1) Se resuelven 5 problemas de transformadas de Laplace directas e inversas. Se aplican propiedades como linealidad y cambio de variable para calcular las transformadas. 2) Se usa fraccion parcial para resolver una transformada inversa compleja con múltiples polos. 3) La solución incluye los pasos algebraicos para determinar los coeficientes de la fracción parcial.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DELPODER POPULAR PARA LA
EDUCACION UNIVERSITARIA, CIENCIAS Y
TECNOLOGIA
I.U.P “SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION-MATURIN
Asignación 1er corte
Transformada de Laplace
Profesor: Bachiller:
ing. Cristóbal Espinoza Saúl Parra Ci.V24504340
Febrero 2019

2. 1) 𝑹( 𝒕) = 𝟐𝒔𝒆𝒏( 𝒕)+ 𝟑𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒕)
Usar propiedad de la linealidad de la transformada de Laplace:
Para funciones f(t), g(t) y constantes a, b: 𝐿{ 𝑎. 𝑓( 𝑡) + 𝑏. 𝑔(𝑡)} = 𝑎. 𝐿{ 𝑓(𝑡)} 𝑎. 𝐿{ 𝑔(𝑡)}
𝑅( 𝑠) = 𝐿[ 𝑓(𝑥)] = 2𝐿|( 𝑠𝑒𝑛𝑡) + 3𝐿|(𝑐𝑜𝑠2𝑡)
Para 𝐿{ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)} 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 =
𝑎
𝑠2+𝑎2
2𝑠𝑒𝑛( 𝑡) = 2.
1
𝑠2 + 1
Para 𝐿{ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)} 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 =
𝑠
𝑠2+𝑎2
3𝐿( 𝑐𝑜𝑠2𝑡) = 3.
𝑠
𝑠2 + 22
𝑅( 𝑠) = 2.
1
𝑠2 + 1
+ 3.
𝑠
𝑠2 + 22
𝑅( 𝑠) =
2
𝑠2 + 1
+
3𝑠
𝑠2 + 4
𝟐) 𝒉( 𝒕) = 𝒆−𝟐𝒕
. 𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒕)
Se aplica la regla de la transformada: si L{f(t)} = F(s)= entonces L{ 𝑒 𝑎𝑡 𝑓( 𝑡)} = 𝐹( 𝑠) = 𝐹(𝑠 − 𝑎)
Para 𝑒−2𝑡
. 𝑠𝑒𝑛(5𝑡): h(t)= 𝑠𝑒𝑛(5𝑡) , a = -2
Se usa siguiente formula tabulada en las tablas de transformadas:
𝐿{ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)}=
𝑎
𝑠2+𝑎2
, a= 5
𝐻( 𝑠) = 𝐿[ℎ( 𝑡)] = 𝐿[ 𝑒−2𝑡
𝑠𝑒𝑛(5𝑡)]
𝐹( 𝑠) = 𝐹(𝑠 − 𝑎)
𝐻( 𝑠) =
5
𝑠2 + 52
=
5
(𝑠 − (−2))2 + 25
=
5
(𝑠 + 2)2 + 25
Se aplica producto notable para simplificar la expresión (𝑠 + 2)2
𝐻( 𝑠) =
5
𝑠2 + 4𝑠 + 4 + 25

3. 𝟑) 𝒒( 𝒕) = 𝟒𝒄𝒐𝒔 𝟐
(𝟑𝒕)
𝑄( 𝑠) = 4𝐿|(𝑐𝑜𝑠2
(3𝑡))
Usando la siguiente identidad: 𝑐𝑜𝑠2( 𝑥) =
1
2
+
1
2
𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
𝑐𝑜𝑠2( 𝑥) =
1
2
+
1
2
𝑐𝑜𝑠(6𝑡)
4(
1
2
+
1
2
𝑐𝑜𝑠(6𝑡) = 2 + 2𝑐𝑜𝑠(6𝑡)
𝑄( 𝑠) = 𝐿|{2 + 2𝑐𝑜𝑠(6𝑡)}
Usar propiedad de la linealidad de la transformada de Laplace:
Para funciones f(t), g(t) y constantes a, b: 𝐿{ 𝑎. 𝑓( 𝑡) + 𝑏. 𝑔(𝑡)} = 𝑎. 𝐿{ 𝑓(𝑡)} 𝑎. 𝐿{ 𝑔(𝑡)}
𝐿|{2} + 2𝐿|{𝑐𝑜𝑠(6𝑡)}
Se usa siguiente formula tabulada en las tablas de transformadas:
𝐿|{2}| =
𝑎
𝑠
=
2
𝑠
Para 𝐿{ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)} 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 =
𝑠
𝑠2+𝑎2
𝐿|{ 𝑐𝑜𝑠(6𝑡)}| =
𝑠
𝑠2 + 62
=
𝑠
𝑠2 + 36
𝑄( 𝑠) =
2
𝑠
+ 2.
𝑠
𝑠2 + 36
𝑄( 𝑠) =
2
𝑠
+
2𝑠
𝑠2 + 36
𝟒) 𝒇( 𝒕) = 𝒆−𝟑𝒕
.(𝒕 − 𝟐)
Se aplica la regla de la transformada: si L{f(t)} = F(s)= entonces L{ 𝑒 𝑎𝑡 𝑓( 𝑡)} = 𝐹( 𝑠) = 𝐹(𝑠 − 𝑎)
Para: 𝑒−3𝑡
. ( 𝑡 − 2): 𝑓( 𝑡) = ( 𝑡 − 2), 𝑎 = 3
𝐿|{𝑡}| =
1
𝑆2
𝐿|{2}| =
𝑎
𝑠
=
2
𝑠

4. 𝐹( 𝑠) =
1
𝑠2
−
2
𝑠
=
1
(𝑠 − (−3))
2
−
2
(𝑠 − (−3))
𝐹( 𝑠) =
1
(𝑠 + 3)2
−
2
𝑠 + 3
5) 𝑔( 𝑡) = 𝑒4𝑡[ 𝑡 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡)]
Se aplica la regla de la transformada: si L{f(t)} = F(s)= entonces L{ 𝑒 𝑎𝑡 𝑓( 𝑡)} = 𝐹( 𝑠) = 𝐹(𝑠 − 𝑎)
Para 𝑒4𝑡[ 𝑡 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡)] : f(t)= [ 𝑡 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡)] , a = 4
𝐿| 𝑡| − 𝐿|cos(𝑡)|
Usar propiedad de la linealidad de la transformada de Laplace:
Para funciones f(t), g(t) y constantes a, b: 𝐿{ 𝑎. 𝑓( 𝑡) + 𝑏. 𝑔(𝑡)} = 𝑎. 𝐿{ 𝑓(𝑡)} 𝑎. 𝐿{ 𝑔(𝑡)}
𝐿|{𝑡}| =
1
𝑆2
𝐿|cos( 𝑡)|= Para 𝐿{ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)} 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 =
𝑠
𝑠2+𝑎2
𝐿|cos( 𝑡)| =
𝑠
𝑠2 + 12
=
𝑠
𝑠2 + 1
𝐺( 𝑠) =
1
𝑠2
−
𝑠
𝑠2 + 1
𝐺( 𝑠) =
1
(𝑠 − 4)2
−
𝑠 − 4
((𝑠 − 4)2 + 1)
Transformadas inversas
3) 𝑝( 𝑠) =
1
𝑠2 − 4𝑠 + 5
𝐿−1
{
1
𝑠2 − 4𝑠 + 5
}
Se factoriza el denominador (𝑠2
− 4𝑠 + 5)

5. 𝐿−1
{
1
(𝑠 − 2)2 + 1
}
Aplicar la regla de la transformada inversa: si 𝐿−1{ 𝐹(𝑠)} = 𝑓( 𝑡) entonces 𝐿−1{ 𝐹(𝑠 − 𝑎)} =
𝑒 𝑎𝑡
𝑓(𝑡)
Por lo tanto
𝐿−1
{
1
(𝑠 − 2)2 + 1
} = 𝑒2𝑡
𝐿−1
{
1
𝑠2 + 1
}
Usando la tabla de trasformadas donde:
𝐿−1
{
𝑎
(𝑠2 + 12)
} = 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)
Entonces
𝐿−1
{
1
(𝑠2 + 12)
} = 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
Por lo tanto la transformada resultante es:
𝑒2𝑡
𝑠𝑒𝑛(𝑡) .
7)
−𝑠
( 𝑠 − 4)2(𝑠 − 5)
Tomar fracción parcial de:
−𝑠
( 𝑠 − 4)2(𝑠 − 5)
=
5
𝑠 − 4
+
4
( 𝑠 − 4)2
−
5
𝑠 − 5
Crear un modelo para la fracción parcial usando el denominador ( 𝑠 − 4)2( 𝑠 − 5)
Para ( 𝑠 − 4)2
sumar las fracciones parciales
𝑎𝑜
𝑠−4
+
𝑎1
( 𝑠−4)2
Para ( 𝑠 − 5) sumar las fracciones parciales
𝑎2
𝑠−5
−𝑠
( 𝑠 − 4)2(𝑠 − 5)
=
𝑎0
𝑠 − 4
+
𝑎1
( 𝑠 − 4)2
−
𝑎2
𝑠 − 5
Multiplicar la ecuación por el denominador
−𝑠( 𝑠 − 4)2( 𝑠 − 5)
( 𝑠 − 4)2(𝑠 − 5)
=
𝑎0( 𝑠 − 4)2( 𝑠 − 5)
𝑠 − 4
+
𝑎1( 𝑠 − 5)
( 𝑠 − 4)2
−
𝑎2( 𝑠 − 4)2( 𝑠 − 5)
𝑠 − 5
−𝑠 = 𝑎0( 𝑠 − 4)( 𝑠 − 5)+a1( 𝑠 − 5) + 𝑎2( 𝑠 − 4)2
Para a1 Sustituimos el valor de s por 4

6. 𝑎0( 𝑠 − 4)( 𝑠 − 5)+a1( 𝑠 − 5) + 𝑎2( 𝑠 − 4)2
−4 = −𝑎1
Simplificamos
𝑎1 = 4
Para a2 sustituir valor de s por 5
−5 = 𝑎0(5− 4)(5 − 5)+a1(5 − 5) + 𝑎2(5 − 4)2
𝑎2 = −5
Sustituir a1 y a2
Desarrollar ecuación
−𝑠 = 𝑎0(5− 4)(5− 5)+a1(5 − 5) + 𝑎2(5− 4)2
−𝑠 = 𝑎0𝑠2
− 5𝑠2
+44𝑠 + 9𝑎0𝑠 + 20𝑎0 − 100
Agrupando elemento tenemos que
−5 = 𝑠2
(𝑠2
− 5𝑠2
)+𝑠(44𝑠 + 9𝑎0𝑠) + 20𝑎0 − 100
Resolvemos
20𝑎0 − 100 =
𝑎0 =
100
20
= 5
−𝑠
( 𝑠 − 4)2(𝑠 − 5)
=
5
𝑠 − 4
+
4
( 𝑠 − 4)2
−
5
𝑠 − 5
𝐿−1
= {
5
𝑠 − 4
+
4
( 𝑠 − 4)2
−
5
𝑠 − 5
}
Usar propiedad de la linealidad de la transformada inversa de Laplace: para las funciones
f(s), g(s) y constante a,b: 𝐿−1{ 𝑎. 𝑓( 𝑠) + 𝑏. 𝑔(𝑠)} = 𝑎. 𝐿−1{ 𝑓(𝑠)} + 𝑏. 𝐿−1{ 𝑔(𝑠)}
= 𝐿−1
{
5
𝑠 − 4
} + 𝐿−1
{
4
( 𝑠 − 4)2
} − 𝐿−1
{
5
𝑠 − 5
}

7. Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de Laplace:
para una función f(t) y una constante a: 𝐿−1{ 𝑎. 𝑓(𝑡)} = 𝑎. 𝐿−1{ 𝑓(𝑡)}
5𝐿−1
{
1
𝑠 − 4
}
Usando la tabla de transformada inversas de Laplace tenemos que 𝐿−1
{
1
𝑠−𝑎
} = 𝑒 𝑎𝑡
5𝐿−1
{
1
𝑠−4
} = 5𝑒 𝑎𝑡
Para
𝐿−1
{
4
( 𝑠 − 4)2
}
Aplicar la regla de la transformada inversa: si 𝐿−1{ 𝐹(𝑠)} = 𝑓( 𝑡) entonces 𝐿−1{ 𝐹(𝑠 − 𝑎)} =
𝑒 𝑎𝑡
𝑓(𝑡)
Por lo tanto
𝐿−1
{
4
( 𝑠 − 4)2
} = 𝑒4𝑡
𝐿−1
{
4
( 𝑠)2
}
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de Laplace:
para una función f(t) y una constante a: 𝐿−1{ 𝑎. 𝑓(𝑡)} = 𝑎. 𝐿−1{ 𝑓(𝑡)}
4𝐿−1
{
4
( 𝑠)2
}
Usando la tabla de transformada inversas de Laplace tenemos que 𝐿−1
{
(𝑛!)
𝑠 𝑛+1
= 𝑡 𝑛
}
4𝐿−1
{
4
( 𝑠)2
} = 4𝑡
Por lo tanto tenemos
𝐿−1
{
4
( 𝑠 − 4)2
} = 4𝑒4𝑡
𝑡
Y por ultimo
𝐿−1
{
5
𝑠 − 5
}

8. Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de Laplace:
para una función f(t) y una constante a: 𝐿−1{ 𝑎. 𝑓(𝑡)} = 𝑎. 𝐿−1{ 𝑓(𝑡)}
5𝐿−1
{
1
𝑠 − 5
}
Usando la tabla de transformada inversas de Laplace tenemos que 𝐿−1
{
1
𝑠−𝑎
} = 𝑒 𝑎𝑡
𝐿−1
{
1
𝑠 − 5
} = 5𝑒5𝑡
Suma de transformadas
5𝑒 𝑎𝑡
+ 4𝑒4𝑡
𝑡+