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Integrales 1
José María Martínez Mediano
LA INTEGRAL INDEFINIDA
Integral indefinida: Primitiva (antiderivada)
 Primitivas (Antiderivadas)
Dada la función )(xF es fácil hallar su derivada )´(xF . El proceso inverso: encontrar )(xF a
partir de )´(xF se llama antiderivación:
)(xF  (derivación)  )()´( xfxF   (antiderivación)  )(xF
A la antiderivada de )(xf se le llama primitiva de esa función. Para ver que la primitiva de
una función es correcta basta con derivar, pues:
)(xF es una primitiva de )(xf  )()´( xfxF 
Ejemplos:
 Si xxxF 3)( 2
 , su derivada es 32)´(  xxF ; entonces: una primitiva de
32)(  xxf será xxxF 3)( 2
 .
NOTA: Otra primitiva de 32)(  xxf es, por ejemplo, 143)( 2
 xxxF , pues
derivando: )(32)´143()( 2
xfxxxxF  . Todas la funciones de la forma
cxxxF  3)( 2
, donde c es un número, son primitivas de 32)(  xxf
 Si )13ln()(  xxF , su derivada es
13
3
)´(


x
xF ; en consecuencia, una primitiva de
13
3
)(


x
xf será )13ln()(  xxF .
NOTA: Como en el ejemplo anterior, todas las funciones de la forma cxxF  )13ln()(
son primitivas de
13
3
)(


x
xf .
 Integrales indefinidas
Dada una función )(xf , si )(xF es una de sus primitivas, la integral indefinida de )(xf es la
función cxF )( , donde c es un número que se llama constante de integración. Se escribe
así:
  cxFdxxf )()( , (dx indica la variable de integración)
En consecuencia, la derivada y la integral son “operaciones” inversas; de manera análoga a
como lo son la raíz cuadrada y el cuadrado o la exponencial y el logaritmo. Esto es, al aplicar
sucesivamente la integral y la derivada a una función se obtiene la misma función:
)()( xfdxxf
dx
d






 y
 





)()( xfdxxf
dx
d
En la segunda igualdad debería sumarse una constante. No lo hacemos para que quede más
clara la idea fundamental.
NOTA: Nos permitimos advertir que para poner integrar con cierto éxito es absolutamente
necesario saber derivar muy bien. Si el lector no domina las técnicas de derivación debería
reflexionar sobre el valor del tiempo antes de seguir adelante.
Integrales 2
José María Martínez Mediano
Ejemplos:
 cxxdxx 
 3)32( 2
. Puedes comprobar que   3232
 xcxx
dx
d
 cxdx
x

 )13ln(
13
3
. Puedes comprobar que  
13
3
)13ln(


x
cx
dx
d
 Propiedades de la integral indefinida
(1) La integral de un número por una función es igual al número por la integral de la
función:
  dxxfkdxxkf )()(
Esto significa que los números que multiplican a una función pueden entrar y salir del
integrando, según convenga. Así, por ejemplo:
  dx
k
xf
kdxxkf
k
dxxf
)(
)(
1
)( .
(2) La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de cada una
de esas funciones:
  dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
Estas propiedades significan que la integral se comporta como un operador lineal.
Ejemplos:
 Número por función:
´155)3(5)32(5)32(5 22
cxxcxxdxxdxx 
 (da igual poner c que c´).
OJO: Esta propiedad sólo se refiere a factores numéricos. Así:
  dxxxdxxx )32()32(
 Suma de funciones:
cxxcxcxdxxdxdxx 
 5)3()(32)32( 2
21
2
(las constantes c1 y c2 no
son necesarias; bastaría con poner una sola c).
 Las propiedades anteriores se utilizan según convenga, de dentro a fuera o de fuera a
dentro. Así, por ejemplo:
cxcxdx
x
dx
x
dx
x





  )13ln(6))13(ln(6
13
3
6
13
1
3·6
13
1
18
Siempre se buscará un integrando del que sepamos hallar la primitiva.
Integrales 3
José María Martínez Mediano
Relación de integrales inmediatas
Conviene saber de memoria la integral de las funciones elementales. Las más usuales son las
siguientes.
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
Función simple Función compuesta Ejemplos
  kxkdx
  xdx ;
  xdx 2)2(
1
1



 n
x
dxx
n
n
, n  1
1
´·
1



 n
f
dxff
n
n
, n  1
4
4
3 x
dxx 
 ;
x
x
dxx
1
1
1
2






xdx
x

2
1 fdx
f
f

2
´
1
12
3 3
3
2

 xdx
x
x
xdx
x
dxx ln
11



fdx
f
f
ln
´

 )53ln(
53
3

 xdx
x
a
a
dxa
x
x
ln

 a
a
dxfa
f
f
ln
´· 
 3ln
3
3
x
x
dx 
 ;
4ln
4
2·4
2
2
x
x
dxx 

xx
edxe 
 ff
edxfe 
 ´· xx
edxe 44
4· 
 ; xx
edxe 

 )1(
xxdx sencos 
 ffdxf sen´·cos 
 )2(sen)2cos(3 332

 xdxxx
xdxx cossen 
 ffdxf cossen´· 
 22
4cos4sen8 xdxxx 

xdx
x
tag
cos
1
2


fdxx tag)tag1( 2


fdx
f
f
tag
cos
´
2


fdxff tag´·)tag1( 2


xdx
x
3tag
3cos
3
2


1)-tag(5x5·))15(tag1( 2

 dxx
xdx
x
arcsen
1
1
2

 fdx
f
f
arcsen
1
´
2

 )ln(arcsen
)(ln1
/1
2
xdx
x
x


xdx
x
arccos
1
1
2



 fdx
f
f
arccos
1
´
2



 x
x
x
edx
e
e
arccos
1 2




xdx
x
arctag
1
1
2

 fdx
f
f
arctag
1
´
2

 xdx
x
4arctag
)4(1
4
2


NOTA: En todos los casos se omite (por falta de espacio) la suma de la constante de integración, c.
Ejemplos:
Proponemos algunos ejemplos más:
 c
x
dxx 


 5
)3(
)3(
5
4
 c
x
dxxx 


 6
)12(
6·)12(
63
253
 cxsendxx
x

 cos
2
1
 cxdx
x
x

 )6ln(
6
2 2
2
Integrales 4
José María Martínez Mediano
Técnicas y métodos de integración
 Descomposición elemental
Siempre que sea posible se operará en el integrando, buscando escribirlo como otra expresión
equivalente que sea fácil de integral; para ello hay que tener presentes las fórmulas de
integrales inmediatas. Las operaciones algebraicas básicas son: multiplicar o dividir por una
constante apropiada; sumar o restar; efectuar las operaciones indicadas…
Ejemplos:
 dxdxxdxxdxxx
  3225)345( 22
= cxx
x
 32
3
5 2
3
 cx
xx
dxdxxdxxdxxxdxx 
 3
4
5
4
44)144()12(
35
242422
 c
x
xxdxxdx
x
dxdx
xx
dx
x
xx









 3
ln453
1
45
34
5
345 2
22
2
 cxdx
x
dx
x




  )65ln(
6
4
65
6
6
1
·4
65
4
 xd
x
x
dx
x
dx
x
x
x
dx
x
x
 














22222
1
4
1
5
1
4
1
5
1
45
=
= cxxdx
x
x
dx
x



  )1ln(2arctan5
1
2
2
1
1
5 2
22
   dxxsenxdxsenxdxxsenxdxxsensenxdxxsen
  2223
cos)(cos1·· =
= cxx  3
cos
3
1
cos (En la 2ª integral se aplica la fórmula c
n
f
dxff
n
n




 1
´·
1
.)
Para aplicar este método es necesario conocer muy bien las fórmulas de integrales inmediatas;
también es imprescindible operar con soltura, como se pone de manifiesto a continuación.
Ejemplo:
 Para calcular
  2
)1(9 x
dx
es imprescindible saber que
cxarcsenfdx
xf
xf

 )(
))((1
)´(
2
. [El elemento fundamental es que aparece la raíz
cuadrada y el término 2
)1(  x ; de donde supondremos que 1)(  xxf .]
A continuación hay que saber transformar la expresión buscando que aparezca 2
))((1 xf en
el interior de la raíz y )´(xf en el numerador. El proceso puede ser el siguiente:
  2
)1(9 x
dx
=








 

dx
x
9
)1(
19
1
2
= dx
x






 

2
3
1
13
1
= dx
x






 

2
3
1
1
3
1
=
= c
x
arcsen 




 
3
1
Integrales 5
José María Martínez Mediano
 Descomposición de fracciones racionales en fracciones simples
Si la descomposición en fracciones no es tan fácil como las vistas en ejemplos anteriores,
puede utilizarse el proceso que explicamos a continuación.
Las fracciones racionales son de la forma
)(
)(
xQ
xP
. Si el denominador es de grado menor o igual
que el numerador, la expresión anterior puede escribirse así:
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xC
xQ
xP
 ,
donde C(x) y R(x) son, respectivamente, el cociente y el resto de la división. (Como debe
saberse, el grado de R(x) es menor que el de Q(x))
Con esto:
dx
xQ
xR
dxxCdx
xQ
xP
 
)(
)(
)(
)(
)(
La integral que puede presentar dificultades es la última. Vamos a resolverla en dos supuestos
fáciles:
(1) dx
bax
m
 
(2) dx
cbxax
nmx
 

2
 La integral (1) es inmediata (se resuelve por descomposición simple), pues:
cbax
a
m
xfdx
xf
xf
dx
bax
a
a
m
dx
bax
m









  )ln()(ln
)(
)´(
Ejemplos:
 cxdx
x
dx
x



  )47ln(
7
3
47
7
7
3
47
3
 Para hallar dx
x
xx
 

1
232 3
hay que dividir antes (el método de Ruffini es adecuado). Se
obtiene:
1
3
552
1
232 2
3





x
xx
x
xx
De donde    












dx
x
dxxxdx
x
xxdx
x
xx
1
3
552
1
3
552
1
232 22
3
Por tanto: cxxxxdx
x
xx



 )1ln(35
2
5
3
2
1
232 23
3
 Para resolver la integral (2) hay que determinar las raíces del denominador,
02
 cbxax , y pueden darse tres casos:
1.º Hay dos raíces reales simples: x = x1, x = x2.
2.º Hay una sola raíz real doble, x = x1.
3.º El denominador no tiene raíces reales.
– En el caso 1.º la descomposición que se hace es:
)()( 21
2
xx
B
xxa
A
cbxax
nmx






Integrales 6
José María Martínez Mediano
– En el caso 2.º se hace la descomposición:
)()( 1
2
1
2
xx
B
xxa
A
cbxax
nmx






– En el caso 3.º la descomposición es: 222
)(1
)2(
qpx
B
cbxax
baxk
cbxax
nmx







,
donde 22
)(1 qpxcbxax 
Practicamos cada caso con un ejemplo fácil.
Ejemplos:
 Caso 1.º Para hallar la integral
 
dx
xx
x
2
2
2
se procede así:
– Se hallan las raíces de 022
 xx . Son x = 1 y x = 2.
Por tanto, la descomposición en fracciones simples será:
212
2
2




 x
B
x
A
xx
x
=
)2)(1(
)1()2(


xx
xBxA
 )1()2(2  xBxAx
– Calculamos A y B dando valores a x:
si x = 1: 2 = 3A  A = 2/3
si x = –2: –4 = –3B  B = 4/3
– Con esto:
   




dx
x
dx
x
dx
xx
x
2
3/4
1
3/2
2
2
2
= cxx  )2ln(
3
4
)1ln(
3
2
 Caso 2.º
 

dx
xx
x
44
2
2
– Las raíces de 0422
 xx son x = 2, doble. Por tanto:
2)2(44
2
22






x
B
x
A
xx
x
= 2
)2(
)2(


x
xBA
 )2(2  xBAx
– Calculamos A y B dando valores a x:
si x = –2  4 = A  A = 4
si x = 0  2 = A + 2B  B = 1
– Con esto:
 






dx
x
dx
x
dx
xx
x
2
1
)2(
4
44
2
22
= cx
x


)2ln(
2
4
 Caso 3.º
 

dx
xx
x
22
2
2
– Se hace la descomposición: 2222
)1(1
3
22
22
·
2
1
22
3)22(
2
1
22
2










xxx
x
xx
x
xx
x
Observa que el numerador: 3)22(
2
1
2  xx ;
y que el denominador: 22
)1(122  xxx
– Por tanto:
 

dx
xx
x
22
2
2
=
 



 dx
x
dx
xx
x
22
)1(1
1
3
22
22
2
1
=
= cxxx  )1arctan(3)22ln(
2
1 2
Integrales 7
José María Martínez Mediano
 Método de integración por partes
Si se hace la diferencial del producto de dos funciones, )(xfu  y )(xgv  , se tiene:
      dxxgxfdxxgxfxgdxfxgxfdxgxfd )´()()()´()()·()(·)()()·( 
Nota: Recuerda que dxxfxdf )´()( 
Despejando:   dxxgxfxgxfddxxgxf )()´()()·()´()(  .
Integrando miembro a miembro se obtiene la fórmula de integración por partes:
    dxxgxfxgxfddxxgxf )()´()()·()´()( 
   dxxgxfxgxfdxxgxf )()´()()·()´()( .
Más escuetamente:
      udvvduvduvudvud  ···    vduvududv  · )    vduuvudv
NOTA: Para la elección de las partes u y dv no hay criterio concreto; puede ser recomendable
tomar dv como la parte más grande del integrando que se pueda integral con facilidad. El
resto del integrando será u.
Ejemplo:
 Para integral
 xdxxsen puede tomarse:
(1) x = u y sen x dx = dv  dx = du y xsenxdxv cos

(2) sen x = u y x dx = dv  cos x dx = du y
2
2
x
xdxv 

(3) uxsenx  y dx = dv  (sen x + x cos x) dx = du y xdxv 

Si hemos hecho (1): csenxxxxdxxxxsenxdx 
 coscoscos
Si hacemos (2):
  xdx
xx
senxxsenxdx cos
22
·
22
(La segunda integral es más
complicada que la primera. Esta partición no es buena).
Si decidimos (3):
  dxxxsenxxxxsenxxsenxdx )cos(· (También la segunda
integral es más complicada que la inicial.)
Otros ejemplos:

 dxxex
.
Tomando: u = x  du = dx
ex
dx = dv  v = ex
Se tiene:
 dxxex
=
 dxexe xx
= cexe xx

 c
x
x
x
dx
x
x
x
xdxx 
  9
ln
33
ln
3
ln
3323
2
Integrales 8
José María Martínez Mediano
Hemos tomado:





dxxdv
xu
2
ln









3
1
3
x
v
dx
x
du
 Para calcular dxxex
cos hay que reiterar el método. Veamos:
Haciendo x
eu  y cos x dx = dv,
se tiene dxedu x
 , v = sen x  dxxex
cos .= dxsenxesenxe xx
 .
La segunda integral, dxsenxex
 , también debe hacerse por el método de partes.
Tomando: x
eu  y sen x dx = dv  dxedu x
 y –cos x = v
Luego,
dxxex
cos .= dxsenxesenxe xx
 = 



 
 dxxexesenxe xxx
)cos()cos(
 dxxex
cos
 .=
 xdxexesenxe xxx
coscos
 dxxex
cos2
 .= xesenxe xx
cos
Por tanto, dxxex
cos = cxxex
 )cos(sen
2
1
Ejercicios complementarios
Descomposición elemental
 cxxdx
x
dx
x
x
dx
x
x







 arctan5)1ln(
1
1
5
1
2
1
52 2
222
 c
x
xxxdx
xx
xxdx
x
xxx









4
ln2
2
1
4
342
3
423 24
2
3
2
35
Fracciones simples

   










cxxdx
x
dx
x
dx
x
)1ln()1ln(
1
1
1
1
1
2
2

   











cxxdx
x
dx
x
dx
xx
x
)2ln(
5
7
)3ln(
5
3
2
5/7
3
5/3
6
23
2

 


cxxxdx
xx
x
)3arctan(23)106ln(
2
7
106
27 2
2
Integración por partes
 cxxxdxx 
 lnln
 cxxsenxxxsenxxxdxx 
 cos66cos3cos 233

 xdxxln = c
x
xx 
4
ln
2
1 2
2
Integrales 9
José María Martínez Mediano
 Cambio de variable
La integral de la forma
 duuf )( se puede escribir
 dxxgxgf )´())(( , haciendo
)(xgu  y dxxgdu )´(
Esto es:
 duuf )( =
 dxxgxgf )´())(( ,
Naturalmente, la segunda integral deberá ser más fácil; y una vez resuelta habrá que deshacer
el cambio inicial.
Ejemplos:
 Para calcular dxx
  5
)32( podemos hacer:
32  xu  55
)32(  xu y dxdu 2  dudx
2
1

Con esto: cxcuduudxx 

6655
)32(
12
1
12
1
2
1
)32(
 Para calcular dxe x

4
podemos hacer: xu 4  dxdu 4  dudx
4
1

Luego, ceceduedxe xuux


44
4
1
4
1
4
1
 La integral dx
x  65
4
, hecha más arriba, se puede resolver haciendo el cambio:
xu 65  dxdu 6  dudx
6
1

Luego, cxcudu
u
du
u
dx
x







  )65ln(
6
4
ln
6
41
6
4
6
14
65
4
 Para hallar dxxx
 1 podemos hacer: 2
1 ux   12
 ux ; ududx 2
Luego,     
 duuuduuuu 242
222·1 cuu  35
3
2
5
2
= cxx  35
)1(
3
2
)1(
5
2
NOTA: Dependiendo de la función que haya de integrarse puede hacerse un cambio u otro; muchos de ellos
son estándar. Este texto no es el lugar para tratar de ellos. El lector interesado puede consultar una gran variedad
de libros al respecto; entre otros:
SalasHille, Calculus, Ed. Reverté. Piskunov, Calculo diferencial e integral, Ed Mir
 Cambios de variable para integrales trigonométricas
Los cambios más frecuentes son:
1. Si el integrando es una función )(xf impar en cos x, se hace el cambio sen x = t.
(Una función es impar en cos x cuando al cambiar cos x por –cos x la expresión cambia de
signo. Por ejemplo, xxf 3
cos)(  .)
Así se obtiene las siguientes equivalencias:
sen x = t  22
11cos txsenx  ;
x
senx
tagx
cos
 
2
1 t
t
tagx


 dtxdx cos 
2
1 t
dt
dx


Integrales 10
José María Martínez Mediano
Ejemplo:
      dttdttxdxxxdx 22
4
245
)1(1))·(cos(coscos =
= cxsenxsensenxctttdttt 

535342
5
1
3
2
5
1
3
2
)21(
2. Si el integrando es una función )(xf impar en sen x, se hace el cambio cos x = t.
(Una función es impar en sen x cuando al cambiar sen x por –sen x la expresión cambia de
signo. Por ejemplo, xsenxf 3
)(  .))
Así se obtiene las siguientes equivalencias:
cos x = t  22
1cos1 txsenx  ;
x
senx
tagx
cos
 
t
t
tagx
2
1

 dtsenxdx  
2
1 t
dt
dx


Ejemplo:
      dtttdtttdxsenxxxsenxdxxsen 222
2
22223
)1(1)·(·coscos =
= cxxcttdttt 

535342
cos
5
1
cos
3
1
5
1
3
1
)(
3. Si el integrando no cambia al sustituir sen x por –sen x y cos x por –cos x, se hace el
cambio tag x = t.
Así se obtiene las siguientes equivalencias:
tag x = t 
x
xtag 2
2
cos
1
1  
2
1
1
cos
t
x


 dtdxxtag  )1( 2
 2
1 t
dt
dx



x
senx
tagx
cos
  sen x = tag x cos x 
2
1 t
t
senx


Ejemplo:
 Para integrar
 xdxtag3
, haciendo tag x = t se tiene:
 xdxtag3
=
 


dt
t
t
t
dt
t 2
3
2
3
11
·
Esta segunda integral se hace por descomposición, pues dividiendo: 22
3
11 t
t
t
t
t



Con esto,
 
dt
t
t
2
3
1
=
 






 dt
t
t
t 2
1
= ct
t
 )1ln(
2
1
2
2
2
Deshaciendo el cambio inicial, se tendrá:
 xdxtag3
= cx
xtag
cxtag
xtag
 )ln(cos
2
)1ln(
2
1
2
2
2
2

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Integrales indefinidas

  • 1. Integrales 1 José María Martínez Mediano LA INTEGRAL INDEFINIDA Integral indefinida: Primitiva (antiderivada)  Primitivas (Antiderivadas) Dada la función )(xF es fácil hallar su derivada )´(xF . El proceso inverso: encontrar )(xF a partir de )´(xF se llama antiderivación: )(xF  (derivación)  )()´( xfxF   (antiderivación)  )(xF A la antiderivada de )(xf se le llama primitiva de esa función. Para ver que la primitiva de una función es correcta basta con derivar, pues: )(xF es una primitiva de )(xf  )()´( xfxF  Ejemplos:  Si xxxF 3)( 2  , su derivada es 32)´(  xxF ; entonces: una primitiva de 32)(  xxf será xxxF 3)( 2  . NOTA: Otra primitiva de 32)(  xxf es, por ejemplo, 143)( 2  xxxF , pues derivando: )(32)´143()( 2 xfxxxxF  . Todas la funciones de la forma cxxxF  3)( 2 , donde c es un número, son primitivas de 32)(  xxf  Si )13ln()(  xxF , su derivada es 13 3 )´(   x xF ; en consecuencia, una primitiva de 13 3 )(   x xf será )13ln()(  xxF . NOTA: Como en el ejemplo anterior, todas las funciones de la forma cxxF  )13ln()( son primitivas de 13 3 )(   x xf .  Integrales indefinidas Dada una función )(xf , si )(xF es una de sus primitivas, la integral indefinida de )(xf es la función cxF )( , donde c es un número que se llama constante de integración. Se escribe así:   cxFdxxf )()( , (dx indica la variable de integración) En consecuencia, la derivada y la integral son “operaciones” inversas; de manera análoga a como lo son la raíz cuadrada y el cuadrado o la exponencial y el logaritmo. Esto es, al aplicar sucesivamente la integral y la derivada a una función se obtiene la misma función: )()( xfdxxf dx d        y        )()( xfdxxf dx d En la segunda igualdad debería sumarse una constante. No lo hacemos para que quede más clara la idea fundamental. NOTA: Nos permitimos advertir que para poner integrar con cierto éxito es absolutamente necesario saber derivar muy bien. Si el lector no domina las técnicas de derivación debería reflexionar sobre el valor del tiempo antes de seguir adelante.
  • 2. Integrales 2 José María Martínez Mediano Ejemplos:  cxxdxx   3)32( 2 . Puedes comprobar que   3232  xcxx dx d  cxdx x   )13ln( 13 3 . Puedes comprobar que   13 3 )13ln(   x cx dx d  Propiedades de la integral indefinida (1) La integral de un número por una función es igual al número por la integral de la función:   dxxfkdxxkf )()( Esto significa que los números que multiplican a una función pueden entrar y salir del integrando, según convenga. Así, por ejemplo:   dx k xf kdxxkf k dxxf )( )( 1 )( . (2) La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de cada una de esas funciones:   dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( Estas propiedades significan que la integral se comporta como un operador lineal. Ejemplos:  Número por función: ´155)3(5)32(5)32(5 22 cxxcxxdxxdxx   (da igual poner c que c´). OJO: Esta propiedad sólo se refiere a factores numéricos. Así:   dxxxdxxx )32()32(  Suma de funciones: cxxcxcxdxxdxdxx   5)3()(32)32( 2 21 2 (las constantes c1 y c2 no son necesarias; bastaría con poner una sola c).  Las propiedades anteriores se utilizan según convenga, de dentro a fuera o de fuera a dentro. Así, por ejemplo: cxcxdx x dx x dx x        )13ln(6))13(ln(6 13 3 6 13 1 3·6 13 1 18 Siempre se buscará un integrando del que sepamos hallar la primitiva.
  • 3. Integrales 3 José María Martínez Mediano Relación de integrales inmediatas Conviene saber de memoria la integral de las funciones elementales. Las más usuales son las siguientes. TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Función simple Función compuesta Ejemplos   kxkdx   xdx ;   xdx 2)2( 1 1     n x dxx n n , n  1 1 ´· 1     n f dxff n n , n  1 4 4 3 x dxx   ; x x dxx 1 1 1 2       xdx x  2 1 fdx f f  2 ´ 1 12 3 3 3 2   xdx x x xdx x dxx ln 11    fdx f f ln ´   )53ln( 53 3   xdx x a a dxa x x ln   a a dxfa f f ln ´·   3ln 3 3 x x dx   ; 4ln 4 2·4 2 2 x x dxx   xx edxe   ff edxfe   ´· xx edxe 44 4·   ; xx edxe    )1( xxdx sencos   ffdxf sen´·cos   )2(sen)2cos(3 332   xdxxx xdxx cossen   ffdxf cossen´·   22 4cos4sen8 xdxxx   xdx x tag cos 1 2   fdxx tag)tag1( 2   fdx f f tag cos ´ 2   fdxff tag´·)tag1( 2   xdx x 3tag 3cos 3 2   1)-tag(5x5·))15(tag1( 2   dxx xdx x arcsen 1 1 2   fdx f f arcsen 1 ´ 2   )ln(arcsen )(ln1 /1 2 xdx x x   xdx x arccos 1 1 2     fdx f f arccos 1 ´ 2     x x x edx e e arccos 1 2     xdx x arctag 1 1 2   fdx f f arctag 1 ´ 2   xdx x 4arctag )4(1 4 2   NOTA: En todos los casos se omite (por falta de espacio) la suma de la constante de integración, c. Ejemplos: Proponemos algunos ejemplos más:  c x dxx     5 )3( )3( 5 4  c x dxxx     6 )12( 6·)12( 63 253  cxsendxx x   cos 2 1  cxdx x x   )6ln( 6 2 2 2
  • 4. Integrales 4 José María Martínez Mediano Técnicas y métodos de integración  Descomposición elemental Siempre que sea posible se operará en el integrando, buscando escribirlo como otra expresión equivalente que sea fácil de integral; para ello hay que tener presentes las fórmulas de integrales inmediatas. Las operaciones algebraicas básicas son: multiplicar o dividir por una constante apropiada; sumar o restar; efectuar las operaciones indicadas… Ejemplos:  dxdxxdxxdxxx   3225)345( 22 = cxx x  32 3 5 2 3  cx xx dxdxxdxxdxxxdxx   3 4 5 4 44)144()12( 35 242422  c x xxdxxdx x dxdx xx dx x xx           3 ln453 1 45 34 5 345 2 22 2  cxdx x dx x       )65ln( 6 4 65 6 6 1 ·4 65 4  xd x x dx x dx x x x dx x x                 22222 1 4 1 5 1 4 1 5 1 45 = = cxxdx x x dx x      )1ln(2arctan5 1 2 2 1 1 5 2 22    dxxsenxdxsenxdxxsenxdxxsensenxdxxsen   2223 cos)(cos1·· = = cxx  3 cos 3 1 cos (En la 2ª integral se aplica la fórmula c n f dxff n n      1 ´· 1 .) Para aplicar este método es necesario conocer muy bien las fórmulas de integrales inmediatas; también es imprescindible operar con soltura, como se pone de manifiesto a continuación. Ejemplo:  Para calcular   2 )1(9 x dx es imprescindible saber que cxarcsenfdx xf xf   )( ))((1 )´( 2 . [El elemento fundamental es que aparece la raíz cuadrada y el término 2 )1(  x ; de donde supondremos que 1)(  xxf .] A continuación hay que saber transformar la expresión buscando que aparezca 2 ))((1 xf en el interior de la raíz y )´(xf en el numerador. El proceso puede ser el siguiente:   2 )1(9 x dx =            dx x 9 )1( 19 1 2 = dx x          2 3 1 13 1 = dx x          2 3 1 1 3 1 = = c x arcsen        3 1
  • 5. Integrales 5 José María Martínez Mediano  Descomposición de fracciones racionales en fracciones simples Si la descomposición en fracciones no es tan fácil como las vistas en ejemplos anteriores, puede utilizarse el proceso que explicamos a continuación. Las fracciones racionales son de la forma )( )( xQ xP . Si el denominador es de grado menor o igual que el numerador, la expresión anterior puede escribirse así: )( )( )( )( )( xQ xR xC xQ xP  , donde C(x) y R(x) son, respectivamente, el cociente y el resto de la división. (Como debe saberse, el grado de R(x) es menor que el de Q(x)) Con esto: dx xQ xR dxxCdx xQ xP   )( )( )( )( )( La integral que puede presentar dificultades es la última. Vamos a resolverla en dos supuestos fáciles: (1) dx bax m   (2) dx cbxax nmx    2  La integral (1) es inmediata (se resuelve por descomposición simple), pues: cbax a m xfdx xf xf dx bax a a m dx bax m            )ln()(ln )( )´( Ejemplos:  cxdx x dx x      )47ln( 7 3 47 7 7 3 47 3  Para hallar dx x xx    1 232 3 hay que dividir antes (el método de Ruffini es adecuado). Se obtiene: 1 3 552 1 232 2 3      x xx x xx De donde                 dx x dxxxdx x xxdx x xx 1 3 552 1 3 552 1 232 22 3 Por tanto: cxxxxdx x xx     )1ln(35 2 5 3 2 1 232 23 3  Para resolver la integral (2) hay que determinar las raíces del denominador, 02  cbxax , y pueden darse tres casos: 1.º Hay dos raíces reales simples: x = x1, x = x2. 2.º Hay una sola raíz real doble, x = x1. 3.º El denominador no tiene raíces reales. – En el caso 1.º la descomposición que se hace es: )()( 21 2 xx B xxa A cbxax nmx      
  • 6. Integrales 6 José María Martínez Mediano – En el caso 2.º se hace la descomposición: )()( 1 2 1 2 xx B xxa A cbxax nmx       – En el caso 3.º la descomposición es: 222 )(1 )2( qpx B cbxax baxk cbxax nmx        , donde 22 )(1 qpxcbxax  Practicamos cada caso con un ejemplo fácil. Ejemplos:  Caso 1.º Para hallar la integral   dx xx x 2 2 2 se procede así: – Se hallan las raíces de 022  xx . Son x = 1 y x = 2. Por tanto, la descomposición en fracciones simples será: 212 2 2      x B x A xx x = )2)(1( )1()2(   xx xBxA  )1()2(2  xBxAx – Calculamos A y B dando valores a x: si x = 1: 2 = 3A  A = 2/3 si x = –2: –4 = –3B  B = 4/3 – Con esto:         dx x dx x dx xx x 2 3/4 1 3/2 2 2 2 = cxx  )2ln( 3 4 )1ln( 3 2  Caso 2.º    dx xx x 44 2 2 – Las raíces de 0422  xx son x = 2, doble. Por tanto: 2)2(44 2 22       x B x A xx x = 2 )2( )2(   x xBA  )2(2  xBAx – Calculamos A y B dando valores a x: si x = –2  4 = A  A = 4 si x = 0  2 = A + 2B  B = 1 – Con esto:         dx x dx x dx xx x 2 1 )2( 4 44 2 22 = cx x   )2ln( 2 4  Caso 3.º    dx xx x 22 2 2 – Se hace la descomposición: 2222 )1(1 3 22 22 · 2 1 22 3)22( 2 1 22 2           xxx x xx x xx x Observa que el numerador: 3)22( 2 1 2  xx ; y que el denominador: 22 )1(122  xxx – Por tanto:    dx xx x 22 2 2 =       dx x dx xx x 22 )1(1 1 3 22 22 2 1 = = cxxx  )1arctan(3)22ln( 2 1 2
  • 7. Integrales 7 José María Martínez Mediano  Método de integración por partes Si se hace la diferencial del producto de dos funciones, )(xfu  y )(xgv  , se tiene:       dxxgxfdxxgxfxgdxfxgxfdxgxfd )´()()()´()()·()(·)()()·(  Nota: Recuerda que dxxfxdf )´()(  Despejando:   dxxgxfxgxfddxxgxf )()´()()·()´()(  . Integrando miembro a miembro se obtiene la fórmula de integración por partes:     dxxgxfxgxfddxxgxf )()´()()·()´()(     dxxgxfxgxfdxxgxf )()´()()·()´()( . Más escuetamente:       udvvduvduvudvud  ···    vduvududv  · )    vduuvudv NOTA: Para la elección de las partes u y dv no hay criterio concreto; puede ser recomendable tomar dv como la parte más grande del integrando que se pueda integral con facilidad. El resto del integrando será u. Ejemplo:  Para integral  xdxxsen puede tomarse: (1) x = u y sen x dx = dv  dx = du y xsenxdxv cos  (2) sen x = u y x dx = dv  cos x dx = du y 2 2 x xdxv   (3) uxsenx  y dx = dv  (sen x + x cos x) dx = du y xdxv   Si hemos hecho (1): csenxxxxdxxxxsenxdx   coscoscos Si hacemos (2):   xdx xx senxxsenxdx cos 22 · 22 (La segunda integral es más complicada que la primera. Esta partición no es buena). Si decidimos (3):   dxxxsenxxxxsenxxsenxdx )cos(· (También la segunda integral es más complicada que la inicial.) Otros ejemplos:   dxxex . Tomando: u = x  du = dx ex dx = dv  v = ex Se tiene:  dxxex =  dxexe xx = cexe xx   c x x x dx x x x xdxx    9 ln 33 ln 3 ln 3323 2
  • 8. Integrales 8 José María Martínez Mediano Hemos tomado:      dxxdv xu 2 ln          3 1 3 x v dx x du  Para calcular dxxex cos hay que reiterar el método. Veamos: Haciendo x eu  y cos x dx = dv, se tiene dxedu x  , v = sen x  dxxex cos .= dxsenxesenxe xx  . La segunda integral, dxsenxex  , también debe hacerse por el método de partes. Tomando: x eu  y sen x dx = dv  dxedu x  y –cos x = v Luego, dxxex cos .= dxsenxesenxe xx  =        dxxexesenxe xxx )cos()cos(  dxxex cos  .=  xdxexesenxe xxx coscos  dxxex cos2  .= xesenxe xx cos Por tanto, dxxex cos = cxxex  )cos(sen 2 1 Ejercicios complementarios Descomposición elemental  cxxdx x dx x x dx x x         arctan5)1ln( 1 1 5 1 2 1 52 2 222  c x xxxdx xx xxdx x xxx          4 ln2 2 1 4 342 3 423 24 2 3 2 35 Fracciones simples                cxxdx x dx x dx x )1ln()1ln( 1 1 1 1 1 2 2                 cxxdx x dx x dx xx x )2ln( 5 7 )3ln( 5 3 2 5/7 3 5/3 6 23 2      cxxxdx xx x )3arctan(23)106ln( 2 7 106 27 2 2 Integración por partes  cxxxdxx   lnln  cxxsenxxxsenxxxdxx   cos66cos3cos 233   xdxxln = c x xx  4 ln 2 1 2 2
  • 9. Integrales 9 José María Martínez Mediano  Cambio de variable La integral de la forma  duuf )( se puede escribir  dxxgxgf )´())(( , haciendo )(xgu  y dxxgdu )´( Esto es:  duuf )( =  dxxgxgf )´())(( , Naturalmente, la segunda integral deberá ser más fácil; y una vez resuelta habrá que deshacer el cambio inicial. Ejemplos:  Para calcular dxx   5 )32( podemos hacer: 32  xu  55 )32(  xu y dxdu 2  dudx 2 1  Con esto: cxcuduudxx   6655 )32( 12 1 12 1 2 1 )32(  Para calcular dxe x  4 podemos hacer: xu 4  dxdu 4  dudx 4 1  Luego, ceceduedxe xuux   44 4 1 4 1 4 1  La integral dx x  65 4 , hecha más arriba, se puede resolver haciendo el cambio: xu 65  dxdu 6  dudx 6 1  Luego, cxcudu u du u dx x          )65ln( 6 4 ln 6 41 6 4 6 14 65 4  Para hallar dxxx  1 podemos hacer: 2 1 ux   12  ux ; ududx 2 Luego,       duuuduuuu 242 222·1 cuu  35 3 2 5 2 = cxx  35 )1( 3 2 )1( 5 2 NOTA: Dependiendo de la función que haya de integrarse puede hacerse un cambio u otro; muchos de ellos son estándar. Este texto no es el lugar para tratar de ellos. El lector interesado puede consultar una gran variedad de libros al respecto; entre otros: SalasHille, Calculus, Ed. Reverté. Piskunov, Calculo diferencial e integral, Ed Mir  Cambios de variable para integrales trigonométricas Los cambios más frecuentes son: 1. Si el integrando es una función )(xf impar en cos x, se hace el cambio sen x = t. (Una función es impar en cos x cuando al cambiar cos x por –cos x la expresión cambia de signo. Por ejemplo, xxf 3 cos)(  .) Así se obtiene las siguientes equivalencias: sen x = t  22 11cos txsenx  ; x senx tagx cos   2 1 t t tagx    dtxdx cos  2 1 t dt dx  
  • 10. Integrales 10 José María Martínez Mediano Ejemplo:       dttdttxdxxxdx 22 4 245 )1(1))·(cos(coscos = = cxsenxsensenxctttdttt   535342 5 1 3 2 5 1 3 2 )21( 2. Si el integrando es una función )(xf impar en sen x, se hace el cambio cos x = t. (Una función es impar en sen x cuando al cambiar sen x por –sen x la expresión cambia de signo. Por ejemplo, xsenxf 3 )(  .)) Así se obtiene las siguientes equivalencias: cos x = t  22 1cos1 txsenx  ; x senx tagx cos   t t tagx 2 1   dtsenxdx   2 1 t dt dx   Ejemplo:       dtttdtttdxsenxxxsenxdxxsen 222 2 22223 )1(1)·(·coscos = = cxxcttdttt   535342 cos 5 1 cos 3 1 5 1 3 1 )( 3. Si el integrando no cambia al sustituir sen x por –sen x y cos x por –cos x, se hace el cambio tag x = t. Así se obtiene las siguientes equivalencias: tag x = t  x xtag 2 2 cos 1 1   2 1 1 cos t x    dtdxxtag  )1( 2  2 1 t dt dx    x senx tagx cos   sen x = tag x cos x  2 1 t t senx   Ejemplo:  Para integrar  xdxtag3 , haciendo tag x = t se tiene:  xdxtag3 =     dt t t t dt t 2 3 2 3 11 · Esta segunda integral se hace por descomposición, pues dividiendo: 22 3 11 t t t t t    Con esto,   dt t t 2 3 1 =          dt t t t 2 1 = ct t  )1ln( 2 1 2 2 2 Deshaciendo el cambio inicial, se tendrá:  xdxtag3 = cx xtag cxtag xtag  )ln(cos 2 )1ln( 2 1 2 2 2 2