1) Las tablas de dispersión permiten realizar búsquedas, inserciones y eliminaciones en tiempo constante mediante el mapeo de claves a posiciones de una tabla a través de una función hash. 2) Para resolver colisiones cuando dos claves mapean a la misma posición, se usan métodos como encadenamiento o exploración de posiciones alternativas. 3) La exploración cuadrática y dispersión doble distribuyen mejor las claves pero son más complejas que el encadenamiento o exploración lineal.
Este documento introduce conceptos básicos sobre extremos de funciones de dos variables reales. Define máximos y mínimos absolutos y relativos, y puntos críticos como aquellos donde las derivadas parciales son cero. Explica cómo calcular puntos críticos resolviendo un sistema de ecuaciones y cómo determinar si un punto crítico es un máximo, mínimo o punto de silla dependiendo de la posición relativa de la superficie y el plano tangente. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El dominio de una función se compone de los valores de x para los cuales se puede calcular f(x). El método para calcular el dominio depende del tipo de función. Para funciones racionales y logarítmicas, se iguala el denominador o lo dentro del logaritmo a cero y se resuelve para obtener el dominio exceptuando esas soluciones. En funciones radicales de orden par, se toma lo dentro de la raíz y se resuelve la inecuación para obtener el dominio.
1) El documento analiza los extremos de funciones de dos variables, describiendo las definiciones de extremos absolutos y relativos. 2) Explica que los puntos críticos se determinan igualando las derivadas parciales a cero y que el criterio de la segunda derivada determina si es un máximo o mínimo. 3) También cubre el método de los multiplicadores de Lagrange para calcular extremos con restricciones.
Este documento introduce la transformada de Laplace, una transformación integral utilizada para simplificar la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, especialmente cuando incluyen funciones discontinuas. Define formalmente la transformada de Laplace y presenta ejemplos de transformadas de funciones elementales como 1, eat, ta, cos at y la función escalón. Además, establece condiciones para que exista la transformada y demuestra su propiedad de linealidad.
Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinómica como las formas de Newton-Gregory, Gauss, Hermite y Lagrange. Explica cómo usar tablas de diferencias divididas de Newton para construir polinomios interpoladores y proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el proceso. También compara los métodos de interpolación de Lagrange y Hermite.
Resolver ecuaciones lineales y no lineales buenofrankkqqzz
Este documento presenta diferentes métodos en MATLAB para resolver ecuaciones no lineales, sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Incluye ejemplos resueltos de cada tipo de problema usando métodos numéricos como bisección, Newton, punto fijo y el método de Newton para sistemas, así como funciones internas de MATLAB como fzero y roots.
La serie de Taylor representa una función como una suma infinita de términos que involucran las derivadas sucesivas de la función en un punto. Si la serie converge a la función en cierto intervalo, la función se dice analítica. La serie de Taylor permite aproximar funciones, derivar e integrar series, y es la mejor aproximación posible de una función analítica.
Este documento presenta una serie de ejercicios de álgebra que involucran polinomios. Los ejercicios incluyen encontrar valores para que polinomios sean divisibles, descomponer polinomios factorialmente, encontrar polinomios dados ciertas condiciones sobre sus restos y simplificar fracciones algebraicas. El documento guía al lector paso a paso en la resolución de cada ejercicio.
Este documento introduce conceptos básicos sobre extremos de funciones de dos variables reales. Define máximos y mínimos absolutos y relativos, y puntos críticos como aquellos donde las derivadas parciales son cero. Explica cómo calcular puntos críticos resolviendo un sistema de ecuaciones y cómo determinar si un punto crítico es un máximo, mínimo o punto de silla dependiendo de la posición relativa de la superficie y el plano tangente. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El dominio de una función se compone de los valores de x para los cuales se puede calcular f(x). El método para calcular el dominio depende del tipo de función. Para funciones racionales y logarítmicas, se iguala el denominador o lo dentro del logaritmo a cero y se resuelve para obtener el dominio exceptuando esas soluciones. En funciones radicales de orden par, se toma lo dentro de la raíz y se resuelve la inecuación para obtener el dominio.
1) El documento analiza los extremos de funciones de dos variables, describiendo las definiciones de extremos absolutos y relativos. 2) Explica que los puntos críticos se determinan igualando las derivadas parciales a cero y que el criterio de la segunda derivada determina si es un máximo o mínimo. 3) También cubre el método de los multiplicadores de Lagrange para calcular extremos con restricciones.
Este documento introduce la transformada de Laplace, una transformación integral utilizada para simplificar la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, especialmente cuando incluyen funciones discontinuas. Define formalmente la transformada de Laplace y presenta ejemplos de transformadas de funciones elementales como 1, eat, ta, cos at y la función escalón. Además, establece condiciones para que exista la transformada y demuestra su propiedad de linealidad.
Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinómica como las formas de Newton-Gregory, Gauss, Hermite y Lagrange. Explica cómo usar tablas de diferencias divididas de Newton para construir polinomios interpoladores y proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el proceso. También compara los métodos de interpolación de Lagrange y Hermite.
Resolver ecuaciones lineales y no lineales buenofrankkqqzz
Este documento presenta diferentes métodos en MATLAB para resolver ecuaciones no lineales, sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Incluye ejemplos resueltos de cada tipo de problema usando métodos numéricos como bisección, Newton, punto fijo y el método de Newton para sistemas, así como funciones internas de MATLAB como fzero y roots.
La serie de Taylor representa una función como una suma infinita de términos que involucran las derivadas sucesivas de la función en un punto. Si la serie converge a la función en cierto intervalo, la función se dice analítica. La serie de Taylor permite aproximar funciones, derivar e integrar series, y es la mejor aproximación posible de una función analítica.
Este documento presenta una serie de ejercicios de álgebra que involucran polinomios. Los ejercicios incluyen encontrar valores para que polinomios sean divisibles, descomponer polinomios factorialmente, encontrar polinomios dados ciertas condiciones sobre sus restos y simplificar fracciones algebraicas. El documento guía al lector paso a paso en la resolución de cada ejercicio.
Brook Taylor nació en Inglaterra en 1685. Continuó la obra de Newton en el campo del análisis matemático y publicó su método de incrementos directos e inversos en 1715, donde describió su fórmula de desarrollo en serie de Taylor. Sus estudios no se hicieron famosos hasta 1772, cuando Lagrange subrayó su importancia para el cálculo diferencial. Taylor murió en Londres en 1731.
Este documento presenta varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición y el método de punto fijo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y discute criterios para estimar errores y parar los cálculos.
Este documento presenta conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral, incluyendo: 1) cómo usar derivadas para calcular velocidad y aceleración; 2) derivadas de funciones implícitas y de orden superior; y 3) criterios para determinar intervalos de crecimiento, extremos relativos, y concavidad/convexidad de funciones. Ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos.
1. El documento explica el concepto de integral indefinida y primitiva. Una primitiva de una función es su antiderivada, y la integral indefinida de una función es la suma de su primitiva y una constante.
2. Se proporcionan ejemplos de integrales indefinidas de funciones elementales como x^3, ln(x), sen(x), etc.
3. Se describen propiedades de la integral indefinida como que es lineal y que puede separarse en factores numéricos y funciones.
4. Finalmente, se explican técnic
El documento presenta diferentes métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición, y el método de punto fijo. Explica los algoritmos de cada método y provee ejemplos numéricos y de código para ilustrar cómo implementarlos para encontrar raíces de funciones.
Este documento resume los pasos para determinar los extremos relativos de una función de dos variables. Calcula los puntos críticos igualando a cero las derivadas parciales y analiza el hessiano en cada punto. Determina que hay un mínimo en (0,0), un máximo en (1,2) y un punto silla en (1,2).
Introduccion a la teoria de interpolacionwilmerleon67
Este documento presenta una introducción a la teoría de interpolación, incluyendo diferentes métodos como interpolación de Lagrange, Newton-Gregory, Gauss y Hermite. Explica cómo construir funciones interpolantes a partir de datos de interpolación para aproximar el valor de una función desconocida. También cubre temas como interpolación con splines, diferencias divididas, la fórmula general de Newton y aplicaciones de estos métodos numéricos en la resolución de problemas.
Este documento explica cómo calcular la derivada de una función utilizando la definición de límite. Presenta ejemplos de cómo derivar funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. También introduce reglas algebraicas para derivar sumas, diferencias y productos de funciones.
La serie de Taylor es fundamental para los métodos numéricos, ya que permite aproximar funciones mediante polinomios. La expansión de Taylor representa el comportamiento de una función en torno a un punto mediante una serie de potencias de la distancia a ese punto. Esto permite predecir valores de la función en otros puntos cercanos.
Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerradosPervys Rengifo
Este documento describe los métodos cerrados para resolver ecuaciones no lineales. Estos métodos se basan en el teorema de Bolzano, el cual establece que si una función continua cambia de signo en un intervalo, entonces existe al menos una raíz en ese intervalo. Los métodos cerrados iterativos, como el método de bisección y regla falsa, reducen sistemáticamente un intervalo hasta encontrar una raíz con la precisión deseada, siempre que la función sea continua y cambie de signo en el intervalo inicial.
Este documento describe las funciones SUM, MCD, MCM, PI, POTENCIA, PRODUCTO, RAÍZ, RADIANES, SI, CONCATENAR, DERECHA, IZQUIERDA, ENCONTRAR, ESPACIOS, EXTRAER, LARGO, AHORA, AÑO, DÍA y HOY de Excel, incluyendo su sintaxis y ejemplos de su uso.
Este documento describe diferentes métodos para implementar tablas hash, incluyendo la función de dispersión, resolución de colisiones mediante dispersión abierta y cerrada, y estrategias como exploración lineal, cuadrática y doble para resolver colisiones en dispersión cerrada. El objetivo principal es distribuir uniformemente las claves en la tabla y poder insertar y buscar elementos de forma eficiente.
Este documento presenta conceptos clave sobre límites y continuidad. Explica qué es un entorno o vecindad y provee ejemplos para ilustrar límites, incluyendo funciones como el cociente, la potencia y la raíz. También define formalmente el límite de una función y discute casos como límites laterales, existencia de límites, y propiedades de límites como la unicidad y los límites de sumas, productos y cocientes. Finalmente, presenta formas determinadas e indeterminadas para calcular límites y resuelve ejemp
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre la derivada y sus aplicaciones. Introduce la noción de pendiente de la tangente y derivada como razón instantánea de variación. Incluye teoremas sobre derivadas de funciones como suma, producto, cociente y raíz cuadrada. Contiene ejemplos ilustrativos sobre cálculo de derivadas y aplicaciones en problemas de máximos, mínimos, velocidad y aceleración.
El documento explica las funciones racionales, que son funciones cuya fórmula es una expresión racional. Se define el dominio como los valores de la variable que no anulan al denominador. También se cubren conceptos como simplificar funciones racionales eliminando factores comunes, encontrar ceros de la función, y comportamiento asíntotico.
El documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, tangentes, normales, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión de funciones. Explica cómo calcular la ecuación de la recta tangente y normal en un punto, y cómo determinar intervalos donde una función es creciente, decreciente, cóncava o convexa. También cubre cómo encontrar máximos, mínimos y puntos de inflexión mediante el cálculo de derivadas.
Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinomial para estimar valores intermedios entre valores conocidos, incluyendo interpolación lineal, cuadrática y polinomios de interpolación de Newton usando diferencias divididas finitas. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cada método.
El documento resume la serie de Taylor, que representa una función como una suma de términos calculados a partir de los valores de sus derivadas en un punto. Explica que Brook Taylor fue un matemático británico que hizo contribuciones al cálculo por diferencias finitas y desarrolló el teorema que lleva su nombre. La serie de Taylor tiene aplicaciones importantes como la aproximación de funciones y el cálculo de integrales.
Este documento explica el concepto de hashing y diferentes métodos para implementarlo. Hashing se refiere al direccionamiento a partir de una llave hacia una posición en una estructura de datos. Existen diferentes técnicas como hashing de dirección directa, tablas hash y open addressing. Las tablas hash usan una función hash para mapear llaves a posiciones, lo que puede causar colisiones. Métodos como encadenamiento y open addressing resuelven colisiones almacenando elementos en listas o probando posiciones alternas.
Este documento describe las tablas de dispersión, que son estructuras de datos que almacenan elementos con claves únicas mediante el uso de funciones hash. Las funciones hash mapean las claves a índices de tabla para permitir búsquedas, inserciones y eliminaciones en tiempo constante. Sin embargo, las colisiones pueden ocurrir cuando claves diferentes mapean al mismo índice, y deben resolverse mediante encadenamiento o direccionamiento abierto.
Este documento describe las tablas de dispersión, incluyendo su definición, operaciones, funciones de dispersión como la aritmética modular, plegamiento y mitad del cuadrado, y técnicas para resolver colisiones como encadenamiento y direccionamiento abierto. Las tablas de dispersión se usan para buscar o eliminar registros de forma eficiente mediante el uso de una función hash que mapea claves a posiciones en un arreglo.
Brook Taylor nació en Inglaterra en 1685. Continuó la obra de Newton en el campo del análisis matemático y publicó su método de incrementos directos e inversos en 1715, donde describió su fórmula de desarrollo en serie de Taylor. Sus estudios no se hicieron famosos hasta 1772, cuando Lagrange subrayó su importancia para el cálculo diferencial. Taylor murió en Londres en 1731.
Este documento presenta varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición y el método de punto fijo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y discute criterios para estimar errores y parar los cálculos.
Este documento presenta conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral, incluyendo: 1) cómo usar derivadas para calcular velocidad y aceleración; 2) derivadas de funciones implícitas y de orden superior; y 3) criterios para determinar intervalos de crecimiento, extremos relativos, y concavidad/convexidad de funciones. Ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos.
1. El documento explica el concepto de integral indefinida y primitiva. Una primitiva de una función es su antiderivada, y la integral indefinida de una función es la suma de su primitiva y una constante.
2. Se proporcionan ejemplos de integrales indefinidas de funciones elementales como x^3, ln(x), sen(x), etc.
3. Se describen propiedades de la integral indefinida como que es lineal y que puede separarse en factores numéricos y funciones.
4. Finalmente, se explican técnic
El documento presenta diferentes métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición, y el método de punto fijo. Explica los algoritmos de cada método y provee ejemplos numéricos y de código para ilustrar cómo implementarlos para encontrar raíces de funciones.
Este documento resume los pasos para determinar los extremos relativos de una función de dos variables. Calcula los puntos críticos igualando a cero las derivadas parciales y analiza el hessiano en cada punto. Determina que hay un mínimo en (0,0), un máximo en (1,2) y un punto silla en (1,2).
Introduccion a la teoria de interpolacionwilmerleon67
Este documento presenta una introducción a la teoría de interpolación, incluyendo diferentes métodos como interpolación de Lagrange, Newton-Gregory, Gauss y Hermite. Explica cómo construir funciones interpolantes a partir de datos de interpolación para aproximar el valor de una función desconocida. También cubre temas como interpolación con splines, diferencias divididas, la fórmula general de Newton y aplicaciones de estos métodos numéricos en la resolución de problemas.
Este documento explica cómo calcular la derivada de una función utilizando la definición de límite. Presenta ejemplos de cómo derivar funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. También introduce reglas algebraicas para derivar sumas, diferencias y productos de funciones.
La serie de Taylor es fundamental para los métodos numéricos, ya que permite aproximar funciones mediante polinomios. La expansión de Taylor representa el comportamiento de una función en torno a un punto mediante una serie de potencias de la distancia a ese punto. Esto permite predecir valores de la función en otros puntos cercanos.
Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerradosPervys Rengifo
Este documento describe los métodos cerrados para resolver ecuaciones no lineales. Estos métodos se basan en el teorema de Bolzano, el cual establece que si una función continua cambia de signo en un intervalo, entonces existe al menos una raíz en ese intervalo. Los métodos cerrados iterativos, como el método de bisección y regla falsa, reducen sistemáticamente un intervalo hasta encontrar una raíz con la precisión deseada, siempre que la función sea continua y cambie de signo en el intervalo inicial.
Este documento describe las funciones SUM, MCD, MCM, PI, POTENCIA, PRODUCTO, RAÍZ, RADIANES, SI, CONCATENAR, DERECHA, IZQUIERDA, ENCONTRAR, ESPACIOS, EXTRAER, LARGO, AHORA, AÑO, DÍA y HOY de Excel, incluyendo su sintaxis y ejemplos de su uso.
Este documento describe diferentes métodos para implementar tablas hash, incluyendo la función de dispersión, resolución de colisiones mediante dispersión abierta y cerrada, y estrategias como exploración lineal, cuadrática y doble para resolver colisiones en dispersión cerrada. El objetivo principal es distribuir uniformemente las claves en la tabla y poder insertar y buscar elementos de forma eficiente.
Este documento presenta conceptos clave sobre límites y continuidad. Explica qué es un entorno o vecindad y provee ejemplos para ilustrar límites, incluyendo funciones como el cociente, la potencia y la raíz. También define formalmente el límite de una función y discute casos como límites laterales, existencia de límites, y propiedades de límites como la unicidad y los límites de sumas, productos y cocientes. Finalmente, presenta formas determinadas e indeterminadas para calcular límites y resuelve ejemp
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre la derivada y sus aplicaciones. Introduce la noción de pendiente de la tangente y derivada como razón instantánea de variación. Incluye teoremas sobre derivadas de funciones como suma, producto, cociente y raíz cuadrada. Contiene ejemplos ilustrativos sobre cálculo de derivadas y aplicaciones en problemas de máximos, mínimos, velocidad y aceleración.
El documento explica las funciones racionales, que son funciones cuya fórmula es una expresión racional. Se define el dominio como los valores de la variable que no anulan al denominador. También se cubren conceptos como simplificar funciones racionales eliminando factores comunes, encontrar ceros de la función, y comportamiento asíntotico.
El documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como derivadas, tangentes, normales, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión de funciones. Explica cómo calcular la ecuación de la recta tangente y normal en un punto, y cómo determinar intervalos donde una función es creciente, decreciente, cóncava o convexa. También cubre cómo encontrar máximos, mínimos y puntos de inflexión mediante el cálculo de derivadas.
Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinomial para estimar valores intermedios entre valores conocidos, incluyendo interpolación lineal, cuadrática y polinomios de interpolación de Newton usando diferencias divididas finitas. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cada método.
El documento resume la serie de Taylor, que representa una función como una suma de términos calculados a partir de los valores de sus derivadas en un punto. Explica que Brook Taylor fue un matemático británico que hizo contribuciones al cálculo por diferencias finitas y desarrolló el teorema que lleva su nombre. La serie de Taylor tiene aplicaciones importantes como la aproximación de funciones y el cálculo de integrales.
Este documento explica el concepto de hashing y diferentes métodos para implementarlo. Hashing se refiere al direccionamiento a partir de una llave hacia una posición en una estructura de datos. Existen diferentes técnicas como hashing de dirección directa, tablas hash y open addressing. Las tablas hash usan una función hash para mapear llaves a posiciones, lo que puede causar colisiones. Métodos como encadenamiento y open addressing resuelven colisiones almacenando elementos en listas o probando posiciones alternas.
Este documento describe las tablas de dispersión, que son estructuras de datos que almacenan elementos con claves únicas mediante el uso de funciones hash. Las funciones hash mapean las claves a índices de tabla para permitir búsquedas, inserciones y eliminaciones en tiempo constante. Sin embargo, las colisiones pueden ocurrir cuando claves diferentes mapean al mismo índice, y deben resolverse mediante encadenamiento o direccionamiento abierto.
Este documento describe las tablas de dispersión, incluyendo su definición, operaciones, funciones de dispersión como la aritmética modular, plegamiento y mitad del cuadrado, y técnicas para resolver colisiones como encadenamiento y direccionamiento abierto. Las tablas de dispersión se usan para buscar o eliminar registros de forma eficiente mediante el uso de una función hash que mapea claves a posiciones en un arreglo.
Este documento describe las tablas de dispersión, incluyendo su definición, operaciones, funciones de dispersión como la aritmética modular, plegamiento y mitad del cuadrado, y técnicas para resolver colisiones como encadenamiento y direccionamiento abierto. Las tablas de dispersión se usan para buscar o eliminar registros de forma eficiente mediante el uso de una función hash que mapea claves a posiciones en un arreglo.
El documento resume los conceptos clave de la búsqueda con retroceso (backtracking) para resolver problemas de decisión y optimización. Explica cómo se representan las soluciones como tuplas y cómo la búsqueda construye un árbol implícito de soluciones mediante llamadas recursivas, podando ramas no viables. También presenta ejemplos como las ocho reinas y la suma de subconjuntos.
El documento describe los conceptos básicos de las tablas hash, incluyendo hashing abierto y cerrado. El hashing abierto almacena las claves en listas enlazadas asociadas a cada entrada de la tabla, mientras que el hashing cerrado almacena directamente las claves en la tabla. El documento también analiza el tiempo promedio de búsqueda y inserción para ambos métodos.
Las tablas de dispersión son estructuras de datos que almacenan elementos con una clave de búsqueda. Usan funciones hash para mapear las claves a índices de tabla, permitiendo búsquedas rápidas. Sin embargo, colisiones (diferentes claves mapeadas al mismo índice) requieren técnicas como encadenamiento o sondeo abierto para resolverlas de manera eficiente.
Este documento explica los algoritmos de hash y cómo se utilizan para almacenar y recuperar datos de forma eficiente en O(1). El hashing involucra una función que mapea claves a posiciones de una tabla. Pueden ocurrir colisiones cuando claves diferentes mapean a la misma posición, y existen varios métodos para manejar esto como exploración lineal, cuadrática o doble hash.
Este documento explica los algoritmos de hash y cómo se utilizan para almacenar y recuperar datos de forma eficiente en O(1). El hashing involucra una función que mapea claves a posiciones de una tabla. Pueden ocurrir colisiones cuando claves diferentes mapean a la misma posición, y existen varios métodos para manejar esto como exploración lineal, cuadrática o doble hash.
Este documento explica los algoritmos de hash y cómo se utilizan para almacenar y recuperar datos de forma eficiente en O(1). El hashing involucra una función que mapea claves a posiciones de una tabla. Pueden ocurrir colisiones cuando claves diferentes mapean a la misma posición, y existen varios métodos para manejar esto como exploración lineal, cuadrática o doble hash.
El documento explica los algoritmos de hashing, que transforman claves en direcciones de tabla para almacenar y recuperar datos de forma eficiente en O(1). Cuando dos claves se mapean a la misma dirección, ocurre una colisión que requiere soluciones como exploración lineal, cuadrática o doble hash. El doble hash usa una segunda función hash para determinar los incrementos para repartir las claves colisionadas.
El documento explica los algoritmos de hashing, que permiten buscar información de forma más rápida mediante una función matemática que mapea claves a posiciones de una tabla. Esta técnica es más eficiente que métodos de búsqueda secuencial, pero puede dar lugar a colisiones cuando claves distintas mapean a la misma posición. El documento describe métodos para tratar colisiones como exploración lineal, cuadrática o doble hash.
El documento describe el algoritmo simplex, un método para resolver problemas de programación lineal maximizando una función objetivo sujeta a restricciones lineales. Explica que el método se basa en iterar entre soluciones factibles maximizando la función en cada paso, y fue desarrollado por George Dantzig en 1947 para optimizar costos militares. También provee un ejemplo numérico para ilustrar los pasos del algoritmo.
Este documento presenta las tablas hash y diccionarios. Explica cómo funcionan las tablas hash mediante el uso de una función hash para asignar claves a posiciones de un array y tratar las colisiones. También cubre la complejidad de tiempo y espacio de las tablas hash y los dos métodos principales para manejar colisiones: direccionamiento abierto y cerrado. El objetivo es que los estudiantes comprendan cómo implementar diccionarios eficientes mediante tablas hash.
El documento explica cómo calcular el máximo común divisor (MCD) de monomios y polinomios. Se define el MCD como la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y grado que está contenida en cada uno de los términos. Se describe el procedimiento para encontrar el MCD, el cual incluye hallar el MCD de los coeficientes, identificar las letras comunes con su menor grado, y escribir el resultado. Se proveen ejemplos para ilustrar el proceso.
T A B L A D E D I S P E R S I O N (Hash Table)Angie Suarez
Una función hash es un algoritmo matemático que mapea valores de entrada a valores de salida de longitud fija. Las funciones hash se usan comúnmente en tablas de dispersión para almacenar y buscar datos de forma eficiente mediante la asignación de claves a ubicaciones de memoria. Sin embargo, las colisiones, donde diferentes claves mapean a la misma ubicación, son inevitables. Existen diferentes enfoques para lidiar con las colisiones como tablas de dispersión abiertas y cerradas.
El documento describe las tablas hash y las funciones hash. Una tabla hash almacena elementos identificados por claves únicas mediante una función hash que transforma las claves en direcciones de la tabla. Existen varios métodos para diseñar funciones hash como la división residual, cuadrática y plegamiento. Estos métodos pueden dar lugar a colisiones cuando claves diferentes generan la misma dirección. Para resolver colisiones se utilizan técnicas como el direccionamiento abierto y el encadenamiento.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. También compara los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel, señalando que Gauss-Seidel es más eficiente porque utiliza los valores encontrados en cada iteración.
Explicación y presentación de ejemplos del concepto del límite. Incluye estudio de los métodos númerico, gráfico y algebraico para hallar el límite de una función. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejías Ortiz.
Este documento introduce el concepto fundamental de límite en cálculo. Explica que un límite describe cómo se comporta una función cuando se acerca a un punto, y provee definiciones formales. Además, describe tres métodos para calcular límites: numérico, gráfico y algebraico. Incluye ejemplos para ilustrar cada método.
1. Tablas de Dispersión
(Hashing Tables)
Las tablas de dispersión o hashing tables (en inglés) es una técnica que se utiliza
para implementar inserciones, eliminaciones y búsquedas en un tiempo medio
constante.
La estructura de datos central de esta técnica es la tabla de hashing (tabla de
dispersión.)
Planteamiento inicial
La estructura de datos ideal para la tabla de dispersión es un arreglo de tamaño
fijo que contiene las claves (elementos de la tabla). Una clave suele ser una
cadena de caracteres (o de números) con un valor asociado Si el tamaño de la
tabla es MAX_T, la tabla se declara entre 0 y MAX_T-1. A cada clave se le hará
corresponder un número entre 0 y MAX_T-1 y se colocará en la celda
correspondiente.
La relación entre la llave y la posición en la tabla es lo que se llama función de
dispersión.
En la figura siguiente se muestra cómo sería una tabla de dispersión ideal (cada
llave cae en una celda distinta).
0
1
2 Ana
3
4 Juan
5 Eva
6
7 Felipe
8
9
Función Hash (o de Dispersión)
Es la correspondencia entre la clave y un índice del arreglo. Por lo general,
cuando las claves son números enteros la función de dispersión toma la forma:
h(x) = clave MOD MAX_T
1
2. El tamaño de la tabla debe ser primo. De esta forma, y si las claves son números
aleatorios, esta función suele distribuir las claves uniformemente. Si tuviéramos
la tabla de la figura anterior (MAX_T =10), y todas las claves terminaran en cero,
la dispersión con esta función no nos valdría.
Cuando las claves son cadenas de caracteres lo usual es sumar los valores ASCII
de los caracteres de la cadena.
A continuación se declaran los tipos apropiados para la tabla de dispersión y el
índice, que es el que devuelve la función de dispersión.
TYPE
INDICE = 0 .. MAX_T - 1;
TablaDisp= ARRAY INDICE OF ...
Una implementación sencilla de la función de dispersión sería la siguiente:
FUNCTION hashing (llave: TipoCadena): INDICE;
VAR
aux, j: integer;
BEGIN
aux := ord (llave[1]);
FOR j:=2 TO Length (llave) DO
aux := aux + ord (llave[j]);
hashing := aux MOD MAX_T;
END;
El problema de esta función es que, si la tabla es grande, no hace una
distribución uniforme de las claves. Pongamos un ejemplo: tenemos una tabla
con un tamaño MAX_T= 10007 (primo) y las claves tienen una longitud máxima de
ocho caracteres; como ord devuelve un número entero de valor máximo 127, la
función de dispersión sólo tendrá valores entre 0 y 1016 (127*8). Luego la
distribución no es equitativa
A continuaciòn vamos a tratar el tema de las colisiones. Esto ocurre cuando dos
elementos distintos toman el mismo valor. Para solucionar las colisiones veremos
dos métodos: la dispersión abierta y la dispersión cerrada.
Dispersión abierta
La dispersión abierta, también llamada encadenamiento separado, consiste en
tener una lista de los elementos que se dispersan en el mismo valor de la tabla.
Suponiendo una tabla de tamaño 10 de números enteros y con la función de
dispersión: dispersión(x) = x MOD 10, nos quedaría una tabla de dispersión
abierta como la de la figura:
2
3. Las declaraciones de los tipos necesarios para la dispersión abierta son:
TYPE
posicion =POINTER TO nodo;
nodo = RECORD
elem : TipoElemento;
sig : posicion;
END;
TablaDisp = ARRAY INDICE OF posicion;
Inicialización de la tabla
Primero debemos inicializar la tabla, asignando a cada celda el valor NIL:
PROCEDURE IniciaTabla (VAR D: TablaDisp);
VAR
i : integer;
BEGIN
FOR i:=0 TO MAX_T-1 DO
D[i]:= NIL;
END;
Búsqueda en la tabla
Para efectuar una búsqueda en una tabla, primero usamos la función de
dispersión para determinar la lista a recorrer. Seguidamente, se recorre la lista
hasta encontrar la clave y se devuelve un puntero a la posición de la celda que
contiene la clave.
3
4. FUNCTION Buscar (llave: TipoElemento; D: TablaDisp): posicion;
VAR
res, p: posicion;
BEGIN
p := D[hashing(llave)];
res:= NIL;
WHILE p <> NIL DO
IF p^.elemento = llave THEN BEGIN
res:= p; BREAK;
END;
p := p^.sig;
END;
Buscar:= res;
END;
Inserción en la tabla
Para insertar un elemento en una tabla, primero buscamos en la lista que le
corresponde para ver si ya está insertado; si es nuevo, se inserta al principio de
la lista:
PROCEDURE Insertar (llave:TipoElemento; VAR D: TablaDisp);
VAR
h: INTEGER;
pos, lista : posicion;
nuevo : posicion;
BEGIN
pos := Buscar (llave, D);
IF pos = NIL THEN BEGIN (* no encontrado *)
h:= hashing(llave);
NEW (nuevo);
nuevo^.elem := llave;
nuevo^.sig := D[h];
D[h]:= nuevo;
END;
END;
Factor de carga
Llamamos factor de carga de una tabla de dispersión, λ, a la razón entre el
número de elementos en la tabla y el tamaño de la misma:
4
5. La longitud media de una lista es λ. El tiempo que se tarda en realizar una
búsqueda será el tiempo en que se calcula la función de dispersión más el tiempo
necesario para recorrer la lista. Si la búsqueda es infructuosa, el número medio
de enlaces por recorrer es λ. Si la búsqueda tiene éxito los enlaces por recorrer
son, por término medio, 1 + λ /2.
De esto se deduce que el factor de carga es importante a la hora de diseñar una
tabla. En el caso de la dispersión abierta la regla general es que λ tienda a 1 (es
decir, el tamaño de la tabla igual a los elementos esperados).
Tampoco debemos olvidar que el tamaño de la tabla debe ser primo.
5
6. Dispersión cerrada
La dispersión cerrada o direccionamiento abierto, soluciona las colisiones
buscando celdas alternativas hasta encontrar una vacía (dentro de la misma
tabla).
Se va buscando en las celdas: d0(x), d1(x), d2(x), ..., donde
di(x) = (hashing(x) + f(i)) MOD MAX_T.
La función f( ) es la estrategia de resolución de las colisiones, y se debe cumplir
que:
f(i)={
0 si i=0
<>0 si i<>0
Al estar todos los datos en la misma tabla, se necesita que ésta sea más grande;
el factor de carga tiene que ser menor o igual a 0.5.
Dentro de la dispersión cerrada hay tres estrategias distintas: la exploración
lineal, la exploración cuadrática y la dispersión doble.
Exploración lineal
En este tipo de estrategia la función f() es una función lineal de i, por ejemplo:
f(i) = i. Esto significa que las celdas se recorren en secuencia buscando una celda
vacía; es decir, si hay una colisión se prueba en la celda siguiente y así
sucesivamente hasta encontrar una vacía.
Lo veremos en un ejemplo: tenemos una tabla con MAX_T = 10 y la función de
dispersión h(x)= x MOD 10.
(Se recuerda que MAX_T debe ser primo, aquí se ultiliza 10 por sencillez de
cálculo, pero sería un grave error encontrarlo en un código real.)
En este ejemplo, que es el de la figura de abajo, la primera colisión ocurre
cuando queremos insertar el 49. Como la celda 9 está ocupada se pone en la
siguiente celda desocupada. Cuando el 58 entra en colisión con el 18 va a la
siguiente celda y entra en colisión con el 89, y después con el 49 antes de
encontrar su posición. Con el 69 pasa algo parecido.
6
7. Tabla
vacía
Después de
89
Después de
18
Después de
49
Después de
58
Después de
69
0 49 49 49
1 58 58
2 69
3
4
5
6
7
8 18 18 18 18
9 89 89 89 89 89
Las desventajas que tiene este método son: el tiempo que se tarda en encontrar
una celda vacía y la formación de bloques de celdas ocupadas, llamada efecto
agrupamiento primario. A causa de este efecto, cualquier clave que se disperse
en un agrupamiento realizará varios intentos para resolver la colisión, y
agrandará el agrupamiento.
Para inserciones y búsquedas no exitosas el número de intentos aproximado
sería: 1/2(1 + 1/(1 - λ)2
). Para búsquedas exitosas sería: 1/2(1 + 1/(1 - λ)), un
número menor que el anterior.
7
8. Exploración cuadrática
Este método de resolución de colisiones elimina el problema del agrupamiento
primario. La función de colisiones es cuadrática: f(i) = i2
. En la figura que sigue
se muestra la tabla de dispersión cerrada que resulta al aplicar al ejemplo
anterior la función de resolución cuadrática:
Tabla
vacía
Después de
89
Después de
18
Después de
49
Después de
58
Después de
69
0 49 49 49
1
2 58 58
3 69
4
5
6
7
8 18 18 18 18
9 89 89 89 89 89
En este caso, cuando el 49 entra en colisión con el 89, la siguiente posición es la
celda siguiente (f(1) = 12 = 1).
Después, cuando el 58 entra en colisión también intenta la celda siguiente, pero
está ocupada.
En su segunda colisión, el 58 intenta la celda que está 4 posiciones más allá ( 22
= 4), y como está libre se coloca en ella (en la celda 2).
Con el 69 ocurre lo mismo.
En este tipo de exploración no hay garantía de encontrar una celda vacía si la
tabla se llena a más de la mitad, o antes si el tamaño de la tabla no es primo.
Existe un Teorema que dice:
Si se usa la exploración cuadrática, y el tamaño de la tabla es primo, entonces
siempre se puede insertar un elemento nuevo si la tabla está, al menos, medio
vacía.
Aunque la exploración cuadrática elimina el agrupamiento primario, se produce
otro fenómeno llamado agrupamiento secundario, ya que las claves que se
dispersan a la misma posición intentarán las mismas celdas.
8
9. Dispersión doble
La función de colisiones para la dispersión doble es: f (i) = i * h2 (x). Lo que se
hace es aplicar una segunda función de dispersión a x, y luego se prueba a
distancias h2(x), 2h2(x), ...
Es muy importante la buena elección de h2(x) y, además, nunca debe ser cero. Si
elegimos la función:
h2(x) = R - (x MOD R)
con R un número primo menor que MAX_T, funcionará bien.
En la figura siguiente mostramos cómo quedaría la tabla de dispersión cerrada
con dispersión doble, cuando insertamos las mismas claves que en los ejemplos
anteriores y para R = 7.
Tabla
vacía
Después de
89
Después de
18
Después de
49
Después de
58
Después de
69
0 69
1
2
3 58 58
4
5
6 49 49 49
7
8 18 18 18 18
9 89 89 89 89 89
La primera colisión ocurre al insertar el 49; calculando la función de dispersión
nos quedaría: h2(49) = 7 - (49 MOD7), que es igual a: h2(49) = 7 - 0 = 7; luego el
49 se insertará en la posición 6.
En la segunda colisión, al insertar el 58, la función será: h2(58) = 7 - 2 = 5, por lo
tanto el 58 se colocará en la posición 3.
Finalmente intentamos insertar el 69, que con la función de dispersión iría en la
posición: h2(69) = 7 - 6 = 1, por lo que la celda resultante es la cero.
Aunque en el ejemplo el tamaño de la tabla no es primo, por hacer más fáciles
los cálculos, sería conveniente que fuera primo siempre. De esta manera hay más
posiciones alternativas que cuando no es primo.
9
10. La conclusión es que con la dispersión doble se consiguen buenos resultados,
aunque es más compleja y, por lo tanto, más lenta que otras soluciones (como la
exploración cuadrática).
Declaraciones de tipos
Las declaraciones de los tipos para implantar la dispersión cerrada son las
siguientes:
TYPE
ClaseEntrada = (legal, vacia, eliminada);
Entrada_disp = RECORD
elem : TipoElemento;
info : ClaseEntrada;
END;
posicion = INDICE;
TablaDisp = ARRAY [INDICE] OF Entrada_disp;
Inicialización de la tabla
La puesta a valores iniciales de la tabla se realiza poniendo el campo info a
vacío.
PROCEDURE IniciarTabla (VAR D: TablaDisp);
VAR
i: integer;
BEGIN
FOR i:=0 TO MAX_T-1 DO
D[i].info := vacia;
END;
Búsqueda para dispersión cerrada con exploración cuadrática
La rutina de búsqueda devolverá la posición de la llave en la tabla de dispersión.
Si no se encuentra, devuelve la celda donde estaría insertada la llave, que estará
marcada como vacía.
Suponemos que la tabla de dispersión es al menos el doble de grande que el
número de elementos de la tabla, ya que así la resolución cuadrática funcionará.
La implementación es:
FUNCTION Buscar (llave: TipoElemento; D:TablaDisp): INDICE;
VAR
i, pos : posicion;
BEGIN
i := 0;
pos := hashing (llave);
10
11. WHILE D[pos].info <> vacia DO BEGIN
IF D[pos].elem = llave THEN (* encontrado *)
BREAK;
END;
INC (i);
pos := (pos + 2 * i - 1);
IF pos > MAX_T THEN
pos := pos - MAX_T;
END;
Buscar:= pos;
END;
Aquí se utiliza la forma rápida de hacer la resolución cuadrática. Siendo la
definición de la función cuadrática: f(i) = f(i-1) + 2i - 1, se deduce que se puede
implementar con una multiplicación por dos y un decremento. Si la posición
resultante se sale del array, se le resta el tamaño de la tabla.
Por otro lado, es trivial modificar esta función para que reaproveche huecos
eliminados en caso de no encontrar el elemento:
FUNCTION BuscarMejor (llave: TipoElemento; D:TablaDisp): INDICE;
VAR
i, pos, hueco : posicion;
BEGIN
i := 0;
hueco := -1; (* todavia no hay hueco *)
pos := hashing (llave);
WHILE D[pos].info <> vacia DO BEGIN
IF D[pos].info = eliminada THEN BEGIN (* hay hueco *)
hueco := pos; (* no acabamos porque quizá "llave" este más adelante *)
END;
IF D[pos].elem = llave THEN (* encontrado *)
BREAK;
END;
INC (i);
pos := (pos + 2 * i - 1);
IF pos > MAX_T THEN
pos := pos - MAX_T;
END;
Buscar:= pos;
END;
Inserción en tablas de dispersión cerrada
En el caso de la inserción, cuando la clave está ya en la tabla no se hace nada; si
no, se coloca en la posición que resulte de la rutina buscar:
11
12. PROCEDURE Insertar (llave: TipoElemento; VAR D: TablaDisp);
VAR
p; pos: INDICE;
BEGIN
pos := Buscar (llave, D);
IF D[pos].info <> legal THEN BEGIN (* celda apropiada para insertar *)
D[pos].elem := llave;
D[pos].info := legal;
END;
END;
12