Sección 2.6: Sistemas descritos mediante ecuaciones en diferencias

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NAYARIT
INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
UNIDAD 2
SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO
Solo poco podemos ver del futuro, pero lo suficiente
para darnos cuenta que hay mucho que hacer.
– Alan Turing

Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
Sistemas en tiempo discreto
Sistemas descritos mediante
ecuaciones en diferencias

Para los sistemas FIR, la salida 𝑦(𝑛) queda caracterizada por la convolución,
que además proporciona una forma para implementarla.
Su implementación consiste en sumadores, multiplicadores y un número finito
de posiciones de memoria.
Sin embargo, si el sistema es IIR, la implementación práctica mediante la
convolución sería imposible ya que requeriría un número infinito de
sumadores, multiplicadores y posiciones de memoria.
Para resolver este problema se describen los sistemas mediante ecuaciones
en diferencias.
Sistemas descritos mediante ecuaciones en diferencias
Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 3




1
0
)()()(
M
k
knxkhny




k
knxkhny )()()(

Para un sistema recursivo básico como este
𝑦 𝑛 = 𝑎𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛
Si evaluamos 𝑦 𝑛 para 𝑛 = 0 y 𝑛 = 1
obtenemos:
𝑦 0 = 𝑎𝑦 −1 + 𝑥 0
𝑦 1 = 𝑎𝑦 0 + 𝑥 1
𝑦 1 = 𝑎2
𝑦 −1 + 𝑎𝑥 0 + 𝑥 1
Generalizando
𝑦 𝑛 = 𝑎 𝑛+1 𝑦 −1 + 𝑎 𝑛 𝑥 0 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 1 + ⋯ + 𝑎𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛
O de forma mas compacta
𝑦 𝑛 = 𝑎 𝑛+1 𝑦 −1 +
𝑘=0
𝑛
𝑎 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 , 𝑛 ≥ 0
z-1
x(n) y(n)
a

La ecuación para el sistema recursivo consta de dos partes:
• El término 𝑦 −1 es la condición inicial con el que se resume toda la
actividad del sistema para tiempos de 𝑛 < 0. Si la entrada inicialmente
es cero, 𝑥 𝑛 = 0, entonces la respuesta del sistema solo depende de la
condición inicial. A esta respuesta se le llama respuesta para la
entrada nula o respuesta natural del sistema, 𝑦 𝑧𝑖 𝑛 . Para nuestro
ejemplo sería:
𝑦 𝑧𝑖 𝑛 = 𝑎 𝑛+1 𝑦 −1
Un sistema con respuesta natural puede producir salida sin estar
excitado. La respuesta natural es una característica propia del sistema.

La ecuación para el sistema recursivo consta de dos partes:
• El término 𝑘=0
𝑛
𝑎 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 es la respuesta del sistema y está definido
por 𝑦𝑧𝑠 𝑛 , denominada respuesta para el estado cero o respuesta
forzada. Para obtenerla, el estado inicial se forzó a cero. Para nuestro
ejemplo seria:
𝑦𝑧𝑠 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
𝑎 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 , 𝑛 ≥ 0
La respuesta forzada depende de la naturaleza del sistema y de la señal
de entrada.

La respuesta total del sistema, es la suma de la respuesta natural y la
respuesta forzada
𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑧𝑖 𝑛 + 𝑦𝑧𝑠 𝑛
La forma general para un sistema recursivo se puede escribir
𝑦 𝑛 = −
𝑘=1
𝑁
𝑎 𝑘 𝑦 𝑛 − 𝑘 +
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘
o de forma equivalente
𝑘=0
𝑁
𝑎 𝑘 𝑦 𝑛 − 𝑘 =
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 , 𝑎0 ≡ 1
Donde 𝑵 es el orden de la Ecuación en Diferencias del sistema

Tomando en cuenta las condiciones iniciales, un Sistema Recursivo es
lineal si satisface la siguientes condiciones
1. La respuesta total es igual a la suma de la respuesta a la entrada nula
y en estado nulo, es decir 𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑧𝑖 𝑛 + 𝑦𝑧𝑠 𝑛
2. El principio de superposición se aplica a la respuesta en estado nulo
(lineal en estado nulo).
3. El principio de superposición se aplica a la respuesta a la entrada nula
(lineal en entrada nula).
Un sistema que no satisfaga los tres requisitos es por definición no lineal.

Un Sistema Recursivo es invariante en el tiempo si sus coeficientes 𝒂 𝒌 y
𝒃 𝒌 permanecen contantes
𝑘=0
𝑁
𝑎 𝑘 𝑦 𝑛 − 𝑘 =
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 , 𝑎0 ≡ 1
De otra forma, el sistema será variante en el tiempo.

Un Sistema Recursivo es estable si la entrada 𝑥 𝑛 y la condición inicial
están acotadas, y la respuesta total esta también acotada:
Un Sistema Recursivo descrito por una ecuación en diferencias lineal de
coeficientes constantes es lineal e invariante en el tiempo y es estable
(BIBO) si y solo si para toda entrada acotada y toda condición inicial la
respuesta total del sistema esta acotada.

Solución por método directo
El objetivo es encontrar una forma explícita de la salida 𝑦 𝑛 de un sistema
recursivo lineal invariante en el tiempo dada una ecuación en
diferencias de coeficientes constantes lineal como relación de entrada-
salida del mismo. El método que se estudiará es el llamado método
directo.
Encontrar 𝑦(𝑛), 𝑛 ≥ 0, para una 𝑥(𝑛), 𝑛 ≥ 0 y un conjunto de condiciones
iniciales.
La solución total se obtiene en dos partes:
𝑦(𝑛) = 𝑦ℎ(𝑛) + 𝑦𝑝(𝑛)
𝑦ℎ(𝑛) – Solución homogénea ó complementaria
𝑦𝑝(𝑛) – Solución particular

Solución homogénea
La solución homogénea del método directo, resuelve el término de la
izquierda en la ecuación
𝑘=0
𝑁
𝑎 𝑘 𝑦 𝑛 − 𝑘 =
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 , 𝑎0 ≡ 1
El procedimiento es muy similar al utilizado en la resolución de ecuaciones
diferenciales de coeficientes constantes.
Primero, hacemos la entrada igual a cero, 𝑥 𝑛 = 0, entonces queda
𝑘=0
𝑁
𝑎 𝑘 𝑦 𝑛 − 𝑘 = 0

Ahora, supongamos que si la entrada fuera exponencial, esperaríamos que
la salida tuviese un comportamiento exponencial, de la forma 𝒚 𝒏 = 𝝀 𝒏.
Sustituyendo en la ecuación anterior
𝑘=0
𝑁
𝑎 𝑘 𝜆 𝑛−𝑘 = 0
o de forma equivalente
𝜆 𝑛−𝑁
𝜆 𝑁
+ 𝑎1 𝜆 𝑁−1
+ 𝑎2 𝜆 𝑁−2
+ ⋯ + 𝑎 𝑁−1 𝜆 + 𝑎 𝑁 = 0
Este polinomio es llamado polinomio característico del sistema, donde 𝑵
es la cantidad de raíces que denotamos como 𝝀 𝟏, 𝝀 𝟐, … , 𝝀 𝑵

La solución mas general para la ecuación en diferencias homogénea es
𝑦ℎ 𝑛 = 𝐶1 𝜆1
𝑛
+ 𝐶2 𝜆2
𝑛
+ ⋯ + 𝐶 𝑁 𝜆 𝑁
𝑛
donde 𝑪 𝟏, 𝑪 𝟐, … , 𝑪 𝑵 son coeficientes ponderados.
Estos coeficientes se determinan a partir de las condiciones iniciales
especificadas para el sistema. Para 𝒙 𝒏 = 𝟎, se puede usar la ecuación
anterior para obtener la respuesta a la entrada nula del sistema.

Ejemplo 2.11: (Proakis, pág. 88) Determinar la solución homogénea al
sistema descrito por la ecuación en diferencias de primer orden
𝑦 𝑛 + 𝑎1 𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥 𝑛
Solución: Primero hacemos 𝒙(𝒏) = 𝟎 y 𝒚 𝒉(𝒏) = 𝝀 𝒏
y sustituimos
𝜆 𝑛
+ 𝑎1 𝜆 𝑛−1
= 0
𝜆 = −a1
Ahora, la solución a la ecuación en diferencias homogénea es:
𝑦ℎ 𝑛 = 𝐶𝜆 𝑛 = 𝐶 −𝑎1
𝑛
Para determinar la contante 𝐶, evaluamos para 𝒙(𝒏) = 𝟎 y 𝒏 = 𝟎 en la
ecuación original
𝑦 𝑛 + 𝑎1 𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥 𝑛

Ejemplo 2.11: (Proakis, pág. 88)
Dando como resultado
𝑦 0 + 𝑎1 𝑦 −1 = 0
𝑦 0 = −𝑎1 𝑦 −1
Ahora, evaluando en la ecuación homogénea para 𝑥(0) = 0
𝑦ℎ 𝑛 = 𝐶𝜆 𝑛
𝑦ℎ 0 = 𝐶
Entonces
𝐶 = −𝑎1 𝑦 −1
Por tanto, la respuesta a la entrada nula, 𝑥 0 = 0 es
𝑦 𝑧𝑖 𝑛 = −𝑎1
𝑛+1 𝑦 −1 , 𝑛 ≥ 0

Ejemplo 2.12: (Proakis, pág. 88) Determinar la respuesta a la entrada nula
del sistema descrito por la ecuación en diferencias homogénea de segundo
orden:
𝑦 𝑛 − 3𝑦 𝑛 − 1 − 4𝑦 𝑛 − 2 = 0
Solución: Primero suponemos 𝑦ℎ(𝑛) = 𝜆 𝑛 y sustituimos
𝜆 𝑛
− 3𝜆 𝑛−1
− 4𝜆 𝑛−2
= 0
𝜆 + 1 𝜆 − 4 = 0
El sistema tiene raíces en: 𝜆 = −1 y 𝜆 = 4, sustituimos en la ecuación
homogénea general
𝑛
+ 𝐶2 𝜆2
𝑛
𝑦ℎ 𝑛 = 𝐶1 −1 𝑛 + 𝐶2 4 𝑛

Ejemplo 2.12:
La respuesta a la entrada nula se puede obtener a partir de la solución
homogénea, evaluando la constantes dadas las condiciones iniciales de
𝑦(−1) e 𝑦 −2 en la ecuación original. Entonces, para 𝑛 = 0 y 𝑛 = 1 en la
ecuación en diferencias:
𝑦 0 = 3𝑦 −1 + 4𝑦 −2
𝑦 1 = 3𝑦 0 + 4𝑦 −1
= 13𝑦 −1 + 12𝑦 −2
Por otro lado, para 𝑛 = 0 en la ecuación homogénea:
𝑦 0 = 𝐶1 + 𝐶2
𝑦 1 = −𝐶1 + 4𝐶2

Ejemplo 2.12:
Igualando estos dos pares de ecuaciones
𝐶1 + 𝐶2 = 3𝑦 −1 + 4𝑦 −2
−𝐶1 + 4𝐶2 = 13𝑦 −1 + 12𝑦 −2
Solucionando para las contantes
𝐶1 = −
1
5
𝑦 −1 +
4
5
𝑦 −2
𝐶2 =
16
5
𝑦 −1 +
16
5
𝑦 −2
Sustituyendo las constantes, la respuesta a la entrada nula del sistema es
𝑦 𝑧𝑖 𝑛 = −
1
5
𝑦 −1 +
4
5
𝑦 −2 −1 𝑛 +
16
5
𝑦 −1 +
16
5
𝑦 −2 4 𝑛, 𝑛 ≥ 0

Ejemplo 2.12:
Si se conocen las condiciones iniciales, por ejemplo, 𝑦(−2) = 0 e 𝑦(−1) =
5, entonces 𝐶1 = −1 y 𝐶2 = 16, entonces su respuesta a la entrada nula es
𝑦 𝑧𝑖 𝑛 = −1 𝑛+1 + 4 𝑛+2, 𝑛 ≥ 0
Si en una ecuación existen raíces múltiples entonces la solución homogénea
se modifica. Si λ1 tiene una raíz de multiplicidad m, entonces:
𝑛
+ 𝐶2 𝑛𝜆1
𝑛
+ 𝐶3 𝑛2 𝜆1
𝑛
+ ⋯
+𝐶 𝑚 𝑛 𝑚−1 𝜆1
𝑛
+ 𝐶 𝑚+1 𝜆 𝑚+1
𝑛
+ ⋯ + 𝐶 𝑁 𝜆 𝑛

Solución particular
La solución particular 𝒚 𝒑(𝒏) debe satisfacer la ecuación en diferencias para
la entrada específica 𝒙(𝒏), 𝒏 ≥ 𝟎
Para resolver la ecuación suponemos para 𝒚 𝒑(𝒏) una forma que depende
de la forma de 𝒙(𝒏).
𝑘=0
𝑁
𝑎 𝑟 𝑦𝑝 𝑛 − 𝑘 =
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 , 𝑎0 ≡ 1

Ejemplo 2.13: (Proakis, pág. 90) Determine la solución particular de la
ecuación en diferencias de primer orden
𝑦 𝑛 + 𝑎1 𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥 𝑛 , 𝑎1 < 1
Cuando la entrada 𝑥 𝑛 es un escalón unidad
𝑥 𝑛 = 𝑢(𝑛)
Solución: Dado que la señal de entrada es una constante suponemos la
salida una constante: 𝒚 𝒑(𝒏) = 𝑲µ(𝒏), donde 𝑲 es un factor de escala.
Sustituimos en la ecuación:
𝑘𝑢 𝑛 + 𝑎1 𝐾𝑢 𝑛 − 1 = 𝑢 𝑛

Para determinar 𝑲 evaluamos para cualquier valor de 𝒏 ≥ 𝟏 donde
ninguno de los términos se anula.
Para 𝒏 = 𝟏:
𝐾 + 𝑎1 𝐾 = 1
𝐾 =
1
1 + 𝑎1
Por lo tanto, la solución particular es:
𝑦𝑝 𝑛 =
1
1 + 𝑎1
𝑢 𝑛

La forma de 𝑦𝑝 𝑛 la vamos a seleccionar dependiendo de la forma que
tenga la señal de entrada 𝑥 𝑛 .
Señal de entrada
𝒙(𝒏)
𝒚 𝒑(𝒏)
𝐴 (constante) 𝐾
𝐴𝑀 𝑛 𝐾𝑀 𝑛
𝐴𝑛 𝑀 𝐾0 𝑛 𝑀 + 𝐾1 𝑛 𝑀 − 1 + ⋯ +
𝐾𝑀
𝐴 𝑛 𝑛 𝑀 𝐴 𝑛(𝐾0 𝑛 𝑀 + 𝐾1 𝑛 𝑀 − 1 + ⋯ +
𝐾𝑀)
𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝑤𝑜𝑛)
𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑤0 𝑛)
𝐾1cos(𝑤0 𝑛) + 𝐾2 𝑠𝑒𝑛 (𝑤0 𝑛)

Ejemplo 2.14: (Proakis, pág. 91) Determine la solución de la ecuación en
diferencias:
𝑦 𝑛 =
5
6
𝑦 𝑛 − 1 −
1
6
𝑦 𝑛 − 2 + 𝑥 𝑛
Para la función 𝑥 𝑛 = 2 𝑛, 𝑛 ≥ 0 y cero en cualquier otro caso.
Solución: La solución tiene la forma de 𝒚p(𝒏) = 𝑲𝑴 𝒏 = 𝑲𝟐 𝒏, 𝒏 ≥ 𝟎.
Sustituimos en la ecuación en diferencias:
𝐾2 𝑛 𝑢 𝑛 =
5
6
𝐾2 𝑛−1 𝑢 𝑛 − 1 −
1
6
𝐾2 𝑛−2 𝑢 𝑛 − 2 + 2 𝑛 𝑢 𝑛

Ejemplo 2.14:
Evaluamos para cualquier valor de 𝒏 ≥ 𝟐 donde ninguno de los términos se
anula
4𝐾 =
5
6
2𝐾 −
1
6
𝐾 + 4
por tanto, 𝐾 =
8
5
. Luego la solución particular es
𝑦𝑝 𝑛 =
8
5
2 𝑛, 𝑛 ≥ 0

Solución total
La solución total de un sistema es la suma de las soluciones homogénea y
particular
𝑦 𝑛 = 𝑦ℎ 𝑛 + 𝑦𝑝 𝑛
La suma resultante tiene las constantes de la solución homogénea, 𝐶𝑡 .
Las condiciones iniciales del sistema determinan el valor que tomarán
estas constantes

Ejemplo 2.15: (Proakis, pág. 92) Determina la solución completa 𝒚 𝒏 , 𝒏
≥ 𝟎, para la ecuación en diferencias
𝑦 𝑛 + 𝑎1 𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥 𝑛
Cuando 𝒙 𝒏 es un escalón unidad, 𝒙 𝒏 = 𝒖 𝒏 e 𝒚 −𝟏 es la condición
inicial.
Solución: Del ejemplo 2.11, la solución homogénea es
𝑦ℎ 𝑛 = 𝐶 −𝑎1
𝑛
y del ejemplo 2.13, la solución particular es
𝑦𝑝 𝑛 =
1
1 + 𝑎1
𝑢 𝑛

Entonces, la solución completa
𝑦 𝑛 = 𝑦ℎ 𝑛 + 𝑦𝑝 𝑛
es
𝑦 𝑛 = 𝐶 −𝑎1
𝑛 +
1
1 + 𝑎1
, 𝑛 ≥ 0
donde 𝑪 se determina para satisfacer la condición inicial 𝐲 −𝟏 .
Ahora, en la ecuación en diferencias original evaluamos en 𝒏 = 𝟎:
𝑦 0 + 𝑎1 𝑦 −1 = 1
𝑦 0 = 1 − 𝑎1 𝑦 −1

Ahora en la solución completa, evaluamos en 𝒏 = 𝟎
𝑦 𝑛 = 𝐶 −𝑎1
𝑛 +
1
1 + 𝑎1
, 𝑛 ≥ 0
𝑦 0 = 𝐶 +
1
1 + 𝑎1
Igualando la ecuación en diferencias con la solución completa
1 − 𝑎1 𝑦 −1 = 𝐶 +
1
1 + 𝑎1
entonces
𝐶 = −𝑎1 𝑦 −1 +
𝑎1
1 + 𝑎1

Sustituimos la constante 𝐶 en la solución completa
𝑦 𝑛 = −𝑎1 𝑦 −1 +
𝑎1
1 + 𝑎1
−𝑎1
𝑛 +
1
1 + 𝑎1
, 𝑛 ≥ 0
arreglando
𝑦 𝑛 = −𝑎1
𝑛+1
𝑦 −1 +
1 − −𝑎1
𝑛+1
1 + 𝑎1
, 𝑛 ≥ 0
de manera equivalente
𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑧𝑖 𝑛 + 𝑦𝑧𝑠 𝑛

Si deseamos calcular la respuesta en estado nulo, o respuesta forzada,
evaluamos la condición inicial en 𝑦 −1 = 0
𝑦𝑧𝑠 𝑛 =
1 − −𝑎1
𝑛+1
1 + 𝑎1
, 𝑛 ≥ 0
El resultado anterior es consistente con lo obtenido en los ejemplos
anteriores. Cabe observar que el valor de 𝑪 depende tanto de la condición
inicial 𝒚 −𝟏 como de la función de excitación. Por lo tanto incluye a la
respuesta a la entrada nula como a la respuesta en estado nulo.

Se puede obtener la solución particular a partir del estado nulo cuando 𝒏
tiende a infinito.
𝑦𝑝 𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑦𝑧𝑠 𝑛 =
1
1 + 𝑎1
, 𝑎1 < 1
Puesto que esta componente no tiende a cero cuando 𝒏 tiende a infinito, se
le llama respuesta al régimen permanente del sistema. Esta respuesta
persiste mientras la entrada lo haga. La componente que se desvanece
cuando 𝒏 tiende a infinito se denomina respuesta transitoria del sistema.

Ejemplo 2.16: (Proakis, pág. 93) Determina la respuesta 𝑦 𝑛 , 𝑛 ≥ 0, del
sistema descrito por la ecuación en diferencias de segundo orden
𝑦 𝑛 − 3𝑦 𝑛 − 1 − 4𝑦 𝑛 − 2 = 𝑥 𝑛 + 2𝑥 𝑛 − 1
Cuando la secuencia de entrada es
𝑥 𝑛 = 4 𝑛 𝑢 𝑛
Solución: Del ejemplo 2.12, la solución homogénea es
𝑦ℎ 𝑛 = 𝐶1 −1 𝑛 + 𝐶2 4 𝑛
Suponemos que la salida del sistema tiene una forma exponencial
𝑦𝑝 𝑛 = 𝐾4 𝑛
𝑢 𝑛
sin embargo esta forma de 𝑦𝑝 𝑛 ya esta contenida en la solución
homogénea, por lo que resulta redundante. Entonces, para que 𝑦𝑝 𝑛 sea
linealmente independiente, se tratará como si tuviera raíces múltiples.

Entonces, para 𝑦𝑝 𝑛 se selecciona la salida como
𝑦𝑝 𝑛 = 𝐾𝑛 4 𝑛 𝑢 𝑛
Sustituimos en la ecuación en diferencias
𝐾𝑛 4 𝑛 𝑢 𝑛 − 3K 𝑛 − 1 (4) 𝑛−1 𝑢 𝑛 − 1 − 4𝐾 𝑛 − 2 4 𝑛−2 𝑢 𝑛 − 2
= 4 𝑛
𝑢 𝑛 + 2 4 𝑛−1
𝑢 𝑛 − 1
Para determinar 𝐾, evaluamos la ecuación para 𝒏 ≥ 𝟐, en la que ninguno
de los términos se anula. Entonces para 𝒏 = 𝟐, 𝒌 =
𝟔
𝟓
. Por tanto
𝑦𝑝 𝑛 =
6
5
𝑛 4 𝑛
𝑢 𝑛

La solución completa es la suma de la solución homogénea y la particular
𝑦 𝑛 = 𝐶1 −1 𝑛 + 𝐶2 4 𝑛 +
6
5
𝑛 4 𝑛, 𝑛 ≥ 0
Donde las contantes 𝐶1 y 𝐶2 se determinan de modo que satisfagan las
condiciones iniciales. Evaluando para 𝑛 = 0 y 𝑛 = 1 en la ecuación en
diferencias
𝑦 0 = 3𝑦 −1 + 4𝑦 −2 + 1
𝑦 1 = 3𝑦 0 + 4𝑦 −1 + 6
= 13𝑦 −1 + 12𝑦 −2 + 9
Evaluando en la solución completa
𝑦 0 = 𝐶1 + 𝐶2
𝑦 1 = −𝐶1 + 4𝐶2 +
24
5

Igualando los dos conjuntos de ecuaciones para obtener 𝐶1 y 𝐶2
3𝑦 −1 + 4𝑦 −2 + 1 = 𝐶1 + 𝐶2
13𝑦 −1 + 12𝑦 −2 + 9 = −𝐶1 + 4𝐶2 +
24
5
Forzando las condiciones iniciales 𝑦 −1 = 𝑦 −2 = 0 podemos obtener las
constantes para la respuesta en estado nulo
1 = 𝐶1 + 𝐶2
9 = −𝐶1 + 4𝐶2 +
24
5
resultando 𝐶1 = −
1
25
y 𝐶2 =
26
25
, y sustituyendo en la respuesta completa del sistema
𝑦𝑧𝑠 𝑛 = −
1
25
−1 𝑛
+
26
25
4 𝑛
+
6
5
𝑛 4 𝑛
, 𝑛 ≥ 0

La respuesta a la entrada nula del ejemplo 2.12
𝑦 𝑧𝑖 𝑛 = −1 𝑛+1
+ 4 𝑛+2
, 𝑛 ≥ 0
y la respuesta en estado nulo
𝑦𝑧𝑠 𝑛 = −
1
25
−1 𝑛 +
26
25
4 𝑛 +
6
5
𝑛 4 𝑛, 𝑛 ≥ 0
La solución completa es la suma de la respuesta a la entrada nula y la respuesta en
estado nulo:
𝑦 𝑛 = 𝑦𝑧𝑠 𝑛 + 𝑦 𝑧𝑖 𝑛 , 𝑛 ≥ 0

Respuesta al impulso
En el caso de sistemas recursivos, 𝒉(𝒏) es igual a la respuesta de estado
nulo del sistema cuando la entrada 𝒙(𝒏) = 𝜹(𝒏) y el sistema esta
inicialmente en reposo, 𝒚 𝒏 = 𝟎, 𝒏 < 𝟎.
Por ejemplo, para el sistema recursivo mas simple de primer orden
𝑦 𝑛 = 𝑎𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛
La respuesta de estado cero en términos de convolución se expresa como:
𝑦𝑧𝑠 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
ℎ 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 , 𝑛 ≥ 0

Cuando la entrada es un impulso unitario, 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 , se reduce a
𝑦𝑧𝑠 𝑛 =
𝑘=0
𝑛
𝑎 𝑘 𝛿 𝑛 − 𝑘 = 𝑎 𝑛, 𝑛 ≥ 0
Por lo tanto, la respuesta el impulso del sistema recursivo básico de primer
orden es
ℎ 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑢 𝑛
Por lo tanto
𝑦𝑧𝑠 𝑛 = ℎ 𝑛

La respuesta total del sistema a cualquier excitación de entrada consiste en
la suma de la solución a la ecuación homogénea y la solución particular a
la función de excitación. En el caso que la excitación sea un impulso, la
solución particular es cero.
𝑦𝑝 𝑛 = 0
Consecuentemente, la respuesta de un sistema a un impulso consiste en la
solución a la ecuación homogénea, con los parámetros {𝐶 𝐾} calculados de
manera que se satisfagan las condiciones iniciales impuestas por el
impulso.

Ejemplo 2.17: (Proakis, pág. 93) Determina la respuesta al impulso ℎ 𝑛
para el sistema descrito por la ecuación en diferencias de segundo orden
𝑦 𝑛 − 3𝑦 𝑛 − 1 − 4𝑦 𝑛 − 2 = 𝑥 𝑛 + 2𝑥 𝑛 − 1
Solución: Del ejemplo 2.12, ya se ha determinado que la solución a la
ecuación en diferencias homogénea para este sistema es
𝑦ℎ 𝑛 = 𝐶1 −1 𝑛 + 𝐶2 4 𝑛, 𝑛 ≥ 0
Como la solución particular es cero cuando la entrada es un impulso
unitario 𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛) , queda determinada por la solución homogénea,
donde 𝐶1 y 𝐶2 se calculan para satisfacer la ecuación en diferencias.
Para 𝑛 = 0 y 𝑛 = 1 en la ecuación en diferencias
𝑦 0 = 1
𝑦 1 = 3𝑦 0 + 2 = 5

Para la solución homogénea
𝑦 0 = 𝐶1 + 𝐶2
𝑦 1 = −𝐶1 + 4𝐶2
Resolviendo para el conjunto de ecuaciones
𝐶1 = −
1
5
𝐶2 =
6
5
Sustituyendo en la solución homogénea, tenemos la solución al estado
nulo del sistema
y 𝑧𝑠 𝑛 = −
1
5
−1 𝑛 +
6
5
4 𝑛 , 𝑛 ≥ 0

Por lo tanto, la respuesta al impulso del sistema es ℎ 𝑛 = 𝑦𝑧𝑠 𝑛
ℎ 𝑛 = −
1
5
−1 𝑛 +
6
5
4 𝑛 𝑢 𝑛

Observemos que tanto el sistema recursivo de primer orden como el de
segundo orden tienen respuestas impulsionales de duración infinita. Ambos
sistemas recursivos son del tipo IIR. De hecho dada la naturaleza recursiva
del sistema, cualquier sistema recursivo descrito por una ecuación en
diferencias lineal de coeficientes constantes es un sistema IIR. No aplica al
contrario.
Generalizando para una ecuación de orden 𝑁, la solución homogénea es
𝑦ℎ 𝑛 =
𝑘=1
𝑁
𝐶 𝑘 𝜆 𝑘
𝑛
= ℎ 𝑛
Cuando las raíces del sistema son distintas

Y la respuesta del sistema es entonces
ℎ 𝑛 =
𝑘=1
𝑁
𝐶 𝑘 𝜆 𝑘
𝑛
donde los parámetros de condición inicial son 𝒚 −𝟏 = ⋯ = 𝒚 −𝑵 = 𝟎.
Para asegurar la estabilidad de un sistema IIR causal descrito mediante una
ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes, todas las raíces
del polinomio característico deben ser menores que la unidad en valor
absoluto.
𝑛=0
∞
𝜆 𝑘
𝑛 < ∞ o
𝑛=0
∞
ℎ 𝑛 < ∞

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