1. SOLUCIÓN Y RÚBRICA
Primera Evaluación de Algebra Lineal
TEMA 1 (12 puntos)
Sea  RCV 1
 el espacio vectorial de todas las funciones continuas en el conjunto de
los reales R , que poseen primera derivada que es también continua en R . Se definen
los subconjuntos de V :
      02/  xyxyVxyW
      xxyxyVxyH  2/
a) Determine si W y H son subespacios de V [8 PUNTOS]
b) Suponga que H, 21  . ¿Se puede afirmar que W 21  ? [4 PUNTOS]
Solución:
a)
(i) W , pues WxOy  )( , ya que     02  xyxy pues
  0)(0  xyxy
(ii) Sean )(1 xy , Wxy )(2 entonces
    02 11  xyxy y     02 22  xyxy , sumando tenemos
        022 2211  xyxyxyxy esto es
        022 2121  xyxyxyxy
     02 21
!
21  yyxyy
Por lo tanto
Wyy  21
(iii) Sean  y Wxy )( entonces     02  xyxy multiplicando por
 , obtenemos
    02  xyxy 
Lo que equivale a
       0y2  xxy 
Por lo tanto   Wxy )(
 W es subespacio vectorial de V

2. RUBRICA
DEFICIENTE Vacío o desarrollo incoherente, escribe la
definición de subespacio.
0 - 1
REGULAR Escribe la caracterización de subespacio e intenta
aplicarla pero incompleto
2
BUENO Aplica correctamente la caracterización pero le
falta probar uno de los ítems o falla en alguno
3 - 4
EXCELENTE Demostración correcta completa 5
iv)       xxyxyVxyH  2/ no es subespacio vectorial pues no tiene neutro
de V , la función )(xOy  , pues     02  xyxy y no cumple con
    xxyxy  2
De otro modo
Supongamos que H es subespacio de W:
Si H,y entonces     xxyxy  2 y también H, yy por lo tanto
       xxyyxyy  2´        xxx  02´0 x 0
lo que es una contradicción.
Por contraejemplo:
Sea x
exy 2
1
4
1
2
1 
 y x
exy 2
2 2
4
1
2
1 
 están en H, pues     xxyxy  2
Pero para 11 yy  tenemos que     xxyxy 22  .
RUBRICA
DEFICIENTE Vacío o desarrollo incoherente, intenta probar la uno de
los puntos de la caracterización de Subespacio.
0
REGULAR Aplica caracterización en búsqueda de probar pero no es
efectivo.
1
BUENO Aplica contraejemplo pero están mal elegidas las
funciones
2
EXCELENTE Demostración correcta completa por absurdo o por
contraejemplo
3
b) Suponga que H, 21  . ¿Se puede afirmar que W 21  ?
Solución:
Si, se puede afirmar, pues:
Sean H, 21  , esto es
    xxx  11 2´ 
    xxx  22 2´ 

3. Restando a ambos lados (operaciones en R)
        xxxxxx  22´´ 2121 
Por algebra de funciones
       02´ 2121  xx 
Por lo tanto
  W 21 
RUBRICA:
DEFICIENTE Vacío o desarrollo incoherente, 0
REGULAR Aplica el concepto de que las funciones están en
H
1-2
BUENO Resta con intención de probar pero falla en algo 3
EXCELENTE Demostración correcta completa 4

4. TEMA 2 (10 puntos)
Ratifique o rectifique las siguientes DEFINICIONES
DEFINICIÓN RATIFIQUE O RECTIFIQUE
Se dice que los vectores
nv,,v,v,v 321 de un espacio vectorial
V son linealmente dependientes, si y
sólo si, al menos uno de ellos se puede
escribir como combinación lineal de
los 1n vectores restantes
Se dice que los vectores nv,,v,v,v 321
de un espacio vectorial V son
linealmente dependientes, si existen
escalares no todos iguales a
cero, tales que:
Sean V y W espacios vectoriales
sobre un campo K . Se dice que
WV:T  es una transformación
lineal si se cumple que:
:
     212121 vTvTvvTVv,v 
     212121 vTvTvvTVv,v 
Sean V y W espacios vectoriales sobre
un campo K . Se dice que la función
WV:T  es una transformación lineal
si se cumple que:
:
     212121 vTvTvvTVv,v 
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesos
coherentes o deja el
espacio vacío, o sólo
califica la proposición
o pone ejemplos
Trata de confirmar
cualquiera de ambas
definiciones pero no lo
hace de manera
explícita.
Confirma
correctamente una de
las definiciones,
cualquiera de ellas,
pero la otra la plantea
de manera errónea.
Planteamiento, cálculo
correcto y conclusión
adecuada
0-1 2 – 5 6 - 9 10

5. TEMA 3 (10 puntos)
Demuestre la siguiente proposición: “Si mxnMA , entonces la imagen de A es igual al
espacio columna de A”
SOLUCIÓN:
Denotemos la imagen de A como  Im A y el espacio columna de A como A
EC .
Probaremos primero que  Im A
A EC y luego que  ImA
EC A .
i. Sea mxnMA . Suponga que  Imy A , entonces existe un vector x n
 tal
que y xA . Es decir
1 111 12 1
2 21 22 2 2
1 2
n
n
m m mnm n
y xa a a
y a a a x
a a ay x
    
    
    
    
       
    
.
Ahora realicemos el producto de matrices indicado y démosle una forma
conveniente.
11 1 12 2 1 11 11 1 12 2
2 21 1 22 2 2 21 1 22 2 2
2 1 2 21 1 2 2
n n n n
n n n n
m m mm m m n
a x a x a x a xy a x a x
y a x a x a x a x a x a x
y a x a xa x a x a x
        
      
            
      
                    
111 12
21 22 2
1 2
1 2
mn n
n
n
n
m m mn
a x
aa a
a a a
x x x
a a a
 
 
 
 
  
 
    
    
       
    
         
     
Observemos que y puede ser expresado como un combinación lineal de las
columnas de A. Por lo tanto, y A
EC , de manera que  Im A
A EC .
ii. Suponga ahora que A
ECy , entonces y se puede ser expresar como un
combinación lineal de las columnas de A , es decir
11 11 12
2 21 22 2
1 2
1 2
n
n
n
m m m mn
ay a a
y a a a
C C C
y a a a
      
      
         
      
             
       
Ahora realicemos las operaciones y démosle a la expresión una estructura
conveniente.
1 11 1 12 2 11 11 1 12 2
2 21 1 22 2 2 21 1 22 2 2
2 1 2 2 1 1 2 2
n n n n
n n n n
m m m mn n m m
a C a C a C a Cy a C a C
y a C a C a C a C a C a C
y a C a C a C a C a C
        
      
            
      
                      
111 12 1
21 22 2 2
1 2
m n
n
n
m m mn n
a C
Ca a a
a a a C
a a a C
 
 
 
 
   
  
  
  
  
   
  

6. Si decimos que
1
2
n
C
C
C
 
 
 
 
  
 
x , entonces y xA . Así  Im Ay , lo que prueba que
 ImA
EC A .
Por lo tanto, por i y ii,  Im A
A EC .
RUBRICA:
DEFICIENTE Vacío o intenta escribir definiciones o escribe un ejemplo 0 - 2
REGULAR Escribe definiciones de imagen y espacio columna de una
matriz, intenta escribir pasos de la demostración, pero no
sabe cómo trabajarlos.
3 - 5
BUENO Escribe definiciones correctas y desarrolla una metodología
apropiada para la demostración pero no la completa.
6 - 9
EXCELENTE Demostración correcta completa 10

7. TEMA 4 (14 puntos)
Califique como verdadera o falsa cada proposición que se enuncia a continuación.
Justifique su respuesta.
a) Sean H y W subespacios de un espacio vectorial V . Si WHV  , entonces
WHV  [7 PUNTOS]
FALSO.
Sea V= ℝ2
y sea H = { v ϵ ℝ2
/ v = ( x, 0 ); x ϵ ℝ} y W { v ϵ ℝ2
/ v = ( 0, y ); y ϵ ℝ}.
Por definición:
H⊕ W { v ϵ ℝ2/ v = h + w; h ϵ H y w ϵ W}
Esto es: v = ( x,0 ) + ( 0,y ), así se puede escribir a todo vector de ℝ2
. Mientras que la
unión de H y W tendría a vectores de forma ( x, 0 ) o (0, y), lo cual no es ℝ2
.
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesos
coherentes o deja el
espacio vacío, o sólo
califica la proposición.
Trata de explicar la
calificación correcta de
la proposición pero no
lo hace de manera
convincente.
Confirma
correctamente la
proposición, pero el
contraejemplo no es
bien sustentado.
Planteamiento, cálculo
correcto y conclusión
adecuada
0-1 2 - 3 4 - 6 7
b) Sean 321 v,v,v vectores de un espacio vectorial V . Si 321 u,u,u son linealmente
independientes y son, respectivamente, los vectores coordenadas de 321 v,v,v respecto
de una base B de V entonces 3Vdim [7 PUNTOS]
VERDADERO.
Suponga que la dimensión de V sea igual a 2. Es decir B una base de V, con:
B = {w1,w2}. Esto es:
u1=[v1]B =( a1, a2 ) ; u2=[v2]B =( b1, b2 ) ; u3=[v3]B =( c1, c2 ), esto implica que:
{( a1, a2 ) , ( b1, b2 ) , ( c1, c2 )} es un conjunto linealmente dependiente contradiciendo
la premisa.
Por otro lado si se considera que:
u1=[v1]B =( a1, a2, …an) ; u2=[v2]B =( b1, b2,…bn) ; u3=[v3]B =( c1, c2, …..cn), y por
hipótesis, el conjunto:

8. {( a1, a2, …an),( b1, b2,…bn),( c1, c2, …..cn)}
Es linealmente independiente, por lo se puede concluir que la dimensión debe ser de al
menos 3, ya que tenemos tres vectores linealmente independientes, formados con n
elementos.
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No realiza procesos
coherentes o deja el
espacio vacío, o sólo
califica la proposición.
Trata de explicar la
calificación correcta de
la proposición pero no
lo hace de manera
convincente.
Confirma
correctamente la
proposición, pero el
contraejemplo no es
bien sustentado o la
generalización no es
correcta.
Planteamiento, cálculo
correcto y conclusión
adecuada
0-1 2 - 3 4 - 6 7

9. TEMA 5 (14 puntos)
Sea el espacio vectorial real 22xMV  . Sean los subespacios de V :












 badbac/M
dc
ba
H x 2221

















 

12
22
15
11
2 ,genH












 dbca/M
dc
ba
H x 583223
a) Encuentre una base y determine la dimensión de 21 HH  [5 PUNTOS]
b) Determine si 31 HH  es un subespacio de V . Justifique su respuesta [4 PUNTOS]
c) ¿ 32
419
58
HH 




 
? Justifique su respuesta [5 PUNTOS]
SOLUCIÓN:
a)
por lo tanto

10. 

b)

Si se reemplaza en la condición de , se determina que 
a=3(2a+b)-8(b)-5(a-b)
es un subespacio vectorial de
c)

11. El sistema tiene solución
Literal Grado de cumplimiento Puntaje
a
Deja el literal vacío o escribe incoherencias 0
Determina las bases de los dos subespacios 1
Plantea correctamente el sistema de ecuaciones pero comete errores de
cálculo
2-3
Plantea y resuelve correctamente el sistema de ecuaciones,
encontrando la intersección de los subespacios pero no define la base y
dimensión de la intersección
4
Plantea y resuelve correctamente el sistema de ecuaciones,
encontrando la intersección de los subespacios, base y dimensión
5
b
Deja el literal vacío o escribe incoherencias 0
Sólo plantea la unión de los subespacios 1
Plantea la unión de los subespacios pero determina que la unión no es
subespacio
2-3
Plantea la unión de los subespacios y determina que sí es subespacio 4
c
Deja el literal vacío o escribe incoherencias 0
Expresa la suma como el espacio generado por la unión de los dos
subespacios pero no resuelve el sistema
1
Resuelve el sistema pero no concluye si la matriz es elemento de la
suma
2-3
Resuelve el sistema y determina que la matriz es elemento de la suma 4

12. TEMA 6 (10 puntos)
Sea 22
RR:f  una función con regla de correspondencia:














xy
yx
y
x
f
2
a) Pruebe que f es un operador lineal en 2
R [4 PUNTOS]
b) Suponga que a cada punto de la recta definida por la ecuación 42  yx se le aplica
el operador f . Encuentre la ecuación del nuevo lugar geométrico y grafíquelo
[6 PUNTOS]
ℝ
Sean y entonces:
ℝ ℝ
Suponga que a cada punto de la recta definida por la ecuación y se
le aplica el operador . Encuentre la ecuación del nuevo lugar geométrico y
Grafíquelo (6 puntos):
ℝ siendo la recta con ecuación y , entonces:
Por lo que la ecuación paramétrica de la imagen de la recta estará dada por:
y
Criterio Puntaje
Demuestra correctamente uno un axioma de la definición de
transformación lineal
2
Demuestra los dos axiomas de la definición de transformación lineal 2

13. Al despejar el parámetro en ambas ecuaciones e igualarlas, se tiene que otra
representación de la imagen de la recta está dada por:
y
Criterio Puntaje
Expresa un punto cualquiera P de la recta dada en términos de un
parámetro
1
Aplica la transformada dada al vector OP 2
Expresa, ya sea en forma paramétrica o en la forma general, la ecuación de
la recta
1
Grafica tanto la recta dada como la imagen de la recta 2