejo, 𝑋 𝑧 es una función
bidimensional y describe a una “superficie”.
Considera la función
𝑋 𝑧 =
𝑧−1 − 𝑧−2
1 − 1.2732𝑧−1 + 0.81𝑧−2
su gráfica bidimensional es:
Polos y ceros

Código en Matlab:
N=500;
Re_l=-10;
Re_h=10;
Im_l=-10;
Im_h=10;
a= Re_l : (Re_h - Re_l)/N : Re_h - (Re_h - Re_l)/N;
b= Im_l : (Im_h - Im_l)/N : Im_h - (Im_h - Im_l)/N;
Xz=zeros(N);
for x=1:N
for y=1:N
Xz(x,y)=((a(x)+i*b(y))^(-1)-((a(x)+i*b(y))^(-2)))/(1-1.2732*(a(x)+i*b(y))^(-1)
+0.81*(a(x)+i*b(y))^(-2));
end
End
mesh(a,b,abs(Xz))
Polos y ceros

El comportamiento de una señal en el dominio del tiempo depende, en mayor
medida, de la posición de sus polos en el dominio de la frecuencia.
Sea una señal real con transformada z con un polo real
𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛
𝑢 𝑛
𝑧
𝑋 𝑧 =
1
1 − 𝑎𝑧−1
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎
Donde 𝑝1 = 𝑎 sobre el eje real y 𝑧1 = 0, su comportamiento tanto en el
tiempo como en la frecuencia
Comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales

La señal es decreciente si el polo se encuentra dentro de la circunferencia
unidad. Si esta de lado derecho, sus valores son positivos, si se encuentra
del lada izquierdo, es una señal oscilante

Cuando el polo de la circunferencia unidad, la señal tiene un valor constante
positivo en caso de que este de lado derecho; y es oscilatorio contante si el
polo está de lado izquierdo.

Cuando el polo esta fuera de la circunferencia unidad, la señal es creciente
positiva si el polo esta a la derecha. Cuando esta a la izquierda, es creciente
oscilatoria.

Sea una señal real con un polo real doble tiene la forma
𝑥 𝑛 = 𝑛𝑎 𝑛
𝑢(𝑛)
Cuando los polos están dentro de la circunferencia unidad

Cuando los polos están sobre la circunferencia unidad
Una señal con dos polos sobre la circunferencia unidad no está acotada.

Cuando los polos están fuera de la circunferencia unidad

Un señal con un par de polos conjugados complejos da el siguiente
comportamiento.
La señal tiene una envolvente decreciente. La distancia 𝑟 de los polos
respecto del origen, determina la envolvente de la señal sinusoidal y su
ángulo con el eje real positivo es la frecuencia relativa

Observe que la amplitud de la señal es creciente si 𝑟 > 1, constante si 𝑟 = 1
(señales sinusoidales) y decreciente si 𝑟 < 1.

Comportamiento de una señal con una pareja de polos dobles sobre la
circunferencia unidad.

En resumen, las señales reales causales con polos reales simples o parejas
de polos complejos conjugados simples, que se encuentran dentro o sobre
las circunferencia unidad, siempre están acotadas en amplitud. Además, una
señal con un polo (o una pareja de polos complejos conjugados) próximo al
origen decrece mas rápidamente que una asociada con un polo próximo (o
interior) a la circunferencia unidad. Por tanto, el comportamiento en el tiempo
de una señal depende fuertemente de la ubicación de sus polos respecto a la
circunferencia unidad.
Los ceros afectan al comportamiento de una señal aunque no de manera tan
significativa como los polos. Por ejemplo, en el caso de señales sinusoidales,
la presencia y la posición de los ceros solo afecta a su fase.

La respuesta de un sistema a una secuencia 𝑥(𝑛) se puede obtener con la
convolución de la secuencia 𝑥(𝑛) con la respuesta al impulso unitario del
sistema.
𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ(𝑛)
En el dominio de Z,
𝑌 z = 𝑋 z 𝐻 z 3.26
Por lo tanto
𝐻 𝑧 =
𝑌 𝑧
𝑋 𝑧
3.27
Función de transferencia de un sistema LTI

Donde la 𝑇𝑍 de la función de transferencia es
𝐻 𝑧 =
𝑛=−∞
∞
ℎ 𝑛 𝑧−𝑛 3.28
Expresado mediante una ecuación en diferencias de coeficientes constantes
𝑦 𝑛 = −
𝑘=1
𝑁
𝑎 𝑘 𝑦 𝑛 − 𝑘 +
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 3.29
Por la propiedad del desplazamiento en el tiempo
𝑌 𝑧
𝑋 𝑧
= 𝐻 𝑧 =
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑧−𝑘
1 + 𝑘=1
𝑁
3.30

Un caso particular es cuando 𝑎 𝑘 = 0, para 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁
𝐻 𝑧 =
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑧−𝑘 =
1
𝑧 𝑀
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑧 𝑀−𝑘 3.31
Se dice que este es un sistema de solo ceros. Un sistema de este tipo tiene
una respuesta al impulso de duración finita, FIR.
Por el contrario, para el caso particular es cuando bk = 0, para 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑀
𝐻 𝑧 =
𝑏0
1 + 𝑘=1
𝑁
=
𝑏0 𝑧 𝑁
𝑘=0
𝑁
𝑎 𝑘 𝑧 𝑁−𝑘
, 𝑎0 ≡ 1 3.32

Este sistema tiene solo polos, por consecuencia su respuesta al impulso es
de duración infinita, IIR.
Generalizando, cualquier sistema que contiene tanto ceros como polos no
triviales, se dice que es un sistema IIR.

Ejemplo 3.17: Determine la función de transferencia y la respuesta al
impulso unitario del sistema descrito por la siguiente ecuación en
diferencias
𝑦 𝑛 =
1
2
𝑦 𝑛 − 1 + 2𝑥 𝑛
Solución: La transformada 𝑍 de la ecuación en diferencias es
𝑌 𝑧 =
1
2
𝑧−1 𝑌 𝑧 + 2𝑋 𝑧
Por tanto, la función de transferencia es
𝐻 𝑧 =
𝑌 𝑧
𝑋 𝑧
=
2
1 −
1
2
𝑧−1

Ejemplo 3.17:
El sistema tiene un polo en 𝑧 =
1
2
y un cero en el origen. Utilizando la tabla
de pares de transformadas, obtenemos la transformada inversa que es la
respuesta al sistema
ℎ 𝑛 = 2
1
2
𝑛
𝑢 𝑛

3.3.1 La transformada 𝑍 𝑋 𝑧 de una señal real 𝑥 𝑛 incluye una pareja de
ceros complejos conjugados y una pareja de polos complejos conjugados.
¿Qué ocurre con estas parejas si multiplicamos 𝑥 𝑛 por 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛?
(Consejo: utilice el teorema del cambio de escala en el dominio 𝑧.)
Ejercicios de sección

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